Fonds Grothendieck, cote n° 16, pages 41–55

Note manuscrite : C(X) et l'algébricité de \Lambda_{X}\varphi_{*} (page 41)

La page s'ouvre au milieu d'un raisonnement : elle n'a pas de titre et reprend la discussion de C(X) et de C(Y) menée au « Formulaire » des pages 32 à 39, que le bas de la page 39 laisse ouverte sur un « Mais ». X est de dimension n, Y \subset X une section hyperplane, \varphi : Y \to X l'inclusion ; m = \dim X \times Y = 2n-1.

Moyennant C(Y), C(X) équivaut à la condition :

\forall i \leq n-1, l'hom. \psi^{i}_{\xi} : H^{i}(Y) \longrightarrow H^{i}(X), inverse à gauche de \varphi^{i} : H^{i}(X) \to H^{i}(Y), égal : \Lambda_{X}\varphi_{*} \mid H^{i}(Y)), est induit par une classe algébrique. Cette condition est encadrée par un trait vertical à sa gauche. L'indice de \psi^{i} est une lettre bouclée qu'on lit \xi, celle-là même que le tapuscrit des pages 43 et suivantes note pour la polarisation. Après le trait de restriction, la parenthèse fermante n'a pas d'ouvrante.

ou encore :

\Lambda_{X}\varphi_{*} est algébrique. Également encadrée.

~~ou encore~~ N.B. \Lambda_{X}\varphi_{*} ~~correspond~~ à une classe de cohomologie sur X \times Y, qui dans \sum_{i} H^{2(n-1)-i}(Y) \otimes H^{i}(X) = H^{2(n-1)}(X \times Y) = H^{m-1}(X \times Y), \qquad m = \dim X \times Y . L_{X} \otimes 1 + 1 \otimes L_{Y}. Ça ~~\zeta_{X} \otimes 1 \,+~~ L_{X \times Y}(\Lambda_{X}\varphi_{*}) Les deux mots après « qui » ne se lisent pas ; l'égalité \sum_{i} H^{2(n-1)-i}(Y) \otimes H^{i}(X) = \dots est écrite en interligne, au-dessus de la ligne courante. L_{X} \otimes 1 + 1 \otimes L_{Y} est l'écriture de L_{X \times Y}.

\Lambda_{X}\varphi_{*}L_{Y} + L_{X}\Lambda_{X}\varphi_{*} = (\Lambda_{X}L_{X} + L_{X}\Lambda_{X})\,\varphi_{*} = (\varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*} + \mathrm{id}_{X})\,\varphi_{*} Une première rédaction du second membre est biffée : \bigl(2\,\mathrm{id} - \sum_{n \leq i \leq 2n} p^{X}_{i}\bigr)\varphi_{*}. Les deux termes de gauche sont soulignés chacun d'une accolade ; sous la première il écrit \Lambda_{X}L_{X}\varphi_{*}, après un essai raturé.

(car p^{X}\varphi_{*} = 0) Un indice porté sous p^{X} ne se lit pas ; la ligne biffée ci-dessus le faisait courir sur n \leq i \leq 2n.

Donc algébriques. Donc

C(X) \Longleftrightarrow \bigl[\,C(Y) \text{ et } A^{\circ}(X \times Y)\,\bigr]

puis en

C(X) \Longrightarrow \bigl(A^{\circ}(X \times Y) \text{ et } A^{\circ}(Y \times Z) \text{ et } A^{\circ}(Z \times T) \dots\bigr)

X \supset Y \supset Z \supset T \dots

discussion de singulières.

Lettre à Coates, 4 janvier 1967 (pages 43 à 46)

Carbone d'une lettre dactylographiée en anglais, sans signature ; la date « 4.1.67 » est portée de sa main en haut à droite de la page 43. Les lettres grecques et quelques flèches manquent à la frappe et sont encrées à la main ; là où il ne les a pas encrées, la transcription les laisse manquer. Ses propres mots restent en anglais ; la Proposition et son Corollaire sont en français dans le tapuscrit. Les fautes de frappe sont les siennes et ne sont pas corrigées.

Dear Coates,

I want to add a few more comments to the talk on algebraic cycles and to what I told you on the phone.

I think the best will be to state the index conjecture right after the statement of the main results of Hodge theory, adding that this conjecture will take its whole significance only when coupled with « conj.A » in the next paragraph. This will give more freedom in the next paragraph to express some extra relationships between various conjectures, such as A + \text{index} implies B.

In car. zero, state some known extra features: index theorem holds, the ~~conjectures~~ propositions A_{\chi} to D_{\chi} are independant of \chi (because of the existence of Betti cohomology, so that these ~~conjectures~~ propositions are equivalent to the corresponding one's for rational cohomology), ~~and~~ A and C are independant of the choosen polarization x (for A because it is equivalent with B, for C because it can be expressed in terms of A, C(X) = (A(X \times X) + A(Y \times Y) + \dots) « propositions » est ajouté de sa main au-dessus de « conjectures », aux deux endroits. La parenthèse ouverte devant A(X \times X) n'est pas refermée.

Thus the ~~conjectures~~ conditions without ambiguity can be called A(X) to D(X), without ~~index~~ subscript \chi and without indication of polarization. « conditions » et « subscript » sont frappés à la machine au-dessus des mots qu'ils remplacent. Say too that it is known that C(X) is of finite dimension over \mathbb{Q}, (so that A can also be expressed in terms of an equality of dimensions of C^{i} and C^{n-1}_{\chi}, which again proves it is independant of ), bu that this is not known in car p > 0. Contrarily to what I hastily stated in my talk (influenced from my recollections of the car 0 case) it is not clear to me if in car p > 0 the ~~conditions~~ A_{\chi}(X, \xi) and C_{\chi}(X, \xi) are independant of the polarization \xi ; if you do not find some proof of this independance, then the possible dependance should be pointed out, as well as the fact that ~~a priori~~ we do not have a proof that A to D are independant of \chi. Of cour-

se, if the index theorem is proved for X, then A_{\chi}(X, \xi) = B_{\chi}(X) is again independant of the polarization, and analoguous remark for C_{\chi}(X, \xi).

When speaking about condition C_{\chi}(X, \xi), emphasize at once its stability properties by products (the proof I suggested works indeed) specialization (with possible change of characteristics), hyperplane or more generally linear sections. Give an extra proposition for the relations with the property A, via a formal proposition as follows:

Proposition Condititions équivalentes sur X (variété polarisée) : « Proposition » et « polarisée » sont soulignés à la machine ; « Condititions » est de lui.

(i)C_{\chi}(X) (ii)C_{\chi}(Y) et A_{\chi}(X \times X)^{\equiv}, (ii bis)C_{\chi}(Y) et A_{\chi}(X \times X)^{0}, où l'exposant ^{0} signifie qu'on se borne à exprimer la condition A pour l'homomorphisme en dimension critique H^{2n-2} \longrightarrow H^{2n+2}. (iii)C_{\chi}(Y) et A_{\chi}(X \times Y). (iii bis)C_{\chi}(Y) et A_{\chi}(X \times Y)^{0}, où l'exposant ^{0} signifie qu'on se borne à exprimer la condition A en dimension critique H^{(2n-1)-1} \longrightarrow H^{(2n-1)+1}. (iv) C_{\chi}(Y), et pour tout i \leq n-1, l'homomorphisme naturel H^{i}(Y) \to H^{i}(X) inverse à gauche de \varphi^{i} : H^{i}(X) \to H^{i}(Y) (induit par \Lambda_{X}\varphi_{*}) est induit par une classe de correspondance algébrique (induisant ce qu'elle veut sur les autres H^{j}(Y)). (iv bis)C_{\chi}(Y), et pour j \geq n+1, l'homomorphisme naturel H^{j}(X) \to H^{j-2}(Y) inverse à droite de \varphi_{j-2} : H^{j-2}(Y) \to H^{j}(X) ~~est~~ (induit par \varphi^{*}\Lambda_{X}) est induit par une classe de correspondance algébrique (induisant ce qu'elle veut sur les autres H^{i}(X)).

Corollaire Ces conditions équivalent aussi à

(v)A_{\chi}(X \times X)^{0} + A_{\chi}(Y \times Y)^{0} + A_{\chi}(Z \times Z)^{0} + \quad, où X \supset Y \supset Z est une suite décorissante de sections hyperplanes. Deux mots ajoutés de sa main après « hyperplanes » ne se lisent pas. Les indices \chi du deuxième et du troisième terme ne sont pas encrés. (vi)A_{\chi}(X \times Y)^{0} + A_{\chi}(Y \times Z)^{0} + \dots, avec les mêmes notations.

Of course, the products and hyperplane sections are endowed with the polarizations stemming from the polarization on X. The conditions (v) and (vi) have tthe slight interest that they allow to express the conjecture A(k) = C(k) in terms of A(T)^{0} for every T of even (resp. odd dimension), where the upper ^{0} means that it is sufficient to look at what happens in critical dimensions.

For thenproof of the proposition, I told you already the equivalence of (i) and (ii), (ii bis). The equivalence of (iv) and (iv bis) is trivial by transposition, they ~~are of course implied by (i) because of the stabilities, because C_{\chi}(X) C_{\chi}(Y)~~ imply (i) because H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X) is the compositum H^{2n-i}(X) \longrightarrow H^{2n-i-2}(Y) \longrightarrow H^{i}(Y) \longrightarrow H^{i}(X) where the extreme arrows are the ones of (iv bis) and (iv) and the middle one is induced by \Lambda_{Y}^{(n-1)-i}, and they are implied by (iii bis) because of the formula (\Lambda_{X}\varphi_{*})\,L_{Y} + L_{X}\,(\Lambda_{X}\varphi_{*}) = (\varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*} + \mathrm{id}_{X})\,\varphi_{*} . L'exposant de \Lambda_{Y} est frappé au-dessus de la ligne. Devant la formule, deux caractères sont biffés. On the other hand (iii) \Longrightarrow (iii bis) is trivial, and so is (i) \Longrightarrow (iii) because of the stabilities.

N.B. (\varphi^{*}\Lambda_{X})L_{X} + L_{Y}(\varphi^{*}\Lambda_{X}) = \varphi^{*}(\varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*} + \mathrm{id}_{X})

For the list of the known facts, you can state that :

1) In arbitrary caracteristics, C(X) is known if \dim X \leq 2, because more generally, it is known that in arbitray dimension n, H^{2n-1}(X) \to H^{1}(X) is induced by an algebraic correspondance class; also, in arbitray dimension, it is known that \pi_{0}, \pi_{2n}, \pi_{1}, \pi_{2n-1} are algebraic (trivial for the first two, not quite trivial for the two next one's). If \dim X = 3, it is not known however, even in car 0, if C(X) or only D(X) hold, nor A(X) and B(X) in car. p > 0;

also if for 1-cycles, \tau-équi. = numér. équivalence …

By the way, the fact that the \pi_{i} for a surface are algebraic was pointed out (Tate tells me) by Hodge in Algebraic correspondances between surfaces, Proc. London Math. Soc. Seeies 2, Vol XLIV, 1938, p.226. It is rather striking that this statement should not have struck the algebraic geometers more, and has fallen into oblivion for nearly thirty years ! « nearly » est ajouté de sa main au-dessus de la ligne.

2) In car.0, A(X) is known for \dim X \leq 4. But A(X)^{0} is not known if \dim X = 5; the first interesting case would be for a variety X \times Y, X of dim 3 and Y a hyperplane section, as this would prove C(X), see above.

Thus the main problems arise already for 1-cycles on threefolds, and partially even in car.0. Urged by Kleimann's question, I will look again at my old scribbles on that subject (when I pretend to reduce the « strong » form of Lefschetz to the « week » one). As for the suggestion I made on the phone, to try to get any X as birationally equivalent to a non singular X', which is a spcialisation of a non singular X'', itself birationally equivalent to a non singular hypersurface — this cannot work as Serre pointed out, because such an X would have to be simply connected ! Thus if one wants to reduce somehow to the case of hypersurfaces, one will have to work also with singular ones, and see how to reformulate for singular varieties the standard conjectures …

Sincerely your's

Lettre à Coates, 6 janvier 1966 (pages 47 à 49)

Second carbone, même présentation, la date « 6.1.1966 » de sa main en haut à droite de la page 47. La première lettre porte « 4.1.67 » : on transcrit les deux dates telles qu'elles sont écrites, sans les concilier.

Dear Coates,

Here a few more comments to my talk on the conjectures. The following proposition shows that the conjecture C_{\chi}(X) is independant of the choosen polarization, and has also some extra interest, in showing the part playd by the fact that H^{i}(X) should be « motive-theorietically » isomorphic to its natural dual H^{2n-i}(X) (as usual, I drop the twist for simplicity).

Proposition The condition C(X) is equivalent also to each of the follwing conditions: L'indice de C n'est pas encré ; partout ailleurs la lettre est \chi. « each of » est frappé au-dessus de la ligne.

a)D_{\chi}(X) horlds, and for every i < n, there exists an isomorphism H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X) which is algebraic (i.e. induced by an algebraic correspondance class; we do not make any assertion on what it induces in degrees different from 2n-i). b)For every endomorphism H^{i}(X) \to H^{i}(X) which is algebraic, the coefficients of the characteristic polynomial are rational, and for every i < n, there exists an isomorphism H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X) which is algebraic.

Dans a) et dans b), « < n » est ajouté de sa main au-dessus du « i ».

Proof. I sketched already how D_{\chi}(X) implies the fact that for an algebraic endomorphism of H^{i}(X), the coefficients of the characteristic polynomial are rational, Therefore we know that a) implies b), and of course C_{\chi}(X) implies a). It remains to prove that b) implies C_{\chi}(X). Let u : H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X) be the given isomorphism which is algebraic, and v : H^{i}(X) \to H^{2n-i}(X) an algebraic isomorphism in the opposite direction, induced by L_{X}^{n-i}. Then uv = w is an automorphism of H^{i}(X) which is algebraic, and the Hamilton-Cayley formula u^{b} - \sigma_{1}(w)\,u^{b-1} + \dots + \struck{(\pm 1)} (-1)^{b}\sigma_{b}(w) = 0 (where the \sigma_{i}(w) are the coefficients of the car. pol. of w) whos that w^{-1} is a linear combination of the w^{i}, with coefficients of the type \pm\,\sigma_{i}(w)/\sigma_{b}(w) (NB b = \operatorname{rank} H^{i}). The assumption implies La formule de Hamilton-Cayley est écrite en u alors que ses coefficients sont ceux de w ; on transcrit tel quel.

that these coefficients are rational, which implies that w^{-1} is algebraic, and so is w^{-1}u = v^{-1}, which was to be proved.

NB In char. 0, ~~it is~~ the statement simplifies to: C(X) equivalent to the existence of algebraic isomorphisms H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X), (as the preliminarxy condition in b) is then automatically satisfied). Maybe with some extra care this can be proved too in arbitrary characteristics.

Corollary Assume X and X' satisfy condition C_{\chi}, and let u : H^{i}(X) \to H^{i+2j}(X') (j \in \mathbb{Z}) be an isomorphism which is algebraic. Then u^{-1} is algebraic. « (j \in \mathbb{Z}) » est ajouté de sa main au-dessus de la ligne.

Indeed, the two spaces can be identified « algebraically » (both directions !) to their dual, so taht the transpose of u can be viewed as an isomorphism u' : H^{i+2j}(X') \to H^{i}(X). Thus u'u is an algebraic automorphism w of H^{i}(X), and by the previous argument we see that w^{-1} is algebraic, hence so is u^{-1} = w^{-1}u'. « algebraic » et le nom « w » sont ajoutés de sa main au-dessus de la ligne.

As a consequence, we see that if x \in H^{i}(X) is such that u(x) is algebraic (i being now assumed to be even), then so is x. The same result should hold in fact if u is a monomorphism, the reason being that in this case there should exist a left-inverse which is algebraic; this exists indeed in a case like H^{n-1}(X) \to H^{n-1}(Y) (where we take the left inverse \Lambda_{X}\varphi_{*}). But to get it in general, it seems we need moreover the Hodge index relation. (The complete yoga then being that we have the category of motives which is semi-simple !). Without speeking of motives, and staying down on earth, it would be nice to explain in the notes that C(X) together with the index relation I(X \times X) implies that the ring of correspondance classes for X is semi-simple, and how one deduces from this the existence of left and right inverses as looked for above.

This could be given in an extra paragraph (which I did not really touch upon in the talk), containing also the deduction of the Weil conjectures from the conjectures C and A.

A last and rather trivial remark is the following. Let's introduce x variants A'_{\chi}(X) and A''_{\chi}(X) as follows:

A'_{\chi}(X) : if 2i \leq n-1, any element x of H^{i}(X) whose image in H^{i}(Y) is algebraic, is algebraic. « x » est ajouté de sa main au-dessus de « element ».

A''_{\chi}(X) : if 2i \geq n-1, any element of H^{i+2}(X) is the image of an algebraic element of H^{i}(Y). La ligne est refaite : « algebraic » est ajouté de sa main au-dessus, et tout ce qui sépare « element » de « H^{i+2}(X) », puis le début de la ligne suivante, sont biffés à la machine.

Let us consider also the specifications A'_{\chi}(X)^{0} and A''_{\chi}(X)^{0}, where we restrict to the crittval dimensions 2i = n-1 if n odd, 2i = n-2 if n even. All these conditions are in the nature of « week » Lefschetz relations, and they are trivially implied by A_{\chi}(X) resp. C_{\chi}(Y) (in the first case, applying \varphi we see that L_{X}x is algebraic; in the second, we take y = \Lambda_{Y}\varphi^{+}(x)). The remark then is that these pretendedly « week » variants in fact imply the full Lefschetz relations for algebraic cycles, namely:

Proposition C_{\chi}(X) is equivalent to the conjunction C_{\chi}(Y) + A'_{\chi}(X \times X)^{0} + A''_{\chi}(X \times X)^{0}, hence (by induction) also to the conjunction of the conditions A'^{\,0}_{\chi} and A''^{\,0}_{\chi} for all of the varieties X \times X, Y \times Y, Z \times Z … Analoguous statement with X \times Y, Y \times Z etc instead of X \times X, Y \times Y etc.

This comes from the remark that A_{\chi}(X)^{0} follows from the conjuction of A'_{\chi}(X)^{0} and A''_{\chi}(X)^{0}, as one sees by decomposing L_{X}^{2} : H^{2m-2}(X) \to H^{2m+2}(X) into H^{2m-2}(X) \xrightarrow{\ \varphi^{*}\ } H^{2m-2}(Y) \xrightarrow{\ \varphi_{*}\ } H^{2m}(X) \xrightarrow{\ L_{X}\ } H^{2m+2}(X) if \dim X = 2m is even, and H^{2m+1-1}(X) \to H^{2m+1+1}(X) into H^{2m}(X) \xrightarrow{\ \varphi^{*}\ } H^{2m}(Y) \xrightarrow{\ \varphi_{*}\ } H^{2m+2}(X) if \dim X = 2m+1 is odd. Les noms des flèches, \varphi^{*}, \varphi_{*} et L_{X}, sont écrits de sa main au-dessus de chacune. Une phrase entière est biffée à la machine après « the remark that ».

Sincerely your's

Lemme : un anneau d'endomorphismes qui contient L (pages 50, 52 et 54)

Trois feuillets de sa main, écrits au dos de la « Tribu » n° 65 de Bourbaki. C'est vraisemblablement la suite des « old scribbles » que la lettre de la page 46 promet de reprendre : la réduction de la forme forte de Lefschetz à la forme faible. X est de dimension n et H^{*}(X) sa cohomologie totale ; \zeta est l'opérateur donné, que la conclusion identifie à L, et p_{i}, P^{i} sont les projections sur H^{i} et sur sa partie primitive.

Lemme Soit A un anneau d'endomorphismes du gpe abélien H^{*}(X), stable par composantes homogènes (deg. tot.), par transposition. Supposons \zeta \in A, et que pour tout 0 \leq i < n, il existe u_{i} \in A, tel que u_{i}\,\zeta^{n-i} : H^{i}(X) \longrightarrow H^{2n-i}(X) \longrightarrow H^{i}(X) soit l'identité. Alors A contient L, et les projections sur les facteurs élémentaires \zeta^{j}P^{i} (i \leq \uncertain{n}, et j \leq n-i). « Supposons \zeta \in A, et » est ajouté en interligne à droite ; une seconde insertion, au-dessus de « tel que », ne se lit qu'en partie : 2n - 2(n-i)). « tel que » est encadré.

()

Corollaire Conditions équivalentes :

(i)L algébrique (ii) et 1 \leq i \leq n, il existe une corr. alg. induisant H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X) inverse de \uncertain{\zeta^{i}}.

~~(iii)~~ S'il en est ainsi, alors les projections sur les facteurs élémentaires de H^{*}(X), sont algébriques, et les projections H^{*}(X) \to H^{i}(X), aussi.

Dém. du lemme. Comme A stable par transposition, il suffit de regarder les \zeta^{j}P^{i}, pour i + 2j \leq n. Soit k = i + 2j, — procédons par récurrence sur k, trivial si k < 0.

Supposons k \geq 0, et le pour k' < k. On sait déjà que les p_{i} : H^{\uncertain{*}}(X) \to H^{i}(X) sont \in \mathrm{Alg} pour i < k, donc (transp.) pour i > 2n-k. Soit T_{k} = \mathrm{id} - \sum_{i<k} p_{i} - \sum_{j>2n-k} p_{j} ; donc T_{k} \in A, plus gén. T_{k'} \in A si k' \leq k. Alors \zeta^{n-k}T_{k} est nul sur H^{j}, j \neq k, et induit H^{k} \xrightarrow{\ \zeta^{n-k}\ } H^{2n-k}, donc u_{k}\,\zeta^{n-k}\,T_{k} = p_{k}.

D'autre part, si i + 2j = k, j > 0, les projections sur \zeta^{j}p^{i} sont aussi \in A, comme voit ~~aussitôt~~ par récurrence ascendante sur i (ou descendante sur j) ainsi : si i < 0 rien à prouver. Si i pour les i' < i, \zeta^{n-k+j}T_{k}, qui nul sur H^{\alpha} pour \alpha \neq k, et induit H^{k} \xrightarrow{\ \zeta^{n-k+j}\ } H^{2n-k+2j}, est nul sur les facteurs \zeta^{j'}p^{i'} pour j' < j, (et sur les facteurs \zeta^{j'}p^{i'} avec j' \geq j (i.e. i' \leq i), ~~coïncide avec 1~~) \zeta^{j}H^{k-2j}, \zeta^{n-(k-2j)}. Donc l'homom. H^{k-2j} \xrightarrow{\ \zeta^{j}\ } \zeta^{j}H^{k-2j} et u_{k-2j}\,\zeta^{n-k+j}\,T_{k} ; nul sur N, et sur \zeta^{j}H^{k-2j} induisant H^{k-2j} \xrightarrow{\ \sim\ } \zeta^{j}H^{k-2j}. Donc Cette page est écrite très vite : les formules portent, la prose qui les relie souvent non. Une insertion en interligne, au-dessus de la flèche H^{k} \to H^{2n-k+2j}, se termine par « des mêmes N, » et ne se lit pas autrement ; N n'est défini nulle part sur ces trois feuillets.

\zeta^{j}u_{k-2j}\,\zeta^{n-k+j}\,T_{k} n'est autre que la projection de H^{\alpha} sur \zeta^{j}H^{k-2j}, des \zeta^{j'}p^{i'} pour i' + 2j' = k, j' \geq j ; ~~car~~ comme les projections ~~sur~~ partielles sur \zeta^{j'}p^{i'}, j' > j, sont \in A, = la projection sur \zeta^{j}p^{i}, par différence.

Ceci prouve le lemme.