Cote n° 16 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Formalisme algébrique des correspondances et algèbres de Poincaré-Hodge (cf conjectures standard) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (s.d.), lettres (1966-1967)
Datation de l’inventaire : 1966-1967
Édition de démonstration

\(L^{n}_{0}\), \(\Lambda\), et une algèbre de dimension 6 (page 21)

Feuillet au crayon, écrit vite et biffé aux trois quarts. Les formules se lisent, la prose qui les relie souvent pas ; l'apparat le dit à chaque fois. Le titre de la section est de l'éditeur.

21[…] \(\xi^{2n}\) […]

Le haut du feuillet est barré de grandes boucles et n'a pas été lu. La marge supérieure droite porte une indication du même genre, également biffée.

\[ L^{n}_{0} = L^{n}_{0}\,\pi_{0} = L^{n}_{0}\,\Lambda'^{\,n} L'^{\,n} = L^{n}_{0}\,(\beta \Lambda^{n}_{0})(\alpha L^{n}_{0}) \] \[ = L^{n}_{0}\,\alpha\beta\,\pi_{0} = \alpha\beta\,L^{n}_{0} \] donc \(\alpha\beta = 1\), […] \(\alpha\) et \(\beta\) […]

Au-dessus de la première ligne, une note interlinéaire, non lue, qui paraît poser \(L'^{\,n} = \alpha L^{n}_{0}\) et \(\Lambda'^{\,n} = \beta \Lambda^{n}_{0}\), ce que la suite du calcul demande.

Donc \(L'\) de Lefschetz \(\Longrightarrow\) \(L^{n}\) un bon […] \(\xi^{2n}\), \(\overline{\Lambda}\) un bon […] \(\xi^{-2n}\)

Les deux mots soulignés sur la page, qu'on lirait volontiers « une base de », ne se laissent pas assurer ; le reste de la phrase, y compris ce que \(L^{n}\) et \(\overline{\Lambda}\) sont censés y être, n'a pas été lu.

[…] On ne demande […] que \(\xi\) […] où […] \(\xi\) est projectif de type fini […] \(k\). Ce […] tel quel, p. ex. […] \(= \uncertain{\mathcal{L}(M^{*})}\), \(M^{*}\) gradué […] degrés \(0 \le i \le 4\) —

Mais ça […] plus précises, […] de degré 2 […]

Lefschetz, pas […] de dim. 6 […] de degré 2 […] les relations \[ L^{4} = 0, \quad L'^{\,2} - LL' = 0, \quad L^{2}L' - L^{3} = 0, \quad L^{3}L' = 0, \] donc si […] \[ 1 \ \| \ L,\ L' \ \| \ L^{2},\ LL' \ \| \ L^{3} \qquad (\deg : \ 0 \quad 2 \quad 4) \] \(L\) est Lefschetz, bien que \(L'\) ne l'est pas, bien que \(L'^{\,3} = L^{3}\) !

Les traits doubles séparent les composantes homogènes, dont les degrés \(0\), \(2\), \(4\) sont portés dessous ; \(L^{3}\), de degré \(6\), n'est pas étiqueté sur la page. « ne l'est pas » est écrit ainsi, sans accord avec « bien que ».

Algèbres de Hodge (pages 24 à 28)

Le titre « Algèbres de Hodge » est de sa main : il figure seul en tête d'un feuillet par ailleurs vierge (page 30), qui sert de chemise à ces trois leçons et ne reçoit donc pas de numéro de page ici. Dans tout ce qui suit \(\varphi\), \(\psi\), \(Q\), \(\chi\) sont des formes sur \(V\) et sur \(W\), et n'ont rien à voir avec l'immersion \(\varphi\) du formulaire qui suit.

24Algèbres de Hodge d'ordre 2

\[ \begin{array}{ccccc} H^{0} & H^{1} & H^{2} & H^{3} & H^{4} \\ k & V & k\xi + W & \check{V} & k\xi^{2} \end{array} \]

\[ \Lambda^{2}V \xrightarrow{\ \alpha\ } k\xi + W, \qquad \alpha(x \wedge y) = \varphi(x,y)\,\xi + \psi(x,y) \] \[ \mathrm{Sym}^{2}(W) \xrightarrow{\ \beta\ } k\xi^{2}, \qquad \beta(xy) = Q(x,y)\,\xi^{2} \]

avec \(\varphi(x,y)\) forme alternée, \(\psi(x,y)\) forme bilinéaire alternée à valeurs dans \(W\), \(Q\) forme bilinéaire symétrique sur \(W\).

[…] La connaissance de \(V\), \(W\), \(\varphi\), \(\psi\), \(Q\) permet de reconstituer \(H^{*}\) : [à] isom. canonique près.

\(H^{0} \times H^{i} \to H^{i}\) : clair, pour \(1 \cdot x = x \cdot 1 = x\).

\(H^{1} \times H^{i} \to H^{i+1}\) :

\(H^{2} \times H^{i'} \to H^{i'+2}\), \(i' = 2\) :

\((*)\) On pose \(\tilde\varphi : V \to \check{V}\), avec \(\langle x, \tilde\varphi(y)\rangle = \varphi(x,y)\).

Quels que soient les choix de \(\varphi\), \(\psi\), \(Q\), […] donnent une loi de composition anticommutative, admettant \(1\) comme unité.

Condition d'associativité : s'écrit \((xy)(tz) = (tx)(yz)\), sous la forme \[ \varphi(x,y)\varphi(t,z) + Q(\psi(x,y), \psi(t,z)) = \varphi(t,x)\varphi(y,z) + Q(\psi(t,x), \psi(y,z)) \]

exprime aussi que la forme […] \(x\,y\,z\,t\) est […] \((xy)(zt)\) […] \(y^{2}\) […] […]

Condition de Lefschetz :

Condition de Poincaré :

« tjrs » abrège toujours, « sss » si et seulement si, « non dég. » non dégénérée. Les deux critères encadrés sur la page sont ici mis en valeur par la mise en liste.

26Cas particulier : celui où \((xy)(zt) = 0\) [quels que soient \(x, y, z, t\)], i.e. \((H^{1})^{\struck{\otimes}3} = 0\) dans \(H^{4}\) ! i.e. l'image de \(\alpha : \Lambda^{2}V \to k\xi + W\) est […] isotrope de \(k\xi + W\).

[…] Par exemple, si \(W\) […], dans le cas […] des […] est nécessairement ainsi […]

Plus généralement, considérons la forme 4-linéaire alternée \(\chi\) définie par \[ x\,y\,z\,t = \chi(x,y,z,t)\,\xi^{2} \qquad (x,y,z,t \in V) \] Alors la forme [bilinéaire] induite par la forme \(Q \oplus 1\) (sur \(k\xi + \uncertain{V}\)) sur \(\Lambda^{2}V\) par \(\alpha\), qui définit une forme forme linéaire sur \(\mathrm{Sym}^{2}(\Lambda^{2}V)\), se factorise […], \(\Lambda^{2}V\) exprimant \(\chi\), et […] d'où les données

  1. a)\(V\) vect. (de dim. finie) sur \(k\)
  2. b)\(\varphi : \Lambda^{2}V \to k\)
  3. b)\(\chi : \Lambda^{4}V \to k\), définissant une forme linéaire symétrique \(\chi'\) sur \(\Lambda^{2}V\)
  4. c)un vectoriel \(\tilde W\), avec une forme quadratique [bil. sym.] \(\tilde Q\), et une application linéaire \[ \Lambda^{2}V \xrightarrow{\ \alpha\ } \tilde W \] compatible avec \(\chi'\), \(Q\) [i.e. disant que \(\tilde W\), \(\tilde Q\) […]] déduites de la forme \(\chi'\)
  5. d)un élément \(\xi\) de \(\tilde W\), tel que \(Q(\xi,\xi) = 1\).

Conditions de non-dégénérescence :

28Exemple. Prenons pour […] dég. […]

Alors \(\chi\) […] forme […] sur \(\Lambda^{2}V\) […]

Ex. Prenons \(\chi'\) non dégénérée, […] \(\alpha = \mathrm{id}\), i.e. \(\tilde W = \Lambda^{2}V\). Alors on choisit un \(\xi \in \tilde W = \Lambda^{2}V\) donné n'importe quelle \(\varphi\) voulue, à un facteur scalaire, donc n'importe quelle \(\check\varphi \in \Lambda^{2}\check{V}\) non dégénérée, à un facteur scalaire. Considérons alors \(\check\varphi\) comme élément de \(\Lambda^{2}\check{V}\) l'algèbre \(\check\Lambda V \otimes \check\Lambda V\) [en écrivant \(\Lambda^{2}V \subset \uncertain{V} \otimes V\)] et \(\check\varphi^{\,2}\) comme élément de \(\Lambda^{2}\check{V} \otimes \Lambda^{2}\check{V}\) (qui \(\in \Lambda^{4}\check{V}\)) \(\subset \check\Lambda V \otimes \check\Lambda V\) ; le carré de \(\check\varphi\) de \(\Lambda^{2}V\) (à l'image de \(\check\varphi^{\,(2)}\) prise par \(\Lambda^{2}V \otimes \check\Lambda V \to \Lambda^{4}V\)). Utilisant la forme \(Q = Q_{\chi'}\), définie par \(\chi'\), on voit que \(\check\varphi^{\,(2)}\) définit un endom. de \(\Lambda^{2}V\), soit \(u\). Je dis que l'orbite sous \(u\) des éléments \(\xi\) et \(\check\varphi\) de \(\Lambda^{2}V\) peuvent jamais être infinis, si \(\dim V \ge 4\) (ou 6 ?) (\(W\) […] de dim. paire) […] et plusieurs […] de dim. non bornés (qui dès \(V\) […]).

La lettre majuscule que porte l'inclusion \(\Lambda^{2}V \subset \ldots \otimes V\) se lit aussi bien \(N\) que \(V\) ; on a écrit \(V \otimes V\), qui est ce que l'énoncé demande, et on le signale. Le passage final, sur la finitude de l'orbite, est une esquisse rapide dont la syntaxe ne se reconstitue pas.

Formulaire de \(L\), \(\Lambda\) (pages 32 à 39)

Le titre est de sa main, porté en tête d'un feuillet vierge (page 31) qui ouvre cette suite et ne reçoit pas de numéro ici ; le tapuscrit de la page 32 porte le même titre. Le tapuscrit écrit l'immersion \(Y \to X\) avec un O barré ; on l'a rendue partout par \(\varphi\), comme le fait sa propre main dans la suite manuscrite. Les corrections portées à l'encre sur le tapuscrit sont en [] ou en , ses renvois en .

32

Formulaire de \(L\), \(\Lambda\).

\(X\) variété projective lisse connexe polarisée par \(\xi_{X} \in H^{2}(X)\), \(L_{X}\) opération de cup-produit associée, \(\Lambda_{X}\) opération de degré \(-2\) correspondante, \(p^{X}_{i}\) les projections de \(H^{*}(X)\) sur les morceaux primitifs \(P^{i}(X)\) pour \(0 \le i \le 2n\), \(Y\) une section hyperplane lisse de \(X\), \(\xi_{Y} \in H^{2}(Y)\) la self-intersection (induite par \(\xi_{X}\)), d'où \(L_{Y}\), \(\Lambda_{Y}\), \(p^{i}_{Y}\) ; \(\varphi : Y \to X\) l'immersion, d'où \(\varphi^{*}\) et \(\varphi_{*}\).

A) On a \[\begin{align} \mathrm{Im}\ L_{X} &= \bigcap_{0 \le i \le n} \mathrm{Ker}\ p^{X}_{i}, & \mathrm{Ker}\ L_{X} &= \sum_{n \le i \le 2n} \mathrm{Im}\ p^{X}_{i}, \\ \mathrm{Im}\ \Lambda_{X} &= \bigcap_{n \le i \le 2n} \mathrm{Ker}\ p^{X}_{i}, & \mathrm{Ker}\ \Lambda_{X} &= \sum_{0 \le i \le n} \mathrm{Im}\ p^{X}_{i}, \end{align}\]

d'où en particulier les formules \[\begin{align} p^{X}_{i} L_{X} &= 0 \ \text{ si } 0 \le i \le n, & L_{X} p^{X}_{i} &= 0 \ \text{ si } n \le i \le 2n, \\ \uncertain{p^{X}_{i}}\, \Lambda_{X} &= 0 \ \text{ si } n \le i \le 2n, & \Lambda_{X} p^{X}_{i} &= 0 \ \text{ si } 0 \le i \le n, \end{align}\]

et en particulier \[\begin{equation} p^{X}_{n} L_{X} = L_{X} p^{X}_{n} = p^{X}_{n} \Lambda_{X} = \Lambda_{X} p^{X}_{n} = 0 . \end{equation}\]

Le \(p^{X}_{i}\) de la formule 2') est surchargé à l'encre ; la correction n'a pas été lue et l'indice typographié est conservé.

B) On a \[\begin{equation} \Lambda_{X} L_{X} = \mathrm{id}_{X} - \sum_{n \le i \le 2n} p^{X}_{i}, \qquad L_{X} \Lambda_{X} = \mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \le i \le n} p^{X}_{i}, \end{equation}\]

Les deux bornes de sommation de 4) sont repassées à l'encre sur le tapuscrit ; ce sont les valeurs corrigées qui sont transcrites.

d'où compte tenu de 1') et 2') les formules

4') \(\Lambda_{X} L^{2}_{X} = \bigl(\mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \le i \le 2n} p^{X}_{i}\bigr) L_{X}\), \(L^{2}_{X} \Lambda_{X} = L_{X}\bigl(\mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \le i \le 2n} p^{X}_{i}\bigr)\)

4'') \(L_{X} \Lambda_{X} L_{X} = L_{X}\,\ill{}\)

et formules « transposées ».

C) On a \[\begin{equation} \varphi_{*} \Lambda_{Y} \varphi^{*} = \mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \le i \le 2n} p^{X}_{i} \end{equation}\]

par 4) : \(= (\Lambda_{X} L_{X} + L_{X} \Lambda_{X}) - \mathrm{id}_{X} + p^{X}_{n}\)

d'où, compte tenu de 4''), 1') et 2') [posant] \[\begin{equation} T_{X} = \mathrm{id}_{X} + \varphi_{*} \Lambda_{Y} \varphi^{*}, \end{equation}\]

5') \(L_{X} \Lambda_{X} L_{X} = \ill{}\)

(donc \(\Lambda_{X} L_{X} + L_{X} \Lambda_{X} = T_{X} - p^{X}_{n}\)),

d'où compte tenu de 3[*]) la formule \[\begin{equation} L^{2}_{X} \Lambda_{X} + 2\,L_{X} \Lambda_{X} L_{X} + \Lambda_{X} L^{2}_{X} = \struck{L_{X}(\mathrm{id}_{X} + \varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*}) + (\mathrm{id}_{X} + \varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*})L_{X}} \ \add{L_{X} T_{X} + T_{X} L_{X}}, \end{equation}\] avec \(T_{X}\) \(= \mathrm{id}_{X} + \varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*}\) [donné par (6)].

Corollaire. \((A(X \times X)\) et \(C(Y))\) implique \(C(X)\).

On y peut remplacer \(A(X \times X)\) par \(A^{0}(X \times X)\) (correspondances « en dim. critique » \(H^{\uncertain{(2n+1)}-2} \to H^{\uncertain{(2n)}+2}\))

Les exposants de cette dernière note marginale sont surchargés et ne se laissent pas assurer ; ils sont donnés tels qu'ils se lisent, sous réserve.

33Prop.

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\struck{H}^{i}(X) \arrow[r, "L_{X}^{n-i+1}"] \arrow[d, "\varphi^{i}"'] & H^{2n-i+2}(X) \\
H^{i}(Y) \arrow[r, "L_{Y}^{n-i}"] & \uncertain{H^{2(n-1)-i}}(Y) \arrow[u, "\varphi_{*}"']
\end{tikzcd}

Les deux flèches verticales portent chacune un \(\simeq\) ; l'exposant de \(\varphi_{*}\) et celui du \(H\) en bas à droite sont surchargés et douteux. Le crochet de droite porte la condition \(i \le n-2\).

\[ i \le n-2 \ \Longrightarrow \ 2(n-1) - i \ge n \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
H^{j}(X) \arrow[d, "\varphi^{*}"'] \arrow[rd, "L_{X}"] & \\
H^{j}(Y) \arrow[r, "\sim"] & H^{j+2}(X)
\end{tikzcd}
\(j \ge n\)

[…] Non \(\to\) \[ H^{d}(X) = \struck{\ill{}} \coprod_{\substack{i+j \le n \\ i,j \ge 0}} L^{j}_{X} P^{i}(X) \ \oplus \coprod_{j \ge n} P^{j}(X) \] \[ H^{d}(Y) = \coprod_{\substack{i+j \le n-1 \\ i,j \ge 0}} L^{j}_{Y} P^{i}(Y) \]

Car \(\varphi^{*}\) induit un […] d'objets bigradués \[ \coprod_{\substack{i+j \le n-1 \\ i,j \ge 0}} L^{j}_{X} P^{i}(X) \] \[ P^{i}(X) \longrightarrow H^{d}(Y) = \coprod_{\substack{i+j \le n-1 \\ i,j \ge 0}} L^{j}_{Y} P^{i}(Y) \ ; \]

[…] : […], un bihomogène, i.e. \[ L^{0}_{X} P^{n-1}(X) = P^{n-1}(X) \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \varphi^{*} L^{0}_{Y} P^{n-1}(Y) = P^{n-1}(Y). \] cf. 2 : celui de \(L_{X}\), i.e. \(\coprod_{j \ge n} P^{j}(X)\) […]

Car le noyau de \(\varphi^{*}\) […] […]. Le conoyau […] \[ E^{n-1} = H^{n-1}(Y)/\mathrm{Im}\ H^{n-1}(X) = P^{n-1}(Y)/\mathrm{Im}\ P^{n-1}(X) \] \[ \simeq \mathrm{Ker}\bigl(\varphi_{*} : H^{n-1}(Y) \to H^{n+1}(X)\bigr) \]

35On aura donc, […] : \[ \text{(b)} \qquad H^{d}(Y) \simeq \coprod_{\substack{i+j \le n-1 \\ i,j \ge 0}} L^{j}_{X} P^{i}(X) \ \oplus\ E^{n-1} \]

L'opération \[ \varphi_{*} : H^{d}(Y) \longrightarrow H^{d+2}(X) \] s'interprète donc : \(L_{X}\) sur le morceau \(\coprod_{i+j \le n-1,\ i,j \ge 0} L^{j}_{X} P^{i}(X)\) des premiers morceaux de \(\alpha\)), (et est […] […]), et il est nul sur le morceau \(\coprod_{\ill{}} L^{j}_{X} P^{i}(X) \oplus E^{n-1}\), qui correspond \(\sum_{n-1 \le i \le 2(n-1)} P^{i}(Y)\). Ainsi

Corollaire. \[ \mathrm{Ker}\ \varphi_{*} \ \struck{=\ \ill{}}\ \simeq\ \mathrm{Ker}\ E^{n-1}(Y) \] \[ \mathrm{Im}\ \varphi_{*} = \mathrm{Im}\ \varphi_{*}\varphi^{*} = \mathrm{Im}\ L_{X} = \bigcap_{0 \le i \le n} \mathrm{Ker}\ p^{X}_{i} \] car \(H^{d}(Y) = \mathrm{Im}\ \varphi^{*} + E^{n-1}\) (la dernière formule, car […] \(E^{n-1}\), […] \(\varphi_{*}\) s'annule sur \(E^{n-1}\) […] — \(\varphi_{*}\varphi^{*} = L_{X}\)).

[…] variantes

On a \[ \varphi^{*} L_{X} = L_{Y} \varphi^{*}, \qquad L_{X} \varphi_{*} = \varphi_{*} L_{Y} \] \[ p^{X}_{i} \varphi_{*} = 0 \ \text{ si } 0 \le i \le n, \qquad p^{X}_{j} \varphi_{*} = \varphi_{*} p^{Y}_{j-2} \ \text{ si } \struck{n+1} \le i \le 2n \] \[ \varphi_{*} \varphi^{*} = L_{X}, \qquad \varphi^{*} \varphi_{*} = L_{Y} \] formules de projection.

Pour la dernière formule, […] […], donc il suffit de vérifier \((L_{X}\varphi_{*})\varphi^{*} = (\varphi_{*}L_{Y})\varphi^{*}\), i.e. \(L_{X}(\varphi_{*}\varphi^{*}) = \varphi_{*}(L_{Y}\varphi^{*})\) car les deux membres sont \(L^{2}_{X}\).

37A) Moyennant l'identification […] (\(\alpha\)), l'opération \(L_{Y}\) s'interprète : \(L_{X}\) sur le morceau \(\coprod_{i+j \le n-2,\ i,j \ge 0} L^{j}_{X} P^{i}(X)\), et […] le morceau \[ \coprod_{\substack{i+j = n-1 \\ i,j \ge 0}} L^{j}_{X} P^{j}(X) \ \oplus\ E^{(n-1)} \ = \ \coprod_{i \ge n+1} P^{j}(X) \ \oplus\ E^{(n-1)} \] (qui n'a d'[…] […] isomorphe par \(\coprod_{\ill{} \le i \le 2(n-1)} P^{i}(Y)\), […] il y a droit).

L'opération \(\Lambda_{Y}\) est nulle sur \(E^{n-1}\), et coïncide sur le morceau \(\coprod_{i+j = n-1,\ i,j \ge 0} L^{j}_{X} P^{i}(X)\) […] avec \(\Lambda_{X}\). Car vectoriellement \[ \coprod_{0 \le i \le n-1} P^{i}(X) + E^{n-1} \ \simeq\ \coprod_{0 \le i \le n-1} P^{i}(Y), \] […] et […] \(\Lambda_{Y}\) […] \[ \longrightarrow \coprod_{\substack{i+j \le n-2 \\ i,j \ge 0}} L^{j-1}_{X} P^{i}(X) . \]

\(\Lambda^{m}_{Y}\varphi^{*} = \varphi^{*}\Lambda^{m}_{X}(\mathrm{id} - \sum \ill{})\) […]

\[ \Lambda_{Y} \varphi^{*} = \varphi^{*} \Lambda_{X}\Bigl(\mathrm{id}_{X} - \sum_{n+1 \le j \le 2n} p^{j}_{X}\Bigr) = \Bigl(\mathrm{id}_{Y} - \struck{\sum_{n+1 \le j \le 2(n-1)}} p^{j}_{X}\Bigr) \varphi^{*} \Lambda_{X} \] \[ \varphi^{*} \Lambda_{X} p^{j}_{X} = p^{j-2}_{Y} \varphi^{*} \Lambda_{X} \struck{\ill{}} \quad \text{si } j \ge n+1 \] \[ \varphi_{*} \Lambda_{Y} = \Bigl(\mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \le i \le n-1} p^{i}_{X}\Bigr) \Lambda_{X} \varphi_{*} = \Lambda_{X} \varphi_{*} \Bigl(\mathrm{id}_{Y} - \sum_{0 \le i \le n-1} p^{i}_{Y}\Bigr) \] \[ p^{i}_{X} \Lambda_{X} \varphi^{*} = \Lambda_{X} \varphi^{*} p^{i}_{Y} = p^{i}_{X} \varphi_{*} \Lambda_{Y} \quad \text{si } 0 \le i \le n-1 \]

39On en conclut des premières […] que \[ \varphi_{*} \Lambda_{Y} \varphi^{*} = \underbrace{\varphi_{*}\varphi^{*} \Lambda_{X}}_{L_{X}\Lambda_{X}} \Bigl(\mathrm{id}_{X} - \sum_{n+1 \le j \le 2n} p^{j}_{X}\Bigr) = \underbrace{\mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \le j \le 2n} p^{j}_{X}}_{q} \]

Sous l'accolade de gauche, \(L_{X}\Lambda_{X}\), et sous elle encore \(= \mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \le i \le 2n} p^{X}_{i}\) ; l'accolade de droite nomme cet opérateur \(q\).

[Plus gén.] \[ \varphi_{*} \Lambda^{m}_{Y} \varphi^{*} = \struck{\ill{}} \Bigl(\mathrm{id} - \sum_{0 \le i \le n} p^{i}_{X}\Bigr) \Lambda^{m-1}_{X} \Bigl(\mathrm{id} - \sum_{n+1 \le j \le 2n} p^{j}_{X}\Bigr) = q\,\Lambda^{m-1}_{X}\,q \] où \(q = \mathrm{id} - \sum_{0 \le i \le 2n} p^{i}_{X}\).

Ainsi : \[ \varphi^{*} \Lambda_{X} \varphi_{*} = \mathrm{id}_{Y} - p_{E} \] où \(p_{E}\) est la projection sur la partie supplémentaire \(E^{n-1}\), d'[…], […] multiplié par \(\Lambda_{Y}\) à gauche, comme \(\Lambda_{Y} p_{E} = 0\) : \[ \Lambda_{Y} = \Lambda_{Y} \varphi^{*} \Lambda_{X} \varphi_{*} = \varphi^{*} \Lambda_{X} \Bigl(\mathrm{id}_{X} - \sum_{n+1 \le j \le 2n} p^{j}_{X}\Bigr) \Lambda_{X} \varphi_{*} \] donc \[ \boxed{\ \Lambda_{Y} = \varphi^{*} \Lambda^{2}_{X} \varphi_{*}\ } \]

L'accolade au-dessus du facteur central porte \(= 0\) pour le terme soustrait ; c'est ce qui donne la formule encadrée.

Donc \(C(X)\) implique \(C(Y)\).

Soient \(p^{i,j}_{X}\) les projections […] sur les \(L^{j}_{X} P^{i}(X)\) (\(i+j \le n\), \(i,j \ge 0\)). Alors \[ \varphi_{*}\, p^{i,j}_{Y}\, \varphi^{*} = p^{i,j+1}_{X} \qquad \text{pour } 0 \le i+j \le n-1,\ i,j \ge 0 \ \struck{\ill{}} \] dans le cadre de \(D(Y)\), ce qui implique que les \(p^{i,j}_{X}\) sont […] algébriques pour […] de \(i+j \le n\), \(i \ge 0\) et \(j \ge 1\), i.e. les mêmes […] […] \(p^{i}_{X}\) pour \(0 \le i \le \struck{2n}\). Mais

Le feuillet s'arrête sur ce « Mais ». La page 40 étant un tapuscrit étranger, la suite est la page 41, qui reprend la même discussion de \(C(X)\) et de \(C(Y)\).