Sur certains anneaux gradués
Le titre est celui qu'il inscrit, souligné, en tête du feuillet 2, qui
porte aussi sa pagination « 1 ». La suite court sans interruption jusqu'au
feuillet 17, paginée de sa main 1 à 15, avec un « 5 bis » au feuillet 7 ; sa
pagination est rappelée page par page, parce que ses renvois internes s'y
réfèrent.
sa page 1
Soit k anneau (commut.) fixé.
1. Soient k un anneau, M^{*} un k-module gradué (à graduation
), \mathcal{E}^{*} un sous-anneau de l'anneau une algèbre
graduée d'endomorphismes de M^{*}. On désigne par \pi_{i} la projection
canonique de M^{*} sur M^{i}. et On suppose que l'on a :
(1.\ill{}) \qquad \pi_{i} \in \mathcal{E}^{*} \quad \text{pour tout } i .
L'étiquette de cette formule est réécrite par-dessus une autre et
n'est plus lisible ; le second chiffre pourrait être un 2. Les étiquettes
(1.1), (1.2), (1.3), (1.4) sont, elles, sûres.
Cela implique que \mathcal{E}^{*} est un sous-algèbre
anneau graduée de l'algèbre graduée des
\operatorname{End}(M^{*}) (dont la graduation est définie, si l'on veut, par
\operatorname{End}^{(\nu)}(M) = \textstyle\sum \operatorname{Hom}(M^{i}, M^{i+\nu})
ou de façon équivalente
\operatorname{End}^{(\nu)}(M) = \textstyle\sum_{i} \pi_{i+\nu} \operatorname{End}(M^{*})\, \pi_{i} ,
la composante homogène de degré \nu d'un endomorphisme u de M^{*} étant
\struck{\mathrm{gr}}\ \mathrm{pr}_{\nu}(u) = \textstyle\sum_{i} \pi_{i+\nu}\, u\, \pi_{i} .
La graduation de \mathcal{E}^{*} est définie (intrinsèquement, en termes de la
donnée des \pi_{i}), par
(1.3) \qquad \text{a)}\ \ \mathcal{E}^{(\nu)} = \sum_{i} \pi_{i+\nu}\, \mathcal{E}^{*}\, \pi_{i} , \qquad \text{b)}\ \ \mathrm{pr}_{\nu}\, u = \sum_{i} \pi_{i+\nu}\, u\, \pi_{i} ,
et
(1.4) \qquad u \in \mathcal{E}^{(\nu)} \iff u\, \pi_{i} = \pi_{i+\nu}\, u \quad \text{pour tout } i .
Noter les relations
(1.1) \qquad \begin{cases} \pi_{i}^{2} = \pi_{i} \\ \pi_{i} \pi_{j} = 0 \ \text{ si } i \neq j \\ \sum_{i} \pi_{i} = 1 \end{cases}
2. Soit \mathcal{E}^{*} un k-algèbre anneau gradué, et soient
\pi_{i} (i \in \mathbb{Z}) nuls sauf un nombre fini des éléments de
\mathcal{E}. À quelles conditions les formules (1.3) définissent-elles
sa page 2
sur \mathcal{E}^{(\nu)} une structure d'algèbre anneau gradué ?
Il suffit que l'on ait les relations (1.1.)
\begin{cases} \pi_{i}^{2} = \pi_{i} \\ \pi_{i} \pi_{j} = \pi_{j} \pi_{i} = 0 \ \text{ si } i \neq j \\ \sum_{i} \pi_{i} = 1 \end{cases}
qui impliquent que les \mathrm{pr}_{\nu}^{\mathcal{E}} définis par (1.2.) sont
des projecteurs deux à deux orthogonaux de somme 1, donc que les
\mathcal{E}^{(\nu)} définissent bien une graduation de k-modules sur
\mathcal{E}^{*}, puis et que
\mathcal{E}^{(\nu)} \mathcal{E}^{(\nu')} \subset \mathcal{E}^{(\nu + \nu')}.
Le renvoi « (1.2.) » est écrit ainsi ; la formule qui définit
\mathrm{pr}_{\nu} porte, page 2, l'étiquette (1.3) b). La discordance est sur
le feuillet.
Noter aussi que (1.4) sont valables, en avec
où u = \sum_{i,j} \pi_{j} u \pi_{i} de la relation
\pi_{i+\nu} u \pi_{i} = \pi_{i} u \pi_{i}
\begin{cases} \mathcal{E} = \bigoplus_{i,j} \pi_{j}\, \mathcal{E}\, \pi_{i} \\ \mathrm{pr}_{i,j}(u) = \pi_{j}\, u\, \pi_{i} \end{cases} \qquad \text{où } u = \sum_{\alpha,\beta} \pi_{\beta}\, u\, \pi_{\alpha}
et la relation u \pi_{i} = \pi_{i+\nu} u implique, puisque
u \pi_{i} = \sum_{\beta} \pi_{\beta} u \pi_{i} et
\pi_{i+\nu} u = \sum_{\alpha} \pi_{i+\nu} u \pi_{\alpha}, que
\pi_{\beta}\, u\, \pi_{i} = 0 \quad \text{si } \beta \neq i + \nu .
Regarder les modules sur des l'anneau \mathcal{E} muni des éléments \pi_{i} comme donnés.
3. Nous pouvons Partons enfin d'un algèbre anneau gradué
\mathcal{E}^{*} sur k, et posons-nous la question de l'existence et
de l'unicité d'une famille (\pi_{i})_{i \in \mathbb{Z}} satisfaisant
(1.1.) d' de \mathcal{E}^{*}, définissant la graduation, par (1.3.)
(ou par (1.4)). On suppose ici
sa page 3
que l'on suppose que
(3.0) \qquad \pi_{i} = 0 \ \text{ si } i \notin [0, 2n], \qquad n \ \text{entier \add{fixé}} .
Supp On s'occupe ici de l'unicité. Supposons établi
l'unicité Notons d'abord que
u \in \mathcal{E}^{0} \iff \bigl( u \pi_{i} = \pi_{i} u \ \ \forall i \bigr) ,
donc \mathcal{E}^{0} est le commutant de la k-algèbre engendrée par les
\pi_{i}. Donc les \pi_{i} sont dans le centre
\mathfrak{z}\mathcal{E}^{0} de \mathcal{E}^{0}, et ce sont les projecteurs
mutuellement orthogonaux de somme 1 de cet anneau commutatif.
Supposons déterminés déjà les \pi_{\alpha} pour
\alpha \notin [i, 2n-i] i < n, et déterminons \pi_{i} et
\pi_{2n-i}. Posons
\varphi_{i} = 1 - \sum_{\alpha < i} \pi_{\alpha} = \sum_{\alpha \geqslant i} \pi_{\alpha} , \qquad \psi_{2n-i} = 1 - \sum_{\alpha > 2n-i} \pi_{\alpha} = \sum_{\alpha \leqslant 2n-i} \pi_{\alpha} ,
donc aussi les composés
\psi_{2n-i}\, \mathcal{E}^{2n-2i}\, \varphi_{i} = \sum_{\alpha} \psi_{2n-i}\, \pi_{\alpha + (2n-2i)}\, \mathcal{E}\, \pi_{\alpha}\, \varphi_{i} .
C'est clair si i = n-1, car on connaît déjà les \pi_{\alpha} pour
\alpha \neq n, d'où aussi \pi_{n} = 1 - \sum_{\alpha \neq n} \pi_{\alpha}.
Mais pour i \leqslant n-1
Or
\pi_{\alpha}\, \varphi_{i} = \begin{cases} 0 & \text{si } \alpha < i \\ \pi_{\alpha} & \text{si } \alpha \geqslant i \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \psi_{2n-i}\, \pi_{\alpha+(2n-2i)} = \begin{cases} 0 & \text{si } \alpha > i \\ \pi_{\alpha+(2n-2i)} & \text{si } \alpha \leqslant i \end{cases}
donc le terme d'indice \alpha dans la somme est nul sauf si \alpha = i,
auquel cas il est égal à
\pi_{i+(2n-2i)}\, \mathcal{E}\, \pi_{i} = \pi_{2n-i}\, \mathcal{E}\, \pi_{i} = \mathcal{E}_{2n-i,\,i} .
Donc la connaissance des \pi_{\alpha} pour \alpha \notin [i, 2n-i] implique
la connaissance de \mathcal{E}_{2n-i,\,i} considéré. La condition qui
va impliquer l'unicité de u_{i},
sa page 4
u_{2n-i} est sous la conjonction des suivantes :
(3.1)_{i} \qquad \bigl( u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}, \ \mathcal{E}^{2n-i}_{i}\, u = 0 \bigr) \implies \pi_{i}\, u = 0
(3.2)_{i} \qquad \bigl( u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}, \ u\, \mathcal{E}^{2n-i}_{i} = 0 \bigr) \implies \pi_{2n-i}\, u = 0
En effet, la relation (3.1) implique que \pi_{i} \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}
est l'annulateur de \pi_{i} dans \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0} est l'idéal
des u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0} tels que \mathcal{E}^{2n-i}_{i} u = 0 ;
et dans un anneau commutatif, un idempotent est connu quand on connaît son
annulateur. De même pour \pi_{2n-i}, son annulateur dans
\mathfrak{z}\mathcal{E}^{0} est formé des u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}
tels que u\, \mathcal{E}^{2n-i}_{i} = 0.
En même temps, les conditions (3.1)_{i}, (3.2)_{i}, pour tout i, donnent
une condition possibilité de déterminer de proche en proche les
\pi_{i}.
4. Lorsque \mathcal{E}^{*} est comme dans 1. ou v. (2.2.), une condition
suffisante pour avoir (3.1)_{i} est la
(4.1)_{i} \qquad \text{l'intersection des noyaux des } u \colon M^{i} \to M^{2n-i}, \ u \in \mathcal{E}^{2n-i}_{i}, \ \text{est réduite à } 0 .
(4.2)_{i} \qquad \text{la somme des images des } u \colon M^{i} \to M^{2n-i}, \ u \in \mathcal{E}^{2n-i}_{i}, \ \text{est égale à } M^{2n-i} .
Ces deux conditions s'expriment
(4.3)_{i} \qquad \text{il existe } u \in \mathcal{E}^{2n-i}_{i} \ \text{qui soit un isomorphisme} \ \ill{}, \ \text{ou, de}
sa page 5
façon équivalente, il existe u \in \mathcal{E}^{(2n-2i)}, tel que le morphisme
induit u \colon M^{i} \to M^{2n-i} soit un isomorphisme.
On peut transformer ceci de la façon suivante :
(4.4)_{i} \qquad \begin{cases} \exists\, v_{i} \in \mathcal{E}^{(2n-2i)},\ w_{i} \in \mathcal{E}^{-(2n-2i)} \ \text{tels que l'on ait} \\[2pt] (w_{i} v_{i} - 1)\, \pi_{i} = 0 , \qquad (v_{i} w_{i} - 1)\, \pi_{2n-i} = 0 \end{cases}
Or, sans plus supposer que \mathcal{E}^{*} se réalise à l'aide d'un M^{*},
on voit aussitôt que (4.4)_{i} implique (3.1)_{i} et (3.2)_{i}. En effet,
prenant v, w comme ci-dessus : v \pi_{i} = \pi_{2n-i} v,
w \pi_{2n-i} = \pi_{i} w, on voit supposons v, w dans
\mathcal{E}^{2n-i}_{i}, \mathcal{E}^{i}_{2n-i}. Si alors
u \in \mathcal{E}^{(0)} u \in \mathcal{E}^{(0)} est tel que
\mathcal{E}^{2n-i}_{i} u = 0, donc v u = 0, on aura
w v u \pi_{i} = 0, i.e. w v \pi_{i} u = 0, donc \pi_{i} u = 0 (car
w v \pi_{i} = \pi_{i}). De même pour (3.2)_{i}, en utilisant la dernière
relation (4.4)_{i}.
et 5. v. p. 5 bis
6. Nous allons étudier de façon plus détaillée le cas où les conditions (4.4)
sont satisfaites. Pour ceci, considérons \mathcal{E}^{*} étant
un sous-anneau gradué de \operatorname{End}(M^{*}) M^{*},
et supposons qu'on ait un
(6.0) \qquad L \in \mathcal{E}^{(2)}
qui ait la propriété que
sa page « 5 bis » ; le paragraphe 5 est écrit après coup et inséré ici
5. On peut aussi donner une condition d'existence des \pi_{i}, liée aux
conditions (4.4). Pour ceci, on suppose que \mathcal{E} est contenu dans un
sur-anneau gradué \mathcal{F} p. ex. des endom. l'anneau des
endom. d'un M^{*} comme dans 1. pour lequel les \pi_{i} satisfont (1.1.)
et les relations correspondantes (1.3) (avec \mathcal{E} remplacé par
\mathcal{F}) et (3.0) : \pi_{i} = 0 si i \notin [0,2n] sont
satisfaites. Supposons Supposons que pour tout i la condition
(4.4)_{i} soit satisfaite (avec v_{i}, w_{i} \in \mathcal{E} bien sûr).
On en conclura que
(5.1) \qquad \pi_{i} \in \mathcal{E} \quad \text{pour tout } i .
Raisonnons Supposons provisoirement \pi_{\alpha} \in
\mathcal{E} si \alpha \notin [i, 2n-i], vérifier
si i \leqslant n, i.e. \pi_{i} et \pi_{2n-i} \in \mathcal{E}.
(Trivial si i = n-1.) Supposons pour i \leqslant n-2
comme \varphi_{i}, \psi_{2n-i} \in \mathcal{E}, et pour i+1,
Notons que, avec les notations de 3., comme
w'_{i} v'_{i} = \pi_{i}\, w_{i}\, \pi_{2n-i}\, v_{i}\, \pi_{i} = \pi_{i}\, \pi_{i}\, w_{i}\, v_{i}\, \pi_{i} = \pi_{i}^{3} = \pi_{i}
car w_{i} \pi_{2n-i} = \pi_{i} w_{i} ; car w_{i} v_{i} \pi_{i} = \pi_{i}
et de même v'_{i} w'_{i} = \pi_{2n-i}, on conclut que \pi_{i} \in
\mathcal{E}, \pi_{2n-i} \in \mathcal{E}.
sa page 6 ; la rédaction du n° 6 reprend ici
(6.1)_{i} \qquad L^{n-i} \,|\, M^{i} \colon M^{i} \to M^{2n-i} \ \text{ est un isom.}
Ceci implique déjà (4.1)_{i} et (4.2)_{i} et (3.1)_{i} et (3.2)_{i},
donc l'unicité des \pi_{i}. Supposons de plus
(6.2)_{i} \qquad \ill{} \ \text{est élément de } \mathcal{E}^{-(2n-2i)} .
Le libellé de (6.2)_{i} est tracé très vite et presque entièrement
perdu sous une surcharge ; ce qui se lit est qu'il s'agit de l'inverse de
l'isomorphisme de (6.1)_{i}, exigé dans \mathcal{E}.
en termes des conditions (6.1) et (6.2) : L \in \mathcal{E}^{2}
soit un élément de \mathcal{E}^{*} de \mathcal{E}, déjà les
\pi_{i} \in \mathcal{E}^{*}
(6.3)_{i} \qquad \begin{cases} \exists\, w_{i} \in \mathcal{E}^{-(2n-2i)} \ \text{tel qu'on ait} \\[2pt] (w_{i} L^{n-i} - 1)\, \pi_{i} = 0 , \qquad (L^{n-i} w_{i} - 1)\, \pi_{2n-i} = 0 \end{cases}
Cette condition : elle est indépendante de la donnée particulière d'un
M^{*}. donc (3.1) et (3.2) Elle (4.4)_{i}, et
(comme on a vu aux n° 4, 5) implique \pi_{i} \in \mathcal{E} et l'unicité des
\pi_{i}, en termes des conditions (4.1) et (4.2).
Revenons à M^{*}, et L satisfaisant (6.1). Nous avons comment
cette condition implique la décomposition primitive de M^{*} :
(6.4) \qquad \begin{cases} M^{i} \simeq P^{i} + L P^{i-2} + L^{2} P^{i-4} + \ldots & (i \leqslant n) \\[2pt] M^{2n-i} \simeq L^{n-i} P^{i} + L^{n-i+1} P^{i-2} + \ldots \end{cases}
On désigne par \pi_{i,\alpha} la projection de M^{i} sur
L^{\alpha} P^{i-2\alpha}, par \pi_{2n-i,\alpha} celle de M^{2n-i} sur
L^{n-i+\alpha} P^{i-2\alpha}.
sa page 7
(6.5)
Théorème. Les conditions suivantes sont équivalentes (i) à (iii) :
- Les conditions (6.1)_{i} et (6.2)_{i} pour tout i, et les \pi_{i} \in \mathcal{E}.
- \Lambda \in \mathcal{E}^{(-2)}
- Les \pi_{i,\alpha} sont dans \mathcal{E}
- Les \pi_{i} \in \mathcal{E}, et (1.3) a) et b), ou (1.4).
- L'élément \Lambda de \mathcal{E}^{(-2)} est déterminé de façon unique
La liste est très raturée : les énoncés (ii) à (v) sont écrits, biffés,
réécrits et renumérotés en marge, et seule leur charpente se lit. Ce qui est
sûr est que la chaîne va de la condition de Lefschetz (6.1) à l'existence dans
\mathcal{E} de l'opérateur \Lambda de degré -2, puis des projecteurs
\pi_{i,\alpha} de la décomposition primitive.
(6.7) \qquad \begin{cases} L \Lambda = 1 - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} \pi_{i,0} \\[2pt] \Lambda L = 1 - \sum_{n \leqslant i \leqslant 2n} \pi_{i,0} \end{cases}
Dém. L'équivalence de (i) et (iii) est claire, et le fait que
(i) (iii) (en prenant w_{i} = \Lambda^{2n-i}).
sa page 8
Prouvons (iv). Supposons prouvé, pour j \notin [i, 2n-i], que
(6.7) \qquad \pi_{j,\alpha} \in \mathcal{E} \quad \text{pour } j \notin [i, 2n-i]
où i \leqslant n, et prouvons que pour j = i ou j = 2n-i
(6.7') \qquad \pi_{j,\alpha} \in \mathcal{E} .
Les deux étiquettes (6.7) se suivent : celle-ci porte le même numéro que
celle de la page 9. Il ne corrige pas.
On raisonne par récurrence descendante sur \alpha : supposons
(6.8) \qquad \pi_{i,\alpha'} \in \mathcal{E}, \quad \pi_{2n-i,\alpha'} \in \mathcal{E} \quad \text{si } \alpha' > \alpha
et on en conclura
(6.8') \qquad \pi_{i,\alpha} \in \mathcal{E}, \quad \pi_{2n-i,\alpha} \in \mathcal{E} .
Ceci
(6.9) \qquad \sum_{\alpha} \pi_{i,\alpha} = \pi_{i} ,
\pi_{i,0} = \pi_{i} - \sum_{\alpha \geqslant 1} \pi_{i,\alpha}.
Posons
q_{i,\alpha} = 1 - \sum_{\alpha' > \alpha} \pi_{i,\alpha'} = \sum_{\alpha' \leqslant \alpha} \pi_{i,\alpha'} ,
donc q_{i,\alpha} \in \mathcal{E} par (6.8).
sa page 9
Alors on veut que
L^{n-i+\alpha}\, q_{i,\alpha} \colon M^{i} \longrightarrow M^{2n-i+2\alpha}
soit nul sur les L^{\alpha'} P^{i-2\alpha'} pour \alpha' \neq \alpha, et que
sur L^{\alpha} P^{i-2\alpha} il induise le composé avec l'isomorphisme
L^{n-i+2\alpha} \colon P^{i-2\alpha} \longrightarrow L^{n-i+2\alpha} P^{i-2\alpha} \subset M^{2n-i+2\alpha} .
il s'ensuit aussitôt que
(6.9) \qquad \pi_{i,\alpha} = L^{\alpha}\, w_{i-2\alpha}\, L^{n-i+\alpha}\, q_{i,\alpha} = L^{\alpha}\, w_{i-2\alpha}\, L^{n-i+\alpha}\Bigl( 1 - \sum_{\alpha' > \alpha} \pi_{i,\alpha'} \Bigr)
ce qui donne bien \pi_{i,\alpha} \in \mathcal{E}. Ceci prouve (iv).
Si i < n, il faut de même \pi_{2n-i,\alpha} \in \mathcal{E}. On a
\pi_{2n-i,\alpha} \colon M^{2n-i} \to M^{2n-i+2\alpha} de la façon
(6.10) \qquad \pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i}\, \pi_{i,\alpha}\, w_{i} \ \struck{\ill{}}
Reste : prouver (iii) \Lambda \in \mathcal{E}. Comme on a
(6.11) \qquad \Lambda = \sum_{j} \struck{\ill{}}\ \Lambda\, \pi_{j,\alpha}\ \struck{\ill{}}
il suffit de prouver que \Lambda \pi_{i,\alpha} \struck{\ill{}} \in \mathcal{E}.
sa page 10
Or si i \leqslant n, on aura
(6.12) \qquad \begin{cases} \Lambda\, \pi_{i,0} = 0 , \\[2pt] \Lambda\, \pi_{i,\alpha} = \struck{L}\ w_{i-2\alpha}\, L^{n-i+\alpha}\, \pi_{i,\alpha} \quad \text{si } \alpha \geqslant 1 , \end{cases}
et si j > n, (6.13) \Lambda \pi_{j,\alpha} = L \ill{}
(6.13) \qquad \Lambda\, \pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i+\alpha-1}\, w_{i-2\alpha}\, \struck{\ill{}}\ L^{\alpha}\, \pi_{2n-i,\alpha} \qquad (\text{si } i \leqslant n-1)
Les conditions envisagées indiquent (iv), i.e. prouvons que l'on a
alors \pi_{i} = \pi'_{i}. (iv) indiquent (ii). Il suffit de
Démonstration à fournir.
Remarque. Voici une variante de unique en termes
de L, et une caractérisation en termes de l'anneau gradué
\mathcal{E}) :
\Lambda \in \mathcal{E}^{(2)}, \pi_{i,\alpha} \in \mathcal{E}^{(0)}
En marge il écrit \mathcal{E}^{(2)} pour \Lambda, alors que partout
ailleurs \Lambda est de degré -2 ; le signe manque sur le feuillet.
- \bigl( \Lambda^{n-i} L^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{i} = 0 ;
- \bigl( L^{n-i} \Lambda^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{2n-i} = 0 ;
- \pi_{i,\alpha} = L^{\alpha}\, \Lambda^{n-i+2\alpha}\, L^{n-i+\alpha} \Bigl( 1 - \sum_{\alpha' > \alpha} \pi_{i,\alpha'} \Bigr) ;
- \pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i}\, \pi_{i,\alpha}\, \Lambda^{n-i} .
sa page 11
(6.15) \qquad \begin{cases} L \Lambda = 1 - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} \pi_{i,0} \\[2pt] \Lambda L = 1 - \sum_{n \leqslant j \leqslant 2n} \pi_{j,0} \end{cases}
Notant que \pi_{j,0}, il y déterminés par les
il suffit j = n \Phi : explicitée relations
Question. Donner une synthétique des relations entre les
\pi_{i} comme
7. Revenons à un L \in \mathcal{E}^{(2)}. On veut
expliciter le utilisant M^{*}, un anneau gradué
\mathcal{E}^{*}. Partons pour ceci de degré 0 à 2n sur
\mathbb{Z} sur \mathbb{Z} !, une digression
\xi_{a} \in \Lambda^{2} M_{a}, M^{\alpha}_{0}, et considérons
\xi^{*} \in \Lambda^{2} M^{\vee}_{a}, la forme dont
M^{*}_{0} = \Lambda M_{a}, M^{\alpha}_{0}
Le début du n° 7 est écrit très vite et sa syntaxe est perdue ; ce qui
s'en dégage est qu'il part d'un module libre M_{0} de rang fini sur
\mathbb{Z}, d'une forme \xi_{0} \in \Lambda^{2} M_{0} et de sa duale
\xi^{*}_{0}, et prend pour M^{*}_{0} l'algèbre extérieure \Lambda M_{0}.
et considérons sur M^{*}_{0} les opérateurs
L_{0}\, x = \xi_{0}\, x , \qquad \Lambda_{0}\, x = \xi^{*}_{0} \lrcorner\, x
et considérons l'anneau gradué
\Phi_{0} = \mathbb{Z}[L_{0}, \Lambda_{0}] \subset \operatorname{End}(M^{*}_{0}) .
Notons que \operatorname{End}_{\mathbb{Z}}(M^{*}_{0}) opérant sur
M^{*}_{\mathbb{Z}}, muni de L, satisfait à la condition
de (6.1)(\omega),
Le \mathbb{Z} est porté sous \operatorname{End}, et « opérant sur
M^{*}_{\mathbb{Z}} » est une insertion au-dessus de la ligne, rattachée par un
long trait. Ce que la parenthèse après (6.1) contient est un seul glyphe
arrondi, lu \omega et non identifié autrement. La phrase identifie les deux
\Lambda_{0} du feuillet : celui que la formule affichée définit par la
contraction \xi^{*}_{0} \lrcorner\,-, et celui que caractérisent les relations
(6.15).
sa page 12
\Phi_{0} est engendré par les \varphi^{\beta,\alpha}_{i}
L^{\beta} \pi_{i,\alpha}
\varphi^{\beta}_{i,\alpha} , avec
0 \leqslant i \leqslant n , \quad 0 \leqslant \alpha, \beta \leqslant 2n-i
À droite, biffé d'un trait, un premier jeu d'indices : « 0 \leqslant i
\leqslant 2n, 0 \leqslant j \leqslant 2n, \alpha, \beta \geqslant 0,
i - 2\alpha = j - 2\beta \geqslant 0 ».
\begin{cases} \varphi^{\beta,\alpha}_{i} = L_{0}^{\beta-\alpha}\, \pi_{i+2\alpha,\alpha} & \text{si } \alpha \leqslant \beta \\[2pt] \varphi^{\beta,\alpha}_{i} = \Lambda_{0}^{\alpha-\beta}\, \pi_{i+2\alpha,\alpha} & \text{si } \alpha \geqslant \beta \end{cases}
\begin{cases} = L_{0}^{\beta-\alpha}\, \pi_{i,\alpha} = \pi_{j,\beta}\, L_{0}^{\beta-\alpha} & \text{si } \alpha \leqslant \beta \\[2pt] = \Lambda_{0}^{\alpha-\beta}\, \pi_{i,\alpha} = \pi_{j,\beta}\, \Lambda_{0}^{\alpha-\beta} & \text{si } \alpha \geqslant \beta \end{cases}
Les \varphi^{\beta,\alpha}_{i} et leur multiplication sont donnés
. La multiplication ne dépend pas du choix de de
(M_{0}, \xi_{0}) l', dans \Phi_{0} bien
déterminé .
Proposition. Revenant à la donnée de M^{*} comme
n - 2g anneau gradué des
- L M^{*} satisfait les conditions du théorème du n° 6 ;
Hodge \Lambda satisfaisant les conditions du théorème du n° 6 ;- il existe un homomorphisme d'anneaux gradués
\varphi \colon \Phi_{0} \to \mathcal{E}
sa page 13
assignant L_{0} à L, et les \pi_{i} des \pi_{i}
condition essentielle !
Dém. (i) \Rightarrow (ii) : multiplication donnée au
n° 6. Résulte du théorème des \varphi^{\beta,\alpha}_{i} donné au
n° 6, et du théorème .
(ii) \Rightarrow (i) : soient \pi'_{i},
L^{\alpha} \pi'_{i} = \pi'_{i+\alpha} L^{\alpha} de \mathcal{E}
. Je dis que \pi'_{i} = \pi_{i} . Comme i \leqslant n, on a
\bigl( \Lambda_{0}^{n-i} L_{0}^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{i} = 0 , \qquad \bigl( L_{0}^{n-i} \Lambda_{0}^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{2n-i} = 0 ,
appliquant \varphi (et pour \Lambda' = \varphi(\Lambda))
\bigl( \Lambda^{n-i} L^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{i} = 0 , \qquad \bigl( L^{n-i} \Lambda^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{2n-i} = 0 ,
(ii) du théorème du n° 6 simplifie définition (i).
il résulte \varphi(\pi_{i,\alpha}) = \pi_{i,\alpha}, la forme
simultanément (6.14).
sa page 14
Cor. Soit \mathcal{E} un anneau gradué, et soit
L \in \mathcal{E}^{(2)}. S'il existe un homomorphisme d'anneaux gradués
u \colon \Phi_{0} \longrightarrow \mathcal{E}
tel que u(L_{0}) = L, et u(\pi_{i}) = \pi_{i} exprimant la
graduation de \mathcal{E} par (1.3), alors un tel est unique
et uniquement déterminé, et les \pi_{i} sont déterminés de la
structure d'anneau gradué de \mathcal{E} les \pi_{i} satisfaisant
les conditions (1.1) et (1.3).
l'existence sont alors équivalentes : l'existence
\exists\, w_{i} \in \mathcal{E}^{-(2n-2i)} tel que 0 \leqslant i
\leqslant n et alors
\bigl( w_{i} L^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{2n-i} \struck{\ill{}} = 0 ,
\Lambda = u(\Lambda), et \pi_{i,\alpha} = u(\pi_{i,\alpha}).
Comme
Question. Si (elle sera obtenue à partir ) \mathcal{E}
primitif contre-exemple un hom
\Phi_{0} \to \mathcal{E} tel que u(L_{0}) = L ?
Non
déjà dans le cas n = 1, 2n = 2, où il y a \Phi_{0} formé de
\pi_{0}, \pi_{1}, \pi_{2}, L, \Lambda, et que
\mathbb{Z} + \mathbb{Z}L ! Il faut donc en même temps L et les
\pi_{i}.
sa page 15
8) Soit maintenant conditions de Lefschetz (de les conditions du ).
Il écrit « conditions de Lefschetz » en toutes lettres et le souligne :
c'est le nom qu'il donne ici à ce que le n° 6 a caractérisé.
combinaison des un anneau correspondant
(Cf. Lefschetz ).
N.B. À montrer que L, on déduit \Lambda de , pour
symétrique \mathcal{E}^{*} , et pour
Conditions. Bornons-nous : voici les conditions nécessaires (par
un accomplissement ) de L. Une condition nécessaire est
, i.e.
- \mathcal{E}^{(2n)} \neq 0 \iff \pi_{0} \neq 0
- \pi_{2n} \neq 0
- L^{n} \neq 0
\mathcal{E}^{(2n)} \neq 0 \iff \pi_{2n} \neq 0 \implies L^{n} \neq 0 \implies \Lambda^{n} \neq 0 .
déjà pour n
Le feuillet s'arrête ici, au milieu de la liste des conditions
nécessaires ouverte par le n° 8 : l'argument se poursuit au-delà de la page 20
et n'est pas achevé dans ce lot.
Feuillets détachés
Les trois derniers feuillets du lot ne font pas partie du manuscrit
précédent. Les pages 18 et 20 sont deux feuillets d'un tapuscrit de sa main,
numérotés 45 et 42 dans sa propre pagination, dont le sujet est la cohomologie
\ell-adique, le groupe de Picard et le groupe de Néron-Severi, et qu'il a
corrigé et annoté à l'encre ; ils sont transcrits ici parce qu'ils portent ces
corrections, mais leur numérotation propre montre assez qu'ils viennent
d'ailleurs. La page 19 est le verso d'un tel feuillet et porte, de sa main, une
page de calculs sur L et \Lambda qui relèvent, eux, du sujet du lot. Ses
insertions interlinéaires sont données entre crochets, ses renvois marginaux en
retrait, les suppressions du tapuscrit barrées.
page 45 du tapuscrit
en groupes lisse et localement de type fini sur k, soit
\underline{\mathrm{Pic}}_{U}, et un isomorphisme
(8.13) \qquad \mathrm{Pic}(U) = \underline{\mathrm{Pic}}_{U}(k)
de \mathrm{Pic}(U) avec le groupe des points à valeurs dans k de
\underline{\mathrm{Pic}}_{U}. Cela nous fournit donc pour \mathrm{Pic}(U)
une structure d'extension
(8.14) \qquad 0 \longrightarrow \mathrm{Pic}(U)^{0} \longrightarrow \mathrm{Pic}(U) \longrightarrow \mathrm{NS}(U) \longrightarrow 0 ,
où on a posé
(8.15) \qquad \mathrm{Pic}(U)^{0} = \underline{\mathrm{Pic}}_{U}^{0}(k) , \qquad \mathrm{NS}(U) = \underline{\mathrm{NS}}_{U}(k) ,
\underline{\mathrm{Pic}}_{U}^{0} désignant la composante neutre de
\underline{\mathrm{Pic}}_{U}, et \underline{\mathrm{NS}}_{U} le quotient de
\underline{\mathrm{Pic}}_{U} par cette composante. La construction indiquée
dans loc. cit. permet d'ailleurs de préciser la structure de \mathrm{NS}(U),
en introduisant la matrice d'intersection
(C_{i} . C_{j})_{1 \leqslant i, j \leqslant r}
définie par les r composantes irréductibles C_{i} de f^{-1}(x)_{\text{réd}}
sur le schéma régulier X' : en vertu de MUMFORD 28, cette matrice
est définie négative, donc le conoyau de l'homomorphisme
\underline{\mathbb{Z}}^{r} \longrightarrow \underline{\mathbb{Z}}^{r}
qu'elle définit est un groupe fini, dont l'ordre n'est autre que la valeur
absolue du déterminant de cette matrice. Ceci posé, on trouve que
\mathrm{NS}(U) est canoniquement isomorphe à ce groupe fini. La matrice
envisagée étant symétrique, on voit aussitôt que ce groupe est canoniquement
autodual (par un accouplement symétrique à valeurs dans
\mathbb{Q}/\mathbb{Z}), d'où une autodualité symétrique
(8.16) \qquad \mathrm{NS}(U) \times \mathrm{NS}(U) \longrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z} ,
dont on constate aisément qu'elle est indépendante de la résolution X'
choisie.
Si maintenant \ell est un nombre premier distinct de car k, alors la
structure connue des groupes algébriques commutatifs connexes sur k
9, exp. 4 montre que \mathrm{Pic}(U)^{0} est un groupe
\ell-divisible, donc
feuillet de calculs, de sa main, au dos d'un feuillet du tapuscrit
b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}
n b_{0} + (n-1) b_{1} = \ldots , \qquad 2 b_{0} + b_{1} , \qquad \sum_{i} (n-i)\, b_{i}
M^{0} \xrightarrow{\ L\ } M^{2n}
L , \qquad \mathcal{E}^{(n-i)} , \qquad \Lambda , \qquad \Lambda L
L \sim \lambda L , \qquad \Lambda = P(L \ , \qquad \Lambda = \Omega(L)\, \Delta(L)
Ces deux dernières lignes sont écrites l'une au-dessus de l'autre et
sans membre de droite achevé : il essaie d'exprimer \Lambda comme un
polynôme en L.
L , L' \quad | \quad L^{2}, L L' \quad | \quad L^{3}
L'^{2} = L L' , \qquad L^{3} = L^{2} L' , \qquad L'^{3} = L' L'^{2} = L^{2} L' = L^{3}
\bigl( L^{q},\ L'^{2} - L L',\ L^{2} L' - L^{3},\ L^{3} L' \bigr)
\mathbb{Z}[L]/(L^{4}) \ \ill{}\ \mathbb{Z}[L'] / (L'^{2} - L'')
Le feuillet n'est qu'une suite de calculs sans phrase liante : il essaie
sur un exemple à deux générateurs L, L' de degré 2 ce que les nos 6 et 7
demandent de l'anneau engendré par L, en écrivant une base graduée
L, L' \mid L^{2}, LL' \mid L^{3} et les relations qui la ferment. La dernière
ligne, où il compare cet anneau à \mathbb{Z}[L]/(L^{4}), n'est pas lisible
jusqu'au bout.
page 42 du tapuscrit
on trouve une suite exacte canonique (où
\underline{\mathbb{Z}}_{\ell}[1] = \varprojlim_{\nu} \mu_{\ell^{\nu}}
est le faisceau \ell-adique de TATE) :
(8.3) \qquad 0 \longrightarrow t^{i-1}(X, \ell) \longrightarrow H^{i}(X, \underline{\mathbb{Z}}_{\ell}[1]) \longrightarrow T_{\ell}\bigl( H^{i}(X, \mu_{\ell^{\infty}}) \bigr) \longrightarrow 0 ,
où
(8.4) \qquad t^{i-1}(X, \ell) = H^{i-1}(X, \mu_{\ell^{\infty}}) \big/ H^{i-1}(X, \mu_{\ell^{\infty}})^{0}
qui est donc un groupe fini de \ell-torsion, et s'identifie donc, par (8.3),
au sous-groupe module de torsion du
\underline{\mathbb{Z}}_{\ell}-module de type fini
(8.5) \qquad H^{i}(X, \underline{\mathbb{Z}}_{\ell}[1]) = \varprojlim H^{i}(X, \mu_{\ell^{\nu}}) ,
dont la partie libre s'identifie, à son tour, à
T_{\ell}\bigl( H^{i}(X, \mu_{\ell^{\infty}}) \bigr). On en déduit également
un isomorphisme