Cote n° 16 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Formalisme algébrique des correspondances et algèbres de Poincaré-Hodge (cf conjectures standard) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (s.d.), lettres (1966-1967)
Datation de l’inventaire : 1966-1967
Édition de démonstration

Sur certains anneaux gradués

Le titre est celui qu'il inscrit, souligné, en tête du feuillet 2, qui porte aussi sa pagination « 1 ». La suite court sans interruption jusqu'au feuillet 17, paginée de sa main 1 à 15, avec un « 5 bis » au feuillet 7 ; sa pagination est rappelée page par page, parce que ses renvois internes s'y réfèrent.

2sa page 1

Soit \(k\) anneau (commut.) fixé.

1. Soient \(k\) un anneau, \(M^{*}\) un \(k\)-module gradué (à graduation […]), \(\mathcal{E}^{*}\) un [sous-anneau de l'anneau] une algèbre graduée d'endomorphismes de \(M^{*}\). On désigne par \(\pi_{i}\) la projection canonique de \(M^{*}\) sur \(M^{i}\). et On suppose que l'on a :

\[ (1.\ill{}) \qquad \pi_{i} \in \mathcal{E}^{*} \quad \text{pour tout } i . \]

L'étiquette de cette formule est réécrite par-dessus une autre et n'est plus lisible ; le second chiffre pourrait être un \(2\). Les étiquettes (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) sont, elles, sûres.

Cela implique que \(\mathcal{E}^{*}\) est un sous-algèbre [anneau] gradué[e] de l'algèbre graduée des \(\operatorname{End}(M^{*})\) (dont la graduation est définie, si l'on veut, par \[ \operatorname{End}^{(\nu)}(M) = \textstyle\sum \operatorname{Hom}(M^{i}, M^{i+\nu}) \] ou de façon équivalente \[ \operatorname{End}^{(\nu)}(M) = \textstyle\sum_{i} \pi_{i+\nu} \operatorname{End}(M^{*})\, \pi_{i} , \] la composante homogène de degré \(\nu\) d'un endomorphisme \(u\) de \(M^{*}\) étant \[ \struck{\mathrm{gr}}\ \mathrm{pr}_{\nu}(u) = \textstyle\sum_{i} \pi_{i+\nu}\, u\, \pi_{i} . \]

La graduation de \(\mathcal{E}^{*}\) est définie (intrinsèquement, en termes de la donnée des \(\pi_{i}\)), par

\[ (1.3) \qquad \text{a)}\ \ \mathcal{E}^{(\nu)} = \sum_{i} \pi_{i+\nu}\, \mathcal{E}^{*}\, \pi_{i} , \qquad \text{b)}\ \ \mathrm{pr}_{\nu}\, u = \sum_{i} \pi_{i+\nu}\, u\, \pi_{i} , \]

et

\[ (1.4) \qquad u \in \mathcal{E}^{(\nu)} \iff u\, \pi_{i} = \pi_{i+\nu}\, u \quad \text{pour tout } i . \]

Noter les relations

\[ (1.1) \qquad \begin{cases} \pi_{i}^{2} = \pi_{i} \\ \pi_{i} \pi_{j} = 0 \ \text{ si } i \neq j \\ \sum_{i} \pi_{i} = 1 \end{cases} \]

2. Soit \(\mathcal{E}^{*}\) un \(k\)-algèbre anneau gradué, et soient \(\pi_{i}\) \((i \in \mathbb{Z})\) [nuls sauf un nombre fini] des éléments de \(\mathcal{E}\). À quelles conditions les formules (1.3) définissent-elles

3sa page 2

sur \(\mathcal{E}^{(\nu)}\) une structure d'algèbre anneau gradué ?

Il suffit que l'on ait les relations (1.1.)

\[ \begin{cases} \pi_{i}^{2} = \pi_{i} \\ \pi_{i} \pi_{j} = \pi_{j} \pi_{i} = 0 \ \text{ si } i \neq j \\ \sum_{i} \pi_{i} = 1 \end{cases} \]

qui impliquent que les \(\mathrm{pr}_{\nu}^{\mathcal{E}}\) définis par (1.2.) sont des projecteurs deux à deux orthogonaux de somme \(1\), donc que les \(\mathcal{E}^{(\nu)}\) définissent bien une graduation [de \(k\)-modules] sur \(\mathcal{E}^{*}\), puis et que \(\mathcal{E}^{(\nu)} \mathcal{E}^{(\nu')} \subset \mathcal{E}^{(\nu + \nu')}\).

Le renvoi « (1.2.) » est écrit ainsi ; la formule qui définit \(\mathrm{pr}_{\nu}\) porte, page 2, l'étiquette (1.3) b). La discordance est sur le feuillet.

Noter aussi que (1.4) sont valables, en […] avec […] où \(u = \sum_{i,j} \pi_{j} u \pi_{i}\) de la relation \(\pi_{i+\nu} u \pi_{i} = \pi_{i} u \pi_{i}\)

\[ \begin{cases} \mathcal{E} = \bigoplus_{i,j} \pi_{j}\, \mathcal{E}\, \pi_{i} \\ \mathrm{pr}_{i,j}(u) = \pi_{j}\, u\, \pi_{i} \end{cases} \qquad \text{où } u = \sum_{\alpha,\beta} \pi_{\beta}\, u\, \pi_{\alpha} \]

et la relation \(u \pi_{i} = \pi_{i+\nu} u\) implique, puisque \(u \pi_{i} = \sum_{\beta} \pi_{\beta} u \pi_{i}\) et \(\pi_{i+\nu} u = \sum_{\alpha} \pi_{i+\nu} u \pi_{\alpha}\), que \[ \pi_{\beta}\, u\, \pi_{i} = 0 \quad \text{si } \beta \neq i + \nu . \]

Regarder les modules sur des l'anneau \(\mathcal{E}\) muni des éléments \(\pi_{i}\) comme donnés.

3. Nous pouvons Partons enfin d'un algèbre anneau gradué \(\mathcal{E}^{*}\) sur \(k\), et posons-nous la question de l'existence et de l'unicité d'une famille \((\pi_{i})_{i \in \mathbb{Z}}\) [satisfaisant (1.1.)] d'[…] de \(\mathcal{E}^{*}\), définissant la graduation, par (1.3.) (ou par (1.4)). On suppose ici

4sa page 3

[…] et que l'on suppose que

\[ (3.0) \qquad \pi_{i} = 0 \ \text{ si } i \notin [0, 2n], \qquad n \ \text{entier \add{fixé}} . \]

Supp On s'occupe ici de l'unicité. Supposons établi l'unicité Notons d'abord que \[ u \in \mathcal{E}^{0} \iff \bigl( u \pi_{i} = \pi_{i} u \ \ \forall i \bigr) , \] donc \(\mathcal{E}^{0}\) est le commutant de la \(k\)-algèbre engendrée par les \(\pi_{i}\). Donc les \(\pi_{i}\) sont dans le centre \(\mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}\) de \(\mathcal{E}^{0}\), et ce sont les projecteurs [mutuellement] orthogonaux de somme \(1\) de cet anneau commutatif.

Supposons déterminés déjà les \(\pi_{\alpha}\) pour \(\alpha \notin [i, 2n-i]\) [\(i < n\)], et déterminons \(\pi_{i}\) et \(\pi_{2n-i}\). Posons \[ \varphi_{i} = 1 - \sum_{\alpha < i} \pi_{\alpha} = \sum_{\alpha \geqslant i} \pi_{\alpha} , \qquad \psi_{2n-i} = 1 - \sum_{\alpha > 2n-i} \pi_{\alpha} = \sum_{\alpha \leqslant 2n-i} \pi_{\alpha} , \] donc aussi les composés \[ \psi_{2n-i}\, \mathcal{E}^{2n-2i}\, \varphi_{i} = \sum_{\alpha} \psi_{2n-i}\, \pi_{\alpha + (2n-2i)}\, \mathcal{E}\, \pi_{\alpha}\, \varphi_{i} . \]

C'est clair si \(i = n-1\), car on connaît déjà les \(\pi_{\alpha}\) pour \(\alpha \neq n\), d'où aussi \(\pi_{n} = 1 - \sum_{\alpha \neq n} \pi_{\alpha}\). Mais pour \(i \leqslant n-1\) […]

Or \[ \pi_{\alpha}\, \varphi_{i} = \begin{cases} 0 & \text{si } \alpha < i \\ \pi_{\alpha} & \text{si } \alpha \geqslant i \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \psi_{2n-i}\, \pi_{\alpha+(2n-2i)} = \begin{cases} 0 & \text{si } \alpha > i \\ \pi_{\alpha+(2n-2i)} & \text{si } \alpha \leqslant i \end{cases} \] donc le terme d'indice \(\alpha\) dans la somme est nul sauf si \(\alpha = i\), auquel cas il est égal à \[ \pi_{i+(2n-2i)}\, \mathcal{E}\, \pi_{i} = \pi_{2n-i}\, \mathcal{E}\, \pi_{i} = \mathcal{E}_{2n-i,\,i} . \]

Donc la connaissance des \(\pi_{\alpha}\) pour \(\alpha \notin [i, 2n-i]\) implique la connaissance de \(\mathcal{E}_{2n-i,\,i}\) considéré. La condition qui va impliquer l'unicité de \(u_{i}\),

5sa page 4

\(u_{2n-i}\) est sous […] la conjonction des suivantes :

\[ (3.1)_{i} \qquad \bigl( u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}, \ \mathcal{E}^{2n-i}_{i}\, u = 0 \bigr) \implies \pi_{i}\, u = 0 \] \[ (3.2)_{i} \qquad \bigl( u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}, \ u\, \mathcal{E}^{2n-i}_{i} = 0 \bigr) \implies \pi_{2n-i}\, u = 0 \]

En effet, la relation \((3.1)\) implique que \(\pi_{i} \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}\) est l'annulateur de \(\pi_{i}\) dans \(\mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}\) est l'idéal des \(u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}\) tels que \(\mathcal{E}^{2n-i}_{i} u = 0\) ; et dans un anneau commutatif, un idempotent est connu quand on connaît son annulateur. De même pour \(\pi_{2n-i}\), son annulateur dans \(\mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}\) est formé des \(u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{0}\) tels que \(u\, \mathcal{E}^{2n-i}_{i} = 0\).

En même temps, les conditions \((3.1)_{i}\), \((3.2)_{i}\), pour tout \(i\), donnent une condition possibilité de déterminer de proche en proche les \(\pi_{i}\).

4. Lorsque \(\mathcal{E}^{*}\) est comme dans 1. [ou v. (2.2.)], une condition suffisante pour avoir \((3.1)_{i}\) est la […] suivante :

\[ (4.1)_{i} \qquad \text{l'intersection des noyaux des } u \colon M^{i} \to M^{2n-i}, \ u \in \mathcal{E}^{2n-i}_{i}, \ \text{est réduite à } 0 . \] \[ (4.2)_{i} \qquad \text{la somme des images des } u \colon M^{i} \to M^{2n-i}, \ u \in \mathcal{E}^{2n-i}_{i}, \ \text{est égale à } M^{2n-i} . \]

Ces deux conditions s'expriment […]

\[ (4.3)_{i} \qquad \text{il existe } u \in \mathcal{E}^{2n-i}_{i} \ \text{qui soit un isomorphisme} \ \ill{}, \ \text{ou, de} \]

6sa page 5

façon équivalente, il existe \(u \in \mathcal{E}^{(2n-2i)}\), tel que le morphisme induit \(u \colon M^{i} \to M^{2n-i}\) soit un isomorphisme.

On peut transformer ceci de la façon suivante :

\[ (4.4)_{i} \qquad \begin{cases} \exists\, v_{i} \in \mathcal{E}^{(2n-2i)},\ w_{i} \in \mathcal{E}^{-(2n-2i)} \ \text{tels que l'on ait} \\[2pt] (w_{i} v_{i} - 1)\, \pi_{i} = 0 , \qquad (v_{i} w_{i} - 1)\, \pi_{2n-i} = 0 \end{cases} \]

Or, sans plus supposer que \(\mathcal{E}^{*}\) se réalise à l'aide d'un \(M^{*}\), on voit aussitôt que \((4.4)_{i}\) implique \((3.1)_{i}\) et \((3.2)_{i}\). En effet, prenant \(v\), \(w\) comme [ci-dessus] : \(v \pi_{i} = \pi_{2n-i} v\), \(w \pi_{2n-i} = \pi_{i} w\), on voit supposons \(v\), \(w\) dans \(\mathcal{E}^{2n-i}_{i}\), \(\mathcal{E}^{i}_{2n-i}\). Si alors \(u \in \mathcal{E}^{(0)}\) \(u \in \mathcal{E}^{(0)}\) est tel que \(\mathcal{E}^{2n-i}_{i} u = 0\), donc \(v u = 0\), on aura \(w v u \pi_{i} = 0\), i.e. \(w v \pi_{i} u = 0\), donc \(\pi_{i} u = 0\) (car \(w v \pi_{i} = \pi_{i}\)). De même pour \((3.2)_{i}\), en utilisant la dernière relation \((4.4)_{i}\).

et 5. v. p. 5 bis

6. Nous allons étudier de façon plus détaillée le cas où les conditions (4.4) sont satisfaites. Pour ceci, considérons \(\mathcal{E}^{*}\) [étant un sous-anneau gradué de \(\operatorname{End}(M^{*})\)] […] \(M^{*}\), et supposons qu'on ait un

\[ (6.0) \qquad L \in \mathcal{E}^{(2)} \]

qui ait la propriété que […]

7sa page « 5 bis » ; le paragraphe 5 est écrit après coup et inséré ici

5. On peut aussi donner une condition d'existence des \(\pi_{i}\), liée aux conditions (4.4). Pour ceci, on suppose que \(\mathcal{E}\) est contenu dans un sur-anneau gradué \(\mathcal{F}\) [p. ex. des endom. l'anneau des endom. d'un \(M^{*}\) comme dans 1.] pour lequel les \(\pi_{i}\) satisfont (1.1.) et les relations correspondantes (1.3) (avec \(\mathcal{E}\) remplacé par \(\mathcal{F}\)) [et \((3.0)\) : \(\pi_{i} = 0\) si \(i \notin [0,2n]\)] sont satisfaites. Supposons Supposons que pour tout \(i\) la condition \((4.4)_{i}\) soit satisfaite (avec \(v_{i}\), \(w_{i} \in \mathcal{E}\) bien sûr). On en conclura que

\[ (5.1) \qquad \pi_{i} \in \mathcal{E} \quad \text{pour tout } i . \]

Raisonnons Supposons provisoirement […] \(\pi_{\alpha} \in \mathcal{E}\) si \(\alpha \notin [i, 2n-i]\), […] vérifier […] si \(i \leqslant n\), i.e. \(\pi_{i}\) et \(\pi_{2n-i} \in \mathcal{E}\). (Trivial si \(i = n-1\).) Supposons pour \(i \leqslant n-2\) [comme \(\varphi_{i}\), \(\psi_{2n-i} \in \mathcal{E}\), et] pour \(i+1\),

Notons que, avec les notations de 3., […] \(\psi_{2n-i} v_{i} \varphi_{i}\), \(\varphi_{i} w_{i} \psi_{2n-i} \in \mathcal{E}\), où \[ v'_{i} = \psi_{2n-i}\, v_{i}\, \varphi_{i} = \pi_{2n-i}\, v_{i}\, \pi_{i} \in \mathcal{E} , \] \[ w'_{i} = \varphi_{i}\, w_{i}\, \psi_{2n-i} = \pi_{i}\, w_{i}\, \pi_{2n-i} \in \mathcal{E} , \] et comme \[ w'_{i} v'_{i} = \pi_{i}\, w_{i}\, \pi_{2n-i}\, v_{i}\, \pi_{i} = \pi_{i}\, \pi_{i}\, w_{i}\, v_{i}\, \pi_{i} = \pi_{i}^{3} = \pi_{i} \] car \(w_{i} \pi_{2n-i} = \pi_{i} w_{i}\) ; car \(w_{i} v_{i} \pi_{i} = \pi_{i}\) et de même \(v'_{i} w'_{i} = \pi_{2n-i}\), on conclut que \(\pi_{i} \in \mathcal{E}\), \(\pi_{2n-i} \in \mathcal{E}\).

8sa page 6 ; la rédaction du n° 6 reprend ici

\[ (6.1)_{i} \qquad L^{n-i} \,|\, M^{i} \colon M^{i} \to M^{2n-i} \ \text{ est un isom.} \]

Ceci implique déjà \((4.1)_{i}\) et \((4.2)_{i}\) et \((3.1)_{i}\) et \((3.2)_{i}\), donc l'unicité des \(\pi_{i}\). Supposons de plus

\[ (6.2)_{i} \qquad \ill{} \ \text{est élément de } \mathcal{E}^{-(2n-2i)} . \]

Le libellé de \((6.2)_{i}\) est tracé très vite et presque entièrement perdu sous une surcharge ; ce qui se lit est qu'il s'agit de l'inverse de l'isomorphisme de \((6.1)_{i}\), exigé dans \(\mathcal{E}\).

en termes des conditions (6.1) et (6.2) : \(L \in \mathcal{E}^{2}\) soit un élément de […] \(\mathcal{E}^{*}\) […] de \(\mathcal{E}\), déjà les \(\pi_{i} \in \mathcal{E}^{*}\)

\[ (6.3)_{i} \qquad \begin{cases} \exists\, w_{i} \in \mathcal{E}^{-(2n-2i)} \ \text{tel qu'on ait} \\[2pt] (w_{i} L^{n-i} - 1)\, \pi_{i} = 0 , \qquad (L^{n-i} w_{i} - 1)\, \pi_{2n-i} = 0 \end{cases} \]

Cette condition […] : elle est indépendante de la donnée particulière d'un \(M^{*}\). […] donc (3.1) et (3.2) Elle […] \((4.4)_{i}\), et (comme on a vu aux n° 4, 5) implique \(\pi_{i} \in \mathcal{E}\) et l'unicité des \(\pi_{i}\), en termes des conditions (4.1) et (4.2).

Revenons à \(M^{*}\), et \(L\) satisfaisant (6.1). Nous avons […] comment […] cette condition implique la décomposition primitive de \(M^{*}\) :

\[ (6.4) \qquad \begin{cases} M^{i} \simeq P^{i} + L P^{i-2} + L^{2} P^{i-4} + \ldots & (i \leqslant n) \\[2pt] M^{2n-i} \simeq L^{n-i} P^{i} + L^{n-i+1} P^{i-2} + \ldots \end{cases} \]

On désigne par \(\pi_{i,\alpha}\) la projection de \(M^{i}\) sur \(L^{\alpha} P^{i-2\alpha}\), par \(\pi_{2n-i,\alpha}\) celle de \(M^{2n-i}\) sur \(L^{n-i+\alpha} P^{i-2\alpha}\).

9sa page 7

(6.5) […]

Théorème. Les conditions suivantes sont équivalentes [(i) à (iii)] :

1. Les conditions \((6.1)_{i}\) et \((6.2)_{i}\) pour tout \(i\), et les \(\pi_{i} \in \mathcal{E}\).
2. […] donc la condition \((6.3)_{i}\) pour tout \(i\).
3. […] \(\Lambda \in \mathcal{E}^{(-2)}\) […]
4. Les \(\pi_{i,\alpha}\) sont dans \(\mathcal{E}\) […]
5. Les \(\pi_{i} \in \mathcal{E}\), […] et (1.3) a) et b), ou […] (1.4).
6. L'élément \(\Lambda\) de \(\mathcal{E}^{(-2)}\) est déterminé de façon unique […] (en termes de \(\mathcal{E}^{*}\) et de \(L \in \mathcal{E}^{(2)}\)), par les conditions suivantes :

La liste est très raturée : les énoncés (ii) à (v) sont écrits, biffés, réécrits et renumérotés en marge, et seule leur charpente se lit. Ce qui est sûr est que la chaîne va de la condition de Lefschetz (6.1) à l'existence dans \(\mathcal{E}\) de l'opérateur \(\Lambda\) de degré \(-2\), puis des projecteurs \(\pi_{i,\alpha}\) de la décomposition primitive.

\[ (6.7) \qquad \begin{cases} L \Lambda = 1 - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} \pi_{i,0} \\[2pt] \Lambda L = 1 - \sum_{n \leqslant i \leqslant 2n} \pi_{i,0} \end{cases} \]

Dém. L'équivalence de (i) et (iii) est claire, et le fait que (i) […] (iii) (en prenant \(w_{i} = \Lambda^{2n-i}\)). […]

10sa page 8

Prouvons (iv). Supposons prouvé, pour \(j \notin [i, 2n-i]\), que

\[ (6.7) \qquad \pi_{j,\alpha} \in \mathcal{E} \quad \text{pour } j \notin [i, 2n-i] \]

où \(i \leqslant n\), et prouvons que pour \(j = i\) ou \(j = 2n-i\)

\[ (6.7') \qquad \pi_{j,\alpha} \in \mathcal{E} . \]

Les deux étiquettes (6.7) se suivent : celle-ci porte le même numéro que celle de la page 9. Il ne corrige pas.

[…] On raisonne par récurrence descendante sur \(\alpha\) : supposons

\[ (6.8) \qquad \pi_{i,\alpha'} \in \mathcal{E}, \quad \pi_{2n-i,\alpha'} \in \mathcal{E} \quad \text{si } \alpha' > \alpha \]

et on en conclura

\[ (6.8') \qquad \pi_{i,\alpha} \in \mathcal{E}, \quad \pi_{2n-i,\alpha} \in \mathcal{E} . \]

Ceci […] prouvera bien \((6.7')\), puisqu'on a \(\pi_{i,\alpha} = \pi_{2n-i,\alpha} = 0\) pour \(\alpha\) […], donc, par la relation

\[ (6.9) \qquad \sum_{\alpha} \pi_{i,\alpha} = \pi_{i} , \]

\(\pi_{i,0} = \pi_{i} - \sum_{\alpha \geqslant 1} \pi_{i,\alpha}\). […]

Posons \[ q_{i,\alpha} = 1 - \sum_{\alpha' > \alpha} \pi_{i,\alpha'} = \sum_{\alpha' \leqslant \alpha} \pi_{i,\alpha'} , \] donc \(q_{i,\alpha} \in \mathcal{E}\) par (6.8).

11sa page 9

Alors on veut que \[ L^{n-i+\alpha}\, q_{i,\alpha} \colon M^{i} \longrightarrow M^{2n-i+2\alpha} \] soit nul sur les \(L^{\alpha'} P^{i-2\alpha'}\) pour \(\alpha' \neq \alpha\), et que sur \(L^{\alpha} P^{i-2\alpha}\) il induise […] le composé avec l'isomorphisme \[ L^{n-i+2\alpha} \colon P^{i-2\alpha} \longrightarrow L^{n-i+2\alpha} P^{i-2\alpha} \subset M^{2n-i+2\alpha} . \] […] il s'ensuit aussitôt […] que

\[ (6.9) \qquad \pi_{i,\alpha} = L^{\alpha}\, w_{i-2\alpha}\, L^{n-i+\alpha}\, q_{i,\alpha} = L^{\alpha}\, w_{i-2\alpha}\, L^{n-i+\alpha}\Bigl( 1 - \sum_{\alpha' > \alpha} \pi_{i,\alpha'} \Bigr) \]

ce qui donne bien \(\pi_{i,\alpha} \in \mathcal{E}\). Ceci prouve (iv). Si \(i < n\), il faut de même \(\pi_{2n-i,\alpha} \in \mathcal{E}\). […] On a \(\pi_{2n-i,\alpha} \colon M^{2n-i} \to M^{2n-i+2\alpha}\) […] de la façon

\[ (6.10) \qquad \pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i}\, \pi_{i,\alpha}\, w_{i} \ \struck{\ill{}} \]

Reste : prouver (iii) \(\Lambda \in \mathcal{E}\). Comme on a

\[ (6.11) \qquad \Lambda = \sum_{j} \struck{\ill{}}\ \Lambda\, \pi_{j,\alpha}\ \struck{\ill{}} \]

il suffit de prouver que \(\Lambda \pi_{i,\alpha} \struck{\ill{}} \in \mathcal{E}\).

12sa page 10

Or si \(i \leqslant n\), on aura

\[ (6.12) \qquad \begin{cases} \Lambda\, \pi_{i,0} = 0 , \\[2pt] \Lambda\, \pi_{i,\alpha} = \struck{L}\ w_{i-2\alpha}\, L^{n-i+\alpha}\, \pi_{i,\alpha} \quad \text{si } \alpha \geqslant 1 , \end{cases} \]

et si \(j > n\), […] (6.13) \(\Lambda \pi_{j,\alpha} = L \ill{}\)

\[ (6.13) \qquad \Lambda\, \pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i+\alpha-1}\, w_{i-2\alpha}\, \struck{\ill{}}\ L^{\alpha}\, \pi_{2n-i,\alpha} \qquad (\text{si } i \leqslant n-1) \]

Les conditions envisagées indiquent […] (iv), i.e. prouvons que l'on a alors \(\pi_{i} = \pi'_{i}\). (iv) indiquent (ii). Il suffit de […] Démonstration à fournir.

Remarque. Voici une […] variante de […] unique […] en termes de \(L\), et […] une caractérisation […] en termes de l'anneau gradué \(\mathcal{E}\)) :

\(\Lambda \in \mathcal{E}^{(2)}\), \(\pi_{i,\alpha} \in \mathcal{E}^{(0)}\)

En marge il écrit \(\mathcal{E}^{(2)}\) pour \(\Lambda\), alors que partout ailleurs \(\Lambda\) est de degré \(-2\) ; le signe manque sur le feuillet.

1. \(\bigl( \Lambda^{n-i} L^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{i} = 0\) ;
2. \(\bigl( L^{n-i} \Lambda^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{2n-i} = 0\) ;
3. \(\pi_{i,\alpha} = L^{\alpha}\, \Lambda^{n-i+2\alpha}\, L^{n-i+\alpha} \Bigl( 1 - \sum_{\alpha' > \alpha} \pi_{i,\alpha'} \Bigr)\) ;
4. \(\pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i}\, \pi_{i,\alpha}\, \Lambda^{n-i}\) .

13sa page 11

\[ (6.15) \qquad \begin{cases} L \Lambda = 1 - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} \pi_{i,0} \\[2pt] \Lambda L = 1 - \sum_{n \leqslant j \leqslant 2n} \pi_{j,0} \end{cases} \]

Notant que […] \(\pi_{j,0}\), il y […] déterminés par les […]

il suffit […] \(j = n\) […] \(\Phi\) : explicitée […] relations […]

Question. Donner une […] synthétique des relations entre les \(\pi_{i}\) comme […] \(\Lambda\), \(L\) exclusivement, et […] des relations analogues […] \(L\), \(\Lambda\) […] qui définissent \(\Lambda\), polynomiales en \(L\), \(\Lambda\) […] \(\pi_{i}\) […] qui donne absolument \(\mathcal{E}\).

7. Revenons à […] un […] \(L \in \mathcal{E}^{(2)}\). […] On veut expliciter le […] […] utilisant \(M^{*}\), […] un anneau gradué \(\mathcal{E}^{*}\). Partons pour ceci […] de degré \(0\) à \(2n\) sur \(\mathbb{Z}\) [sur \(\mathbb{Z}\) !], […] une digression […] \(\xi_{a} \in \Lambda^{2} M_{a}\), […] \(M^{\alpha}_{0}\), et considérons […] \(\xi^{*} \in \Lambda^{2} M^{\vee}_{a}\), la forme […] dont \(M^{*}_{0} = \Lambda M_{a}\), […] \(M^{\alpha}_{0}\) […]

Le début du n° 7 est écrit très vite et sa syntaxe est perdue ; ce qui s'en dégage est qu'il part d'un module libre \(M_{0}\) de rang fini sur \(\mathbb{Z}\), d'une forme \(\xi_{0} \in \Lambda^{2} M_{0}\) et de sa duale \(\xi^{*}_{0}\), et prend pour \(M^{*}_{0}\) l'algèbre extérieure \(\Lambda M_{0}\).

et considérons sur \(M^{*}_{0}\) les opérateurs \[ L_{0}\, x = \xi_{0}\, x , \qquad \Lambda_{0}\, x = \xi^{*}_{0} \lrcorner\, x \] et considérons l'anneau [gradué] \[ \Phi_{0} = \mathbb{Z}[L_{0}, \Lambda_{0}] \subset \operatorname{End}(M^{*}_{0}) . \] Notons que \(\operatorname{End}_{\mathbb{Z}}(M^{*}_{0})\) [opérant sur \(M^{*}_{\mathbb{Z}}\)], […] muni de \(L\), satisfait à la condition de \((6.1)\)\((\omega)\), […] et que \(\Lambda_{0}\) est l'opérateur associé défini par (6.15).

Le \(\mathbb{Z}\) est porté sous \(\operatorname{End}\), et « opérant sur \(M^{*}_{\mathbb{Z}}\) » est une insertion au-dessus de la ligne, rattachée par un long trait. Ce que la parenthèse après \((6.1)\) contient est un seul glyphe arrondi, lu \(\omega\) et non identifié autrement. La phrase identifie les deux \(\Lambda_{0}\) du feuillet : celui que la formule affichée définit par la contraction \(\xi^{*}_{0} \lrcorner\,-\), et celui que caractérisent les relations (6.15).

14sa page 12

[…] \(\Phi_{0}\) […] est engendré par les \(\varphi^{\beta,\alpha}_{i}\) […] \(L^{\beta} \pi_{i,\alpha}\) \(\varphi^{\beta}_{i,\alpha}\) […], avec

\[ 0 \leqslant i \leqslant n , \quad 0 \leqslant \alpha, \beta \leqslant 2n-i \]

À droite, biffé d'un trait, un premier jeu d'indices : « \(0 \leqslant i \leqslant 2n\), \(0 \leqslant j \leqslant 2n\), \(\alpha, \beta \geqslant 0\), \(i - 2\alpha = j - 2\beta \geqslant 0\) ».

\[ \begin{cases} \varphi^{\beta,\alpha}_{i} = L_{0}^{\beta-\alpha}\, \pi_{i+2\alpha,\alpha} & \text{si } \alpha \leqslant \beta \\[2pt] \varphi^{\beta,\alpha}_{i} = \Lambda_{0}^{\alpha-\beta}\, \pi_{i+2\alpha,\alpha} & \text{si } \alpha \geqslant \beta \end{cases} \] \[ \begin{cases} = L_{0}^{\beta-\alpha}\, \pi_{i,\alpha} = \pi_{j,\beta}\, L_{0}^{\beta-\alpha} & \text{si } \alpha \leqslant \beta \\[2pt] = \Lambda_{0}^{\alpha-\beta}\, \pi_{i,\alpha} = \pi_{j,\beta}\, \Lambda_{0}^{\alpha-\beta} & \text{si } \alpha \geqslant \beta \end{cases} \]

Les \(\varphi^{\beta,\alpha}_{i}\) et leur multiplication […] sont donnés […]. La multiplication […] ne dépend pas du choix de […] de \((M_{0}, \xi_{0})\) […] l'[…], dans […] \(\Phi_{0}\) […] bien déterminé […].

Proposition. Revenant à la donnée de \(M^{*}\) comme […] \(n - 2g\) [anneau] gradué des […] \(\operatorname{End}(M^{*})\), […] et de \(L \in \mathcal{E}^{(2)}\). Conditions équivalentes :

1. […] \(L\) […] \(M^{*}\) satisfait les conditions du théorème du n° 6 ;
2. Hodge […] \(\Lambda\) […] satisfaisant les conditions du théorème du n° 6 ;
3. il existe un […] homomorphisme d'anneaux gradués \(\varphi \colon \Phi_{0} \to \mathcal{E}\)

15sa page 13

[…] assignant \(L_{0}\) à \(L\), et les \(\pi_{i}\) […] des \(\pi_{i}\) […] [des \(\pi_{i} \in \mathcal{E}\)]. De plus, sous ces conditions, l'homomorphisme […] est unique, et avec les notations du n° 6, il transforme \(\Lambda_{0}\) en \(\Lambda\), les \(\pi_{i}\) en \(\pi_{i}\), les \(\pi_{i,\alpha}\) en \(\pi_{i,\alpha}\), les \(\varphi^{\beta,\alpha}_{i}\) en \(\varphi^{\beta,\alpha}_{i}\) […].

condition essentielle !

Dém. (i) \(\Rightarrow\) (ii) : […] multiplication […] donnée au n° 6. Résulte du […] théorème des \(\varphi^{\beta,\alpha}_{i}\) donné au n° 6, et du théorème […].

(ii) \(\Rightarrow\) (i) : soient […] \(\pi'_{i}\), […] \(L^{\alpha} \pi'_{i} = \pi'_{i+\alpha} L^{\alpha}\) […] de \(\mathcal{E}\) […]. Je dis que \(\pi'_{i} = \pi_{i}\) […]. Comme \(i \leqslant n\), on a \[ \bigl( \Lambda_{0}^{n-i} L_{0}^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{i} = 0 , \qquad \bigl( L_{0}^{n-i} \Lambda_{0}^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{2n-i} = 0 , \] […] appliquant \(\varphi\) (et pour \(\Lambda' = \varphi(\Lambda)\)) \[ \bigl( \Lambda^{n-i} L^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{i} = 0 , \qquad \bigl( L^{n-i} \Lambda^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{2n-i} = 0 , \] (ii) […] du théorème du n° 6 […] simplifie […] définition (i). […] il résulte […] \(\varphi(\Lambda) = \Lambda\), et bien \(\varphi(\pi_{i,\alpha}) = \pi_{i,\alpha}\), […] la forme […] simultanément […] (6.14).

16sa page 14

Cor. Soit \(\mathcal{E}\) un anneau […] gradué, [et soit \(L \in \mathcal{E}^{(2)}\)]. S'il existe un homomorphisme d'anneaux gradués \[ u \colon \Phi_{0} \longrightarrow \mathcal{E} \] tel que \(u(L_{0}) = L\), et […] \(u(\pi_{i}) = \pi_{i}\) […] exprimant la graduation de \(\mathcal{E}\) par (1.3), alors […] un tel […] est unique et uniquement déterminé, et les \(\pi_{i}\) sont déterminés […] de la structure d'anneau gradué de \(\mathcal{E}\) […] les \(\pi_{i}\) satisfaisant les conditions (1.1) et (1.3).

[…] l'existence […] sont alors équivalentes : l'existence […] \(\exists\, w_{i} \in \mathcal{E}^{-(2n-2i)}\) tel que […] \(0 \leqslant i \leqslant n\) […] et alors […] \[ \bigl( w_{i} L^{n-i} - 1 \bigr)\, \pi_{2n-i} \struck{\ill{}} = 0 , \] […] \(\Lambda = u(\Lambda)\), et \(\pi_{i,\alpha} = u(\pi_{i,\alpha})\).

Comme […] des \(L\) et \(M^{*}\), […] \(\mathcal{E}^{*}\) […] les \(\pi_{i}\). On convient : \(\exists\) un unique […] graduation […] (6.14). […] \(\mathcal{E}\), l'existence de la question […] : l'existence […] fidèle sous \(\mathcal{E}^{*}\), tel que […] \(\xi^{*}\) […] la donnée […] les \(\pi_{i} = u(\pi_{i})\), […] la graduation de […].

Question. Si […] (elle sera obtenue à partir […]) \(\mathcal{E}\) […] primitif […] […] contre-exemple […] un hom \(\Phi_{0} \to \mathcal{E}\) tel que \(u(L_{0}) = L\) ?

Non

déjà dans le cas \(n = 1\), \(2n = 2\), où il y a […] \(\Phi_{0}\) formé de \(\pi_{0}\), \(\pi_{1}\), \(\pi_{2}\), \(L\), \(\Lambda\), et […] que \(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}L\) ! Il faut donc en même temps \(L\) et les \(\pi_{i}\).

17sa page 15

8) Soit maintenant […] \(\mathcal{E}^{*}\) un anneau gradué, […] […] et soit \(L \in \mathcal{E}^{(2)}\) satisfaisant aux conditions de Lefschetz (de les conditions du […]).

Il écrit « conditions de Lefschetz » en toutes lettres et le souligne : c'est le nom qu'il donne ici à ce que le n° 6 a caractérisé.

[…] combinaison des […] un anneau […] correspondant […] (Cf. Lefschetz […]).

N.B. À montrer que […] \(L\), […] on déduit \(\Lambda\) de […], pour […] symétrique \(\mathcal{E}^{*}\) […], et pour […] […] […] permettant […].

Conditions. Bornons-nous […] : voici les conditions nécessaires (par un accomplissement […]) […] de \(L\). Une condition nécessaire est […], i.e.

1. \(\mathcal{E}^{(2n)} \neq 0 \iff \pi_{0} \neq 0\) […]
2. \(\pi_{2n} \neq 0\)
3. \(L^{n} \neq 0\)

\[ \mathcal{E}^{(2n)} \neq 0 \iff \pi_{2n} \neq 0 \implies L^{n} \neq 0 \implies \Lambda^{n} \neq 0 . \]

déjà pour \(n\)

Le feuillet s'arrête ici, au milieu de la liste des conditions nécessaires ouverte par le n° 8 : l'argument se poursuit au-delà de la page 20 et n'est pas achevé dans ce lot.

Feuillets détachés

Les trois derniers feuillets du lot ne font pas partie du manuscrit précédent. Les pages 18 et 20 sont deux feuillets d'un tapuscrit de sa main, numérotés 45 et 42 dans sa propre pagination, dont le sujet est la cohomologie \(\ell\)-adique, le groupe de Picard et le groupe de Néron-Severi, et qu'il a corrigé et annoté à l'encre ; ils sont transcrits ici parce qu'ils portent ces corrections, mais leur numérotation propre montre assez qu'ils viennent d'ailleurs. La page 19 est le verso d'un tel feuillet et porte, de sa main, une page de calculs sur \(L\) et \(\Lambda\) qui relèvent, eux, du sujet du lot. Ses insertions interlinéaires sont données entre crochets, ses renvois marginaux en retrait, les suppressions du tapuscrit barrées.

18page 45 du tapuscrit

en groupes [lisse et] localement de type fini sur \(k\), soit \(\underline{\mathrm{Pic}}_{U}\), et un isomorphisme

\[ (8.13) \qquad \mathrm{Pic}(U) = \underline{\mathrm{Pic}}_{U}(k) \]

de \(\mathrm{Pic}(U)\) avec le groupe des points à valeurs dans \(k\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{U}\). Cela nous fournit donc pour \(\mathrm{Pic}(U)\) une structure d'extension

\[ (8.14) \qquad 0 \longrightarrow \mathrm{Pic}(U)^{0} \longrightarrow \mathrm{Pic}(U) \longrightarrow \mathrm{NS}(U) \longrightarrow 0 , \]

où on a posé

\[ (8.15) \qquad \mathrm{Pic}(U)^{0} = \underline{\mathrm{Pic}}_{U}^{0}(k) , \qquad \mathrm{NS}(U) = \underline{\mathrm{NS}}_{U}(k) , \]

\(\underline{\mathrm{Pic}}_{U}^{0}\) désignant la composante neutre de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{U}\), et \(\underline{\mathrm{NS}}_{U}\) le quotient de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{U}\) par cette composante. La construction indiquée dans loc. cit. permet d'ailleurs de préciser la structure de \(\mathrm{NS}(U)\), en introduisant la matrice d'intersection

\[ (C_{i} . C_{j})_{1 \leqslant i, j \leqslant r} \]

définie par les \(r\) composantes irréductibles \(C_{i}\) de \(f^{-1}(x)_{\text{réd}}\) sur le schéma régulier \(X'\) : en vertu de MUMFORD [28], cette matrice est définie négative, donc le conoyau de l'homomorphisme

\[ \underline{\mathbb{Z}}^{r} \longrightarrow \underline{\mathbb{Z}}^{r} \]

qu'elle définit est un groupe fini, dont l'ordre n'est autre que la valeur absolue du déterminant de cette matrice. Ceci posé, on trouve que \(\mathrm{NS}(U)\) est canoniquement isomorphe à ce groupe fini. La matrice envisagée étant symétrique, on voit aussitôt que ce groupe est canoniquement autodual (par un accouplement symétrique à valeurs dans \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\)), d'où une autodualité [symétrique]

\[ (8.16) \qquad \mathrm{NS}(U) \times \mathrm{NS}(U) \longrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z} , \]

dont on constate aisément qu'elle est indépendante de la résolution \(X'\) choisie.

Si maintenant \(\ell\) est un nombre premier distinct de car \(k\), alors la structure connue des groupes algébriques commutatifs connexes sur \(k\) [9, exp. 4] montre que \(\mathrm{Pic}(U)^{0}\) est un groupe \(\ell\)-divisible, donc

19feuillet de calculs, de sa main, au dos d'un feuillet du tapuscrit

[…] \(b_{0}\), \(b_{1}\), \(b_{2}\), \(b_{3}\), \(b_{4}\)

\[ n b_{0} + (n-1) b_{1} = \ldots , \qquad 2 b_{0} + b_{1} , \qquad \sum_{i} (n-i)\, b_{i} \]

\[ M^{0} \xrightarrow{\ L\ } M^{2n} \]

\[ L , \qquad \mathcal{E}^{(n-i)} , \qquad \Lambda , \qquad \Lambda L \]

\[ L \sim \lambda L , \qquad \Lambda = P(L \ , \qquad \Lambda = \Omega(L)\, \Delta(L) \]

Ces deux dernières lignes sont écrites l'une au-dessus de l'autre et sans membre de droite achevé : il essaie d'exprimer \(\Lambda\) comme un polynôme en \(L\).

\[ L , L' \quad | \quad L^{2}, L L' \quad | \quad L^{3} \] \[ L'^{2} = L L' , \qquad L^{3} = L^{2} L' , \qquad L'^{3} = L' L'^{2} = L^{2} L' = L^{3} \] \[ \bigl( L^{q},\ L'^{2} - L L',\ L^{2} L' - L^{3},\ L^{3} L' \bigr) \] \[ \mathbb{Z}[L]/(L^{4}) \ \ill{}\ \mathbb{Z}[L'] / (L'^{2} - L'') \]

Le feuillet n'est qu'une suite de calculs sans phrase liante : il essaie sur un exemple à deux générateurs \(L\), \(L'\) de degré \(2\) ce que les nos 6 et 7 demandent de l'anneau engendré par \(L\), en écrivant une base graduée \(L, L' \mid L^{2}, LL' \mid L^{3}\) et les relations qui la ferment. La dernière ligne, où il compare cet anneau à \(\mathbb{Z}[L]/(L^{4})\), n'est pas lisible jusqu'au bout.

20page 42 du tapuscrit

on trouve une suite exacte canonique (où \(\underline{\mathbb{Z}}_{\ell}[1] = \varprojlim_{\nu} \mu_{\ell^{\nu}}\) est le faisceau [\(\ell\)-adique de TATE]) :

\[ (8.3) \qquad 0 \longrightarrow t^{i-1}(X, \ell) \longrightarrow H^{i}(X, \underline{\mathbb{Z}}_{\ell}[1]) \longrightarrow T_{\ell}\bigl( H^{i}(X, \mu_{\ell^{\infty}}) \bigr) \longrightarrow 0 , \]

où […] on a posé

\[ (8.4) \qquad t^{i-1}(X, \ell) = H^{i-1}(X, \mu_{\ell^{\infty}}) \big/ H^{i-1}(X, \mu_{\ell^{\infty}})^{0} \]

qui est donc un groupe fini de \(\ell\)-torsion, et s'identifie donc, par (8.3), au sous-groupe [module] de torsion du \(\underline{\mathbb{Z}}_{\ell}\)-module de type fini

\[ (8.5) \qquad H^{i}(X, \underline{\mathbb{Z}}_{\ell}[1]) = \varprojlim H^{i}(X, \mu_{\ell^{\nu}}) , \]

dont la partie libre s'identifie, à son tour, à \(T_{\ell}\bigl( H^{i}(X, \mu_{\ell^{\infty}}) \bigr)\). On en déduit également un isomorphisme