Cote n° 16 · pages 1–55 · Lecture modernisée · Formalisme algébrique des correspondances et algèbres de Poincaré-Hodge (cf conjectures standard) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (s.d.), lettres (1966-1967) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1966-1967
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–2

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations.

1. Pages 2 à 17, « Sur certains anneaux gradués » : de l'algèbre pure. Un anneau gradué \(\mathcal{E}\), un élément \(L\) de degré \(2\) ; à quelles conditions la graduation, l'opérateur \(\Lambda\) et les projecteurs de la décomposition primitive sont-ils déterminés par ces données et internes à \(\mathcal{E}\) ? Théorème du n° 6, anneau universel \(\Phi_{0}\) du n° 7, et la réponse négative à la question « \(L\) suffit-il ? ».
2. Pages 18 à 21 : deux feuillets d'un autre texte, une page d'essais pour écrire \(\Lambda\) comme polynôme en \(L\), et une algèbre de dimension \(6\) qui sépare la condition \(L^{n} \neq 0\) de la propriété de Lefschetz.
3. Pages 24 à 28 : les « algèbres de Hodge d'ordre 2 », ossature axiomatique de l'anneau de cohomologie d'une surface.
4. Pages 32 à 39 : le formulaire de \(L\) et \(\Lambda\) le long d'une section hyperplane lisse \(Y \subset X\), et le corollaire \((A(X \times X) \text{ et } C(Y)) \Rightarrow C(X)\).
5. Pages 41 à 49 : la réduction \(C(X) \iff [\,C(Y)\) et \(A^{0}(X \times Y)\,]\), puis deux lettres à Coates.
6. Pages 50 à 54 : le lemme qui fait entrer \(\Lambda\) et les projecteurs dans un anneau de correspondances algébriques.

Ce qui relie les stations, et qu'aucun feuillet ne dit. Trois liens courent d'un bout à l'autre du dossier sans être écrits nulle part.

Le premier est une identification de notation. Les \(p^{X}_{i}\) du formulaire (pages 32 à 39) sont les \(\pi_{i,0}\) du premier cahier : les projections sur les parties primitives. Les identités (4) et (5) du tapuscrit sont donc exactement les relations (6.7) et (6.15) du n° 6, lues cette fois dans la cohomologie d'une variété au lieu d'un anneau gradué abstrait.

Le deuxième est que le lemme des pages 50 à 54 est la moitié « existence » des n° 5 et 6, transportée dans l'anneau des correspondances algébriques. L'hypothèse de stabilité par composantes homogènes y joue le rôle que jouait, page 7, le sur-anneau \(\mathcal{F}\) dans lequel les projecteurs vivaient d'avance.

Le troisième est que l'algèbre de dimension \(6\) de la page 21 répond à la liste de conditions nécessaires que le n° 8 ouvre page 17 et n'achève pas : \(L^{n} \neq 0\) est nécessaire, et n'est pas suffisant.

Les conventions. Trois familles de projecteurs portent des lettres voisines et sont distinguées ici une fois pour toutes :

• \(\pi_{i}\) (pages 2 à 17) : la projection du module gradué \(M\) sur sa composante \(M^{i}\) ;
• \(\pi_{i,\alpha}\) (pages 8 à 17) : la projection sur le facteur élémentaire \(L^{\alpha} P^{i-2\alpha}\) de la décomposition primitive ;
• \(p^{X}_{i}\) (pages 32 à 39) : la projection sur la partie primitive \(P^{i}(X)\) si \(i \leqslant n\), et sur le sommet \(L^{n-i'}P^{i'}\) avec \(i = 2n-i'\) si \(i > n\) ;
• \(p_{i}\) (pages 50 à 54) : la projection de \(H^{*}(X)\) sur \(H^{i}(X)\).

\(L\) désigne partout l'opérateur de Lefschetz, de degré \(2\), et \(\Lambda\) son pseudo-inverse de degré \(-2\) ; \(P^{i}\) les parties primitives ; \(\varphi \colon Y \to X\) l'inclusion d'une section hyperplane lisse, avec \(\varphi^{*}\) et \(\varphi_{*}\) ; \(\xi_{X}\), \(\xi_{Y}\) les classes de polarisation ; \(\chi\) l'indice de la théorie cohomologique choisie. Les \(\varphi\), \(\psi\), \(Q\), \(\chi\) des pages 24 à 28 sont des formes bilinéaires et n'ont aucun rapport avec l'inclusion \(\varphi\) ni avec l'indice \(\chi\) : la collision est sur les feuillets et on la signale à chaque emploi.

Les lettres des conjectures sont celles de janvier 1967 et non celles qui seront publiées ensuite. Dans ce dossier \(C(X)\) est la conjecture que les isomorphismes inverses du théorème de Lefschetz difficile sont induits par des correspondances algébriques ; \(D(X)\) que l'équivalence homologique coïncide avec l'équivalence numérique ; \(A(T)\) l'énoncé de type Lefschetz portant sur les cycles algébriques de \(T\), et \(A^{0}(T)\) sa restriction à la dimension critique. Chacune reçoit son sens là où elle paraît.¹

Ce que le dossier annonce et n'établit pas. Le n° 8 (page 17) ouvre la liste des conditions nécessaires et s'arrête à la troisième. Une démonstration est explicitement remise à plus tard page 12. La « Question » de la page 13, qui demande une présentation synthétique des relations entre \(L\), \(\Lambda\) et les \(\pi_{i}\), reste sans réponse. L'esquisse de la page 28 sur la finitude d'une orbite s'interrompt. L'induction du lemme (page 52) comporte une étape que le feuillet ne justifie pas. Enfin la page 46 propose de reformuler les conjectures standard pour les variétés singulières, et le dossier s'arrête là.

2–7

Quand la graduation est-elle déterminée par l'anneau ? (pages 2 à 7)

Soit \(k\) un anneau commutatif, \(M\) un \(k\)-module gradué et \(\mathcal{E}\) un sous-anneau gradué de \(\operatorname{End}(M)\). On note \(\pi_{i}\) la projection de \(M\) sur \(M^{i}\) et l'on suppose \(\pi_{i} \in \mathcal{E}\) pour tout \(i\). La graduation de \(\mathcal{E}\) s'exprime alors intrinsèquement en fonction des seuls \(\pi_{i}\) : \[ \mathcal{E}^{(\nu)} = \sum_{i} \pi_{i+\nu}\, \mathcal{E}\, \pi_{i}, \qquad u \in \mathcal{E}^{(\nu)} \iff u\,\pi_{i} = \pi_{i+\nu}\,u \ \ \text{pour tout } i, \] et la composante homogène de degré \(\nu\) d'un endomorphisme \(u\) est \(\sum_{i} \pi_{i+\nu}\,u\,\pi_{i}\).

Le mouvement propre de ces pages est de renverser cette description. On part d'un anneau gradué \(\mathcal{E}\) abstrait et d'une famille \((\pi_{i})_{i \in \mathbb{Z}}\) d'éléments presque tous nuls, et l'on demande quand les formules ci-dessus définissent bien la graduation. Il suffit qu'ils forment une famille d'idempotents orthogonaux de somme \(1\) : \[ \pi_{i}^{2} = \pi_{i}, \qquad \pi_{i}\pi_{j} = 0 \ (i \neq j), \qquad \sum_{i} \pi_{i} = 1 . \] On obtient alors du même coup la bigraduation \(\mathcal{E} = \bigoplus_{i,j} \pi_{j}\,\mathcal{E}\,\pi_{i}\), dont la composante \((i,j)\) est \(u \mapsto \pi_{j}\,u\,\pi_{i}\).²

Unicité

On fixe désormais un entier \(n\) et l'on suppose \(\pi_{i} = 0\) pour \(i \notin [0, 2n]\). La question devient : une telle famille est-elle unique ?

La première observation est que \(\mathcal{E}^{(0)}\) est le commutant de la sous-algèbre engendrée par les \(\pi_{i}\), de sorte que les \(\pi_{i}\) appartiennent au centre \(\mathfrak{z}\mathcal{E}^{(0)}\), qui est un anneau commutatif : ce sont des idempotents orthogonaux de somme \(1\) de cet anneau. Or, dans un anneau commutatif, un idempotent est connu dès qu'on connaît son annulateur. Tout revient donc à déterminer les annulateurs, et c'est une récurrence descendante.

Supposons connus les \(\pi_{\alpha}\) pour \(\alpha \notin [i, 2n-i]\), et posons \[ \varphi_{i} = \sum_{\alpha \geqslant i} \pi_{\alpha}, \qquad \psi_{2n-i} = \sum_{\alpha \leqslant 2n-i} \pi_{\alpha}, \] qui sont donc connus. Un calcul immédiat — tous les termes d'une somme s'annulent sauf celui d'indice \(i\) — donne \[ \psi_{2n-i}\ \mathcal{E}^{(2n-2i)}\ \varphi_{i} = \pi_{2n-i}\,\mathcal{E}\,\pi_{i} =: \mathcal{E}^{2n-i}_{i}, \] de sorte que la composante bigraduée \(\mathcal{E}^{2n-i}_{i}\) est elle aussi connue. Les deux conditions qui referment la récurrence sont alors : \[ \bigl( u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{(0)},\ \ \mathcal{E}^{2n-i}_{i}\,u = 0 \bigr) \implies \pi_{i}\,u = 0, \qquad \bigl( u \in \mathfrak{z}\mathcal{E}^{(0)},\ \ u\,\mathcal{E}^{2n-i}_{i} = 0 \bigr) \implies \pi_{2n-i}\,u = 0 . \] Elles disent exactement que l'annulateur de \(\pi_{i}\) dans \(\mathfrak{z}\mathcal{E}^{(0)}\) est l'idéal des \(u\) tués à gauche par \(\mathcal{E}^{2n-i}_{i}\), et de même à droite pour \(\pi_{2n-i}\) ; d'où l'unicité.³

Une condition suffisante, puis interne

Quand \(\mathcal{E}\) agit sur un module \(M\), il suffit pour cela que l'intersection des noyaux des \(u \colon M^{i} \to M^{2n-i}\), \(u\) parcourant \(\mathcal{E}^{2n-i}_{i}\), soit nulle, et que la somme de leurs images soit \(M^{2n-i}\) ; ou, plus simplement, qu'il existe dans \(\mathcal{E}^{(2n-2i)}\) un élément induisant un isomorphisme \(M^{i} \xrightarrow{\ \sim\ } M^{2n-i}\).

Cette dernière forme se transforme en une condition qui ne parle plus de \(M\) du tout, et c'est le pas décisif de ces pages : \[ (4.4)_{i} \qquad \exists\, v_{i} \in \mathcal{E}^{(2n-2i)},\ w_{i} \in \mathcal{E}^{-(2n-2i)} \quad\text{tels que}\quad (w_{i}v_{i} - 1)\,\pi_{i} = 0, \quad (v_{i}w_{i} - 1)\,\pi_{2n-i} = 0 . \] On vérifie sans aucune hypothèse de réalisation que \((4.4)_{i}\) entraîne les deux conditions d'unicité : si \(\mathcal{E}^{2n-i}_{i}\,u = 0\) alors \(v_{i}u = 0\), donc \(w_{i}v_{i}\pi_{i}u = 0\), c'est-à-dire \(\pi_{i}u = 0\) puisque \(w_{i}v_{i}\pi_{i} = \pi_{i}\).

Existence

Le n° 5, écrit après coup et inséré sur un feuillet « 5 bis », tire de la même condition l'existence. Supposons \(\mathcal{E}\) contenu dans un sur-anneau gradué \(\mathcal{F}\) dans lequel les \(\pi_{i}\) vivent déjà, et supposons \((4.4)_{i}\) satisfaite avec \(v_{i}, w_{i} \in \mathcal{E}\). Alors les \(\pi_{i}\) sont eux-mêmes dans \(\mathcal{E}\).

L'argument est d'une brièveté exemplaire. Par récurrence, \(\varphi_{i}\) et \(\psi_{2n-i}\) sont dans \(\mathcal{E}\) ; on pose \[ v'_{i} = \psi_{2n-i}\,v_{i}\,\varphi_{i} = \pi_{2n-i}\,v_{i}\,\pi_{i} \in \mathcal{E}, \qquad w'_{i} = \varphi_{i}\,w_{i}\,\psi_{2n-i} = \pi_{i}\,w_{i}\,\pi_{2n-i} \in \mathcal{E}, \] et l'on calcule, en faisant passer \(w_{i}\) à travers \(\pi_{2n-i}\) et en utilisant \(w_{i}v_{i}\pi_{i} = \pi_{i}\) : \[ w'_{i}v'_{i} = \pi_{i}\,w_{i}\,\pi_{2n-i}\,v_{i}\,\pi_{i} = \pi_{i}^{3} = \pi_{i}, \qquad v'_{i}w'_{i} = \pi_{2n-i} . \] Les deux projecteurs sont donc des produits d'éléments de \(\mathcal{E}\).

8–13

La condition de Lefschetz, la décomposition primitive, et \(\Lambda\) (pages 8 à 13)

Le n° 6 spécialise tout ce qui précède au seul cas qui intéresse la géométrie : celui où l'élément \(v_{i}\) est une puissance d'un même opérateur.

Soit donc \(L \in \mathcal{E}^{(2)}\), et considérons la condition de Lefschetz \[ (6.1)_{i} \qquad L^{n-i} \colon M^{i} \longrightarrow M^{2n-i} \quad\text{est un isomorphisme,} \] complétée par l'exigence que l'inverse appartienne à \(\mathcal{E}^{-(2n-2i)}\). Sous la forme interne, cela s'écrit \[ (6.3)_{i} \qquad \exists\, w_{i} \in \mathcal{E}^{-(2n-2i)} \ :\quad (w_{i}L^{n-i} - 1)\,\pi_{i} = 0, \quad (L^{n-i}w_{i} - 1)\,\pi_{2n-i} = 0, \] et c'est un cas particulier de \((4.4)_{i}\) : l'unicité et l'appartenance des \(\pi_{i}\) à \(\mathcal{E}\) sont donc acquises.

La condition entraîne la décomposition primitive de \(M\) : \[ M^{i} \simeq P^{i} \oplus L P^{i-2} \oplus L^{2}P^{i-4} \oplus \cdots \quad (i \leqslant n), \qquad M^{2n-i} \simeq L^{n-i}P^{i} \oplus L^{n-i+1}P^{i-2} \oplus \cdots, \] et l'on note \(\pi_{i,\alpha}\) la projection de \(M^{i}\) sur \(L^{\alpha}P^{i-2\alpha}\), \(\pi_{2n-i,\alpha}\) celle de \(M^{2n-i}\) sur \(L^{n-i+\alpha}P^{i-2\alpha}\).⁴

Le théorème du n° 6

Le feuillet 9 énonce un théorème sous forme d'une chaîne de conditions équivalentes. La liste est raturée et renumérotée trois fois, et seule sa charpente se lit ; ce qui est sûr, et ce que la démonstration des pages 10 à 12 établit effectivement, est l'équivalence des trois énoncés suivants.⁵

1. Les conditions de Lefschetz \((6.1)_{i}\) et \((6.2)_{i}\) valent pour tout \(i\), et les \(\pi_{i}\) sont dans \(\mathcal{E}\).
2. Il existe \(\Lambda \in \mathcal{E}^{(-2)}\) satisfaisant les deux relations \((6.7)\) ci-dessous.
3. Tous les projecteurs \(\pi_{i,\alpha}\) de la décomposition primitive sont dans \(\mathcal{E}\).

Les deux relations qui déterminent \(\Lambda\) sont \[ (6.7) \qquad L\Lambda = 1 - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} \pi_{i,0}, \qquad \Lambda L = 1 - \sum_{n \leqslant i \leqslant 2n} \pi_{i,0} . \]

Il faut s'arrêter sur elles, car elles ne disent pas ce qu'on attend. Elles font de \(\Lambda\) un pseudo-inverse à deux côtés de \(L\) : \(\Lambda L\) vaut l'identité partout sauf sur les parties primitives situées au bas des chaînes, et \(L\Lambda\) vaut l'identité partout sauf sur les sommets. Ce n'est pas l'opérateur \(\Lambda\) de la théorie de Hodge, l'adjoint de \(L\) pour la métrique, lequel satisfait \([L,\Lambda] = H\) et agit sur \(L^{k}P^{i}\) par des scalaires entiers non triviaux — sur une classe primitive de degré \(i\) on a \(\Lambda L x = (n-i)\,x\) et non \(x\).⁶

La démonstration

Elle procède par une double récurrence, descendante sur \(i\) et, à \(i\) fixé, descendante sur \(\alpha\). Supposons connus les \(\pi_{j,\alpha}\) pour \(j \notin [i, 2n-i]\), et les \(\pi_{i,\alpha'}\), \(\pi_{2n-i,\alpha'}\) pour \(\alpha' > \alpha\). On pose \[ q_{i,\alpha} = \sum_{\alpha' \leqslant \alpha} \pi_{i,\alpha'} = 1 - \sum_{\alpha' > \alpha} \pi_{i,\alpha'} \ \in \mathcal{E} . \] L'opérateur \(L^{n-i+\alpha}q_{i,\alpha}\) tue alors tous les facteurs \(L^{\alpha'}P^{i-2\alpha'}\) avec \(\alpha' \neq \alpha\), et induit sur le facteur restant l'isomorphisme \(L^{n-i+2\alpha} \colon P^{i-2\alpha} \xrightarrow{\ \sim\ } L^{n-i+2\alpha}P^{i-2\alpha}\). En le composant avec l'inverse \(w_{i-2\alpha}\) et en remontant par \(L^{\alpha}\), on obtient la formule qui referme la récurrence : \[ \pi_{i,\alpha} = L^{\alpha}\,w_{i-2\alpha}\,L^{n-i+\alpha} \Bigl( 1 - \sum_{\alpha' > \alpha} \pi_{i,\alpha'} \Bigr) \ \in \mathcal{E}, \qquad \pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i}\,\pi_{i,\alpha}\,w_{i} . \]

Il reste \(\Lambda\). Comme \(\Lambda = \sum_{j,\alpha} \Lambda\,\pi_{j,\alpha}\), il suffit de traiter chaque facteur, et le calcul se fait en trois lignes : \[ \Lambda\,\pi_{i,0} = 0, \qquad \Lambda\,\pi_{i,\alpha} = w_{i-2\alpha}\,L^{n-i+\alpha}\,\pi_{i,\alpha} \ \ (\alpha \geqslant 1), \qquad \Lambda\,\pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i+\alpha-1}\,w_{i-2\alpha}\,L^{\alpha}\,\pi_{2n-i,\alpha} . \] La première ligne est la traduction de \((6.7)\) : \(\Lambda\) annule les primitifs du bas.⁷

Une Remarque reprend alors toute la caractérisation en \(L\) et \(\Lambda\) seuls, sans plus nommer les \(w_{i}\) : \[ (\Lambda^{n-i}L^{n-i} - 1)\,\pi_{i} = 0, \qquad (L^{n-i}\Lambda^{n-i} - 1)\,\pi_{2n-i} = 0, \] \[ \pi_{i,\alpha} = L^{\alpha}\,\Lambda^{n-i+2\alpha}\,L^{n-i+\alpha} \Bigl(1 - \sum_{\alpha' > \alpha}\pi_{i,\alpha'}\Bigr), \qquad \pi_{2n-i,\alpha} = L^{n-i}\,\pi_{i,\alpha}\,\Lambda^{n-i} . \]

13–17

L'anneau universel \(\Phi_{0}\), et ce que \(L\) seul ne détermine pas (pages 13 à 17)

Le n° 7 construit le modèle universel. On part d'un \(\mathbb{Z}\)-module libre de rang fini \(M_{0}\), d'une forme \(\xi_{0} \in \Lambda^{2}M_{0}\) et de sa duale \(\xi_{0}^{*}\), on prend pour module gradué l'algèbre extérieure \(M_{0}^{*} = \Lambda M_{0}\), et l'on y fait agir \[ L_{0}\,x = \xi_{0} \wedge x, \qquad \Lambda_{0}\,x = \xi_{0}^{*} \lrcorner\, x . \] On pose enfin \[ \Phi_{0} = \mathbb{Z}[L_{0}, \Lambda_{0}] \subset \operatorname{End}(\Lambda M_{0}) . \] Cet anneau gradué est engendré par les éléments \[ \varphi^{\beta,\alpha}_{i} = \begin{cases} L_{0}^{\beta-\alpha}\,\pi_{i,\alpha} = \pi_{j,\beta}\,L_{0}^{\beta-\alpha} & \text{si } \alpha \leqslant \beta, \\[2pt] \Lambda_{0}^{\alpha-\beta}\,\pi_{i,\alpha} = \pi_{j,\beta}\,\Lambda_{0}^{\alpha-\beta} & \text{si } \alpha \geqslant \beta, \end{cases} \qquad 0 \leqslant i \leqslant n, \quad 0 \leqslant \alpha, \beta \leqslant 2n-i, \] dont la table de multiplication ne dépend pas du choix de \((M_{0}, \xi_{0})\).⁸

Le feuillet ferme le paragraphe en identifiant les deux \(\Lambda_{0}\) qu'il a sous la main : celui que la formule affichée définit par la contraction, et celui que caractérisent les relations \((6.15)\). Ce sont deux opérateurs distincts dès que \(n \geqslant 2\). Le couple \((L_{0}, \Lambda_{0})\) formé de \(\xi_{0} \wedge -\) et de \(\xi^{*}_{0} \lrcorner\, -\) est le couple symplectique classique sur une algèbre extérieure : il engendre une représentation de \(\mathfrak{sl}_{2}\), dans laquelle \(\Lambda_{0}L_{0}\) agit sur une classe primitive de degré \(i\) par le scalaire \(n-i\), et non par \(1\). Sur l'unité, qui est primitive de degré \(0\), \[ \Lambda_{0}L_{0}(1) = \langle \xi^{*}_{0}, \xi_{0} \rangle = n, \] alors que \((6.15)\) exige \(1\). Aucun choix d'échelle ne répare l'écart, puisque le facteur \(n\) change avec le rang de \(M_{0}\) ; l'identification ne vaut donc que pour \(n = 1\).⁹

C'est donc \(\Lambda_{0}\) au sens de \((6.15)\) que \(\Phi_{0}\) contient dans tout ce qui suit — c'est ce dont la Proposition a besoin — et l'algèbre extérieure ne sert qu'à fournir un modèle où les \(\pi_{i,\alpha}\) existent. L'élément \(\varphi^{\beta,\alpha}_{i}\) envoie le facteur \(L^{\alpha}P^{i-2\alpha}\) sur le facteur \(L^{\beta}P^{i-2\alpha}\) et tue les autres : \(\Phi_{0}\) est donc l'anneau de toutes les façons de circuler dans les chaînes de la décomposition primitive.

La proposition, et son corollaire

La Proposition du feuillet 14 dit alors que, pour \(\mathcal{E}\) et \(L \in \mathcal{E}^{(2)}\) donnés, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(L\) satisfait les conditions du théorème du n° 6 ;
2. il existe dans \(\mathcal{E}\) un \(\Lambda\) les satisfaisant ;
3. il existe un homomorphisme d'anneaux gradués \(\varphi \colon \Phi_{0} \to \mathcal{E}\) envoyant \(L_{0}\) sur \(L\) et les \(\pi_{i}\) sur les \(\pi_{i}\).

Sous ces conditions l'homomorphisme est unique, et il transporte automatiquement \(\Lambda_{0}\) sur \(\Lambda\), les \(\pi_{i,\alpha}\) sur les \(\pi_{i,\alpha}\), les \(\varphi^{\beta,\alpha}_{i}\) sur leurs homonymes. Le Corollaire du feuillet 16 en tire la version qui ne suppose plus de module : si un tel homomorphisme existe, alors les \(\pi_{i}\) sont déterminés par la seule structure d'anneau gradué de \(\mathcal{E}\).

La réponse est « Non »

Suit une Question, qu'il pose et à laquelle il répond en marge d'un seul mot : un homomorphisme \(\Phi_{0} \to \mathcal{E}\) avec \(u(L_{0}) = L\) suffit-il, sans qu'on impose les \(\pi_{i}\) ?

Non — et le contre-exemple tient en une ligne. Prenons \(n = 1\), \(2n = 2\). L'anneau \(\Phi_{0}\) contient \(\pi_{0}\), \(\pi_{1}\), \(\pi_{2}\), \(L\) et \(\Lambda\) ; mais le sous-anneau engendré par \(L\) seul est \(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}L\), et rien d'autre. Il ne contient aucun des trois projecteurs. « Il faut donc \(L\) et les \(\pi_{i}\). »

C'est la conclusion du premier cahier, et elle est plus qu'une précaution technique : elle dit que l'opérateur de Lefschetz ne porte pas en lui la graduation qu'il relie. Dans la théorie de Hodge, c'est le commutateur \([L, \Lambda]\) qui restitue le degré ; ici, avec un \(\Lambda\) normalisé en pseudo-inverse, ce commutateur vaut \(\sum_{i \geqslant n}\pi_{i,0} - \sum_{i \leqslant n}\pi_{i,0}\) et ne retient que les extrémités des chaînes. La graduation doit donc être fournie séparément.¹⁰

Le n° 8, resté ouvert

Le dernier feuillet du cahier ouvre un n° 8 sur les conditions nécessaires pour qu'un \(L\) satisfasse les conditions de Lefschetz — qu'il écrit ici en toutes lettres et souligne — et s'arrête après trois : \[ \mathcal{E}^{(2n)} \neq 0 \iff \pi_{2n} \neq 0 \implies L^{n} \neq 0 \implies \Lambda^{n} \neq 0 . \] La suite n'est pas sur ces feuillets. Mais la page 21 y répond par la négative, et c'est le premier des liens que ce dossier ne fait pas lui-même.

18–21

\(\Lambda\) comme polynôme en \(L\), et une algèbre où la condition \(L^{n} \neq 0\) ne suffit pas (pages 18 à 21)

Un essai (page 19)

Un feuillet de calculs, sans phrase liante, poursuit la Question de la page 13 sous la forme la plus concrète : peut-on écrire \(\Lambda\) comme un polynôme en \(L\) ? Deux lignes sont commencées et laissées sans second membre, \(\Lambda = P(L\) et \(\Lambda = \Omega(L)\Delta(L)\).

Il essaie alors sur un exemple à deux générateurs \(L, L'\) de degré \(2\), en écrivant une base graduée \(L, L' \mid L^{2}, LL' \mid L^{3}\) et les relations qui la ferment : \[ L'^{2} = LL', \qquad L^{3} = L^{2}L', \qquad L'^{3} = L'\,L'^{2} = L^{2}L' = L^{3}, \] puis compare l'anneau obtenu à \(\mathbb{Z}[L]/(L^{4})\).¹¹

Le contre-exemple (page 21)

La page 21 est un feuillet au crayon, biffé aux trois quarts ; la prose se perd mais les formules portent, et ce qu'elles portent est décisif.

Il commence par vérifier une normalisation : si \(L'^{n} = \alpha L_{0}^{n}\) et \(\Lambda'^{n} = \beta \Lambda_{0}^{n}\), alors \[ L_{0}^{n} = L_{0}^{n}\pi_{0} = L_{0}^{n}\Lambda'^{n}L'^{n} = L_{0}^{n}(\beta\Lambda_{0}^{n})(\alpha L_{0}^{n}) = \alpha\beta\,L_{0}^{n}\pi_{0} = \alpha\beta\,L_{0}^{n}, \] d'où \(\alpha\beta = 1\) : deux opérateurs de Lefschetz proportionnels en degré maximal le sont par une unité.

Puis vient l'algèbre. Prenons la \(k\)-algèbre graduée de dimension \(6\), engendrée en degré \(2\) par deux éléments \(L\) et \(L'\) soumis aux relations \[ L^{4} = 0, \qquad L'^{2} - LL' = 0, \qquad L^{2}L' - L^{3} = 0, \qquad L^{3}L' = 0 . \] Une base graduée en est \[ \underbrace{1}_{\deg 0} \ \Big\| \ \underbrace{L,\ L'}_{\deg 2} \ \Big\| \ \underbrace{L^{2},\ LL'}_{\deg 4} \ \Big\| \ \underbrace{L^{3}}_{\deg 6}, \] donc \(2n = 6\) et \(n = 3\). Alors :

• \(L'^{3} = L'\cdot L'^{2} = L'\cdot LL' = L\cdot L'^{2} = L\cdot LL' = L^{2}L' = L^{3} \neq 0\) ;
• \(L\) est de Lefschetz : \(L^{3}\) est un isomorphisme du degré \(0\) sur le degré \(6\), et \(L\) un isomorphisme du degré \(2\) sur le degré \(4\) ;
• \(L'\) ne l'est pas : \(L' \cdot L = LL'\) et \(L' \cdot L' = L'^{2} = LL'\), de sorte que \(L'\) envoie tout le degré \(2\) sur la seule droite engendrée par \(LL'\), et n'est donc pas injectif en degré \(2\).

Ainsi \(L'^{n} = L^{n} \neq 0\) sans que \(L'\) soit de Lefschetz. La chaîne de conditions nécessaires ouverte page 17 — \(\pi_{2n} \neq 0 \Rightarrow L^{n} \neq 0\) — n'est donc pas réversible, et l'échec se produit exactement à l'étage médian.¹²

24–28

Les algèbres de Hodge d'ordre 2 (pages 24 à 28)

Ces trois feuillets dégagent l'ossature d'un anneau de cohomologie de surface, sans surface.¹³

Une algèbre de Hodge d'ordre 2 est une algèbre graduée anticommutative sur \(k\), concentrée en degrés \(0\) à \(4\) : \[ \begin{array}{ccccc} H^{0} & H^{1} & H^{2} & H^{3} & H^{4} \\ k & V & k\xi \oplus W & \check{V} & k\xi^{2} \end{array} \] dont la multiplication est entièrement déterminée par trois données : une forme alternée \(\varphi\) sur \(V\), une application \(\psi \colon \Lambda^{2}V \to W\), et une forme bilinéaire symétrique \(Q\) sur \(W\). Elles se lisent sur les deux applications \[ \Lambda^{2}V \xrightarrow{\ \alpha\ } k\xi \oplus W, \quad \alpha(x \wedge y) = \varphi(x,y)\,\xi + \psi(x,y), \qquad \mathrm{Sym}^{2}W \xrightarrow{\ \beta\ } k\xi^{2}, \quad \beta(xy) = Q(x,y)\,\xi^{2} . \] Les produits restants sont alors forcés : \(x\xi = \tilde\varphi(x)\) où \(\tilde\varphi \colon V \to \check{V}\) est l'application associée à \(\varphi\) ; \(xw = \rho(w,x) \colon y \mapsto Q(\psi(y,x), w)\) ; \(x y' = \langle x, y' \rangle\,\xi^{2}\) pour \(x \in V\), \(y' \in \check{V}\) ; \(\xi w = 0\) ; \(ww' = Q(w,w')\,\xi^{2}\).

Quels que soient \(\varphi\), \(\psi\), \(Q\), on obtient ainsi une loi anticommutative unifère. Trois conditions la qualifient, et c'est le point de ces pages qu'elles se lisent chacune sur une seule des trois données :

• associativité : \((xy)(tz) = (tx)(yz)\), soit \[ \varphi(x,y)\varphi(t,z) + Q(\psi(x,y), \psi(t,z)) = \varphi(t,x)\varphi(y,z) + Q(\psi(t,x), \psi(y,z)) ; \]
• condition de Lefschetz : \(\xi^{2} \colon H^{0} \to H^{4}\) est toujours un isomorphisme, et \(\xi \colon H^{1} \to H^{3}\) en est un si et seulement si \(\varphi\) est non dégénérée ;
• condition de Poincaré : les accouplements \(H^{0} \times H^{4}\) et \(H^{1} \times H^{3}\) vers \(H^{4}\) sont toujours non dégénérés, et \(H^{2} \times H^{2} \to H^{4}\) l'est si et seulement si \(Q\) est non dégénérée.

Le cas dégénéré, et la reformulation

Le feuillet 26 examine le cas où \((xy)(zt) = 0\), c'est-à-dire où l'image de \(\alpha\) est isotrope. Plus généralement, il introduit la forme quadrilinéaire alternée \(\chi\) définie par \(x\,y\,z\,t = \chi(x,y,z,t)\,\xi^{2}\), et observe que la forme \(Q \oplus 1\) induite sur \(\Lambda^{2}V\) par \(\alpha\) se factorise à travers \(\chi\). Toute l'algèbre se ramène alors à la donnée de

• un espace \(V\) de dimension finie sur \(k\) ;
• une forme \(\chi \colon \Lambda^{4}V \to k\), d'où une forme symétrique \(\chi'\) sur \(\Lambda^{2}V\) ;
• un espace \(\tilde{W}\) muni d'une forme bilinéaire symétrique \(\tilde{Q}\) et d'une application \(\alpha \colon \Lambda^{2}V \to \tilde{W}\) compatible avec \(\chi'\) ;
• un élément \(\xi \in \tilde{W}\) avec \(Q(\xi,\xi) = 1\),

les conditions de non-dégénérescence devenant : \(Q\) non dégénérée, et \(\varphi(x,y) = Q(\alpha(x \wedge y), \xi)\) non dégénérée. Le gain est que la polarisation \(\xi\) devient un paramètre de la structure, et non plus une partie de sa définition — ce qui est exactement la question que les lettres de janvier poseront pour les conjectures.

L'exemple du feuillet 28 prend \(\chi = \varphi^{2}\), \(\alpha = \mathrm{id}\), \(\tilde{W} = \Lambda^{2}V\) ; \(\check\varphi^{(2)}\) définit alors un endomorphisme \(u\) de \(\Lambda^{2}V\), et il se demande si l'orbite de \(\xi\) et de \(\check\varphi\) sous \(u\) peut être infinie lorsque \(\dim V \geqslant 4\). L'esquisse s'interrompt.¹⁴

32–39

Le formulaire de \(L\) et \(\Lambda\) le long d'une section hyperplane (pages 32 à 39)

On passe ici à la géométrie. \(X\) est une variété projective lisse connexe de dimension \(n\), polarisée par \(\xi_{X} \in H^{2}(X)\) ; \(L_{X}\) est le cup-produit par \(\xi_{X}\) et \(\Lambda_{X}\) le pseudo-inverse de degré \(-2\) ; \(p^{X}_{i}\) désigne la projection sur la partie primitive \(P^{i}(X)\). \(Y \subset X\) est une section hyperplane lisse, \(\varphi \colon Y \to X\) l'inclusion, \(\xi_{Y}\) la polarisation induite.¹⁵

Les identités de base

Des descriptions \[ \operatorname{Im} L_{X} = \bigcap_{0 \leqslant i \leqslant n} \operatorname{Ker} p^{X}_{i}, \qquad \operatorname{Ker} L_{X} = \sum_{n \leqslant i \leqslant 2n} \operatorname{Im} p^{X}_{i}, \] et de leurs transposées pour \(\Lambda_{X}\), on tire immédiatement \(p^{X}_{i}L_{X} = 0\) pour \(i \leqslant n\), \(L_{X}p^{X}_{i} = 0\) pour \(i \geqslant n\), les relations symétriques pour \(\Lambda_{X}\), et en particulier l'annulation complète en degré médian : \[ p^{X}_{n}L_{X} = L_{X}p^{X}_{n} = p^{X}_{n}\Lambda_{X} = \Lambda_{X}p^{X}_{n} = 0 . \] Viennent ensuite les deux relations fondamentales, qui sont \((6.7)\) : \[ \Lambda_{X}L_{X} = \mathrm{id}_{X} - \sum_{n \leqslant i \leqslant 2n} p^{X}_{i}, \qquad L_{X}\Lambda_{X} = \mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} p^{X}_{i} . \]

Ce que la section hyperplane apporte

Les formules de projection donnent \[ \varphi^{*}L_{X} = L_{Y}\varphi^{*}, \qquad L_{X}\varphi_{*} = \varphi_{*}L_{Y}, \qquad \varphi_{*}\varphi^{*} = L_{X}, \qquad \varphi^{*}\varphi_{*} = L_{Y} , \] la dernière se vérifiant en composant avec \(\varphi^{*}\) et en constatant que les deux membres deviennent \(L_{X}^{2}\). Il en résulte la formule clef du tapuscrit : \[ \varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*} = \mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \leqslant i \leqslant 2n} p^{X}_{i} = (\Lambda_{X}L_{X} + L_{X}\Lambda_{X}) - \mathrm{id}_{X} + p^{X}_{n}, \] la seconde égalité s'obtenant en additionnant les deux relations précédentes, où \(p^{X}_{n}\) est compté deux fois. Il pose alors \[ T_{X} = \mathrm{id}_{X} + \varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*}, \qquad\text{de sorte que}\qquad \Lambda_{X}L_{X} + L_{X}\Lambda_{X} = T_{X} - p^{X}_{n}, \] d'où l'identité de degré supérieur \[ L_{X}^{2}\Lambda_{X} + 2\,L_{X}\Lambda_{X}L_{X} + \Lambda_{X}L_{X}^{2} = L_{X}T_{X} + T_{X}L_{X} . \]

Le corollaire que le tapuscrit en tire est le premier énoncé du dossier sur les conjectures : \[ \bigl( A(X \times X) \ \text{et}\ C(Y) \bigr) \implies C(X), \] et une marge précise qu'on peut y remplacer \(A(X \times X)\) par \(A^{0}(X \times X)\), la condition \(A\) restreinte aux correspondances en dimension critique.

La comparaison des décompositions primitives

Les feuillets manuscrits comparent ensuite terme à terme les décompositions de \(X\) et de \(Y\). Le théorème de Lefschetz faible donne \(P^{i}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } P^{i}(Y)\) pour \(i \leqslant n-2\), une injection \(P^{n-1}(X) \hookrightarrow P^{n-1}(Y)\), et \(P^{i}(X) = \operatorname{Ker}\varphi^{i}\) pour \(i \geqslant n\), le tout se lisant sur le carré

\begin{tikzcd}[column sep=large]
H^{i}(X) \arrow[r, "L_{X}^{n-i+1}"] \arrow[d, "\varphi^{*}"'] & H^{2n-i+2}(X) \\
H^{i}(Y) \arrow[r, "L_{Y}^{n-i}"'] & H^{2(n-1)-i}(Y) \arrow[u, "\varphi_{*}"']
\end{tikzcd}

pour \(i \leqslant n-2\), condition sous laquelle \(2(n-1) - i \geqslant n\). Tout l'écart entre les deux variétés se concentre alors dans un seul module, le conoyau en degré médian : \[ E^{n-1} = H^{n-1}(Y)/\operatorname{Im} H^{n-1}(X) = P^{n-1}(Y)/\operatorname{Im} P^{n-1}(X) \simeq \operatorname{Ker}\bigl(\varphi_{*} \colon H^{n-1}(Y) \to H^{n+1}(X)\bigr), \] et l'on obtient la décomposition \[ H^{*}(Y) \simeq \bigoplus_{\substack{i+j \leqslant n-1 \\ i,j \geqslant 0}} L_{X}^{j}P^{i}(X) \ \oplus\ E^{n-1} . \] Sous cette identification, \(\varphi_{*}\) agit comme \(L_{X}\) sur le premier morceau et par zéro sur \(E^{n-1}\) ; \(\Lambda_{Y}\) est nul sur \(E^{n-1}\) et coïncide avec \(\Lambda_{X}\) sur l'autre. D'où le corollaire \[ \operatorname{Ker}\varphi_{*} \simeq E^{n-1}, \qquad \operatorname{Im}\varphi_{*} = \operatorname{Im}\varphi_{*}\varphi^{*} = \operatorname{Im} L_{X} = \bigcap_{0 \leqslant i \leqslant n} \operatorname{Ker} p^{X}_{i} . \]

La formule encadrée

Le feuillet 39 conclut. En posant \(q = \mathrm{id}_{X} - \sum_{0 \leqslant i \leqslant 2n}p^{X}_{i}\), on a plus généralement \(\varphi_{*}\Lambda_{Y}^{m}\varphi^{*} = q\,\Lambda_{X}^{m-1}\,q\), et dans l'autre sens \[ \varphi^{*}\Lambda_{X}\varphi_{*} = \mathrm{id}_{Y} - p_{E}, \] où \(p_{E}\) est la projection sur le facteur \(E^{n-1}\). Comme \(\Lambda_{Y}p_{E} = 0\), la multiplication à gauche par \(\Lambda_{Y}\) élimine ce terme, et il reste \[ \boxed{\ \Lambda_{Y} = \varphi^{*}\,\Lambda_{X}^{2}\,\varphi_{*}\ } \] — formule qui exprime le pseudo-inverse sur la section hyperplane à partir de celui de l'ambiante. Elle donne aussitôt \(C(X) \Rightarrow C(Y)\).

Il aborde alors la réciproque en introduisant les projections \(p^{i,j}_{X}\) sur les facteurs \(L_{X}^{j}P^{i}(X)\), pour lesquelles \[ \varphi_{*}\,p^{i,j}_{Y}\,\varphi^{*} = p^{i,j+1}_{X} \qquad (0 \leqslant i+j \leqslant n-1), \] ce qui rend algébriques tous les \(p^{i,j}_{X}\) avec \(j \geqslant 1\), donc tous sauf ceux de la première colonne. Le feuillet s'arrête sur un « Mais » : ce sont précisément les \(p^{i,0}_{X}\), en dimension médiane, qui résistent, et c'est l'objet de la page suivante.

41–41

La réduction : \(C(X)\) et l'algébricité de \(\Lambda_{X}\varphi_{*}\) (page 41)

Ce feuillet reprend au point où la page 39 s'arrête, et donne la réduction sous sa forme la plus nette. Moyennant \(C(Y)\), la conjecture \(C(X)\) équivaut à chacun des énoncés suivants :

• pour tout \(i \leqslant n-1\), l'homomorphisme \(H^{i}(Y) \to H^{i}(X)\), inverse à gauche de \(\varphi^{i} \colon H^{i}(X) \to H^{i}(Y)\) et induit par \(\Lambda_{X}\varphi_{*}\), est induit par une classe algébrique ;
• \(\Lambda_{X}\varphi_{*}\) est algébrique.

L'opérateur \(\Lambda_{X}\varphi_{*}\) correspond en effet à une classe de cohomologie sur \(X \times Y\), de degré \(m - 1\) où \(m = \dim(X \times Y) = 2n-1\), dans \[ \sum_{i} H^{2(n-1)-i}(Y) \otimes H^{i}(X) = H^{2(n-1)}(X \times Y) . \] En lui appliquant l'opérateur de Lefschetz du produit, \(L_{X \times Y} = L_{X} \otimes 1 + 1 \otimes L_{Y}\), on obtient \[ \Lambda_{X}\varphi_{*}L_{Y} + L_{X}\Lambda_{X}\varphi_{*} = (\Lambda_{X}L_{X} + L_{X}\Lambda_{X})\,\varphi_{*} = (\varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*} + \mathrm{id}_{X})\,\varphi_{*}, \] la dernière égalité étant la définition de \(T_{X}\) du feuillet 32.¹⁶ La classe de \(\Lambda_{X}\varphi_{*}\) est donc en dimension critique pour \(X \times Y\), et l'on obtient \[ C(X) \iff \bigl[\,C(Y) \ \text{et}\ A^{0}(X \times Y)\,\bigr], \] puis, en itérant le long d'une suite décroissante de sections hyperplanes \(X \supset Y \supset Z \supset T \supset \cdots\), \[ C(X) \implies A^{0}(X \times Y) \ \text{et}\ A^{0}(Y \times Z) \ \text{et}\ A^{0}(Z \times T) \ \ldots \]

43–46

La lettre du 4 janvier 1967 : où placer la conjecture de l'indice (pages 43 à 46)

Le premier des deux carbones est une lettre de travail adressée à celui qui rédigeait les notes d'un exposé sur les cycles algébriques.¹⁷

Ce qu'il demande qu'on écrive

Sa recommandation est de rédaction avant d'être mathématique, et elle est instructive : énoncer la conjecture de l'indice immédiatement après les résultats principaux de la théorie de Hodge, en avertissant qu'elle ne prendra tout son sens qu'une fois couplée à la conjecture \(A\) du paragraphe suivant. Cela laisse ensuite la place d'exprimer les relations entre conjectures, du type « \(A\) + indice implique \(B\) ».

Suit un inventaire de ce qui, en caractéristique zéro, se démontre : le théorème de l'indice vaut ; les conditions \(A_{\chi}\) à \(D_{\chi}\) sont indépendantes de la théorie cohomologique \(\chi\), parce que l'existence de la cohomologie de Betti les ramène toutes à leur analogue rationnel ; et \(A\) et \(C\) sont indépendantes de la polarisation choisie — \(A\) parce qu'elle équivaut à \(B\), \(C\) parce qu'elle s'exprime par les \(A\) des produits successifs. On peut donc, sans ambiguïté, écrire \(A(X)\) à \(D(X)\) sans indice.

En caractéristique \(p > 0\) rien de tout cela n'est acquis, et il se corrige explicitement : contrairement à ce qu'il avait affirmé trop vite pendant l'exposé, sous l'influence de ses souvenirs du cas de caractéristique nulle, il ne lui paraît pas clair que \(A_{\chi}(X,\xi)\) et \(C_{\chi}(X,\xi)\) soient alors indépendantes de \(\xi\) ; si la preuve ne se trouve pas, c'est la dépendance possible qu'il faut signaler.¹⁸

La proposition

Vient alors, en français dans le tapuscrit anglais, la proposition qui rassemble les réductions des pages 32 à 41. Pour \(X\) polarisée, avec \(Y\) une section hyperplane, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)\(C_{\chi}(X)\) ;
2. (ii)\(C_{\chi}(Y)\) et \(A_{\chi}(X \times X)\) ;
3. (ii bis)\(C_{\chi}(Y)\) et \(A_{\chi}(X \times X)^{0}\), l'exposant \(0\) signifiant qu'on se borne à la dimension critique \(H^{2n-2} \to H^{2n+2}\) ;
4. (iii)\(C_{\chi}(Y)\) et \(A_{\chi}(X \times Y)\) ;
5. (iii bis)\(C_{\chi}(Y)\) et \(A_{\chi}(X \times Y)^{0}\), en dimension critique \(H^{(2n-1)-1} \to H^{(2n-1)+1}\) ;
6. (iv)\(C_{\chi}(Y)\), et pour tout \(i \leqslant n-1\) l'homomorphisme \(H^{i}(Y) \to H^{i}(X)\) inverse à gauche de \(\varphi^{i}\), induit par \(\Lambda_{X}\varphi_{*}\), est induit par une correspondance algébrique ;
7. (iv bis)\(C_{\chi}(Y)\), et pour tout \(j \geqslant n+1\) l'homomorphisme \(H^{j}(X) \to H^{j-2}(Y)\) inverse à droite de \(\varphi_{j-2}\), induit par \(\varphi^{*}\Lambda_{X}\), est induit par une correspondance algébrique.

Le corollaire descend la chaîne : ces conditions équivalent aussi à \[ A_{\chi}(X \times X)^{0} + A_{\chi}(Y \times Y)^{0} + A_{\chi}(Z \times Z)^{0} + \cdots \] pour une suite décroissante \(X \supset Y \supset Z \supset \cdots\) de sections hyperplanes, ou de même avec \(X \times Y\), \(Y \times Z\), etc. L'intérêt est qu'on ramène ainsi la conjecture \(A(k) = C(k)\) pour un corps entier à la seule condition \(A(T)^{0}\) pour toute variété \(T\), c'est-à-dire à ce qui se passe en dimension critique.

La démonstration tient en quelques observations. L'équivalence de (iv) et (iv bis) est la transposition. Ces deux conditions entraînent (i) parce que l'isomorphisme cherché \(H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X)\) se factorise

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{2n-i}(X) \arrow[r, "\varphi^{*}\Lambda_{X}"] & H^{2n-i-2}(Y) \arrow[r, "\Lambda_{Y}^{(n-1)-i}"] & H^{i}(Y) \arrow[r, "\Lambda_{X}\varphi_{*}"] & H^{i}(X)
\end{tikzcd}

où les flèches extrêmes sont celles de (iv bis) et de (iv). Et elles sont entraînées par (iii bis) grâce à la formule de la page 41, \[ (\Lambda_{X}\varphi_{*})L_{Y} + L_{X}(\Lambda_{X}\varphi_{*}) = (\varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*} + \mathrm{id}_{X})\,\varphi_{*}, \] dont il note en marge la transposée \((\varphi^{*}\Lambda_{X})L_{X} + L_{Y}(\varphi^{*}\Lambda_{X}) = \varphi^{*}(\varphi_{*}\Lambda_{Y}\varphi^{*} + \mathrm{id}_{X})\). Le reste — (iii) \(\Rightarrow\) (iii bis), et (i) \(\Rightarrow\) (iii) — découle des propriétés de stabilité.

L'état de la question, et une remarque d'histoire

Il demande enfin qu'on dresse la liste de ce qui est su :

• en caractéristique quelconque, \(C(X)\) est connue si \(\dim X \leqslant 2\), et plus généralement \(H^{2n-1}(X) \to H^{1}(X)\) est toujours induit par une classe de correspondance algébrique ; les projecteurs \(\pi_{0}\), \(\pi_{2n}\), \(\pi_{1}\), \(\pi_{2n-1}\) sont algébriques en toute dimension — trivialement pour les deux premiers, moins trivialement pour les deux suivants ;
• en dimension \(3\), on ignore, même en caractéristique nulle, si \(C(X)\) vaut ou seulement \(D(X)\), et en caractéristique \(p\) on ignore \(A(X)\) et \(B(X)\) ;
• en caractéristique \(0\), \(A(X)\) est connue pour \(\dim X \leqslant 4\), mais \(A(X)^{0}\) ne l'est pas en dimension \(5\) ; le premier cas intéressant serait \(X \times Y\) avec \(\dim X = 3\) et \(Y\) une section hyperplane, puisque cela donnerait \(C(X)\).

« Ainsi les problèmes principaux se posent déjà pour les \(1\)-cycles sur les variétés de dimension \(3\), et partiellement même en caractéristique nulle. »

C'est ici qu'il glisse la remarque qui vaut d'être citée. L'algébricité des \(\pi_{i}\) pour une surface, lui apprend Tate, avait été signalée par Hodge dans un article de 1938 ; et il ajoute qu'il est « assez frappant que cet énoncé n'ait pas davantage frappé les géomètres algébristes, et qu'il soit tombé dans l'oubli pendant près de trente ans ! ».¹⁹

La lettre se termine sur un projet et sur son abandon. Poussé par une question de Kleiman, il annonce qu'il va reprendre ses « vieux gribouillages » sur la réduction de la forme forte de Lefschetz à la forme faible — ce sont les feuillets 50 à 54. Et il enterre la suggestion qu'il avait faite au téléphone, de ramener toute variété à une hypersurface par équivalence birationnelle et spécialisation : Serre lui a fait observer qu'une telle variété serait nécessairement simplement connexe. Il faudra donc travailler aussi avec des hypersurfaces singulières, « et voir comment reformuler les conjectures standard pour les variétés singulières » — ce que le dossier ne fait pas.

47–49

La lettre du 6 janvier : Cayley–Hamilton, et les variantes « faibles » (pages 47 à 49)

Le second carbone fait deux choses : il rend \(C_{\chi}(X)\) indépendante de la polarisation par un argument purement linéaire, et il montre que des variantes apparemment plus faibles des conjectures les impliquent en fait toutes.

La proposition, et sa preuve

\(C(X)\) équivaut à chacune des conditions suivantes :

1. a)\(D_{\chi}(X)\) vaut, et pour tout \(i < n\) il existe un isomorphisme algébrique \(H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X)\) — sans qu'on affirme rien de ce qu'il induit dans les autres degrés ;
2. b)pour tout endomorphisme algébrique de \(H^{i}(X)\) les coefficients du polynôme caractéristique sont rationnels, et pour tout \(i < n\) il existe un isomorphisme algébrique \(H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X)\).

L'intérêt de l'énoncé est qu'il ne demande qu'un isomorphisme algébrique quelconque, et non l'inverse de \(L^{n-i}\) ; il montre, dit-il, le rôle joué par le fait que \(H^{i}(X)\) doive être « motiviquement » isomorphe à son dual naturel \(H^{2n-i}(X)\).

La démonstration de b) \(\Rightarrow\) \(C_{\chi}(X)\) est l'argument le plus court du dossier. Soit \(u \colon H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X)\) l'isomorphisme algébrique donné, et \(v \colon H^{i}(X) \to H^{2n-i}(X)\) celui induit par \(L_{X}^{n-i}\), algébrique lui aussi. Alors \(w = uv\) est un automorphisme algébrique de \(H^{i}(X)\), et la relation de Cayley–Hamilton \[ w^{b} - \sigma_{1}(w)\,w^{b-1} + \cdots + (-1)^{b}\sigma_{b}(w) = 0, \qquad b = \operatorname{rang} H^{i}(X), \] exprime \(w^{-1}\) comme combinaison linéaire des \(w^{i}\) à coefficients \(\pm\,\sigma_{i}(w)/\sigma_{b}(w)\). L'hypothèse rend ces coefficients rationnels, donc \(w^{-1}\) est algébrique, donc \(w^{-1}u = v^{-1}\) aussi — c'est-à-dire l'inverse de \(L_{X}^{n-i}\).²⁰

Le corollaire est immédiat : si \(X\) et \(X'\) satisfont \(C_{\chi}\) et si \(u \colon H^{i}(X) \to H^{i+2j}(X')\) est un isomorphisme algébrique, alors \(u^{-1}\) est algébrique — car les deux espaces s'identifient algébriquement à leurs duaux dans les deux sens, si bien que la transposée de \(u\) se relit \(u' \colon H^{i+2j}(X') \to H^{i}(X)\), et \(u'u\) est un automorphisme algébrique auquel on applique ce qui précède.

C'est ici qu'il formule le programme dans toute son ampleur, et aussitôt le ramène à terre. Le même résultat devrait valoir pour \(u\) seulement monomorphique, à condition de disposer d'un inverse à gauche algébrique — ce qu'on a bien pour \(H^{n-1}(X) \to H^{n-1}(Y)\), où l'inverse est \(\Lambda_{X}\varphi_{*}\) — mais il semble qu'il faille en général la relation d'indice de Hodge en plus. « Le yoga complet étant alors qu'on a la catégorie des motifs, qui est semi-simple ! » Puis : « sans parler de motifs, et en restant les pieds sur terre », il serait bon d'expliquer dans les notes que \(C(X)\) jointe à la relation d'indice \(I(X \times X)\) entraîne que l'anneau des classes de correspondances de \(X\) est semi-simple, et d'en déduire l'existence des inverses à gauche et à droite cherchés.²¹

Les variantes faibles, qui ne le sont pas

La lettre finit sur une remarque qu'il annonce triviale et qui ne l'est pas. Introduisons

• \(A'_{\chi}(X)\) : si \(2i \leqslant n-1\), tout élément de \(H^{i}(X)\) dont l'image dans \(H^{i}(Y)\) est algébrique est algébrique ;
• \(A''_{\chi}(X)\) : si \(2i \geqslant n-1\), tout élément algébrique de \(H^{i+2}(X)\) est l'image d'un élément algébrique de \(H^{i}(Y)\) ;

et leurs versions \(A'^{0}_{\chi}\), \(A''^{0}_{\chi}\) restreintes à la dimension critique (\(2i = n-1\) si \(n\) est impair, \(2i = n-2\) s'il est pair). Ce sont des énoncés « à la Lefschetz faible », trivialement impliqués par \(A_{\chi}(X)\) et par \(C_{\chi}(Y)\) respectivement — dans le premier cas en appliquant \(\varphi\), dans le second en prenant \(y = \Lambda_{Y}\varphi^{*}(x)\).

Or ces variantes prétendument faibles impliquent les relations de Lefschetz complètes : \[ C_{\chi}(X) \iff C_{\chi}(Y) + A'^{0}_{\chi}(X \times X) + A''^{0}_{\chi}(X \times X), \] et donc, par récurrence, à la conjonction des \(A'^{0}_{\chi}\) et \(A''^{0}_{\chi}\) pour toutes les variétés \(X \times X\), \(Y \times Y\), \(Z \times Z\), … (ou \(X \times Y\), \(Y \times Z\), …).

Tout vient de ce que \(A_{\chi}(T)^{0}\) résulte de la conjonction de \(A'_{\chi}(T)^{0}\) et \(A''_{\chi}(T)^{0}\), comme on le voit en décomposant l'opérateur de la dimension critique à travers la section hyperplane. Si \(\dim T = 2m\) est pair, \(L_{T}^{2} \colon H^{2m-2}(T) \to H^{2m+2}(T)\) se factorise

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{2m-2}(T) \arrow[r, "\varphi^{*}"] & H^{2m-2}(Y) \arrow[r, "\varphi_{*}"] & H^{2m}(T) \arrow[r, "L_{T}"] & H^{2m+2}(T)
\end{tikzcd}

et si \(\dim T = 2m+1\) est impair, \(H^{2m}(T) \to H^{2m+2}(T)\) se factorise

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{2m}(T) \arrow[r, "\varphi^{*}"] & H^{2m}(Y) \arrow[r, "\varphi_{*}"] & H^{2m+2}(T)
\end{tikzcd}

50–54

Le lemme : un anneau d'endomorphismes qui contient \(\Lambda\) (pages 50, 52 et 54)

Les trois derniers feuillets sont les « vieux gribouillages » que la lettre annonçait : la réduction de la forme forte de Lefschetz à la forme faible, menée cette fois au niveau de l'anneau. C'est le théorème du n° 6 transporté dans l'anneau des correspondances algébriques.

Lemme. Soit \(A\) un anneau d'endomorphismes du groupe abélien \(H^{*}(X)\), stable par composantes homogènes et par transposition. Supposons \(\zeta \in A\), et supposons que pour tout \(0 \leqslant i < n\) il existe \(u_{i} \in A\) tel que le composé \[ H^{i}(X) \xrightarrow{\ \zeta^{n-i}\ } H^{2n-i}(X) \xrightarrow{\ u_{i}\ } H^{i}(X) \] soit l'identité. Alors \(A\) contient le pseudo-inverse \(\Lambda\) de \(\zeta\) et les projections sur les facteurs élémentaires \(\zeta^{j}P^{i}\).²² L'hypothèse de stabilité par composantes homogènes tient exactement le rôle que jouait, au n° 5, le sur-anneau \(\mathcal{F}\) où les projecteurs vivaient d'avance : elle donne les projections sur les \(H^{i}\) sans qu'on ait à les supposer.

Corollaire. Sont équivalentes : (i) \(\Lambda\) est algébrique ; (ii) pour \(1 \leqslant i \leqslant n\), il existe une correspondance algébrique induisant l'inverse \(H^{2n-i}(X) \to H^{i}(X)\) de \(\zeta^{n-i}\). Et s'il en est ainsi, les projections sur les facteurs élémentaires de \(H^{*}(X)\) sont algébriques, ainsi que les projections \(H^{*}(X) \to H^{i}(X)\) — c'est-à-dire que la conjecture de type Lefschetz entraîne l'algébricité des projecteurs de Künneth.

La démonstration, et sa lacune

Par stabilité sous transposition, il suffit de traiter les \(\zeta^{j}P^{i}\) avec \(i + 2j \leqslant n\). On pose \(k = i + 2j\) et l'on raisonne par récurrence sur \(k\), le cas \(k < 0\) étant vide. Supposons donc le résultat acquis pour \(k' < k\) : on sait déjà que les projections \(p_{i}\) sur \(H^{i}\) sont dans \(A\) pour \(i < k\), donc par transposition pour \(i > 2n-k\). On introduit \[ T_{k} = \mathrm{id} - \sum_{i < k} p_{i} - \sum_{j > 2n-k} p_{j} \ \in A, \] la projection sur la bande des degrés \(k \leqslant \alpha \leqslant 2n-k\), et l'on obtient les projections cherchées par \[ p_{k} = u_{k}\,\zeta^{n-k}\,T_{k}, \qquad \text{puis} \qquad \zeta^{j}\,u_{k-2j}\,\zeta^{n-k+j}\,T_{k} \] pour la projection sur \(\zeta^{j}H^{k-2j}\), dont on déduit par différence, grâce à une récurrence ascendante sur \(i\) (descendante sur \(j\)), la projection sur chaque \(\zeta^{j}P^{i}\) avec \(i + 2j = k\).

Il faut dire où cette démonstration, telle que les feuillets la portent, ne se referme pas. Le pas décisif est l'affirmation que \(\zeta^{n-k}T_{k}\) est nul sur \(H^{\alpha}\) pour \(\alpha \neq k\) et induit \(\zeta^{n-k}\) sur \(H^{k}\) — ce qui donnerait \(u_{k}\zeta^{n-k}T_{k} = p_{k}\). Or \(T_{k}\) retient toute la bande \(k \leqslant \alpha \leqslant 2n-k\), et \(\zeta^{n-k}\) n'y est pas nul : il envoie \(H^{\alpha}\) dans \(H^{\alpha+2n-2k}\), qui est non nul dès que \(\alpha \leqslant 2k\). L'annulation demandée n'est donc pas acquise par la seule définition de \(T_{k}\), et rien sur les trois feuillets ne la justifie.²³

Le dossier s'arrête là, au tiers d'un feuillet, sur les mots « Ceci prouve le lemme ».