Fonds Grothendieck, cote n° 159, pages 1–20

Connexions projectives canoniques et uniformisation des courbes algébriques

le titre ci-dessus est de lui, porté en tête du feuillet

1. Connexions projectives

a) S schéma de base (disons). La donnée d'un fibré de Brauer-Séveri P sur S (schéma propre et lisse /S dont les fibres sont des espaces projectifs) de dim. relative constante r revient à : la donnée d'un torseur T sur S de groupe \mathrm{PGL}(r)_S. La donnée d'un P avec section revient à se donner une restriction du groupe structural de \mathrm{PGL}(r)_S au sous-groupe qui fixe une section donnée de P P^r_0 = P(\underline{O}_S^{\,r+1}), disons celle qui correspond au quotient \underline{O}_S de \underline{O}_S^{\,r+1} « correspondant à la dernière coordonnée ». Ce sous-groupe s'identifie au groupe affine \mathrm{Aff}(r)_S, produit semi-direct \mathrm{Aff}(r) \;=\; \mathrm{GL}(r)\cdot E^{r} dans la formule, l'argument de \mathrm{Aff} et celui de \mathrm{GL} sont chacun écrits sur une lettre biffée où \mathrm{GL}(r) agit sur E^r de la façon évidente.

[ Un Groupe des ~~auto~~morphismes du module \underline{O}_S^{\,r+1} = \underline{O}_S^{\,r} \times \underline{O}_S = E_0 \times L_0 qui respecte la structure d'extension, est en effet celui des matrices {\scriptstyle r+1} \left\{ \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} {\scriptstyle r} avec A dans \mathrm{GL}(r), C dans E^r … ]

On trouve aussi que la donnée de (P,\sigma) équivaut à celle d'une structure d'extension

ce feuillet est un début abandonné : il s'arrête au milieu d'une formule et est repris, du même point de départ, au feuillet 3 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow E \longrightarrow \underline{O}_S \longrightarrow 0 en ce sens que le foncteur qui à une telle extension fait correspondre (P,\sigma) avec P = P(E) et \sigma la section définie par le quotient \underline{O}_S de E, est une équivalence de catégories.

On trouve que les \underline{O}_P/J^{\,n+1} (où J est l'idéal de \sigma(S) dans P) s'identifient aux \underline{O}_S-algèbres augmentées à \mathrm{Sym}^n(

le feuillet reprend, du même point de départ, le début abandonné du feuillet 2 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow E \xrightarrow{\;p\;} \underline{O}_S \longrightarrow 0 P = P(E), \sigma section définie par p, \widehat{P} complété formel de P le long de \sigma \widehat{S} = \underline{O}_{\widehat{P}} \Omega opère à g. sur \widehat{S} — car il opère sur l'extension (à g.) donc sur (P,\sigma) et \widehat{P} (à droite)

L = \underline{O}_P(1), \widehat{L} module inv. sur \widehat{S}

\Omega opère à g. aussi sur \widehat{L}, de façon compatible avec opérations de \Omega sur l'Algèbre de sections \widehat{S}.

Cas E ~~splittée~~ cohomologiquement triv. — on donne un splitting s : \underline{O}_S \to E) E^{\circ} \simeq \Omega \times \underline{O}_S Alors \widehat{P}(S') \;\simeq\; \text{Quotients inversibles } L' \text{ de } E, qui sur S réd. coïncident avec le quotient donné \underline{O}_S — donc l'image de la section e de \underline{O}_S \subset E et une base de L', permettant d'identifier L' à \underline{O}_S, de sorte que le quotient ~~soit~~ \simeq \underline{O}_S et défini par (x,\lambda) \longmapsto \varphi(x) + \lambda, \qquad \varphi : \Omega \longrightarrow \underline{O}_S bien mieux défini, de \Omega dans le nilradical N_S

Donc \widehat{P}^{\circ} = V(\Omega)^{\wedge} \quad \text{(complété formel le long de la section nulle)} = \mathrm{Spf}\;\widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \;=\; \widehat{S}^{\circ} à droite de cette ligne, une égalité que je lis \widehat{L}^{\circ} \simeq \widehat{S}^{\circ}, l'exposant du second membre restant douteux

Il faut expliciter l'op. de \Omega sur \widehat{S}. Soit a \in \Omega(S).

Donc a opère sur l'ext. E par u_a(x,\lambda) = (x + \lambda a,\; \lambda) et si ~~\widetilde{\varphi} : E \to \underline{O}_S~~ \varphi : \Omega \to N_S, définissons le \widetilde{\varphi} de E, \widetilde{\varphi}(x,\lambda) = \varphi(x) + \lambda, où avec le nouveau quotient par \widetilde{\varphi} \circ u_a : (x,\lambda) \longrightarrow \varphi(x + \lambda a) + \lambda = \varphi(x) + (1 + \varphi(a))\lambda = (1 + \varphi(a))\left( \frac{\varphi}{1 + \varphi(a)}(x) + \lambda \right), c'est aussi le quotient défini par (x,\lambda) \longmapsto \varphi^a(x) + \lambda, donc

moyennant l'identification \widehat{P} \simeq V(\Omega)^{\wedge}, les transports de l'op. u_a donnent sur V(\Omega)^{\wedge} \varphi^a = u_a^{*}(\varphi) = \frac{\varphi}{1 + \varphi(a)} [ De , le morphisme induit u_a^{*}(L') \simeq \underline{O}_S sur les quotients inv. L' de \underline{O}_S (dans E = \Omega + \underline{O}_S) est la multiplication par 1 + \varphi(a) ]

Donc, ~~u_a^{*}~~ \varphi est identifié à un homom. de \widehat{S} = \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) dans \underline{O}_S (coïncidant sur \mathrm{Sym}^1 avec celui qu' d'ap.), on aura \varphi^a(\omega) = \frac{\varphi(\omega)}{1 + \varphi(a)} = \varphi\Big( \sum_{n \geqslant 0} (-1)^n \omega a^n \Big), donc \varphi^a(\omega) = \varphi(u_a(\omega)) où u_a(\omega) = \struck{\ill{}} \frac{\omega}{1+a} = \sum_{n \geqslant 0} (-1)^n \omega a^n encadré à droite de cette ligne, la règle de degré : u_a(f) = f/(1+a)^n si \deg f = n

Comme est l'hom. can. épi E \otimes_{\underline{O}_S} \widehat{S} \longrightarrow \widehat{L} \simeq \widehat{S} (quand E \simeq \Omega + \underline{O}_S, donc E \otimes_{\underline{O}_S} \widehat{S} = \Omega \otimes_{\underline{O}_S} \widehat{S} + \widehat{S}). C'est-à-dire, restriction au facteur \widehat{S} est \mathrm{id}_{\widehat{S}} ; sa restriction s'identifie à un \underline{O}_S-hom. \Omega \to \widehat{S} qui implique \Omega dans \widehat{S}^{+} — d'où l'identité. Donc \pi(\omega \otimes f,\, g) = \omega f + g, \qquad \omega \in \Omega(S),\; f,g \in \widehat{S}(S).

Quel est l'endom. de \widehat{L} \simeq \struck{\ill{}} \widehat{S} rendu par l'autom. u_a de la restriction ? D'abord trouvons l'autom. u_a^E de E \otimes \widehat{S} = \Omega \otimes_{\underline{O}_S} \widehat{S} + \widehat{S} ; il est u_{a*} la fin de la ligne, tracée sur la portée imprimée du feuillet, ne se laisse pas lire

en écrivant un élément de E \otimes \widehat{S} (comme somme d'objets de ce ) sous la forme \omega \otimes f + e \otimes g, \qquad \omega \in \Omega(S),\;\; f,g \in \widehat{S}(S), e étant la section u_{a*}^{\widehat{E}}(\omega \otimes f + e \otimes g) = u_a(\omega) \otimes u_{a*}(f) + u_a(e) \otimes u_{a*}(g) = \omega \otimes u_{a*}(f) + (e + a) \otimes u_{a*}(g) = \big( \omega \otimes u_{a*}(f) + a \otimes u_{a*}(g) \big) + e \otimes u_{a*}(g) On a donc \pi\big( u_{a*}^{\widehat{E}}(\omega \otimes f + e \otimes g) \big) = \omega\, u_{a*}(f) + a\, u_{a*}(g) + u_{a*}(g) = \omega\, u_{a*}(f) + (a+1)\, u_{a*}(g) tandis que \pi(\omega \otimes f + e \otimes g) = \omega f + g .

\begin{tikzcd} E \otimes \widehat{S} \arrow[r, "\pi"] \arrow[d, "u_{a*}^{\widehat{E}}"] & \widehat{S} \arrow[d, "u_{a*}^{\widehat{L}}"'] \\ E \otimes \widehat{S} \arrow[r, "\pi"] & \widehat{S} \end{tikzcd}

Il faut avoir \pi \circ u_{a*}^{\widehat{E}} = u_{a*}^{\widehat{L}} \circ \pi, et faire — u_{a*}^{\widehat{L}}(g) = (a+1)\, u_{a*}(g) \qquad \Big( = \frac{g}{(1+a)^{\,n-1}} \;\text{ si } \deg g = n \Big) l'exposant du membre encadré se lit n-1, ce que la ligne précédente demande

Vérifions ceci u_{a*}^{\widehat{L}}\big( \pi(\omega \otimes f + e \otimes g) \big) = (a+1)\, u_{a*}(\omega f + g) = (a+1) \big( u_{a*}(\omega)\, u_{a*}(f) + u_{a*}(g) \big) sous u_{a*}(\omega), une accolade porte \omega/(1+a) = \omega\, u_{a*}(f) + (a+1)\, u_{a*}(g) \qquad \text{OK}

§ On revient au cas général d'une extension quelc. de \underline{O}_S par \Omega, défini par un torseur T sur \Omega ; on trouve donc \widehat{S} = \struck{\ill{}}\; T \wedge^{(\Omega,\, u^{\widehat{L}}_{\Omega*})} \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \widehat{L} = T \wedge^{(\Omega,\, u^{\widehat{L}}_{\Omega*})} \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) les deux membres de droite sont écrits comme un produit contracté du torseur T par \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega), le symbole de contraction restant douteux les dernières lignes du feuillet sont biffées de traits diagonaux ; on y lit J^n/J^{n+1} et un quotient de \mathrm{Sym}^n\Omega par \mathrm{Sym}^{n+1}

brouillon au crayon, très pâle, traversé par la transparence du verso : les formules se laissent lire, la prose qui les relie beaucoup moins

Conséquence : Soit \widehat{J} l'idéal d'augmentation de \widehat{S}, qui \mathrm{gr}^1_{\widehat{J}}(\widehat{S}) \simeq \Omega d'où \big( \mathrm{gr}_{\widehat{J}}(\widehat{S}) \simeq \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \big) D'autre part, J^n/J^{n+2} est une ; \mathrm{gr}^n \simeq \mathrm{Sym}^n(\Omega)

un calcul, on note que \mathrm{gr}^{\bullet}\,\widehat{J}^{(a,\omega)}/\widehat{J}^{\,\omega}

Or u_a et donne pour ~~\sum \omega_i \cdots~~ f + g \;\longrightarrow\; \frac{f}{(1+a)^{n}} + \frac{g}{(1+a)^{n+1}} sous f et sous g il porte leurs degrés, n et n+1 f \;\longmapsto\; naf + g + \text{termes de degré } \geqslant n + 1 le dernier terme de l'inégalité est douteux

Soit donc \Omega \;\longrightarrow\; \mathrm{Hom}\big( \mathrm{Sym}^n \Omega,\; \mathrm{Sym}^{n+1} \Omega \big) Ainsi de \widehat{J}^{\,a,u} \big/ \widehat{J}^{\,a,u,u} v(a)(f) = af

(N.B. \Omega .) Donc T \times_{\Omega} \big[ \mathrm{Hom}\big( \mathrm{Sym}^n \Omega,\; \mathrm{Sym}^{n+m} \Omega \big) \big] qui donne l'extension.

feuillet au crayon, pâle ; les dernières lignes sont reprises à l'encre bleue

Soit X schéma lisse sur S, et

Une connexion projective sur X (rel. à S) est la donnée

a)d'un fibré de B.S. P sur X avec une section, qui revient , donc d'une extension 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow E \longrightarrow \underline{O}_X \longrightarrow 0 de modules loc. libres sur X, b)d'un X-isom. des voisinages de la diagonale de X \times_S X avec dans P, c'est-à-dire un isom. de \underline{O}_X-Algèbres augmentées P^n_{X/S} \;\simeq\; \underline{O}_{\widehat{P}} \big/ \widehat{J}^{\,n+1} \qquad \big( \simeq \underline{O}_X \otimes_{\Omega} \mathrm{Sym}^{\bullet}(\Omega) \big)

(\widehat{P} étant le complété formel de P le long de (X), et \widehat{J} l'Idéal de ).

la donnée de P revient (*) \qquad \Omega \;\simeq\; \Omega^1_{X/S} \Omega^1_{X/S} de X sur S : c'est l'identification que la suite suppose

Pour n = 2, la structure de P^2_{X/S} est déterminée par la structure d'extension de \Omega^1_{X/S} par \mathrm{Sym}^2 \Omega^1_{X/S}, ~~d'un cocycle~~ d'un torseur sous \mathrm{Hom}_{\underline{O}}(\Omega^1_{X/S}, \ldots) doit être muni d'un iso , lequel doit être le torseur déduit du T sous \Omega par \Omega \xrightarrow{\;-u_1\;} \mathrm{Hom}\big( \Omega,\ \mathrm{Sym}^2(\Omega) \big) et l'iso \mathrm{Hom}\big( \Omega^1_{X/S},\ \mathrm{Sym}^2 \Omega^1_{X/S} \big) déduit de l'iso ci-dessus. Donc si l'on

de X sur S est 1, u_1, -u_1 r+1 sur S ( u_1, -u_2 des à S.), ~~le torseur~~ T déterminé par X, \Omega \simeq \Omega^1_{X/S} et

On dépend de = une connexion ( n'a qu'une telle est can. déterminé par X/S, sans donnée ni de con. ?)

Notons que P^{\infty}_{X/S} a une ~~plate~~ canonique \Delta , donc augmentation P^{\infty}_{X/S} \to \underline{O}_X !), donc si d'une \infty-connexion projective de \widehat{P}, i.e. \widehat{S} correspondant.

On dit qu'une \infty-conn. projective est intégrable si elle pour une \infty-connexion de P = P(E) (un par le a priori), laquelle sera dès lors déterminée (tel qu'il « économique »).

Cette condition étant locale sur X, l'exprimer en supposant que X a un « coordonnées locales » f_1, \ldots, f_n ( n sur S). Dès lors P^{\infty}_{X/S} \simeq \underline{O}_S[[\delta f_1, \ldots]] et \Delta : P^{\infty}_{X/S} \longrightarrow P^{\infty}_{X/S} \otimes_S P^{\infty}_{X/S} = P^{\infty}_{X/S}\big( P^{\infty}_{X/S} \big) \simeq P^{\infty}_{X/X}[[\ldots \Delta(\delta f_i) = \delta(f_i) \otimes 1 + 1 \otimes \delta(f_i) = \delta(f_i) + \delta f_i M \otimes P^n_{X/S} \longrightarrow P^n_{X/S} \otimes M P^n_{X/S}-linéaire , i.e. M \xrightarrow{\;\Delta\;} P^n_{X/S} \otimes M \underline{O}_S-lin. par ; id. 2 termes fantômes \Delta(m) = m + \Sigma

la moitié inférieure du feuillet est partagée par un trait vertical ; la colonne de droite porte : « On peut l'extension E , donc \widehat{S} \simeq \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega), et comme \Omega \simeq \Omega^1_{X/S} \simeq \underline{O}^{\,n}, \widehat{S} \simeq \underline{O}_S[[T_1, \ldots, T_n]] ; [\infty-connexion projective ] »

déterminé par les images des T_i dans P^{\infty}_{X/S}, disons F_i \in \Gamma\, P^{\infty}_{X/S} = \Gamma\, \underline{O}_S[[\delta f_1, \ldots, \delta f_n]], \qquad 1 \leqslant i \leqslant n F_i = \delta f_i + G_i, \qquad G_i \text{ d'ordre } \geqslant 2 ou inversement par les images des \delta f_i, soit \Phi_i \in \Gamma\, \widehat{\mathrm{Sym}}\; \underline{O}_S[[T_1, \ldots, T_n]], \qquad 1 \leqslant i \leqslant n \Phi_i = T_i + \Psi_i \qquad (\Psi_i \text{ d'ordre } \geqslant 2) On a donc ~~la structure~~ sur \underline{O}_S[[T_1, \ldots \underline{O}_S[[T_1, \struck{\delta f}]] = \widehat{S} \xrightarrow{\;\Delta'\;} P^{\infty}_{X/S} \widehat{\otimes} \widehat{S} = P^{\infty}_{X/S}(\widehat{S}) \simeq P^{\infty}_{X/S}[[T \ldots déduit par transport de structure de celle de P^{\infty}_{X/S}. Il faut donner les i des T_i dans P^{\infty}_{X/S}[[T_1, \ldots, T_n]], l'image de \Delta(\struck{\ill{}}\; \delta f_i + G_i) \in \Gamma\, P^{\infty}_{X/S} de \Gamma\, P^{\infty}_{X/S} \widehat{\otimes} \widehat{S}, déduit de \longrightarrow obtenu par c_{\infty} : P^{\infty}_{X/S} \longrightarrow \widehat{S}. Posant le feuillet s'arrête au premier tiers, sur ce mot ; la suite manque

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] \\ S \end{tikzcd}

X propre lisse dim. rel. 1, fibres connexes \Omega^1_{X/S} = \omega, \qquad f_*(\omega) = \Omega, \qquad R^1 f_*\big( \Omega^{\bullet}_{X/k} \big) = DR R^1 f_*(\underline{O}_X) \simeq \check{\Omega} \simeq \tau le troisième terme est douteux ; je le lis \tau 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow DR \longrightarrow \check{\Omega} \longrightarrow 0 autodual DR \times DR \xrightarrow{\;q\;} \underline{O}_S \qquad \text{alternée} b = R^2 f_*\big( \Omega^{\bullet}_{X/S} \big) \simeq R^1 f_*\big( \Omega^1_{X/S} \big) 0 \longrightarrow \check{\Omega} \otimes \check{\Omega} \longrightarrow \Sigma \longrightarrow \underline{O}_S \longrightarrow 0 le groupe de \Omega^2 \to \Omega, ~~\Omega \otimes \check{\Omega}~~ \Lambda^2 DR \xrightarrow{\;q\;} \underline{O}_S

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & \Omega \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & DR \arrow[r] \arrow[d, "2"] & \check{\Omega} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \Omega \arrow[r] & DR \arrow[r] & \check{\Omega} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd} l'étiquette de la flèche médiane se lit 2, sans certitude

on considère l'accouplement \Omega \times DR et DR \times \Omega — l'aboutissement dans \mathrm{Hom}(\check{\Omega} \otimes \check{\Omega}, \underline{O}_S) = \Omega \otimes \ldots = \ell puisqu'il s'agit de formes alternées dans \Lambda^2 \Omega, \Omega \otimes \check{\Omega}, \Lambda^2 \check{\Omega} 0 \longrightarrow \mathrm{Fil}^2 \longrightarrow \mathrm{Fil}^1 \longrightarrow \Lambda^2 DR une flèche portant « inv » descend de \mathrm{Fil}^1 vers \underline{O}_S

Pour un splitting q de DR q : \Omega \to DR on aura comme matrice de toute p.c. la décomposition DR \simeq \Omega \oplus \Omega \begin{pmatrix} 0 & \pm\,\mathrm{id} \\ \mathrm{id} & \varphi_0 \end{pmatrix} pour déduite sur \check{\Omega}. P un autre choix q'(t) = q(t) + u(t) \qquad \big( u : \check{\Omega} \to \Omega \big) on aura \varphi'_0(t,t') = \varphi\big( q(t) + u(t),\; q(t') + u(t') \big) = \varphi_0(t,t') + \big( t,\, u(t') \big) - \big( t',\, u(t) \big) le signe entre les deux derniers termes est masqué par un pâté d'encre ; je le lis -

feuillet à l'encre bleue, d'une écriture rapide : les formules portent, la prose qui les relie est en grande partie perdue

Si l'inverse où le u \varphi'_0 = 0, on voit que l'on a une condition et torsion \Lambda^2 \Omega torseur sous (formes symétriques sous \Omega ) 0 \longrightarrow \Lambda^2 \Omega \longrightarrow \Sigma \longrightarrow \underline{O}_S \longrightarrow 0 (Il induit par un torseur hyperbolique les torseurs sous \pi_1 \subset \mathrm{Aut} les schémas pour les problème ?)

On a comme (si \Sigma T) DR \longrightarrow DR \otimes \Omega^1_{S/T} compatible avec la filtration ; les défauts de compatibilité sont précisés \Omega \longrightarrow \check{\Omega} \otimes \Omega^1_{S/T} \Omega^1_{S/T} \longrightarrow \check{\Omega} \otimes \check{\Omega} est , induit par le foncteur pour problème et sur le contexte par le un iso ; ici donné, dont par les conditions S/T hyperbolique), qui \Omega^1_{S/T} \longrightarrow \Lambda^2 \check{\Omega} ( pour les avec vol. permutation avec )

Sur X (de genre g \geqslant 2) fibré d'un sous-fibré de corang 1 (de ) H^0(X, \Omega_X) ( formes ) s'annulant 0 \longrightarrow \Omega^1_X \xrightarrow{\;\omega\;} \Omega_X \xrightarrow{\;\det\;} \Omega^1_X \longrightarrow (DR)_X de DR, la lecture de cette dernière suite est incertaine dans le détail des flèches

~~splittings~~ \varphi splittings de DR \longrightarrow formes symétriques sur DR 0 \longrightarrow \Gamma^2 \Omega \longrightarrow \Omega \otimes \Omega \longrightarrow \Lambda^2 \Omega \longrightarrow 0 une flèche descendante part de \Gamma^2\Omega, étiquetée « Epi (car ) (car. \neq 2) » f_*(\omega^2) \;\simeq\; \Omega^1_{S/T} \frac{g(g+1)}{2} - (3g-3) \;=\; \frac{1}{2}\big( g^2 - 5g + 6 \big) \;=\; \frac{1}{2}(g-2)(g-3) sous le membre médian, une accolade porte (g-2)(g-3) \longrightarrow \underline{O}_X \longrightarrow P^1 \longrightarrow \omega \longrightarrow 0 E \otimes_{\underline{O}} P \longrightarrow E 2 - 2g P^{\infty}_{X/S}, \qquad \Omega\quad \Omega^2\quad \Omega^3 \omega^2 \longrightarrow P^{3+} \longrightarrow \omega \longrightarrow 0 \longrightarrow f_*(\omega^2) \longrightarrow f_*\big( P^{3+}_{X\varphi} \big) \longrightarrow f_*(\omega) \longrightarrow 0 sous les deux membres extrêmes il écrit \Omega^1_{S/T} et \Omega ; à droite, J \subset A \otimes A \to A, puis J/J^2 et x \otimes y - y \otimes x P^{\infty}\big( \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \big), \qquad P^{\infty}(\omega^n), \qquad \omega \otimes P^{\infty}, \qquad P^{\infty} \otimes \omega M \otimes P^{\infty}, \qquad R^1 f_*\big( M \otimes \omega^n \big) = 0 \quad \text{si } n \gg 1 S^i = f_*\, P^{\infty}(\omega^n) = f_*\big( \omega^n \otimes P \big) \mathrm{gr}\, S^{\bullet} \;\simeq\; \sum_{n \geqslant \ill{}} f_*\big( \omega \otimes P \big). la dernière ligne porte un indice de sommation que je ne lis pas ; à gauche, un petit diagramme \Sigma^{\bullet} \to S^{\bullet} avec une flèche montante depuis R^{\bullet}, et \Sigma \otimes P^{\bullet}

le feuillet 13 ne porte que le numéro des archivistes à partir d'ici il note en exposant un signe que je ne sais pas nommer, et que je rends par \mathfrak{z} ; c'est le même qui donne « \mathfrak{z}-structure » dans la prose, et il y désigne la structure projective

Fixons un genre g (> 2 ou ) et un foncteur rigidifiant (p. ex. de Torelli, d'iels convenables) pour les courbes algébriques relatives sur une base donnée ( ou travaillant sur la multiplicités modulaire des courbes de genre g — lisse, propre, groupe ). La catégorie fibrée qui s' ou la , soit notée M_g.

Considérons M_g^{\mathfrak{z}}(S) = \text{courbes algébriques} S schéma de base de car. 0 propres lisses X de genre g sur S, munies d'un fibré par des projectives P sur X, avec une \mathfrak{z}-structure (connexion lisse) i sur S, telle que \forall\, s \in S de S, P_s sur X_s ait un point \mathfrak{z}-ordinaire le groupe structural de P \Pi_0 \subset \mathrm{PGL}(1), \subset \mathrm{PGL}(1).

(i.e. P n'est intégrable : « dégénéré » )

Rq. Soit X ~~courbe~~ schéma algébrique connexe sur k alg. clos, P un \mathfrak{z}-fibré ou élément projectif sur X, conditions équivalentes :

a)\mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}(P) = 1 b)\mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) (qui est un groupe alg. \subset \mathrm{PGL}(1)_k) est de dim. 0 c)P n'est pas de l'un des deux types \alpha)associé à un -\mathfrak{z}-fibré, i.e. à une \mathfrak{z}- isomorphe , un point, la clôture projective de V(\Omega), i.e. P(\Omega + \underline{O}) \beta)associé à un \mathbf{G}_a-\mathfrak{z}-fibré, i.e. à une \mathfrak{z}-extension 0 \longrightarrow \underline{O}_X \longrightarrow E \longrightarrow \underline{O}_X \longrightarrow 0 ( \mathfrak{z}-structures triviales sur E) ou plutôt P(E) \simeq clôture projective du torseur

l'intersection de ces deux types de \mathfrak{z}-structures (i.e. \mathfrak{z} triviales incluses)

Si X courbe algébrique propre lisse de genre g

d)\dim H^1_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 6g - 6 ( jamais vérifiée si g \geqslant 0 — et bien sûr !) d')H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) \big( = H^0(X, \mathfrak{g})\big) = 0 d'')H^2_{DR}(X, \mathfrak{g}) \big( = H^2(X, \mathfrak{g})\big) = 0

[N.B. On a \mathfrak{g} \simeq \check{\mathfrak{g}} (Killing), donc (*) \qquad H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) \simeq H^2_{DR}(X, \mathfrak{g})^{\vee} (d'où équivalence de d) et d'' )) et formule d'E.P. (**) \qquad \chi_{DR}(X, \mathfrak{g}) \overset{\text{déf}}{=} \sum (-1)^i \dim H^i_{DR}(X, \mathfrak{g}) \;=\; 3\, \chi_{DR}(X, \underline{O}_X) sous \chi_{DR}(X,\underline{O}_X) il porte sa valeur, 2-2g = \struck{6g} \; 6 - 6g donc, combinant avec (*), (\!*\!*\!*) \qquad \dim H^1_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 2 \dim H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) + (6g - 6) d'où l'équivalence de d' ) avec d). Enfin, on sait H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) \simeq \mathrm{Lie}\; \mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) d'où l'équivalence de d' ) avec b), et la formule \dim H^1_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 2 \dim \mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) + 6g - 6 = 2 \Big( \dim \mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) + 3g - 3 \Big) une accolade sous \dim H^1_{DR}(X,\mathfrak{g}) porte : « espace tangent à l'espace modulaire M_g^{\mathfrak{z}} au pt correspondant à (X, P, \mathfrak{z}) »

N.B. La condition d' ) implique que M_g^{\mathfrak{z}} « n'a pas d'automorphismes infinitésimaux », c) qu'il n'a pas d'automorphismes finis », donc on pas M_g^{\mathfrak{z}} est « rigide » — tandis que comme M_g a dans un l'espace représentable ! Le semble. d'' ) implique que M_g^{\mathfrak{z}} est formellement lisse sur M_g, et d) que sa dim relative sur M_g est 6g - 6. la dimension relative se lit bien 6g-6

Sans doute peut-on prouver la représentabilité relative (dans un cas org. d'Abel cette remarque est portée en haut de la moitié droite du feuillet et court jusqu'au bord, où elle est coupée

X courbe analytique connexe compacte , M_g^{\mathfrak{z}}(X) espace modulaire pour les projectifs analytiques : connexions plates « sans automorphismes ». C'est l'espace analytique associé à une solution (de ) sur \mathbf{C}, ~~mais~~ lisse de dim. 6g-6 — le regard de M analytique. Il est donc ( pas choisi qu'un bon x \in X) des représentations \pi \xrightarrow{\;\rho\;} \mathrm{PGL}(1, \mathbf{C}) = H, \qquad \pi = \pi_1(X, x) ~~telles que~~ telles que \mathrm{Cent}(\varphi) = \{e\}, ou qu H intérieurs M_g^{\mathfrak{z}}(X) \;\simeq\; \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr.\,ana}}(\pi, H) \,\big/\, H le ! désigne le des \varphi \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\pi, H) dont le st dans H se réduit à 1.

[ de faits et une algébrique de g \in \pi, le algébrique), et algébrique. Mais l'iso sans doute algébrique ! ] L'interpr de classifie les couples (P, \mathfrak{z}, \varphi), (P, \ldots

le feuillet est écrit sur deux colonnes ; la colonne de droite est lourdement raturée et sa moitié inférieure, surchargée de renvois, ne se laisse pas suivre

\mathfrak{z}-fibré en droites projectives, et \varphi : P(\mathfrak{z}_1) \to P_2 un iso. L'opération de H dessus est l'évidente.

Or le groupe \mathrm{Aut}(\pi) opère à droite sur \mathrm{Hom}(\pi, H) ; si u \in \mathrm{Aut}(\pi), \rho \in \mathrm{Hom}(\pi, H), \rho \cdot u = \rho \circ u ; si u = \mathrm{int}(g) (g \in \pi), \rho \circ u = \mathrm{int}(\rho(g)) \circ u, donc un groupe au quotient : \mathrm{Hom}^{\,!}(\pi, H)/H, c'est-à-dire \gamma : \struck{\ill{}}\ \mathrm{Out}(\pi) = \mathrm{Aut}(\pi)/\mathrm{Int}(\pi), qui opère sur lui. Par transport de structure, ce groupe opère sur M_g^{\mathfrak{z}}(X), mais alors dont cette opération soit algébrique.

Si Y est une courbe analytique complète de genre g, alors la donnée d'un iso. est \pi_1(Y) \;\simeq\; \pi = \pi_1(X, x) définit, si la représentation composée \rho_Y : \pi_1(Y) \longrightarrow H (définie à int. dans H), un élément de M_g^{\mathfrak{z}}(X). On trouve ainsi, si M_g(\pi) \struck{= M_g(X)} l'espace de Teichmüller (à rigidification définie par \pi), trouve un morphisme analytique injectif M_g(X) \hookrightarrow M_g^{\mathfrak{z}}(X) qui commute aux \mathfrak{z} des groupes de

colonne de droite Teichmüller \Gamma. On suppose que l'image compact par constructible algébrique. Elle est formée des \mathrm{Hom} injectifs \pi \subset \ell, H pour lesquels il existe un domaine homgique D \subset \mathbf{P}^1(\mathbf{C}) par \rho (il sera unique) et que ~~D/\pi~~ ~~opère librement~~ et un quotient compact.

On définit aussi M_{\mathrm{ann}}(X) qui classifie les P(\ldots) sur X, munis d'une section nulle dictionnaire. ~~Il est~~ (c'est un sur le de deux fois H^0\big( X, \omega^{\otimes 2}_{X/\mathbf{C}} \big), \ldots

M_{\mathrm{ann}}(X) \longrightarrow M_g^{\mathfrak{z}}(X) est un morphisme net. (Est-il injectif ?) (N.B. C'est en fait un morphisme de )

classe de torsion dans \mathrm{Pic}, L \otimes \omega^{-1} anti-ample. Donc tout aut. dét de P\big( P^1_{X/S}(-1) \big) laissant fixe le le tiers supérieur du feuillet est ensuite annulé par des hachures ; on y distingue encore M_g^{\mathfrak{z}}(X) et M_g(X)

L \simeq \underline{O}_X, donc un fait autre \omega de E, avec u(\omega) \subset \omega, et ~~Plus~~ le quotient E/\omega \simeq \underline{O}_X. Si \varrho_\alpha , est induit \lambda \in H^0(X, \underline{O}_X^{*}) = \mathbf{C}^{*} sur \omega, ~~l'extension~~ c \in H^1(X, \underline{O}) \mathbf{C} dans l'ex. E de \underline{O}_X par \omega, donc avoir \lambda c = c \quad\text{i.e.}\quad (\lambda - 1)\, c = 0, et comme c \neq 0 doit avoir \lambda = 1. Donc un automorphisme d'extension, donc défini un homom. \underline{O}_X \to \omega, i.e. par une forme diff. \omega \in H^0(X, \omega). Donc \mathrm{Aut}_X(P_X) \;\simeq\; H^0(X, \omega_X) au-dessus du membre de gauche il écrit \mathrm{Aut}_X(P_X, \sigma), et sous l'isomorphisme la correspondance u_\omega \leftrightarrow \omega (iso. de groupes). La question est alors la suivante : peut-on avoir u_\omega(c) = c^{\ill{}} si c est la classe sur P_X associée ~~deux~~ classe projective C, ?

Choisissons une uniformisante t, d' \omega, d'où splittages de \pi et de \mathcal{U} \mathcal{U} \simeq \omega + \underline{O}_X + \omega^{-1} et connexion projective c_{D_t} donnée par c_{D_t} : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{U} \otimes \omega \simeq \omega^2 + \omega + \underline{O}_X \begin{cases} c_{D_t}(dt) = -2\, dt \\ c_{D_t}(1) = 1 \\ c_{D_t}\big( (dt)^{-1} \big) = 0 \end{cases} donc c_{D_t}\big( \lambda\, dt + \mu \cdot 1 + \nu\, (dt)^{-1} \big) = \lambda'\, dt^2 + (\mu' - 2\lambda)\, dt + (\nu' \ldots Soit \omega \in \Gamma(\omega), d' u_\omega = \exp \Theta_\omega : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{U} et c que \exp \Theta_{-\omega}(1) = 1 + [-\omega,\, 1] = 1 + \omega On veut calculer : u_\omega(c_{D_t}) = \struck{\ill{}}\; u \circ c_{D_t} \circ u^{-1} = \big( \exp \Theta_{-\omega} \big) \ldots Et pour ceci il suffit de calculer u_\omega(c_{D_t}) - c_{D_t} \;\equiv\; \varphi comme \varphi(dt) \varphi(dt) \;\struck{=}\; c_{D_t}(dt) = \big( \mathrm{id} + \Theta_{-\omega} \big) \big( \struck{D_t}(dt) \big) = -2\, dt + \ldots \varphi(1) = -2\,\omega\, dt \varphi(1) + c_{D_t}(1) = \Big( \mathrm{id} + \Theta_{-\omega} + \tfrac{1}{2} \Theta_{-\omega}^{\,2} \Big)\, c_{D_t}\big( 1 + [\omega,\, 1] \big) sous c_{D_t}(1) il écrit 1 ; sous 1 + [\omega,1], 1 - \omega = 1 + [-\omega,\, 1] + \big[ -\omega,\, [-\omega,\, 1] \big] + \ldots sous [-\omega,1] il écrit -2\omega, et sous le crochet intérieur -2\omega également = 1 + (-2\omega) + 2\omega^2 - \lambda'\, dt^2 + 2\lambda\, dt + \ldots \varphi(1) = \big( -\lambda' + \struck{\ill{}} \big)\, dt^2 \;\struck{\ill{}} la dernière ligne du feuillet est entièrement biffée

On trouve u_\omega(c_{D_t}) = c_{D_t} + d^1_{\omega/S}(\omega) et plus généralement \boxed{\;u_\omega(c) = c + d^1_{\omega/S}(\omega)\;} si c connexion projective.

Cela montre :

a)u_\omega(c) n'est une connexion projective ssi d\omega = 0, i.e. (si 2 inv. dans S) \omega = 0 : donc ~~pas~~ et rien pas deux connexions projectives différentes ne peuvent donner lieu du \mathfrak{z}-fibré. Donc b)On n'a u_\omega(c) = c que si d^1_{\omega/S}(\omega) = 0, donc a fortiori d\omega = 0 (si 2 inv. dans S) il de \mathfrak{z}-fibrés

suit un bloc entièrement biffé de traits obliques, où se lisent M_g(X), M_g^{\mathfrak{z}}(X) et \mathrm{conn}(X) reliés par des flèches

Non, car s'il y en avait, le \mathfrak{z}- serait énoncé : un \mathfrak{z}-fibré affine de serait isomorphe : un P(F), où F \mathfrak{z}-extension \ill{} \longrightarrow M \longrightarrow F \longrightarrow \underline{O}_X \longrightarrow 0 M un \mathfrak{z}-fibré inv. ; on aurait donc E \simeq F \otimes L, et