Cote n° 159 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Connexions projectives et uniformisation : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dérivateurs » (157-1 à 160) est daté 1990-[1991]
Édition de démonstration

Connexions projectives canoniques et uniformisation des courbes algébriques

1le titre ci-dessus est de lui, porté en tête du feuillet

1. Connexions projectives

a) \(S\) schéma de base (disons). La donnée d'un fibré de Brauer-Séveri \(P\) sur \(S\) (schéma propre et lisse \(/S\) dont les fibres sont des espaces projectifs) de dim. relative constante \(r\) revient à : la donnée d'un torseur \(T\) sur \(S\) de groupe \(\mathrm{PGL}(r)_S\). La donnée d'un \(P\) avec section […] revient à se donner une restriction du groupe structural de \(\mathrm{PGL}(r)_S\) au sous-groupe qui fixe une section donnée de \(P\) \(P^r_0 = P(\underline{O}_S^{\,r+1})\), disons celle qui correspond au quotient \(\underline{O}_S\) de \(\underline{O}_S^{\,r+1}\) « correspondant à la dernière coordonnée ». Ce sous-groupe s'identifie au groupe affine \(\mathrm{Aff}(r)_S\), produit semi-direct \[ \mathrm{Aff}(r) \;=\; \mathrm{GL}(r)\cdot E^{r} \] dans la formule, l'argument de \(\mathrm{Aff}\) et celui de \(\mathrm{GL}\) sont chacun écrits sur une lettre biffée où \(\mathrm{GL}(r)\) agit sur \(E^r\) de la façon évidente.

[ Un Groupe des automorphismes du module \(\underline{O}_S^{\,r+1} = \underline{O}_S^{\,r} \times \underline{O}_S = E_0 \times L_0\) qui respecte la structure d'extension, […] est en effet celui des matrices \[ {\scriptstyle r+1} \left\{ \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} {\scriptstyle r} \] avec \(A\) […] dans \(\mathrm{GL}(r)\), \(C\) dans \(E^r\) … ]

On trouve aussi que la donnée de \((P,\sigma)\) équivaut à celle d'une structure d'extension […]

2ce feuillet est un début abandonné : il s'arrête au milieu d'une formule et est repris, du même point de départ, au feuillet 3 \[ 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow E \longrightarrow \underline{O}_S \longrightarrow 0 \] en ce sens que le foncteur qui à une telle extension fait correspondre \((P,\sigma)\) avec \(P = P(E)\) et \(\sigma\) la section définie par le quotient \(\underline{O}_S\) de \(E\), est une équivalence de catégories.

On trouve que les \(\underline{O}_P/J^{\,n+1}\) (où \(J\) est l'idéal de \(\sigma(S)\) dans \(P\)) s'identifient […] aux \(\underline{O}_S\)-algèbres augmentées à \(\mathrm{Sym}^n(\) […]

3le feuillet reprend, du même point de départ, le début abandonné du feuillet 2 \[ 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow E \xrightarrow{\;p\;} \underline{O}_S \longrightarrow 0 \] \(P = P(E)\), \(\sigma\) section définie par \(p\), \(\widehat{P}\) complété formel de \(P\) le long de \(\sigma\) \[ \widehat{S} = \underline{O}_{\widehat{P}} \] \(\Omega\) opère à g. sur \(\widehat{S}\) — car il opère sur l'extension (à g.) donc sur \((P,\sigma)\) et \(\widehat{P}\) (à droite)

\(L = \underline{O}_P(1)\), \(\widehat{L}\) module inv. sur \(\widehat{S}\)

\(\Omega\) opère à g. aussi sur \(\widehat{L}\), de façon compatible avec opérations de \(\Omega\) sur l'Algèbre de sections \(\widehat{S}\).

Cas \(E\) splittée cohomologiquement triv. […] — on donne un splitting \(s : \underline{O}_S \to E\)) \[ E^{\circ} \simeq \Omega \times \underline{O}_S \] Alors […] \[ \widehat{P}(S') \;\simeq\; \text{Quotients inversibles } L' \text{ de } E, \] qui sur \(S\) réd. coïncident avec le quotient donné \(\underline{O}_S\) — donc l'image de la section \(e\) de \(\underline{O}_S \subset E\) et une base de \(L'\), permettant d'identifier \(L'\) à \(\underline{O}_S\), de sorte que le quotient soit \(\simeq \underline{O}_S\) et défini par \[ (x,\lambda) \longmapsto \varphi(x) + \lambda, \qquad \varphi : \Omega \longrightarrow \underline{O}_S \] bien mieux défini, de \(\Omega\) dans le nilradical \(N_S\)

Donc \[ \widehat{P}^{\circ} = V(\Omega)^{\wedge} \quad \text{(complété formel le long de la section nulle)} \] \[ = \mathrm{Spf}\;\widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \;=\; \widehat{S}^{\circ} \] à droite de cette ligne, une égalité que je lis \(\widehat{L}^{\circ} \simeq \widehat{S}^{\circ}\), l'exposant du second membre restant douteux

Il faut expliciter l'op. de \(\Omega\) sur \(\widehat{S}\). Soit \(a \in \Omega(S)\).

Donc \(a\) opère sur l'ext. \(E\) par \[ u_a(x,\lambda) = (x + \lambda a,\; \lambda) \] et si \(\widetilde{\varphi} : E \to \underline{O}_S\) \(\varphi : \Omega \to N_S\), définissons le […] \(\widetilde{\varphi}\) de \(E\), \(\widetilde{\varphi}(x,\lambda) = \varphi(x) + \lambda\), où avec le nouveau quotient par \[ \widetilde{\varphi} \circ u_a : (x,\lambda) \longrightarrow \varphi(x + \lambda a) + \lambda = \varphi(x) + (1 + \varphi(a))\lambda = (1 + \varphi(a))\left( \frac{\varphi}{1 + \varphi(a)}(x) + \lambda \right), \] c'est aussi le quotient défini par \((x,\lambda) \longmapsto \varphi^a(x) + \lambda\), donc

4[…] moyennant l'identification \(\widehat{P} \simeq V(\Omega)^{\wedge}\), les transports de l'op. \(u_a\) donnent sur \(V(\Omega)^{\wedge}\) \[ \varphi^a = u_a^{*}(\varphi) = \frac{\varphi}{1 + \varphi(a)} \] [ De […], le morphisme induit \(u_a^{*}(L') \simeq \underline{O}_S\) […] sur les quotients inv. \(L'\) de \(\underline{O}_S\) (dans \(E = \Omega + \underline{O}_S\)) est la multiplication par \(1 + \varphi(a)\) ]

Donc, \(u_a^{*}\) \(\varphi\) est identifié à un homom. de \(\widehat{S} = \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega)\) dans \(\underline{O}_S\) (coïncidant sur \(\mathrm{Sym}^1\) avec celui qu'[…] d'ap.), on aura \[ \varphi^a(\omega) = \frac{\varphi(\omega)}{1 + \varphi(a)} = \varphi\Big( \sum_{n \geqslant 0} (-1)^n \omega a^n \Big), \] donc \[ \varphi^a(\omega) = \varphi(u_a(\omega)) \] où \[ u_a(\omega) = \struck{\ill{}} \frac{\omega}{1+a} = \sum_{n \geqslant 0} (-1)^n \omega a^n \] encadré à droite de cette ligne, la règle de degré : \(u_a(f) = f/(1+a)^n\) si \(\deg f = n\)

Comme est l'hom. can. épi \[ E \otimes_{\underline{O}_S} \widehat{S} \longrightarrow \widehat{L} \simeq \widehat{S} \] (quand \(E \simeq \Omega + \underline{O}_S\), donc \(E \otimes_{\underline{O}_S} \widehat{S} = \Omega \otimes_{\underline{O}_S} \widehat{S} + \widehat{S}\)). C'est-à-dire, restriction au facteur \(\widehat{S}\) est \(\mathrm{id}_{\widehat{S}}\) ; sa restriction […] s'identifie à un \(\underline{O}_S\)-hom. \(\Omega \to \widehat{S}\) qui implique \(\Omega\) dans \(\widehat{S}^{+}\) — d'où l'identité. Donc \[ \pi(\omega \otimes f,\, g) = \omega f + g, \qquad \omega \in \Omega(S),\; f,g \in \widehat{S}(S). \]

Quel est l'endom. de \(\widehat{L} \simeq \struck{\ill{}} \widehat{S}\) rendu par l'autom. \(u_a\) de la restriction ? D'abord trouvons l'autom. \(u_a^E\) de \(E \otimes \widehat{S} = \Omega \otimes_{\underline{O}_S} \widehat{S} + \widehat{S}\) ; il est \(u_{a*}\) […] la fin de la ligne, tracée sur la portée imprimée du feuillet, ne se laisse pas lire

5en écrivant un élément de \(E \otimes \widehat{S}\) (comme somme d'objets de ce […]) sous la forme \[ \omega \otimes f + e \otimes g, \qquad \omega \in \Omega(S),\;\; f,g \in \widehat{S}(S), \] \(e\) étant la section […] \[ u_{a*}^{\widehat{E}}(\omega \otimes f + e \otimes g) = u_a(\omega) \otimes u_{a*}(f) + u_a(e) \otimes u_{a*}(g) \] \[ = \omega \otimes u_{a*}(f) + (e + a) \otimes u_{a*}(g) \] \[ = \big( \omega \otimes u_{a*}(f) + a \otimes u_{a*}(g) \big) + e \otimes u_{a*}(g) \] On a donc \[ \pi\big( u_{a*}^{\widehat{E}}(\omega \otimes f + e \otimes g) \big) = \omega\, u_{a*}(f) + a\, u_{a*}(g) + u_{a*}(g) \] \[ = \omega\, u_{a*}(f) + (a+1)\, u_{a*}(g) \] tandis que \[ \pi(\omega \otimes f + e \otimes g) = \omega f + g . \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
E \otimes \widehat{S} \arrow[r, "\pi"] \arrow[d, "u_{a*}^{\widehat{E}}"] &
  \widehat{S} \arrow[d, "u_{a*}^{\widehat{L}}"'] \\
E \otimes \widehat{S} \arrow[r, "\pi"] & \widehat{S}
\end{tikzcd}

Il faut avoir \(\pi \circ u_{a*}^{\widehat{E}} = u_{a*}^{\widehat{L}} \circ \pi\), et faire […] — […] \[ u_{a*}^{\widehat{L}}(g) = (a+1)\, u_{a*}(g) \qquad \Big( = \frac{g}{(1+a)^{\,n-1}} \;\text{ si } \deg g = n \Big) \] l'exposant du membre encadré se lit \(n-1\), ce que la ligne précédente demande

Vérifions ceci […] \[ u_{a*}^{\widehat{L}}\big( \pi(\omega \otimes f + e \otimes g) \big) = (a+1)\, u_{a*}(\omega f + g) \] \[ = (a+1) \big( u_{a*}(\omega)\, u_{a*}(f) + u_{a*}(g) \big) \] sous \(u_{a*}(\omega)\), une accolade porte \(\omega/(1+a)\) \[ = \omega\, u_{a*}(f) + (a+1)\, u_{a*}(g) \qquad \text{OK} \]

§ On revient au cas général d'une extension quelc. de \(\underline{O}_S\) par \(\Omega\), défini par un torseur \(T\) sur \(\Omega\) ; on trouve donc \[ \widehat{S} = \struck{\ill{}}\; T \wedge^{(\Omega,\, u^{\widehat{L}}_{\Omega*})} \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \] \[ \widehat{L} = T \wedge^{(\Omega,\, u^{\widehat{L}}_{\Omega*})} \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \] les deux membres de droite sont écrits comme un produit contracté du torseur \(T\) par \(\widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega)\), le symbole de contraction restant douteux […] les dernières lignes du feuillet sont biffées de traits diagonaux ; on y lit \(J^n/J^{n+1}\) et un quotient de \(\mathrm{Sym}^n\Omega\) par \(\mathrm{Sym}^{n+1}\)

6brouillon au crayon, très pâle, traversé par la transparence du verso : les formules se laissent lire, la prose qui les relie beaucoup moins

Conséquence : Soit \(\widehat{J}\) […] l'idéal d'aug[mentation] de \(\widehat{S}\), qui […] \[ \mathrm{gr}^1_{\widehat{J}}(\widehat{S}) \simeq \Omega \] d'où \[ \big( \mathrm{gr}_{\widehat{J}}(\widehat{S}) \simeq \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \big) \] D'autre part, \(J^n/J^{n+2}\) est une […] ; […] \(\mathrm{gr}^n \simeq \mathrm{Sym}^n(\Omega)\) […]

[…] un calcul, on note que \(\mathrm{gr}^{\bullet}\,\widehat{J}^{(a,\omega)}/\widehat{J}^{\,\omega}\) […]

Or \(u_a\) […] et donne pour […] \(\sum \omega_i \cdots\) \[ f + g \;\longrightarrow\; \frac{f}{(1+a)^{n}} + \frac{g}{(1+a)^{n+1}} \] sous \(f\) et sous \(g\) il porte leurs degrés, \(n\) et \(n+1\) \[ f \;\longmapsto\; naf + g + \text{termes de degré } \geqslant n + 1 \] le dernier terme de l'inégalité est douteux

Soit donc \[ \Omega \;\longrightarrow\; \mathrm{Hom}\big( \mathrm{Sym}^n \Omega,\; \mathrm{Sym}^{n+1} \Omega \big) \] Ainsi […] de \(\widehat{J}^{\,a,u} \big/ \widehat{J}^{\,a,u,u}\) […] \[ v(a)(f) = af \] […]

(N.B. […] \(\Omega\) […].) Donc \[ T \times_{\Omega} \big[ \mathrm{Hom}\big( \mathrm{Sym}^n \Omega,\; \mathrm{Sym}^{n+m} \Omega \big) \big] \] […] qui donne l'extension.

7feuillet au crayon, pâle ; les dernières lignes sont reprises à l'encre bleue

Soit \(X\) schéma lisse sur \(S\), […] et […]

Une connexion projective sur \(X\) (rel. à \(S\)) est la donnée

(\(\widehat{P}\) étant le complété formel de \(P\) le long de […] \((X)\), et \(\widehat{J}\) l'Idéal de […]).

[…] la donnée de \(P\) […] revient […] \[ (*) \qquad \Omega \;\simeq\; \Omega^1_{X/S} \] \(\Omega^1_{X/S}\) de \(X\) sur \(S\) : c'est l'identification que la suite suppose

Pour \(n = 2\), la structure de \(P^2_{X/S}\) […] est déterminée par la structure […] d'extension de \(\Omega^1_{X/S}\) par \(\mathrm{Sym}^2 \Omega^1_{X/S}\), […] d'un cocycle d'un torseur sous […] \(\mathrm{Hom}_{\underline{O}}(\Omega^1_{X/S}, \ldots)\) […] doit être muni d'un iso […], lequel doit être […] le torseur déduit du \(T\) sous \(\Omega\) […] par \[ \Omega \xrightarrow{\;-u_1\;} \mathrm{Hom}\big( \Omega,\ \mathrm{Sym}^2(\Omega) \big) \] et l'iso \[ \mathrm{Hom}\big( \Omega^1_{X/S},\ \mathrm{Sym}^2 \Omega^1_{X/S} \big) \] déduit de l'iso ci-dessus. Donc si l'on […]

8[…] de \(X\) sur \(S\) est \(1\), […] […] \(u_1\), \(-u_1\) […] \(r+1\) […] sur \(S\) ([…] \(u_1\), \(-u_2\) […] des […] à \(S\).), le torseur \(T\) […] déterminé par \(X\), […] \(\Omega \simeq \Omega^1_{X/S}\) et […]

On dépend de […] \(=\) une […] connexion ([…] n'a qu'une telle […] est can. déterminé par \(X/S\), sans […] donnée ni de con. ?)

Notons que \(P^{\infty}_{X/S}\) a une plate […] canonique \(\Delta\) […], donc […] augmentation \(P^{\infty}_{X/S} \to \underline{O}_X\) !), donc si […] d'une \(\infty\)-connexion projective […] de \(\widehat{P}\), i.e. \(\widehat{S}\) […] […] correspondant.

On dit […] qu'une \(\infty\)-conn. projective est intégrable si elle […] pour une \(\infty\)-connexion […] de \(P = P(E)\) (un […] par le […] a priori), laquelle sera dès lors […] déterminée (tel qu'il […] « économique »).

Cette condition étant locale sur \(X\), […] l'exprimer en supposant que \(X\) a […] un […] « coordonnées locales » \(f_1, \ldots, f_n\) ([…] \(n\) sur \(S\)). Dès lors \[ P^{\infty}_{X/S} \simeq \underline{O}_S[[\delta f_1, \ldots]] \] et \[ \Delta : P^{\infty}_{X/S} \longrightarrow P^{\infty}_{X/S} \otimes_S P^{\infty}_{X/S} = P^{\infty}_{X/S}\big( P^{\infty}_{X/S} \big) \simeq P^{\infty}_{X/X}[[\ldots \] \[ \Delta(\delta f_i) = \delta(f_i) \otimes 1 + 1 \otimes \delta(f_i) = \delta(f_i) + \delta f_i \] \[ M \otimes P^n_{X/S} \longrightarrow P^n_{X/S} \otimes M \] […] \(P^n_{X/S}\)-linéaire […], i.e. \[ M \xrightarrow{\;\Delta\;} P^n_{X/S} \otimes M \] […] \(\underline{O}_S\)-lin. par […] ; id. […] 2 termes fantômes […] \[ \Delta(m) = m + \Sigma \]

la moitié inférieure du feuillet est partagée par un trait vertical ; la colonne de droite porte : « On peut […] l'extension \(E\) […], donc \(\widehat{S} \simeq \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega)\), et comme \(\Omega \simeq \Omega^1_{X/S} \simeq \underline{O}^{\,n}\), \(\widehat{S} \simeq \underline{O}_S[[T_1, \ldots, T_n]]\) ; [\(\infty\)-connexion projective […]] »

9déterminé par les images des \(T_i\) dans \(P^{\infty}_{X/S}\), disons \[ F_i \in \Gamma\, P^{\infty}_{X/S} = \Gamma\, \underline{O}_S[[\delta f_1, \ldots, \delta f_n]], \qquad 1 \leqslant i \leqslant n \] \[ F_i = \delta f_i + G_i, \qquad G_i \text{ d'ordre } \geqslant 2 \] ou inversement par les images des \(\delta f_i\), soit \[ \Phi_i \in \Gamma\, \widehat{\mathrm{Sym}}\; \underline{O}_S[[T_1, \ldots, T_n]], \qquad 1 \leqslant i \leqslant n \] \[ \Phi_i = T_i + \Psi_i \qquad (\Psi_i \text{ d'ordre } \geqslant 2) \] On a donc la structure […] sur \(\underline{O}_S[[T_1, \ldots\) \[ \underline{O}_S[[T_1, \struck{\delta f}]] = \widehat{S} \xrightarrow{\;\Delta'\;} P^{\infty}_{X/S} \widehat{\otimes} \widehat{S} = P^{\infty}_{X/S}(\widehat{S}) \simeq P^{\infty}_{X/S}[[T \ldots \] déduit par transport de structure de celle de \(P^{\infty}_{X/S}\). Il faut donner les i[…] des \(T_i\) dans \(P^{\infty}_{X/S}[[T_1, \ldots, T_n]]\), […] l'image de \[ \Delta(\struck{\ill{}}\; \delta f_i + G_i) \in \Gamma\, P^{\infty}_{X/S} \] de \(\Gamma\, P^{\infty}_{X/S} \widehat{\otimes} \widehat{S}\), déduit de \(\longrightarrow\) obtenu par […] \[ c_{\infty} : P^{\infty}_{X/S} \longrightarrow \widehat{S}. \] Posant le feuillet s'arrête au premier tiers, sur ce mot ; la suite manque

10

LaTeX source
\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"] \\ S
\end{tikzcd}

\(X\) propre lisse dim. rel. \(1\), fibres connexes \[ \Omega^1_{X/S} = \omega, \qquad f_*(\omega) = \Omega, \qquad R^1 f_*\big( \Omega^{\bullet}_{X/k} \big) = DR \] \[ R^1 f_*(\underline{O}_X) \simeq \check{\Omega} \simeq \tau \] le troisième terme est douteux ; je le lis \(\tau\) \[ 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow DR \longrightarrow \check{\Omega} \longrightarrow 0 \] autodual […] \[ DR \times DR \xrightarrow{\;q\;} \underline{O}_S \qquad \text{alternée} \] \[ b = R^2 f_*\big( \Omega^{\bullet}_{X/S} \big) \simeq R^1 f_*\big( \Omega^1_{X/S} \big) \] \[ 0 \longrightarrow \check{\Omega} \otimes \check{\Omega} \longrightarrow \Sigma \longrightarrow \underline{O}_S \longrightarrow 0 \] […] le groupe de \(\Omega^2 \to \Omega\), \(\Omega \otimes \check{\Omega}\) \[ \Lambda^2 DR \xrightarrow{\;q\;} \underline{O}_S \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \Omega \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] &
  DR \arrow[r] \arrow[d, "2"] &
  \check{\Omega} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \Omega \arrow[r] & DR \arrow[r] &
  \check{\Omega} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
l'étiquette de la flèche médiane se lit \(2\), sans certitude

[…] on considère […] l'accouplement […] \(\Omega \times DR\) et \(DR \times \Omega\) — l'aboutissement […] dans […] \(\mathrm{Hom}(\check{\Omega} \otimes \check{\Omega}, \underline{O}_S) = \Omega \otimes \ldots\) […] \(= \ell\) puisqu'il s'agit de formes alternées […] dans \(\Lambda^2 \Omega\), \(\Omega \otimes \check{\Omega}\), \(\Lambda^2 \check{\Omega}\) \[ 0 \longrightarrow \mathrm{Fil}^2 \longrightarrow \mathrm{Fil}^1 \longrightarrow \Lambda^2 DR \] une flèche portant « inv » descend de \(\mathrm{Fil}^1\) vers \(\underline{O}_S\)

Pour un splitting \(q\) de \(DR\) […] \(q : \Omega \to DR\) […] on aura comme matrice de toute p.c. la décomposition \(DR \simeq \Omega \oplus \Omega\) \[ \begin{pmatrix} 0 & \pm\,\mathrm{id} \\ \mathrm{id} & \varphi_0 \end{pmatrix} \] […] pour […] déduite sur \(\check{\Omega}\). P[…] un autre choix \[ q'(t) = q(t) + u(t) \qquad \big( u : \check{\Omega} \to \Omega \big) \] […] on aura \[ \varphi'_0(t,t') = \varphi\big( q(t) + u(t),\; q(t') + u(t') \big) \] \[ = \varphi_0(t,t') + \big( t,\, u(t') \big) - \big( t',\, u(t) \big) \] le signe entre les deux derniers termes est masqué par un pâté d'encre ; je le lis \(-\)

11feuillet à l'encre bleue, d'une écriture rapide : les formules portent, la prose qui les relie est en grande partie perdue

Si […] l'inverse […] où le \(u\) […] \(\varphi'_0 = 0\), on voit que l'on a une condition […] et […] torsion […] \(\Lambda^2 \Omega\) […] torseur sous […] (formes symétriques sous \(\Omega\) […]) \[ 0 \longrightarrow \Lambda^2 \Omega \longrightarrow \Sigma \longrightarrow \underline{O}_S \longrightarrow 0 \] (Il […] induit par un torseur […] hyperbolique […] les torseurs sous \(\pi_1 \subset \mathrm{Aut}\) […] les schémas […] pour les […] problème ?)

On a comme […] (si \(\Sigma\) […] \(T\)) \[ DR \longrightarrow DR \otimes \Omega^1_{S/T} \] […] compatible avec la filtration […] ; les défauts de compatibilité sont précisés […] \[ \Omega \longrightarrow \check{\Omega} \otimes \Omega^1_{S/T} \] […] \[ \Omega^1_{S/T} \longrightarrow \check{\Omega} \otimes \check{\Omega} \] […] est […], induit par le foncteur […] pour problème […] et sur le contexte […] par le […] un iso ; ici donné, dont […] par les conditions […] \(S/T\) […] hyperbolique), […] qui […] \[ \Omega^1_{S/T} \longrightarrow \Lambda^2 \check{\Omega} \] ([…] pour les […] avec vol. […] permutation avec […])

[…] Sur \(X\) (de genre \(g \geqslant 2\)) […] fibré […] d'un sous-fibré de corang \(1\) (de […]) \[ H^0(X, \Omega_X) \] ([…] […] formes […]) s'annulant […] \[ 0 \longrightarrow \Omega^1_X \xrightarrow{\;\omega\;} \Omega_X \xrightarrow{\;\det\;} \Omega^1_X \longrightarrow (DR)_X \] de \(DR\), la lecture de cette dernière suite est incertaine dans le détail des flèches

12splittings \(\varphi\) splittings de \(DR\) \(\longrightarrow\) formes […] symétriques […] sur \(DR\) \[ 0 \longrightarrow \Gamma^2 \Omega \longrightarrow \Omega \otimes \Omega \longrightarrow \Lambda^2 \Omega \longrightarrow 0 \] une flèche descendante part de \(\Gamma^2\Omega\), étiquetée « Epi (car […]) (car. \(\neq 2\)) » \[ f_*(\omega^2) \;\simeq\; \Omega^1_{S/T} \] \[ \frac{g(g+1)}{2} - (3g-3) \;=\; \frac{1}{2}\big( g^2 - 5g + 6 \big) \;=\; \frac{1}{2}(g-2)(g-3) \] sous le membre médian, une accolade porte \((g-2)(g-3)\) \[ \longrightarrow \underline{O}_X \longrightarrow P^1 \longrightarrow \omega \longrightarrow 0 \] \[ E \otimes_{\underline{O}} P \longrightarrow E \] \[ 2 - 2g \] \[ P^{\infty}_{X/S}, \qquad \Omega\quad \Omega^2\quad \Omega^3 \] \[ \omega^2 \longrightarrow P^{3+} \longrightarrow \omega \longrightarrow 0 \] \[ \longrightarrow f_*(\omega^2) \longrightarrow f_*\big( P^{3+}_{X\varphi} \big) \longrightarrow f_*(\omega) \longrightarrow 0 \] sous les deux membres extrêmes il écrit \(\Omega^1_{S/T}\) et \(\Omega\) ; à droite, \(J \subset A \otimes A \to A\), puis \(J/J^2\) et \(x \otimes y - y \otimes x\) \[ P^{\infty}\big( \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \big), \qquad P^{\infty}(\omega^n), \qquad \omega \otimes P^{\infty}, \qquad P^{\infty} \otimes \omega \] \[ M \otimes P^{\infty}, \qquad R^1 f_*\big( M \otimes \omega^n \big) = 0 \quad \text{si } n \gg 1 \] \[ S^i = f_*\, P^{\infty}(\omega^n) = f_*\big( \omega^n \otimes P \big) \] \[ \mathrm{gr}\, S^{\bullet} \;\simeq\; \sum_{n \geqslant \ill{}} f_*\big( \omega \otimes P \big). \] la dernière ligne porte un indice de sommation que je ne lis pas ; à gauche, un petit diagramme \(\Sigma^{\bullet} \to S^{\bullet}\) avec une flèche montante depuis \(R^{\bullet}\), et \(\Sigma \otimes P^{\bullet}\)

14le feuillet 13 ne porte que le numéro des archivistes à partir d'ici il note en exposant un signe que je ne sais pas nommer, et que je rends par \(\mathfrak{z}\) ; c'est le même qui donne « \(\mathfrak{z}\)-structure » dans la prose, et il y désigne la structure projective

Fixons […] un genre \(g\) (\(> 2\) ou […]) et un foncteur rigidifiant (p. ex. de Torelli, d'i[…]els convenables) pour les courbes algébriques […] relatives sur une base donnée ([…] ou travaillant sur la […] multiplicités […] modulaire des courbes de genre \(g\) — lisse, propre, groupe […]). La catégorie fibrée qui s'[…] ou la […] […], soit notée \(M_g\).

Considérons \[ M_g^{\mathfrak{z}}(S) = \text{courbes algébriques} \] \(S\) schéma de base de car. \(0\) propres lisses \(X\) de genre \(g\) sur \(S\), munies d'un […] fibré par des […] projectives \(P\) sur \(X\), avec une \(\mathfrak{z}\)-structure (connexion lisse) i[…] sur \(S\), telle que \(\forall\, s \in S\) […] de \(S\), \(P_s\) sur \(X_s\) ait un point \(\mathfrak{z}\)-ordinaire […] le groupe structural de \(P\) […] \(\Pi_0 \subset \mathrm{PGL}(1)\), […] \(\subset \mathrm{PGL}(1)\).

(i.e. \(P\) n'est intégrable : […] « dégénéré » […])

Rq. Soit \(X\) courbe schéma algébrique connexe sur \(k\) alg. clos, […] \(P\) un \(\mathfrak{z}\)-fibré ou élément projectif sur \(X\), conditions équivalentes :

l'intersection de ces deux types de \(\mathfrak{z}\)-structures (i.e. \(\mathfrak{z}\) triviales incluses)

15[…] Si \(X\) courbe algébrique propre lisse […] de genre \(g\) […] […]

[N.B. On a \(\mathfrak{g} \simeq \check{\mathfrak{g}}\) (Killing), donc \[ (*) \qquad H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) \simeq H^2_{DR}(X, \mathfrak{g})^{\vee} \] (d'où équivalence de d) et d'' )) et formule d'E.P. \[ (**) \qquad \chi_{DR}(X, \mathfrak{g}) \overset{\text{déf}}{=} \sum (-1)^i \dim H^i_{DR}(X, \mathfrak{g}) \;=\; 3\, \chi_{DR}(X, \underline{O}_X) \] sous \(\chi_{DR}(X,\underline{O}_X)\) il porte sa valeur, \(2-2g\) \[ = \struck{6g} \; 6 - 6g \] donc, combinant avec \((*)\), \[ (\!*\!*\!*) \qquad \dim H^1_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 2 \dim H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) + (6g - 6) \] d'où l'équivalence de d' ) avec d). Enfin, on sait \[ H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) \simeq \mathrm{Lie}\; \mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) \] d'où l'équivalence de d' ) avec b), et la formule […] \[ \dim H^1_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 2 \dim \mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) + 6g - 6 \] \[ = 2 \Big( \dim \mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) + 3g - 3 \Big) \] une accolade sous \(\dim H^1_{DR}(X,\mathfrak{g})\) porte : « espace tangent à l'espace modulaire \(M_g^{\mathfrak{z}}\) au pt correspondant à \((X, P, \mathfrak{z})\) »

N.B. La condition d' ) implique que \(M_g^{\mathfrak{z}}\) « n'a pas d'automorphismes infinitésimaux », c) qu'il n'a pas d'automorphismes finis », donc on […] pas \(M_g^{\mathfrak{z}}\) est « rigide » — tandis que comme \(M_g\) a […] dans un l'espace représentable ! Le semble. d'' ) implique que \(M_g^{\mathfrak{z}}\) est formellement lisse sur \(M_g\), et d) que sa dim relative sur \(M_g\) est \(6g - 6\). la dimension relative se lit bien \(6g-6\)

Sans doute peut-on prouver la représentabilité […] relative (dans un cas […] org. d'Abel […] cette remarque est portée en haut de la moitié droite du feuillet et court jusqu'au bord, où elle est coupée

16\(X\) courbe analytique connexe compacte […], \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\) espace modulaire pour les […] projectifs analytiques : connexions plates « sans automorphismes ». C'est l'espace analytique associé à une solution (de […]) sur \(\mathbf{C}\), mais lisse de dim. \(6g-6\) […] — le regard […] de \(M\) […] analytique. Il est donc […] ([…] pas choisi qu'un bon \(x \in X\)) […] des représentations \[ \pi \xrightarrow{\;\rho\;} \mathrm{PGL}(1, \mathbf{C}) = H, \qquad \pi = \pi_1(X, x) \] telles que […] telles que \(\mathrm{Cent}(\varphi) = \{e\}\), ou qu[…] \(H\) […] intérieurs \[ M_g^{\mathfrak{z}}(X) \;\simeq\; \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr.\,ana}}(\pi, H) \,\big/\, H \] […] le ! désigne le […] des \(\varphi \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\pi, H)\) dont le st[…] dans \(H\) se réduit à \(1\).

[ […] de faits et […] une […] algébrique de […] \(g \in \pi\), le […] […] algébrique), et […] algébrique. Mais l'iso […] sans doute […] algébrique ! ] L'interpr[…] […] de […] classifie les couples \((P, \mathfrak{z}, \varphi)\), \((P, \ldots\)

17le feuillet est écrit sur deux colonnes ; la colonne de droite est lourdement raturée et sa moitié inférieure, surchargée de renvois, ne se laisse pas suivre

\(\mathfrak{z}\)-fibré en droites projectives, et \(\varphi : P(\mathfrak{z}_1) \to P_2\) un iso. L'opération de \(H\) dessus est l'évidente.

Or le groupe \(\mathrm{Aut}(\pi)\) opère à droite sur \(\mathrm{Hom}(\pi, H)\) ; si \(u \in \mathrm{Aut}(\pi)\), \(\rho \in \mathrm{Hom}(\pi, H)\), […] \[ \rho \cdot u = \rho \circ u ; \] si \(u = \mathrm{int}(g)\) (\(g \in \pi\)), […] \[ \rho \circ u = \mathrm{int}(\rho(g)) \circ u, \] donc […] un groupe au quotient : \(\mathrm{Hom}^{\,!}(\pi, H)/H\), c'est-à-dire \(\gamma : \struck{\ill{}}\ \mathrm{Out}(\pi) = \mathrm{Aut}(\pi)/\mathrm{Int}(\pi)\), qui opère sur lui. Par transport de structure, ce groupe opère sur \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\), mais alors dont cette opération soit algébrique.

Si \(Y\) est une courbe analytique complète de genre \(g\), alors la donnée d'un iso. est \[ \pi_1(Y) \;\simeq\; \pi = \pi_1(X, x) \] définit, si la représentation composée \[ \rho_Y : \pi_1(Y) \longrightarrow H \] (définie […] à […] int. dans \(H\)), un élément de \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\). On trouve ainsi, si \(M_g(\pi) \struck{= M_g(X)}\) […] l'espace de Teichmüller (à rigidification définie par \(\pi\)), […] trouve un morphisme analytique injectif \[ M_g(X) \hookrightarrow M_g^{\mathfrak{z}}(X) \] qui commute aux […] \(\mathfrak{z}\) […] des groupes de

colonne de droite Teichmüller \(\Gamma\). On suppose que l'image […] […] compact par […] constructible […] algébrique. Elle est formée des \(\mathrm{Hom}\) injectifs \(\pi \subset \ell\), \(H\) pour lesquels il existe un domaine hom[…]gique \(D \subset \mathbf{P}^1(\mathbf{C})\) […] par \(\rho\) (il sera unique) et que \(D/\pi\) […] […] opère librement et […] un quotient compact.

On définit aussi \(M_{\mathrm{ann}}(X)\) qui classifie les \(P(\ldots)\) […] […] sur \(X\), munis d'une section nulle […] dictionnaire. Il est (c'est un […] sur le […] de deux fois \[ H^0\big( X, \omega^{\otimes 2}_{X/\mathbf{C}} \big), \ldots \]

\[ M_{\mathrm{ann}}(X) \longrightarrow M_g^{\mathfrak{z}}(X) \] […] est un morphisme net. (Est-il injectif ?) (N.B. C'est en fait un morphisme de […])

18[…] classe de torsion dans \(\mathrm{Pic}\), \(L \otimes \omega^{-1}\) anti-ample. Donc tout aut. dét[…] de \(P\big( P^1_{X/S}(-1) \big)\) laissant fixe le […] le tiers supérieur du feuillet est ensuite annulé par des hachures ; on y distingue encore \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\) et \(M_g(X)\)

[…] \(L \simeq \underline{O}_X\), donc […] un fait […] autre \(\omega\) de \(E\), avec \(u(\omega) \subset \omega\), et […] Plus le quotient \(E/\omega \simeq \underline{O}_X\). Si […] \(\varrho_\alpha\) […], est induit […] \(\lambda \in H^0(X, \underline{O}_X^{*}) = \mathbf{C}^{*}\) sur \(\omega\), l'extension \(c \in H^1(X, \underline{O})\) […] \(\mathbf{C}\) dans […] l'ex. \(E\) de \(\underline{O}_X\) par \(\omega\), […] donc avoir \[ \lambda c = c \quad\text{i.e.}\quad (\lambda - 1)\, c = 0, \] et comme \(c \neq 0\) […] doit avoir \(\lambda = 1\). Donc […] un automorphisme d'extension, donc défini […] un homom. \(\underline{O}_X \to \omega\), i.e. par une forme diff. \(\omega \in H^0(X, \omega)\). Donc \[ \mathrm{Aut}_X(P_X) \;\simeq\; H^0(X, \omega_X) \] au-dessus du membre de gauche il écrit \(\mathrm{Aut}_X(P_X, \sigma)\), et sous l'isomorphisme la correspondance \(u_\omega \leftrightarrow \omega\) (iso. de groupes). La question est alors la suivante : peut-on avoir \(u_\omega(c) = c^{\ill{}}\) si \(c\) […] est la classe sur \(P_X\) associée […] deux classe projective \(C\), […] ?

19Choisissons une uniformisante […] \(t\), d'[…] […] \(\omega\), d'où splittages de \(\pi\) et de \(\mathcal{U}\) \[ \mathcal{U} \simeq \omega + \underline{O}_X + \omega^{-1} \] et connexion projective \(c_{D_t}\) donnée par \[ c_{D_t} : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{U} \otimes \omega \simeq \omega^2 + \omega + \underline{O}_X \] \[ \begin{cases} c_{D_t}(dt) = -2\, dt \\ c_{D_t}(1) = 1 \\ c_{D_t}\big( (dt)^{-1} \big) = 0 \end{cases} \] donc \[ c_{D_t}\big( \lambda\, dt + \mu \cdot 1 + \nu\, (dt)^{-1} \big) = \lambda'\, dt^2 + (\mu' - 2\lambda)\, dt + (\nu' \ldots \] Soit \(\omega \in \Gamma(\omega)\), d'[…] \[ u_\omega = \exp \Theta_\omega : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{U} \] et c[…] que \[ \exp \Theta_{-\omega}(1) = 1 + [-\omega,\, 1] = 1 + \omega \] On veut calculer : \[ u_\omega(c_{D_t}) = \struck{\ill{}}\; u \circ c_{D_t} \circ u^{-1} = \big( \exp \Theta_{-\omega} \big) \ldots \] Et pour ceci il suffit de calculer \[ u_\omega(c_{D_t}) - c_{D_t} \;\equiv\; \varphi \] […] comme […] \(\varphi(dt)\) […] \[ \varphi(dt) \;\struck{=}\; c_{D_t}(dt) = \big( \mathrm{id} + \Theta_{-\omega} \big) \big( \struck{D_t}(dt) \big) = -2\, dt + \ldots \] \[ \varphi(1) = -2\,\omega\, dt \] \[ \varphi(1) + c_{D_t}(1) = \Big( \mathrm{id} + \Theta_{-\omega} + \tfrac{1}{2} \Theta_{-\omega}^{\,2} \Big)\, c_{D_t}\big( 1 + [\omega,\, 1] \big) \] sous \(c_{D_t}(1)\) il écrit \(1\) ; sous \(1 + [\omega,1]\), \(1 - \omega\) \[ = 1 + [-\omega,\, 1] + \big[ -\omega,\, [-\omega,\, 1] \big] + \ldots \] sous \([-\omega,1]\) il écrit \(-2\omega\), et sous le crochet intérieur \(-2\omega\) également \[ = 1 + (-2\omega) + 2\omega^2 - \lambda'\, dt^2 + 2\lambda\, dt + \ldots \] \[ \varphi(1) = \big( -\lambda' + \struck{\ill{}} \big)\, dt^2 \;\struck{\ill{}} \] la dernière ligne du feuillet est entièrement biffée

20On trouve \[ u_\omega(c_{D_t}) = c_{D_t} + d^1_{\omega/S}(\omega) \] et plus généralement \[ \boxed{\;u_\omega(c) = c + d^1_{\omega/S}(\omega)\;} \] si \(c\) connexion projective.

Cela montre :

suit un bloc entièrement biffé de traits obliques, où se lisent \(M_g(X)\), \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\) et \(\mathrm{conn}(X)\) reliés par des flèches

Non, car s'il y en avait, le \(\mathfrak{z}\)-[…] serait énoncé : un \(\mathfrak{z}\)-fibré affine de […] serait isomorphe : un \(P(F)\), où \(F\) […] \(\mathfrak{z}\)-extension \[ \ill{} \longrightarrow M \longrightarrow F \longrightarrow \underline{O}_X \longrightarrow 0 \] […] \(M\) un \(\mathfrak{z}\)-fibré […] inv. […] ; on aurait donc \[ E \simeq F \otimes L, \] et […]