Cote n° 159 · pages 1–33 · Lecture modernisée · Connexions projectives et uniformisation : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dérivateurs » (157-1 à 160) est daté 1990-[1991]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–33

Le fil du dossier, ses reprises, et les conventions

Le dossier n'est pas un texte suivi. Il a un titre, de sa main, porté en tête de la page 1 : « Connexions projectives canoniques et uniformisation des courbes algébriques ». Il a ensuite deux grands massifs qui ne se rejoignent jamais explicitement, et un théorème isolé entre les deux.

1–33

Les stations

• Pages 1 à 6 — le dictionnaire. Fibré de Brauer-Severi avec section, réduction du groupe structural au groupe affine, extension \(0 \to \Omega \to E \to \mathcal{O}_S \to 0\) : trois descriptions d'un seul objet. Puis le complété formel le long de la section, et le calcul explicite de l'action de \(\Omega\) dessus. La page 2 est un départ abandonné, repris de zéro à la page 3 ; on la garde pour ce qu'elle est.
• Pages 7 à 9 — la définition. Une connexion projective sur \(X/S\), l'identification forcée \(\Omega \simeq \Omega^1_{X/S}\), la condition à l'ordre \(2\), l'intégrabilité, et l'écriture en coordonnées locales. La page 9 s'arrête au premier tiers, sur le mot « Posant ».
• Pages 10 à 12 — la dimension relative \(1\). La cohomologie de de Rham d'une famille de courbes, son autodualité symplectique, les scindages de la filtration de Hodge, Gauss-Manin et Kodaira-Spencer, et le compte \(\tfrac12(g-2)(g-3)\).
• Pages 14 à 18 — les modules. L'espace \(M_g^{\mathfrak{z}}\), le critère de non-dégénérescence sous trois formes, le calcul de dimension par la caractéristique d'Euler-Poincaré de de Rham, puis le tableau analytique : variété des caractères, action du groupe modulaire, plongement de l'espace de Teichmüller. La page 13 ne porte que le numéro des archivistes.
• Pages 19 et 20 — le calcul en coordonnées, qui aboutit à la formule encadrée \(u_\omega(c) = c + d^1_{\omega/S}(\omega)\).
• Pages 21 et 22 — le théorème de non-réduction, et la densité Zariski de la monodromie sur \(\mathbf{C}\). Ces deux pages achèvent un argument commencé plus haut dans le dossier.
• Pages 24 à 33 — la théorie formelle, reprise cinq ou six fois. C'est un second sujet, et c'est aussi la démonstration de ce que les pages 7 à 9 supposaient. La page 23 est un feuillet blanc.

24–33

Les reprises, et leur ordre

Le dernier massif n'est pas un texte mais une suite de moutures du même matériau. Les compter est utile, parce qu'elles ne disent pas la même chose et que les fusionner reviendrait à effacer du contenu.

• Page 24 — un premier jet, en langage de torseurs, qui pose déjà tout : la donnée à l'ordre \(2\), le groupe \(G\), la conclusion \(G/G_0\). La phrase finale reste inachevée.
• Pages 25 et 26 — la mise en forme de théorème, avec ses items a) et b), puis la correspondance biunivoque à trois termes. C'est la version la plus articulée.
• Pages 27, 28 et 30 — le calcul explicite du changement de paramètre. La page 30 est la plus complète des trois ; les pages 27 et 28 en sont des états antérieurs.
• Page 29 — la preuve du théorème de structure de \(G\), écrite dans les termes géométriques.
• Page 31 — la même preuve, entièrement dépouillée : un lemme sur un groupe \(G \supset G_0\) opérant sur un ensemble \(C \supset C_0\), sans une ligne de géométrie.
• Pages 32 et 33 — le cadre reposé une dernière fois, avec la définition de la régularité, et l'énoncé final.

1–33

Conventions, valables pour tout le dossier

Le groupe. Les feuillets écrivent \(\mathrm{PGL}(r)_S\) pour le groupe structural d'un fibré de Brauer-Severi de dimension relative \(r\). L'indice compte donc la dimension relative et non le rang du module : son \(\mathrm{PGL}(1)\) est le groupe des automorphismes de la droite projective, que l'on écrit ici \(H = \mathrm{PGL}_2\), de dimension \(3\). La convention est confirmée par le dossier lui-même : la formule d'Euler-Poincaré de la page 15 donne \(\chi_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 3\,\chi_{DR}(X, \mathcal{O}_X)\), ce qui exige \(\operatorname{rg} \mathfrak{g} = 3\).

Le fibré et l'extension. On suit la convention de EGA : \(P(E) = \operatorname{Proj} \operatorname{Sym}(E)\), de sorte qu'un point de \(P(E)\) au-dessus de \(S'\) est un quotient inversible de \(E\), et \(V(\Omega) = \operatorname{Spec} \operatorname{Sym}(\Omega)\), dont les sections sont les homomorphismes \(\Omega \to \mathcal{O}\), c'est-à-dire les sections du dual \(\check{\Omega}\). C'est aussi ce que font les pages 3 et 4, qui décrivent les points du complété formel par des \(\varphi : \Omega \to \mathcal{O}_S\) sans jamais nommer la dualité.¹

Les modules. \(\mathcal{O}_S\), \(\mathcal{O}_X\) pour ses \(\mathcal{O}\) soulignés ; \(\omega = \Omega^1_{X/S}\) sur une courbe relative ; \(\check{\Omega}\) pour le dual. \(\Omega\) désigne, dans la partie formelle, le module inversible \(J/J^2\) ; il est identifié à \(\Omega^1_{X/S}\) dès qu'une connexion projective est en jeu, et il ne faut pas le confondre avec le \(\Omega = f_*(\omega)\) des pages 10 à 12, qui est de rang \(g\). Les feuillets emploient la même lettre pour les deux ; le contexte les sépare sans ambiguïté, mais il faut le savoir.

Les deux espaces de modules. Les pages 14 et 15 écrivent \(M_g^{\mathfrak{z}}\) pour l'espace des couples (courbe de genre \(g\), structure projective), fibré sur \(M_g\). Les pages 16 et 17 écrivent \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\) pour un objet tout différent : la variété des caractères de \(\pi = \pi_1(X,x)\), c'est-à-dire l'espace des représentations \(\pi \to H\) à conjugaison près. Les deux ont la même dimension \(6g-6\), et c'est le fait central ; ce ne sont pas le même espace, et \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\) n'est pas la fibre de \(M_g^{\mathfrak{z}}\) au-dessus de \(X\) — celle-ci est de dimension \(3g-3\). On garde ici les deux notations du dossier, en réservant la parenthèse à la seconde.

14–20

Le glyphe de la structure projective

À partir de la page 14 il note en exposant un signe que le transcripteur des pages 1 à 20 n'a pas su nommer, et qu'il rend par \(\mathfrak{z}\) en le déclarant. C'est le même signe qui donne « \(\mathfrak{z}\)-structure » dans la prose, et il y désigne la structure projective : \(M_g^{\mathfrak{z}}\), \(\mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}(P)\), « \(\mathfrak{z}\)-fibré », « \(\mathfrak{z}\)-extension ».

Cette lecture reprend la convention telle quelle. Il faut dire clairement ce qu'elle est : \(\mathfrak{z}\) est un choix de l'édition et non une lecture du feuillet. Personne n'a identifié le signe ; la lettre fraktur n'est là que pour lui donner un corps typographique et pour qu'on puisse le citer. Quiconque aura les feuillets sous les yeux pourra le nommer, et la substitution sera alors mécanique.²

1–33

Ce que le contenu montre, et ce qu'il ne date pas

Il faut le dire ici plutôt que de le taire. Le dossier appartient, dans l'inventaire de Montpellier, au groupe 157-1 à 160, intitulé « Dérivateurs » et daté 1990-[1991] ; la cote elle-même porte « s.d. ». Or rien sur ces trente-trois pages ne relève des dérivateurs, ni des catégories dérivées, ni de l'algèbre homotopique. Ce qui s'y trouve est du vocabulaire des années EGA et SGA : fibrés de Brauer-Severi, \(\mathrm{PGL}(r)_S\), \(\operatorname{Spf} \widehat{\operatorname{Sym}}\), parties principales \(P^n_{X/S}\) et \(P^\infty_{X/S}\), connexion de Gauss-Manin, critère de descente par les degrés. Les deux transcripteurs le notent séparément, chacun sur son lot, sans s'être consultés.

Ce constat est solide en ceci qu'il est recontrôlable : il suffit de relire la transcription. Il faut être exact sur sa portée, qui est étroite. Il ne date rien. Il dit de quoi les feuillets traitent, non quand ils ont été écrits. Un mathématicien revient sur un sujet ancien quand il lui plaît, et un dossier d'archives est une chemise de papier, groupée selon la place qu'elle occupait et non selon ce qu'elle contient.

À côté de ce constat viennent des observations d'une autre espèce, et il faut les en séparer nettement. Le transcripteur des pages 21 à 33 relève que les pages 30, 32 et 33 sont écrites sur du papier à portées musicales imprimées ; celui des pages 1 à 20 relève que d'autres feuillets sont du listing informatique en accordéon, et que la page 4 porte une ligne tracée sur la portée imprimée. Ce sont des observations matérielles, faites sur un fac-similé numérique, où l'encre, la pression, le grain et le format ne se jugent pas. Elles sont fragiles pour cette raison seule. Et quand bien même elles seraient sûres, elles ne trancheraient rien : la récupération de papier — portées, listings, versos — est une pratique qu'il a tenue sur des décennies, et un support ne date pas ce qu'on écrit dessus.

En conséquence : cette lecture ne conclut aucune date. Le La ligne de datation portée en tête est celle des archivistes, repris verbatim des deux transcriptions, et il y reste. Ce qui est offert ici est la description de ce que les feuillets montrent, pour que quelqu'un qui pourra les manipuler sache quoi regarder.

1–6

Le dictionnaire : fibré projectif, groupe affine, extension (pages 1 à 6)

Soit \(S\) un schéma de base. Un fibré de Brauer-Severi sur \(S\) de dimension relative \(r\) est un schéma \(P\) propre et lisse sur \(S\) dont les fibres géométriques sont des espaces projectifs de dimension \(r\). Se donner un tel \(P\) revient à se donner un torseur sous \(\mathrm{PGL}_{r+1}\) sur \(S\) : c'est la descente, pour la topologie fppf, du fait que \(\mathrm{Aut}(\mathbf{P}^r) = \mathrm{PGL}_{r+1}\).

1–2

Trois descriptions d'un même objet

Se donner de plus une section \(\sigma : S \to P\) revient à réduire le groupe structural au stabilisateur d'un point de \(\mathbf{P}^r\). Prenons pour point celui qui correspond au quotient inversible \(\mathcal{O}_S\) de \(\mathcal{O}_S^{\,r+1}\) défini par la dernière coordonnée ; son stabilisateur est le groupe des matrices \[ \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A \in \mathrm{GL}_r, \quad C \in \mathbf{A}^r, \] c'est-à-dire de celles qui respectent la structure d'extension \(0 \to \mathcal{O}_S^{\,r} \to \mathcal{O}_S^{\,r+1} \to \mathcal{O}_S \to 0\) et induisent l'identité sur le quotient. Ce groupe est le groupe affine, produit semi-direct \[ \mathrm{Aff}(r) \;=\; \mathrm{GL}_r \ltimes \mathbf{G}_a^{\,r}, \] de dimension \(r^2 + r\) ; c'est bien \(r\) de moins que \(\dim \mathrm{PGL}_{r+1} = r^2 + 2r\), comme il se doit puisque le quotient est \(\mathbf{P}^r\).³

Troisième description, celle dont tout le reste va se servir : la donnée de \((P, \sigma)\) équivaut à celle d'une extension de modules localement libres \[ 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow E \xrightarrow{\ p\ } \mathcal{O}_S \longrightarrow 0, \] avec \(\Omega\) de rang \(r\), le passage se faisant par \(P = P(E)\) et \(\sigma\) la section définie par le quotient \(p\). C'est une équivalence de catégories, où les morphismes du côté des extensions sont les isomorphismes induisant l'identité sur \(\mathcal{O}_S\) — l'automorphisme d'une telle extension est un couple (automorphisme de \(\Omega\), élément de \(\mathrm{Hom}(\mathcal{O}_S, \Omega) = \Omega(S)\)), ce qui redonne exactement \(\mathrm{Aff}(r)\).⁴

3–5

Le complété formel le long de la section, et l'action de \(\Omega\)

Soient \(\widehat{P}\) le complété formel de \(P\) le long de \(\sigma(S)\), \(\widehat{S} = \mathcal{O}_{\widehat{P}}\) son algèbre, \(\widehat{J}\) l'idéal d'augmentation, et \(L = \mathcal{O}_P(1)\) avec \(\widehat{L}\) sa restriction. Le groupe \(\Omega\), vu comme \(\mathrm{Hom}(\mathcal{O}_S, \Omega) \subset \mathrm{Aff}(r)\), opère sur l'extension, donc sur \((P,\sigma)\), donc sur \(\widehat{S}\) et sur \(\widehat{L}\), de façon compatible.

Supposons l'extension scindée, \(E \simeq \Omega \oplus \mathcal{O}_S\). Alors les points de \(\widehat{P}\) à valeurs dans \(S'\) sont les quotients inversibles \(L'\) de \(E\) qui coïncident, sur le réduit, avec le quotient donné ; en normalisant \(L'\) par l'image de la section \(e\) de \(\mathcal{O}_S\), un tel quotient s'écrit \((x,\lambda) \mapsto \varphi(x) + \lambda\) avec \(\varphi : \Omega \to \mathcal{O}_{S'}\) à valeurs dans le nilradical. D'où l'identification \[ \widehat{P} \;\simeq\; V(\Omega)^{\wedge} \;=\; \operatorname{Spf} \widehat{\operatorname{Sym}}(\Omega), \] le complété de \(V(\Omega)\) le long de la section nulle.

L'action de \(a \in \Omega(S)\) est alors entièrement calculable. Sur l'extension, \(u_a(x,\lambda) = (x + \lambda a, \lambda)\). Sur les points, \[ \varphi^a \;=\; u_a^*(\varphi) \;=\; \frac{\varphi}{1 + \varphi(a)} . \] Sur les fonctions, \(u_a\) est l'automorphisme d'algèbre de \(\widehat{\operatorname{Sym}}(\Omega)\) qui envoie \(\omega \in \Omega\) sur \[ u_a(\omega) \;=\; \frac{\omega}{1+a} \;=\; \sum_{n \geqslant 0} (-1)^n\, \omega\, a^n , \] le quotient ayant un sens parce que \(1 + a\) est inversible dans le complété. Comme \(u_a\) est un morphisme d'algèbres, on en déduit la règle de degré, que le feuillet encadre : \[ u_a(f) \;=\; \frac{f}{(1+a)^n} \qquad \text{si } \deg f = n . \] Sur le module inversible \(\widehat{L}\) la règle est décalée d'un cran. On identifie \(\widehat{L}\) à \(\widehat{S}\) par l'épimorphisme canonique \(\pi : E \otimes_{\mathcal{O}_S} \widehat{S} \to \widehat{L}\), qui s'écrit \(\pi(\omega \otimes f + e \otimes g) = \omega f + g\) ; la commutation demandée \(\pi \circ u_{a*}^{\widehat{E}} = u_{a*}^{\widehat{L}} \circ \pi\) force alors \[ u_{a*}^{\widehat{L}}(g) \;=\; (1+a)\, u_{a*}(g) \;=\; \frac{g}{(1+a)^{\,n-1}} \qquad \text{si } \deg g = n . \] Le feuillet vérifie l'identité sur un élément général, et le calcul tombe juste.⁵

6–6

La conséquence gradue

La page 6 est un brouillon au crayon très pâle, traversé par la transparence du verso : les formules portent, la prose qui les relie est en grande partie perdue. Ce qui s'en tire est ceci. L'idéal d'augmentation \(\widehat{J}\) donne \(\operatorname{gr}^1_{\widehat{J}}(\widehat{S}) \simeq \Omega\), donc \(\operatorname{gr}_{\widehat{J}}(\widehat{S}) \simeq \operatorname{Sym}(\Omega)\) et \(J^n/J^{n+1} \simeq \operatorname{Sym}^n\Omega\) canoniquement. Ce qui n'est pas canonique, et qui porte l'information, est le cran suivant : \(J^n/J^{n+2}\) est une extension de \(\operatorname{Sym}^n\Omega\) par \(\operatorname{Sym}^{n+1}\Omega\), et sa classe s'obtient à partir du torseur \(T\) par l'homomorphisme \[ \Omega \longrightarrow \mathrm{Hom}\big( \operatorname{Sym}^n \Omega,\; \operatorname{Sym}^{n+1} \Omega \big), \qquad a \longmapsto \big( f \mapsto -\,n\,a f \big). \] Le facteur \(n\) et le signe sont ce que produit la règle de degré : \(u_a(f) = f(1+a)^{-n} \equiv f - n\,a f\) modulo le degré \(n+2\).⁶

7–9

La définition d'une connexion projective (pages 7 à 9)

7–7

Les deux données, et l'identification qu'elles forcent

Soit \(X\) un schéma lisse sur \(S\). Une connexion projective sur \(X\) relativement à \(S\) est la donnée de :

• a)un fibré de Brauer-Severi \(P\) sur \(X\) muni d'une section, c'est-à-dire, par le dictionnaire des pages 1 à 6, une extension de modules localement libres sur \(X\) \[ 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow E \longrightarrow \mathcal{O}_X \longrightarrow 0 \,; \]
• b)pour chaque \(n\), un isomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres augmentées \[ P^n_{X/S} \;\simeq\; \mathcal{O}_{\widehat{P}} \big/ \widehat{J}^{\,n+1}, \] compatible au passage de \(n+1\) à \(n\), où \(P^n_{X/S}\) est le faisceau des parties principales d'ordre \(n\) — l'algèbre du \(n\)-ième voisinage infinitésimal de la diagonale de \(X \times_S X\) — et \(\widehat{P}\) le complété formel de \(P\) le long de la section.

C'est la traduction algébrique littérale de « une carte à valeurs dans \(\mathbf{P}^r\) » : la donnée b) dit que le voisinage infinitésimal d'un point de \(X\) est identifié, à tout ordre fini, au voisinage infinitésimal d'un point de \(\mathbf{P}^r\), et que ces identifications sont cohérentes entre elles. Il n'y a pas de convergence à demander : c'est tout l'intérêt de la version algébrique.

La donnée b) à l'ordre \(1\) ne coûte rien mais impose tout : les gradués de degré \(1\) des deux membres sont \(\Omega^1_{X/S}\) d'un côté et \(\Omega\) de l'autre, d'où l'identification \[ (*) \qquad \Omega \;\simeq\; \Omega^1_{X/S} . \] En particulier \(r = \dim X/S\), et \(E\) est une extension de \(\mathcal{O}_X\) par \(\Omega^1_{X/S}\).

Le premier contenu réel est à l'ordre \(2\). Du côté des parties principales, l'idéal d'augmentation donne une extension \[ 0 \longrightarrow \operatorname{Sym}^2 \Omega^1_{X/S} \longrightarrow I/I^3 \longrightarrow \Omega^1_{X/S} \longrightarrow 0 \] dont la classe vit dans \(\mathrm{Ext}^1(\Omega^1_{X/S}, \operatorname{Sym}^2\Omega^1_{X/S})\), et un isomorphisme comme en b) est en particulier un scindage relatif, c'est-à-dire un point d'un torseur sous \(\mathrm{Hom}(\Omega^1_{X/S}, \operatorname{Sym}^2 \Omega^1_{X/S})\). Du côté de \(\widehat{P}\), la page 6 vient de calculer l'extension analogue : c'est celle déduite du torseur \(T\) par \(-u_1\). La condition b) à l'ordre \(2\) dit donc que les deux classes se correspondent, et fixe de plus l'isomorphisme.⁷

8–9

Intégrabilité, et l'écriture en coordonnées

L'algèbre \(P^\infty_{X/S} = \varprojlim_n P^n_{X/S}\) porte une comultiplication canonique \[ \Delta : P^\infty_{X/S} \longrightarrow P^\infty_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X} P^\infty_{X/S} \] et une augmentation vers \(\mathcal{O}_X\) : c'est le groupoïde formel du voisinage de la diagonale. On dit qu'une connexion projective à l'ordre infini est intégrable si elle est compatible à cette structure, autrement dit si elle provient d'une connexion sur \(P = P(E)\) au sens ordinaire ; cette dernière est alors déterminée de façon unique.⁸

La condition étant locale sur \(X\), on se place au-dessus d'un ouvert muni de coordonnées locales \(f_1, \ldots, f_n\) étales sur \(S\). Alors \[ P^\infty_{X/S} \;\simeq\; \mathcal{O}_X[[\delta f_1, \ldots, \delta f_n]], \qquad \delta f_i = f_i \otimes 1 - 1 \otimes f_i, \] et la comultiplication est primitive sur les générateurs : \[ \Delta(\delta f_i) = \delta f_i \otimes 1 + 1 \otimes \delta f_i . \] Symétriquement, \(\Omega \simeq \Omega^1_{X/S} \simeq \mathcal{O}_X^{\,n}\) donne \(\widehat{S} \simeq \mathcal{O}_X[[T_1, \ldots, T_n]]\).⁹

La connexion est alors la donnée des images réciproques des générateurs : \[ F_i = \delta f_i + G_i \in \Gamma\, P^\infty_{X/S}, \qquad \Phi_i = T_i + \Psi_i \in \Gamma\, \widehat{S}, \] avec \(G_i\) et \(\Psi_i\) d'ordre \(\geqslant 2\), et l'intégrabilité est la compatibilité de \(c_\infty : P^\infty_{X/S} \to \widehat{S}\) aux deux comultiplications. Le feuillet s'arrête au premier tiers, sur le mot « Posant », au moment précis d'écrire cette compatibilité ; la suite manque et on ne la supplée pas.

10–12

Dimension relative un : de Rham, autodualité, Kodaira-Spencer (pages 10 à 12)

10–10

La cohomologie de de Rham d'une famille de courbes

Soit maintenant \(f : X \to S\) propre et lisse de dimension relative \(1\), à fibres connexes de genre \(g\). On pose \[ \omega = \Omega^1_{X/S}, \qquad \Omega = f_*(\omega), \qquad DR = R^1 f_*\big( \Omega^\bullet_{X/S} \big), \] de sorte que \(\Omega\) est localement libre de rang \(g\) et \(DR\) de rang \(2g\). La dualité de Serre donne \(R^1 f_*(\mathcal{O}_X) \simeq \check{\Omega}\), et la suite spectrale de Hodge vers de Rham se réduit à la suite exacte \[ 0 \longrightarrow \Omega \longrightarrow DR \longrightarrow \check{\Omega} \longrightarrow 0 . \] Le cup-produit \(\Lambda^2 DR \to R^2 f_*(\Omega^\bullet_{X/S}) \simeq \mathcal{O}_S\) est un accouplement alterné parfait, pour lequel \(\Omega\) est un sous-module lagrangien : c'est ce que la marge du feuillet résume d'un mot, « autodual ».

Les scindages de la suite de Hodge forment un torseur sous \(\mathrm{Hom}(\check{\Omega}, \Omega) = \Omega \otimes \Omega\). Un scindage \(q : \check{\Omega} \to DR\) donne \(DR \simeq \Omega \oplus \check{\Omega}\), et dans cette décomposition la forme symplectique s'écrit matriciellement \[ \begin{pmatrix} 0 & \pm\,\mathrm{id} \\ \mathrm{id} & \varphi_0 \end{pmatrix}, \] où \(\varphi_0\) est la forme alternée induite sur \(\check{\Omega}\). Un autre choix \(q' = q + u\) la change selon \[ \varphi'_0(t,t') = \varphi_0(t,t') + \langle t, u(t')\rangle - \langle t', u(t)\rangle , \] c'est-à-dire du double de l'antisymétrisé de \(u\). Il en résulte que les scindages lagrangiens — ceux pour lesquels \(\varphi_0 = 0\) — existent dès que \(2\) est inversible, et qu'ils forment un torseur sous la partie symétrique \(\operatorname{Sym}^2 \Omega\), noyau de \(\Omega \otimes \Omega \to \Lambda^2 \Omega\).¹⁰

11–11

Gauss-Manin, et ce que la page 11 ne livre pas

La page 11 est à l'encre bleue, d'une écriture rapide : les formules portent, la prose qui les relie est en grande partie perdue. C'est, avec les pages 6, 7 et 21, l'un des quatre feuillets les plus abîmés du dossier. Voici ce qui s'en tire sans reconstruction.

Si \(S\) est lui-même relatif à une base \(T\), la connexion de Gauss-Manin \[ \nabla : DR \longrightarrow DR \otimes \Omega^1_{S/T} \] n'est pas compatible à la filtration de Hodge, et ses défauts de compatibilité sont \(\mathcal{O}_S\)-linéaires : le premier est un homomorphisme \(\Omega \to \check{\Omega} \otimes \Omega^1_{S/T}\), soit encore, par adjonction, un homomorphisme depuis ou vers \(\check{\Omega} \otimes \check{\Omega}\). C'est la transversalité de Griffiths, et l'application obtenue est celle de Kodaira-Spencer.¹¹

Le reste de la page — une remarque sur les torseurs sous un groupe hyperbolique et le sous-groupe \(\pi_1\) des automorphismes, une suite exacte faisant intervenir \(H^0(X, \Omega_X)\) et un sous-fibré de corang \(1\) sur une courbe de genre \(\geqslant 2\) — n'est pas lisible assez continûment pour qu'on en tire un énoncé. On le signale et on passe.

12–12

Le compte des quadriques

La page 12 n'est pas de la prose : c'est une colonne de formules jetées. Deux d'entre elles portent, et elles se répondent.

La première est \[ f_*(\omega^{\otimes 2}) \;\simeq\; \Omega^1_{S/T} . \] C'est l'isomorphisme de Kodaira-Spencer pour les modules de courbes : il dit que \(S \to T\) est versel, c'est-à-dire que \(S\) est (localement) l'espace de modules \(M_g\). Comme \(\deg \omega^{\otimes 2} = 4g-4\) et \(H^1(X, \omega^{\otimes 2}) = 0\) pour \(g \geqslant 2\), Riemann-Roch donne \(\operatorname{rg} f_*(\omega^{\otimes 2}) = 3g-3\) : c'est la dimension de \(M_g\).

La seconde est le compte \[ \frac{g(g+1)}{2} - (3g-3) \;=\; \frac{1}{2}\big(g^2 - 5g + 6\big) \;=\; \frac{1}{2}(g-2)(g-3) . \] Les deux termes de gauche sont les rangs de \(\operatorname{Sym}^2 \Omega = \operatorname{Sym}^2 f_*(\omega)\) et de \(f_*(\omega^{\otimes 2})\), et la flèche qui va du premier au second est la multiplication des sections. Le compte est donc la dimension de son noyau lorsqu'elle est surjective, c'est-à-dire — c'est le théorème de Max Noether — lorsque \(X\) n'est pas hyperelliptique. Et ce noyau a un nom classique : c'est l'espace des quadriques de \(\mathbf{P}^{g-1}\) passant par la courbe canonique, de dimension \(\binom{g-2}{2}\).¹²

L'intérêt du compte pour le dossier est le suivant. Les scindages lagrangiens de \(DR\) forment un torseur sous \(\operatorname{Sym}^2\Omega\) ; les connexions projectives, on va le voir, forment un torseur sous \(f_*(\omega^{\otimes 2})\) ; et la flèche de l'un vers l'autre est la multiplication. Le compte mesure donc exactement de combien un scindage de Hodge détermine plus qu'une connexion projective. Le reste de la page — la suite \(0 \to \mathcal{O}_X \to P^1 \to \omega \to 0\) des parties principales, le nombre \(2-2g\), les modules \(f_*(\omega^n \otimes P)\) et leur gradué — est du repérage sans énoncé.

14–18

L'espace de modules des structures projectives (pages 14 à 18)

14–14

L'espace, et le critère de non-dégénérescence

On fixe un genre \(g\) et un foncteur rigidifiant sur les courbes propres et lisses relatives de genre \(g\) — de Torelli, ou de niveau convenable — de manière que \(M_g\) soit un espace et non seulement un champ. Pour \(S\) de caractéristique \(0\), on pose alors : \(M_g^{\mathfrak{z}}(S)\) est l'ensemble des courbes propres lisses \(X/S\) de genre \(g\), munies d'un fibré en droites projectives \(P\) sur \(X\) à structure projective, et soumises à la seule condition \(\mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}(P_s) = 1\) pour tout point \(s\) de \(S\).¹³

Le feuillet explicite aussitôt ce que la condition exclut. Soient \(X\) un schéma algébrique connexe sur \(k\) algébriquement clos et \(P\) un fibré projectif à structure projective sur \(X\). Considérons :

• a)\(\mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}(P) = 1\) ;
• b)le groupe algébrique \(\mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) \subset H = \mathrm{PGL}_2\) est de dimension \(0\) ;
• c)\(P\) n'est d'aucun des deux types dégénérés ci-dessous.

Les deux types dégénérés sont :

• \(\alpha\))le type \(\mathbf{G}_m\) : \(P \simeq P(\Omega \oplus \mathcal{O}_X)\), clôture projective du fibré en droites \(V(\Omega)\), avec sa structure évidente ;
• \(\beta\))le type \(\mathbf{G}_a\) : \(P \simeq P(E)\) pour une extension \(0 \to \mathcal{O}_X \to E \to \mathcal{O}_X \to 0\) à structure projective, c'est-à-dire la clôture projective d'un torseur sous \(\mathbf{G}_a\).

Ce qui est établi est b) \(\Leftrightarrow\) c) — un sous-groupe algébrique de \(\mathrm{PGL}_2\) de dimension \(> 0\) contient un \(\mathbf{G}_m\) ou un \(\mathbf{G}_a\), et le fibré est alors la clôture projective de la représentation correspondante — et a) \(\Rightarrow\) b), trivialement. Le feuillet donne les trois pour équivalentes ; telles qu'elles sont écrites, a) est strictement plus forte que b), car un groupe fini non trivial est de dimension \(0\).¹⁴

Remarque de l'édition. Dans le seul cas dont le dossier ait finalement besoin — \(X\) courbe projective lisse de genre \(\geqslant 2\) sur un corps de caractéristique \(0\), munie d'une connexion projective — les trois conditions sont équivalentes, et c'est le théorème des pages 21 et 22 qui le donne : il y est montré que le groupe structural ne se réduit à aucun sous-groupe propre, donc que l'adhérence de Zariski de la monodromie est \(H\) tout entier, donc que le centralisateur de la monodromie est le centre de \(\mathrm{PGL}_2\), qui est trivial. Le dossier ne fait jamais ce rapprochement ; il est de cette édition, et il est forcé par les deux énoncés tels qu'ils sont.

15–15

Le calcul de dimension

Soit \(\mathfrak{g} = \mathrm{ad}(P)\) le fibré en algèbres de Lie adjoint, localement libre de rang \(3\), muni de sa connexion plate. Le feuillet propose trois conditions supplémentaires, pour \(X\) courbe propre lisse de genre \(g\) :

• d)\(\dim H^1_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 6g-6\) ;
• d\('\))\(H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 0\) ;
• d\(''\))\(H^2_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 0\).

Leur équivalence tient en deux lignes. La forme de Killing donne \(\mathfrak{g} \simeq \check{\mathfrak{g}}\), d'où par dualité de Poincaré \[ (*) \qquad H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) \;\simeq\; H^2_{DR}(X, \mathfrak{g})^{\vee}, \] ce qui donne d\('\)) \(\Leftrightarrow\) d\(''\)). La caractéristique d'Euler-Poincaré de de Rham ne dépend que du rang : \[ (**) \qquad \chi_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 3\,\chi_{DR}(X, \mathcal{O}_X) = 3(2-2g) = 6-6g . \] Combinant, on obtient \[ (\!*\!*\!*) \qquad \dim H^1_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 2 \dim H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) + (6g-6), \] d'où d) \(\Leftrightarrow\) d\('\)). Enfin \(H^0_{DR}(X, \mathfrak{g}) \simeq \operatorname{Lie} \mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P)\) — une section horizontale du fibré adjoint est un automorphisme infinitésimal — d'où d\('\)) \(\Leftrightarrow\) b), et la formule \[ \dim H^1_{DR}(X, \mathfrak{g}) = 2\Big( \dim \mathrm{Aut}^{\mathfrak{z}}_{X/k}(P) + 3g-3 \Big). \] Le feuillet porte, sous le membre de gauche, l'accolade qui dit ce qu'est cet espace : « espace tangent à l'espace modulaire \(M_g^{\mathfrak{z}}\) au point correspondant à \((X, P, \mathfrak{z})\) ».

De là : la condition d\('\)) signifie que \(M_g^{\mathfrak{z}}\) n'a pas d'automorphismes infinitésimaux et c) qu'il n'a pas d'automorphismes finis, de sorte que \(M_g^{\mathfrak{z}}\) est rigide — et donc représentable, là où \(M_g\) ne l'est qu'après rigidification. La condition d\(''\)) donne la lissité formelle de \(M_g^{\mathfrak{z}}\) au-dessus de \(M_g\). Et la condition d) donne la dimension.

15–15

L'anomalie de la page 15, et ce que la cohérence demande

Le feuillet écrit : « d\(''\)) implique que \(M_g^{\mathfrak{z}}\) est formellement lisse sur \(M_g\), et d) que sa dimension relative sur \(M_g\) est \(6g-6\) ». Le transcripteur note expressément que la dimension relative se lit bien \(6g-6\), et il l'a transcrite telle quelle, sans réparation. Or la formule qui précède immédiatement donne \(3g-3\).

Cette lecture ne corrige pas le feuillet. Elle dit ce que la cohérence demande, et sur quoi elle se fonde.

Ce que la cohérence demande : \[ \dim M_g^{\mathfrak{z}} = 6g-6, \qquad \dim M_g = 3g-3, \qquad \dim \big( M_g^{\mathfrak{z}} / M_g \big) = 3g-3 . \]

Ce sur quoi elle se fonde — quatre appuis, tous internes au dossier :

• L'accolade de la page 15 elle-même dit que \(H^1_{DR}(X,\mathfrak{g})\) est l'espace tangent à \(M_g^{\mathfrak{z}}\), sans mention de \(M_g\). Le \(6g-6\) est donc la dimension absolue.
• La page 12 donne \(f_*(\omega^{\otimes 2}) \simeq \Omega^1_{S/T}\), de rang \(3g-3\) : c'est la dimension de \(M_g\), et le dossier s'en sert dans le compte \(g(g+1)/2 - (3g-3)\) de la même page.
• La fibre de \(M_g^{\mathfrak{z}} \to M_g\) au-dessus d'une courbe \(X\) est l'ensemble des connexions projectives sur \(X\), dont les pages 26, 29, 31 et 33 établissent qu'il est un torseur sous \(\Gamma(X, \Omega^{\otimes 2}) = H^0(X, \omega_X^{\otimes 2})\), de dimension \(3g-3\) pour \(g \geqslant 2\). C'est le résultat principal du dernier tiers du dossier.
• La page 17 nomme le même module, \(H^0(X, \omega^{\otimes 2}_{X/\mathbf{C}})\), comme celui qui gouverne l'espace \(M_{\mathrm{ann}}(X)\) des structures projectives sur une courbe analytique fixée ; et la page 20 en donne l'action explicite, \(u_\omega(c) = c + d^1_{\omega/S}(\omega)\).

Autrement dit : \(6g-6 = (3g-3) + (3g-3)\), base plus fibre, et le dossier calcule les trois nombres. L'explication la plus économique de ce qu'on lit page 15 est qu'il a écrit la dimension absolue dans une phrase qui parlait de la dimension relative ; une autre est que les mots « relative sur \(M_g\) » ne portaient, dans son intention, que sur la lissité. Cette édition n'en choisit aucune et ne réécrit pas le feuillet : ce qui est sur le papier est \(6g-6\), et la transcription le dit.

16–17

Le tableau analytique : monodromie, Teichmüller, uniformisation

On passe sur \(\mathbf{C}\). Soient \(X\) une courbe analytique compacte connexe de genre \(g \geqslant 2\), \(x \in X\), \(\pi = \pi_1(X,x)\) et \(H = \mathrm{PGL}_2(\mathbf{C})\). Le feuillet pose \[ M_g^{\mathfrak{z}}(X) \;\simeq\; \mathrm{Hom}^{\,!}(\pi, H) \,\big/\, H, \] où \(\mathrm{Hom}^{\,!}\) désigne l'ensemble des homomorphismes dont le stabilisateur dans \(H\) — c'est-à-dire le centralisateur de l'image — se réduit à l'élément neutre. C'est la variété des caractères, lisse de dimension \((2g-2)\dim H = 6g-6\) : le nombre coïncide avec celui de la page 15 sans que les deux espaces coïncident, et c'est tout l'intérêt de la chose.¹⁵

Le groupe \(\mathrm{Aut}(\pi)\) opère à droite sur \(\mathrm{Hom}(\pi,H)\) par \(\rho \cdot u = \rho \circ u\) ; comme \(\rho \circ \mathrm{int}(\gamma) = \mathrm{int}(\rho(\gamma)) \circ \rho\), les automorphismes intérieurs agissent trivialement sur le quotient, et c'est donc \[ \mathrm{Out}(\pi) = \mathrm{Aut}(\pi)/\mathrm{Int}(\pi) \] — le groupe modulaire de la surface — qui opère sur \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\).

Vient alors la pièce qui justifie le mot « uniformisation » du titre. Si \(Y\) est une courbe analytique complète de genre \(g\) munie d'un isomorphisme \(\pi_1(Y) \simeq \pi\), l'uniformisation de \(Y\) par le disque fournit une représentation \(\rho_Y : \pi \to H\), définie à conjugaison près, donc un point de \(M_g^{\mathfrak{z}}(X)\). On obtient ainsi un morphisme analytique injectif \[ M_g(X) \hookrightarrow M_g^{\mathfrak{z}}(X), \] où \(M_g(X)\) est l'espace de Teichmüller rigidifié par \(\pi\), et ce morphisme commute aux actions du groupe modulaire \(\Gamma\).

La colonne de droite du même feuillet caractérise l'image, et c'est là que le dossier touche l'uniformisation de plus près : ce sont les \(\rho : \pi \hookrightarrow H\) injectifs pour lesquels il existe un domaine \(D \subset \mathbf{P}^1(\mathbf{C})\) invariant — unique s'il existe — sur lequel \(\pi\) opère librement avec quotient compact. C'est la définition même d'une uniformisation, réécrite dans la variété des caractères. Mais le feuillet ouvre la phrase par « on suppose » : rien n'est démontré ici, ni la constructibilité de l'image, ni son caractère algébrique.¹⁶

Le feuillet définit enfin \(M_{\mathrm{ann}}(X)\), l'espace des structures projectives sur la courbe analytique fixée \(X\), et note que \(H^0(X, \omega^{\otimes 2}_{X/\mathbf{C}})\) le gouverne ; puis il pose le morphisme \[ M_{\mathrm{ann}}(X) \longrightarrow M_g^{\mathfrak{z}}(X) \] et demande : « est-il injectif ? » C'est l'application de monodromie des structures projectives, dont le comportement local et l'injectivité sont devenus un sujet en soi dans la littérature ; le feuillet pose la question et ne la tranche pas, et cette édition non plus.¹⁷

18–18

Les automorphismes du couple \((P,\sigma)\)

Le tiers supérieur de la page 18 est annulé par des hachures. Ce qui suit se tient. Soit \(E\) l'extension non scindée \(0 \to \omega \to E \to \mathcal{O}_X \to 0\), de classe \(c \in \mathrm{Ext}^1(\mathcal{O}_X, \omega) = H^1(X, \omega) \simeq k\), avec \(c \neq 0\). Un automorphisme \(u\) de \(E\) préservant \(\omega\) agit sur \(\omega\) par un scalaire \(\lambda \in H^0(X, \mathcal{O}_X^*) = \mathbf{C}^*\), et multiplie donc la classe \(c\) par \(\lambda\) ; de \(\lambda c = c\) et \(c \neq 0\) on tire \(\lambda = 1\). Un tel \(u\) est donc un automorphisme d'extension, c'est-à-dire un homomorphisme \(\mathcal{O}_X \to \omega\), c'est-à-dire une forme différentielle globale. D'où \[ \mathrm{Aut}_X(P_X, \sigma) \;\simeq\; H^0(X, \omega_X), \qquad u_\omega \longleftrightarrow \omega, \] isomorphisme de groupes, la source étant additive.

La question posée à la fin de la page est celle que les deux suivantes résolvent : peut-on avoir \(u_\omega(c) = c\), si \(c\) est cette fois la classe d'une connexion projective ?¹⁸

19–20

Le calcul en coordonnées, et la formule encadrée (pages 19 et 20)

Soit \(\mathcal{U} = \mathfrak{g} = \mathrm{ad}(P)\) le fibré adjoint, de rang \(3\). Le choix d'une uniformisante \(t\) le scinde : \[ \mathcal{U} \;\simeq\; \omega \oplus \mathcal{O}_X \oplus \omega^{-1}, \] les trois facteurs étant les espaces de poids \(2, 0, -2\) de l'action adjointe de \(\mathfrak{sl}_2\). La coordonnée \(t\) définit une connexion projective \(c_{D_t} : \mathcal{U} \to \mathcal{U} \otimes \omega \simeq \omega^{\otimes 2} \oplus \omega \oplus \mathcal{O}_X\), déterminée par \[ c_{D_t}(dt) = -2\,dt, \qquad c_{D_t}(1) = 1, \qquad c_{D_t}\big((dt)^{-1}\big) = 0, \] les coefficients \(-2\) et \(0\) étant ceux de l'action adjointe sur les vecteurs de poids extrême.

Pour \(\omega \in \Gamma(X, \omega)\) on pose \(u_\omega = \exp \Theta_\omega\), l'automorphisme unipotent de \(\mathcal{U}\) engendré par \(\mathrm{ad}(\omega)\), et l'on fait agir \(u_\omega\) sur les connexions par conjugaison, \(u_\omega(c) = u \circ c \circ u^{-1}\). Le calcul de la page 19 — trois niveaux de crochets, avec \([-\omega, 1] = -2\omega\) — aboutit page 20 au résultat encadré : \[ \boxed{\;u_\omega(c) \;=\; c + d^1_{\omega/S}(\omega)\;} \] pour toute connexion projective \(c\), où \(d^1_{\omega/S}\) est un opérateur différentiel d'ordre \(1\) de \(\omega\) vers \(\omega^{\otimes 2}\).

C'est la formule structurante du dossier, et il faut voir ce qu'elle dit : l'ensemble des connexions projectives sur \(X\) est un espace affine sous \(\Gamma(X, \omega^{\otimes 2})\) — la différence de deux connexions projectives est une différentielle quadratique — et le groupe \(H^0(X, \omega)\) des automorphismes du couple \((P,\sigma)\) y agit par les translations de l'image de \(d^1_{\omega/S}\). C'est exactement ce que la théorie formelle des pages 24 à 33 va démontrer abstraitement, sous la forme \(G/G_0 \simeq \Gamma(X, \Omega^{\otimes 2})\).

Les deux corollaires que le feuillet tire sont mutilés au point décisif, et on n'y touche pas. Ils portent tous deux sur la condition \(d^1_{\omega/S}(\omega) = 0\), avec la mention « a fortiori \(d\omega = 0\) » et la restriction « si \(2\) est inversible dans \(S\) ». Ce qu'ils visent est clair : que l'action de \(H^0(X,\omega)\) sur les connexions projectives soit libre, donc que deux connexions projectives distinctes ne donnent pas le même fibré à structure projective. Ce qui les rend illisibles ne l'est pas moins : la condition \(d\omega = 0\) est vide sur une courbe relative, puisque \(\Omega^2_{X/S} = 0\) et que toute forme globale y est fermée.¹⁹

Les dernières lignes de la page 20 ouvrent l'argument que les pages 21 et 22 achèvent : si un tel automorphisme existait, le fibré à structure projective serait affine, donc isomorphe à un \(P(F)\) pour une extension \(0 \to M \to F \to \mathcal{O}_X \to 0\) à structure projective, avec \(E \simeq F \otimes L\). C'est exactement l'hypothèse dont la page 21 part.

21–22

Aucune réduction du groupe structural : la densité de la monodromie (pages 21 et 22)

21–21

Le calcul de degrés

Reprenons la situation où la page 20 s'est arrêtée. \(E\) est de rang \(2\) avec \(\det E \simeq \omega_X\), et l'on suppose que le fibré projectif associé se réduit à un sous-groupe de Borel, c'est-à-dire que \(E \simeq F \otimes L\) avec \(F\) muni d'une réduction et \(L\) inversible. De \(\det E \simeq \det F \otimes L^{\otimes 2}\), avec \(\det F = M\) de degré \(0\), on tire \[ 2 \deg L = \deg \omega_X = 2g-2, \qquad \text{donc} \qquad \deg L = g-1 . \] Considérons alors le composé \[ \omega \hookrightarrow E \simeq F \otimes L \twoheadrightarrow L . \] C'est une section de \(L \otimes \omega^{-1}\), module de degré \((g-1) - (2g-2) = -(g-1) < 0\) dès que \(g \geqslant 2\) : elle est donc nulle. Par conséquent \(E \to L\) se factorise par \(E/\omega \simeq \mathcal{O}_X\), d'où \(L \simeq \mathcal{O}_X\) et \(\deg L = 0\), ce qui contredit \(\deg L = g-1 \neq 0\).

Le groupe structural ne peut donc pas se réduire à un sous-groupe de Borel. Mieux : il ne peut pas non plus se réduire au normalisateur d'un tore maximal, car le passage au revêtement double correspondant ramènerait au tore lui-même, donc à un Borel — et le genre du revêtement est encore \(\geqslant 2\), de sorte que l'argument s'y applique.

Théorème (page 21). Soit \(X\) une courbe projective lisse de genre \(g \geqslant 2\) sur un corps \(k\) de caractéristique nulle. Alors pour toute connexion projective sur \(X\), le groupe structural \(H = \mathrm{PGL}_2\) du fibré principal associé ne se réduit à aucun sous-groupe algébrique \(H'\) distinct de \(H\).

Une lacune, et comment la combler. Les deux cas traités n'épuisent pas les sous-groupes algébriques propres de \(\mathrm{PGL}_2\) en caractéristique \(0\). La classification en donne trois familles : ceux qui sont contenus dans un Borel, ceux qui sont contenus dans le normalisateur d'un tore maximal, et les trois groupes exceptionnels \(A_4\), \(S_4\), \(A_5\), qui ne sont dans ni l'un ni l'autre. Ces trois-là se traitent pourtant par le procédé même que le feuillet emploie pour le normalisateur du tore : une réduction à un sous-groupe fini \(\Gamma\) donne une monodromie d'image finie, donc un revêtement étale \(Y \to X\) de degré \(|\Gamma|\) sur lequel la monodromie est triviale ; la connexion projective se relève à \(Y\), le genre de \(Y\) est encore \(\geqslant 2\) par Riemann-Hurwitz, et le groupe structural y est trivial, donc contenu dans un Borel — ce que le premier cas exclut.²⁰

22–22

La densité de Zariski, et où la situer

Les trois lignes de la page 22 tirent la conséquence analytique. Sur \(k = \mathbf{C}\), l'homomorphisme de monodromie \[ \pi_1(X^{\mathrm{an}}, x) \longrightarrow H(\mathbf{C}) \] a une image Zariski-dense dans \(H_{\mathbf{C}}\) : car une image non dense aurait pour adhérence un sous-groupe algébrique propre, auquel le fibré se réduirait.

Il vaut la peine de situer cet énoncé, puisque c'est le genre de résultat dont un lecteur moderne voudra savoir où il se place. Ce que le dossier démontre est, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, l'irréductibilité de la monodromie d'une structure projective sur une courbe de genre \(\geqslant 2\) : un \(\mathfrak{sl}_2\)-oper, au sens de Beilinson et Drinfeld, a une monodromie Zariski-dense. C'est un énoncé standard, et la démonstration standard est exactement celle du feuillet — un sous-fibré en droites invariant aurait le degré \(g-1\), incompatible avec la position du fibré sous-jacent dans sa filtration de Harder-Narasimhan. Du côté analytique, la même chose se dit : une structure projective sur une surface de Riemann compacte de genre au moins \(2\) a une monodromie non élémentaire, ce qu'on trouve chez Gunning dans les années soixante.

Cette édition n'affirme aucune priorité, et n'a pas fait de recherche bibliographique exhaustive. Ce qu'elle constate est que le résultat est aujourd'hui connu, qu'il est ici obtenu par l'argument qui est resté le bon, et qu'il est, dans le dossier lui-même, la pièce dont les pages 14 à 16 ont besoin sans le dire.

24–33

La théorie formelle : rigidité d'une algèbre à connexion (pages 24 à 33)

Le dernier tiers du dossier change de sujet. Il n'y est plus question de courbes, ni de genre, ni de monodromie : seulement d'une algèbre complète et d'une dérivation. C'est la démonstration technique de ce que les pages 7 à 9 avaient posé sans preuve, et de ce que la page 20 avait obtenu par le calcul. Il est repris cinq ou six fois ; on suit ici l'ordre logique, en signalant à chaque fois de quelle mouture on parle.

32–33

Le cadre, tel que les pages 32 et 33 le posent

C'est la dernière mouture qui est la plus propre ; on commence par elle.

Soient \(X/S\) un schéma relatif, et \(P\) une \(\mathcal{O}_X\)-Algèbre augmentée, séparée et complète pour la topologie \(J\)-adique, où \(J\) est l'idéal d'augmentation, avec \(J/J^2 = \Omega\) inversible. Soit \[ C : P \longrightarrow P \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S} \] une connexion relative à \(S\), compatible à la structure d'algèbre : \[ \begin{cases} C(fg) = f\,C(g) + g\,C(f), & f,g \text{ sections de } P, \\ C(\lambda \cdot 1) = 1 \otimes d\lambda, & \lambda \text{ section de } \mathcal{O}_X . \end{cases} \]

Localement sur \(X\), on choisit un isomorphisme d'algèbres augmentées \(P \simeq \widehat{\operatorname{Sym}}(\Omega)\) et l'on écrit \(C\) dans ce modèle. La restriction de \(C\) à \(\Omega = \operatorname{Sym}^1\) donne \[ C|_\Omega : \Omega \longrightarrow \widehat{\operatorname{Sym}}(\Omega) \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S} = \prod_{i \geqslant 0} \operatorname{Sym}^i(\Omega) \otimes \Omega^1_{X/S}, \] dont on note \((\varpi_i)_{i \geqslant 0}\) les composantes. Leur nature se lit sur la règle de Leibniz : pour \(i \neq 1\) la composante \(\varpi_i\) est \(\mathcal{O}\)-linéaire, donc une section globale, \[ \varpi_i \in \Gamma\big( \Omega^{\otimes(i-1)} \otimes \Omega^1_{X/S} \big) \quad (i \neq 1), \] tandis que \(\varpi_1\) est une connexion sur \(\Omega\) et non une section.²¹

Le symbole de \(C\) est la donnée essentielle. On a \(C(J^i) \subset J^{i-1} \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}\), d'où pour tout \(i \geqslant 1\) un homomorphisme \(\mathcal{O}\)-linéaire sur les gradués \[ \operatorname{gr}^i = J^i/J^{i+1} \simeq \Omega^{\otimes i} \xrightarrow{\ \widetilde{c}\ } \Omega^{\otimes(i-1)} \otimes \Omega^1_{X/S}, \] et cet homomorphisme est la multiplication par un seul et même \[ \varpi_0 \in \Gamma\big( \Omega^{-1} \otimes \Omega^1_{X/S} \big) = \mathrm{Hom}\big( \Omega, \Omega^1_{X/S} \big), \] indépendant de \(i\). On dit que \(C\) est régulière si \(\varpi_0\) l'est, c'est-à-dire si \[ \varpi_0 : \Omega \xrightarrow{\ \sim\ } \Omega^1_{X/S} . \] C'est la condition qui fait de \(P\) une algèbre de jets et non une algèbre quelconque : c'est l'identification \((*)\) de la page 7, retrouvée comme une propriété de la connexion plutôt que comme une donnée.

25–26

Le théorème de rigidité (pages 25 et 26)

Voici l'énoncé, dans la mouture des pages 25 et 26, qui est la plus articulée. On se place en caractéristique \(0\).

Théorème (page 25). Soit \(P\) comme ci-dessus, munie d'une connexion \(C\) régulière. Alors il existe un couple \((P,\sigma)\) — c'est-à-dire une extension \(\mathcal{E} : 0 \to \Omega \to E \to \mathcal{O}_S \to 0\), et donc un modèle \(\widehat{S} = \widehat{\operatorname{Sym}}(\Omega)\) muni de sa connexion canonique \(\widehat{c}\) — et un isomorphisme d'algèbres augmentées \(u : \widehat{S} \xrightarrow{\ \sim\ } P\) tel que \(u(C) = \widehat{c}\).

Le théorème se démontre en deux temps, et c'est cette décomposition qui porte tout le contenu :

• a)La donnée d'un isomorphisme \(u\) à l'ordre \(2\) détermine déjà \((P,\sigma)\), c'est-à-dire l'extension \(\mathcal{E}\), à isomorphisme unique près, par \(\Omega = J/J^2\) et \(E\) construit sur \(J/J^3\).
• b)\((P,\sigma)\) étant ainsi déterminé, pour tout isomorphisme \(u_3\) à l'ordre \(3\), \(\widehat{S}/\widehat{J}^{\,4} \to P/J^4\), prolongeant celui d'ordre \(2\), il existe un isomorphisme \(u\) et un seul qui le prolonge et tel que \(u(C)\) soit de la forme \(\widehat{c}\).

Autrement dit : rien n'est libre au-delà de l'ordre \(3\). Toute l'ambiguïté est concentrée au passage de l'ordre \(2\) à l'ordre \(3\), et la page 26 l'identifie en donnant une correspondance biunivoque entre trois ensembles.²²

• a)les solutions du problème, à isomorphisme près — la catégorie des solutions étant rigide, c'est-à-dire sans automorphismes non triviaux ;
• b)\((P,\sigma)\) et \(u_2\) étant fixés, l'ensemble des pseudo-\(u_3\) qui prolongent \(u_2\), lequel est un torseur sous \(\Gamma(X, \Omega^{\otimes 2})\) ;
• c)l'ensemble \(\mathrm{Conn}^*(P)\) des connexions régulières sur \(P\) dont l'image est de la forme \(\widehat{c}\).

C'est le résultat que tout le dossier attendait. La fibre de \(M_g^{\mathfrak{z}} \to M_g\) est un torseur sous \(\Gamma(X, \Omega^{\otimes 2}) = H^0(X, \omega^{\otimes 2})\), donc de dimension \(3g-3\) ; c'est le contenu abstrait de la formule encadrée de la page 20.²³

27–28

Le calcul du changement de paramètre (pages 27, 28 et 30)

Les trois feuillets calculent la même chose, la page 30 étant la plus complète. Le point est de vérifier, à la main, que le torseur annoncé est bien celui-là et que rien ne bouge au-delà.

On écrit, pour un générateur local \(\omega_0\) de \(\Omega\), \[ C(\omega_0) = \sum_{i \geqslant 0} \omega_0^{\,i} \otimes \varpi_i, \] et l'on change de générateur : \(\omega_0 \mapsto \omega_0\,u\) avec \[ u = 1 + \sum_{i \geqslant 2} \alpha_i\, \omega_0^{\,i} . \] Le feuillet note \(\omega_0^{\,u}\) le produit \(\omega_0 u\) ; le \(u\) surélevé est un facteur, non un exposant.²⁴

La règle de Leibniz donne alors \[ C(\omega_0^{\,u}) = C(\omega_0)\Big( 1 + \sum_{i \geqslant 2} (i+1)\,\alpha_i\, \omega_0^{\,i} \Big) + \text{(termes en } d\alpha_i), \] le coefficient \((i+1)\) venant de la somme du facteur \(\alpha_i\omega_0^i\) et de la dérivation \(i\,\alpha_i\omega_0^{i-1}C(\omega_0)\) du produit. Ramenant par \(u^{-1}\) et travaillant modulo \(\Omega^{n+1}\) avec \(\alpha_i = 0\) pour \(i < n\), il reste \[ C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = C(\omega_0) + (n+1)\,\alpha_n\, \omega_0^{\,n}\, \varpi_0, \] de sorte que la condition pour que le changement de paramètre préserve la forme de la connexion est \[ (n+1)\,\alpha_n = 0 , \] c'est-à-dire, en caractéristique \(0\), \(\alpha_n = 0\). C'est la rigidité, sous sa forme la plus élémentaire : au-delà du terme de degré \(2\), aucun changement de paramètre n'est disponible. Le feuillet vérifie les cas \(n = 2\) et \(n = 3\) séparément avant d'écrire le cas général.²⁵

29–31

La structure du groupe \(G\) (pages 29 et 31)

Soit \(G\) le groupe des automorphismes de \(\widehat{S}\) comme algèbre augmentée qui sont l'identité modulo \(J^3\), et \(G_0 \subset G\) le sous-groupe de ceux qui sont l'identité modulo \(J^4\). Un élément de \(G\) est déterminé par l'image de \(\Omega\), soit \(\omega \mapsto \omega + q_3(\omega) + \ldots\) avec \(q_i : \Omega \to \Omega^{\otimes i}\) ; être l'identité modulo \(J^3\) annule \(q_2\), l'être modulo \(J^4\) annule en outre \(q_3\). D'où \[ G/G_0 \;\simeq\; \mathrm{Hom}\big(\Omega, \Omega^{\otimes 3}\big) \;\simeq\; \Gamma\big(\Omega^{\otimes 2}\big), \] le dernier isomorphisme parce que \(\Omega\) est inversible.²⁶

On pose, pour une connexion \(c\) sur \(P\), \[ G(c) = \{\, h \in G \ \mid\ h \cdot \widehat{c} \text{ est de la forme } \widehat{c}\,' \,\}, \] qui est un sous-groupe de \(G\). Le théorème de structure est alors : \[ G_0 \times G(c) \longrightarrow G, \qquad (g,h) \longmapsto g h \] est bijectif, d'où \(G(c) \xrightarrow{\ \sim\ } G/G_0 \simeq \Gamma(X, \Omega^{\otimes 2})\).

La démonstration tient en deux lignes de chaque côté. Injectivité : si \(gh = g'h'\), alors \((g'^{-1}g)h = h'\) ; or \(h\widehat{c}\) et \(h'\widehat{c}\) sont tous deux de la forme \(\widehat{c}\,'\), et le corollaire du haut de la page 29 — un élément de \(G_0\) qui envoie \(\widehat{c}\) sur un \(\widehat{c}\,'\) est l'identité — donne \(g'^{-1}g = 1\), d'où \(g = g'\) puis \(h = h'\). Surjectivité : pour \(g \in G\), la proposition de la page 28 écrit \(g\widehat{c} = k\,\widehat{c}_0\) avec \(k \in G_0\), d'où \(k^{-1}g \in G(c)\) et \(g = k(k^{-1}g)\).

La page 31 reprend exactement cette démonstration en la dépouillant de toute géométrie : un groupe \(G\), un sous-groupe \(G_0\), un \(G\)-ensemble \(C\), une partie \(C_0\) telle que \(G_0 \times C_0 \xrightarrow{\ \sim\ } C\), et \(G(c) = \{g \in G \mid g\cdot c \in C_0\}\) pour \(c \in C_0\) ; la conclusion est la même, et l'énoncé n'a plus rien d'algébrique. C'est le même argument vu deux fois, et il vaut la peine de garder les deux : la seconde version montre que le résultat ne doit rien aux algèbres, seulement à l'action simplement transitive.²⁷

Le corollaire que la page 31 tire du lemme — l'intersection d'une orbite de \(G\) dans \(C\) avec \(C_0\) s'identifie à \(G_0 \backslash G\) — est la même chose dite du côté des orbites. Son énoncé est mutilé sur le feuillet, et on ne le mentionne que pour mémoire.

33–33

L'énoncé final

La page 33 referme, avec ses hypothèses au complet. En caractéristique nulle, pour \(P = \widehat{S} = \mathcal{O}_{\widehat{P}}\) : \[ \mathrm{Conn}^*(P) \times G_0 \longrightarrow \mathrm{Conn}^*(\widehat{S}), \qquad (c,g) \longmapsto g \cdot \widehat{c} \] est bijective, où \(\mathrm{Conn}^*\) désigne les connexions régulières ; et pour \(c \in \mathrm{Conn}^*(P)\), \[ G(c) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; G/G_0 \;\simeq\; \Gamma\big(X, \Omega^{\otimes 2}\big). \]

C'est le dernier mot du dossier, et c'est aussi le plus important : l'ensemble des structures projectives sur une courbe fixée est un torseur sous les différentielles quadratiques.

1–33

Ce que le dossier cherche, et ce qui lui manque

Reste à dire ce que ces trente-trois pages veulent, puisque le titre de la page 1 est de lui et annonce l'uniformisation.

1–33

Ce qui s'articule

Trois choses se rejoignent, et deux d'entre elles ne sont jamais rapprochées par le dossier.

• La théorie formelle des pages 24 à 33 est la démonstration de ce que les pages 7 à 9 posaient. La définition d'une connexion projective exige un isomorphisme \(P^n_{X/S} \simeq \mathcal{O}_{\widehat{P}}/\widehat{J}^{n+1}\) pour tout \(n\) ; le théorème de la page 25 dit que cet isomorphisme existe, et qu'il est unique une fois fixé à l'ordre \(3\). Sans lui, la définition des pages 7 à 9 demanderait une infinité de données et ne serait pas maniable. Cette articulation-là, le dossier la fait : le vocabulaire est le même, les notations \(\widehat{S}\), \(\widehat{J}\), \(\widehat{c}\) sont celles de la page 3.
• La théorie formelle calcule la fibre que les pages 14 à 18 comptent. L'ambiguïté à l'ordre \(3\) est un torseur sous \(\Gamma(X,\Omega^{\otimes 2})\), de dimension \(3g-3\) : c'est exactement la fibre de \(M_g^{\mathfrak{z}} \to M_g\), et avec \(\dim M_g = 3g-3\) cela donne \(\dim M_g^{\mathfrak{z}} = 6g-6\), qui est le nombre que la page 15 obtient par un tout autre chemin, la caractéristique d'Euler-Poincaré de de Rham du fibré adjoint. Deux calculs indépendants, le même résultat. Le dossier ne les confronte jamais — ils sont séparés par onze feuillets et un changement de sujet — et c'est pourtant leur accord qui rend l'anomalie de la page 15 lisible comme une inadvertance et non comme un désaccord.
• L'argument de densité des pages 21 et 22 fournit l'hypothèse dont la page 14 a besoin. Le critère de non-dégénérescence de la page 14 n'est complet que si les automorphismes finis sont exclus aussi bien que les infinitésimaux ; la densité Zariski de la monodromie les exclut tous. Cette articulation-là non plus n'est pas faite par le dossier, et elle est de cette édition.

1–33

Ce qui ne s'articule pas

Il faut être franc sur le reste, parce que le titre promet davantage que ce que les pages livrent.

• Il n'y a aucune connexion projective canonique dans le dossier. Le mot est au titre ; la page 8 pose la question — une connexion projective est-elle canoniquement déterminée par \(X/S\), sans donnée supplémentaire ? — et la laisse, avec un point d'interrogation. Tout ce que le dossier établit va dans l'autre sens : les connexions projectives forment un espace affine de dimension \(3g-3\), sans point privilégié. Un point privilégié ne peut venir que d'ailleurs — de l'uniformisation, précisément, qui en fournit un sur \(\mathbf{C}\) mais pas algébriquement.
• L'uniformisation elle-même n'est pas atteinte. Ce qu'on en trouve est le plongement de l'espace de Teichmüller dans la variété des caractères, page 17, et la caractérisation de son image par l'existence d'un domaine invariant à quotient compact. La caractérisation est juste et elle est la bonne ; mais le feuillet l'introduit par « on suppose », et rien n'est démontré. La question qu'il pose ensuite — l'injectivité de l'application de monodromie — est restée une vraie question.
• Les deux massifs ne se parlent pas. Les pages 1 à 22 sont de la géométrie des courbes ; les pages 24 à 33 sont de l'algèbre formelle au-dessus d'un \(X/S\) quelconque, où le genre n'apparaît jamais et où le mot « courbe » n'est pas prononcé. Rien dans le second massif ne renvoie au premier, et l'unique pont — que \(\Gamma(X,\Omega^{\otimes 2})\) du dernier feuillet est le \(H^0(X, \omega^{\otimes 2})\) des pages 12 et 17 — n'est jamais franchi sur le papier.

Ce que le dossier est, finalement : l'appareil algébrique complet d'une théorie des structures projectives sur les courbes, avec un théorème net au milieu, et sans le théorème que le titre annonce. C'est un état de chantier, et c'est ce qui le rend lisible — on y voit ce qu'il fallait construire avant de pouvoir poser la question.