Fonds Grothendieck, cote n° 158, pages 81–85

[Les quatre composés \lambda v, \mu w, \lambda' v, \mu' w et la fibre \widetilde{X}_{/\!/(\tilde a,\tilde b)}]

le titre ci-dessus est de l'éditeur : le lot est la queue du dossier, ses deux feuillets écrits ne portent pas de titre et reprennent au milieu d'un raisonnement commencé dans les lots précédents. Les deux feuillets sont paginés 12 et 13 de sa main et se suivent immédiatement

notations tenues pour tout le lot : le tilde marque le relevé d'un objet de X dans \widetilde{X} (\tilde x, \tilde a, \tilde b, \tilde c) ; X_{/\!/(a,b)} est écrit avec une double barre oblique ; R est la relation par laquelle il divise les Hom, et son argument est une seule lettre, lue n ; \sim est la congruence mod R, = l'égalité stricte, et l'opposition des deux est tout le sujet du lot

feuillet paginé 12 de sa main, en haut au centre. Il s'ouvre sur un premier tracé du diagramme qui suit, entièrement biffé

Il faut interpréter \widetilde{X}_{/\!/(\tilde a,\tilde b)}, disons dans

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \tilde a \arrow[dr, dashed] & \\ \tilde x \arrow[ur, "v"] \arrow[dr, "w"'] & & \tilde c \\ & \tilde b \arrow[ur, dashed] & \end{tikzcd}

le tracé est très rapide : les deux flèches issues de \tilde a et de \tilde b sont en pointillé et leur but, lu \tilde c, reste douteux

au-dessus des

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & a \\ x \arrow[ur, "v"] \arrow[dr, "w"'] & \\ & b \end{tikzcd}

quatre flèches partent encore de a et de b vers la droite, étiquetées \lambda, \lambda', \mu, \mu' ; leurs buts, tracés dans un fouillis de traits, ne se lisent pas et ne sont pas portés sur le diagramme

Donc \tilde x E(x)/R(x) peut être défini en définissant par l'argument de E et de R est ici un seul jambage, lu d'abord n ; on le rétablit en x, d'une part parce que le même feuillet écrit plus bas E(x)' du même tracé, d'autre part parce que le feuillet 74 porte la même construction en toutes lettres : E(x) = \mathrm{Hom}(x,\xi)\amalg\mathrm{Hom}(x,\xi') modulo R_{(x)}, engendrée par les deux mêmes relations \underbrace{\lambda v,\; \mu w}_{\mathrm{Hom}(m,\xi)} \qquad \underbrace{\lambda' v,\; \mu' w}_{\mathrm{Hom}(a,\xi')} les deux arguments sous les accolades sont lus m et a ; le premier est tracé comme un m, le second comme un a, alors que la marche du raisonnement demanderait la même source de part et d'autre. La lecture est laissée telle quelle : le feuillet 74 écrit la même somme avec une seule source, \mathrm{Hom}(x,\xi)\amalg\mathrm{Hom}(x,\xi'), mais le tracé d'ici ne la porte pas et on ne le corrige pas sur la foi d'un autre feuillet

dans E(x)' (disons leurs images dans \mathrm{Hom}/R(x)) i.e. ces quatre il toutes congrues mod R(x). On le sait déjà pour \lambda v \sim \lambda' v et \mu w \sim \mu' w, en fait \tilde x = v^{*}(\tilde a) = w^{*}(\tilde b), donc il faut comparer l'égalité v^{*}(\tilde a) = w^{*}(\tilde b) en cours \boxed{\;\lambda v \sim \mu w\;} la dernière formule est encadrée sur le feuillet ; le feuillet s'arrête là

feuillet paginé 13 de sa main ; il fait suite immédiate au précédent

Malheureusement, on ne peut en conclure \lambda v = \mu w, p. ex. si on a \lambda' v = \mu' w, on en conclura \lambda v \sim \mu w, mais nullement \lambda v = \mu w. Plus précisément, dès qu'on se donne dans X des flèches v, w

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & a \\ x' \arrow[ur, "v"] \arrow[dr, "w"'] & \\ & b \end{tikzcd}

avec \lambda' v = \mu' w, on en conclut des \widetilde{X} un \tilde x (\tilde a, \tilde c, \tilde b) , mais rien \lambda v = \mu w.

ainsi dans le de. On pour f, une addition interlinéaire de sa main, rattachée par un long trait courbe à cet endroit de la ligne : « savait déjà qu'il » — (par tr. ) v, w de façon : rendre le mot est souligné par lui des couples pertinents (disons \lambda' v = \mu' w), de que nous savons déjà \widetilde{X}_{/\!/(\tilde a,\tilde b)} \neq \emptyset — mais je ne vois pas de moyen montrer en = temps que l'autre le \tilde x. — « en = temps » : il écrit le signe = pour même. Le feuillet, et avec lui le dossier, s'arrête sur cette phrase