Fonds Grothendieck, cote n° 158, pages 61–80

Localisateurs, 0-connexité et suspensions de catégories

titre de l'éditeur : les feuillets n'en portent aucun. Le lot reprend une suite paginée par lui de 2 à 11 (feuillets 61, 62, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 79) ; le feuillet 1 de sa suite tombe dans le lot précédent

Notations tenues pour tout le lot, telles qu'elles sont tracées. X^{\wedge} et X^{\vee} : les deux catégories de foncteurs à valeurs ensembles sur X (préfaisceaux, resp. covariants) ; X_{/F} et X_{/a} : catégorie au-dessus ; {}_{x}\backslash X : catégorie au-dessous, l'indice porté à gauche d'une barre oblique inverse (feuillets 74 et 77, où les deux sens figurent dans la même formule) ; A/\!/B : signe à deux jambages obliques, porté tantôt en préfixe (\beta/\!/Z, b_{0}/\!/X_{0}, feuillets 62 et 66), tantôt en indice postfixe (\tilde X_{/\!/\tilde\xi}, feuillets 76 et 79). W : un localisateur, avec les axiomes qu'il numérote Loc(6), Loc(8) ; W_{2}, W_{\infty} : deux localisateurs particuliers. \Sigma^{n} : la suspension itérée, e l'objet (ou la catégorie) final, E l'ensemble à deux éléments \{\beta,\gamma\}. J'écris /\!/ et \backslash comme il les trace, sans les uniformiser

il numérote ce feuillet « 2 »

\begin{tikzcd} x \arrow[r, bend left=14] \arrow[r, bend right=14] & a \end{tikzcd}

\pi_{0}(S_{/x}) \rightrightarrows \pi_{0}(S_{/a})

suivent deux triangles esquissés, dont les sommets ne se lisent pas

\pi_{0}(E_{/x}) \simeq

\begin{tikzcd} \mathrm{Hom}(a,x)\times E \arrow[d] \\ \mathrm{Hom}(a,a)\times E \end{tikzcd}

le second argument du \mathrm{Hom} inférieur est douteux : je lis a, mais le trait souffrirait un autre sommet. La flèche verticale est doublée d'un second trait, sinueux, sans tête

Soit X dans \mathrm{Cat} (quelconque) , B, C, \beta, \gamma tels que (\beta,\beta), \mathrm{Hom}(\beta,\gamma), \mathrm{Hom}()

B\times C = \emptyset \quad\text{dans } X^{\wedge}, i.e. n'existe pas de x\in\mathrm{Ob}\,X tel que \mathrm{Hom}(x,B)\neq\emptyset et \mathrm{Hom}(x,C)\neq\emptyset, et \beta\times\gamma = \emptyset \quad\text{dans } X^{\vee}, i.e. n'existe pas de y\in\mathrm{Ob}\,X \mathrm{Hom}(\beta,y)\neq \emptyset, \mathrm{Hom}(\gamma,y)\neq\emptyset. () le signe entre \beta et \gamma est tracé à deux jambages, et non comme le \times de la ligne précédente ; c'est la glose qui suit qui donne le sens — le produit des deux foncteurs représentables dans X^{\vee}

Alors X n'est pas 1-connexe. les huit dernières lignes du feuillet sont portées en biais et d'une écriture très rapide ; c'est le passage le plus incertain du lot

il numérote ce feuillet « 3 »

\begin{tikzcd} & b \\ a \arrow[ru] \arrow[r, "u"] \arrow[rd] & x \\ & c \end{tikzcd}

les sommets b et c sont hachurés

\mathrm{Hom}(a,x) = \emptyset (u,\beta) \in \mathrm{Hom}(a,x)\times E mais alors \pi_{0}(S_{/x}) = \emptyset, i.e.

un cadre, écrit en travers du feuillet, porte une formule dont je ne lis avec quelque assurance que e\backslash X = = Z, et plus bas T, \beta/\!/Z et C/\!/Z

\pi_{0}(S_{/x}) \simeq I(x) \amalg \bigl(J(x)\times E\bigr) un membre biffé, illisible, précède I(x) I(x) = \mathrm{Im}\bigl(\mathrm{Hom}(\beta,x)\amalg\mathrm{Hom}(\gamma,x) \longrightarrow \mathrm{Hom}(a,x)\bigr) le nom de l'opération se lit « Im » ou « Inv » J(x) = \mathrm{Hom}(a,x)\setminus I(x) \pi_{0}(S_{/x}) = \emptyset \quad\text{si } \mathrm{Hom}(a,x) = \emptyset

Soit \xi = \mathrm{cl}(u,\alpha) \in , u \in \mathrm{Hom}(a,x), \alpha \in E = \{\beta,\gamma\}. Alors \alpha \longrightarrow \xi, i.e. \xi \in \alpha/\!/Z.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & Z = e\backslash X \sim S^{1} \arrow[ld, "\text{asph.}"'] \arrow[rd, "\text{asph.}"] & \\ e \arrow[rd] & & X \arrow[ld] \\ & X' \sim S^{2} & \end{tikzcd}

X' \sim \Sigma^{1} Z

il numérote ce feuillet « 4 »

le haut du feuillet porte un losange dont le sommet se lit (b\amalg c) et dont les deux côtés descendants, étiquetés « asph. ? », aboutissent à e\backslash X = Z ; je ne lis pas les deux sommets intermédiaires, l'un étant biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & e\backslash X = Z \arrow[ld, "\text{asph.}"'] \arrow[rd] & \\ e \arrow[rd] & & e\backslash X \arrow[ld, "\text{asph.}"] \\ & X' & \end{tikzcd} le sommet de droite est biffé sur le feuillet

\beta/\!/Z \simeq {}_{a}\backslash X

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & (b_{0}\amalg c_{0})/\!/X_{0} \arrow[ld] \arrow[rd] & \\ b_{0}/\!/X_{0} \arrow[rd, "W\text{-cocart.}"'] & & c_{0}/\!/X_{0} \arrow[ld] \\ & T \arrow[ld] \arrow[rd] & \\ X_{0} = {}_{a}\backslash X \arrow[rd, hook, "W\text{-cocart.}"'] & & {}_{a}\backslash X = X_{0} \arrow[ld] \\ & e\backslash X = \tilde X \arrow[ld] \arrow[rd, "\text{coét.}"] & \\ e \arrow[rd, "W\text{-cocart.\,!}"'] & & X \arrow[ld] \\ & X' & \end{tikzcd} le premier sommet du losange supérieur porte, entre parenthèses, un signe \amalg ; le sommet T est suivi d'un membre de droite entièrement biffé, réécrit à la ligne suivante

T = b_{0}/\!/X_{0} \ \cup\ c_{0}/\!/X_{0} X_{0} \simeq \beta/\!/\tilde X \simeq \gamma/\!/\tilde X \tilde X \sim \Sigma^{1}T \qquad X' \sim \Sigma^{2}T \qquad X' \simeq \Sigma^{1}\tilde X ici \tilde X est défini par e\backslash X ; au feuillet 76 il écrit au contraire \tilde X = X_{/e}. Je transcris chaque fois ce qui est tracé

\Sigma^{1}X un dessin : deux cônes opposés par leur base, la base étant un disque hachuré — la suspension au sens usuel ; à côté, son avatar combinatoire, un losange de quatre sommets, légendé (X,e) avec une flèche vers e

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_{0} \arrow[ld] & \\ X_{1} \arrow[rd] & & X_{2} \arrow[ld] \arrow[lu] \\ & X_{3} & \end{tikzcd}

X\times Y \qquad X \longrightarrow X\times I \qquad x_{0}\times I feuillet de croquis : rien n'y est rédigé

il numérote ce feuillet « 5 ». La moitié inférieure du feuillet ne relève pas des notes

en haut, un circuit de flèches où se lisent X_{/F} \simeq X_{/e}, e, X, X', et les mentions « cocoasph. », « ouv. », « ferm. » ; plusieurs sommets sont biffés

0-connexe W_{2}

\begin{tikzcd} a \arrow[r, bend left=14] \arrow[r, bend right=14] & b \end{tikzcd}

Soit ~~W plus fine que tt~~ Soit W_{2}

X 0-connexe, mais pas ~~filtrant~~ \Longrightarrow\ \exists\, X \longrightarrow X' \text{ cofinal}, avec X' \sim_{W_{\infty}} S^{2}, ou du moins avec H^{2}(X') \simeq H^{2}(S^{2}) ; donc si W \subset W_{2}, plus gén. si f\in W \Rightarrow f^{*} : H^{2}(T,\underline{k}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{2}(S,\underline{k}) (k un groupe commutatif) des X pas tot. W-asph. les deux membres du morphisme portent T et S ; l'un et l'autre sont tracés d'un seul jet et la lecture en est douteuse

feuillet scanné à l'envers

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "u\in W"] \arrow[d, "i\in W_{S}''"'] & Y \arrow[d, "j\in W_{S}''"] \\ \bar X \arrow[r, "\bar u\in W"'] & \bar Y \end{tikzcd}

de \bar X et \bar Y partent deux flèches vers S, étiquetées p\in\mathcal{G} et q\in\mathcal{G}

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "W_{S}''"] \arrow[d] & \mathcal{G}(X) \arrow[ld] \\ S & \end{tikzcd} l'étiquette de la flèche horizontale est précédée d'un « i\in » biffé ; la flèche verticale en porte une, biffée, illisible. À côté du diagramme : « /F_{W} » et \bar u \in W_{S}''

VI 171-205

\begin{tikzcd} X' \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\ S' \arrow[r, "w"] & S \end{tikzcd} sur le feuillet les deux flèches horizontales sont tracées vers la gauche ; je les redresse pour que le carré se lise

\xi \qquad \xi' \qquad H^{p}(S',\xi') \longrightarrow H^{p}(S,\xi) ~~H^{p}(S,\xi)~~ S\times T \longleftarrow S'\times T

il numérote ce feuillet « 6 »

\begin{tikzcd} X_{/F} \arrow[r, hook, "i"] & X' \arrow[r] & e \end{tikzcd} un F est porté au-dessus du premier X

X_{/e} \simeq X_{/F}

F asphérique \Longleftrightarrow i cocofinal.

Si X^{o} est W-asph., alors (X'^{o} dans) X' est W-asph., dès que i\in W, et si W satisfait Loc(6), est W-asph. X'_{/e} W-asph. X_{/F} W-asph.

Inversement, supposons que tt objet 0-connexe de X^{\wedge} soit W-asph. un F est porté au-dessus du signe Soit X \longrightarrow Y \quad \text{cocofinal}, i.e. les X_{/y} 0-connexes. ~~Il que~~ Mais X_{/y} est 0-connexe, il est W-asph. Donc X\to Y est W-asph. dès \in W, donc Y est W-asph. Ainsi :

Prop. Si W Pour que X^{o} soit ~~tot.~~ W-asphérique il et s. que tt objet 0-connexe de X^{\wedge} soit W-asph., et elle est aussi nécessaire si Loc(6).

Cor. (Plus ~~ou moins~~ nécessaire) Si ~~X^{o} est cofiltrant et~~ W satisfait Loc(8), alors pour X telle que X^{o} soit filtrant (ou X cofiltrant), les objets 0-connexes de X^{\wedge} sont (dès que X_{/F} soit cofiltrant dans ) W-asphériques, donc X est tot. W-asphérique.

le losange qui occupe le haut du feuillet est écrit tête-bêche par rapport au reste ; c'est, aux étiquettes près, celui du feuillet 79

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & T \arrow[ld] \arrow[rd] & \\ \beta/\!/\tilde X \arrow[rd, "\text{cocart.}"'] & & \gamma/\!/\tilde X \arrow[ld] \\ & \tilde X \arrow[ld, "X\ \text{asph.}"'] \arrow[rd] & \\ X \arrow[rd, "W\text{-cocart.}"'] & & e \arrow[ld] \\ & X' & \end{tikzcd}

\tilde X \sim \Sigma(T), \quad\text{si } \beta/\!/\tilde X,\ \gamma/\!/\tilde X \ \text{asph. (à vérifier)} X' \sim \Sigma(\tilde X) (vu_{1},\alpha) \sim (vu_{2},\beta) (vu_{1},\alpha) \sim (vu_{2},\beta) les deux lignes sont écrites l'une sous l'autre et, autant que je puisse voir, identiques ; la seconde porte peut-être u_{2} et u_{1} permutés

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \alpha \arrow[r, "u_{1}'"] \arrow[rd, "u_{1}''"] & B \\ \beta \arrow[ru, "u_{2}'"] \arrow[r, "u_{2}''"'] & C \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] a \arrow[r, "u_{1}"] \arrow[rd, "w"'] & b \arrow[d] \\ & x \end{tikzcd}

(v,\alpha) \sim (w,\beta) que v se factorise par u_{1}, w

plus bas, trois flèches isolées : \alpha\to\xi, \beta\to\xi, B\to\xi, C\to\xi, et la lettre E

il numérote ce feuillet « 7 »

On voudrait une réciproque, dans des conditions convenables.

Lemme. X , F\in X^{\wedge}, alors X_{/F} irréd. sous l'énoncé, entre accolades, la définition : « X_{/F} non vide et »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] a \arrow[rd] & \\ & F \\ b \arrow[ru] & \end{tikzcd}

a, b \in X, on a a\times_{F}b \neq \emptyset, i.e.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & a \arrow[rd] & \\ c \arrow[ru, dashed] \arrow[rd, dashed] & & F \\ & b \arrow[ru] & \end{tikzcd}

c\in\mathrm{Ob}\,X, rendant le diagramme commutatif.

Corollaire. Pour que X soit ~~loc.~~ cofiltrant, (i.e. conv. comm. cofiltrante) et et s. que pour dans X,

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \xi & \\ a \arrow[ru, "\lambda"] \arrow[rd, "\lambda'"'] & & b \arrow[lu, "\mu"'] \arrow[ld, "\mu'"] \\ & \xi' & \end{tikzcd}

sous le losange, deux flèches pointillées descendent vers un sommet x

N.B. on peut compléter en un diagramme commutatif. la remarque est portée en biais, en travers du coin inférieur gauche ; je n'en lis que la fin

Soit S la catégorie ordonnée S = \bigl(\, a \to \xi \to b \ ;\ a \to \xi' \to b \,\bigr)

B = (u_{1},\alpha) \sim (u_{2},\beta) C = (u_{2},\alpha) \sim (u_{1},\beta) B \longrightarrow \xi

\begin{tikzcd} \alpha \arrow[r, bend left=16, "u_{1}"] \arrow[r, bend right=16, "u_{2}"'] & b \arrow[r, "v"] & x \end{tikzcd}

\xi = (vu_{1},\alpha) = (vu_{2},\beta) \xi = (vu_{2},\alpha) = (vu_{1},\beta)

\begin{tikzcd} a \arrow[r, bend left=16, "v"] \arrow[r, bend right=16, "w"'] & x \end{tikzcd}

\xi = (v,\alpha) = (w,\beta)

donc \mathrm{Hom}(b,x) \neq \emptyset.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \alpha \arrow[r, "\tilde u"] & \tilde\xi \\ \beta \arrow[r, "\tilde w"'] & \tilde\xi \end{tikzcd}

il v se factorise par se factorise par u_{1}, par u_{2},

il numérote ce feuillet « 8 »

Z la catégorie obtenue en ajoutant un objet final (pt. final) e, d'où

\begin{tikzcd} S \arrow[r, hook, "\text{cocof.}"] \arrow[d] & Z \arrow[r, "\text{ou}"] \arrow[d] & e \arrow[d, no head] \\ X \arrow[r, hook] & X' \arrow[r, "\text{ou}"'] & e \end{tikzcd} il étiquette ce carré (D) dans la marge de gauche ; le trait sans tête de la dernière colonne est, sur le feuillet, une double barre — l'identité

avec \mathrm{Hom}_{X'\supset X}(x,e) \simeq \pi_{0}\bigl({}_{x}\backslash S_{/e}\bigr) \simeq \pi_{0}\bigl({}_{x}\backslash S\bigr) \simeq \varinjlim \Bigl(\mathrm{Hom}(x,a) \to \mathrm{Hom}(x,\xi) \leftarrow \mathrm{Hom}(x,b) \to \mathrm{Hom}(x,\xi') \leftarrow \Bigr) le colimite est écrite comme un losange de quatre flèches, de sommets \mathrm{Hom}(x,a), \mathrm{Hom}(x,\xi), \mathrm{Hom}(x,\xi') et \mathrm{Hom}(x,b), les deux premières partant de \mathrm{Hom}(x,a) et les deux dernières arrivant de \mathrm{Hom}(x,b) \simeq \underbrace{\bigl(\mathrm{Hom}(x,\xi)\amalg\mathrm{Hom}(x,\xi')\bigr)}_{E(x)} \big/ R_{(x)}, R_{(x)} la relation d'équivalence engendrée par les deux relations (*) \quad \begin{cases} \lambda v \sim \lambda' v & v : x \to a \\ \mu w \sim \mu' w & w : x \to b \end{cases}

Le foncteur S \to X se prolonge canoniquement en S \to X_{/e} (grâce au fait que e est un objet final de Z, cf. diagramme (D)), soit

feuillet de brouillon : deux blocs y sont écrits tête-bêche l'un par rapport à l'autre, et plusieurs sont raturés

\begin{tikzcd} \alpha \arrow[r, bend left=16] \arrow[r, bend right=16] & \beta \arrow[r] & \gamma \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} a \arrow[r, bend left=16] \arrow[r, bend right=16] & b \arrow[r] & c \end{tikzcd} sous ce second diagramme, une flèche montante issue d'un sommet a

\begin{tikzcd} \alpha \arrow[r, bend left=16] \arrow[r, bend right=16] & \beta \arrow[r] & C \end{tikzcd} ce troisième diagramme est entièrement raturé

\mathrm{Hom}(b,\xi) \rightrightarrows \mathrm{Hom}(a,\cdot)

\begin{tikzcd} X_{/\!/b} & \tilde X \arrow[l] & X_{/\!/a} \arrow[l, "\text{cocart.}"'] \end{tikzcd} les deux indices sont tracés d'un jambage et restent douteux

on lit encore, isolés et pour partie biffés, \tilde X, X_{/\!/e}, e et une flèche e \to X

il numérote ce feuillet « 9 »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \tilde\xi & \\ \tilde a \arrow[ru, "\tilde\lambda"] \arrow[rd, "\tilde\lambda'"'] & & \tilde b \arrow[lu, "\tilde\mu"'] \arrow[ld, "\tilde\mu'"] \\ & \tilde\xi' & \end{tikzcd}

le diagramme correspondant dans \tilde X = X_{/e}.

Lemme. On a \tilde X = \tilde X_{/\!/\tilde\xi} \ \cup\ \tilde X_{/\!/\tilde\xi'} \tilde X_{/\!/\tilde\xi} \ \cap\ \tilde X_{/\!/\tilde\xi'} = \tilde X_{/\!/\tilde a} \ \cup\ \tilde X_{/\!/\tilde b} le second indice des deux premiers membres est tracé d'un jambage qui ne se distingue guère de celui de \tilde\xi ; c'est le losange ci-dessus qui fixe la lecture \tilde\xi'

La première relation est claire. Pour la deuxième, soit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \tilde a \arrow[r, "\tilde u"] & \tilde\xi \\ \tilde u' \arrow[r] & \tilde\xi' \end{tikzcd}

dans \tilde X, au-dessus de

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \xi \\ a \arrow[ru, "u"] \arrow[rd, "u'"'] & \\ & y \end{tikzcd}

dans X. les deux petits diagrammes sont tracés en diagonale ; les sources des flèches inférieures ne se lisent pas avec certitude

ce feuillet reprend, avec la catégorie plus simple D = (a \rightrightarrows b), l'argument que le feuillet 74 mène avec S ; c'est une mouture antérieure, non une répétition. Un « 6 » cerclé, barré d'un trait, figure en tête

deux accolades encadrent la ligne e \to a \rightrightarrows b : Z au-dessus, D au-dessous

\begin{tikzcd} D \arrow[r, "\text{cofinal}"] \arrow[d] & Z \arrow[r, "\text{ou}"] \arrow[d] & e \arrow[d, no head] \\ X \arrow[r, hook, "\text{cofinal}"'] & X' \arrow[r, "\text{ou}"'] & e \end{tikzcd} sous l'étiquette « cofinal » de la flèche supérieure court un second mot, biffé, que je ne lis pas ; le trait sans tête de la troisième colonne est, sur le feuillet, une double barre

~~e\backslash X~~

\begin{tikzcd} a \arrow[r, bend left=14] \arrow[r, bend right=14] & b \end{tikzcd}

\mathrm{Hom}(e,x) \simeq \pi_{0}\bigl({}_{e}\backslash D_{/x}\bigr) \simeq \pi_{0}\bigl(D_{/x}\bigr) \simeq \varinjlim \bigl(\mathrm{Hom}(b,x) \rightrightarrows \mathrm{Hom}(a,x)\bigr)

un objet de {}_{e}\backslash X_{/e} est déterminé par un objet x de X, et une flèche a \to x. L'objet de {}_{e}\backslash X_{/e} défini par id s'envoie dans tous les autres, donc {}_{e}\backslash X_{/e} est un , donc X \to X' est cofinal.

il numérote ce feuillet « 10 »

Car donc u \in \mathrm{Hom}(x,\xi) \subset \mathrm{Hom}(x,\xi)\amalg\mathrm{Hom}(x,\xi') \overset{\text{déf}}{=} E(x) u' \in \mathrm{Hom}(x,\xi') \subset E(x) et u \sim u' \bmod R(x). ()

Donc ~~il existe~~ comme u \neq u', il existe une chaîne d'objets de E(x) f_{0} = u,\ f_{1},\ f_{2},\ \ldots\ f_{n} = u' (n \geq 1), telle que pour 0 \leq i \leq n-1, ~~f_{i}~~ f_{i} et f_{i+1} soient reliés par une des deux relations (*). En particulier, pour i = 0, il existe v : x \to a tel que f_{0} = \lambda v et (et f_{1} = \lambda' v), ou bien w : x \to b tel que f_{0} = \mu w (et f_{1} = \mu' w).

Donc u se factorise soit par (a,\lambda), soit par (b,\mu). Mais cela signifie que \tilde u : \tilde x \to \tilde\xi se factorise soit par \tilde a, soit par \tilde b, ~~\tilde\xi~~ \tilde\xi est dans \tilde X_{/\!/\tilde a} \cup \tilde X_{/\!/\tilde b}, qed. le sujet de la dernière proposition devrait être \tilde x et non \tilde\xi ; je transcris ce qui est tracé

en marge gauche, le losange \tilde a \to \tilde\xi \leftarrow \tilde b, \tilde a \to \tilde\xi' \leftarrow \tilde b, avec les étiquettes \lambda, \mu, \lambda', \mu', et au-dessous u, u', x

il numérote ce feuillet « 11 »

Cor. \tilde X est 0-connexe, donc (si les objets 0-connexes de X^{\wedge} sont W-asph., pour un W donné) il est W-asphérique.

(si X \hookrightarrow X' est cofinal).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & T = \tilde X_{/\!/(\tilde a,\tilde b)} \arrow[ld] \arrow[rd] & \\ \tilde X_{/\!/\tilde b} \arrow[rd, "W\text{-cocart.}"'] & & \tilde X_{/\!/\tilde a} \arrow[ld] \\ & \simeq \Sigma^{1}(T) \arrow[ld] \arrow[rd] & \\ \tilde X_{/\!/\tilde\xi} \arrow[rd, "W\text{-cocart.}"'] & & \tilde X_{/\!/\tilde\xi'} \arrow[ld] \\ & \tilde X \simeq \Sigma^{1}_{W}(T) \arrow[ld] \arrow[rd] & \\ X \arrow[rd] & & e \arrow[ld] \\ & X' & \end{tikzcd} le sommet du milieu porte, avant le signe \simeq, un membre entièrement biffé en marge des sommets : « 0-connexes donc W-asph. » pour \tilde X_{/\!/\tilde\xi'}, « 0-connexe donc W-asph. » pour \tilde X, « 0-connexe donc W-asph. par » pour X ; et, à droite de \tilde X, « ( Loc(6a)) »

X' \simeq \Sigma^{1}_{W}(X) \simeq \Sigma^{2}_{W}(\tilde X) \simeq \Sigma^{3}(T) l'argument du terme médian est tracé d'un seul jambage : je le lis \tilde X, ce que la chaîne \tilde X \simeq \Sigma^{1}(T), X \simeq \Sigma^{1}(\tilde X) du feuillet 66 rend seule cohérente, mais la lettre reste douteuse

Si T = \emptyset, alors X' \sim_{W_{\infty}} \Sigma^{2}(E) = S^{2}, donc si W plus fine que H^{2}(-,k), k groupe commutatif un , alors X' n'est pas W-asph., . Donc dans ce cas on doit avoir T \neq \emptyset .