Cote n° 158 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Autour des Dérivateurs] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1990-1991]
Édition de démonstration

Localisateurs, 0-connexité et suspensions de catégories

titre de l'éditeur : les feuillets n'en portent aucun. Le lot reprend une suite paginée par lui de 2 à 11 (feuillets 61, 62, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 79) ; le feuillet 1 de sa suite tombe dans le lot précédent

Notations tenues pour tout le lot, telles qu'elles sont tracées. \(X^{\wedge}\) et \(X^{\vee}\) : les deux catégories de foncteurs à valeurs ensembles sur \(X\) (préfaisceaux, resp. covariants) ; \(X_{/F}\) et \(X_{/a}\) : catégorie au-dessus ; \({}_{x}\backslash X\) : catégorie au-dessous, l'indice porté à gauche d'une barre oblique inverse (feuillets 74 et 77, où les deux sens figurent dans la même formule) ; \(A/\!/B\) : signe à deux jambages obliques, porté tantôt en préfixe (\(\beta/\!/Z\), \(b_{0}/\!/X_{0}\), feuillets 62 et 66), tantôt en indice postfixe (\(\tilde X_{/\!/\tilde\xi}\), feuillets 76 et 79). \(W\) : un localisateur, avec les axiomes qu'il numérote Loc(6), Loc(8) ; \(W_{2}\), \(W_{\infty}\) : deux localisateurs particuliers. \(\Sigma^{n}\) : la suspension itérée, \(e\) l'objet (ou la catégorie) final, \(E\) l'ensemble à deux éléments \(\{\beta,\gamma\}\). J'écris \(/\!/\) et \(\backslash\) comme il les trace, sans les uniformiser

61il numérote ce feuillet « 2 »

\begin{tikzcd}
x \arrow[r, bend left=14] \arrow[r, bend right=14] & a
\end{tikzcd}

\[ \pi_{0}(S_{/x}) \rightrightarrows \pi_{0}(S_{/a}) \]

suivent deux triangles esquissés, dont les sommets ne se lisent pas

\[ \pi_{0}(E_{/x}) \simeq \] […]

\begin{tikzcd}
\mathrm{Hom}(a,x)\times E \arrow[d] \\
\mathrm{Hom}(a,a)\times E
\end{tikzcd}

le second argument du \(\mathrm{Hom}\) inférieur est douteux : je lis \(a\), mais le trait souffrirait un autre sommet. La flèche verticale est doublée d'un second trait, sinueux, sans tête

Soit \(X\) dans \(\mathrm{Cat}\) […] (quelconque) […], \(B\), \(C\), \(\beta\), \(\gamma\) tels que […]\((\beta,\beta)\), \(\mathrm{Hom}(\beta,\gamma)\), \(\mathrm{Hom}(\)[…]\()\) […]

\[ B\times C = \emptyset \quad\text{dans } X^{\wedge}, \] i.e. […] n'existe pas de \(x\in\mathrm{Ob}\,X\) […] tel que \(\mathrm{Hom}(x,B)\neq\emptyset\) et \(\mathrm{Hom}(x,C)\neq\emptyset\), et \[ \beta\times\gamma = \emptyset \quad\text{dans } X^{\vee}, \] i.e. n'existe pas de \(y\in\mathrm{Ob}\,X\) […] \(\mathrm{Hom}(\beta,y)\neq \emptyset\), \(\mathrm{Hom}(\gamma,y)\neq\emptyset\). ([…]) le signe entre \(\beta\) et \(\gamma\) est tracé à deux jambages, et non comme le \(\times\) de la ligne précédente ; c'est la glose qui suit qui donne le sens — le produit des deux foncteurs représentables dans \(X^{\vee}\)

Alors \(X\) n'est pas \(1\)-connexe. les huit dernières lignes du feuillet sont portées en biais et d'une écriture très rapide ; c'est le passage le plus incertain du lot

62il numérote ce feuillet « 3 »

\begin{tikzcd}
& b \\
a \arrow[ru] \arrow[r, "u"] \arrow[rd] & x \\
& c
\end{tikzcd}

les sommets \(b\) et \(c\) sont hachurés

\[ \mathrm{Hom}(a,x) = \emptyset \] \[ (u,\beta) \in \mathrm{Hom}(a,x)\times E \] […] mais alors \(\pi_{0}(S_{/x}) = \emptyset\), i.e. […]

un cadre, écrit en travers du feuillet, porte une formule dont je ne lis avec quelque assurance que \(e\backslash X = \) […] \(= Z\), et plus bas \(T\), \(\beta/\!/Z\) et \(C/\!/Z\)

\[ \pi_{0}(S_{/x}) \simeq I(x) \amalg \bigl(J(x)\times E\bigr) \] un membre biffé, illisible, précède \(I(x)\) \[ I(x) = \mathrm{Im}\bigl(\mathrm{Hom}(\beta,x)\amalg\mathrm{Hom}(\gamma,x) \longrightarrow \mathrm{Hom}(a,x)\bigr) \] le nom de l'opération se lit « Im » ou « Inv » \[ J(x) = \mathrm{Hom}(a,x)\setminus I(x) \] \[ \pi_{0}(S_{/x}) = \emptyset \quad\text{si } \mathrm{Hom}(a,x) = \emptyset \]

Soit \(\xi = \mathrm{cl}(u,\alpha) \in\) […], \(u \in \mathrm{Hom}(a,x)\), \(\alpha \in E = \{\beta,\gamma\}\). Alors […] \(\alpha \longrightarrow \xi\), i.e. \(\xi \in \alpha/\!/Z\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& Z = e\backslash X \sim S^{1} \arrow[ld, "\text{asph.}"'] \arrow[rd, "\text{asph.}"] & \\
e \arrow[rd] & & X \arrow[ld] \\
& X' \sim S^{2} &
\end{tikzcd}

\[ X' \sim \Sigma^{1} Z \]

66il numérote ce feuillet « 4 »

le haut du feuillet porte un losange dont le sommet se lit \((b\amalg c)\) […] et dont les deux côtés descendants, étiquetés « asph. ? », aboutissent à \(e\backslash X = Z\) ; je ne lis pas les deux sommets intermédiaires, l'un étant biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& e\backslash X = Z \arrow[ld, "\text{asph.}"'] \arrow[rd] & \\
e \arrow[rd] & & e\backslash X \arrow[ld, "\text{asph.}"] \\
& X' &
\end{tikzcd}

\[ \beta/\!/Z \simeq {}_{a}\backslash X \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& (b_{0}\amalg c_{0})/\!/X_{0} \arrow[ld] \arrow[rd] & \\
b_{0}/\!/X_{0} \arrow[rd, "W\text{-cocart.}"'] & & c_{0}/\!/X_{0} \arrow[ld] \\
& T \arrow[ld] \arrow[rd] & \\
X_{0} = {}_{a}\backslash X \arrow[rd, hook, "W\text{-cocart.}"'] & & {}_{a}\backslash X = X_{0} \arrow[ld] \\
& e\backslash X = \tilde X \arrow[ld] \arrow[rd, "\text{coét.}"] & \\
e \arrow[rd, "W\text{-cocart.\,!}"'] & & X \arrow[ld] \\
& X' &
\end{tikzcd}

\[ T = b_{0}/\!/X_{0} \ \cup\ c_{0}/\!/X_{0} \] \[ X_{0} \simeq \beta/\!/\tilde X \simeq \gamma/\!/\tilde X \] \[ \tilde X \sim \Sigma^{1}T \qquad X' \sim \Sigma^{2}T \qquad X' \simeq \Sigma^{1}\tilde X \] ici \(\tilde X\) est défini par \(e\backslash X\) ; au feuillet 76 il écrit au contraire \(\tilde X = X_{/e}\). Je transcris chaque fois ce qui est tracé

67

\[ \Sigma^{1}X \] un dessin : deux cônes opposés par leur base, la base étant un disque hachuré — la suspension au sens usuel ; à côté, son avatar combinatoire, un losange de quatre sommets, légendé \((X,e)\) avec une flèche vers \(e\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_{0} \arrow[ld] & \\
X_{1} \arrow[rd] & & X_{2} \arrow[ld] \arrow[lu] \\
& X_{3} &
\end{tikzcd}

\[ X\times Y \qquad X \longrightarrow X\times I \qquad x_{0}\times I \] feuillet de croquis : rien n'y est rédigé

68il numérote ce feuillet « 5 ». La moitié inférieure du feuillet ne relève pas des notes

en haut, un circuit de flèches où se lisent \(X_{/F} \simeq X_{/e}\), \(e\), \(X\), \(X'\), et les mentions « cocoasph. », « ouv. », « ferm. » ; plusieurs sommets sont biffés

[…] \(0\)-connexe \(W_{2}\)

\begin{tikzcd}
a \arrow[r, bend left=14] \arrow[r, bend right=14] & b
\end{tikzcd}

Soit \(W\) […] plus fine que tt […] Soit \(W_{2}\) […]

\(X\) \(0\)-connexe, mais pas filtrant […] \[ \Longrightarrow\ \exists\, X \longrightarrow X' \text{ cofinal}, \] avec \(X' \sim_{W_{\infty}} S^{2}\), ou du moins avec \[ H^{2}(X') \simeq H^{2}(S^{2}) ; \] donc si \(W \subset W_{2}\), plus gén. si […] \(f\in W \Rightarrow\) \[ f^{*} : H^{2}(T,\underline{k}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{2}(S,\underline{k}) \] (\(k\) un […] groupe commutatif) […] des \(X\) […] pas tot. \(W\)-asph. les deux membres du morphisme portent \(T\) et \(S\) ; l'un et l'autre sont tracés d'un seul jet et la lecture en est douteuse

69feuillet scanné à l'envers

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "u\in W"] \arrow[d, "i\in W_{S}''"'] & Y \arrow[d, "j\in W_{S}''"] \\
\bar X \arrow[r, "\bar u\in W"'] & \bar Y
\end{tikzcd}

de \(\bar X\) et \(\bar Y\) partent deux flèches vers \(S\), étiquetées \(p\in\mathcal{G}\) et \(q\in\mathcal{G}\)

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "W_{S}''"] \arrow[d] & \mathcal{G}(X) \arrow[ld] \\
S &
\end{tikzcd}

VI 171-205

\begin{tikzcd}
X' \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
S' \arrow[r, "w"] & S
\end{tikzcd}

\[ \xi \qquad \xi' \qquad H^{p}(S',\xi') \longrightarrow H^{p}(S,\xi) \] \(H^{p}(S,\xi)\) \[ S\times T \longleftarrow S'\times T \]

70il numérote ce feuillet « 6 »

\begin{tikzcd}
X_{/F} \arrow[r, hook, "i"] & X' \arrow[r] & e
\end{tikzcd}

\[ X_{/e} \simeq X_{/F} \]

\(F\) asphérique \(\Longleftrightarrow\) \(i\) cocofinal.

Si \(X^{o}\) est \(W\)-asph., alors (\(X'^{o}\) dans) \(X'\) est \(W\)-asph., dès que \(i\in W\), et si \(W\) satisfait Loc(6), […] est \(W\)-asph. […] \(X'_{/e}\) \(W\)-asph. […] \(X_{/F}\) \(W\)-asph.

Inversement, supposons que tt objet \(0\)-connexe de \(X^{\wedge}\) soit \(W\)-asph. un \(F\) est porté au-dessus du signe Soit \[ X \longrightarrow Y \quad \text{cocofinal}, \] i.e. les \(X_{/y}\) \(0\)-connexes. Il […] que […] Mais \(X_{/y}\) est […] \(0\)-connexe, il est \(W\)-asph. Donc \(X\to Y\) est \(W\)-asph. dès […] \(\in W\), donc \(Y\) est \(W\)-asph. Ainsi :

Prop. Si \(W\) […] Pour que \(X^{o}\) soit tot. \(W\)-asphérique il […] et s. que tt objet \(0\)-connexe de \(X^{\wedge}\) soit \(W\)-asph., et elle est aussi nécessaire si […] […] Loc(6).

Cor. (Plus ou moins nécessaire) Si \(X^{o}\) est cofiltrant et \(W\) satisfait Loc(8), alors pour […] \(X\) telle que \(X^{o}\) soit filtrant (ou \(X\) cofiltrant), les objets \(0\)-connexes de \(X^{\wedge}\) sont (dès que \(X_{/F}\) soit cofiltrant dans […]) \(W\)-asphériques, donc \(X\) est tot. \(W\)-asphérique.

71

le losange qui occupe le haut du feuillet est écrit tête-bêche par rapport au reste ; c'est, aux étiquettes près, celui du feuillet 79

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& T \arrow[ld] \arrow[rd] & \\
\beta/\!/\tilde X \arrow[rd, "\text{cocart.}"'] & & \gamma/\!/\tilde X \arrow[ld] \\
& \tilde X \arrow[ld, "X\ \text{asph.}"'] \arrow[rd] & \\
X \arrow[rd, "W\text{-cocart.}"'] & & e \arrow[ld] \\
& X' &
\end{tikzcd}

\[ \tilde X \sim \Sigma(T), \quad\text{si } \beta/\!/\tilde X,\ \gamma/\!/\tilde X \ \text{asph. (à vérifier)} \] \[ X' \sim \Sigma(\tilde X) \] \[ (vu_{1},\alpha) \sim (vu_{2},\beta) \] \[ (vu_{1},\alpha) \sim (vu_{2},\beta) \] les deux lignes sont écrites l'une sous l'autre et, autant que je puisse voir, identiques ; la seconde porte peut-être \(u_{2}\) et \(u_{1}\) permutés

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\alpha \arrow[r, "u_{1}'"] \arrow[rd, "u_{1}''"] & B \\
\beta \arrow[ru, "u_{2}'"] \arrow[r, "u_{2}''"'] & C
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
a \arrow[r, "u_{1}"] \arrow[rd, "w"'] & b \arrow[d] \\
& x
\end{tikzcd}

\[ (v,\alpha) \sim (w,\beta) \] […] que \(v\) […] se factorise par \(u_{1}\), […] \(w\) […]

plus bas, trois flèches isolées : \(\alpha\to\xi\), \(\beta\to\xi\), \(B\to\xi\), \(C\to\xi\), et la lettre \(E\)

72il numérote ce feuillet « 7 »

On voudrait une réciproque, dans des conditions convenables.

Lemme. \(X\) […], \(F\in X^{\wedge}\), alors \(X_{/F}\) irréd. sous l'énoncé, entre accolades, la définition : « \(X_{/F}\) non vide et […] »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
a \arrow[rd] & \\
& F \\
b \arrow[ru] &
\end{tikzcd}

\(a\), \(b \in X\), on a \(a\times_{F}b \neq \emptyset\), i.e. […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& a \arrow[rd] & \\
c \arrow[ru, dashed] \arrow[rd, dashed] & & F \\
& b \arrow[ru] &
\end{tikzcd}

[…] \(c\in\mathrm{Ob}\,X\), rendant le diagramme commutatif.

Corollaire. Pour que \(X\) soit loc. […] cofiltrant, (i.e. conv. comm. cofiltrante) […] et […] […] et s. que pour […] dans \(X\),

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \xi & \\
a \arrow[ru, "\lambda"] \arrow[rd, "\lambda'"'] & & b \arrow[lu, "\mu"'] \arrow[ld, "\mu'"] \\
& \xi' &
\end{tikzcd}

sous le losange, deux flèches pointillées descendent vers un sommet \(x\)

N.B. […] on peut compléter en un diagramme commutatif. la remarque est portée en biais, en travers du coin inférieur gauche ; je n'en lis que la fin

Soit \(S\) la catégorie ordonnée \[ S = \bigl(\, a \to \xi \to b \ ;\ a \to \xi' \to b \,\bigr) \]

73

\[ B = (u_{1},\alpha) \sim (u_{2},\beta) \] \[ C = (u_{2},\alpha) \sim (u_{1},\beta) \] \[ B \longrightarrow \xi \]

\begin{tikzcd}
\alpha \arrow[r, bend left=16, "u_{1}"] \arrow[r, bend right=16, "u_{2}"'] & b \arrow[r, "v"] & x
\end{tikzcd}

\[ \xi = (vu_{1},\alpha) = (vu_{2},\beta) \] \[ \xi = (vu_{2},\alpha) = (vu_{1},\beta) \]

\begin{tikzcd}
a \arrow[r, bend left=16, "v"] \arrow[r, bend right=16, "w"'] & x
\end{tikzcd}

\[ \xi = (v,\alpha) = (w,\beta) \]

donc \(\mathrm{Hom}(b,x) \neq \emptyset\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\alpha \arrow[r, "\tilde u"] & \tilde\xi \\
\beta \arrow[r, "\tilde w"'] & \tilde\xi
\end{tikzcd}

il […] […] \(v\) se factorise par […] se factorise par \(u_{1}\), […] par \(u_{2}\),

74il numérote ce feuillet « 8 »

\(Z\) la catégorie obtenue en ajoutant un objet final (pt. final) \(e\), d'où

\begin{tikzcd}
S \arrow[r, hook, "\text{cocof.}"] \arrow[d] & Z \arrow[r, "\text{ou}"] \arrow[d] & e \arrow[d, no head] \\
X \arrow[r, hook] & X' \arrow[r, "\text{ou}"'] & e
\end{tikzcd}

avec \[ \mathrm{Hom}_{X'\supset X}(x,e) \simeq \pi_{0}\bigl({}_{x}\backslash S_{/e}\bigr) \simeq \pi_{0}\bigl({}_{x}\backslash S\bigr) \] \[ \simeq \varinjlim \Bigl(\mathrm{Hom}(x,a) \to \mathrm{Hom}(x,\xi) \leftarrow \mathrm{Hom}(x,b) \to \mathrm{Hom}(x,\xi') \leftarrow \Bigr) \] le colimite est écrite comme un losange de quatre flèches, de sommets \(\mathrm{Hom}(x,a)\), \(\mathrm{Hom}(x,\xi)\), \(\mathrm{Hom}(x,\xi')\) et \(\mathrm{Hom}(x,b)\), les deux premières partant de \(\mathrm{Hom}(x,a)\) et les deux dernières arrivant de \(\mathrm{Hom}(x,b)\) \[ \simeq \underbrace{\bigl(\mathrm{Hom}(x,\xi)\amalg\mathrm{Hom}(x,\xi')\bigr)}_{E(x)} \big/ R_{(x)}, \] \(R_{(x)}\) la relation d'équivalence engendrée par les deux relations \[ (*) \quad \begin{cases} \lambda v \sim \lambda' v & v : x \to a \\ \mu w \sim \mu' w & w : x \to b \end{cases} \]

Le foncteur \(S \to X\) se prolonge canoniquement en \(S \to X_{/e}\) […] (grâce au fait que \(e\) est un objet final de \(Z\), cf. diagramme (D)), soit […]

75feuillet de brouillon : deux blocs y sont écrits tête-bêche l'un par rapport à l'autre, et plusieurs sont raturés

\begin{tikzcd}
\alpha \arrow[r, bend left=16] \arrow[r, bend right=16] & \beta \arrow[r] & \gamma
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
a \arrow[r, bend left=16] \arrow[r, bend right=16] & b \arrow[r] & c
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
\alpha \arrow[r, bend left=16] \arrow[r, bend right=16] & \beta \arrow[r] & C
\end{tikzcd}

\[ \mathrm{Hom}(b,\xi) \rightrightarrows \mathrm{Hom}(a,\cdot) \]

\begin{tikzcd}
X_{/\!/b} & \tilde X \arrow[l] & X_{/\!/a} \arrow[l, "\text{cocart.}"']
\end{tikzcd}

on lit encore, isolés et pour partie biffés, \(\tilde X\), \(X_{/\!/e}\), \(e\) et une flèche \(e \to X\)

76il numérote ce feuillet « 9 »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \tilde\xi & \\
\tilde a \arrow[ru, "\tilde\lambda"] \arrow[rd, "\tilde\lambda'"'] & & \tilde b \arrow[lu, "\tilde\mu"'] \arrow[ld, "\tilde\mu'"] \\
& \tilde\xi' &
\end{tikzcd}

le diagramme correspondant dans \(\tilde X = X_{/e}\).

Lemme. On a […] \[ \tilde X = \tilde X_{/\!/\tilde\xi} \ \cup\ \tilde X_{/\!/\tilde\xi'} \] \[ \tilde X_{/\!/\tilde\xi} \ \cap\ \tilde X_{/\!/\tilde\xi'} = \tilde X_{/\!/\tilde a} \ \cup\ \tilde X_{/\!/\tilde b} \] le second indice des deux premiers membres est tracé d'un jambage qui ne se distingue guère de celui de \(\tilde\xi\) ; c'est le losange ci-dessus qui fixe la lecture \(\tilde\xi'\)

La première relation est claire. Pour la deuxième, […] soit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\tilde a \arrow[r, "\tilde u"] & \tilde\xi \\
\tilde u' \arrow[r] & \tilde\xi'
\end{tikzcd}

dans \(\tilde X\), au-dessus de

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \xi \\
a \arrow[ru, "u"] \arrow[rd, "u'"'] & \\
& y
\end{tikzcd}

dans \(X\). les deux petits diagrammes sont tracés en diagonale ; les sources des flèches inférieures ne se lisent pas avec certitude

77ce feuillet reprend, avec la catégorie plus simple \(D = (a \rightrightarrows b)\), l'argument que le feuillet 74 mène avec \(S\) ; c'est une mouture antérieure, non une répétition. Un « 6 » cerclé, barré d'un trait, figure en tête

deux accolades encadrent la ligne \(e \to a \rightrightarrows b\) : \(Z\) au-dessus, \(D\) au-dessous

\begin{tikzcd}
D \arrow[r, "\text{cofinal}"] \arrow[d] & Z \arrow[r, "\text{ou}"] \arrow[d] & e \arrow[d, no head] \\
X \arrow[r, hook, "\text{cofinal}"'] & X' \arrow[r, "\text{ou}"'] & e
\end{tikzcd}

\(e\backslash X\) […]

\begin{tikzcd}
a \arrow[r, bend left=14] \arrow[r, bend right=14] & b
\end{tikzcd}

[…]

\[ \mathrm{Hom}(e,x) \simeq \pi_{0}\bigl({}_{e}\backslash D_{/x}\bigr) \simeq \pi_{0}\bigl(D_{/x}\bigr) \simeq \varinjlim \bigl(\mathrm{Hom}(b,x) \rightrightarrows \mathrm{Hom}(a,x)\bigr) \]

un objet de \({}_{e}\backslash X_{/e}\) est déterminé par un objet \(x\) de \(X\), et une flèche \(a \to x\). L'objet de \({}_{e}\backslash X_{/e}\) défini par […] id […] s'envoie dans tous les autres, donc \({}_{e}\backslash X_{/e}\) est un […], donc \(X \to X'\) est cofinal.

78il numérote ce feuillet « 10 »

Car donc \[ u \in \mathrm{Hom}(x,\xi) \subset \mathrm{Hom}(x,\xi)\amalg\mathrm{Hom}(x,\xi') \overset{\text{déf}}{=} E(x) \] \[ u' \in \mathrm{Hom}(x,\xi') \subset E(x) \] et \(u \sim u' \bmod R(x)\). ([…])

Donc il existe comme \(u \neq u'\), il existe une chaîne d'objets de \(E(x)\) \[ f_{0} = u,\ f_{1},\ f_{2},\ \ldots\ f_{n} = u' \] (\(n \geq 1\)), telle que pour \(0 \leq i \leq n-1\), \(f_{i}\) \(f_{i}\) et \(f_{i+1}\) soient reliés […] par une des deux relations \((*)\). En particulier, […] pour \(i = 0\), il existe \(v : x \to a\) tel que \(f_{0} = \lambda v\) et (et \(f_{1} = \lambda' v\)), ou bien \(w : x \to b\) tel que \(f_{0} = \mu w\) (et \(f_{1} = \mu' w\)).

Donc \(u\) se factorise soit par \((a,\lambda)\), soit par \((b,\mu)\). Mais cela signifie […] que \(\tilde u : \tilde x \to \tilde\xi\) se factorise soit par \(\tilde a\), soit par \(\tilde b\), […] \(\tilde\xi\) \(\tilde\xi\) est dans \(\tilde X_{/\!/\tilde a} \cup \tilde X_{/\!/\tilde b}\), qed. le sujet de la dernière proposition devrait être \(\tilde x\) et non \(\tilde\xi\) ; je transcris ce qui est tracé

en marge gauche, le losange \(\tilde a \to \tilde\xi \leftarrow \tilde b\), \(\tilde a \to \tilde\xi' \leftarrow \tilde b\), avec les étiquettes \(\lambda\), \(\mu\), \(\lambda'\), \(\mu'\), et au-dessous \(u\), \(u'\), \(x\)

79il numérote ce feuillet « 11 »

Cor. \(\tilde X\) est \(0\)-connexe, donc (si les objets \(0\)-connexes de \(X^{\wedge}\) sont \(W\)-asph., pour un \(W\) donné) il est \(W\)-asphérique.

(si \(X \hookrightarrow X'\) est cofinal).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& T = \tilde X_{/\!/(\tilde a,\tilde b)} \arrow[ld] \arrow[rd] & \\
\tilde X_{/\!/\tilde b} \arrow[rd, "W\text{-cocart.}"'] & & \tilde X_{/\!/\tilde a} \arrow[ld] \\
& \simeq \Sigma^{1}(T) \arrow[ld] \arrow[rd] & \\
\tilde X_{/\!/\tilde\xi} \arrow[rd, "W\text{-cocart.}"'] & & \tilde X_{/\!/\tilde\xi'} \arrow[ld] \\
& \tilde X \simeq \Sigma^{1}_{W}(T) \arrow[ld] \arrow[rd] & \\
X \arrow[rd] & & e \arrow[ld] \\
& X' &
\end{tikzcd}

\[ X' \simeq \Sigma^{1}_{W}(X) \simeq \Sigma^{2}_{W}(\tilde X) \simeq \Sigma^{3}(T) \] l'argument du terme médian est tracé d'un seul jambage : je le lis \(\tilde X\), ce que la chaîne \(\tilde X \simeq \Sigma^{1}(T)\), \(X \simeq \Sigma^{1}(\tilde X)\) du feuillet 66 rend seule cohérente, mais la lettre reste douteuse

Si \(T = \emptyset\), alors \(X' \sim_{W_{\infty}} \Sigma^{2}(E) = S^{2}\), donc si \(W\) plus fine que \(H^{2}(-,k)\), \(k\) groupe commutatif un […], alors \(X'\) n'est pas \(W\)-asph., […]. Donc dans ce cas on […] doit avoir \[ T \neq \emptyset . \]