Fonds Grothendieck, cote n° 158, pages 21–40

Un monoïde dont le classifiant porte un objet 0-connexe non 1-connexe

le titre ci-dessus est de l'éditeur : ces feuillets poursuivent un raisonnement commencé aux feuillets précédents et ne portent aucun titre

les conditions sont numérotées sur les feuillets par des lettres et des chiffres entourés d'un cercle ; elles sont rendues ici (A), (B), … et (0), (1), …

sa pagination : p. 3

\mathrm{Ob}\,X = F = M/R.

Si x, y \in \mathrm{Ob}\,X, on a \mathrm{Hom}(x,y) \simeq \{\, u \in M \mid x = yu \,\}, la composition des flèches étant donnée par la composition de M. La catégorie X ayant a = \dot{1} comme plus grand élément, dans notre sujet de la forme x = \dot{u} = au .

le point note le passage au quotient : \dot{u} est la classe de u dans F = M/R, et a = \dot{1} ; la lecture est confirmée par le feuillet 31, où il écrit e = \dot{1}

À quelles conditions X admet-il un plus petit élément e, lequel sera de la forme e = a\psi (pour \psi \in M fixé) ?

Notons que X = Y_{/F}

entre ces deux lignes court une rature où se lisent encore « pseudo-cofiltrant » et « il faut F \in \mathrm{Ob}\,Y^\wedge »

On voit tout de suite que la condition est la suivante :

(A) \forall\, u \in M, \exists\, u' \in M tel que uu' \overset{R}{\sim} \psi, (i.e. \exists\, p,q \in \mathbb{N} \varphi^{p}\psi = \varphi^{q}uu').

Par exemple, il suffit que \psi soit un élément minimal de M (i.e. \forall\, u \exists\, u' \psi = uu').

sa pagination : p. 4

Posons M_0 = \mathrm{End}_X(e) = \{\, f \in M \mid ef = e,\ \text{i.e. } a\psi f = a\psi, \ \text{i.e. } \psi f \overset{R}{\sim} \psi \,\}.

Ainsi, on a pour f \in M f \in M_0 \iff \forall\, p,q \in \mathbb{N} \quad \varphi^{p}\psi f = \varphi^{q}\psi .

le quantificateur est bien tracé \forall, nettement distinct du \exists en 3 renversé qu'il forme au bas du feuillet 21, alors que la suite (« ne dépend pas du choix de p,q ») demande \exists

Je vais écrire une condition sur \varphi,\psi qui impliquera que pour f \in M_0 fixé, \delta(f) \overset{\text{déf}}{=} q - p ne dépend pas du choix de p,q.

Notation

Supposons donc qu'on ait \begin{cases} \varphi^{p}\psi f = \varphi^{q}\psi \\ \varphi^{p'}\psi f = \varphi^{q'}\psi \end{cases} on en conclut \varphi^{p+p'}\psi f = \begin{cases} \varphi^{p'+q}\psi \\ \varphi^{p+q'}\psi \end{cases} donc

sa pagination : p. 5

\varphi^{p'+q}\psi = \varphi^{p+q'}\psi .

On veut en déduire p'+q = p+q', i.e. q-p = q'-p'

On va supposer

(B) Si r,s \in \mathbb{N} sont tels que \varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi, on a r = s.

On trouve alors une application M_0 \xrightarrow{\ \delta\ } \mathbb{Z} , et il est immédiat que celle-ci est multiplicative, i.e. \delta(fg) = \delta(f) + \delta(g) : \begin{cases} \varphi^{p}\psi f = \varphi^{q}\psi \\ \varphi^{p'}\psi g = \varphi^{q'}\psi \end{cases} implique \varphi^{p}\psi fg = \varphi^{q}\psi g

multiplier par g à droite

et en multipliant par \varphi^{p'} à gauche \varphi^{p+p'}\psi fg = \varphi^{q+p'}\psi g = \varphi^{q}\bigl(\underbrace{\varphi^{p'}\psi g}_{\varphi^{q'}\psi}\bigr) = \varphi^{q+q'}\psi donc \delta(fg) = (q+q') - (p+p') = \delta(f) + \delta(g).

Donc \delta se factorise en M_0 \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } G_0 \xrightarrow{\ \delta_0\ } \mathbb{Z} .

sous G_0 il porte « groupe enveloppant de M_0 », et une flèche courbe étiquetée \delta joint directement M_0 à \mathbb{Z}

sa pagination : p. 6

Je vais supposer

(C) L'homomorphisme M_0 \xrightarrow{\ \delta\ } \mathbb{Z} n'est pas nul, i.e. \exists\, f \in M_0 et p,q \in \mathbb{N}, avec \varphi^{p}\psi f = \varphi^{q}\psi et p \ne q.

suit un bloc de six lignes, ouvert par « Exemple. Si \psi \sim \ldots{} », entièrement biffé de longs traits horizontaux ; on y distingue encore \psi f \sim \psi, \delta(f) = q-p et \delta(\psi) = 1, mais l'ensemble ne se laisse pas lire

N.B. Dans le cas objet minimal et maximal

La condition (C) implique que G_0 = \pi_1(X_0,e) admet un quotient isomorphe à \mathbb{Z} (l'image de G_0 dans \mathbb{Z} par \delta_0).

\varphi^{\alpha}\psi f = \varphi^{\beta}f \psi f \overset{R}{\sim} \psi

ces trois formules sont jetées au bas du feuillet, sans lien apparent avec ce qui précède ; la troisième ne se laisse pas lire

sa pagination : p. 7

en tête du feuillet, un bloc de six lignes écrites en biais, dont on ne tire que « Si on … », « N.B. pour … » et « … qu'il … »

maintenant appliquer la prop. 1, pour calculer \pi_1(X,e), en termes de \pi_1(X_0,e) = G_0, et des relations explicitées par ailleurs. On veut montrer que les images de ces relations dans \mathbb{Z} par \delta_0 sont nulles, donc que \pi_1(X_0,e) admet un groupe quotient isomorphe à \mathbb{Z}, donc n'est pas \simeq \{1\}, donc que X_0 n'est pas 1-connexe.

les deux indices 0 sont bien tracés ici, alors que l'énoncé auquel le raisonnement aboutit, à sa p. 13 (feuillet 31), porte sur \pi_1(X,e) et sur X

Je reprends donc le diagramme (\ast)

\begin{tikzcd} x \arrow[r, "f"] & y \arrow[r, "g"] & z \\ & e \arrow[ul, "u"'] \arrow[u, "v"] \arrow[ur, "w"] \end{tikzcd}

sur le feuillet e est placé sous x, les trois flèches partant de lui en éventail

en posant \begin{cases} z = a\rho \\ y = a\rho g \\ x = a\rho g f \end{cases} \qquad\text{donc}\qquad \begin{cases} e = xu = a\rho g f u \\ e = yv = a\rho g v \\ e = zw = a\rho w \end{cases} et comme e = a\psi, les trois relations précédentes s'écrivent (\ast\ast) \qquad \boxed{\ \rho g f u \overset{R}{\sim} \rho g v \overset{R}{\sim} \rho w \overset{R}{\sim} \psi\ }

La donnée d'un diagramme (\ast) dans X, avec z = a\rho (pour \rho fixé) équivaut à celle des six éléments

sa pagination : p. 8

\rho, f, g, u, v, w \in M de M, satisfaisant les relations (\ast\ast), ou encore tels qu'il existe p,q,r,s \in \mathbb{N} avec \boxed{\ \varphi^{p}(\rho g f u) = \varphi^{q}(\rho g v) = \varphi^{r}(\rho w) = \varphi^{s}\psi\ }

Ceci posé, on doit poser la relation \boxed{\ [w,\, gv]\,[v,\, fu]\,[w,\, gfu]^{-1} = 1\ } ,

Pour l'expliciter, considérons de façon générale

\begin{tikzcd} e \arrow[r, "\lambda", bend left=25] \arrow[r, "\mu"', bend right=25] & \xi = a\sigma \end{tikzcd}

donc e = a\sigma\lambda = a\sigma\mu, i.e. \boxed{\ \sigma\lambda \overset{R}{\sim} \sigma\mu \overset{R}{\sim} \psi\ } , et choisissons \lambda', \mu' \in M tels que \lambda\lambda' = \mu\mu' \overset{\text{déf}}{=} \pi, de sorte qu'on a un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} & e \arrow[dr, "\lambda"] \\ \eta \arrow[ur, "\lambda'"] \arrow[dr, "\mu'"'] & & \xi \\ & e \arrow[ur, "\mu"'] \end{tikzcd}

donc \eta = \begin{cases} e\lambda' = a\sigma\lambda\lambda' = a\sigma\pi \\ e\mu' = a\sigma\mu\mu' = a\sigma\pi \end{cases}

sur le feuillet l'accolade se referme entre les signes « = » et les produits \lambda\lambda', \mu\mu', qui y sont mis en facteur

On va ~~choisir~~ prendre une flèche e \xrightarrow{\ \nu\ } \eta , i.e. \nu \in M tel que

sa pagination : p. 9

e = \eta\nu = a\sigma\pi\nu, i.e. tel que \boxed{\ \sigma\pi\nu \overset{R}{\sim} \psi\ } \qquad\text{où } \pi = \lambda\lambda' = \mu\mu' .

Alors on a \begin{cases} \lambda'\nu,\ \mu'\nu \in M_0 \\ \lambda(\lambda'\nu) = \mu(\mu'\nu) \end{cases}

entre \lambda'\nu et \mu'\nu une esperluette est biffée

d'où [\mu,\lambda] = (\mu'\nu)(\lambda'\nu)^{-1} .

L'existence de \nu, satisfaisant (\sigma\pi)\nu \overset{R}{\sim} \psi, est garantie par (A) : on obtient (pour tout u \in M) un \theta(u) tel que u\,\theta(u) \overset{R}{\sim} \psi, et on prendra ici \nu = \theta(\sigma\pi). Donc on a [\mu,\lambda] = \bigl(\mu'\,\theta(\sigma\pi)\bigr)\bigl(\lambda'\,\theta(\sigma\pi)\bigr)^{-1} où \lambda', \mu' \in M sont tels que \lambda\lambda' = \mu\mu'\ (\overset{\text{déf}}{=} \pi), et \sigma \in M tel que \xi = a\sigma.

Je crois que je vais craquer, et restreindre la généralité, en supposant que \psi est un objet minimal (ce qui implique (A)), de sorte que pour tout u il existe \theta(u) tel que u\,\theta(u) = \psi \qquad \text{(plus seulement } \overset{R}{\sim} \psi\text{)} ; dans ce cas on peut prendre \lambda' = \theta(\lambda), \mu' = \theta(\mu), et on aura \lambda\lambda' = \mu\mu' \overset{\text{déf}}{=} \pi = \psi.

sa pagination : p. 10

[\mu,\lambda] = \bigl(\underbrace{\theta(\mu)\,\theta(\sigma\psi)}_{\in M_0}\bigr) \bigl(\underbrace{\theta(\lambda)\,\theta(\sigma\psi)}_{\in M_0}\bigr)^{-1}

On aussi les quantités analogues qui figurent dans les relations de la

la ligne porte ensuite deux signes que l'on peut lire \forall\,\exists, puis « 8 : » — vraisemblablement un renvoi à sa page 8, le feuillet 26, où la relation est posée

\begin{array}{l} [w,\, gv] = \bigl(\theta(w)\,\theta(\rho\psi)\bigr)\bigl(\theta(gv)\,\theta(\rho\psi)\bigr)^{-1} \\ {}[v,\, fu] = \bigl(\theta(v)\,\theta(\rho g\psi)\bigr)\bigl(\theta(fu)\,\theta(\rho g\psi)\bigr)^{-1} \\ {}[w,\, gfu] = \bigl(\theta(w)\,\theta(\rho\psi)\bigr)\bigl(\theta(gfu)\,\theta(\rho\psi)\bigr)^{-1} \end{array}

La relation devient dès lors \boxed{\ \bigl(\theta(gv)\,\theta(\rho\psi)\bigr)^{-1} \bigl(\theta(v)\,\theta(\rho g\psi)\bigr) \bigl(\theta(fu)\,\theta(\rho g\psi)\bigr)^{-1} \bigl(\theta(gfu)^{-1}\,\theta(\rho\psi)\bigr) = 1\ }

le dernier facteur est renvoyé à la ligne du dessous : le « -1 » y est porté juste après la parenthèse qui ferme \theta(gfu), et la parenthèse ouvrante du facteur n'est pas refermée sur le feuillet. La règle de composition de ses p. 9-10 donnerait ici \bigl(\theta(gfu)\,\theta(\rho\psi)\bigr), sans exposant

( N.B. w y a disparu sans laisser de traces. ) En fait, on a besoin de s'en un peu plus, pour ;

sa pagination : p. 11

On va supposer

ce qui implique

(D) \boxed{\ \psi \overset{R}{\sim} 1\ } i.e. \exists\, \alpha,\beta \in \mathbb{N} \boxed{\ \varphi^{\alpha}\psi = \varphi^{\beta}\ }

la lettre entourée se lit mal ; la suite (A), (B), (C) des conditions donne (D)

Dans les relations \rho g f u \overset{R}{\sim} \rho g v \overset{R}{\sim} \rho w \overset{R}{\sim} \psi équivalent : \rho g f u \overset{R}{\sim} \rho g v \overset{R}{\sim} \rho w \overset{R}{\sim} 1 i.e. : \boxed{\ \rho g f u,\ \rho g v,\ \rho w \in M_0\ }

(Que w ait disparu de la relation fondamentale ne doit pas nous inquiéter, c'est une relation en ~~f, \psi, g, q~~ \rho, f, g, u, v, et on peut poser w = gv, de sorte qu'il ne reste, comme conditions sur ces cinq variables ou quantités, que \underbrace{\rho g f u}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \pi},\qquad \underbrace{\rho g v}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \pi'} \ \in M_0 , donc on trouve deux éléments \pi, \pi' \in M_0.

la parenthèse ouverte à « (Que w ait disparu » n'est pas refermée. \pi est ici redéfini : au feuillet 26 il désignait \lambda\lambda' = \mu\mu'

Ceci posé, on trouve les relations

sa pagination : p. 12

\pi\bigl(\underbrace{\theta(gv)\,\theta(\rho\psi)}_{c_1}\bigr) = \pi\bigl(\underbrace{\theta(v)\,\theta(\rho g\psi)}_{c_2}\bigr) = \psi \pi'\bigl(\underbrace{\theta(fu)\,\theta(\rho g\psi)}_{c_3}\bigr) = \pi'\bigl(\underbrace{\theta(gfu)\,\theta(\rho\psi)}_{c_4}\bigr) = \psi

les deux lignes sont réunies par une accolade sur le feuillet, et sous le premier \pi il rappelle, en le soulignant d'un double trait, \pi = \rho g f u

d'où \begin{array}{l} \delta(c_1) = \delta(c_2) = \delta(\psi) - \delta(\pi) \\ \delta(c_3) = \delta(c_4) = \delta(\psi) - \delta(\pi') \end{array} d'où \delta_0\bigl(c_1 c_2^{-1} c_3 c_4^{-1}\bigr) = \underbrace{\bigl(\delta(c_1) - \delta(c_2)\bigr)}_{0} + \underbrace{\bigl(\delta(c_3) - \delta(c_4)\bigr)}_{0} = 0 donc ~~G_0 \xrightarrow{\ \delta\ }~~ \delta_0 : G_0 \longrightarrow \mathbb{Z} se factorise en un homomorphisme surjectif \delta'_0 : \pi_1(X,e) \longrightarrow \mathbb{Z} .

sa pagination : p. 13

En résumé :

Proposition 2. Soient M un monoïde, ~~et supposons~~ \varphi et \psi deux éléments de M. On suppose :

a) \psi est un élément minimal de M, i.e. pour tout u \in M, existe \theta(u) \in M avec \psi = u\,\theta(u). (Donc M, i.e. Y = B_M, est pseudo-cofiltrant, i.e. Y^\wedge est loc. irréductible.)

b) \psi \overset{R_\varphi}{\sim} 1 pour la relation d'équivalence R_\varphi définie par \varphi \bigl(u \overset{R_\varphi}{\sim} v \iff \exists\, p,q \in \mathbb{N} \ \ill{}\ \varphi^{p}u = \varphi^{q}v\bigr), i.e. \exists\, \alpha,\beta \in \mathbb{N} \varphi^{\alpha}\psi = \varphi^{\beta}~~\psi~~.

c) Si r,s \in \mathbb{N} sont tels que \varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi, alors r = s.

Soit Y = B_M, F = M/R_\varphi considéré comme M-ensemble, donc i.e. comme objet de Y^\wedge, X = Y_{/F}. Alors l'objet e = \dot{1} de X est à la fois le plus ~~petit~~ grand et un plus petit élément de X. De plus, ~~\pi_1(X,e)~~ il existe un homomorphisme surjectif \pi_1(X,e) \longrightarrow \mathbb{Z} , en particulier X n'est pas 1-connexe.

sa pagination : p. 14

Corollaire. Supposons que M soit isomorphe, soit au monoïde \mathrm{Ep}(E) où E est un ens. infini, soit au monoïde opposé : \mathrm{Mon}(E), où E un ens. infini.

ni \mathrm{Ep}(E) ni \mathrm{Mon}(E) ne sont définis ici ; le feuillet 36 emploie \mathrm{Ep}(M_0) pour un monoïde d'applications M_0 \to M_0

Alors M est pseudo-cofiltrant (il admet des éléments minimaux, mais les vérifiant la loi fuf = uf \Longrightarrow u = v), Y = B_M est 1-connexe, mais il existe F \in \mathrm{Ob}\,Y^\wedge tel que X = Y_{/F} soit 0-connexe et non 1-connexe.

Pour ceci, il suffit de prendre ~~pour~~ la construction de la proposition, en prenant ~~pour~~ \psi = \varphi n'importe quel objet minimal de M. Il suffit de vérifier qu'on ne peut avoir \varphi^{r} = \varphi^{s} avec r \ne s. Mais si r = s+h, h > 0, on aurait \varphi^{h}\varphi^{s} = \mathrm{id}\cdot\varphi^{s}, donc \varphi serait inversible.

le premier exposant peut aussi se lire p ; c'est la condition « avec r \ne s » qui a fixé la lecture

N.B. \varphi^{h} = 1,

sa pagination : p. 15

Mais un élément inversible ne peut être minimal. En effet, on aurait pour tout u \in M un u' \in M tel que \varphi = uu', et en posant v = u'\varphi^{-1}, on aurait uv = 1 ; montrons que l'on aurait aussi p \overset{\text{déf}}{=} vu = 1 , en effet on a p^{2} = p, i.e. p\cdot p = \mathrm{id}\cdot p dans M, p = \mathrm{id}. Donc tous les objets de M seraient inversibles, i.e. M serait un groupe, ce qui n'est pas le cas.

N.B. Considérons ~~une partie~~ (sous-M-ensemble : idéaux à droite) F de M, donc F regardés comme des objets de Y^\wedge (Y = B_M), d'où une X = Y_{/F}. On peut montrer et pourtant les X sont tous 1-connexes, que j'ai un peu mal à construire un F 0-connexe qui ne soit 1-connexe !

les feuillets 35 et 36 sont reliés dans l'ordre inverse du sien : le feuillet 36 porte « 15 bis » et s'arrête au milieu d'une phrase que le feuillet 35, numéroté « 16 », reprend. Le raisonnement se lit donc 33, 36, 35, 37, 39

sa pagination : p. 16 ; ce feuillet reprend la phrase interrompue au bas du feuillet 36, numéroté « 15 bis »

\overline{\varphi}^{\,h} = 1, donc \overline{\varphi} est inversible. Mais alors \overline{\psi} \overset{\text{déf}}{=} \overline{\varphi}^{\,\beta} est inversible (cet d'ordre fini), et d'autre part il est minimal comme image de \overline{\varphi}^{\,\beta} qui est minimal. ~~Ainsi~~

Mais si dans un monoïde \overline{M} on a la loi \bigl[\ \bar{u}\bar{f} = \bar{v}\bar{f} \Longrightarrow \bar{u} = \bar{v}\ \bigr], on a un élément minimal et inversible, que \overline{M} est un groupe. Car \forall\, u \in \overline{M}, \exists\, v \in \overline{M} tels que \sigma = uv, i.e. u(v\sigma^{-1}) = 1, et alors p = vu satisfait p^{2} = p ~~donc~~ p\cdot p = 1\cdot p, i.e. p = 1, donc u est inversible.

dans « p \cdot p = 1 \cdot p », le 1 est écrit par-dessus un \mathrm{id} biffé

On a prouvé :

Proposition 3. Soit M un monoïde ayant un ~~objet~~ élément minimal \psi, et soit \varphi \in M tel qu'il existe \beta \in \mathbb{N} avec \varphi^{\beta} minimal (et pas exact que \varphi minimal , par ex. \varphi = \psi). S'il existe r,s \in \mathbb{N} avec r \ne s et \varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi,

l'énoncé s'arrête là : le bas du feuillet est occupé par une grande boucle et la conclusion manque

sa pagination : « 15 bis » ; ce feuillet précède, dans son ordre, celui qui porte le numéro 16 (feuillet 35)

le feuillet s'ouvre sur une ligne entièrement biffée, où l'on reconnaît la relation du feuillet 28 recopiée avec \alpha à la place de \theta : (\alpha w)^{-1}(\alpha gv)(\alpha gv)^{-1}(\alpha gfu)\bigl((\alpha w)^{-1}(\alpha gfu)\bigr)^{-1} = 1

(0) M pseudo-cofiltr. , i.e. \forall\, u,v \exists\, u',v' uu' = vv'

(1) \forall\, u, \exists\, u' tel que uu' \overset{R}{\sim} \psi, i.e. \exists\, p,q \in \mathbb{N} tels que \varphi^{p}uu' = \varphi^{q}\psi

(2) \exists\ a \xrightarrow{\ \lambda\ } e = a\psi, i.e. \exists\, \lambda tel que \psi\lambda \overset{R}{\sim} 1, i.e. \exists\, \alpha,\beta \in \mathbb{N} tels que \boxed{\ \varphi^{\alpha}\psi\lambda = \varphi^{\beta}\ }

[ N.B. Si \psi est minimal, alors (0) et (1) sont satisfaits, et (2) est satisfait ssi \exists\, \beta \in \mathbb{N} tel que \varphi^{\beta} soit minimal (. Il pour un tel \beta, \exists\, \lambda \in M ) pour un tel \beta, tel que \psi\lambda = \varphi^{\beta} ]

(3) \forall\, r,s \in \mathbb{N} avec \varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi, on a r = s.

[ N.B. Si \psi est minimal, alors la relation R_0 : \qquad u \overset{R_0}{\sim} v \iff u\psi = v\psi est aussi la relation d'équivalence définie par l'application \begin{array}{rcl} M &\longrightarrow& \mathrm{Ep}(M_0) \\ u &\longmapsto& u_{M_0} = \bigl(\lambda \mapsto u\lambda : M_0 \to M_0\bigr) \end{array} (puisque u\psi = v\psi \Longrightarrow u\psi\alpha = v\psi\alpha \forall\, \alpha \in M, or \psi M = M_0, i.e. l'ens. des \psi\alpha est l'ens. des \lambda \in M_0). Soit \overline{M} \simeq M/R_0 \subset \mathrm{Ep}(M_0) le monoïde image. ~~Ainsi~~ C'est un monoïde dans lequel on a : \bar{u}\bar{f} = \bar{v}\bar{f} \Longrightarrow \bar{u} = \bar{v}, et il est pseudo-cofiltrant, comme image de M. (X n'est filtrant que s'il est réduit à 1.) Ainsi la relation \varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi dans (3) équivaut à \overline{\varphi}^{\,r} = \overline{\varphi}^{\,s}, et \overline{\varphi} est l'image de \varphi dans \overline{M}. Si on a r = s+h, h \ge 1, :

sa pagination : p. 17

donc l'image \overline{M} de M dans \mathrm{Ep}(E) (E = ens. des éléments minimaux de M) est un groupe. Donc si Y = B_M est 1-connexe, ce groupe est réduit à \{1\}, ce qui signifie que pour \lambda \in E (p. ex. pour \lambda = \psi), et u \in M, i.e. u\lambda = \lambda, ce qui implique que M est cofiltrant.

la lettre E est tracée d'un double trait sur le feuillet

Dans le cas contraire (\varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi \Longrightarrow r = s) immédiat dans \overline{M}, prenant la relation d'équivalence R_\varphi ~~définie~~ par u \overset{R_\varphi}{\sim} v \iff \exists\, p,q \in \mathbb{N} \ \text{avec}\ \varphi^{p}u = \varphi^{q}v , et le quotient F = M/R_\varphi, considéré comme M-ens. à droite (pseudo-cofiltrant) i.e. comme objet de Y^\wedge, alors Y_{/F} est 0-connexe (tous ses objets sont équivalents), mais elle n'est pas 1-connexe, plus précisément son groupe fondamental est isomorphe à \pi_1(M_0), où M_0 = \{\, f \in M \mid \psi f \overset{R_\varphi}{\sim} \psi \,\} , et admet un groupe quotient isomorphe à \mathbb{Z}, à savoir : l'homomorphisme surjectif \pi_1(M_0) = G_0 \xrightarrow{\ \delta_0\ } \mathbb{Z} défini sur M_0 par \delta(f) = q - p \qquad \text{si } \varphi^{p}\psi f = \varphi^{q}\psi .

[ N.B. On comme \psi \in M_0, on a \varphi\psi \in M_0, donc \exists\, f tel que \psi f = \varphi\psi, et donc f \in M_0 et \delta(f) = 1 ] Donc on a H^{1}(X,\mathbb{Z}) \ne 0.

sa pagination : p. 18

~~Donc~~ Ainsi

Corollaire. Soit M un monoïde ayant un objet minimal. Si ~~M n'est pas~~ Y = B_M est tel que tous les objets 0-connexes de Y^\wedge sont 1-connexes (ou simplement, que leur H^{1}(X,\mathbb{Q}) = 0), donc M est cofiltrant.

Théorème. Soit X ~~une catégorie~~ \in \mathrm{Cat} pseudo-cofiltrante vérifiant : les objets 0-connexes de X^\wedge (hyp. vérifiée si les objets 0-connexes de sont 1-connexes, ou seulement il existe un groupe abélien h \ne 0 tel que pour H^{1}(F,h) \ne 0).

On suppose que X admet ~~des objets~~ un plus ~~grand~~ petit objet e, et que X_{/e} (qui est pseudo-cofiltrant) en admet un également, i.e. ce qui revient au même, que le monoïde M = \mathrm{End}_X(e) admet un ~~objet~~ élément minimal \varphi. (N.B. cette hypothèse de minimum est satisfaite si \mathrm{Ob}\,X et M = \mathrm{End}_X(e) sont finis, en particulier si X est fini.)

dans « M = \mathrm{End}_X(e) », un premier « End » est biffé et récrit

Considérons l'opération de \mathbb{N} sur e (identifié à un objet de X^\wedge) définie par \varphi. \mathbb{N} opère par \varphi, et distinguons deux cas :

a) Cette opération se fait « sans pts fixes », i.e. \mathbb{N} \times e \longrightarrow e \times e ,\qquad (n,u) \longmapsto (\varphi^{n}u,\, u) est mono. Il revient au de dire que pour