Fonds Grothendieck, cote n° 158, pages 1–20

Feuillets d'essai : la catégorie \widetilde{\pi}\backslash B

les trois titres de sections sont de l'édition : aucun feuillet de ce lot ne porte de titre de lui

feuillet d'essai, sans phrase suivie : la prose de liaison est ici compressée et ce qui ne porte pas est laissé

X topos loc. connexe, \pi = \pi_{0} \circ \mathrm{P} :

\begin{tikzcd} B \arrow[r, "\mathrm{P}"] \arrow[rr, bend right=35, "\pi"'] & X \arrow[r, "\pi_{0}"] & (\mathrm{Ens}) \end{tikzcd}

stable par \varprojlim de type \Phi \Phi-exact à g.

\mathrm{Hom}(G, F^{I}) = \mathrm{Hom}\bigl(I, \mathrm{Hom}(G,F)\bigr)

\begin{tikzcd} Z \arrow[r, "i"] \arrow[dr, "p"'] & C \arrow[r, "\overline{\mathrm{P}}"] \arrow[d, "q"] & X \\ & B \arrow[u, dashed, "\sigma"'] & \end{tikzcd}

\overline{\mathrm{P}} \Phi-exact à g. ?

\mathrm{P}(b,E) = \widetilde{E}, \mathfrak{P}\bigl(\pi_{0}(\mathrm{P}(b))\bigr) \simeq ens. des de \mathrm{P}(b)

~~(b_{i}, E_{i})~~

\mathrm{P}(b,E) \times \mathrm{P}(b',E') = \coprod_{(z,z') \in E \times E'} \widetilde{z} \times \widetilde{z}'

avec \widetilde{z} \subset \pi(b), \widetilde{z}' \subset \pi(b'), donc \subset \pi(b) \times \pi(b') = \pi(b \times b'), puis \times\,(E \times E').

\begin{tikzcd} C_{c_{\infty}} \arrow[r, "u'_{i*}"] & C_{b_{i}} \end{tikzcd}

c_{\infty} \longrightarrow u'^{\,*}_{i}(c_{i})

~~\pi(b) \longrightarrow \pi(b')~~

\begin{tikzcd} E \arrow[r, "u"] \arrow[d] & E' \arrow[d] \\ \mathfrak{P}^{*}(E) \arrow[r] & \mathfrak{P}^{*}(E') \end{tikzcd}

u(F) \subset F' \quad \Longleftrightarrow \quad F \subset u^{-1}(F')

\coprod_{z \in E} z \ \times \coprod_{z' \in E'} z' = \coprod_{(z,z') \in E \times E'} z \times z'

produits pris dans Z^{\wedge} ; z \in E \subset \pi(b), la lettre \pi étant ici écrite sur une lettre biffée

toute la moitié inférieure du feuillet est annulée par deux longs traits diagonaux ; ce qui subsiste sous les traits est la même construction du produit, reprise et abandonnée

~~z au-dessus de b, z' au-dessus de b', b \times b' avec ses deux projections, z \times z', (b \times b') \times {} (produits cartésiens)~~

\begin{tikzcd} B \arrow[r, "\pi"] \arrow[rr, bend right=35, "\widetilde{\pi}"'] & (\mathrm{Ens}) \arrow[r, "\mathfrak{P}^{*}"] & (\mathrm{Ord}) \end{tikzcd}

C = \widetilde{\pi}\backslash B, avec un foncteur fidèle vers B :

\mathrm{Hom}_{C}\bigl((b,E),(b',E')\bigr) \hookrightarrow \mathrm{Hom}_{B}(b,b')

où E \in \widetilde{\pi}(b) = \mathfrak{P}^{*}(\pi(b)) et E' \in \mathfrak{P}^{*}(\pi(b')) = \widetilde{\pi}(b'), l'image étant

\{\, u : b \to b' \ \mid \ \widetilde{\pi}(u)(E) \subset E' \,\}

N.B. \widetilde{\pi}\backslash B est la cat. cofibrée sur B définie par le foncteur composé \widetilde{\pi} : B \to (\mathrm{Ord}) \to (\mathrm{Cat}), i \mapsto c_{i} = (b_{i}, E_{i}).

b = \varprojlim b_{i} \longrightarrow b_{i}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] c \arrow[r, "\mathrm{cocart}"] \arrow[rr, bend left=30, "v_{i}"] & u_{\infty*}(c) = c_{\infty} \arrow[r, "w_{i}"] & c_{i} = (b_{i},E_{i}) \\ b \arrow[r, "u_{\infty}"] \arrow[rr, bend right=30, "u_{i}"'] & b_{\infty} = \varprojlim b_{i} \arrow[r, "u'_{i}"] & b_{i} \end{tikzcd}

w'_{i*}(c_{\infty}) \longrightarrow {}\xi_{i} dans C_{b_{i}}.

\widetilde{\pi}\backslash B \ \simeq \ B/\widetilde{\pi} \ = \ C, \qquad \pi\backslash B \ = \ Z

Z est coétale sur B ; la mention est portée le long de la flèche verticale

C \longrightarrow Z^{\wedge}, \qquad (b,E) \longmapsto \coprod_{z \in E} z

~~\mathfrak{P}(Z_{b})~~

Pour (b,E) \longrightarrow (b',E'), avec E \subset Z_{b} \longrightarrow Z_{b'} \supset E' au-dessus de u : b \to b', on obtient

u^{E,E'}_{*} : \widetilde{E} \longrightarrow \widetilde{E}', \qquad \widetilde{E} = \coprod_{z \in E} z, \qquad z \longmapsto \widetilde{z}'

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] Z \arrow[r, "i"] \arrow[d, "p"'] \arrow[rr, bend left=30, "\mathrm{cocart}"] & C \arrow[r, "\varphi"] \arrow[dl, "q"] & Z^{\wedge} \arrow[d, "p_{!}"] \\ B \arrow[rr, "c_{B}"'] & & B^{\wedge} \end{tikzcd}

sur le feuillet, p est annoté « cofibré » et q « cofibré et fibré »

(b,E) \times (b',E') = \bigl(b \times b',\ p_{1}^{*}(E) \cap p_{2}^{*}(E')\bigr)

Objets 0-connexes et 1-connexes ; le morphisme f : Y^{\wedge} \to Z^{\wedge}

à partir d'ici et jusqu'au feuillet 15 court sa propre pagination, de 1 à 9, portée en tête des feuillets 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 et 15 ; le feuillet 7 s'intercale sans numéro

sa p. 1

X \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat}) tel que tout objet 0-connexe de X^{\wedge} soit 1-connexe. F \in \mathrm{Ob}\,X^{\wedge}, U = \mathrm{Im}(F \to e_{X^{\wedge}}). Donc

F \in \mathrm{Ob}\,X^{\wedge}/U \simeq (X/U)^{\wedge} = Y^{\wedge},

et, plus précisément, F \to e_{Y^{\wedge}} épi.

Y est posé sous l'accolade comme nom de X/U

Soit \widetilde{\Delta} = cat. des ens. finis de la forme

\widetilde{\Delta}_{n} = [0,n] \cap \mathbf{Z}

(équivalente à la cat. des ens. finis non vides). Le foncteur I \mapsto \pi_{0}(F^{I}) : \widetilde{\Delta}^{\,\circ} \longrightarrow (\mathrm{Ens}), soit \pi_{F} = \pi \in \widetilde{\Delta}^{\wedge} :

\pi(I) = \pi_{0}(F^{I}), \qquad \text{i.e.} \qquad \pi(\widetilde{\Delta}_{n}) = \pi_{0}(F^{\,n+1}).

Je vais définir un foncteur

\varphi : (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ} \longrightarrow Y^{\wedge} \simeq (X/U)^{\wedge} \simeq X^{\wedge}/U .

Un objet de \widetilde{\Delta}_{/\pi} est un couple (\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha), où \alpha \in \pi(\widetilde{\Delta}_{n}) = \pi_{0}(F^{\,n+1}) ; on pose

\varphi(\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha) = \alpha \subset F^{\,n+1}

\alpha désigne ici la composante connexe de F^{\,n+1}

comme F, ses les F^{I} sont des X^{\wedge}/U \simeq Y^{\wedge}, de même de \alpha.

Une flèche de \widetilde{\Delta}_{/\pi}, de (\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha) vers (\widetilde{\Delta}_{m}, \beta), est formée d'une flèche \rho : \widetilde{\Delta}_{n} \to \widetilde{\Delta}_{m} telle que \rho^{*}_{\pi}(\beta) = \alpha, où \rho^{*}_{\pi}(\beta) \overset{\text{déf}}{=} \pi(\rho)(\beta). Or

la flèche est nommée f à sa première mention et \rho partout ensuite ; la variante est sur le feuillet et n'est pas corrigée ici

feuillet non numéroté par lui, intercalé entre ses pages 1 et 2, et barré de deux longs traits diagonaux : c'est une première mouture, abandonnée, du début repris au feuillet 6

X \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat}) tel que les objets 0-conn. de X^{\wedge} soient 1-connexes. F \in \mathrm{Ob}\,X^{\wedge}, d'où I \mapsto F^{I} sur \widetilde{\Delta}^{\,\circ}, les ens. finis non vides, d'où

\begin{tikzcd} (\widetilde{\Delta}^{\,\circ})^{\wedge} \arrow[r] & X^{\wedge} \end{tikzcd}

foncteur qui commute aux \varinjlim, avec (\widetilde{\Delta}^{\,\circ})^{\wedge} = \mathrm{Hom}(\widetilde{\Delta}, (\mathrm{Ens})) = \widetilde{\Delta}^{\wedge}.

Soit U \subset e_{X^{\wedge}} l'image de F \to e_{X^{\wedge}} ; alors \widetilde{\Delta}^{\,\circ} \longrightarrow X^{\wedge} se factorise par (X/U)^{\wedge}, d'où

\widetilde{\Delta}^{\wedge} \longrightarrow (X/U)^{\wedge} \simeq X^{\wedge}/U

en marge, le morphisme de topos X^{\wedge}/U \to X^{\wedge}

~~commute aux \varinjlim plus \varprojlim~~

\begin{tikzcd} Y^{\wedge} \arrow[r, "f"] & Z^{\wedge} \end{tikzcd}

f^{*}(G^{\Psi}) = f^{*}(G)^{\,f^{*}(\Psi)}

sa p. 2

\rho définit \rho^{*} : F^{\widetilde{\Delta}_{m}} \longrightarrow F^{\widetilde{\Delta}_{n}}, et la relation \rho^{*}_{\pi}(\beta) = \alpha signifie que \rho^{*}|\beta se factorise par \alpha, i.e. \rho^{*} induit

\varphi(\rho) : \beta \longrightarrow \alpha, \qquad \beta = \varphi(\widetilde{\Delta}_{m}, \beta), \qquad \alpha = \varphi(\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha).

sur le feuillet, les deux identifications sont portées en doubles barres verticales sous \beta et sous \alpha

On a ainsi défini une loi fonctorielle \varphi. Le foncteur \varphi se prolonge par continuité en

\Phi : \bigl((\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\bigr)^{\wedge} \longrightarrow Y^{\wedge}, \qquad \bigl((\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\bigr)^{\wedge} = (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\wedge} = Z^{\wedge},

foncteur commutant aux \varinjlim quelconques. Ce foncteur est exact, d'où qu'il correspond à un morphisme de topos

f : Y^{\wedge} \longrightarrow Z^{\wedge} \qquad \bigl(\text{où } Z \overset{\text{déf}}{=} (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\bigr).

— note portée en diagonale dans le coin inférieur gauche, dont seuls « c'est ici », « les foncteurs qui interviennent » et « qu'on pourrait » se laissent lire une fois le feuillet tourné

sa p. 3

Ce morphisme est W_{0}-asphérique, i.e. pour tout z \in \mathrm{Ob}\,Z, son image inverse f^{*}(z) = \Phi(z) (= \alpha, si z = (\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha)) est 0-connexe, ce qui implique que pour tout G \in \mathrm{Ob}\,Z^{\wedge} qui est 0-connexe, f^{*}(G) est 0-connexe. (Pour le voir, on peut utiliser le fait que f^{*} = \Phi commute aux produits fibrés, ou tout au moins aux intersections de sous-objets.)

Si on fait appel maintenant à l'hyp. que les objets 0-connexes de X^{\wedge} (donc aussi ceux du topos induit Y^{\wedge}) sont 1-connexes, il s'ensuit que f est W_{1}-asphérique, plus précisément : ~~i.e.~~ que pour tout ~~Pour tout~~ G \in \mathrm{Ob}\,Z^{\wedge} qui est 0-connexe, f^{*}(G) est 1-connexe.

Mais dans, c'est un morphisme Y^{\wedge}/f^{*}(G) \longrightarrow Z^{\wedge}/G 0-connexes, la source 1-connexe, c'est exact. Donc tout objet 0-connexe de Z^{\wedge} est 1-connexe.

sa p. 4

Mais je conjecture que l'on devrait avoir ceci :

Lemme (?) Soient \pi \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{\Delta}^{\wedge}, Z = (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ} , et supposons que

a)tout objet 0-connexe de Z^{\wedge} soit 1-connexe, b)\pi(\widetilde{\Delta}_{0}) est ponctuel ;

alors \pi \simeq e_{\widetilde{\Delta}^{\wedge}}, i.e. \pi_{n} = \pi(\widetilde{\Delta}_{n}) est un pt pour tout n \in \mathbf{N}.

Vu ce qui précède, cela implique que

Corollaire 1 Soit X un objet de (\mathrm{Cat}) tel que tout objet de X^{\wedge} qui est 0-connexe soit 1-connexe. Alors pour tout objet 0-connexe F de X^{\wedge}, les produits cartésiens F^{n} (n \geq 1) soient 0-connexes, en particulier F \times F est 0-connexe.

Vu ~~le fait~~ qu'on sait déjà que ~~l'hyp. implique~~ X^{\wedge} est loc. indécomposable (i.e. X est localement PS 1), on voit que X^{\wedge} 0-connexe, i.e. X loc. 0-connexe, donc

Corollaire 2 L'hyp. du cor. 1 implique que X est loc. cofiltrant (et inversement, bien ), i.e. les comp. connexes sont cofiltrantes.

sa p. 5

A \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat}) il ajoute : « je pense en ce A = \widetilde{\Delta} », \pi \in \mathrm{Ob}\,A^{\wedge},

Z = (A_{/\pi})^{\circ} \simeq \pi\backslash A^{\circ} = \pi\backslash B, \qquad \pi : A^{\circ} \longrightarrow (\mathrm{Ens}), \quad B = A^{\circ}.

On s'intéresse à Z^{\wedge}, et à la sous-catégorie pleine de Z^{\wedge} engendrée par les \varprojlim finies, engendrée par Z. J'ai vu que les candidats sont ceux-ci : considérons Z_{b} \simeq \pi(b) pour tout b \in \mathrm{Ob}\,B, et pour toute partie non vide E de \pi(b), E \in \mathfrak{P}^{*}(\pi(b)), considérons l'élément

\widetilde{E} = \coprod_{a \in E} a \qquad \text{(somme prise dans } Z^{\wedge}\text{)}.

Si u : b \longrightarrow b' dans B, ~~on a~~

u_{*} = \pi(u) : Z_{b} \longrightarrow Z_{b'}, \qquad Z_{b} = \pi(b), \quad Z_{b'} = \pi(b'),

et si E \subset Z_{b}, E' \subset Z_{b'} sont tels que u_{*}(E) \subset E', alors u induit

u^{E,E'}_{*} : \widetilde{E} \longrightarrow \widetilde{E}' .

Ainsi, le foncteur composé \widetilde{\pi} : b \longmapsto \mathfrak{P}^{*}(\pi(b)),

\begin{tikzcd} B \arrow[r, "\pi"] & (\mathrm{Ens}) \arrow[r, "\mathfrak{P}^{*}"] & (\mathrm{Ord}) \end{tikzcd}

définit une catégorie \widetilde{\pi}\backslash B, ~~dont~~

sa p. 6

\widetilde{\pi}\backslash B, dont les objets (i.e. \widetilde{\pi} est le foncteur composé de \widetilde{\pi} : B \to (\mathrm{Ord}) et (\mathrm{Ord}) \to (\mathrm{Ens})), mais des flèches : une flèche de (b,E) dans (b',E') (où E \in \widetilde{\pi}(b), E' \in \widetilde{\pi}(b')) est une flèche u : b \to b' telle que

\widetilde{\pi}(u)(E) \subset E' \qquad \text{(et non } \widetilde{\pi}(u)(E) = E').

(*) foncteur canonique

\widetilde{\pi}\backslash B \longrightarrow (\pi\backslash B)^{\wedge} = Z^{\wedge}, \qquad (b,E) \longmapsto \widetilde{E} = \coprod_{a \in E} a \ \subset \coprod_{a \in Z_{b}} a,

où E \in \mathfrak{P}^{*}(\pi(b)) et Z_{b} = \pi(b).

Je voudrais des conditions sur A, ou encore sur B = A^{\circ} et \pi \in \mathrm{Ob}\,A^{\wedge} = \mathrm{Ob}\,B^{\wedge}, qui assurent que le foncteur (*) soit pleinement fidèle, et pour les \varprojlim finies. Par ailleurs, il est clair que l'image essentielle contient Z. J'imagine qu'il déraisonnable de s'attendre .

sa p. 7

pleinement fidèle. Je vais prendre exigeons que ~~\mathrm{Ob}~~ \widetilde{\pi}\backslash B soit stable pour les \varprojlim finies, et que le foncteur soit .

Prenons pour \pi le foncteur constant de valeur e ; on trouve alors que

\widetilde{\pi}\backslash B \ \simeq \ \pi\backslash B \ \simeq \ B,

et les de B sont stables par \varprojlim non vides , A stables par \varprojlim finies, i.e. pour B, cela revient aux stabilités

a)par produit binaire, et b)par produit fibré binaire (ou, au choix, par noyaux des couples de flèches),

qui alors \widetilde{\pi}\backslash B est stable par les opérations.

En fait, il faudra faire une hyp. plus sur \pi, comme que C = \widetilde{\pi}\backslash B soit non seulement cofibré sur B, mais soit fibré. Cette hypothèse plusieurs de B

sa p. 8

éclaircissement. Alors, pour u : b \longrightarrow b' donné, l'~~application~~ application

u_{*} = \widetilde{\pi}(u) : \widetilde{\pi}(b) \longrightarrow \widetilde{\pi}(b'), \qquad \mathfrak{P}^{*}(\pi(b)) \longrightarrow \mathfrak{P}^{*}(\pi(b')), \qquad E \longmapsto \pi(u)(E),

le signe = de la première formule est écrit sur un symbole biffé

admet un adjoint à droite u^{*}, à savoir E' \longmapsto \pi(u)^{-1}(E'), qui transforme non vides en non vides (second si \pi(b) \longrightarrow \pi(b') surjective).

Lemme 1 Soit C \longrightarrow B un fibré dans (\mathrm{Cat}), et soit I dans (\mathrm{Cat}) telle que les \varprojlim du type I existent dans B, et dans les fibres C_{b}. Alors elles existent dans C, et C \longrightarrow B commute aux \varprojlim de type I.

Corollaire Soit \pi : B \longrightarrow (\mathrm{Ens}) un foncteur, soit

\begin{tikzcd} B \arrow[r, "\pi"] & (\mathrm{Ens}) \arrow[r, "\mathfrak{P}^{*}"] & (\mathrm{Ord}) \arrow[r, "\mathrm{can.}"] & (\mathrm{Cat}) \end{tikzcd}

le composé \widetilde{\pi}. Alors C = \widetilde{\pi}\backslash B est

sa p. 9 ; le texte s'arrête au bout de cinq lignes et le reste du feuillet est blanc

catégorie cofibrée sur B, à fibres les \widetilde{\pi}(b) = {}~~(\mathrm{Cat})~~ \mathfrak{P}^{*}(\pi(b)), définie par \widetilde{\pi}, et comme les fibres sur B, d'abord par \widetilde{\pi}, B (resp. induites) I ~~telle que~~ type de \varprojlim = est stable.

Une présentation de \pi_{1} d'une catégorie

sa p. 0

\Delta(E) = \text{groupe engendré par les } [x,y], \quad (x,y) \in E^{2},

avec les relations

[x,x] = 1, \qquad [x,y][y,x] = 1, \qquad [x,y][y,z] = [x,z].

ce \Delta est un groupe et n'a rien à voir avec le \widetilde{\Delta} des feuillets 6 à 15 ; la coïncidence de lettre est de lui

N.B. Je suppose pas que \Delta(E) est isomorphe au sous-groupe des groupes libres L(E) engendré par E, engendré par les éléments de la forme [x,y] = x^{-1}y.

Si \mathrm{card}\,E = n est fini, \Delta(E) est le groupe libre à générateurs ; si E = [1,n], il est engendré par les générateurs libres ~~E_{i}~~

g_{i} = [i, i+1] \qquad \text{pour } i \in [1, n-1].

il accompagne la formule d'une rangée de points numérotés 1, 2, 3, , n-1, n

On a alors, pour i < j,

\begin{cases} [i,j] = g_{i}\,g_{i+1} \cdots g_{j-1} \\ [j,i] = [i,j]^{-1} = g_{j-1}^{-1} \cdots g_{i+1}^{-1} g_{i}^{-1} \end{cases}

Résulte que si E est dénombrable alors \Delta(E) est un groupe libre avec un ensemble dénombrable de générateurs libres.

Soit X une catégorie ayant un plus petit objet e et un plus grand objet a. Alors \pi_{1}(X,e) est isomorphe au quotient du groupe \Delta(\mathrm{Hom}(e,a)) par les relations suivantes : pour tout système de doubles flèches

\begin{tikzcd} e \arrow[r, bend left=25, "u"] \arrow[r, bend right=25, "v"'] & x \arrow[r, bend left=25, "\alpha"] \arrow[r, bend right=25, "\beta"'] & a \end{tikzcd}

on a la relation

[\alpha v, \alpha u] = [\beta v, \beta u], \qquad \text{i.e.} \qquad [\alpha v, \alpha u]\,[\beta v, \beta u]^{-1} = 1 .

feuillet non numéroté par lui, barré de deux longs traits diagonaux : ce sont les essais pour la relation du feuillet 17, et seuls les fragments qui portent sont donnés ici

~~x = (a_{i})_{i \in I}~~ ~~X/a~~ ~~X//a_{i}~~ ~~X//a~~

\begin{tikzcd} z \arrow[r] & x \arrow[r, bend left=25] \arrow[r, bend right=25] & y \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} & a_{j} \\ a \arrow[ur] \arrow[dr] & \\ & a_{i} \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} x_{1} \arrow[r, bend left=25] \arrow[r, bend right=25] & x_{0} \end{tikzcd}

une seconde paire parallèle, de même forme mais dont les deux buts ne se lisent pas, est tracée au-dessus de celle-ci, ses flèches nommées u', v' puis u, v

H_{m,n} \times H_{n,p} \longrightarrow H_{m,p}

fu = gv, \qquad gv' = gw, \qquad fuv_{1} = gwv_{1} = gv'v'_{1} = gw\,v'_{1}

H_{x} = x/R_{x}

\begin{tikzcd} x \arrow[r] \arrow[d] & y \arrow[d] \\ H_{x} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{iso}?"] & H_{y} \\ \lbrack x \rbrack & \end{tikzcd}

sa p. 1

Proposition 1 Soit X \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat}) une catégorie pseudo-cofiltrante (\Longleftrightarrow X^{\wedge} est localement irréductible), ayant un plus petit objet e (donc X est 0-connexe). Soit X_{0} la sous-catégorie pleine réduite à e,

M = \mathrm{End}_{X}(e) = \mathrm{End}_{X_{0}}(e)

le monoïde des endomorphismes de e, et G = \pi_{1}(M) = \pi_{1}(X_{0}, e) le groupe enveloppant de M. Alors

a)L'homomorphisme canonique \pi_{1}(X_{0}, e) \longrightarrow \pi_{1}(X,e) est surjectif, ~~et pour~~ b)Pour toute double flèche de source e

\begin{tikzcd} e \arrow[r, bend left=25, "u"] \arrow[r, bend right=25, "v"'] & x \end{tikzcd}

dans X, il existe u', v' \in M tels que

uu' = vv',

et l'élément [v][u] de \pi_{1}(X,e) (image canonique des éléments e \xrightarrow{\ u\ } x \xleftarrow{\ v\ } e dans \pi_{1}(X,e)) est égale à l'image de l'élément

[v,u] \overset{\text{déf}}{=} v'u'^{-1} \in G = \pi_{1}(X_{0}, e).

De plus, ~~e est aussi objet maximal de X,~~ cet élément [v,u] ne dépend pas des choix des couples (u',v') d'éléments de M satisfaisant uu' = vv'. Plus précisément, si \alpha : x \longrightarrow e, alors u_{1} = \alpha u et v_{1} = \alpha v sont des éléments de M, et on a u_{1}u' = v_{1}v', d'où

[v,u] = v_{1}^{-1} u_{1} .

c)Pour toute double-flèche e \rightrightarrows x dans X,

sa p. 2

diviseurs u', v' dans M, tels que uu' = vv', d'où [u,v] \in G. Alors le noyau de l'homomorphisme surjectif

G = \pi_{1}(X_{0}, e) \longrightarrow \pi_{1}(X, e)

est le sous-groupe invariant de G engendré par les éléments suivants, correspondants aux diagrammes (par vice-versa nécessairement commutatifs)

\begin{tikzcd} x \arrow[r, "f"] & y \arrow[r, "g"] & z \\ & e \arrow[ul, "u"] \arrow[u, "v"] \arrow[ur, "w"'] & \end{tikzcd}

[w, gv]\,[v, fu]\,[w, gfu]^{-1} .

i.e. pour u', v', w' \in M

N.B. S'il existe \alpha : z \longrightarrow e, on voit aussitôt que cette relation est triviale. Donc si e est aussi plus grand objet de X, alors

\pi_{1}(X_{0}, e) \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ G \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \pi_{1}(X,e) \qquad \text{iso !}

l'indice du premier \pi_{1} se lit X_{0} là où l'argument demanderait X ; la lecture est douteuse et n'est pas corrigée ici

Soient M un pseudo- monoïde, R = R_{\varphi} la relation d'équivalence dans M :

u \sim_{R} v \quad \Longleftrightarrow \quad \exists\, p, q \in M

(cette relation d'équivalence à droite, donc \overset{\text{déf}}{=} M/R), M

Y = B_{M}, \qquad \varphi \in M, \qquad \varphi f u = \varphi g v ,

il écrit « coïncidences » au-dessus de M, et « stable par translation » sous la formule

X = Y/F .