Cote n° 158 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Autour des Dérivateurs] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1990-1991]
Édition de démonstration

Feuillets d'essai : la catégorie \(\widetilde{\pi}\backslash B\)

les trois titres de sections sont de l'édition : aucun feuillet de ce lot ne porte de titre de lui

1

feuillet d'essai, sans phrase suivie : la prose de liaison est ici compressée et ce qui ne porte pas est laissé […]

\(X\) topos loc. connexe, \(\pi = \pi_{0} \circ \mathrm{P}\) :

\begin{tikzcd}
B \arrow[r, "\mathrm{P}"] \arrow[rr, bend right=35, "\pi"'] & X \arrow[r, "\pi_{0}"] & (\mathrm{Ens})
\end{tikzcd}

[…] stable par \(\varprojlim\) […] de type \(\Phi\) […] \(\Phi\)-exact à g.

\[ \mathrm{Hom}(G, F^{I}) = \mathrm{Hom}\bigl(I, \mathrm{Hom}(G,F)\bigr) \]

\begin{tikzcd}
Z \arrow[r, "i"] \arrow[dr, "p"'] & C \arrow[r, "\overline{\mathrm{P}}"] \arrow[d, "q"] & X \\
 & B \arrow[u, dashed, "\sigma"'] &
\end{tikzcd}

\(\overline{\mathrm{P}}\) […] \(\Phi\)-exact à g. ?

\(\mathrm{P}(b,E) = \widetilde{E}\), \(\mathfrak{P}\bigl(\pi_{0}(\mathrm{P}(b))\bigr) \simeq\) ens. des […] de \(\mathrm{P}(b)\)

\((b_{i}, E_{i})\)

\[ \mathrm{P}(b,E) \times \mathrm{P}(b',E') = \coprod_{(z,z') \in E \times E'} \widetilde{z} \times \widetilde{z}' \]

avec \(\widetilde{z} \subset \pi(b)\), \(\widetilde{z}' \subset \pi(b')\), donc \(\subset \pi(b) \times \pi(b') = \pi(b \times b')\), puis […] \(\times\,(E \times E')\).

2

\begin{tikzcd}
C_{c_{\infty}} \arrow[r, "u'_{i*}"] & C_{b_{i}}
\end{tikzcd}

\(c_{\infty} \longrightarrow u'^{\,*}_{i}(c_{i})\) […]

\(\pi(b) \longrightarrow \pi(b')\)

\begin{tikzcd}
E \arrow[r, "u"] \arrow[d] & E' \arrow[d] \\
\mathfrak{P}^{*}(E) \arrow[r] & \mathfrak{P}^{*}(E')
\end{tikzcd}

\[ u(F) \subset F' \quad \Longleftrightarrow \quad F \subset u^{-1}(F') \]

\[ \coprod_{z \in E} z \ \times \coprod_{z' \in E'} z' = \coprod_{(z,z') \in E \times E'} z \times z' \]

produits pris dans \(Z^{\wedge}\) ; \(z \in E \subset \pi(b)\), la lettre \(\pi\) étant ici écrite sur une lettre biffée

toute la moitié inférieure du feuillet est annulée par deux longs traits diagonaux ; ce qui subsiste sous les traits est la même construction du produit, reprise et abandonnée

\(z\) au-dessus de \(b\), \(z'\) au-dessus de \(b'\), \(b \times b'\) avec ses deux projections, \(z \times z'\), \((b \times b') \times {}\) […] (produits cartésiens)

3

\begin{tikzcd}
B \arrow[r, "\pi"] \arrow[rr, bend right=35, "\widetilde{\pi}"'] & (\mathrm{Ens}) \arrow[r, "\mathfrak{P}^{*}"] & (\mathrm{Ord})
\end{tikzcd}

\(C = \widetilde{\pi}\backslash B\), avec un foncteur fidèle vers \(B\) :

\[ \mathrm{Hom}_{C}\bigl((b,E),(b',E')\bigr) \hookrightarrow \mathrm{Hom}_{B}(b,b') \]

où \(E \in \widetilde{\pi}(b) = \mathfrak{P}^{*}(\pi(b))\) et \(E' \in \mathfrak{P}^{*}(\pi(b')) = \widetilde{\pi}(b')\), l'image étant

\[ \{\, u : b \to b' \ \mid \ \widetilde{\pi}(u)(E) \subset E' \,\} \]

N.B. \(\widetilde{\pi}\backslash B\) est la cat. cofibrée sur \(B\) définie par le foncteur composé […] \(\widetilde{\pi} : B \to (\mathrm{Ord}) \to (\mathrm{Cat})\), […] \(i \mapsto c_{i} = (b_{i}, E_{i})\).

\(b = \varprojlim b_{i} \longrightarrow b_{i}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
c \arrow[r, "\mathrm{cocart}"] \arrow[rr, bend left=30, "v_{i}"] & u_{\infty*}(c) = c_{\infty} \arrow[r, "w_{i}"] & c_{i} = (b_{i},E_{i}) \\
b \arrow[r, "u_{\infty}"] \arrow[rr, bend right=30, "u_{i}"'] & b_{\infty} = \varprojlim b_{i} \arrow[r, "u'_{i}"] & b_{i}
\end{tikzcd}

\(w'_{i*}(c_{\infty}) \longrightarrow {}\)\(\xi_{i}\) dans \(C_{b_{i}}\).

4

\[ \widetilde{\pi}\backslash B \ \simeq \ B/\widetilde{\pi} \ = \ C, \qquad \pi\backslash B \ = \ Z \]

\(Z\) est coétale sur \(B\) ; la mention est portée le long de la flèche verticale

\[ C \longrightarrow Z^{\wedge}, \qquad (b,E) \longmapsto \coprod_{z \in E} z \]

\(\mathfrak{P}(Z_{b})\)

Pour \((b,E) \longrightarrow (b',E')\), avec \(E \subset Z_{b} \longrightarrow Z_{b'} \supset E'\) au-dessus de \(u : b \to b'\), on obtient

\[ u^{E,E'}_{*} : \widetilde{E} \longrightarrow \widetilde{E}', \qquad \widetilde{E} = \coprod_{z \in E} z, \qquad z \longmapsto \widetilde{z}' \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
Z \arrow[r, "i"] \arrow[d, "p"'] \arrow[rr, bend left=30, "\mathrm{cocart}"] & C \arrow[r, "\varphi"] \arrow[dl, "q"] & Z^{\wedge} \arrow[d, "p_{!}"] \\
B \arrow[rr, "c_{B}"'] & & B^{\wedge}
\end{tikzcd}

sur le feuillet, \(p\) est annoté « cofibré » et \(q\) « cofibré et fibré »

\[ (b,E) \times (b',E') = \bigl(b \times b',\ p_{1}^{*}(E) \cap p_{2}^{*}(E')\bigr) \]

Objets \(0\)-connexes et \(1\)-connexes ; le morphisme \(f : Y^{\wedge} \to Z^{\wedge}\)

à partir d'ici et jusqu'au feuillet 15 court sa propre pagination, de 1 à 9, portée en tête des feuillets 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 et 15 ; le feuillet 7 s'intercale sans numéro

6sa p. 1

\(X \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat})\) tel que tout objet \(0\)-connexe de \(X^{\wedge}\) soit \(1\)-connexe. \(F \in \mathrm{Ob}\,X^{\wedge}\), \(U = \mathrm{Im}(F \to e_{X^{\wedge}})\). Donc

\[ F \in \mathrm{Ob}\,X^{\wedge}/U \simeq (X/U)^{\wedge} = Y^{\wedge}, \]

et, plus précisément, \(F \to e_{Y^{\wedge}}\) épi.

\(Y\) est posé sous l'accolade comme nom de \(X/U\)

[…] Soit \(\widetilde{\Delta} = \) cat. des ens. finis de la forme

\[ \widetilde{\Delta}_{n} = [0,n] \cap \mathbf{Z} \]

(équivalente à la cat. des ens. finis non vides). Le foncteur \(I \mapsto \pi_{0}(F^{I}) : \widetilde{\Delta}^{\,\circ} \longrightarrow (\mathrm{Ens})\), soit \(\pi_{F} = \pi \in \widetilde{\Delta}^{\wedge}\) :

\[ \pi(I) = \pi_{0}(F^{I}), \qquad \text{i.e.} \qquad \pi(\widetilde{\Delta}_{n}) = \pi_{0}(F^{\,n+1}). \]

Je vais définir un foncteur

\[ \varphi : (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ} \longrightarrow Y^{\wedge} \simeq (X/U)^{\wedge} \simeq X^{\wedge}/U . \]

Un objet de \(\widetilde{\Delta}_{/\pi}\) est un couple \((\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha)\), où \(\alpha \in \pi(\widetilde{\Delta}_{n}) = \pi_{0}(F^{\,n+1})\) ; on pose

\[ \varphi(\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha) = \alpha \subset F^{\,n+1} \]

\(\alpha\) désigne ici la composante connexe de \(F^{\,n+1}\)

comme \(F\), ses les \(F^{I}\) sont des \(X^{\wedge}/U \simeq Y^{\wedge}\), de même de \(\alpha\).

Une flèche de \(\widetilde{\Delta}_{/\pi}\), de \((\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha)\) vers \((\widetilde{\Delta}_{m}, \beta)\), est formée d'une flèche \(\rho : \widetilde{\Delta}_{n} \to \widetilde{\Delta}_{m}\) telle que \(\rho^{*}_{\pi}(\beta) = \alpha\), où \(\rho^{*}_{\pi}(\beta) \overset{\text{déf}}{=} \pi(\rho)(\beta)\). Or

la flèche est nommée \(f\) à sa première mention et \(\rho\) partout ensuite ; la variante est sur le feuillet et n'est pas corrigée ici

7

feuillet non numéroté par lui, intercalé entre ses pages 1 et 2, et barré de deux longs traits diagonaux : c'est une première mouture, abandonnée, du début repris au feuillet 6

\(X \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat})\) tel que les objets \(0\)-conn. de \(X^{\wedge}\) soient \(1\)-connexes. \(F \in \mathrm{Ob}\,X^{\wedge}\), d'où \(I \mapsto F^{I}\) sur \(\widetilde{\Delta}^{\,\circ}\), les ens. finis non vides, d'où

\begin{tikzcd}
(\widetilde{\Delta}^{\,\circ})^{\wedge} \arrow[r] & X^{\wedge}
\end{tikzcd}

foncteur qui commute aux \(\varinjlim\), avec \((\widetilde{\Delta}^{\,\circ})^{\wedge} = \mathrm{Hom}(\widetilde{\Delta}, (\mathrm{Ens})) = \widetilde{\Delta}^{\wedge}\).

Soit \(U \subset e_{X^{\wedge}}\) l'image de \(F \to e_{X^{\wedge}}\) ; alors \(\widetilde{\Delta}^{\,\circ} \longrightarrow X^{\wedge}\) se factorise par \((X/U)^{\wedge}\), d'où

\[ \widetilde{\Delta}^{\wedge} \longrightarrow (X/U)^{\wedge} \simeq X^{\wedge}/U \]

en marge, le morphisme de topos \(X^{\wedge}/U \to X^{\wedge}\)

commute aux \(\varinjlim\) […] plus \(\varprojlim\)

\begin{tikzcd}
Y^{\wedge} \arrow[r, "f"] & Z^{\wedge}
\end{tikzcd}

\[ f^{*}(G^{\Psi}) = f^{*}(G)^{\,f^{*}(\Psi)} \]

8sa p. 2

\(\rho\) définit \(\rho^{*} : F^{\widetilde{\Delta}_{m}} \longrightarrow F^{\widetilde{\Delta}_{n}}\), et la relation \(\rho^{*}_{\pi}(\beta) = \alpha\) signifie que \(\rho^{*}|\beta\) se factorise par \(\alpha\), i.e. \(\rho^{*}\) induit

\[ \varphi(\rho) : \beta \longrightarrow \alpha, \qquad \beta = \varphi(\widetilde{\Delta}_{m}, \beta), \qquad \alpha = \varphi(\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha). \]

sur le feuillet, les deux identifications sont portées en doubles barres verticales sous \(\beta\) et sous \(\alpha\)

On a ainsi défini une loi fonctorielle \(\varphi\). Le foncteur \(\varphi\) se prolonge par continuité en

\[ \Phi : \bigl((\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\bigr)^{\wedge} \longrightarrow Y^{\wedge}, \qquad \bigl((\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\bigr)^{\wedge} = (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\wedge} = Z^{\wedge}, \]

foncteur commutant aux \(\varinjlim\) quelconques. Ce foncteur est exact, d'où qu'il correspond à un morphisme de topos

\[ f : Y^{\wedge} \longrightarrow Z^{\wedge} \qquad \bigl(\text{où } Z \overset{\text{déf}}{=} (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\bigr). \]

[…] — note portée en diagonale dans le coin inférieur gauche, dont seuls « c'est ici », « les foncteurs qui interviennent » et « qu'on pourrait » se laissent lire une fois le feuillet tourné

9sa p. 3

Ce morphisme est \(W_{0}\)-asphérique, i.e. pour tout \(z \in \mathrm{Ob}\,Z\), son image inverse \(f^{*}(z) = \Phi(z)\) (\(= \alpha\), si \(z = (\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha)\)) est \(0\)-connexe, ce qui implique que pour tout \(G \in \mathrm{Ob}\,Z^{\wedge}\) qui est \(0\)-connexe, […] \(f^{*}(G)\) est \(0\)-connexe. (Pour le voir, on [peut] utiliser le fait que \(f^{*} = \Phi\) commute aux produits fibrés, ou tout au moins aux intersections de sous-objets.)

Si on fait appel maintenant à l'hyp. que les objets \(0\)-connexes de \(X^{\wedge}\) (donc aussi ceux du topos induit \(Y^{\wedge}\)) sont \(1\)-connexes, il s'ensuit que \(f\) est \(W_{1}\)-asphérique, plus précisément : i.e. que pour tout Pour tout \(G \in \mathrm{Ob}\,Z^{\wedge}\) qui est \(0\)-connexe, \(f^{*}(G)\) est \(1\)-connexe.

Mais dans, c'est un morphisme \(Y^{\wedge}/f^{*}(G) \longrightarrow Z^{\wedge}/G\) […] \(0\)-connexes, […] la source \(1\)-connexe, […] c'est exact. Donc […] tout objet \(0\)-connexe de \(Z^{\wedge}\) est \(1\)-connexe.

10sa p. 4

Mais je conjecture que l'on devrait avoir ceci :

Lemme (?) Soient \(\pi \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{\Delta}^{\wedge}\), \(Z = (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\) […], et supposons que

• a)tout objet \(0\)-connexe de \(Z^{\wedge}\) soit \(1\)-connexe,
• b)\(\pi(\widetilde{\Delta}_{0})\) est ponctuel ;

alors \(\pi \simeq e_{\widetilde{\Delta}^{\wedge}}\), i.e. \(\pi_{n} = \pi(\widetilde{\Delta}_{n})\) est un pt pour tout \(n \in \mathbf{N}\).

Vu ce qui précède, cela implique que

Corollaire 1 Soit \(X\) un objet de \((\mathrm{Cat})\) tel que tout objet de \(X^{\wedge}\) qui est \(0\)-connexe soit \(1\)-connexe. Alors pour tout objet \(0\)-connexe \(F\) de \(X^{\wedge}\), les produits cartésiens \(F^{n}\) (\(n \geq 1\)) soient \(0\)-connexes, en particulier \(F \times F\) est \(0\)-connexe.

Vu le fait qu'on sait déjà que l'hyp. implique \(X^{\wedge}\) est loc. indécomposable (i.e. \(X\) est localement PS 1), on voit que \(X^{\wedge}\) […] \(0\)-connexe, i.e. \(X\) loc. \(0\)-connexe, donc

Corollaire 2 L'hyp. du cor. 1 implique que \(X\) est loc. cofiltrant (et inversement, bien […]), i.e. les comp. connexes […] sont cofiltrantes.

11sa p. 5

\(A \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat})\) il ajoute : « je pense en ce \(A = \widetilde{\Delta}\) », \(\pi \in \mathrm{Ob}\,A^{\wedge}\),

\[ Z = (A_{/\pi})^{\circ} \simeq \pi\backslash A^{\circ} = \pi\backslash B, \qquad \pi : A^{\circ} \longrightarrow (\mathrm{Ens}), \quad B = A^{\circ}. \]

On s'intéresse à \(Z^{\wedge}\), et à la sous-catégorie pleine de \(Z^{\wedge}\) engendrée par les \(\varprojlim\) finies, engendrée par […] \(Z\). J'ai vu que les candidats sont ceux-ci : considérons \(Z_{b} \simeq \pi(b)\) pour tout \(b \in \mathrm{Ob}\,B\), et pour toute partie non vide \(E\) de \(\pi(b)\), \(E \in \mathfrak{P}^{*}(\pi(b))\), considérons l'élément

\[ \widetilde{E} = \coprod_{a \in E} a \qquad \text{(somme prise dans } Z^{\wedge}\text{)}. \]

Si \(u : b \longrightarrow b'\) dans \(B\), on a

\[ u_{*} = \pi(u) : Z_{b} \longrightarrow Z_{b'}, \qquad Z_{b} = \pi(b), \quad Z_{b'} = \pi(b'), \]

et si \(E \subset Z_{b}\), \(E' \subset Z_{b'}\) sont tels que \(u_{*}(E) \subset E'\), alors \(u\) induit

\[ u^{E,E'}_{*} : \widetilde{E} \longrightarrow \widetilde{E}' . \]

Ainsi, le foncteur composé \(\widetilde{\pi} : b \longmapsto \mathfrak{P}^{*}(\pi(b))\),

\begin{tikzcd}
B \arrow[r, "\pi"] & (\mathrm{Ens}) \arrow[r, "\mathfrak{P}^{*}"] & (\mathrm{Ord})
\end{tikzcd}

définit une catégorie \(\widetilde{\pi}\backslash B\), dont […]

12sa p. 6

\(\widetilde{\pi}\backslash B\), dont les objets […] (i.e. \(\widetilde{\pi}\) est le foncteur composé de \(\widetilde{\pi} : B \to (\mathrm{Ord})\) […] et \((\mathrm{Ord}) \to (\mathrm{Ens})\)), mais […] des flèches : une flèche de \((b,E)\) dans \((b',E')\) (où \(E \in \widetilde{\pi}(b)\), \(E' \in \widetilde{\pi}(b')\)) est une flèche \(u : b \to b'\) telle que

\[ \widetilde{\pi}(u)(E) \subset E' \qquad \text{(et non } \widetilde{\pi}(u)(E) = E'). \]

\((*)\) foncteur canonique

\[ \widetilde{\pi}\backslash B \longrightarrow (\pi\backslash B)^{\wedge} = Z^{\wedge}, \qquad (b,E) \longmapsto \widetilde{E} = \coprod_{a \in E} a \ \subset \coprod_{a \in Z_{b}} a, \]

où \(E \in \mathfrak{P}^{*}(\pi(b))\) et \(Z_{b} = \pi(b)\).

Je voudrais des conditions sur \(A\), ou encore sur \(B = A^{\circ}\) et \(\pi \in \mathrm{Ob}\,A^{\wedge} = \mathrm{Ob}\,B^{\wedge}\), qui assurent que […] le foncteur \((*)\) soit pleinement fidèle, […] et […] pour les \(\varprojlim\) finies. Par ailleurs, il est clair que […] l'image essentielle contient \(Z\). J'imagine qu'il […] déraisonnable [de s']attendre […].

13sa p. 7

[…] pleinement fidèle. Je vais prendre exigeons que \(\mathrm{Ob}\) \(\widetilde{\pi}\backslash B\) soit stable pour les \(\varprojlim\) finies, et que le foncteur […] soit […].

Prenons pour \(\pi\) le foncteur constant de valeur \(e\) ; on trouve alors que

\[ \widetilde{\pi}\backslash B \ \simeq \ \pi\backslash B \ \simeq \ B, \]

[…] et les […] de \(B\) sont stables par \(\varprojlim\) […] non vides […], \(A\) stables par \(\varprojlim\) finies, i.e. […] pour \(B\), cela revient aux stabilités

• a)par produit binaire, et
• b)par produit fibré binaire (ou, au choix, […] par noyaux des couples de flèches),

qui alors \(\widetilde{\pi}\backslash B\) est stable par les […] opérations.

En fait, il faudra faire une hyp. plus […] sur \(\pi\), comme que \(C = \widetilde{\pi}\backslash B\) soit non seulement cofibré sur \(B\), mais […] soit fibré. Cette hypothèse […] plusieurs […] de \(B\) […]

14sa p. 8

[…] éclaircissement. Alors, pour \(u : b \longrightarrow b'\) donné, l'application application

\[ u_{*} = \widetilde{\pi}(u) : \widetilde{\pi}(b) \longrightarrow \widetilde{\pi}(b'), \qquad \mathfrak{P}^{*}(\pi(b)) \longrightarrow \mathfrak{P}^{*}(\pi(b')), \qquad E \longmapsto \pi(u)(E), \]

le signe \(=\) de la première formule est écrit sur un symbole biffé

admet un adjoint à droite \(u^{*}\), à savoir \(E' \longmapsto \pi(u)^{-1}(E')\), qui transforme […] non vides en non vides (second […] si \(\pi(b) \longrightarrow \pi(b')\) surjective).

Lemme 1 Soit \(C \longrightarrow B\) un fibré […] dans \((\mathrm{Cat})\), et soit \(I\) dans \((\mathrm{Cat})\) telle que les \(\varprojlim\) du type \(I\) existent dans \(B\), et dans les fibres \(C_{b}\). Alors elles existent dans \(C\), et \(C \longrightarrow B\) commute aux \(\varprojlim\) de type \(I\).

Corollaire Soit \(\pi : B \longrightarrow (\mathrm{Ens})\) un foncteur, […] soit

\begin{tikzcd}
B \arrow[r, "\pi"] & (\mathrm{Ens}) \arrow[r, "\mathfrak{P}^{*}"] & (\mathrm{Ord}) \arrow[r, "\mathrm{can.}"] & (\mathrm{Cat})
\end{tikzcd}

le composé \(\widetilde{\pi}\). Alors \(C = \widetilde{\pi}\backslash B\) est […]

15sa p. 9 ; le texte s'arrête au bout de cinq lignes et le reste du feuillet est blanc

[…] catégorie cofibrée sur \(B\), à fibres les \(\widetilde{\pi}(b) = {}\)\((\mathrm{Cat})\) \(\mathfrak{P}^{*}(\pi(b))\), définie par \(\widetilde{\pi}\), et […] comme les fibres sur \(B\), […] d'abord par \(\widetilde{\pi}\), […] \(B\) […] (resp. induites) […] \(I\) telle que […] type de \(\varprojlim\) […] \(=\) est stable.

Une présentation de \(\pi_{1}\) d'une catégorie

17sa p. 0

\[ \Delta(E) = \text{groupe engendré par les } [x,y], \quad (x,y) \in E^{2}, \]

avec les relations

\[ [x,x] = 1, \qquad [x,y][y,x] = 1, \qquad [x,y][y,z] = [x,z]. \]

ce \(\Delta\) est un groupe et n'a rien à voir avec le \(\widetilde{\Delta}\) des feuillets 6 à 15 ; la coïncidence de lettre est de lui

N.B. Je suppose pas que \(\Delta(E)\) est isomorphe au sous-groupe des groupes libres \(L(E)\) engendré par \(E\), engendré par les éléments de la forme \([x,y] = x^{-1}y\).

Si \(\mathrm{card}\,E = n\) est fini, \(\Delta(E)\) est le groupe libre à […] générateurs ; si \(E = [1,n]\), il […] est engendré par les générateurs libres \(E_{i}\)

\[ g_{i} = [i, i+1] \qquad \text{pour } i \in [1, n-1]. \]

il accompagne la formule d'une rangée de points numérotés \(1\), \(2\), \(3\), […], \(n-1\), \(n\)

On a alors, pour \(i < j\),

\[ \begin{cases} [i,j] = g_{i}\,g_{i+1} \cdots g_{j-1} \\ [j,i] = [i,j]^{-1} = g_{j-1}^{-1} \cdots g_{i+1}^{-1} g_{i}^{-1} \end{cases} \]

Résulte […] que si \(E\) est dénombrable alors \(\Delta(E)\) est un groupe libre avec un ensemble dénombrable de générateurs libres.

Soit \(X\) une catégorie ayant un plus petit objet \(e\) et un plus grand objet \(a\). Alors \(\pi_{1}(X,e)\) est isomorphe […] au quotient du groupe \(\Delta(\mathrm{Hom}(e,a))\) par les relations suivantes : pour tout système de doubles flèches

\begin{tikzcd}
e \arrow[r, bend left=25, "u"] \arrow[r, bend right=25, "v"'] & x \arrow[r, bend left=25, "\alpha"] \arrow[r, bend right=25, "\beta"'] & a
\end{tikzcd}

on a la relation

\[ [\alpha v, \alpha u] = [\beta v, \beta u], \qquad \text{i.e.} \qquad [\alpha v, \alpha u]\,[\beta v, \beta u]^{-1} = 1 . \]

18

feuillet non numéroté par lui, barré de deux longs traits diagonaux : ce sont les essais pour la relation du feuillet 17, et seuls les fragments qui portent sont donnés ici

\(x = (a_{i})_{i \in I}\) \(X/a\) \(X//a_{i}\) \(X//a\)

\begin{tikzcd}
z \arrow[r] & x \arrow[r, bend left=25] \arrow[r, bend right=25] & y
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
& a_{j} \\
a \arrow[ur] \arrow[dr] & \\
& a_{i}
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
x_{1} \arrow[r, bend left=25] \arrow[r, bend right=25] & x_{0}
\end{tikzcd}

une seconde paire parallèle, de même forme mais dont les deux buts ne se lisent pas, est tracée au-dessus de celle-ci, ses flèches nommées \(u'\), \(v'\) puis \(u\), \(v\)

\[ H_{m,n} \times H_{n,p} \longrightarrow H_{m,p} \]

\[ fu = gv, \qquad gv' = gw, \qquad fuv_{1} = gwv_{1} = gv'v'_{1} = gw\,v'_{1} \]

\[ H_{x} = x/R_{x} \]

\begin{tikzcd}
x \arrow[r] \arrow[d] & y \arrow[d] \\
H_{x} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{iso}?"] & H_{y} \\
\lbrack x \rbrack &
\end{tikzcd}

19sa p. 1

Proposition 1 Soit \(X \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat})\) une catégorie […] pseudo-cofiltrante (\(\Longleftrightarrow X^{\wedge}\) est localement irréductible), ayant un plus petit objet \(e\) (donc \(X\) est \(0\)-connexe). Soit \(X_{0}\) la sous-catégorie pleine réduite à \(e\),

\[ M = \mathrm{End}_{X}(e) = \mathrm{End}_{X_{0}}(e) \]

le monoïde des endomorphismes de \(e\), et \(G = \pi_{1}(M) = \pi_{1}(X_{0}, e)\) le groupe enveloppant de \(M\). Alors

• a)L'homomorphisme canonique \(\pi_{1}(X_{0}, e) \longrightarrow \pi_{1}(X,e)\) est surjectif, et pour
• b)Pour toute double flèche de source \(e\)

\begin{tikzcd}
e \arrow[r, bend left=25, "u"] \arrow[r, bend right=25, "v"'] & x
\end{tikzcd}

dans \(X\), il existe \(u', v' \in M\) tels que

\[ uu' = vv', \]

et l'élément \([v][u]\) de \(\pi_{1}(X,e)\) (image canonique des éléments \(e \xrightarrow{\ u\ } x \xleftarrow{\ v\ } e\) dans \(\pi_{1}(X,e)\)) est égale à l'image de l'élément

\[ [v,u] \overset{\text{déf}}{=} v'u'^{-1} \in G = \pi_{1}(X_{0}, e). \]

De plus, \(e\) est aussi objet maximal de \(X\), cet élément \([v,u]\) ne dépend pas des choix des couples \((u',v')\) […] d'éléments de \(M\) satisfaisant \(uu' = vv'\). Plus précisément, si \(\alpha : x \longrightarrow e\), alors \(u_{1} = \alpha u\) et \(v_{1} = \alpha v\) sont des éléments de \(M\), et on a \(u_{1}u' = v_{1}v'\), d'où

\[ [v,u] = v_{1}^{-1} u_{1} . \]

• c)Pour toute double-flèche \(e \rightrightarrows x\) dans \(X\), […]

20sa p. 2

[…] diviseurs \(u', v'\) dans \(M\), tels que \(uu' = vv'\), d'où \([u,v] \in G\). [Alors] le noyau de l'homomorphisme surjectif

\[ G = \pi_{1}(X_{0}, e) \longrightarrow \pi_{1}(X, e) \]

est le sous-groupe invariant de \(G\) engendré par les éléments suivants, correspondants aux diagrammes (par vice-versa nécessairement commutatifs)

\begin{tikzcd}
x \arrow[r, "f"] & y \arrow[r, "g"] & z \\
& e \arrow[ul, "u"] \arrow[u, "v"] \arrow[ur, "w"'] &
\end{tikzcd}

\[ [w, gv]\,[v, fu]\,[w, gfu]^{-1} . \]

i.e. pour \(u', v', w' \in M\) […]

N.B. S'il existe \(\alpha : z \longrightarrow e\), on voit aussitôt que cette relation est triviale. Donc si \(e\) est aussi plus grand objet de \(X\), alors

\[ \pi_{1}(X_{0}, e) \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ G \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \pi_{1}(X,e) \qquad \text{iso !} \]

l'indice du premier \(\pi_{1}\) se lit \(X_{0}\) là où l'argument demanderait \(X\) ; la lecture est douteuse et n'est pas corrigée ici

Soient \(M\) un [pseudo-][…] monoïde, \(R = R_{\varphi}\) la relation d'équivalence dans \(M\) :

\[ u \sim_{R} v \quad \Longleftrightarrow \quad \exists\, p, q \in M \]

[…]

(cette relation d'équivalence […] à droite, donc […] \(\overset{\text{déf}}{=} M/R\)), […] \(M\) […]

\[ Y = B_{M}, \qquad \varphi \in M, \qquad \varphi f u = \varphi g v , \]

il écrit « coïncidences » au-dessus de \(M\), et « stable par translation » sous la formule

\[ X = Y/F . \]