Cote n° 158 · pages 1–85 · Lecture modernisée · [Autour des Dérivateurs] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1990-1991]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

1–85

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier n'est pas un texte suivi et ne porte aucun titre de sa main. C'est une campagne de travail, menée sur quelques semaines, autour d'une question unique, et reprise sept fois par des chemins différents. Les feuillets ne se suivent pas toujours : il y a des essais, des moutures abandonnées, et deux feuillets reliés dans l'ordre inverse du sien.

1–85

La question

Soit \(X\) une petite catégorie et \(\widehat{X}\) la catégorie des préfaisceaux sur \(X\). Le dossier tourne tout entier autour de l'implication

si tout objet \(0\)-connexe de \(\widehat{X}\) est \(1\)-connexe, alors \(X\) est cofiltrante,

de sa réciproque, et des invariants qui permettent de la tester. Les deux notions sont celles du résumé : \(X\) est cofiltrante si deux objets quelconques admettent un objet vers lequel ils s'envoient tous deux et si deux flèches parallèles s'égalisent plus loin ; elle est pseudo-cofiltrante si seule la première clause est demandée.¹ Toute la difficulté tient dans l'écart entre les deux : se ramener plus loin n'est pas absorber.

1–85

Les stations

• Pages 1 à 4 — feuillets d'essai. Construction de la catégorie \(\widetilde{\pi}\backslash B\) attachée à un foncteur \(\pi\), et du foncteur canonique qu'elle envoie dans un topos de préfaisceaux. C'est l'outil, monté avant qu'on sache à quoi il servira.
• Pages 6 à 15 — sa pagination \(1\) à \(9\). L'hypothèse « \(0\)-connexe entraîne \(1\)-connexe » est posée pour la première fois, et l'on en tire un morphisme de topos \(f\) dont on montre qu'il est \(W_{0}\)- puis \(W_{1}\)-asphérique. La conclusion visée est un lemme qu'il énonce avec un point d'interrogation et ne démontre pas.
• Pages 17 à 20 — sa pagination \(0\), \(1\), \(2\). Une présentation par générateurs et relations du groupe fondamental d'une catégorie. C'est l'outil de calcul dont la suite se servira sans cesse.
• Pages 21 à 41 — sa pagination \(3\) à \(18\), puis \(7\). Le contre-exemple : un monoïde, deux éléments \(\varphi\) et \(\psi\), un degré à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), et une catégorie \(0\)-connexe non \(1\)-connexe. C'est le massif le plus long et le plus achevé du dossier.
• Pages 44 à 53 — sa pagination \(1\) à \(8\). Le cas fini, dans les deux sens : un théorème sur les monoïdes finis, puis sa transposition aux catégories finies, corrigée en cours de route et refaite sur d'autres bases.
• Pages 55 à 58 — sa pagination \(1\) à \(3\). Les deux exemples infinis, \(\mathrm{Ep}(E)\) et \(\mathrm{Mon}(E)\), qui font tourner le contre-exemple.
• Pages 60 à 79 — sa pagination \(1\) à \(11\). Les localisateurs fondamentaux, l'asphéricité, et le calcul de suspensions qui ramène tout à un seul objet \(T\).
• Pages 81 et 83 — sa pagination \(12\) et \(13\). La tentative d'interpréter \(T\), et l'arrêt du dossier.

Deux avertissements sur cette liste. Sa pagination recommence cinq fois, et deux suites portent des numéros qui se recouvrent : le feuillet 41 porte « \(7\) » alors qu'il achève, pour le sens, la suite numérotée \(3\) à \(18\) des feuillets 21 à 39.² Et le dossier restart deux fois sur lui-même : les feuillets 50 à 53 refont la proposition des feuillets 44 à 46 sur d'autres hypothèses, et le feuillet 77 refait avec un diagramme plus simple l'argument du feuillet 74. Ce ne sont pas des répétitions à fondre, et cette lecture les tient séparées.

1–85

Les conventions

\(\widehat{X}\) est la catégorie des préfaisceaux sur \(X\), \(X^{\vee}\) celle des foncteurs covariants à valeurs ensembles ; la distinction ne sert qu'au feuillet 61 et elle y est essentielle.³ Pour \(a\) un objet de \(X\), on écrit \(X_{/\!/a}\) la sous-catégorie pleine des objets \(x\) tels que \(\mathrm{Hom}(a,x)\) soit non vide, et \(X_{/\!/(a,b)} = X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b}\).⁴ Enfin \({}_{x}\backslash X\) et \(X_{/x}\) sont les catégories au-dessous et au-dessus de \(x\).

1–4

1. L'outil : la catégorie \(\widetilde{\pi}\backslash B\) (pages 1 à 4)

Soit \(\pi : B \to (\mathrm{Ens})\) un foncteur. En le composant avec le foncteur \(\mathfrak{P}^{*}\) qui à un ensemble associe l'ensemble ordonné de ses parties non vides, on obtient \[ \widetilde{\pi} : B \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \longrightarrow (\mathrm{Ord}) \longrightarrow (\mathrm{Cat}), \] et l'on note \(\widetilde{\pi}\backslash B\) la catégorie qui lui est associée par la construction de Grothendieck : ses objets sont les couples \((b,E)\) avec \(b \in \mathrm{Ob}\,B\) et \(E\) une partie non vide de \(\pi(b)\), et \[ \mathrm{Hom}\bigl((b,E),(b',E')\bigr) = \{\, u : b \to b' \ \mid \ \widetilde{\pi}(u)(E) \subset E' \,\}. \] L'inclusion, et non l'égalité, est ce qui fait tout l'intérêt de la construction : elle rend le foncteur d'oubli vers \(B\) fidèle sans le rendre plein, et c'est elle qui sera exploitée plus bas.⁵

Posons \(Z = \pi\backslash B\). Chaque fibre \(Z_{b}\) s'identifie à \(\pi(b)\), et pour toute partie non vide \(E\) de \(\pi(b)\) on dispose dans \(\widehat{Z}\) de l'objet \[ \widetilde{E} = \coprod_{z \in E} z . \] On obtient ainsi le foncteur canonique \[ \widetilde{\pi}\backslash B \longrightarrow \widehat{Z}, \qquad (b,E) \longmapsto \widetilde{E}, \] qui est le personnage de ces quatre feuillets. Le calcul qu'il refait deux fois, la seconde sous deux traits d'annulation, est celui du produit : \[ \widetilde{E} \times \widetilde{E}' = \coprod_{(z,z') \in E \times E'} z \times z' , \] les produits étant pris dans \(\widehat{Z}\), ce qui exhibe le produit de \((b,E)\) et \((b',E')\) dans \(\widetilde{\pi}\backslash B\) sous la forme \(\bigl(b \times b',\, p_{1}^{*}(E) \cap p_{2}^{*}(E')\bigr)\).

Ce que le feuillet 3 observe, et qui servira plus tard, est que \(\widetilde{\pi}\backslash B\) est cofibrée sur \(B\), de fibre en \(b\) l'ensemble ordonné \(\mathfrak{P}^{*}(\pi(b))\).

6–15

2. Le morphisme de topos \(f\) et le lemme conjectural (pages 6 à 15)

6–10

2.1 La construction

Ici l'hypothèse du dossier est posée pour la première fois. Soit \(X\) une petite catégorie telle que \[ \textbf{(H)} \qquad \text{tout objet } 0\text{-connexe de } \widehat{X} \text{ est } 1\text{-connexe.} \] Soit \(F\) un objet de \(\widehat{X}\) et \(U = \mathrm{Im}(F \to e)\) l'image du morphisme vers l'objet final. Quitte à remplacer \(X\) par \(Y = X/U\), on peut supposer \(F \to e\) épimorphique, et \(\widehat{Y} \simeq \widehat{X}/U\) est le topos induit.

Soit \(\widetilde{\Delta}\) la catégorie des ensembles finis non vides, réalisée par les \(\widetilde{\Delta}_{n} = [0,n] \cap \mathbf{Z}\). Le foncteur \[ \pi = \pi_{F} : \widetilde{\Delta}^{\,\circ} \longrightarrow (\mathrm{Ens}), \qquad I \longmapsto \pi_{0}(F^{I}), \] est un objet de \(\widehat{\widetilde{\Delta}}\), et l'on pose \(Z = (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\). Un objet de \(\widetilde{\Delta}_{/\pi}\) est un couple \((\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha)\) où \(\alpha\) est une composante connexe de \(F^{\,n+1}\), et l'on définit \[ \varphi : (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ} \longrightarrow \widehat{Y}, \qquad (\widetilde{\Delta}_{n}, \alpha) \longmapsto \alpha \subset F^{\,n+1}. \] Sur les flèches : si \(\rho : \widetilde{\Delta}_{n} \to \widetilde{\Delta}_{m}\) vérifie \(\pi(\rho)(\beta) = \alpha\), alors \(\rho^{*} : F^{\widetilde{\Delta}_{m}} \to F^{\widetilde{\Delta}_{n}}\) restreint à \(\beta\) se factorise par \(\alpha\), d'où \(\varphi(\rho) : \beta \to \alpha\).

Prolongé par continuité, \(\varphi\) donne un foncteur \(\Phi : \widehat{Z} \to \widehat{Y}\) qui commute aux colimites quelconques. Il est de plus exact, donc c'est l'image inverse d'un morphisme de topos \[ f : \widehat{Y} \longrightarrow \widehat{Z}. \]

9–10

2.2 Asphéricité de \(f\), et ce qu'elle donne

Le morphisme \(f\) est \(W_{0}\)-asphérique : pour tout objet \(z\) de \(Z\), l'image inverse \(f^{*}(z) = \Phi(z)\) est la composante connexe \(\alpha\), donc \(0\)-connexe. Il s'ensuit que \(f^{*}(G)\) est \(0\)-connexe pour tout \(G\) \(0\)-connexe de \(\widehat{Z}\).⁶

Si l'on invoque maintenant l'hypothèse (H), qui vaut aussi dans le topos induit \(\widehat{Y}\), on obtient que \(f^{*}(G)\) est \(1\)-connexe dès que \(G\) est \(0\)-connexe. En considérant le morphisme induit \(\widehat{Y}/f^{*}(G) \to \widehat{Z}/G\), on conclut :

Sous (H), tout objet \(0\)-connexe de \(\widehat{Z}\) est \(1\)-connexe.

L'hypothèse s'est donc transportée de \(X\) à \(Z\), et \(Z\) est une catégorie d'origine simplicial. C'est là que le dossier voudrait conclure, et c'est là qu'il s'arrête :

Lemme (?) — énoncé conjectural, non démontré. Soient \(\pi\) un objet de \(\widehat{\widetilde{\Delta}}\) et \(Z = (\widetilde{\Delta}_{/\pi})^{\circ}\). Si tout objet \(0\)-connexe de \(\widehat{Z}\) est \(1\)-connexe et si \(\pi(\widetilde{\Delta}_{0})\) est ponctuel, alors \(\pi\) est l'objet final, c'est-à-dire que \(\pi(\widetilde{\Delta}_{n})\) est ponctuel pour tout \(n\).

Le point d'interrogation est de lui, et il n'y a pas de démonstration dans le dossier.⁷ Sous cette réserve il en tire deux conséquences. La première : si \(F\) est \(0\)-connexe dans \(\widehat{X}\), ses puissances cartésiennes \(F^{n}\) le sont aussi, en particulier \(F \times F\). La seconde : \(X\) est localement cofiltrante.

C'est la première apparition de la thèse du dossier, et elle arrive comme corollaire d'un lemme non démontré. Tout le reste du dossier peut se lire comme la recherche d'une autre route vers le même énoncé.

11–15

2.3 La reprise en généralité

Les feuillets 11 à 15 refont la construction pour une catégorie \(A\) quelconque en place de \(\widetilde{\Delta}\), avec \(Z = (A_{/\pi})^{\circ} \simeq \pi\backslash B\) où \(B = A^{\circ}\), et retrouvent la catégorie \(\widetilde{\pi}\backslash B\) de la section 1 avec son foncteur canonique vers \(\widehat{Z}\). La question posée est celle des conditions sur \(A\) et \(\pi\) qui rendent ce foncteur pleinement fidèle et compatible aux limites finies.

Un seul énoncé général est dégagé, et il est correct :

Lemme 1. Soit \(C \to B\) une catégorie fibrée et \(I\) une petite catégorie telle que les limites de type \(I\) existent dans \(B\) et dans chaque fibre \(C_{b}\). Alors elles existent dans \(C\), et \(C \to B\) commute aux limites de type \(I\).

Son corollaire, appliqué à \(C = \widetilde{\pi}\backslash B\), demande que cette catégorie soit non seulement cofibrée sur \(B\) — ce qu'elle est toujours — mais fibrée, ce qui est une condition sur \(\pi\).⁸ Le raisonnement s'interrompt cinq lignes après le début du feuillet 15 et le reste de la page est blanc.

17–20

3. Une présentation du groupe fondamental d'une catégorie (pages 17 à 20)

17–17

3.1 Le groupe \(\Delta(E)\)

Pour un ensemble \(E\), soit \(\Delta(E)\) le groupe engendré par des symboles \([x,y]\), \((x,y) \in E^{2}\), soumis aux relations \[ [x,x] = 1, \qquad [x,y][y,x] = 1, \qquad [x,y][y,z] = [x,z]. \] C'est le groupe libre sur \(E\) privé de son point base : si \(E\) est fini de cardinal \(n\) et \(E = [1,n]\), les \(g_{i} = [i,i+1]\) pour \(1 \le i \le n-1\) en sont une base libre, et l'on a \([i,j] = g_{i}g_{i+1} \cdots g_{j-1}\) pour \(i < j\). En particulier \(\Delta(E)\) est libre de rang \(n-1\).⁹

17–17

3.2 La présentation

Soit \(X\) une catégorie ayant un plus petit objet \(e\) et un plus grand objet \(a\). Alors \(\pi_{1}(X,e)\) est le quotient de \(\Delta(\mathrm{Hom}(e,a))\) par les relations \[ [\alpha v, \alpha u] = [\beta v, \beta u] \] pour tout système de doubles flèches \(e \rightrightarrows x \rightrightarrows a\), de flèches \(u, v : e \to x\) et \(\alpha, \beta : x \to a\).

L'énoncé est celui du feuillet 17 et le dossier ne le démontre pas ; le feuillet 18, biffé de deux diagonales, en porte les essais.

19–20

3.3 Le cas pseudo-cofiltrant

C'est la forme dont la suite se servira, et elle est démontrée.

Proposition 1. Soit \(X\) une catégorie pseudo-cofiltrante ayant un plus petit objet \(e\). Soient \(M = \mathrm{End}_{X}(e)\), \(X_{0}\) la sous-catégorie pleine réduite à \(e\), et \(G = \pi_{1}(M) = \pi_{1}(X_{0}, e)\) le groupe enveloppant de \(M\). Alors : a) L'homomorphisme canonique \(\pi_{1}(X_{0}, e) \to \pi_{1}(X,e)\) est surjectif. b) Pour toute double flèche \(u, v : e \rightrightarrows x\) il existe \(u', v' \in M\) avec \(uu' = vv'\), et l'élément \([v,u] \overset{\text{déf}}{=} v'u'^{-1}\) de \(G\) ne dépend pas du choix du couple \((u',v')\) ; son image dans \(\pi_{1}(X,e)\) est la classe du lacet \(e \xrightarrow{u} x \xleftarrow{v} e\). c) Le noyau de la surjection \(G \to \pi_{1}(X,e)\) est le sous-groupe distingué engendré par les éléments \[ [w, gv]\,[v, fu]\,[w, gfu]^{-1} \] attachés aux diagrammes commutatifs \(x \xrightarrow{f} y \xrightarrow{g} z\) munis de \(u : e \to x\), \(v : e \to y\), \(w : e \to z\) compatibles.

Le groupe fondamental d'une catégorie pseudo-cofiltrante à plus petit objet est donc entièrement calculable à partir du monoïde \(M\) et de ces relations. C'est le théorème de structure sur lequel repose tout le massif suivant.

Il note enfin que si \(e\) est aussi plus grand objet de \(X\), toute relation du type c) est triviale, de sorte que \(\pi_1(X_{0},e) \to \pi_{1}(X,e)\) est un isomorphisme.¹⁰

21–41

4. Le contre-exemple : une catégorie \(0\)-connexe non \(1\)-connexe (pages 21 à 41)

C'est le massif le plus long et le seul entièrement mené à terme. Le principe en est simple : construire une catégorie dont le groupe fondamental se surjecte sur \(\mathbf{Z}\), en fabriquant à la main un « degré » à valeurs entières.

20–22

4.1 Le dispositif

Soient \(M\) un monoïde, \(\varphi, \psi \in M\) deux éléments fixés, et \(R_{\varphi}\) la relation d'équivalence \[ u \sim_{R} v \iff \exists\, p, q \in \mathbf{N}, \quad \varphi^{p} u = \varphi^{q} v . \] Soient \(Y = B_{M}\) le classifiant de \(M\) — la catégorie à un objet dont le monoïde des endomorphismes est \(M\) —, \(F = M/R_{\varphi}\) vu comme \(M\)-ensemble à droite, donc comme objet de \(\widehat{Y}\), et \[ X = Y_{/F}. \] Les objets de \(X\) sont les éléments de \(F\), et \(\mathrm{Hom}(x,y) = \{\, u \in M \mid x = yu \,\}\). L'objet \(a = \dot{1}\) est le plus grand.

Une première condition assure que \(X\) a aussi un plus petit objet, de la forme \(e = a\psi\) : \[ \textbf{(A)} \qquad \forall\, u \in M,\ \exists\, u' \in M, \quad uu' \sim_{R} \psi , \] condition remplie dès que \(\psi\) est minimal dans \(M\).

22–24

4.2 Le degré

Posons \(M_{0} = \mathrm{End}_{X}(e) = \{\, f \in M \mid \psi f \sim_{R} \psi \,\}\), c'est-à-dire \[ f \in M_{0} \iff \exists\, p, q \in \mathbf{N}, \quad \varphi^{p}\psi f = \varphi^{q}\psi . \] ¹¹

Pour que le couple \((p,q)\) soit déterminé à translation près, on impose \[ \textbf{(B)} \qquad \varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi \implies r = s . \] Alors \(\delta(f) = q - p\) est bien défini et l'on obtient une application \[ \delta : M_{0} \longrightarrow \mathbf{Z} \] qui est un homomorphisme de monoïdes de \((M_{0}, \cdot)\) dans \((\mathbf{Z}, +)\), c'est-à-dire \(\delta(fg) = \delta(f) + \delta(g)\).¹² Comme \(\mathbf{Z}\) est un groupe, \(\delta\) se factorise par le groupe enveloppant : \[ M_{0} \longrightarrow G_{0} = \pi_{1}(M_{0}) \xrightarrow{\ \delta_{0}\ } \mathbf{Z}. \]

La troisième condition demande que ce soit non trivial : \[ \textbf{(C)} \qquad \delta \neq 0 . \]

25–30

4.3 Les relations s'annulent

C'est le cœur du calcul, et il occupe six feuillets. Il s'agit de montrer que \(\delta_{0}\) tue les relations de la Proposition 1 c), donc descend en un homomorphisme surjectif sur \(\pi_{1}(X,e)\) lui-même.

Il commence par expliciter le crochet \([\mu,\lambda]\) pour une double flèche \(\lambda, \mu : e \rightrightarrows \xi = a\sigma\). Choisissant \(\lambda', \mu'\) avec \(\lambda\lambda' = \mu\mu'\), puis \(\nu\) tel que \(\sigma\lambda\lambda'\nu \sim_{R} \psi\), on obtient \(\lambda'\nu, \mu'\nu \in M_{0}\) et \[ [\mu,\lambda] = (\mu'\nu)(\lambda'\nu)^{-1}. \] C'est ici qu'il renonce à la généralité, en toutes lettres : « Je crois que je vais craquer, et restreindre la généralité ». Il suppose désormais \(\psi\) minimal, de sorte qu'il existe \(\theta(u)\) avec \(u\,\theta(u) = \psi\) — égalité stricte et non simple congruence — et prend \(\lambda' = \theta(\lambda)\), \(\mu' = \theta(\mu)\).

Appliqué aux trois crochets de la relation fondamentale, ce calcul donne quatre éléments de \(M_{0}\) : \[ c_{1} = \theta(gv)\,\theta(\rho\psi), \quad c_{2} = \theta(v)\,\theta(\rho g\psi), \quad c_{3} = \theta(fu)\,\theta(\rho g\psi), \quad c_{4} = \theta(gfu)\,\theta(\rho\psi), \] et la relation à annuler est \(c_{1}c_{2}^{-1}c_{3}c_{4}^{-1} = 1\).¹³

Une quatrième condition intervient alors : \[ \textbf{(D)} \qquad \psi \sim_{R} 1 , \] qui permet de récrire les contraintes sous la forme \(\rho g f u, \rho g v, \rho w \in M_{0}\). Posant \(\pi = \rho g f u\) et \(\pi' = \rho g v\), on obtient \[ \pi c_{1} = \pi c_{2} = \psi, \qquad \pi' c_{3} = \pi' c_{4} = \psi, \] d'où \(\delta(c_{1}) = \delta(c_{2})\) et \(\delta(c_{3}) = \delta(c_{4})\), donc \[ \delta_{0}\bigl(c_{1}c_{2}^{-1}c_{3}c_{4}^{-1}\bigr) = 0 . \] Le degré tue donc toutes les relations, et se factorise en \[ \delta_{0}' : \pi_{1}(X,e) \twoheadrightarrow \mathbf{Z}. \]

31–33

4.4 L'énoncé

Proposition 2. Soient \(M\) un monoïde et \(\varphi, \psi \in M\) tels que : a) \(\psi\) est minimal dans \(M\), c'est-à-dire que pour tout \(u \in M\) il existe \(\theta(u)\) avec \(\psi = u\,\theta(u)\) ; b) \(\psi \sim_{R_{\varphi}} 1\) ; c) \(\varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi\) entraîne \(r = s\). Soient \(Y = B_{M}\), \(F = M/R_{\varphi}\) et \(X = Y_{/F}\). Alors \(e = \dot{1}\) est à la fois plus petit et plus grand objet de \(X\), et il existe un homomorphisme surjectif \(\pi_{1}(X,e) \to \mathbf{Z}\) ; en particulier \(X\) n'est pas \(1\)-connexe.

L'hypothèse a) entraîne que \(M\), donc \(Y = B_{M}\), est pseudo-cofiltrant, ce qu'il note en marge de l'énoncé.

Corollaire. Si \(M\) est isomorphe à \(\mathrm{Ep}(E)\) ou à \(\mathrm{Mon}(E)\) pour \(E\) infini, alors \(M\) est pseudo-cofiltrant, \(Y = B_{M}\) est \(1\)-connexe, et il existe \(F\) dans \(\widehat{Y}\) tel que \(X = Y_{/F}\) soit \(0\)-connexe et non \(1\)-connexe.

Pour l'appliquer il suffit de prendre \(\psi = \varphi\) un élément minimal quelconque, et de vérifier la condition c), ce qu'il fait par l'absurde : si \(\varphi^{r} = \varphi^{s}\) avec \(r = s+h\), \(h > 0\), alors \(\varphi^{h}\varphi^{s} = \varphi^{s}\), donc \(\varphi\) serait inversible. Or un élément inversible ne peut être minimal, sans quoi tout élément de \(M\) le serait et \(M\) serait un groupe.¹⁴

C'est aussi à ce feuillet qu'il note la difficulté qu'il a eue : « j'ai un peu mal à construire un \(F\) \(0\)-connexe qui ne soit \(1\)-connexe ! ».

35–37

4.5 Le quotient simplifiable

Les feuillets 35 à 37 dégagent l'outil qui rend l'argument précédent robuste. Si \(\psi\) est minimal, la relation \(u \sim_{R_{0}} v \iff u\psi = v\psi\) est celle définie par l'application \[ M \longrightarrow \mathrm{Ep}(M_{0}), \qquad u \longmapsto (\lambda \mapsto u\lambda), \] et le quotient \(\overline{M} = M/R_{0} \subset \mathrm{Ep}(M_{0})\) est un monoïde simplifiable à droite — \(\bar{u}\bar{f} = \bar{v}\bar{f}\) entraîne \(\bar{u} = \bar{v}\) — et pseudo-cofiltrant comme image de \(M\). La condition c) de la Proposition 2 se lit alors \(\overline{\varphi}^{\,r} = \overline{\varphi}^{\,s} \implies r = s\).

De là l'alternative qui organise la fin du massif. Ou bien \(\overline{\varphi}\) est d'ordre fini, donc inversible, et l'on montre que \(\overline{M}\) est un groupe ; ou bien la condition c) est satisfaite et la Proposition 2 s'applique.

Proposition 3 (énoncé incomplet). Soit \(M\) un monoïde ayant un élément minimal \(\psi\), et \(\varphi \in M\) tel que \(\varphi^{\beta}\) soit minimal pour un \(\beta\). S'il existe \(r \neq s\) avec \(\varphi^{r}\psi = \varphi^{s}\psi\), l'énoncé s'interrompt ici.

L'énoncé s'arrête là ; le bas du feuillet porte une grande boucle et la conclusion manque. Ce que le feuillet 37 en tire, en revanche, est complet : dans le cas où \(\overline{M}\) est un groupe, si \(Y = B_{M}\) est \(1\)-connexe ce groupe est trivial, donc \(u\lambda = \lambda\) pour tout \(u\) et tout \(\lambda\) minimal, et \(M\) est cofiltrant. Dans le cas contraire, \(Y_{/F}\) est \(0\)-connexe, non \(1\)-connexe, de groupe fondamental \(\pi_{1}(M_{0})\), lequel se surjecte sur \(\mathbf{Z}\) ; donc \(H^{1}(X,\mathbf{Z}) \neq 0\).¹⁵

39–41

4.6 Le théorème, et son interruption

Corollaire. Soit \(M\) un monoïde ayant un élément minimal. Si tous les objets \(0\)-connexes de \(\widehat{B_{M}}\) sont \(1\)-connexes — ou même seulement si leur \(H^{1}(-,\mathbf{Q})\) est nul — alors \(M\) est cofiltrant.

C'est enfin la thèse du dossier, obtenue cette fois sans lemme conjectural, mais seulement pour les monoïdes. Le feuillet 39 entreprend de la transporter aux catégories :

Théorème (énoncé interrompu). Soit \(X\) une catégorie pseudo-cofiltrante dont les objets \(0\)-connexes de \(\widehat{X}\) vérifient l'hypothèse de connexité, admettant un plus petit objet \(e\) tel que \(M = \mathrm{End}_{X}(e)\) ait un élément minimal \(\varphi\), l'énoncé s'interrompt ici.

La démonstration se sépare en deux cas selon que \(\mathbf{N}\) opère sur \(e\) par \(\varphi\) sans point fixe ou non, et s'interrompt à l'intérieur du premier.

Le feuillet 41 reprend exactement là.¹⁶ Dans le premier cas, \(\varphi^{p} = \varphi^{q}\) entraîne \(p = q\), et l'objet quotient \(F = e/\mathbf{N}\) est \(0\)-connexe de \(\pi_{1}\) se surjectant sur \(\mathbf{Z}\), donc non \(1\)-connexe. Dans le second, il existe \(p \neq q\) avec \(\varphi^{p} = \varphi^{q}\) ; l'image de \(M\) dans \(\mathrm{Ep}(E_{0})\), où \(E_{0}\) est l'ensemble des éléments minimaux, est alors un groupe \(\Gamma\), et \[ \pi_{1}(X_{0}, e) \simeq \pi_{1}(M) \twoheadrightarrow \Gamma . \] ¹⁷ Si \(X_{0}\) est \(1\)-connexe, alors \(\Gamma\) est trivial, donc \(u\varphi = \varphi\) pour tout \(u\), et \(X_{0}\) est cofiltrant. D'où sa conclusion, écrite en toutes lettres :

Conclusion. Si tout objet de \(\widehat{X}\) est \(1\)-connexe, alors \(X\) est cofiltrant.

44–53

5. Le cas fini, et sa correction (pages 44 à 53)

44–46

5.1 Les monoïdes finis

Proposition 1. Soit \(M\) un monoïde fini dont le groupe enveloppant est trivial et qui est pseudo-cofiltrant. Alors il existe \(p \in M\) tel que \(up = p\) pour tout \(u \in M\) — en particulier \(p^{2} = p\) — et \(M\) est cofiltrant.

La démonstration est complète et c'est le plus solide résultat du dossier. Elle tient en trois pas. D'abord, la pseudo-cofiltrance donne pour toute famille finie \((u_{i})\) un \(p\) qui se factorise par chaque \(u_{i}\) ; \(M\) étant fini, il existe un \(p\) tel que \(p = u\,v(u)\) pour tout \(u \in M\). Ensuite, on réalise \(M\) comme monoïde d'endomorphismes d'un ensemble fini \(E\), par exemple par la représentation régulière. La factorisation donne \(\mathrm{Im}\,p \subset \mathrm{Im}\,u\) pour tout \(u\), donc \(E_{0} = \mathrm{Im}\,p\) est le plus petit des \(\mathrm{Im}\,u\) ; et pour tout \(u\), \[ u(E_{0}) = u\,p(E) = \mathrm{Im}(up) \supset E_{0}, \] d'où \(u(E_{0}) = E_{0}\) puisque \(E_{0}\) est fini.¹⁸ La restriction \(u \mapsto u|E_{0}\) est donc un homomorphisme \(M \to \mathrm{Aut}(E_{0})\) vers un groupe ; l'hypothèse sur le groupe enveloppant le rend trivial, d'où \(u\,p(x) = p(x)\) pour tout \(x\), c'est-à-dire \(up = p\).

En langage moderne, \(p\) est un idempotent qui engendre un idéal à gauche minimal réduit à un zéro à gauche : c'est le noyau de Rees du monoïde fini, dont la trivialité du groupe enveloppant force qu'il soit ponctuel.¹⁹

46–49

5.2 La transposition aux catégories, et son échec

Il propose ensuite, avec deux points d'interrogation de sa main :

Proposition 2 (??) Soit \(X\) une catégorie finie, \(1\)-connexe, pseudo-cofiltrante et ayant un plus grand objet. Alors \(X\) est cofiltrante.

Les feuillets 47 et 48 tentent de calquer la démonstration précédente en choisissant, pour chaque objet \(b\), une flèche \(p_{b} : e \to b\) compatible avec un \(p_{a}\) fixé. Le point d'achoppement est l'unicité : \(p_{b}\) n'est pas déterminé, et le feuillet 48 se réduit à des diagrammes repris deux fois sans prose suivie.

Le feuillet 49 en tire néanmoins un corollaire, soigneusement rédigé, qui déduit le cas des catégories finies du cas des monoïdes en passant par l'ouvert \(U\) des plus petits objets et l'équivalence \(U_{0} \simeq B_{M}\). Puis, en marge, de sa main :

« Faux ! revoir la démonstration »

Le corollaire est donc répudié par son auteur et n'est pas reproduit ici comme un résultat.²⁰ Il note cependant, et cela reste valable, qu'au lieu de la finitude de \(X\) il suffit de supposer que \(X\) a un plus petit objet \(e\) et que \(\mathrm{End}_{X}(e)\) est fini.

50–53

5.3 La seconde mouture : les systèmes locaux \(H_{x}\)

Les feuillets 50 à 53 reprennent la proposition depuis le début, sur d'autres bases. Ce n'est pas une répétition : l'objet porteur change, et c'est le changement qui est l'information.

Soit \(X\) pseudo-cofiltrante à plus petit objet \(e\), \(M = \mathrm{Hom}(e,e)\), et \(F(x) = \mathrm{Hom}(e,x)\). On suppose que les sous-\(M\)-ensembles de \(F(x)\) satisfont la condition minimale — ce qui vaut si les \(F(x)\) sont finis. Alors parmi les sous-\(M\)-ensembles de la forme \(fM\) il en existe un plus petit, et c'est \[ H_{x} = \bigcap_{f \in F(x)} fM . \] Les \(H_{x}\) forment un système local sur \(X\) : pour \(f : x \to y\) on a \(H_{y} = f \cdot H_{x}\), et si \(e\) est aussi objet maximal, l'application \(\lambda \mapsto f\lambda\) est une bijection \(H_{x} \xrightarrow{\sim} H_{y}\).

La \(1\)-connexité de \(X\) entre alors en jeu exactement là où il faut : elle force ce système local à être constant, donc l'application \(u \mapsto fu\) de \(H_{e}\) dans \(H_{x}\) ne dépend pas du choix de \(f \in F(x)\), c'est-à-dire \[ fu = gu \qquad \text{pour } u \in H_{e},\ f, g : e \rightrightarrows x . \] C'est précisément l'égalisation qui manque à la pseudo-cofiltrance pour faire une cofiltrance. D'où :

Proposition 2 (seconde mouture). Soit \(X\) une catégorie finie pseudo-cofiltrante et \(X_{0}\) l'ouvert de ses plus petits objets, qui est non vide et \(0\)-connexe. Si \(X_{0}\) est \(1\)-connexe, alors \(X\) est cofiltrante — donc tout objet \(0\)-connexe de \(\widehat{X}\) est \(\infty\)-connexe, et plus généralement \(\infty\)-asphérique pour tout localisateur fondamental \(W\) convenable.

Corollaire. Soit \(X\) une catégorie finie telle que tout objet \(0\)-connexe de \(\widehat{X}\) soit \(1\)-connexe — par exemple telle que \(X_{0}\) soit totalement \(W\)-asphérique pour un localisateur fondamental \(W \subset W_{1}\). Alors \(X\) est cofiltrante, \(X^{\circ}\) est filtrante, et tout objet de \(\widehat{X}\) est \(\infty\)-connexe.

C'est le premier endroit du dossier où le vocabulaire des localisateurs fondamentaux apparaît en toutes lettres, et il y arrive comme conséquence, non comme cadre.²¹

55–58

6. Deux monoïdes infinis (pages 55 à 58)

Ces feuillets fournissent la matière première du contre-exemple : des monoïdes pseudo-cofiltrants, à groupe enveloppant trivial, et non cofiltrants. Ils montrent du même coup que la finitude est indispensable à la Proposition 1 de la section 5.

Soit \(E\) un ensemble infini et \(M = \mathrm{Ep}(E)\) le monoïde de ses endomorphismes surjectifs. Alors :

1. \(1^{\circ}\)\(uf = vf \implies u = v\) : le monoïde est simplifiable à droite, donc non cofiltrant — une égalisation forcerait \(u = v\).
2. \(2^{\circ}\)\(M\) est pseudo-cofiltrant et possède des éléments minimaux : ce sont les surjections dont toutes les fibres ont le cardinal de \(E\). Mais on n'a jamais \(uw = w\), ni \(u^{2} = u\) pour \(u \neq 1\).
3. \(3^{\circ}\)Les éléments minimaux sont exactement les \(w_{0}\sigma\) avec \(\sigma \in M^{*} = \mathrm{Aut}(E)\).
4. \(4^{\circ}\)Il existe \(w\) minimal et \(f\) avec \(fw = f\), donc l'image \(\overline{w}\) de \(w\) dans le groupe enveloppant \(G\) est \(1\).
5. \(5^{\circ}\)L'ensemble des \(\sigma \in M^{*}\) tels que \(f\sigma = f\) pour un certain \(f\) engendre le groupe \(M^{*}\).
6. \(6^{\circ}\)Par conséquent le groupe enveloppant \(G\) de \(M\) est trivial.

L'enchaînement de \(5^{\circ}\) et \(6^{\circ}\) est celui-ci : l'image de \(M^{*}\) dans \(G\) est triviale par \(5^{\circ}\) et \(4^{\circ}\), donc par \(3^{\circ}\) tout élément minimal a une image triviale, et par \(2^{\circ}\) tout \(u\) s'écrit avec des minimaux de part et d'autre, d'où \(\overline{u} = 1\).

Le monoïde \(\mathrm{Mon}(E)\) des endomorphismes injectifs satisfait les propriétés duales.²²

Le feuillet 57 ajoute un lemme qui servira à la section suivante, et qui est la raison pour laquelle la notation \(X_{/\!/a}\) est celle du cocrible :

Lemme. Soit \(X\) localement irréductible. Alors la relation \(R(a,b) : X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b} \neq \emptyset\) est une relation d'équivalence sur \(\mathrm{Ob}\,X\), et c'est celle définie par \(\mathrm{Ob}\,X \to \pi_{0}(X)\). De plus, si \(X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b}\) est non vide, il est \(0\)-connexe. Pour que \(X\) soit \(1\)-connexe, il suffit que les \(X_{/\!/a}\) le soient.

60–79

7. Localisateurs, asphéricité et suspensions (pages 60 à 79)

La dernière campagne du dossier reprend la question par la géométrie. Elle est aussi celle où le vocabulaire des dérivateurs est le plus présent.

70–70

7.1 Le critère d'asphéricité totale

Proposition. Pour que \(X^{\circ}\) soit totalement \(W\)-asphérique il suffit que tout objet \(0\)-connexe de \(\widehat{X}\) soit \(W\)-asphérique ; et c'est aussi nécessaire si \(W\) satisfait \(\mathrm{Loc}(6)\).

La démonstration est en deux temps. Dans un sens, \(X_{/e} \simeq X_{/F}\) et l'asphéricité de \(F\) équivaut à la cocofinalité de l'inclusion \(X_{/F} \hookrightarrow X'\). Dans l'autre, si \(X \to Y\) est cocofinal alors les \(X_{/y}\) sont \(0\)-connexes, donc \(W\)-asphériques par hypothèse, donc \(X \to Y\) est \(W\)-asphérique et \(Y\) est \(W\)-asphérique.

Corollaire. Si \(W\) satisfait \(\mathrm{Loc}(8)\) et si \(X\) est cofiltrante, les objets \(0\)-connexes de \(\widehat{X}\) sont \(W\)-asphériques, donc \(X\) est totalement \(W\)-asphérique.

²³

72–74

7.2 Le dispositif géométrique

Soit \(S\) la catégorie ordonnée à quatre objets \[ S = \bigl(\, a \to \xi \to b \ ; \ a \to \xi' \to b \,\bigr) \] — deux chemins parallèles de \(a\) à \(b\) — et soit \(Z\) obtenue en lui adjoignant un objet final \(e\). Un foncteur \(S \to X\) étant donné, on forme \(X'\) par le carré cocartésien

\begin{tikzcd}
S \arrow[r, hook] \arrow[d] & Z \arrow[d] \\
X \arrow[r, hook] & X'
\end{tikzcd}

Le calcul central est celui des flèches nouvelles. Pour \(x\) dans \(X\), \[ \mathrm{Hom}_{X'}(x,e) \simeq \pi_{0}\bigl({}_{x}\backslash S\bigr), \] cette colimite étant celle du losange

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& \mathrm{Hom}(x,\xi) & \\
\mathrm{Hom}(x,a) \arrow[ur] \arrow[dr] & & \mathrm{Hom}(x,b) \arrow[ul] \arrow[dl] \\
& \mathrm{Hom}(x,\xi') &
\end{tikzcd}

76–78

7.3 Le lemme de recouvrement

Posons \(\tilde X = X_{/e}\) et notons \(\tilde a\), \(\tilde b\), \(\tilde\xi\), \(\tilde\xi'\) les relevés.²⁵

Lemme. On a \[ \tilde X = \tilde X_{/\!/\tilde\xi} \ \cup \ \tilde X_{/\!/\tilde\xi'}, \qquad \tilde X_{/\!/\tilde\xi} \cap \tilde X_{/\!/\tilde\xi'} = \tilde X_{/\!/\tilde a} \ \cup \ \tilde X_{/\!/\tilde b}. \]

La première égalité est immédiate. La seconde est démontrée au feuillet 78, et la démonstration est exactement le maniement de la relation \(R(x)\). Soient \(u \in \mathrm{Hom}(x,\xi)\) et \(u' \in \mathrm{Hom}(x,\xi')\) congrus modulo \(R(x)\) avec \(u \neq u'\). Il existe alors une chaîne \(f_{0} = u, f_{1}, \ldots, f_{n} = u'\) dans \(E(x)\), avec \(n \ge 1\), dont chaque maillon est l'une des deux relations \((*)\). En particulier, pour \(i = 0\), ou bien il existe \(v : x \to a\) avec \(f_{0} = \lambda v\), ou bien il existe \(w : x \to b\) avec \(f_{0} = \mu w\). Donc \(u\) se factorise par \(a\) ou par \(b\), c'est-à-dire que \(\tilde x\) appartient à \(\tilde X_{/\!/\tilde a} \cup \tilde X_{/\!/\tilde b}\).²⁶

61–79

7.4 Le calcul de suspensions

Tout est alors en place. Posons \[ T = \tilde X_{/\!/(\tilde a, \tilde b)} = \tilde X_{/\!/\tilde a} \cap \tilde X_{/\!/\tilde b}, \] la partie de \(\tilde X\) que \(\tilde a\) et \(\tilde b\) atteignent tous deux. Le lemme précédent dit que \(\tilde X\) est recouvert par deux morceaux dont l'intersection se décrit par \(T\), et c'est la situation d'un recollement de type Mayer-Vietoris. On obtient la tour \[ \tilde X \simeq \Sigma^{1}_{W}(T), \qquad X' \simeq \Sigma^{1}_{W}(X) \simeq \Sigma^{2}_{W}(\tilde X) \simeq \Sigma^{3}(T), \] où \(\Sigma\) est la suspension.²⁷ Le feuillet 62 avait déjà noté le premier étage sous la forme \(Z = e\backslash X \sim S^{1}\) et \(X' \sim S^{2}\).

Le corollaire du feuillet 79 en tire la conclusion vers laquelle tout le dossier tendait :

Si \(T = \emptyset\), alors \(X' \sim_{W_{\infty}} \Sigma^{2}(E) = S^{2}\). Par conséquent, si \(W\) est plus fin que \(H^{2}(-,k)\) pour un groupe abélien \(k\), alors \(X'\) n'est pas \(W\)-asphérique. Donc, sous les hypothèses du dossier, on doit avoir \(T \neq \emptyset\).

Ici \(E = \{\beta,\gamma\}\) est la catégorie discrète à deux objets, qui est la sphère \(S^{0}\) ; sa double suspension est \(S^{2}\). L'énoncé dit donc : le dispositif fabrique, à partir d'un trou, une \(2\)-sphère, et une \(2\)-sphère est un témoin qui distingue les localisateurs. Le même phénomène avait été noté au feuillet 61 sous une forme purement catégorique :

S'il existe \(B, C\) dans \(\widehat{X}\) avec \(B \times C = \emptyset\) et \(\beta, \gamma\) dans \(X^{\vee}\) avec \(\beta \times \gamma = \emptyset\), alors \(X\) n'est pas \(1\)-connexe.

²⁸

Et le feuillet 68 en donne la forme quantitative : si \(X\) est \(0\)-connexe sans être filtrante, il existe \(X \to X'\) cofinal avec \(H^{2}(X') \simeq H^{2}(S^{2})\), de sorte qu'aucun localisateur \(W \subset W_{2}\) ne peut rendre \(X\) totalement asphérique.

81–83

8. Là où le dossier s'arrête : congruence contre égalité (pages 81 et 83)

Les deux derniers feuillets écrits cherchent à décider si \(T\) peut être vide, c'est-à-dire à interpréter \(\tilde X_{/\!/(\tilde a,\tilde b)}\) directement. Ils échouent, et l'intérêt est dans la façon dont ils échouent.

Soient \(v : x \to a\) et \(w : x \to b\). Les quatre composés \(\lambda v\), \(\mu w\), \(\lambda' v\), \(\mu' w\) sont des éléments de \(E(x)\), et la question est de savoir s'ils sont tous congrus modulo \(R(x)\). Deux des trois congruences sont acquises par la définition même de \(R(x)\) : \[ \lambda v \sim \lambda' v, \qquad \mu w \sim \mu' w . \] Ce qui manque est le pont entre les deux familles : \[ \boxed{\ \lambda v \sim \mu w\ } \] et c'est sur cette formule encadrée que s'arrête le feuillet 81.²⁹

Le feuillet 83 donne la réponse, et elle est négative :

De \(\lambda' v = \mu' w\) on conclut \(\lambda v \sim \mu w\), « mais nullement \(\lambda v = \mu w\) ».

Toute la difficulté du dossier tient dans cette phrase. La congruence modulo \(R(x)\) suffit à peupler \(\tilde X_{/\!/(\tilde a,\tilde b)}\) — elle donne \(T \neq \emptyset\) — mais elle ne suffit pas à produire l'objet \(\tilde x\) qui réaliserait la convergence au sens strict. L'écart entre \(\sim\) et \(=\) est exactement l'écart entre pseudo-cofiltrance et cofiltrance, ramené ici à sa plus simple expression, et le dossier le reconnaît sans le franchir. Ses derniers mots :

« mais je ne vois pas de moyen de montrer en même temps que l'autre le \(\tilde x\). »

³⁰

1–85

Ce que le dossier établit, et ce qu'il laisse

Il vaut la peine de séparer les deux, parce qu'un dossier de travail ne distingue pas et qu'une lecture doit le faire.

Établi, avec démonstration complète : la Proposition 1 du feuillet 44 sur les monoïdes finis ; la Proposition 1 des feuillets 19 et 20 sur la présentation de \(\pi_{1}\) d'une catégorie pseudo-cofiltrante ; la Proposition 2 du feuillet 31 et son corollaire, qui fournissent le contre-exemple ; les six propriétés de \(\mathrm{Ep}(E)\) du feuillet 55 ; le lemme de recouvrement du feuillet 76, démontré au feuillet 78 ; la proposition d'asphéricité totale du feuillet 70 ; la seconde mouture des feuillets 50 à 53.

Conjectural ou interrompu : le Lemme (?) du feuillet 10, dont dépendent ses deux corollaires ; la Proposition 2 (??) du feuillet 46, abandonnée ; la Proposition 3 du feuillet 35, dont l'énoncé s'arrête avant sa conclusion ; le Théorème du feuillet 39, interrompu dans son premier cas ; le corollaire du feuillet 49, répudié par lui en marge ; et la question finale des feuillets 81 et 83, laissée ouverte.

Ce que le dossier ne fait pas : il n'énonce nulle part les axiomes \(\mathrm{Loc}(6)\), \(\mathrm{Loc}(6a)\), \(\mathrm{Loc}(8)\) qu'il invoque, ni ne définit \(W_{2}\) et \(W_{\infty}\). Un lecteur qui voudrait vérifier les raisonnements de la section 7 devra les prendre ailleurs.