Fonds Grothendieck, cote n° 156-9, pages 121–139

p. 116 de l'auteur. La page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient de la page précédente, hors de ce lot. de A forment directement un At . (Ceci posé) pour que le diagramme (\mathcal{A}') soit commensurable i.e. \bigcup A commensurable, il et il suffit que A le soit (i.e. qu'il soit « admissible », mais je préfère dire maintenant « commensurable »).

Nous pouvons maintenant poser

Axiome Atmagsupp 3 (englobant les deux précédents). Pour tout diagramme F_0 \ll F_1 \ll \cdots \ll F_n , le diagramme correspondant A_0 \ll A_1 \ll \cdots \ll A_n dans \operatorname{Figspatdisc}(\Sigma) (\Sigma = \Sigma_A) est commensurable.

NB Nous pouvons, (pour une opération pseudo-\Sigma) introduire le atelier \operatorname{Figélspatcomm}(\Sigma) des figures élémentaires spatiales commensurables de \Sigma, et ~~des~~ magiques

p. 117 de l'auteur. l'atelier \operatorname{Figspatcomm}(\Sigma). Nous y prendrons \trianglelefteq, |{\circ}| comme avant, mais une relation \mathring{\ll} (ou je préfère écrire \mathring{\ll}_{\mathrm{comm}}, de ) plus forte.

Mais le sens (commensurable), i.e. que ~~dépend~~ s'exprime peut-être à l'aide des seules strates des figures F et G, et que sur les strates, il n'est pas clair que \mathring{\ll}_{\mathrm{comm}} soit transitif ! (Déjà dans le cas trivial des figures élémentaires réduites à une seule « strate », via g \leq f \leq e e = f \vee f' \text{ avec } f \mathrel{|{\circ}|} f', \qquad f = g \vee g' \text{ avec } g \mathrel{|{\circ}|} g', la relation entre f et f', et entre g et g', est lue |{\circ}| sans certitude. et donc g, g', f' mutuellement disjoints et ~~\{g \vee g', f'\}~~ \{g, g'\} ainsi que \{g \vee g', f'\} commensurables, il ne s'ensuit pas que (g, g', f') l'…) Donc ça ne semble pas marcher…

Ça marche bien sûr quand \Sigma lui-même est une alg. de Boole, i.e. \wedge est distributif par r. à \vee…).

p. 118 de l'auteur. Le premier alinéa est marqué d'un trait vertical dans la marge. Il faudrait voir si l'existence d'une « fonction support entière fidèle » (cf VIII p. 62) implique toujours la validité de Atmagsupp 3, (comparer cf VIII p. 78, cor. 1), et regarder en particulier le cas des magmas fidèles.

Mais avant tout, il me faudrait aller de l'avant, pour me rendre compte exactement comment vont intervenir les axiomes des supports, et s'ils s'avèrent aussi cruciaux que je le pressens.

Critique philosophique de cette approche

le titre est le début de la phrase ; il ne porte pas de soulignement distinct. les supports, via les « opérations » vers les « espaces ». Dans la définition même des opérations matérielles , , on est forcé de « couper » des strates qui ne sont pas nécessairement compatibles, (ni même « commensurables » , et encore moins respectivement disons, et encore moins combinatoirement). Or il semble que

p. 119 de l'auteur. fin de compte, je me suis intéressé aux supports et opérations sur les supports, que dans le cas des supports constructibles (cas « ens. constr. » — magmas (\operatorname{Supp}^{\circ} \mathcal{C}…), et des familles communes de tels supports.

Il y a là une contradiction, qui est un visible pour certains, qui maintenant. D'ailleurs, la dernière présentation X \mathrel{|{\circ}|} Y implique que la connaissance de strates X, Y qui le composent quelles sont « ind. disj. ») peuvent ne pas être compatibles, ni même commensurables.

Pourtant, il semble indispensable d'avoir une description « intrinsèque » des supports subordonnés à une figure, ( objets de la figure l'occurrence \Sigma_{\mathcal{A}}) indépendamment ( ) de la dite figure. On plus

p. 120 de l'auteur. aussi devrait-il trouver, pour une fois ? Il faudrait que j'y sois très attentif, chaque fois que je ferai appel à des considérations de support. Je voudrais p. ex. donner aux supports attachés à une figure, et leurs relations aux supports attachés à une subdivision, une définition « intrinsèque » qui ne soit affectée par le fait que les deux subdivisions ne soient pas « commensurables » — ce « sens » un peu vague peut-il se préciser ?

On pourrait bien sûr songer à introduire plutôt que \Sigma_{\mathrm{ens}} de \Sigma = \Sigma_{\mathcal{A}}, formé des supports ens. constructibles, des opérations \mathcal{S} (partout définies) et des et partiellement définies seulement). Cette explicite-il une construction indépendante de la considération

p. 121 de l'auteur. notion préalable de \Sigma, le vrai chemin ? Par exemple, les supports constr. fermés (~~exclusif~~ relatif à un magma \mathcal{F}) pourraient-ils s'obtenir, en prenant l'ensemble ordonné déduit de (\mathcal{F}, \ll) en « inversant » les « flèches » \ll ( les subdivisions) ? pas sûr que la cat. des fractions obtenue soit bien un ens. ordonné, ( s'il l'était) et encore moins qu'il s'identifie à un sous-ens. ordonné de \Sigma. (Ce nécessairement un si \Sigma devait être lié aux profils des formes…).

Je dirais quand-même, pour me rassurer, que dans les cas où \Sigma est booléen (ateliers pseudo-booléens, et peut-être les ateliers fidèles ?, en tout cas les ateliers magmatiques), il n'y a vraiment rien à lui reprocher. Ce incluant avec déjà tous les cas qui importent.

p. 122 de l'auteur. considérer soit pas « classiques ». Ce sont des « ordres », pseudo-simpliciaux topologiques et tutti quanti, associés à l'intuition du « lieu » remplaçant le « point », qui causent tous les ennuis pour l'instant, et les seuls ennuis.

Mais même dans le cas des ateliers pseudo-booléens, il serait intéressant de voir si \Sigma_{\mathrm{ens}} n'admet pas une description combinatoire plus proche directe, dans un esprit plus proche d'une « géométrie des formes » — dans laquelle la spatialité a des fortes relents de topologie générale !cet alinéa est marqué d'un trait vertical dans la marge.

Prochaines choses : regarder pour « boucler » l'aspect provisoirement ensembliste — il serait temps !

a)Subdivisions — enfin ! morphismes« morphismes » est écrit au-dessus de « Prochaines choses », souligné, et relié par un trait à « Subdivisions ». b)Ateliers modérés c)Axiomes de saturation. Saturation d'un atelier, ou d'un atelier magmatique…

Avant, peut-être, a) sur les ateliers, b) relatifs aux supportsnote écrite verticalement dans la marge gauche, en face de la liste ; ses lettres a), b) renvoient aux points de la liste.

p. 1 de l'auteur, qui inscrit en tête « cf IX bis » ; une nouvelle pagination commence ici. Dans le coin supérieur gauche, en diagonale : « cf VIII ».

Morphismes d'ateliers

quelques mots en diagonale dans la marge gauche, en face du premier alinéa, illisibles.

Je suis intéressé par trois types de situations, que je voudrais pouvoir exprimer par une notion de morphismes

1°) Cas d'un atelier \mathcal{A}, et d'un sous-atelier \mathcal{A}', i.e. (cf X p. 27) une partie \mathcal{A}' satisfaisant la condition

Sous at Si X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \trianglelefteq Y, avec X, Y \in \mathcal{A}', alors Y' \in \mathcal{A}'.

Cela implique que, muni des relations induites par \mathcal{A} \trianglelefteq, \mathring{\ll}, |{\circ}|, \mathcal{A}' est un atelier, et que de plus, la relation \ll_{\mathcal{A}'} est induite par \ll_{\mathcal{A}} (ce qui est assuré précisément par Sous at). Je rappelle les exemples principaux

Ex 1 Soit \mathcal{F} \subset \mathcal{A} une préfigure de \mathcal{A}, i.e. une partie telle que \overline{\mathcal{F}}^{(\trianglelefteq)} soit une figure, i.e. telle que X, Y \in \mathcal{F} \Rightarrow X \between Y.le signe noté ici \between (une croix barrée) est rendu ainsi faute de mieux, dans tout le lot ; sa forme exacte reste douteuse. Alors \operatorname{Omb}^{\circ}(\mathcal{F}) = \{ X \in \mathcal{A} \mid X \mathrel{\mathring{\ll}} \mathcal{F} \} est un sous-atelier. (loc. cit.)

Ex 1 bis \mathcal{F} comme figure de \mathcal{A}, alors \mathcal{F} lui-même est un sous-atelier, (qui est même magmatique pour la structure induite). (En effet, si X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \trianglelefteq Y, avec X, Y \in \mathcal{F} \subset \mathcal{F}, comme Y' \in \overline{\mathcal{F}}, on a X = Y', donc Y' \in \mathcal{F}.)

p. 2 de l'auteur. Ex 2 Soit S \subset \mathcal{A}, considérons « l'atelier résiduel strict » formé des X \in \mathcal{A} tels que X \mathrel{\|} S, il est fermé pour \ll et a fortiori pour \trianglelefteq, donc c'est un sous-atelier.

Exemple 2 bis Considérons par contre le sous-ensemble \operatorname{Supp}^{\circ}(S) = \{ X \in \mathcal{A} \mid X \mathrel{|{\circ}|} S \}. Ce n'est pas en général un sous-atelier (loc. cit. p. 28). Mais dans le cas où S = \mathcal{F} est une préfigure, considérons l'ensemble ~~des~~ \{ X \in \mathcal{A} \mid X \mathrel{|{\circ}|} \mathcal{F} \text{ et } X \between \mathcal{F} \} (atelier résiduel au sens large). C'est un sous-atelier. En effet, soit X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \trianglelefteq Y \quad \text{avec } X, Y \in \mathcal{A}', prouvons Y' \in \mathcal{A}', i.e. \forall Z \in \mathcal{F}, \quad Y' \between Z, \text{ et } Y' \mathrel{|{\circ}|} Z \text{ i.e. } Y' \neq Z . La relation ~~Y' \between Z claire car Y \between Z~~, Y' \trianglelefteq Y… Si on avait Y' = Z, on aurait X \mathrel{\mathring{\ll}} Z, or X \in \mathcal{A}' implique que X \mathrel{|{\circ}|} Z, donc on aurait X \mathrel{|{\circ}|} X, absurde.le passage rayé est souligné en pointillé, ce qui pourrait indiquer qu'il est rétabli ; « Y' \trianglelefteq Y… » est écrit au-dessus.

Dans un prochain cas, il faudrait vérifier si \Sigma_{\mathcal{A}'} \hookrightarrow \Sigma_{\mathcal{A}} ?alinéa marqué d'un double trait dans la marge.

p. 3 de l'auteur. 2°) Cas d'une application ensembliste de f : E' \to E, ou d'espaces modérés, et de l'application f^{*} : \operatorname{Figures}(E) \longrightarrow \operatorname{Figures}(E') correspondante. Si f n'est pas surjective, cette application n'applique pas \operatorname{Figelann}(E) = \mathcal{A} dans \operatorname{Figelann}(E') = \mathcal{A}', mais dans ~~\operatorname{Figelann} \cup \{\emptyset\}~~ \mathcal{A}' \cup \{\emptyset\} (\leftarrow figure vide).

note marginale en diagonale dans la marge gauche, en face des lignes sur f_{*} ; quelques mots seulement, dont d'application, sont distinguables.

Cette application est compatible avec \trianglelefteq, \mathring{\ll}, |{\circ}|, mais en général elle n'est pas injective… Elle a tendance à passer aux supports, et donc à commuter à tout (\mathrm{Sup}, \mathrm{Inf}, \complement).

3°) Cas d'une application ensembliste g : E \to E', injective, et application g_{*} : \text{\struck{$\operatorname{Figel}$}}\ \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}', \quad \text{\uncertain{alors} injective.} Commute avec : \trianglelefteq, \mathring{\ll}, |{\circ}|, mais en passant aux supports, commute à \operatorname{Sup}_{i \in I} (I quelc.), \operatorname{Inf}_{i \in I} (I \neq \emptyset), S \wedge \complement T, mais pas à \complement si g pas bijective.

p. 4 de l'auteur. Cas commun : 2° et 3° : correspondance

\begin{tikzcd} \Gamma \arrow[r, hook, "f'"] \arrow[d, "f"'] & E' \\ E & \end{tikzcd}

telle que \Gamma \to E' soit injectif. Dans ce cas 2° et 3° (en fait, ) .

Le test dans le cas 2°, est \hat{f}_{*}(1)=1. Le test pour le cas 3° est quoi ?? Pour l'injectivité ( ), Cela fait que f soit injectif, \mathcal{A} |{\circ}| ( commutation ) le fait que \beta_{*} l'application l'injectivité de \mathrm{Sup}, \complement T … injective.longue note en diagonale qui envahit la moitié gauche de la page ; lue en tournant la feuille, elle reste en grande partie illisible.

\mathcal{A} \to \mathcal{A}' \cup \{\emptyset\}.

Il semble qu'il n'y a pas d'application directe de figures, par une application g : E \to E' qui ne soit injective.

Dans le cas d'un morphisme d'ateliers quelconque, il faut voir si se réduit toujours aux « correspondances » sur les opérations induites — \alpha_{*}, \beta_{*}.

p. 5 de l'auteur. Définition (provisoire). Soient \mathcal{A}, \mathcal{A}' deux ateliers. Un ho homomorphisme (algébrique, sans connotation géométrique fixée, pour le moment) de \mathcal{A} dans \mathcal{A}', est une application ~~de \mathcal{A}~~ f : \mathcal{A} \longrightarrow \hat{\mathcal{A}}' := \mathcal{A}' \amalg \{\emptyset\} \qquad \bigl(\hookrightarrow \mathcal{F}(\mathcal{A}')\bigr) satisfaisant les trois conditions, pour X, Y \in \mathcal{A} :

a)X \trianglelefteq Y \Longrightarrow f(X) \trianglelefteq f(Y) b)X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Longrightarrow f(X) \mathrel{\mathring{\ll}} f(Y) c)X \mathrel{|{\circ}|} Y \Longrightarrow f(X) \mathrel{|{\circ}|} f(Y).

les lettres a), b), c) sont écrites sur des numéros i), ii), iii).

Mais la condition cf VIII

Pour donner un sens à cette définition, il faut donner un sens aux relations X' \trianglelefteq Y', \quad X' \mathrel{\mathring{\ll}} Y', \quad X' \mathrel{|{\circ}|} Y' \quad \text{pour } X', Y' \in \mathcal{A}' \amalg \{\emptyset\}, donc définir quand l'un ou l'autre des deux termes est égal à \emptyset. Bonne convention ici pour \forall X' \in \mathcal{A}' :

a) X' \trianglelefteq \emptyset, (\emptyset \trianglelefteq X' toujours vrai) (NB \trianglelefteq sur \hat{\mathcal{A}}' n'est pas une relation d'ordre !)

b) \emptyset \mathrel{\mathring{\ll}} X', (X' \mathrel{\mathring{\ll}} \emptyset \iff X' = \emptyset)

NB \mathring{\ll} sur \hat{\mathcal{A}}' est une rel. d'ordre admettant \emptyset comme plus petit él.

p. 6 de l'auteur. c) X' \mathrel{|{\circ}|} \emptyset toujours satisfait.

L'introduction de \hat{\mathcal{A}}', et des conventions précédentes, sont inspirées par l'exemple 2°) précédent.

Noyau de f : \operatorname{Ker} f \overset{\text{déf}}{=} \{ X \in \mathcal{A} \mid f(X) = \emptyset \}. Alors b) implique que \operatorname{Ker} f \subset \mathcal{A} est fermé par \mathring{\ll}. Du coup on s'attend que ce soit des \Sigma(\mathcal{A}), mais on doit sans doute pour cela imposer des conditions supplémentaires sur f (en tous cas c'est OK dans l'exemple 2° ).

Partant d'une partie N \subset \mathcal{A}, fermée pour \mathring{\ll}, est-ce le noyau d'un homomorphisme d'atelier, et ce dernier peut-il se choisir canoniquement ? Plus précisément, peut-on trouver un atelier \mathcal{A}/N (opération d'excision)

p. 7 de l'auteur. et un homom. \mathcal{A} \xrightarrow{\;p\;} \mathcal{A}/N ayant le noyau N (ou \supset N ?), qui soit universel, au sens que tout homom. d'ateliers \mathcal{A} \xrightarrow{\;f\;} \mathcal{A}' ayant un noyau \supset N, se factorise par p de façon unique. (NB La notion de composition est claire, en interprétant les homom. d'ateliers comme des applications ensemblistes \mathcal{A} \amalg \{\emptyset\} \xrightarrow{\;\hat{f}\;} \mathcal{A}' \amalg \{\emptyset\} transformant \{\emptyset\} en \{\emptyset\}, et ~~pour~~ dans la construction \mathcal{A} les propriétés . dire que \hat{f} est compatible à \trianglelefteq, \mathring{\ll}, |{\circ}| sur \hat{\mathcal{A}} !).

quelques mots en diagonale dans la marge gauche, illisibles.

L'exemple type est celui-ci : \mathcal{A} = \operatorname{Figelann}(E), \qquad N = \{ X \in \mathcal{A} \mid |X| \subset E \setminus E' \}, \mathcal{A}/N = \operatorname{Figelann}(E'), mais comme quotient de \mathcal{A} \setminus N.fin de page très chargée : sous « \operatorname{Figelann}(E) » il ajoute dans ce cas, et une ligne d'interligne, en partie rayée, court jusqu'à « \mathcal{A}\setminus N ». Le nom \operatorname{Figelann} est lu tel qu'il est écrit, sans certitude sur sa graphie.

p. 8 de l'auteur. À supposer qu'une telle construction existe dans un cas donné pas général, elle s'annonce délicate. Pour fixer les idées, il serait bon regarder d'abord les cas suivants

1°) Cas d'un atelier ensembliste

Déjà ce n'a pas l'air évident, surtout on suppose pas que l'atelier soit modéré, même pour des N très particuliers comme p. ex. \operatorname{Omb}^{\circ} F, F une figure, ou \operatorname{Supp} F.

2°) Cas d'un ensemble ordonné A, N partie quelconque de A (NB x \mathrel{\mathring{\ll}} y \Rightarrow x = y !). LLà, on doit trouver l'ensemble ordonné A \setminus N simplement. cette fois !

Pour la relation avec le formalisme des supports, s'inspirer éventuellement de cf VIII p. 70 ff. Là je n'ai pas le pour, et laisse tomber pour le moment.

p. 9 de l'auteur.

Subdivisions

Soient \mathcal{A} un atelier, \mathcal{F} l'ensemble des \mathcal{A}-figures, et G \ll F dans \mathcal{F}. On a donc une application croissante \varphi : \widetilde{G} \longrightarrow \widetilde{F} sous \widetilde{G} et \widetilde{F} il écrit, par un signe d'égalité vertical, G et F munis d'un signe diacritique qu'on ne lit pas sûrement. telles que pour Y \in \widetilde{G}, X = \varphi(Y), on ait Y \mathrel{\mathring{\ll}} X . Pour dire que G est une subdivision de F, nous exigeons ~~d'abord~~ que

(i) \forall X \in \widetilde{F}, ~~posant~~ considérons \varphi^{-1}(X) \subset \widetilde{G}, on a \varphi^{-1}(X) \mathrel{\mathring{\ll}} X, et \operatorname{Supp}^{\circ} \varphi^{-1}(X) \subset X^{\circ}, ~~on a~~ donc ~~\operatorname{Supp}^{\circ} \varphi^{-1}(X)~~ \operatorname{Supp}^{\circ} \varphi^{-1}(X) = X^{\circ}

Il valait mieux ici note en diagonale dans la marge gauche, en partie rayée.

Atmag supp ?, on voit facilement que ceci équivaut à chacune des deux conditions

(ii) \operatorname{Supp} G = \operatorname{Supp} F (= \operatorname{Supp}^{\circ} G) (= \operatorname{Supp}^{\circ} F)

ou encore

(iii) Il n'existe pas Z \in \mathcal{A} avec Z \ll F, et Z \mathrel{|{\circ}|} G.

p. 10 de l'auteur. Quand \mathcal{A} est divisible, Z \in \mathcal{L}, et on trouve la forme

~~(iii)~~ (iv) Il n'existe pas x \in \mathcal{L}, avec x \in \operatorname{Omb}(F) (i.e. x \ll F), et x \mathrel{|{\circ}|} G.

En fait, les implications \text{(i)} \Rightarrow \text{(ii)} \Rightarrow \text{(iii)} \Rightarrow \text{(iv)} sont triviales, et (iv) \Rightarrow (i) ( divisibilité) aussi ! (iii) \Rightarrow (i), qu'en Atmag supp ?dans cette chaîne, plusieurs numéros sont récrits sur d'autres, rayés.

[Signalons une autre condition équivalente, moyennant la divisibilité :

~~(iv )~~ (v) G est maximal parmi les raffinements de F, admis par \mathcal{C}.

~~Mais~~ Quand ces conditions ~~satisfaites~~, je dirai que G est une subdivision de F. ~~(comme précédemment)~~

note en diagonale dans la marge gauche, illisible ; on y distingue un « NB ».

~~Mais je rajouterai la condition~~

(ii) La top. de \widetilde{F} ( d'ordre) est quotient de celle de \widetilde{G}, en d'autres termes, si X, X' \in \widetilde{F}, pour qu'on ait X \leq X', il faut (et il suffit) qu'il existe Y \in \varphi^{-1}(X), Y' \in \varphi^{-1}(X') avec Y \leq Y'.

~~Cela signifie aussi, dans le cas \mathcal{A} = \operatorname{Figelann}(E)~~…ce dernier passage est barré de traits diagonaux ; la rature se poursuit sur la page suivante.

p. 11 de l'auteur. disons, que F se déduit de G par « regroupement de strates » Y_j^{\circ} (pour former les X_i^{\circ}) sans plus – et que la relation d'ordre sur I, ces « strates fermées », se déduit simplement de celle sur J par passage au quotient.page barrée de deux traits diagonaux, comme la fin de la précédente ; le reste de la feuille est vide. C'est la dernière page du dossier : le passage rayé s'arrête là.