Fonds Grothendieck, cote n° 156-9, pages 101–120

p. 98 de l'auteur. La page s'ouvre au milieu d'une discussion des correspondances entre spatios \Sigma \to \Sigma', commencée avant ce lot ; la relation d'ordre qui suit porte sur \mathrm{Corr}(\Sigma,\Sigma'). Notations du lot : \mathbin{|\circ|} pour la relation de disjonction, \complement pour le complémentaire, \mathfrak{P}(E) pour l'ensemble des parties.

f \le g \;\overset{\text{déf}}{\iff}\; \forall x \in \Sigma,\ f(x) \le g(x) .

Je dis que pour cette relation d'ordre dans \mathrm{Corr}(\Sigma,\Sigma'), les Sup quelconques (donc aussi les Inf quelconques) existent, et sont donnés par \bigl(\operatorname{Sup}_i f_i\bigr)(x) = \operatorname{Sup}_i f_i(x) \qquad \forall x \in \Sigma . En effet, l'associativité des Sup montre que l'application des Sup ainsi définie commute bien aux Sup quelc., donc est une corr. de spatios.

Mais la structure \complement, ou la structure de disposition, n'est pas claire. Dans le cas où E est une disposante triviale, et où les corr. E \to \Sigma' sont donc les applications quelconques E \to \Sigma', donc \mathrm{Corr}(\Sigma_E, \Sigma') \simeq \Sigma'^{E}, des structures de disjonction et de \complement se définissent « terme par terme », prenant (\complement f)(x) = \complement f(x) \qquad \forall x \in E ,

p. 99 de l'auteur. f \mathbin{|\circ|} g \iff \forall x \in E,\ f(x) \mathbin{|\circ|} g(x) , mais si on prend des arguments dans \mathfrak{P}(E) et non dans E, on n'a plus en général (\complement f)(A) \ne \complement\bigl(f(A)\bigr) \qquad \bigl(A \in \Sigma_E = \mathfrak{P}(E)\bigr) et f \mathbin{|\circ|} g \not\Longrightarrow f(A) \mathbin{|\circ|} g(A) .

On voit donc que la question de définir \complement ou \mathbin{|\circ|} sur \mathrm{Corr}(\Sigma,\Sigma') en général, semble liée à la question de l'existence le droit, des éléments minimaux de \Sigma \smallsetminus \{0_\Sigma\}, ou d'autres objets arithmétiques qui en tiendraient lieu, jouant le rôle des « points ».

Une question dans l'aristotélicienne. opération est la suivante. ~~Dans le~~ ensembliste (disp. triviales), utilisant le graphe \Gamma (\subset E \times E') d'une correspondance, ~~celle-ci peut~~

p. 100 de l'auteur.

\begin{tikzcd} \Gamma \arrow[r, "f'"] \arrow[d, "f"'] & E' \\ E & \end{tikzcd}

celle-ci peut se décomposer en \Gamma = f' \circ {}^{t}f , i.e. « l'inverse » d'une application (correspondant à : A \mapsto f^{-1}(A), \mathfrak{P}(E) \to \mathfrak{P}(\Gamma)) suivie de l'application f' (donnant : B \mapsto f'(B), \mathfrak{P}(\Gamma) \to \mathfrak{P}(E')).

Une corr. de la forme {}^{t}f (« comorphisme ») peut d'ailleurs se caractériser en termes de corr. de spatios algébriquement et , par la propriété de commutation à \complement ; et de même, une correspondance de la forme f' (« morphisme ») se caractérise par la propriété que sa transposée {}^{t}f' commute à \complement.

Y a-t-il une décomposition similaire dans le cas général des ~~corr. de~~ atelier dans disposantes, ou en qui revient au même, entre spatios ?

p. 101 de l'auteur. Ces questions ne paraissent pas, à première vue, être de conséquence directe pour la formalisation ensembliste des ateliers. Il n'en va plus de même des suivantes.

Analogie ensembliste. Soient E, E' des ensembles, et \alpha_*\colon \mathfrak{P}(E) \to \mathfrak{P}(E') une application associée à une corr. \alpha, i.e. \alpha_* commutant aux Sup quelc. Soit \Gamma le graphe, E \xleftarrow{f} \Gamma \xrightarrow{f'} E', donc \alpha_*(A) = f'\bigl(f^{-1}(A)\bigr). Sur la plupart des \alpha_* des pp. 101–105, un petit trait griffonné surmonte la lettre \alpha ; on ne sait s'il s'agit d'un accent biffé ou d'un signe distinctif, et il n'est pas reproduit.

A) Conditions équivalentes

(i)\alpha_* commute à \mathbin{|\circ|} ; (ii)\alpha_* commute à : S \wedge T, \bigwedge_{i\in I} S_i, pour I \ne \emptyset ; (ii')\alpha_* commute à : S \wedge \complement T ; (iii')\alpha_* commute à : S \wedge \complement T pour T \le S ; (iv)f' injective — i.e. \alpha composé d'un « comorphisme », et d'un « morphisme » associé à une application injective (ou encore : définissant une application f' injective \mathfrak{P}(\Gamma) \to \mathfrak{P}(E').

Corollaire 1. Conditions équivalentes

(i)\alpha_* commute à \mathbin{|\circ|} et \alpha_*(1) = 1 ; (ii)\alpha_* — S \wedge T et \alpha_*(1) = 1 ; (ii')\alpha_* — \bigwedge_{i\in I} S_i, I fini.

déduit de A et B, cor.

p. 102 de l'auteur.

(ii'')\alpha_* commute aux \bigwedge quelconques ; (iii)\alpha_* commute à : \complement, i.e. f\colon \Gamma \xrightarrow{\sim} E ; (iv)\alpha est un comorphisme, i.e. \alpha_* \alpha_* de la forme A \mapsto g^{-1}(A), où g \;(= f' f^{-1})\colon E' \to E.

la parenthèse g = f' f^{-1} est lue telle quelle ; le sens de la flèche E' \to E demanderait plutôt f \circ f'^{-1}.

B) Conditions équivalentes

(i)\alpha_*(1_E) = 1_{E'} ; (ii)\beta_*(S) = \emptyset_E \Longrightarrow S = \emptyset_{E'} ; (iii)f' surjectif — i.e. \alpha composé d'un comorphisme, et d'un morphisme surjectif.

Corollaire 2. Conditions équivalentes

(i)\alpha_* commute à : \mathbin{|\circ|} « fidèlement », i.e. \forall S, T \in \mathfrak{P}(E), S \mathbin{|\circ|} T \iff \alpha(S) \mathbin{|\circ|} \alpha(T) ; (ii)\alpha_* commute à : \mathbin{|\circ|} (cf. A) conditions équivalentes : celles-ci), et \alpha_*(S) = \emptyset \Longrightarrow S = \emptyset ; (iii)\alpha est composé d'un comorphisme défini par une application surjective g, et d'un morphisme injectif.

Corollaire 3. Conditions équivalentes (cf. A) pour cond. équiv.),

(i)\alpha_* commute à : \complement, et \alpha_*(S) = 0_{E'} \Rightarrow S = 0_E ; (ii)\alpha_* commute à : \mathbin{|\circ|} fidèlement, et 1 \to 1 ; (iii)\alpha est un comorphisme correspondant à une application surjective g\colon E' \to E.

p. 103 de l'auteur. La question se pose donc dans quelle mesure ces équivalences ~~sont valables~~ gardent un sens et restent valables pour des correspondances entre disposantes quelconques. Faute d'avoir une décomposition canonique du type \alpha_* = f'_* f^*, ~~il y a~~ l'interprétation « naïve » ou « directe » en termes des propriétés de f, f', semble devoir disparaître. En fait, on a des équivalents algébriques « naturels » de , qui ont un sens .

Mathématiquement, les preuves ( que (i) (iii) dans A) des équivalences de (i) (iii') dans A), qui passent par des hypothèses draconiennes, plus fortes que de l'hypothèse booléenne des opérations à . Peut-être des faux problèmes, en ce que pour mon travail proprement géométrique, on n'aura affaire qu'à des supports très particuliers (constructibles), les supports (constructibles) et on n'aura à prendre des Sup et des Inf que sous des conditions idoines de « commensurabilité ». Ce sont les cas , précisément, les arguments cf. VIII

p. 104 de l'auteur. auxquels j'ai fait allusion tout à l'heure, dans A), pour nous dire que la commutation de \alpha_* à \mathbin{|\circ|} implique les autres propriétés (sous les hyp. restrictives de commensurabilité). Dans l'intuition géométrique : « \alpha_* commute à \mathbin{|\circ|} » signifie qu'elle est celle d'un « comorphisme » suivi d'une application injective. Quand de plus \alpha_*(1) = 1, on s'attend donc à avoir commutation à \complement ( le prouver, moyennant des conditions de constructibilité convenables).

NB. La commutation à \complement implique déjà que 1 \to 1, ainsi que la compatibilité à \mathbin{|\circ|}.

Question. Si \alpha_* et \beta_* commutent à \complement (i.e. ), un iso. de spatios, inverses l'un de l'autre) ?

Notons enfin que l'équivalence de (i) et (ii) dans (B) se vérifie trivialement dans tout spatios.

p. 105 de l'auteur. Lemme 1. Soit b \le c dans \Sigma. Conditions équivalentes

(i)\exists\, b^* \in \Sigma tel que b^* \mathbin{|\circ|} b et b \vee b^* = c ; (ii)On a b \vee b^*_0 = c, où b^*_0 = \complement b \wedge c.

De plus, si on a b^* comme dans (i), on a b^* \le b^*_0, i.e. b^*_0 est le plus grand des b^* satisfaisant (i).

Lemme 2. Soit b \le c dans \Sigma. Conditions équivalentes (pour \vee, \wedge, \complement),

(i)b, c engendrent dans \Sigma une sous-algèbre de Boole. (ii)b, c engendrent une sous-algèbre de Boole finie, de cardinal 2^n avec n \in \{1,2,3\}.

NB (n = 1 ssi \{b,c\} \subset \{0,1\} ; n = 2 ssi b = 0 ou c = 1 ou b = c, ~~mais \{b,c\} \not\subset \{0,1\} ; \{b,c\} \ne \{0,1\} ( exclus) c \ne 0, b \ne 1 et~~ ; n = 3 ssi ~~b = 0, b \ne 1, et b = 0 et c = 1~~ 0 < b < c < 1 \bigr) .

(iii)(b, c) satisfait la condition du lemme 1, et (c', b') aussi, où c' = \complement c, b' = \complement b. (iv)Posant \alpha = b, \beta = c \wedge \complement b, \gamma = \complement c, b, \alpha, \beta, \gamma engendrent une sous-alg. de Boole de \Sigma, satisfaisant aux relations \complement(\alpha \vee \beta) = \gamma, \complement(\beta \vee \gamma) = \alpha, \complement(\gamma \vee \alpha) = \beta / i.e. \complement(\alpha) \wedge (\gamma \vee \alpha) = \gamma, \quad \complement(\beta)(\gamma \vee \alpha) = \alpha .

la dernière ligne est lue telle quelle : les lettres et le signe \wedge manquant du second terme ne s'accordent pas avec les relations qu'elle prétend reformuler. dont \alpha, \beta, \gamma mut. disjoints

Cor. Conditions équivalentes sur \Sigma

(i)\forall couple b, c avec b \le c, les conditions du lemme 1 sont satisfaites. (plus forte) (ii)\forall couple b, c avec b \le c, les conditions du lemme 2 sont satisfaites. (iii)\forall couple \alpha, \beta avec \alpha \mathbin{|\circ|} \beta, \alpha et \beta engendrent une sous-algèbre de Boole (laquelle sera finie, de card. 2^n, ~~1 \le n \in \{1,2,3\}~~ ou \alpha \vee \beta = 1, ; n = 1 ssi \{\alpha, \beta\} \subset \{0,1\}, n \le 2 ssi \alpha ou \beta est nul , n = 3 ssi \alpha \ne 0, \beta \ne 0, \alpha \vee \beta \ne 1. (iiii) ~~\alpha \ne 0,~~ Condition (iii), mais avec familles finies (\alpha_i), avec \alpha_i \mathbin{|\circ|} \alpha_j pour i \ne j.

lemme (iii) plus cor. 2 la marge gauche porte, en travers, une longue note de quatre ou cinq lignes en partie biffée, dont on ne lit que quelques mots ; elle n'est pas transcrite.

p. 106 de l'auteur. Sous les conditions éq. du Cor. 1 (iii),

Corollaire 2. Si \alpha, \beta \ne 0, \alpha \vee \beta \ne 1, et posant \gamma = \complement(\alpha \vee \beta) \ne 0, \alpha, \beta, \gamma forment une « base » de l'algèbre de Boole engendrée par \alpha, \beta. Sous les conditions du lemme 2, et supposant 0 < b < c < 1, posant \alpha = b, \quad \beta = c \wedge \complement b, \quad \gamma = \complement c , \alpha, \beta, \gamma forment une base de l'algèbre de Boole engendrée par b, c.

Question. Les conditions envisagées dans ~~Lemme 1~~ Cor. 1 sur \Sigma sont-elles toujours vérifiées ? J'en doute fort ! Le sont-elles si \Sigma est fini ? J'en doute également. Si on suppose ces conditions satisfaites, \Sigma est-il nécessairement une algèbre de Boole ? Est-il du moins vrai l'hypothèse similaire à celle du Cor. (iiii), pour les familles (\alpha_i)_{i \in I} d'élts mutuellement disjoints de I (presque finies) ? contrexemple \Sigma = 10

Il faudrait des relations convenables qui , pour un spatios \Sigma construit via un ens. ordonné L, mais où la relation x \mathbin{|\circ|} y ssi x < y ou y < x.

p. 107 de l'auteur. en haut à gauche, un treillis dessiné en perspective, comme un prisme hexagonal vu de biais : de 0 partent des flèches vers a (en passant par a'), c et b' ; de là vers B, C, A (avec une étape marquée A' entre A et 1), puis vers 1 ; plusieurs flèches intérieures repassées et une étoile au centre. Au-dessous, un hexagone orienté de sommets A, b, C, a, B, c, les flèches allant des sommets bas b, a, c vers les sommets A, C, B, doublé d'un arc de cercle.

Points i, i', j, k (dessinés à côté). \text{\struck{$A \in \mathfrak{t}$}} \quad E \in \mathfrak{P}^3(I) \;\Bigm|\; \left\{ \begin{array}{l} i, i' \in E \text{ ou } i, i' \notin E \text{ ou} \\ E = \{i\} \text{ ou } E = \{i, j, k\} \end{array} \right\} ~~telles que~~ sous \{i\} une accolade porte a', sous \{i, j, k\} une accolade porte A'.

a', b, c, \qquad b \vee c = A, \quad c \vee a' = B, \quad a' \vee b = C ; au-dessous, une flèche \complement descend de A vers a (« pas OK ! »), de B vers b (« OK »), de C vers c (« OK »).

p. 109 de l'auteur, chiffre récrit sur un 108. Après cette longue digression, il faudrait revenir à l'axiome des supports dans un atelier.

Lemme 1. Soit \Sigma un spatios, e_* = (e_i)_{i \in I} une famille d'élts de \Sigma mutuellement disjoints, ~~soit telle que~~ non nuls, et tels que \bigvee_i e_i = 1_\Sigma . Conditions équivalentes

(i)L'ens. des e_i est contenu dans un sous-ensemble ~~\mathfrak{B}~~ de \Sigma stable par Sup, Inf et \complement, ~~\vee, \wedge, \complement, et qui~~ et qui, pour la structure induite et \complement induite, est une « alg. de Boole ». (ii)~~L'ensemble~~ Pour toute J \in \mathfrak{P}(I), posant e_J = \operatorname*{Sup}_{i \in J} e_i , l'application ainsi obtenue \mathfrak{P}(I) \longrightarrow \Sigma, \qquad J \longmapsto e_J (qui commute déjà aux Sup quelconques) commute : \complement (donc aussi aux Inf quelconques).

NB cette application est injective = \{i \in I \mid e_i \le e\}

p. 110 de l'auteur. Sous ces conditions, l'image \Sigma_e de cette application est le plus petit sous-ensemble \Sigma' de \Sigma satisfaisant aux conditions de (i).

Cor. 1. Mêmes données, mais on ne suppose pas que e \overset{\text{déf}}{=} \operatorname*{Sup}_{i \in I} e_i soit égal à 1, et on introduit e_0 = \complement e. Pour que les conditions des lemmes soient satisfaites, il suffit que pour \bigl\{ \{e_i\}, e_0 \bigr\} (indexé par I \sqcup \{0\}) il faut et il suffit ~~qu'on ait~~, pour toute partie I' de I, posant I'' = I \smallsetminus I', e = e_{I'} \vee e_{I''} (de sorte que e_0 = \complement e), ~~on ait~~ on ait \complement e_{I'} = e_{I''} \vee e_0 (compatibilité aux \complement), ce qui revient au même à e_{I'} = e \wedge \complement e_{I''} .

Déf. On dit alors que la famille (e_i)_{i \in I} d'éléments mutuellement disjoints est « admissible ». \Sigma_{e_*} = \Sigma_{(e_i)} , alg. de Boole engendrée, iso. à \mathfrak{P}\bigl(I \sqcup \{e_0\}\bigr).

p. 111 de l'auteur. Ainsi, le premier axiome sur les supports d'un atelier A muni d'un magasin associé \mathcal{F}, sera \mathrm{Figat}(A) :

Atmagsupp 1. Pour toute figure F \in \mathcal{F}_c, la famille des (X^\circ)_{X \in F} dans \Sigma_A est admissible.

Cet axiome n'est pas redondant, on le voit en partant d'un commun en prenant l'atelier associé au spatios \Sigma, \mathrm{Figelspat}_{\mathrm{fin}}(\Sigma) des figures élémentaires (spatiales) finies (disjointes) de \Sigma, et le magasin ~~des~~ associé \mathrm{Figspat}_{\mathrm{fin}}(\Sigma) des figures spatiales finies. La validité de l'axiome des supports revient alors, d'après le cor. 1, à ceci : si e, e' \in \Sigma ~~avec~~ e \mathbin{|\circ|} e', ~~et si e'' = \complement(e \vee e'),~~ ~~alors~~ \text{alors} \quad e' = (\complement e) \wedge (e \vee e') . Du moins, la validité des conditions du lemme 2 (p. 105) sur \Sigma. « p. 105 » renvoie à la pagination de l'auteur, c'est-à-dire à la p. 108 des archivistes (lemme 2 sur b \le c).

p. 112 de l'auteur. L'axiome des supports ne concerne directement que les données \lhd, \mathbin{|\circ|} et \mathcal{F} \subset \mathfrak{P}(A) sur A, et ne fait pas intervenir encore \overset{\circ}{\ll} ou \ll. Je conviens de la convention suivante.

Considérons dans un spatios \Sigma toutes les ~~familles (e_*, I) = (e_i)_{i \in I}~~ ~~e_* = \{e_i\}_{i \in I}~~ parties A, formées d'objets ~~non~~ nuls mutuellement disjoints. On peut les considérer comme des objets de \mathrm{Figspat}(\Sigma), ~~pour~~ la relation d'ordre étant discrète (discrets) ~~sur~~ A. Nous allons écrire, pour A, B \in \mathrm{Figspatdisc}(\Sigma) , B \ll A \iff \forall b \in B,\ \exists a \in A \text{ avec } b \le a (NB c'est aussi la relation induite par \ll de \mathrm{Figspat}).

~~Cons~~ Pour un a \in A donné, considérons l'ens. B_a = \{ b \in B \mid b \le a \} , formé des élts de B (mut. disj.) qui sont \le a. Soit a' = \operatorname{Sup} B_a \le a, et a'' = a \wedge \complement a'.

p. 113 de l'auteur. Lemme 2. Avec les notations précédentes, les conditions suivantes sont équivalentes

(i)A \cup B \subset \Sigma', où \Sigma' est une partie de \Sigma stable par Sup, Inf et \complement, et qui est une alg. de Boole pour l'ordre induit par \Sigma et pour l'op. induite par \complement. (ii)On a a)\forall a \in A, on a a = a' \vee a'' ; b)~~La famille formée des b \in B et parties de B~~ L'ensemble \widehat{B} = B \cup \{ a'' \mid a \in A \text{ t.q. } a'' \ne 0 \} est admissible.

Sous ces conditions, l'alg. de Boole \Sigma_{\widehat{B}} engendrée par \widehat{B} (cf. déf. p. 110), ~~est aussi l'~~ iso. à \mathfrak{P}(\widehat{B}), est aussi le plus petit des sous-ens. \Sigma' satisfaisant (i). « déf. p. 110 » renvoie à la pagination de l'auteur : la définition des familles admissibles, p. 115 des archivistes.

Déf. On dit donc que \{A, B\} est admissible.

Axiome Atmagsupp 2. Pour F toute F \ll G avec F, G \in \mathcal{F}, posant B = \{ X^\circ \mid X \in G \}, \qquad A = \{ X^\circ \mid X \in F \} , ainsi sur la page : B est indexé par G et A par F, alors que F \ll G et que B \ll A dans la notation de la p. 117.

p. 114 de l'auteur. ~~Les deux familles parties~~ \{A, B\} est une partie admissible de parties de \Sigma_A.

Ceci n'est pas assez : il faudrait pouvoir traiter le cas d'un « drapeau » quelconque dans (\mathcal{F}, \ll) F_0 \ll F_1 \ll \dots \ll F_n donnant naissance dans \Sigma = \Sigma_A à un drapeau similaire dans \mathrm{Figspat}(\Sigma), mais qui n'a plus d'interprétation, par oubli des structures d'ordre supplémentaires sur chacun des F_i, comme un drapeau dans \mathrm{Figspatdisc}(\Sigma) A_0 \ll A_1 \ll \dots \ll A_n .

Pour exprimer l'axiome pertinent, ~~disons de façon générale~~ généralisons la

Définition. Soit \Sigma un spatios, ~~une~~ et A une partie de \Sigma. Nous dirons que A est une partie commensurable de \Sigma, ou que

p. 115 de l'auteur. les a \in A sont « commensurables dans leur ensemble » (NB c'est plus fort que d'exiger qu'ils le soient 2 : 2), si A \subset \Sigma', \Sigma' un un « sous-spatios » (stable par Sup, \complement et par Inf) qui est une alg. de Boole.

Ceci posé, étant donné un drapeau A_0 \ll A_1 \ll \dots \ll A_n , nous dirons qu'il est commensurable, si A = \bigcup_{1 \le i \le n} A_i l'est.

~~On pourrait l'exp~~

Lemme 3. Pour tout 1 \le i \le n, et a_i \in A_i, considérons a''_i défini comme dans lemme 2, pour A_{i-1} \ll A_i. Soit A''_i = \{ a''_i \mid a_i \in A_i \text{ t.q. } a''_i \ne 0_\Sigma \} . ~~Soit~~ On pose aussi A''_0 = A_0 , \qquad A = \bigcup_{0 \le i \le n} A''_i . Alors les A''_i sont formés d'élts non nuls mut. disj., et ils sont mutuellement disjoints entre eux,

l'énoncé du lemme 3 se poursuit au-delà de ce lot.