Fonds Grothendieck, cote n° 156-9, pages 61–80

l'argument vient d'avant ce lot : la page 61 poursuit une discussion, commencée plus haut, de la relation de disposition |o| et des opérateurs \operatorname{supp}^{\circ}, \operatorname{cosupp}^{\circ}, dont les définitions ne figurent pas ici.

p. 58 de l'auteur On donne une catégorie, ~~la catégorie~~ telle, et un objet (équivalent : un graphe (strict)), constituant un , exprimant l'intuition qui s'attache à la situation. On pourrait appeler un (E, |o|_E) un ensemble muni d'une relation de disposition, ou disposition, et ~~la catégorie précédente~~ parler de morphismes de dispositions, notation \operatorname{Hom}_{\mathrm{dis}}(\underline{E}, \underline{E}'), et la catégorie des dispositions. Ceci dit, tel pour un morphisme de dispositions E \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathfrak{P}(E') considérons l'application \bar\alpha : \mathfrak{P}(E) \longrightarrow \mathfrak{P}(E'), \qquad A \longmapsto \bigcup_{x \in A} \alpha(x), et l'application composée \Sigma_E \xhookrightarrow{\ \mathrm{inc}\ } \mathfrak{P}(E) \xrightarrow{\ \bar\alpha\ } \mathfrak{P}(E') \xrightarrow{\ \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\ } \Sigma_{E'} ; l'opérateur noté ici \operatorname{supp}^{\circ} (et plus loin \operatorname{cosupp}^{\circ}) est abrégé « s–pp° », « cos–pp° » sur les pages ; la lecture « supp » est probable mais non assurée. Sur cette page, une première écriture biffée de \Sigma_E précède la composée. ~~Il est.~~ On pose \alpha_{*} : \Sigma_E \longrightarrow \Sigma_{E'}, \qquad \alpha_{*}(S) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(S)\bigr). Cette application on fait défini cueilliesfin de ligne en bas de page, très incertaine.

p. 59 de l'auteur quel que soit la correspondance \alpha, même si celle-ci n'est pas compatible aux dispositions. Cependant, quand il y a compatibilité, on trouve aussi la formule essentielle (*) \qquad \boxed{\ \alpha_{*}\bigl(\operatorname{supp}^{\circ}_{E} A\bigr) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(A)\bigr)\ }

toute la démonstration qui suit, jusqu'à « Il faudrait », est barrée de longs traits obliques. ~~Dém. Soit \bar A = \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A), donc A \subset \bar A ; alors~~ \text{\struck{$\alpha_{*}(\bar A) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(\bar A)) \supset \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(A))$}} ~~puisque \bar A \supset A implique que \bar\alpha(\bar A) \supset \bar\alpha(A). Prouvons l'inclusion inverse~~ \text{\struck{$\operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(\bar A)) \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(A))$,}} ~~donc que pour tout x' \in E', on a~~ \text{\struck{$x' \mathrel{|o|} \bar\alpha(A) \Longrightarrow x' \mathrel{|o|} \bar\alpha(\bar A)$~?}} ceci faux ! Il faudrait

Mais il existe une à l'aide de la formule « duale » (**) \qquad \alpha_{*}\bigl(\operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(B)\bigr) = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(B)\bigr) (\forall B \in \mathfrak{P}(E)) qu'on applique (une fois pour B, une fois pour A) deux fois ~~fois~~ dans le cas où B = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(A) ~~fois pour A~~ : \begin{align*} \alpha_{*}\bigl(\operatorname{supp}^{\circ}(B)\bigr) &= \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(\operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(A))\bigr) \\ &= \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\Bigl(\operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(\ \text{---}\ )\bigr)\Bigr) \end{align*} sous la seconde ligne, une accolade porte \alpha_{*}(\operatorname{cosupp}^{\circ}(A)), suivi d'un « = \operatorname{cosupp}^{\circ} » biffé ; les indices et la notation exacte de cette fin de page sont incertains.

p. 60 de l'auteur et comme \alpha_{*}\operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(A) = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(A)), on trouve finalement \begin{align*} \uncertain{dans}\ \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A) &= \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(A))\bigr) \\ &= \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(A)) \qquad \text{cqfd.} \end{align*} le membre de gauche de la première ligne est tel qu'écrit ; on attendrait \alpha_{*}(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)).

Donc il faut établir la formule, qui, pour B \in \Sigma_E, ~~donne~~ s'écrit \begin{align*} \alpha_{*}(\complement B) &= \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(B)\bigr) \\ &= \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\underbrace{\operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(B))}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \alpha_{*}(B)}\bigr) = \complement\,\alpha_{*}(B), \end{align*} i.e. \boxed{\ \alpha_{*}(\complement B) = \complement\,\alpha_{*}(B)\ } i.e. \alpha_{*} compatible avec \complement.le symbole lu \complement est un grand « C » placé devant la partie, qu'on lit comme le complémentaire.

~~Soit donc~~ Il faut donc prouver (**), qui apparaît comme la formule-clef. Posons C = \operatorname{cosupp}^{\circ} B = \{\, x \in E \mid x \mathrel{|o|} B \,\}~; alors la formule (**) s'écrit \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(C)\bigr) = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(B)\bigr) \qquad \bigl(C = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(B)\bigr). Prouvons d'abord \subset, qui revient à \bar\alpha(C) \subset \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(B)\bigr), ou encore \bar\alpha(C) \mathrel{|o|_{E'}} \bar\alpha(B) B et résulte de

p. 61 de l'auteur B \mathrel{|o|_{E}} C, compte tenu de la ~~propriété fondamentale~~ compatibilité de \alpha aux dispositions. Reste la question \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(B)\bigr) \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(C)\bigr), i.e. ceci :

(***) Soit x' \in E', alors x' \mathrel{|o|} \bar\alpha(B) implique x' \in \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(C)\bigr), i.e. \forall y' \in E', avec y' \mathrel{|o|} \bar\alpha(C), on a x' \mathrel{|o|} y'.

Pour le dire autrement : x', y' \in E', \quad x' \mathrel{|o|} \bar\alpha(B), \quad y' \mathrel{|o|} \bar\alpha(C) \ \Longrightarrow\ x' \mathrel{|o|} y'.

Mais, en effet, on a plus Je ne vois pas que cela puisse se déduire de la seule compatibilité de \alpha aux dispositions, qui affirme seulement que deux éléments de E' sont séparés dans la disposition d'éléments x', y' de E' qui correspondent : des éléments x, y de E. ~~Il semble donc, pour pouvoir~~

~~conclure~~ D'ailleurs, un contre-exemple immédiat, en prenant dans E, E' la « disposition tautologique » x \mathrel{|o|} y \Longleftrightarrow x \neq y, d'où \Sigma_E = \mathfrak{P}(E), \Sigma_{E'} = \mathfrak{P}(E'), et une application \alpha : E \to E', d'où \alpha_{*} : \Sigma_E \to \Sigma_{E'} donnée par A \mapsto \alpha(A). ~~Mais , pour cette application~~ la compatibilité de \alpha aux dispositions signifie ici \alpha injection, mais \alpha_{*} n'est guère compatible : \complement

p. 62 de l'auteur que si de plus \alpha est surjection, i.e. bijection !

Donc il faut une condition supplémentaire, pour pouvoir affirmer les commutations de \alpha_{*} à \complement, ou mieux, la formule (**). On suppose donnée une correspondance en sens inverse E' \xrightarrow{\ \beta\ } \mathfrak{P}(E), i.e. une application \mathfrak{P}(E') \xrightarrow{\ \bar\beta\ } \mathfrak{P}(E) commutant aux réunions. On suppose que (*) \qquad \forall x' \in E', \quad \bar\alpha\bigl(\beta(x')\bigr) \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\{x'\}). Si B \subset E, ~~alors~~ et x' \in E', alors x' \mathrel{|o|} \bar\alpha(B) \Longleftrightarrow \bar\alpha\bigl(\beta(x')\bigr) \mathrel{|o|} \bar\alpha(B) et, si \bar\alpha a une propriété de fidélité pour |o|, on en conclut \beta(x') \mathrel{|o|} B. NB (*) est satisfait si l'itération , cf. p. 24 Appliquons ceci ; à la situation (**) (p. précédente) : (B, x') et : (C, y'), on trouve \beta(x') \mathrel{|o|} B, \qquad \underbrace{\beta(y') \mathrel{|o|} C = \operatorname{cosupp}^{\circ}(B)}_{\text{i.e. } \beta(y') \subset \operatorname{supp}^{\circ}(B)} d'où \beta(x') \mathrel{|o|} \beta(y'), \qquad \text{d'où} la référence « p. précédente » renvoie, selon la numérotation de l'auteur, à la formule (**) de la p. 59 (ici p. 62 des archivistes).

p. 63 de l'auteur \bar\alpha\bigl(\beta(x')\bigr) \mathrel{|o|} \bar\alpha\bigl(\beta(y')\bigr) (compatibilité de \alpha aux dispositions), pour en conclure, comme on voudrait, x' \mathrel{|o|} y', il faudrait que l'inclusion (*) soit une identité, ou plutôt que \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\Bigl(\bar\alpha\bigl(\beta(x')\bigr)\Bigr) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\{x'\}\bigr).

Voici un choix optimal de \beta, en termes de \alpha : \begin{gather*} \text{Soit } \beta = {}^{t}\alpha^{*} \text{ défini par} \\ \alpha^{*}(x') = \bigl\{\, x \in E \mid \alpha(x) \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\{x'\}) \,\bigr\} \end{gather*} ~~Notre hypothèse supplémentaire sur ce choix \beta , On~~ ~~Avec cette~~ ~~Avec cette~~ donc tautologiquement \bar\alpha\bigl(\alpha^{*}(x')\bigr) \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\{x'\}), ~~et il faut supposer que cette inclusion~~ ~~définit~~ donne et il faut supposer que cette inclusion est une égalité : \text{(i)} \qquad \boxed{\ \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\Bigl(\bar\alpha\bigl(\alpha^{*}(x')\bigr)\Bigr) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\{x'\})\ } (remplace l'hypothèse de surjectivité dans l'exemple trivial). De plus, la propriété que \alpha soit compatible, doit être remplacée par une hypothèse de « compatibilité fidèle » \text{(ii)} \qquad \boxed{\ \text{si } x, y \in E,\quad x \mathrel{|o|} y \Longleftrightarrow \bar\alpha(x) \mathrel{|o|} \bar\alpha(y)\ } dans (i), le membre de gauche porte « \operatorname{supp}^{\circ} » et l'indice E' est à peine visible ; dans (ii), \bar\alpha(x) s'entend \alpha(x).

p. 64 de l'auteur qui implique aussitôt, pour A, B \subset E \bar\alpha(A) \mathrel{|o|} \bar\alpha(B) \Longleftrightarrow A \mathrel{|o|} B.

Ces conditions deviennent moins draconiennes donnant ce qu'il nous faut, mais peut-être même un peu ~~plus~~ trop — impliquent-elles pas presque \alpha_{*} : \Sigma_E \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma_{E'} bijectif ? D'autre part, on aimerait peut-être ~~mais~~ avoir la formule (*) p. 59, dans des cas où la formule (**) p. 59 est fausse (comme on dans l'exemple des tautologies). Donc je n'ai pas l'impression encore d'avoir vraiment bien compris la situation. « p. 59 » est la pagination de l'auteur : c'est la p. 62 (numérotation des archivistes) ici.

Dans la formule (*) p. 59 \underbrace{\alpha_{*}\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bar\alpha(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A))} = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(A)\bigr) l'inclusion \supset est claire, puisque \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A) \supset ~~\operatorname{supp}^{\circ}_{E}~~ A d'où \bar\alpha\bigl(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)\bigr) \supset \bar\alpha(A) et il suffit de passer aux \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}. Donc le pb est

p. 65 de l'auteur \underbrace{\alpha_{*}\bigl(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)\bigr)}_{\operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)))} \overset{?}{\subset} \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(A)\bigr) ou encore dans ceci : \begin{align*} &\text{Si } B \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A) \text{ i.e. } \forall x \in E,\ x \mathrel{|o|} A \Rightarrow x \mathrel{|o|} B, \\ &\text{peut-on en conclure que} \\ &\overset{?}{\Bigl\{}\ \bar\alpha(B) \subset \text{\struck{$\bar\alpha(\operatorname{supp}$}}\ \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(A)\bigr) \text{ i.e. } \forall x' \in E', \\ &\qquad x' \mathrel{|o|} \bar\alpha(A) \Rightarrow x' \mathrel{|o|} \bar\alpha(B)~? \end{align*}

Pour l'affirmer, il faudrait une cor\-res\-pon\-dance en sens inverse \beta : E' \longrightarrow \mathfrak{P}(E) telle que l'on ait, \forall x \in E, x' \in E' \begin{align*} (*) \qquad & x \mathrel{|o|} \beta(x') \Longleftrightarrow \alpha(x) \mathrel{|o|} x', \\ &\text{d'où, pour } A \subset E,\ B' \subset E' \\ (**) \qquad & A \mathrel{|o|} \bar\beta(B') \Longleftrightarrow \bar\alpha(A) \mathrel{|o|} B' \end{align*} ~~Dans ce cas~~, l'implication ci-dessus se reformule \text{\struck{$x \mathrel{|o|} \beta(x) \Rightarrow$}} \qquad \beta(x') \mathrel{|o|} A \overset{?}{\Longrightarrow} \beta(x') \mathrel{|o|} B ce qui résulte bien de B \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A).

On n'a plus \forall x', \ldots x \mathrel{|o|} y \Rightarrow \ldots ! Ici encore, s'il existe de telles corr. \beta cachées, il doit y en avoir une optimale : soit en effet \gamma(x') = \{\, x \in E \mid \alpha(x) \mathrel{|o|} x' \,\}, cette \gamma est définie en termes de \alpha seule, alors la propriété (*) sur \beta se lit x \mathrel{|o|} \beta(x') \Longleftrightarrow x \in \gamma(x') \qquad \text{i.e.} \gamma(x') = \operatorname{cosupp}^{\circ}\bigl(\beta(x')\bigr) \qquad \text{\struck{\ill{}}} la note marginale, écrite en biais à gauche du bas de page, est presque entièrement illisible.

p. 66 de l'auteur ce qui signifie deux choses : \begin{align*} 1^{\circ})\quad & \gamma(x') \in \Sigma_E \\ 2^{\circ})\quad & \text{\struck{$\beta$}}\ \operatorname{supp}^{\circ}\beta(x') = \complement\,\gamma(x') \quad \bigl(= \operatorname{cosupp}^{\circ}(\gamma(x'))\bigr) \end{align*} Donc une telle \beta existe ssi , et on peut prendre \beta(x') = \operatorname{cosupp}^{\circ}\bigl(\gamma(x')\bigr) = \bigl\{\, x \in E \mid \forall y \in E,\ \alpha(y) \mathrel{|o|} x' \Longrightarrow x \mathrel{|o|} y \,\bigr\}~; cette \beta est sûrement la « plus grande » des telles correspondances, et satisfaisant (*) [et en particulier : étant donnée une \beta quelconque, on a compte tenu de la fonction \operatorname{supp}^{\circ}_{E}]. On notera d'ailleurs que ~~cette~~ \beta les \beta associées à \alpha ne changent pas, quand on remplace \alpha par son composé avec \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}.

NB Si E, E' sont les dispositions tautologiques (x \mathrel{|o|} y \Leftrightarrow x \neq y), alors on voit \beta \operatorname{supp}^{\circ} = \mathrm{id} note marginale de neuf lignes en biais, à gauche du milieu de page ; seuls quelques mots et formules s'en lisent.

Je vois ici déjà poindre une proposition.

ce qui suit est barré de deux longs traits obliques. ~~Proposition. Soient (E, |o|_E), (E', |o|_{E'}) deux dispositions.~~ ~~Il y a~~ ~~Soit \operatorname{Corr}(E, E') l'ensemble des correspondances de E dans E', et \operatorname{Corrdis}(E, E') le sous-ensemble formé des~~

p. 67 de l'auteur le haut de la page, jusqu'à « ou s'il existe une », est barré de trois traits obliques légers, en plus des biffures horizontales notées. ~~ce qui signifie et~~

~~Définition. Un couple (\alpha_{*}, \beta_{*}) d'applications~~ \text{\struck{$\alpha_{*} : \Sigma_E \longrightarrow \Sigma_{E'}$}} ~~est dit une correspondance de disposition de E à E', s'il~~ ~~existe applications~~ ~~\beta_{*} : \Sigma_{E'}~~ ~~Sup quelconques, et s'il existe une application~~

Soit une correspondance \alpha entre deux ensembles E, E' (i.e. une relation entre E, E' i.e. une partie \alpha \subset E \times E') peut être identifiée à une application \alpha_{*} : \mathfrak{P}(E) \longrightarrow \mathfrak{P}(E') commutant aux \bigcup quelconques. Correspondance \Longleftrightarrow \mathfrak{P}(E).

De même, si E, E' sont des dispositions, on considère les applications \alpha_{*} : \Sigma_E \longrightarrow \Sigma_{E'} commutant aux Sup quelconques, qui généralisent ainsi les correspondances des dispositions « triviales ». Je suppose donnée l'application \alpha : E \longrightarrow \Sigma_{E'}, \qquad x \longmapsto \alpha_{*}\bigl(\underbrace{\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(\{x\})}_{s(x)}\bigr)

p. 68 de l'auteur et on ~~trouve ainsi~~ l'étend en \alpha_{*} par \alpha_{*}(S) = \mathop{\mathrm{Sup}}\limits_{x \in S\ (\text{dans } \Sigma_{E'})} \bigl(\underbrace{\alpha(x)}_{\alpha_{*}(s(x))}\bigr) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(S)\bigr) forcément, puisque S = \Bigl[\mathop{\mathrm{Sup}}\limits_{x \in S\ (\text{dans } \Sigma_E)}\Bigr](s_x). Ainsi

Lemme. Corr. bijective entre ~~Appl~~ \operatorname{Hom}_{\mathrm{ens}}(E, \Sigma_{E'}) et \operatorname{Hom}_{\mathrm{ord}}^{!}(\Sigma_E, \Sigma_{E'}), où le ! signifie qu'on prend les hom. d'ens. ordonnés qui commutent aux Sup quelconques.

Mais il n'est pas clair du tout que si A \subset E, on ait \alpha_{*}(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)) \overset{?}{=} \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\alpha_{*}(A)), On voudrait cependant une notion de transposition d'un tel morphisme, qui généralise le cas des « dispositions triviales », où la définition des transposés \beta de \alpha peut se décrire par \text{\struck{$\alpha(x) \ni$}}\qquad x' \in \alpha(x) \Longleftrightarrow x \in \beta(x') ici on pose : la négation x' \mathrel{|o|} \alpha(x) \Longleftrightarrow x \mathrel{|o|} \beta(x') Ou alors la note marginale, écrite en biais sur la gauche, est en partie illisible ; le dernier mot de la page reste en suspens.

p. 69 de l'auteur Lemme 2. Considérons une application \alpha_{*} : \Sigma^{*}_{A} \longrightarrow \Sigma^{*}_{A'} ~~« opposée » à~~ correspondant ~~correspondant~~ dans cette page les indices E, E' de \Sigma ont été surchargés en A, A' (et coiffés d'une astérisque) dans les premières formules ; plus bas l'auteur revient à E, E'. On garde ce que porte chaque formule. donnée par le lemme 1, à partir d'une \alpha : E \longrightarrow \mathfrak{P}(E'), ou son composé avec \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}, donc \text{\struck{i.e.\ \ill{}}}\qquad \alpha_{*}(S) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(S)\bigr). Conditions ~~équivalentes~~ :

(i) \exists\, \beta_{*} : \Sigma^{*}_{A'} \longrightarrow \Sigma^{*}_{A}, commutant aux Sup quelconques (i.e. comme \alpha_{*}) satisfaisant, pour S \in \Sigma^{*}_{A}, S' \in \Sigma^{*}_{A'} (*) \qquad \alpha_{*}(S) \mathrel{|o|} S' \Longleftrightarrow S \mathrel{|o|} \beta_{*}(S')

(ii) \exists\, \beta : E' \longrightarrow ~~\Sigma^{*}_{E}~~ \mathfrak{P}(E), telle que l'on ait, pour x \in E, x' \in E' (**) \qquad \alpha(x) \mathrel{|o|} x' \Longleftrightarrow x \mathrel{|o|} \beta(x').

De plus, les applications \beta_{*} dans (i) sont déterminées uniquement, et si \beta est comme dans (ii), \beta_{*} est associée à \beta \beta_{*}(S') = \operatorname{supp}^{\circ}_{E}\bigl(\bar\beta(S')\bigr) Abréviations : « Hypothèse naturelle : S \in \Sigma_{E'}, \{\, x \in X \mid \bar\alpha(x) \subset S \,\} \in \Sigma_E Valide la formule \alpha_{*}(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(A)) ». Enfin, les conditions (i) (ii) sont équivalentes à la suivante :

(iii) \forall x' \in E', soit \bar\beta(x') = \{\, x \in E \mid \alpha(x) \mathrel{|o|} x' \,\} \subset E~; ~~Alors la partie~~ on veut \bar\beta(x') \in \Sigma_E. les deux notes marginales, l'une au milieu, l'autre au bas de la marge gauche, sont écrites en biais et en partie illisibles.

p. 70 de l'auteur Ceci posé, ~~les~~ \beta_{*} donnée par \beta_{*}(x') = \complement\bigl(\underbrace{\bar\beta(x')}_{\in\,\Sigma_E}\bigr) = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}\bigl(\bar\beta(x')\bigr) et l'application \hat\beta dans (ii) satisfaisant la condition (**) des \beta_{*} est associée à \beta, le symbole lu \hat\beta est un \beta coiffé d'un signe, de lecture incertaine. ou encore \begin{align*} \operatorname{supp}^{\circ}_{E}\beta(x') &= \complement\bigl(\bar\beta(x')\bigr) \\ \text{ou aussi}\qquad \operatorname{cosupp}^{\circ}\bigl(\beta(x')\bigr) &= \bar\beta(x'). \end{align*}

Définition. Les \alpha_{*} satisfaisant les conditions équivalentes (i) (ii) sont appelées correspondances de dispositions ~~entre~~ \underline{E}, \underline{E}'. La correspondance \beta_{*} (qui est aussi une corr. disp.), de (i), s'appelle la corr. disposition ~~associée~~ transposée de \alpha_{*}.

Scholie. On trouve ~~ainsi~~ une bijection \alpha_{*} \longmapsto {}^{t}\alpha_{*} : \operatorname{Corrdis}(\underline{E}, \underline{E}') \longrightarrow \operatorname{Corrdis}(\underline{E}', \underline{E}) et . \begin{cases} {}^{t}({}^{t}\alpha_{*}) = \alpha_{*} \\ {}^{t}({}^{t}\beta_{*}) = \beta_{*} \end{cases}

p. 71 de l'auteur De plus, l'on a ~~alors~~, pour A \subset E (***) \qquad \underbrace{\alpha_{*}\bigl(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)\bigr)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}(\bar\alpha(\operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A)))} = \operatorname{supp}^{\circ}_{E'}\bigl(\bar\alpha(A)\bigr)

NB J'ignore si la validité de cette formule, pour une ~~\alpha_{*}~~ quasi-corr. dispositions donnée \alpha_{*}, indique que c'est une corr. disposition.

En analogie avec le cas des dispositions triviales, où on distingue le cas d'une correspondance qui est une application, on transposé d'une application, je dirai que \alpha_{*} est une application si {}^{t}\alpha_{*} = \beta_{*} a les propriétés supplémentaires : il commute à \complement (donc aussi aux Inf quelconques)

p. 72 de l'auteur 10 juillet

Je reprends dès le début la formulaire des dispositions, synthèse.

1. Dispositions, (dites relations de disposition) simples, : ensemble E muni d'une relation \mathrel{|o|}, ~~supposée~~ symétrique :

Disp. 1 x \mathrel{|o|} y \Rightarrow y \mathrel{|o|} x

Disp. 2 x \mathrel{|o|} x \Longrightarrow x \mathrel{|o|} y\ \forall y \in E [« dans ce cas isolé » dans la disp.] l'ens. E_0. Structures de disposition On désigne par dispositions antiréflexives quand \mathrel{|o|} est antiréflexive (Disp. 2), i.e. E_0 = \emptyset. Ce qui implique Disp. 2.

Relation à notion de graphe (strict). On associe à une str. de disp. \mathrel{|o|} sur E, une structure de graphe, une partie autre A \subset \mathfrak{P}_2(E), l'ens. suivant A = \bigl\{\, \{x, y\} \in \mathfrak{P}_2(E) \mid x \mathrel{\overline{|o|}} y \,\bigr\}. la barre sur |o| est lue comme la négation de la relation. On récupère (presque) la structure de dispositions à partir de cette structure de graphe, et il faut connaître plus la partie E_0 de l'ens. ~~x \mathrel{|o|} y \Longleftrightarrow (\{x, y\} \in A, ou x = y et x sommet )~~ ~~des~~ ~~points~~ sommets ~~isolés~~ ~~du graphe, pour (E, A)~~. * (l'ensemble des points isolés non A). ~~La structure de disposition n'est antiréflexive~~ ~~équivaut à celle de graphe simple~~ strict. On trouve ainsi une bijection entre structures de disposition antiréflexive sur E, et structures de graphe strict sur E, par parties de \mathfrak{P}_2(E).

La structure de disposition donne une formulation en \operatorname{cosupp}^{\circ} fondamentale des \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E} (ou \operatorname{cosupp}^{\circ}_{\underline{E}}, si \underline{E} = (E, |o|_E)) et \operatorname{supp}^{\circ}_{E} = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E} \circ \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E} dans \mathfrak{P}(E), dont

p. 73 de l'auteur partie \Sigma_{\underline{E}} (ou \Sigma_E) de \mathfrak{P}_E, stable par \bigcap quelconques, ayant comme plus grand élément E, comme plus petit élément la réunion E_0 \ldots Je des Inf quelc. (les \bigcap) et Sup quelc. (en général \neq \bigcup), et une involution \complement S \overset{\mathrm{df}}{=} \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E} A \qquad (A \in \Sigma_E \subset \mathfrak{P}(E)), une application canonique x \longmapsto \sigma(x) = \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(\{x\}) : E \xrightarrow{\ \sigma\ } \Sigma_E On a x \mathrel{|o|} y \Longleftrightarrow \sigma(x) \mathrel{|o|} \sigma(y) ; pour S, T \in \Sigma_E A \mathrel{|o|} B \Longleftrightarrow \ldots A \subset \operatorname{cosupp}^{\circ}(B) \complement ; Dans \mathfrak{P}(E) de cette structure… Disposition triviale : formant x \mathrel{|o|} y \Longleftrightarrow x \neq y donnée correspondant à : A = \emptyset, structure de graphe discrète. On a alors \Sigma_E = \mathfrak{P}(E).

NB Pour toute partie A de E, on a \begin{align*} \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(A) &= \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(A \cup E_0) \supset E_0, \\ \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A) &= \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A \cup E_0) \supset E_0, \end{align*} la seconde ligne porte « \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A \cup E_0) », le signe de réunion étant à demi formé. et par suite aussi \begin{align*} \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(A) &= \operatorname{cosupp}^{\circ}(A^{*}) \\ \operatorname{supp}^{\circ}_{E}(A) &= \operatorname{supp}^{\circ}(A^{*}) \end{align*} où A^{*} = A \setminus E_0 \cap A. Donc on conclut que l'on a un iso. (compatible structure d'ordre et \complement) \Sigma_E \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma_{E^{*}}, \qquad \begin{array}{l} S \longmapsto S \setminus E_0 \\ S^{*} \amalg E_0 \longleftarrow S^{*} \end{array} la note marginale, écrite en biais sur la moitié gauche, est très serrée ; elle est rendue en partie.

p. 74 de l'auteur Cela montre que pour la construction

2. Spatiales. Dans ce paragraphe de la discussion.

Définition 1. Une spatiale est un ensemble \Sigma, muni d' relations ~~\leq~~ \leq, et d'une involution \complement (relations aussi, mais aussi !), satisfaisant les conditions

Spat 1. La relation \leq est une relation d'ordre, admettant des Sup et des Inf quelconques (donc un plus petit élément, noté 0_\Sigma, et un plus grand élément, noté 1_\Sigma).

Spat 2. \complement est une involution (\complement(\complement x) = x) et « renverse la relation d'ordre » : x \leq y \Longleftrightarrow \complement y \leq \complement x. ~~Spatialités~~ \left[\begin{array}{ll} \text{\emph{Cor 1}} & \complement(\operatorname*{Sup}_i x_i) = \operatorname*{Inf}_i \complement x_i, \\ & \complement(\operatorname*{Inf}_i x_i) = \operatorname*{Sup}_i \complement x_i. \\ \text{\emph{Cor.\ 2}} & \complement 0 = 1,\quad \complement 1 = 0 \end{array}\right. les trois lignes suivantes sont barrées de quatre traits obliques. ~~À une spatiale est associée une structure de disposition, en posant~~ \text{\struck{$x \mathrel{|o|} y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} x \leq \complement y$}} \qquad \text{\struck{($\Longleftrightarrow y \leq \complement x$ par Spat.\ 2).}}

Spat 3. \forall x \in \Sigma, on a x \wedge \complement x = 0_\Sigma ce qui équivaut par Spat 2 (Cor. 1 et 2) à x \vee \complement x = 1_\Sigma.

p. 75 de l'auteur À une spatiale est ~~associée~~ munie d'une structure de disposition canonique : x \mathrel{|o|} y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} x \leq \complement y \qquad (\Longleftrightarrow y \leq \complement x, \text{ par Spat 2}). Notons que x \mathrel{|o|} y,\quad x' \leq x,\quad y' \leq y \Longrightarrow x' \mathrel{|o|} y'. NB Si x = \operatorname{Sup} x_i, y = \operatorname{Sup} y_j, alors x \mathrel{|o|} y \forall i, j, x_i \mathrel{|o|} y_j ~~La structure de disposition permet de réciproquement la structure \leq, \complement, puisque~~ ces deux lignes sont biffées horizontalement et barrées de quatre traits verticaux.

~~Rapport. Soit \Sigma une spatiale,~~ considérons

Exemple de spatiales. Si \underline{E} = (E, |o|) est une disposition, (\Sigma_{\underline{E}}, \subset, \complement) est une spatiale. Les ~~relations~~ propriétés Spat 1, Spat 2 sont dites ci-dessus, elles ne dépendent que du fait que |o|_E soit symétrique (Disp 1), sans plus. La propriété Spat 3 résulte de (Disp. 2), qui implique, pour tout A \in \mathfrak{P}(E) A \cap \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(A) \subset E_0, en particulier si A \in \Sigma_E A \cap \operatorname{cosupp}^{\circ}_{E}(A) = E_0. ici une longue note marginale en biais, d'une quinzaine de lignes, couvre toute la moitié inférieure gauche de la page et déborde sur le texte ; on en lit seulement : « Ensemble ordonné disposé… », « Ex. : », « \Sigma_E », « Abs », « \operatorname{cosupp}^{\circ} ». Le reste est . Donc, si \underline{E} est une disposition sur un ensemble, on en déduit ~~des dispositions~~ une spatiale associée et une application canonique E \longrightarrow \Sigma_{\underline{E}}.

p. 76 de l'auteur La structure \mathrel{|o|} sur une spatiale permet de récupérer la structure \leq, \complement de la spatiale, grâce à la proposition suivante : Lemme : Carac. Décisive des relations d'ordre : z \mathrel{|o|} y \Rightarrow z \mathrel{|o|} x \Leftrightarrow y \leq x

Proposition 1. Soit (\Sigma, \leq, \complement) une spatiale, \mathrel{|o|} la structure de disposition associée. Alors l'application canonique \sigma : \Sigma \longrightarrow \Sigma_{\Sigma} ~~dispose~~ est un isomorphisme de spatiales. L'~~appl~~ isomorphisme inverse est donné par \sigma^{-1} : S \longmapsto \operatorname{Sup} S. NB Le critère des , Dans le cas |o| : \complement x = \operatorname{Sup} x \mathrel{|o|} \ldots

Scholie. Pour un ensemble donné \Sigma,

(i) il y a corr. 1–1 entre les deux ensembles suivants :

(i) Les des structures (\leq, \complement), structures de spatiales, sur \Sigma. \mathcal{S}

(ii) L'ens. des structures de disposition |o| sur \Sigma, telles que l'application canonique (*) \qquad \Sigma \longrightarrow \Sigma_{\underline{\Sigma}} \qquad (\text{où } \underline{\Sigma} = (\Sigma, |o|)) soit bijection. \mathcal{D}

~~À l'appl.~~ La bijection \mathcal{S} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{D} ~~est donnée~~ associe ~~par~~ à une structure de spat., la structure de disp. associée. La bijection inverse associe à une structure de disposition \in \mathcal{D}, la structure de spatiale sur \Sigma déduite par transport de str. des bijections (*).

p. 77 de l'auteur Ainsi, les spatiales peuvent être considérées comme des dispositions particulières, qu'on pourrait appeler les dispositions canoniques. Si (E, |o|) est une disposition quelconque, on aimerait considérer \Sigma_E, munie de \sigma_E : E \longrightarrow \Sigma_E, comme une « disposition canonique » (ou spatiale) enveloppe de E. Je voudrais dire ceci : à iso. unique près, la spatiale \Sigma_E et l'application \sigma.

Proposition 2. Soient (E, |o|) une disposition, (\Sigma, \leq, \complement) une spatiale, et \alpha : E \longrightarrow \Sigma une application. Pour qu'il existe un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=large] & \Sigma \arrow[dd, leftrightarrow, "\wr\,\tilde\alpha"] \\ E \arrow[ur, "\sigma"] \arrow[dr, "\sigma_E"'] & \\ & \Sigma_E \end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche oblique supérieure est écrite sur un mot raturé et se lit « \sigma » ; on attendrait \alpha. La flèche verticale porte deux pointes, et l'étiquette « \wr\,\tilde\alpha » (lecture incertaine du tilde). où \tilde\alpha est un iso, il faut et il suffit que \alpha satisfasse les deux conditions suivantes :

a) \forall x, y \in E, x \mathrel{|o|} y \Longleftrightarrow ~~\alpha(x) \mathrel{|o|} \alpha(y)~~ la condition a) s'interrompt au bas de la page, le membre de droite étant raturé ; la suite de la proposition 2 continue au-delà de ce lot.