Cote n° 156-9, pages 21–40

Cote n° 156-9 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Chapitre] IX et IX bis. [Ateliers] : notes manuscrites (05-15/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

21p. 18 de l'auteur ; le calcul sur $\complement\Phi$ commence avant ce lot.

\[ \underbrace{(\complement\Phi)^{**}}_{\substack{\text{polygone}\\ \text{induit}\\ \text{associé à } \complement\Phi}} \;=\; \Phi^{*} \] la légende sous l'accolade est de lecture incertaine (« polygone induit associé à $\complement\Phi$ »).

d'où, en tenant compte de la formule fondamentale ⌜plus haut⌝

\[ \boxed{\operatorname{Cosupp}^{\circ}\Phi \;=\; \operatorname{supp}^{\circ}\operatorname{Omb}^{\circ}\complement\Phi \;=\; \operatorname{supp}^{\circ}\complement\Phi .} \] sous la ligne encadrée, un second membre « $=\operatorname{cosupp}^{\circ}\ldots$ » est biffé ; le premier $\operatorname{supp}^{\circ}$ est récrit sur un mot biffé illisible.

Soit alors, pour tout $\Phi\subset\Phi_T$, \[ S_\Phi\subset\mathcal{M}, \qquad S_\Phi=\operatorname{supp}^{\circ}(\Omega) =\operatorname{supp}^{\circ}(\operatorname{Omb}^{\circ}\Phi) . \] dans le second membre, l'argument de $\operatorname{supp}^{\circ}$ est surchargé et biffé, puis récrit « $\operatorname{supp}^{\circ}(\operatorname{Omb}^{\circ}\Phi)$ » ; le $\Omega$ ci-dessus ne rend pas une lecture, il tient la place de ce premier argument, qu'on lit sans doute $\Phi$.

On trouve une application \[ \Phi\longmapsto S_\Phi, \qquad \mathfrak{P}(\Phi_T)\longrightarrow \underbrace{\Sigma_{\mathrm{cons}}(\mathcal{M})}_{\substack{\text{ens. des}\\ \text{supports}\\ \text{constructibles}}} \] Cette application transforme (par définition) […] sommes (i.e. $\Sigma_\Phi$ pour $c$) en $\operatorname{Sup}$ dans $\Sigma_{\mathrm{cons}}$ ⌜de $\mathcal{M}$⌝. La formule précédente signifie qu'elles commutent à $\complement$. Il en résulte qu'elles commutent aux intersections. Cela utilise l'axiome des supports Ax supp 1.

Deux parties polygones ⌜$\Phi,\Psi$⌝ sont dits commensurables si $\delta\Phi\cup\delta\Psi$ est un diagramme. Cela signifie explique que leurs

22p. 19 de l'auteur. supports ⌜$\operatorname{supp}^{\circ}$⌝ sont « subordonnés » à un même diagramme $\delta\Phi\cup\delta\Psi\cup\partial I=T$. [Il en est ainsi pour un ensemble quelconque de polygones, […] de partitions constructibles de $\mathcal{M}$ (cf. ex. en appendice).] cqfd — quitte à subdiviser les intervalles par polygones dans $\Phi$, $\Psi$, ce qui ne change pas les $\operatorname{supp}^{\circ}$).

Toutes les opérations ⌜usuelles⌝ […] qu'on peut faire, sur une famille quelconque d'éléments de $\Sigma_{\mathrm{cons}}$ mutuellement commensurables, se ramènent aux opérations $\cup,\cap,\complement$ dans un $\mathfrak{P}(\Phi_T)$ convenable.

NB Si $T$ de longueur $n$, ou $n$ intervalles et $n+1$ sommets ($n\geq 1$), \[ \operatorname{card}\Phi_T=2n+1 \] et \[ \underbrace{\operatorname{card}\mathfrak{P}(\Phi_T)}_{\substack{\text{nb de supports}\\ \text{subordonnés à } T}} \;=\; 2^{2n+1}. \]

2) Cas d'un $I$ où on ne se donne pas $\omega_0,\omega_1$. On doit le voir comme se déduisant du cas précédent $(I,\partial I)$, en prenant un

23p. 20 de l'auteur. « origine virtuelle » ou « supplémentaire » p.r. à une des extrémités de $I$, ou des deux. Supposons p. ex. qu'il n'y ait qu'il […] origine à $(I,\partial I)\smallsetminus\{\omega_0\}$ […] plus […] partie) — ou, plus précisément, le commencement \[ \text{\struck{\ill{}}}\ \operatorname{Omb}^{\circ}(\{I_{\omega_0,\omega_1},\omega_1\})=\mathcal{M}\smallsetminus\omega_0 \] (partie de $\mathcal{M}$ fermée par $\omega_0$), on décrit les […] parties en termes de \[ (\overbrace{I\smallsetminus\{\omega_0\}}^{J},\ \omega_1) \] un ordonné $J$, muni d'un plus grand élément $\omega_1$. On garde tous les strates de $\mathcal{M}(I,\partial I)$, à l'exception ⌜[…]⌝ de $\omega_0$. Mais les strates de la forme $I_{\omega_0,a}$ s'identifient ($\omega_0<a$ i.e. $a\in J$) maintenant $J_{<a}$. On ne suppose plus ici que $a$ a un seul prédécesseur, cf. plus bas

Les relations $\trianglelefteq$, $\leq$, $\mathring{\ll}$, $|0|$ et dans l'ens. \[ \mathcal{M}(J,\omega_1)\ (=\mathcal{M}(I,\partial I)\smallsetminus\{\omega_0\}) \] peuvent alors s'expliciter […] ⌜explicit[ement]⌝, en termes de $J,\omega_1$, sans réf. à $(I,\partial I)$, en travaillant avec les strates \[ a,\quad J_{<a},\quad J_{a,b}\qquad a<b,\ a,b\in J . \] Si p. ex. $I=\{\omega_0,\omega_1\}$, on aura $J=\{\omega_1\}$,

24p. 21 de l'auteur. et \[ \mathcal{M}(J,\omega_1)=\{\omega_1,\ J_{<\omega_1}\} \] magasin qui consiste en deux éléments seulement, et i.e. une maquette. Ici, on a \[ |J_{<\omega_1}|^{\circ}=\emptyset, \quad\text{mais bien sûr}\quad \mathring{J}_{<\omega_1}\neq\emptyset . \]

Choix […] Traitement dual

\[ \text{pour}\qquad \mathcal{M}(I,\partial I)\smallsetminus\{\omega_1\} \overset{\mathrm{def}}{=} \mathcal{M}(J,\omega_0) \] où $\omega_0$ est désormais un tout tel que plus petit élément de $J=I\smallsetminus\{\omega_1\}$. Cette fois, ce sont les éléments \[ J_{>a}\qquad (a\in J) \] qu'il faut introduire, en plus des « lieux » $a\in J$ et des « intervalles finis » $J_{a,b}$.

Prenons enfin le cas des magasins privés de $\partial I$ dans $\mathcal{M}$ \[ \mathcal{M}(I,\partial I)\smallsetminus\partial I \overset{\mathrm{def}}{=} \mathcal{M}(J) \qquad J=I\smallsetminus\partial I . \] Cette fois, il faut introduire à la fois les $J_{<a}$ et les $J_{>a}$ ($a\in J$), […] quand bien même $J$ ! […] remplaçant les « traces » des intervalles […] $I_{\omega_0,a}$, $I_{a,\omega_1}$, et […] enfin, de plus, une strate unité \[ [J] \] qui figure la trace des $I_{\omega_0,\omega_1}$. L'introduction

25p. 22 de l'auteur. est indispensable, si on veut pouvoir exprimer tous les […] d'une figure complète $\Phi_T$ ($T\in\operatorname{Diag}(J)$) telles que \[ \{J_{<a},\ J_{>a}\}\quad\text{si } a\in J \] ou \[ J_{<a},\ J_{a,b},\ J_{>b}\quad\text{si } a<b,\ a,b\in J . \]

[…] Dans le cas où $I=\{\omega_0,\omega_1\}$ coïncide […], on a $J=\emptyset$, qu'il ne faut nullement exclure ! Les strates de $\mathcal{M}$ se réduisent au seul élément $[J]$. On trouve le magasin réduit à une seule strate, mais visualisé comme figure un intervalle ouvert indivisible : l'intervalle ouvert indivisible est représenté par l'ensemble ordonné vide !

Si on veut une formulation commune, il faut dire qu'on se donne \[ (I,\Omega_0,\Omega_1) \] où \[ I,\ \text{un ordonné}; \qquad \Omega_0,\Omega_1\subset I \] et les conditions

a)$\forall$ $x\in\Omega_0 \Rightarrow x$ est un plus petit élément de $I$
a')$y\in\Omega_1 \Rightarrow y$ id. plus grand id.
b)$x\in\Omega_0,\ y\in\Omega_1 \Rightarrow x\neq y$.

à la ligne a'), des traits de répétition (« idem ») encadrent « plus grand ». donc $\operatorname{card}\Omega_0,\ \operatorname{card}\Omega_1\leq 1$, et il y a quatre cas à distinguer

26p. 23 de l'auteur. Tant qu'il ne s'agit que de décrire un magasin, et y faire une théorie des polygones, des parties constructibles et des supports, ⌜et constructibles⌝, qui dominent, il n'y a pas à faire d'autres hypothèses sur $J$.

Quand on regarde les polygones subordonnés à un diagramme, on peut prendre […] a intérêt (pour l'énoncé des résultats principaux) à prendre un diagramme qui contienne \[ \partial J \overset{\mathrm{df}}{=} \Omega_0\cup\Omega_1 . \]

Il y a lieu de regarder la structure des ⌜[…]⌝ magasins constructibles ⌜(ou mieux des supports)⌝ induits sur des parties constructibles ⌜$\Phi$⌝ elles-mêmes, i.e. des polygones constructibles.

Voici le résultat :

a) $\mathcal{M}(\Phi)$ est la somme directe (à définir !) des $\mathcal{M}(\Phi_i)$, où les $\Phi_i$ sont les composantes ⌜[…]⌝ connexes de $\Phi$. Et un […] de la forme $\{a\}$, $a\in I$ $\Phi=\{a\}$ cas trivial, $\mathcal{M}=$ strate […] ($a$ […]) $\mathcal{M}(\Phi$ Si $\Phi$ ⌜connexe⌝, ($\mathcal{M}(\Phi)$ est de la forme \[ \mathcal{M}(J,\Omega_0,\Omega_1), \quad\text{où } J,\Omega_0,\Omega_1 \] sont définis ainsi, en termes de $\Phi$ : \[ (*)\quad J=\Sigma_\Phi\cap\mathcal{M}_0=\operatorname{Omb}^{\circ}_{I}(\Phi) \] \[ =\Bigl\{s\in I \Bigm| \text{a) } a\leq s\leq b,\ \ \text{b) } s\cup\delta\Phi\in\operatorname{Diag}_I,\ \ \text{c) } s\in\{a,b\}\Rightarrow s\in\Phi^{\circ}\Bigr\} \] $a=\operatorname{or}\delta\Phi$, $b=\operatorname{ex}\delta\Phi$ Attention cette description […] si $\Phi$ […]. bas de page serré, en partie au-dessous de la dernière ligne réglée ; lecture fragmentaire. La condition b) est lue « $s\cup\delta\Phi\in\operatorname{Diag}_I$ » sous réserve.

27p. 24 de l'auteur. Donc, si à chaque strate $X$ ⌜de $\mathcal{M}$⌝ on associe son support intérieur $|X|^{\circ}\subset I$, que la relation d'ordre induit sur $I$ (NB $|X|^{\circ}$ peut être vide ⌜si $X\in\mathcal{M}_1$⌝ !), alors $J$ est la somme ⌜lexicographique⌝ ordonnée des des \[ |X|^{\circ}\quad (X\in\Phi), \] en suivant dans l'ordre $\trianglelefteq$ de $\mathcal{M}$. cette description lexicographique […] D'autre part, $\Omega_0$ est vide, ou […] \[ \Omega_0=\begin{cases} \emptyset & \text{si la première strate de $\Phi$ n'a pas d'origine,}\\ & \text{i.e. est un $I_{<a}$, ou si elle a une origine $a\notin\Phi$}\\ \{a=\operatorname{or}(\Phi)\} & \text{sinon} \end{cases} \] \[ \text{\struck{$\Omega_1=\operatorname{ex}(\Phi)\cap$}} \] $\Omega_1$ défini dualement${}^{*}$. dans l'accolade, une première ligne « $\operatorname{or}(\Phi)\cap\Phi$ » est biffée.

NB Il faut définir l'origine d'un polygone, quand elle existe (i.e. quand sa première strate […] n'est pas un $I_{<a}$), et dualement, l'extrémité.

un trait horizontal sépare ici deux alinéas.

Cas $\mathcal{M}$ divisible. Dans le cas $(I,\omega_0,\omega_1)$ cela signifie que pour $a<b$ $a<b$ ($a,b\in I$) $\exists\, c$ avec $a<c<b$. Dans le cas de $(I,\omega_0)$ resp. $(I,\omega_1)$, il faut ajouter que $\forall a\in I$, existe $b\in I$ t.q. $b<a$ resp. $b>a$. Enfin, dans le cas de l'ensemble $I$ bi-ouvert, il ⌜faudrait⌝ […] ajouter encore : $I\neq\emptyset$ (NB pour dire que l'ensemble ordonné $I$ est divisible : donc $\emptyset$ ne serait pas considéré comme un ordonné divisible, bien que $\mathcal{M}(\emptyset)=\{\emptyset\}$ soit divisible, ce qui gêne pourtant, à la suite !)

Si $I$ est divisible, alors l'ens. $\mathcal{M}_c\subset\mathcal{M}$ des strates « compactes » (i.e. de la forme $a$ et $I_{a,b}$) est très dense.

28p. 25 de l'auteur. Digression 1 Somme directe de magasins.

Si $(\mathcal{M}_i)_{i\in I}$ est une famille de magasins, on définit le magasin somme $\mathcal{M}$ ainsi :

a)$\mathcal{M}=\coprod_i\mathcal{M}_i$.
b)$\trianglelefteq$ sur $\mathcal{M}$ est la relation d'ordre somme
c)$\mathring{\ll}$ sur $\mathcal{M}$ est la relation d'ordre somme […]
d)si $x,y\in\mathcal{M}$, on a \[ x\mathbin{|0|}y \iff \begin{cases} x\in\mathcal{M}_i,\ y\in\mathcal{M}_j,\ i\neq j\\ \text{\textit{ou}}\\ x,y\in\mathcal{M}_i,\ x\mathbin{|0|}y \text{ au sens de } \mathcal{M}_i . \end{cases} \]

Vérification des axiomes tautologique.

Si pour chaque $i\in I$, on a choisi $\mathcal{F}_i\in\mathfrak{P}(\mathcal{M}_i)$, atelier associé à $\mathcal{M}_i$, on définit \[ \mathcal{F}\subset\mathfrak{P}(\mathcal{M}),\qquad \mathcal{F}=\{A\subset\mathcal{M}\mid \forall i\in\mathcal{M}_i,\ A\cap\mathcal{M}_i\in\mathcal{F}_i\}. \] On voit que c'est un atelier associé à $\mathcal{M}$, appelé atelier somme des ateliers $(\mathcal{M}_i,\trianglelefteq,\mathring{\ll},|0|,\mathcal{F}_i)$. On notera \[ \mathcal{F}=\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i . \] Dans […] […] les ordres $\trianglelefteq$, $\subseteq$, $\ll$. « $\forall i\in\mathcal{M}_i$ » est sur la page ; on attendrait « $\forall i\in I$ ».

29p. 26 de l'auteur. […] $|0|$ […] (note en oblique dans la marge gauche, en haut) On fera attention que cette notion de somme […] n'est pas une notion de somme au sens catégorique (pour la notion de (co)morphismes de magasins introduite jusqu'à présent). Ce ne serait pas vrai, si l'on n'avait pas la condition géométrique de raccordement des flèches — intersection ; la somme de magasins correspond bien à une somme d'espaces. Cela tient à un produit, qu'on pourrait […] la condition principe de raccordement des flèches).

Bien sûr […] pour un magasin $\mathcal{M}$, on peut le décomposer : définir ses composantes connexes $\mathcal{M}_i$, comme les composantes connexes pour la relation $\ll$. On trouve une décomposition en somme, à condition de supposer l'axiome suivant (qui sera bien évidemment vérifié dans le présent) :

Mag connexe Si $X,Y\in\mathcal{M}$ appartiennent à des composantes connexes distinctes de $\mathcal{M}$, on a $X\mathbin{|0|}Y$.

30p. 27 de l'auteur. Digression 2 Notion de sous-magasin.

Soit $\mathcal{M}$, ⌜$\trianglelefteq,\mathring{\ll},|0|$,⌝ un magasin, $\mathcal{M}'$ une partie, munie des relations induites ; quand peut-on dire, simplement, que c'est un magasin.

Mag 1 trivial.

Mag 2 aussi. Pour b, il faut supposer : ⌜Sous-mag⌝ si $X\mathbin{\mathring{\ll}}Y$ dans $\mathcal{M}'$, et $X'\trianglelefteq X$ dans $\mathcal{M}'$, alors ⌜[…]⌝ l'existence $Y'\in\widetilde{Y}$ tel que $X'\mathbin{\mathring{\ll}}Y'$ est ⌜automatique⌝ dans $\mathcal{M}'$ (vérification automatique si $\mathcal{M}'$ fermé par $\trianglelefteq$).

Mag 3 trivial, Mag 4 trivial.

NB Il faudrait imposer une condition plus forte, […] Sous-mag : si $X\mathbin{\mathring{\ll}}Y'\trianglelefteq Y$, et $X,Y\in\mathcal{M}'$, alors $Y'\in\mathcal{M}'$, laquelle équivaut à Sous-mag quand $\mathcal{M}'$ […] […] alors $X,Y\in X$ […] les exemples plus bas considérés conservent Mag 3. note marginale écrite en oblique dans la marge gauche, de « Mag 1 » à « Ex 1 » ; lecture partielle.

Ex 1 Soit $\Phi$ ⌜$\subset\mathcal{M}$⌝ un polygone de $\mathcal{M}$, i.e. une partie telle que $\overline{\Phi}^{(\trianglelefteq)}$ soit une figure, i.e. encore, $\Phi$ fermé $\forall X,Y\in\Phi$, on a $X\not\geq Y$. Considérons $\operatorname{Omb}^{\circ}(\Phi)$ (attention, c'est fermé par $\mathring{\ll}$, mais pas en général par $\trianglelefteq$). Pour que ⌜Alors⌝ $\mathcal{M}'=\operatorname{Omb}^{\circ}(\Phi)$ est un sous-magasin, i.e. satisfait Sous-mag […].

soit un sous-magasin, i.e. […] […]. Condition Sous-mag ci-dessus, il faut et il suffit qu'on l'ait. Sous-mag $\Phi$ : $\forall Z\in\Phi$ et $X\mathbin{\mathring{\ll}}Z$, soit $X'\in\widetilde{X}$, et $Z'$ son image dans $\widetilde{Z}$ (donc $Z'\in\overline{\Phi}$), on veut que $X'\in\operatorname{Omb}^{\circ}(\Phi)\Rightarrow Z'\in\operatorname{Omb}^{\circ}(\Phi)$ i.e. en fait $Z'\in\Phi$ (puisque $Z'\in\overline{\Phi}$) (même s'il n'est pas fermé par $\trianglelefteq$, quand $\Phi$ n'est pas une figure…) tout le dernier alinéa, de « soit un sous-magasin » à « $Z'\in\overline{\Phi}$) », est barré de longs traits obliques et encadré à gauche ; la parenthèse finale reste hors de la rature.

31p. 28 de l'auteur. En effet, soient $X,Y,X'\in\operatorname{Omb}^{\circ}(\Phi)$, avec \[ \begin{array}{ccc} X & \mathring{\ll} & Y\\ \triangledown\!\!/ & & \\ X' & & \end{array} \] alors $X'\ll Y\ll\overline{\Phi}$ donc $X'\ll\overline{\Phi}$, donc $\exists\,Z'_0\in\overline{\Phi}$ avec $X'\mathbin{\mathring{\ll}}Z'$. Comme $X'\in\operatorname{Omb}^{\circ}(\Phi)$, i.e. $\exists\,Z'_1\in\Phi$ tel que $X'\mathbin{\mathring{\ll}}Z'_1$, on a $Z'_1=Z'_0$ i.e. $Z'_0\in\Phi$. Ceci posé, il revient au lemme $Y\in\operatorname{Omb}^{\circ}(\Phi)$ avec $Z\in\Phi$, $Y\mathbin{\mathring{\ll}}Z$, d'où \[ \begin{array}{ccccc} X & \mathring{\ll} & Y & \mathring{\ll} & Z\in\Phi\\ \triangledown\!\!/ & & \triangledown\!\!/ & & \triangledown\!\!/\\ X' & \mathring{\ll} & Y' & \mathring{\ll} & Z'\\ & & \overset{?}{\in} & & \\ & & \operatorname{Omb}^{\circ}(\Phi) & & \end{array} \quad ;\ \text{et comme } Z'\in\overline{\Phi}, \] donc $Z'=Z'_0\in\Phi$, donc $Y'\in\operatorname{Omb}^{\circ}(Z')\subset\operatorname{Omb}^{\circ}\Phi$, cqfd. le signe $\triangledown\!\!/$ rend le $\trianglelefteq$ couché qu'il écrit verticalement entre deux lignes ($X'\trianglelefteq X$, etc.).

Ex 2 Soit $\Phi$ comme précédemment, et soit \[ \mathcal{M}'=\operatorname{supp}^{\circ}\Phi \quad(\text{un support constructible}). \] Est-ce un sous-magasin ? C'est pratiquement équivalent à la même question, pour $\mathcal{M}'=\operatorname{cosupp}^{\circ}\Phi$. […] […], […] C'est faux en général, comme on voit sur la figure suivante.

un triangle de sommets $a$ (en haut), $b$, $c$ ; la moitié gauche hachurée, un segment de $a$ au point $d$, marqué d'un gros point, sur le côté $[b,c]$. \[ \begin{aligned} &Y=\text{2-simplexe }(a,b,c)\\ &X=\text{2-simplexe }(a,b,d)\\ &X'=\text{1-simplexe }(b,d)\\ &\text{\struck{$\Phi=\ldots$}}\\ &Y'=\text{1-simplexe }(b,c)\\ &\Phi=\{d\}. \end{aligned} \qquad \text{On a}\quad \Phi\mathbin{|0|}X,\ \ \Phi\mathbin{|0|}Y,\ \text{et}\ \Phi\mathbin{|0|}X', \] la ligne biffée sous $X'$ est illisible ; dans la ligne qui suit $\Phi=\{d\}$, le deuxième $|0|$ est lu sous réserve. L'argument continue à la page suivante.

32p. 29 de l'auteur. mais on n'a pas $\Phi\mathbin{|0|}Y'$. Donc, attention à la définition du magasin visiblement ⌜$F$⌝ d'une figure (ici $\{d\}$, figure ponctuelle !). les trois lignes ci-dessus sont marquées d'un triple trait vertical dans la marge gauche.

Il faut, si on veut se borner aux multi-strates $X$ avec $X\mathbin{||}F$, qui est stable par $\trianglelefteq$ donc un sous-magasin, se borner aux $X$ telles que $X\not\geq F$, ou $X\not\geq\Phi$ dans le cas d'un polygone. (NB dans le cas de la dimension 1, exemple […], on avait $X\mathbin{|0|}\Phi\Rightarrow X\not\geq\Phi$, ou $X\mathbin{|0|}Y\Rightarrow X\not\geq Y$ …). Je dis ⌜plus précisément⌝ que si ⌜grand⌝ \[ \mathcal{M}'=\{X\in\mathcal{M}\mid X\mathbin{|0|}\Phi,\ X\not\geq\Phi\} \quad ? \] magasin visible hors de $\Phi$. alors $\mathcal{M}'$ est un sous-magasin, i.e. \[ \begin{array}{ccc} X & \mathring{\ll} & Y\\ \triangledown\!\!/ & & \triangledown\!\!/\\ X' & \mathring{\ll} & Y' \end{array} \qquad \text{alors}\quad X,Y,X'\in\mathcal{M}\Rightarrow Y'\in\mathcal{M}. \] Comme $Y\not\geq\Phi$ et $Y'\trianglelefteq Y$, on a $Y'\not\geq\Phi$. Donc pour avoir $Y'\mathbin{|0|}\Phi$, il suffit de voir $Y'\notin\Phi$. Mais si on avait $Y'\in\Phi$, on aurait $X'\mathbin{|0|}Y'$, et comme $X'\mathbin{\mathring{\ll}}Y'$, $X'\mathbin{\|}X'$, absurde. au lieu de $X'\mathbin{\|}X'$ la page porte un signe surchargé entre deux barres verticales ; la lecture est douteuse. « $\mathcal{M}$ » dans « $X,Y,X'\in\mathcal{M}\Rightarrow Y'\in\mathcal{M}$ » est sur la page, où l'on attendrait $\mathcal{M}'$.

33p. 30 de l'auteur. 8 juillet Digression 3 Magasins avec donnée de strates ⌜dites⌝ compactes (Magasins compactologiques). Notion de figure localement finie.

On se donne une partie $\mathcal{M}_c$ de $\mathcal{M}$, ⌜[…]⌝ […] (structure supplémentaire) formée des strates dites « admissibles » « compactes ».

Ax L'axiome préalable est le suivant :

Mag cpct 1 a) Si $X$ cpct, […] alors $\widetilde{X}$ fini.

a)$X\in\mathcal{M}_c\Longrightarrow\widetilde{X}$ fini
b)$X\in\mathcal{M}_c,\ Y\ll X\Longrightarrow Y\in\mathcal{M}_c$ — en d'autres termes : $\mathcal{M}_c$ est fermé dans $(\mathcal{M},\ll)$, ou ce qui revient au même, dans $(\mathcal{M},\mathring{\ll})$ et $(\mathcal{M},\trianglelefteq)$.

Par la suite, on sera amené sûrement à introduire un axiome Mag cpct 2, de type Borel-Lebesgue ; et aussi que $\mathcal{M}_c$ est « riche » dans $\mathcal{M}$ (grâce aux subdivisions).

Quand on se donne de plus un ⌜$\mathcal{F}$⌝ atelier, alors c'est un magasin, on exige :

Mag cpct (at)

Mag at cpct Si $F\ll X$, avec $F\in\mathcal{F}$, $X\in\mathcal{M}_c$, alors $\widetilde{F}$ fini. Mieux : si $X\in\mathcal{M}_c$, alors $\forall F\in\mathcal{F}$, l'ensemble des $X$ ⌜$Y$⌝ $\in\widetilde{F}$ telles que $\ldots|0|X$ $Y\mathbin{||}X$, i.e. $\widetilde{Y}\mathbin{|0|}\widetilde{X}$, a un complémentaire fini dans $\widetilde{F}$.

On notera ⌜ceci : une compactologie donnée, […]⌝. Pour $\mathcal{M}_c$ donné, il existe un $\mathcal{F}$ finissant : $\mathcal{M}$, le plus grand possible, parmi ceux satisfaisant à la condition envisagée. Les […] figures qui les cinq dernières lignes de la page sont barrées de traits obliques ; la phrase s'interrompt au bas de la page.

Un magasin compactologique […] est dit « à strates compactes » si $\mathcal{M}_c=\mathcal{M}$. Il est dit compact si […] $\exists F\in\mathcal{F}(\mathcal{M})$, avec $F$ fini, tel que $\operatorname{supp}^{\circ}F=\mathcal{M}$, i.e. $\nexists X\in\mathcal{M}$, $F\mathbin{|0|}X$. … Figures compactes : $\widetilde{F}$ fini, et $\subset\mathcal{M}_c$. Polygones compacts : […] les figures compactes […] […] note marginale en oblique, très serrée, dans la marge gauche ; lecture partielle.

34p. 31 de l'auteur. Pour $\mathcal{M}_c$ donné, et une partie $\Phi\subset\mathcal{M}$, on dira que $\Phi$ est localement finie si $\forall X\in\mathcal{M}_c$, \[ \forall X\in\mathcal{M}_c,\ \text{\struck{posant}}\ \text{\add{l'ens.}}\ \Phi_X=\{Y\in\Phi\mid Y\mathbin{\overline{\|}}X\}\ \text{\add{est fini}} \] \[ \text{\struck{, on a $\Phi\smallsetminus\Phi_X$ fini.}} \] Les parties loc. finies de $\mathcal{M}$ forment un anti-filtre. L'ensemble des $\mathcal{F}_{\mathrm{\ell f}}(\mathcal{M})$ des figures loc. finies de $\mathcal{M}$ forme un ⌜$\mathcal{M}$-⌝atelier, à condition de partir des supports qui ici. On a \[ \mathcal{M}\subset\mathcal{F}_{\mathrm{\ell f}}(\mathcal{M}) \] la page porte bien $\mathcal{M}\subset\mathcal{F}_{\mathrm{\ell f}}(\mathcal{M})$ ; il faut sans doute entendre que chaque strate, vue comme figure, est localement finie.

Mag cpct 1 c) […] $X\in\mathcal{M}$, $\widetilde{X}$ est loc. fini pour $\mathcal{M}_c$ i.e. $\forall Y\in\mathcal{M}_c$, l'ensemble des \[ \{X'\in\widetilde{X}\mid X'\mathbin{\overline{\|}}Y\} \] est fini.

Si $\Phi$ est un polygone loc. fini, alors $\overline{\Phi}^{(\trianglelefteq)}$ est encore loc. fini.

L'axiome Mag at cpct signifie que $\mathcal{F}\subset\mathcal{F}_{\mathrm{loc\,fin}}$. Ainsi $\mathcal{F}_{\mathrm{loc\,fin}}$ est le plus grand atelier définissant le $\mathcal{M}$, qui soit compatible à la compactologie.

Inversement, donnons-nous \[ (\mathcal{M},\trianglelefteq,\mathring{\ll},|0|,\mathcal{F}). \] On va construire une sous compactologie la plus grande possible, pour laquelle $\mathcal{M}_c$, $\mathcal{F}$ soient compatibles. On posera \[ \mathcal{M}_c=\{X\in\mathcal{M}\mid \forall F\in\mathcal{F},\ \text{l'ens. } \{Y\in\widetilde{F}\mid X\mathbin{\overline{\|}}Y\}\ \text{est fini}\} \] la relation $\overline{\|}$ (deux barres verticales surmontées d'un trait) est transcrite telle qu'elle est dessinée ; à la page précédente, la même relation est écrite sans trait, $\|$, et glosée « i.e. $\widetilde{Y}\mathbin{|0|}\widetilde{X}$ ».

35p. 32 de l'auteur. Il est clair que pour cet $\mathcal{M}_c$, les conditions Mag cpct 1 a) b) c) ⌜et c)⌝ sont satisfaites (pour c), on prend $F=\widetilde{X}$).

Ab Si $\mathcal{F}$ est formé de figures finies, tout fait $\mathcal{M}_c$ est aussi la plus grande des compactologies sur $\mathcal{M}$. Mais il ne semble pas raisonnable de définir en général $\mathcal{M}_c$ en termes des seuls magasins $(\mathcal{M},\trianglelefteq,\mathring{\ll},|0|)$, par les conditions précédentes, comme les \[ \mathcal{M}_c=\{X\in\mathcal{M}\mid \forall Y\in\mathcal{M},\ \text{l'ens. } \{Y'\in\widetilde{Y}\mid Y'\mathbin{\overline{\|}}X\}\ \text{fini}\}, \] lequel donnerait $\mathcal{M}_c=\mathcal{M}$ quand toutes les multistrates de $\widetilde{Y}$ de $\mathcal{M}$ sont finies. P. ex. dans le cas d'un ensemble ordonné $I$, muni d'une seule extrémité ou sans extrémité (intervalles ouverts qui n'est pas un segment), il est naturel de considérer comme compactes les seules strates de la forme $a$ ($a\in I$) $I_{a,b}$ ($a,b\in I$).

Il semble bien que ce soit la donnée supplémentaire de la compactologie, qui soit une structure souple plus intéressante que celle d'un atelier tout particulier.

36p. 33 de l'auteur. Elle permet, en plus des ateliers des figures compactes (et des figures finies dont on disposait déjà avant), d'introduire les figures localement finies. Il ne semble pas qu'en pratique, il y ait lieu de travailler avec d'autres ateliers attenants que celui des figures finies, celui des figures localement finies, ou (à la rigueur) celui de toutes les $\mathcal{M}$-figures.

NB Les figures compactes forment un atelier attenant à $\mathcal{M}_c$, qui est un sous-atelier de $\mathcal{M}$, mais non à $\mathcal{M}$, sauf si $\mathcal{M}_c=\mathcal{M}$.

Ainsi, il paraît clair que la bonne ⌜(tautologique)⌝ approche des considérations de la topologie « supportique » […] […] que je propose, est plutôt la notion que la notion de magasin compactologique \[ (\mathcal{M},\trianglelefteq,\mathring{\ll},|0|,\mathcal{M}_c). \] C'est une donnée plus simple que celle d'un atelier attenant à $\mathcal{M}$, ou $\mathcal{M}_c\in\mathfrak{P}(\mathcal{M})$, et $\mathcal{F}\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M}))$. la fin de la phrase est lue « où $\mathcal{M}_c\in\mathfrak{P}(\mathcal{M})$, et $\mathcal{F}\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M}))$ » : la comparaison oppose une partie de $\mathcal{M}$ à une partie de $\mathfrak{P}(\mathcal{M})$. Les mots entre « topologie » et « est plutôt » sont pour la plupart douteux.

37p. 34 de l'auteur. Digression 4 ⌜Terminologie : atelier, magasin, strates, multistrates.⌝ (Ainsi, de plus en plus, l'accent principal dans le travail de fondements, se porte sur $\mathcal{M}$, plutôt que sur $\mathcal{F}$. Du coup, cela suggère aussi un changement de terminologie : le terme ⌜nom⌝ initial principal, d'atelier, devrait être donné à $\mathcal{M}$. Cet atelier travaille avec les objets qui figurent dans $\mathcal{M}$, les ⌜strates ou⌝ multistrates, pour constituer avec eux des figures. L'ensemble de ces figures peut-être considéré comme constituant un magasin attenant : l'atelier (plutôt que l'inverse) — plusieurs magasins pouvant être attenants au même atelier, comme on vient de le voir plus haut. Dans le cas d'un atelier compactologique, on pourrait appeler peut-être $\mathcal{M}_c$, formé des (multi)strates compactes, le cœur de l'atelier. il propose ici d'échanger les noms : « atelier » pour $\mathcal{M}$, « magasin attenant » pour l'ensemble $\mathcal{F}$ des figures. La terminologie des pages précédentes (« magasin » pour $\mathcal{M}$, « atelier » pour $\mathcal{F}$) est transcrite telle qu'elle est écrite. La parenthèse ouverte après « Digression 4 » n'est pas refermée sur la page.

38p. 35 de l'auteur. Il vient la perplexité sur la terminologie parallèle strates — multistrates. Finalement, je vais appeler les $X\in\mathcal{M}$ les strates de l'atelier $\mathcal{M}$. Chaque strate détermine l'ensemble $\widetilde{X}$ de ses sous-strates, ou strates incidentes, C'est $\widetilde{X}$ qui serait la multistrate associée à la strate $X$, ou détermination, définie par $X$, ou la

Ainsi, pour une figure $F$, on distingue entre les strates de $F$, qui sont les éléments de $\widetilde{F}$, ou strates de $\mathcal{M}$ incidentes à $F$, et les multistrates de $F$, qui sont les $\widetilde{X}$ pour $X\in\widetilde{F}$. On pourrait désigner l'ens. de ces multistrates par $\widetilde{\widetilde{F}}$.

Quand on décrit l'atelier des figures définissant les un ensemble ⌜$\mathcal{L}$⌝ \[ \operatorname{Figil}(\mathcal{L})=\mathcal{M} \] il est entendu que ces objets apparaissent ⌜donc⌝ non comme des parties, mais comme des ensembles de parties de $\mathcal{L}$, soit $\widetilde{X}$. Cela n'empêche qu'une telle ensemble de parties de $\mathcal{L}$, considéré comme objet $\in\mathcal{M}$, sera appelée « strate », et non « multistrate ». Ainsi « $\operatorname{Figil}$ » est lu sous réserve. La phrase « Ainsi » continue à la page suivante.

39p. 36 de l'auteur. alors qu'un objet $X$ de $\mathcal{M}$ est un […] élément (de nature particulière) de $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L}))$, une multistrate $\widetilde{X}$ de $\mathcal{M}$ doit être considérée, en bonne logique, comme un élément de $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L})))$ — un ensemble d'ensembles de parties de $\mathcal{L}$.

De plus en plus, $\mathcal{M}$ apparaissant comme l'ensemble de base privilégié, les figures $F$ apparaissent comme des parties de $\mathcal{M}$. Dans ce point de vue, il n'y a donc pas lieu d'introduire un $\widetilde{F}$, qui ici n'est autre que $F$. Donc il n'y a pas lieu de parler de « déploiement » d'une figure. C'est à l'avenir qu'on verra s'il y a lieu, par la suite, d'autonomiser $\mathcal{F}$ p.r. à $\mathcal{M}$, par l'introduction d'une structure mixte sur $(\mathcal{M},\mathcal{F})$, avec une relation d'incidence $\trianglelefteq$ entre $\mathcal{M}$ et $\mathcal{F}$ — auquel cas la notation $\widetilde{F}$ reprend un sens et ses droits.

40p. 37 de l'auteur. Dès maintenant, je dirai « atelier » là où je disais « magasin », et inversement. Les axiomes Mag 1 à Mag 4 deviennent désormais At 1 à At 4, etc.

Je reviens à la notion de supports (« contours ») associés à un atelier — que je ne vais plus noter $\mathcal{M}$, il faut revoir les conventions de ses notations — mais $\mathcal{A}$, donc \[ (\mathcal{A},\trianglelefteq,\mathring{\ll},|0|). \] La donnée de $|0|$, relation symétrique antiréflexive, nous permet de définir un ensemble de parties particulières de $\mathcal{A}$, appelées « supports », parties fermées par $\mathring{\ll}$ (mais non par $\trianglelefteq$ en général), la donnée \[ \Sigma_{\mathcal{A}}\subset\mathfrak{P}(\mathcal{A}), \] stable par intersections quelconques, qui la phrase continue au-delà de ce lot.