Cote n° 156-9, pages 1–20

Cote n° 156-9 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Chapitre] IX et IX bis. [Ateliers] : notes manuscrites (05-15/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

GF IX

1En tête de la feuille, de sa main : « GF IX » (IX souligné et surligné), puis au crayon : « (voir p. 75 la mise au pt sur la terminologie) ».

un graphe des types d'ateliers, reliés par des traits et des flèches. En haut, « Atelier général $(\mathcal{A};\trianglelefteq,\mathring{\ll},|o|)$ » cerclé ($\mathcal{A}$) ; sous lui « Atelier divisible » (souligné, traversé par le trait qui monte vers l'atelier général). Au niveau suivant : « atelier spatial $(\mathcal{A};\trianglelefteq,|o|)$ » avec $\Sigma$ cerclé, relié à l'atelier général ; « atelier local $(\mathcal{A};\trianglelefteq,\mathring{\ll},|o|_{\mathcal{L}})$ » ; « atelier fidèle $(\mathcal{A};\trianglelefteq,\mathring{\ll})$ », relié à l'atelier général. Plus bas, « atelier ponctuel $\Sigma\simeq\mathfrak{P}(\mathcal{L})$ », relié à l'atelier local et à l'atelier fidèle, et par un trait tireté à l'atelier spatial ; une flèche de l'atelier spatial et une flèche de l'atelier ponctuel descendent vers ($\mathcal{L}$) « atelier ensembliste », d'où une flèche vers « at. ens. modéré », puis vers « at. discret », puis vers « at.-point » (au-dessus, un mot biffé, […]). À droite, « atelier modéré » (un premier « atelier modéré » est biffé plus haut) reçoit une longue courbe venue de l'atelier général et une autre de l'atelier fidèle, avec au crayon « at. mod ? » ; une flèche tiretée en part vers « at. ens. modéré » ; « maquette $\Sigma\simeq\mathfrak{P}(\mathcal{A})$ », encadrée au crayon, est reliée par une double flèche à l'atelier modéré et envoie une flèche vers « at. discret ». Un trait horizontal orangé sépare « at. discret » et « at.-point » du reste.

NB Si les ateliers mod. sont fidèles, le diagramme se simplifie : at. mod. se place entre at. fid. et maquette.

Je m'intéresserai plus particulièrement ⌜[…]⌝ par les ateliers spatiaux* (ça va de soi !), incluant les ateliers ensemblistes, comme ceux définis par des ens. ordonnés « intervalles ordonnés », et les maquettes (at. spatiaux), […] qui ont par certains côtés, […]. Parmi ceux-ci, pour un travail modéré (dans l'esprit de la topologie […] ensembliste), je suis intéressé par les ateliers qui sont de plus locaux. Cela incluent les maquettes, parmi les exemples précédents, sauf les maquettes discrètes).

En direction d'une topologie modérée, je m'intéresserai aux ateliers modérés (ensemblistes ou non) — qui incluent les maquettes. Je présume qu'il y a lieu de imposer pour les ateliers modérés […] spatialité (c'est […] par nécessité locaux), et […]

En bas à droite : « TSVP ». La lecture de ce paragraphe, écrit vite et chargé de reprises interlinéaires, est très incertaine.

2La page commence au milieu d'une phrase, qui continue le recto (« TSVP », p. 1).

aussi que l'ensemble $\Sigma$ ⌜ordonné⌝ des supports soit « modulaire », i.e. \[ A \wedge \operatorname{Sup}_i B_i = \operatorname{Sup}_i A \wedge B_i , \] dans une « algèbre de Boole ». Il est possible que cela implique que l'atelier soit aussi fidèle.

À vérifier ? Non,

Question. Si $x \in \mathcal{L}$, alors $x^{\circ} = \operatorname{Supp}^{\circ} x = \operatorname{Supp} x \in \Sigma$ est-il un objet minimal de $\Sigma^{*} = \Sigma \smallsetminus \{0_{\Sigma}\}$ ? En d'autres termes, si $X \in \mathcal{A}$, $X \in \mathcal{L}$, et $\operatorname{Supp}^{\circ} X \subset \operatorname{Supp}^{\circ} x$, a-t-on $X = x$ ? En d'autres termes, \[ X \neq x \overset{?}{\Longrightarrow} \operatorname{Supp}^{\circ}(X) \not\subset \operatorname{Supp}^{\circ} x , \quad \text{i.e.} \quad \operatorname{cosupp}^{\circ} x \not\subset \operatorname{cosupp}^{\circ} X , \] i.e. $\exists\, Z \in \mathcal{A}$ avec $Z \mathrel{|o|} x$, $Z \mathrel{\overline{|o|}} X$ ? Si cela […] — revient au cas où $X = y \in \mathcal{L}$ (locaux […]), donc à voir que si $x, y \in \mathcal{L}$, $y \neq x$, \[ \exists\, Z \in \mathcal{A} \quad \text{avec} \quad Z \mathrel{|o|} x ,\ Z \mathrel{\overline{|o|}} y . \] (Car $x^{\circ} = \operatorname{Sup}_{y} y^{\circ}$, $y \in \mathcal{L}$ t.q. $y \subset X$, i.e. $y^{\circ} \subset X^{\circ}$.) Je […] pas que dans le cas $x \mathrel{\overline{|o|}} y$. Dans ce dernier paragraphe la négation de $|o|$ est notée par une barre au-dessus du signe ; le sous-indice de $\operatorname{Sup}$ est écrit sur trois lignes et sa lecture est incertaine.

15.7. Remarques : Opération de restriction d'un atelier à un contexte, faisable dans les ateliers, […] ou dans celui des ateliers spatiaux sans plus ? J'en doute !

un graphe au crayon et à l'encre, de sommets S (en haut), LS, M (cerclés), SF, E, MF, EM (cerclé) et Mq (en bas) : S est relié à M par un arc épais et à LS ; SF est au centre, relié à S, à E et à MF ; M est relié à MF par un arc ; MF est relié à EM et à Mq ; LS est relié à E puis à EM. À côté : « DEQFLMPS » et dessous « Mq, Div, v, p ».

Diagramme des principaux types d'ateliers (ou de « contextes »)

15 juillet 86

un graphe orienté, les flèches montant vers le haut (traits doublés à l'encre brune), avec hachures au crayon dans deux bandes. Au sommet G $(\mathcal{A})$. Au-dessous, à gauche S $(\Sigma$ ou $\mathcal{A})$ cerclé, au milieu F, à droite L ; sur l'arête de L à G un point « Div » ; sur l'arête de SF à S une marque « [S Div] ». Au niveau suivant SF, LS $(\Sigma$ ou $\mathcal{L})$ (cerclé) et FL $=$ P. Puis FLS $=$ E $(\mathcal{L})$ au centre et M (cerclé) à gauche. Puis Mq (sous M) et EM (cerclé, sous E). En bas D, recevant deux flèches venues de v et de p. Flèches : S, F, L $\to$ G ; SF $\to$ S et F ; LS $\to$ S et L ; P $\to$ F et L ; E $\to$ SF, LS, P ; M $\to$ SF ; Mq $\to$ M ; EM $\to$ M et E ; D $\to$ Mq et EM ; v, p $\to$ D. Pointillés de S à Div et de F à L.

Légende :

G $=$ ateliers généraux
S $=$ — spatiaux
F $=$ — fidèles
L $=$ — locaux
SF $=$ — spatiaux locauxsic, semble-t-il ; on attendrait « fidèles ».
FL $=$ P $=$ — fidèles locaux ⌜ou ponctuaires⌝
LS $=$ — locaux spatiaux (NB LS $=$ S $\cap$ Div, at. spatiaux divisibles)
FLS $=$ E $=$ — fidèles locaux spatiaux ⌜ou ensemblistes⌝
M $=$ — modérés
EM $=$ — ensemblistes (modérés)
Mq $=$ — maquettes
D $=$ — discrets
Div $=$ — (infiniment) divisibles ; SDiv $=$ — spatiaux (inf.) divisibles
p $=$ ateliers ponctuels ($\operatorname{card} \mathcal{A} = 1$)
v $=$ — vide ($\operatorname{card} \mathcal{A} = 0$).

Une flèche marquée « ? » relie LS à FLS $=$ E dans la légende.

Les huit « carrés élémentaires »

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & d & \\
b \arrow[ur] & & c \arrow[ul] \\
 & a \arrow[ul] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

figurant dans ce diagramme sont des « carrés-intersection », i.e. $a = b \wedge c$. On en conclut p. ex., par « chasse », que $\mathrm{LS} \cap \mathrm{M} = \mathrm{EM}$ ($= \mathrm{E} \cap \mathrm{M}$).

[…]

Les cadres privilégiés par excellence pour une « géométrie des formes » dans un « contexte » ⌜($\doteq \mathrm{S} \cap \mathrm{Div}$)⌝ me semblent à présent : LS (ateliers locaux ou mieux, spatiaux divisibles spatiaux), […] qui semblent adéquats pour l'étude des […] « ⌜cordes et⌝ formes » (pseudo-simplexes topologiques), S (ateliers spatiaux) adéquats (en général) pour les contextes finis), M (ateliers modérés, pour la topologie modérée) et EM (topologie modérée ensembliste).

À vérifier que la bonne notion d'atelier modéré doit bien impliquer qu'il soit, non seulement spatial, mais encore fidèle. Sinon, diagramme moins joli ! (Cf. ci-contre, feuille suivante…)

Je note que l'accent principal s'est nettement déplacé depuis les approches originelles via L, vers des approches subordonnées à S (les originelles venues dans la trilogie FLS).

4Pagination de l'auteur : 1 (un premier numéro biffé).

5 juillet. L'affaire a tendance à s'enliser, et j'ai envie de tout reprendre, d'une façon critique un peu différente.

NB. $\mathcal{L}$ est un ens. ordonné ; je lui associe un magasin […] \[ \mathfrak{M} = \mathfrak{M}_0 \amalg \mathfrak{M}_1 , \] $\mathfrak{M}_0 = \mathcal{L}$, ensemble des « sommets » virtuels, ou « lieux » ; $\mathfrak{M}_1 \overset{\simeq}{=} \operatorname{Drap}_2(\mathcal{L})$. Si $\{a,b\}$ ($a<b$) est dans $\operatorname{Drap}_2(\mathcal{L})$, je note $I_{\{a,b\}}$ ou $I_{a,b}$ ou $I_{b,a}$ la structure associée, appelée aussi intervalle déterminé par $\{a,b\}$.

canonique […] associé à $\mathcal{L}$

Relation d'incidence : $X \lhd Y$ ssi $X \in$

Notation $\partial X$, $X \in \mathfrak{M}$ : \[ \text{(a)} \quad \begin{cases} \partial I_{\{a,b\}} = \{a,b\} \subset \mathfrak{M}_0 \\ \partial x = \emptyset \subset \mathfrak{M} \end{cases} \qquad \text{(b)} \quad \begin{cases} \delta I_{a,b} = \partial I_{a,b} = \{a,b\} \\ \delta x = \{x\} \end{cases} \]

Relation d'incidence : $X \lhd Y$ ssi $X = x \in \mathcal{L}$, $Y \in \mathfrak{M}_1$, et $x \in \partial Y$. Donc la condition $\partial X$ de la relation est celle d'incidence : \[ \partial X = \{ Y \in \mathfrak{M} \mid Y \lhd X \} \qquad (X \in \mathfrak{M}) . \]

[Il semble qu'il vaut mieux introduire d'abord la relation $\leq$ sur $\mathfrak{M}$, d'interpréter […] $I_{ab}$, $I_{<a}$, $I_{>b}$ comme des « intervalles » dans $\mathfrak{M}$, […] via […].]

Écrit en oblique dans la marge gauche, de lecture très incertaine : […] $[I_{a,b}] = \{x \in \mathcal{L} \mid a \leq x \leq b\}$, […] $]a,b[$ […] $x = $ […] ; $\operatorname{c} \| I_{a,b} | a | = $ […] $X \in \mathfrak{M}_1$ […] ; […] $\delta X \lhd \partial X \subset \delta X$.

Relation $\ll$. On a par définition \[ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \iff |X| \subset |Y| \ \text{et} \ X \mathrel{\overline{\lhd}} Y . \] \[ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \iff \begin{cases} X = Y \\ \text{ou } X = x \in \mathcal{L},\ Y = I_{a,b},\ a < x < b \\ \text{ou } X = I_{a,b},\ Y = I_{a',b'},\ a' \leq a < b \leq b' \end{cases} \] La barre au-dessus de $\lhd$ note la négation. Un mot biffé et noirci précède « $X \overline{\lhd} Y$ ».

Relation d'ordre. Mag 2, OK encadré, avec une flèche qui descend vers le bas de la page

Remarque. $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Longrightarrow \delta X \cup \delta Y \in \operatorname{Drap}(\mathcal{L})$.

Conséquence. Relation $X \ll Y$ $\bigl(\overset{\mathrm{def}}{\iff} \exists\, Y',\ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \trianglelefteq Y\bigr)$ : \[ X \ll Y \iff X \lhd Y \ \text{ou} \ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \iff |X| \subset |Y| \] Sous « $X \lhd Y$ ou $X \mathring{\ll} Y$ », une accolade : « contradictoires mutuellement exclusifs ». Au début de la ligne, un mot biffé, […]. \[ \iff \begin{cases} X = Y \\ \text{ou } X = x \in \mathcal{L},\ Y = I_{a,b},\ a \leq x \leq b \\ \text{ou } X = I_{a,b},\ Y = I_{a',b'},\ a' \leq a < b \leq b' \end{cases} \]

5Pagination de l'auteur : 2.

Avant d'introduire $|o|$, on introduit relation d'ordre sur $\mathfrak{M}$ : \[ X < Y \overset{\mathrm{def}}{\iff} \begin{cases} X = x,\ Y = y,\ x, y \in \mathcal{L},\ x < y \\ X = x,\ Y = I_{a,b},\ x \leq a < b \\ X = I_{a,b},\ Y = y,\ a < b \leq y \\ X = I_{a,b},\ Y = I_{a',b'},\ a < b \leq a' < b' \end{cases} \] \[ X < Y \iff \bigl( X \neq Y \ \text{et} \ (\forall\, x \in \delta X,\ y \in \delta Y,\ \text{on a } x \leq y) \bigr) \iff \bigl( |X| \leq |Y| \bigr) \] Dans cette seconde ligne le signe $<$ est repassé d'un trait épais ; au-dessus de « $|X| \leq |Y|$ » est ajouté « $|X| \neq |Y|$ et », relié par un trait à « $X \neq Y$ et ».

NB […] pour deux parties $A$, $B$ […] (ou relations) d'un ens. ordonné, $A < B$ si […] ($A \leq B \iff A = B$ ou $A < B$) i.e. $A \leq B$, $A < B$ […] écrit en oblique, lecture très incertaine

Remarques. $X < Y \Longrightarrow \delta X \cup \delta Y \in \operatorname{Drap}^{*}(\mathcal{L})$.

Notation pour $D \in \operatorname{Drap}^{*}(\mathcal{L})$ :

$\operatorname{or} D = $ plus petit élément de $D$,
$\operatorname{ex} D = $ — grand —

et $\operatorname{or} X$ pour $X \in \mathfrak{M}$ : \[ \operatorname{or} X = \operatorname{or} \delta X , \qquad \operatorname{ex} X = \operatorname{ex} \delta X . \]

Remarques. a) $X < Y \Longrightarrow (\operatorname{ex} X \leq \operatorname{or} Y)$ et $\operatorname{or} X \leq \operatorname{ex} Y$

b) $X \leq Y \Longrightarrow (\operatorname{or} X < \operatorname{ex} Y$, ou $X = Y = a \in \mathcal{L})$

c) $X < Y$, $X' \mathrel{\mathring{\ll}} X$, $Y' \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Longrightarrow X' < Y'$

On a : si $X < Y$, $X' \ll X$, $Y' \ll Y$, $X', Y' \in \mathfrak{M}$, $X' \leq Y'$, sauf si $X' = \operatorname{ex} X = Y' = \operatorname{or} Y$

Définition : $X \mathrel{|o|} Y \overset{\mathrm{def}}{\iff}$ $X < Y$ ou $Y < X$, i.e. $\{X,Y\} \in \operatorname{Drap}(\mathfrak{M})$ Ces trois lignes sont barrées de traits obliques.

Proposition. Soient $X, Y \in \mathfrak{M}$, $X', Y' \in \mathfrak{M}$, $X' \ll X$, $Y' \ll Y$. Alors […] \[ X < Y \Longrightarrow X' \leq Y' , \ \struck{et} \] et on a même \[ X < Y \Longrightarrow \bigl( X' < Y' \ \text{ou} \ X' = \operatorname{ex} X = Y' = \operatorname{or} Y \bigr) . \]

Dans ce dernier cas, on aura $X' \trianglelefteq X$, $Y' \trianglelefteq Y$, donc on ne peut avoir $X' \mathrel{\mathring{\ll}} X$, $Y' \mathrel{\mathring{\ll}} Y$ que si $X' = X$, $Y' = Y$, ⌜ce qui⌝ contredit l'hyp. implique $X = Y$, et est exclu contraire à : $X < Y$. Donc

Cor. $X < Y$, $X' \mathrel{\mathring{\ll}} X$, $Y' \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Longrightarrow X' < Y'$.

Déf. \[ X \mathrel{|o|} Y \overset{\mathrm{def}}{\iff} X < Y \ \text{ou} \ Y < X \quad \text{i.e.} \quad \{X, Y\} \in \operatorname{Drap}_2(\mathfrak{M}, \leq) . \]

Le corollaire précédent montre Mag 3, et Mag 4 immédiat, car $a < I_{ab} < b$, donc $X \lhd Y \Longrightarrow X \mathrel{|o|} Y$.

6Pagination de l'auteur : 3 (un premier numéro biffé).

$X \asymp Y \iff$

Soient […] l'équivalence générale en $\asymp$,

On voit que pour $X \neq Y$, on a $X$ On veut que pour $X \neq Y$, on puisse avoir $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \neq \emptyset$ que si […] $\delta$

\[ X \neq Y \Longrightarrow \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \delta X \cap \delta Y , \ \text{de cardinal } 0 \text{ ou } 1 \]

et si $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \neq \emptyset$, on est dans la situation $X, Y \in \mathfrak{M}_1$, $\operatorname{card}(\delta X \cap \delta Y) = 1$, $X \lhd Y$ ou $Y \lhd X$ ou

Donc $X \asymp Y \iff X = Y$ ou $X \lhd Y$ ou $Y \lhd X$ Tout le début de la page, jusqu'ici, est rayé de traits horizontaux et encadré d'un trait à gauche. Le signe noté ici $\asymp$ est tracé comme un $\asymp$ barré ; on le rend partout par $\asymp$.

Proposition. \[ X \asymp Y \iff X \overset{\sim}{=} Y \ \text{ou} \ X \mathrel{|o|} Y \quad \text{i.e.} \quad \{X, Y\} \in \operatorname{Drap}(\mathfrak{M}) \] Le signe d'égalité porte un petit arc au-dessus ; lecture incertaine.

[…] Dém. OPS $X \neq Y$. Alors \[ \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \delta X \cap \delta Y \ \text{est de cardinal } 0 \text{ ou } 1 . \] On distingue les deux cas.

a) $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset$. Alors la définition ⌜de $X \asymp Y$⌝ signifie $\widetilde{X} \mathrel{|o|} \widetilde{Y}$, et on voit que cela équivaut aussi : $X \mathrel{|o|} Y$, par l'hypothèse […] $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset$.

b) $\operatorname{card} \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = 1$, i.e. $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \{b\}$. Alors Donc $X \asymp Y$ signifie Si $X \lhd Y$ ou $Y \lhd X$, alors $X \asymp Y$ et $X \mathrel{|o|} Y$, et la prop. est satisfaite. OPS que $X$ et $Y$ […] ⌜$X, Y \notin \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$⌝, […] mais alors $X, Y \in \mathfrak{M}_1$, […] et $X \asymp Y$ signifie implique $X \mathrel{|o|} Y$, […] donc (par construction) $X = I_{ab}$, $Y = I_{b,c}$, $a < b < c$. Mais alors $(\widetilde{X} \smallsetminus \{b\}) \mathrel{|o|} (\widetilde{Y} \smallsetminus \{b\})$ i.e. $X \asymp Y$, cqfd.

Corollaire. Pour qu'une partie ⌜finie⌝ $\mathfrak{F}$ de $\mathfrak{M}$ soit une préfigure de $\mathfrak{M}$ (i.e. $\mathfrak{F}$ soit une figure) il faut et il suffit qu'elle soit totalement ordonnée par $\leq$.

7Pagination de l'auteur : 4.

NB « Figures » signifie « figures finies » — i.e. ⌜$\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}_f(\mathfrak{M})$⌝ on travaille dans l'atelier des figures finies. On trouve ainsi \[ \operatorname{Préfig}(\mathfrak{M}) = \operatorname{Drap}^{*}(\mathfrak{M}, \leq) \] \[ \operatorname{Fig}(\mathfrak{M}) = \operatorname{Drap}^{*}(\mathfrak{M}, \leq) \cap \mathfrak{P}_f(\mathfrak{M}, \trianglelefteq) \] Les figures sont les parties finies de $\mathfrak{M}$, totalement ordonnées par $\leq$, et fermées pour $\trianglelefteq$.

Pour l'étude des supports contractibles et de l'utilisation du complémentaire, il sera utile d'introduire, pour toute préfigure, une « préfigure complémentaire ». Comme $\mathcal{L}$ n'a pas de plus petit et de plus grand élément, ceci fait sortir des préfigures proprement dites, en nous faisant introduire des « intervalles infinis » $I_{<a}$, $I_{>a}$. Même si $\mathcal{L}$ a plus petit et plus grand élément, l'introduction de $I_{<a}$, $I_{>b}$ rend la formation des préfigures complémentaires plus élégante ; on obtient la complémentaire $\mathfrak{F}'$ d'une préfigure $\mathfrak{F}$ comme préfigure, […] avec $\delta \mathfrak{F}' \subset \delta \mathfrak{F}$, alors que généralement dans le contexte des préfigures « ordinaires », la définition imposerait des […] : on aurait seulement \[ \delta \mathfrak{F}' \subset \delta \mathfrak{F} \cup \{\omega_0, \omega_1\} \] (avec plus petit et plus grand élément). (De façon précise, on aurait $\mathcal{D} = (\mathfrak{F} \cap \mathcal{D}) \amalg (\mathfrak{F}' \cap \mathcal{D})$ — tout point de $\mathcal{D}$ (extr. de $\mathcal{L}$) — appartient à une des deux préfigures La lettre lue ici $\mathcal{D}$ est incertaine.

8Pagination de l'auteur : 5.

$\mathfrak{F}$, $\mathfrak{F}'$, et une seule). Ainsi Quand on se limite aux préfigures ⌜(généralisées)⌝ irrédondantes, dans le cadre de l'introduction des $I_{<a}$, $I_{>a}$, […] $\delta\mathfrak{F} = \delta\mathfrak{F}'$, alors que […] […] pour […] la formalisme […] généralisée, on a les préfigures ⌜de $<$⌝ […] les extrémités […] […] communes.

Introduction de nouveaux éléments, pour former $\widehat{\mathfrak{M}} = \widehat{\mathfrak{M}}_0 \amalg \widehat{\mathfrak{M}}_1$ : \[ \widehat{\mathfrak{M}}_0 = \mathfrak{M}_0 = \mathcal{L} , \qquad \widehat{\mathfrak{M}}_1 = \mathfrak{M}_1 \amalg \mathfrak{M}_1^{-} \amalg \mathfrak{M}_1^{+} \] \[ \mathfrak{M}_1^{-} = \{ I_{<a} \mid a \in \mathcal{L},\ a \text{ non minimal dans } \mathcal{L} \} \] \[ \mathfrak{M}_1^{+} = \{ I_{>a} \mid a \in \mathcal{L},\ a \text{ non maximal dans } \mathcal{L} \} \]

$I_{<a}$, $I_{>a}$ pour sont ici des symboles graphiques, auxquels pour l'instant on n'associe aucune interprétation. Plus intuitivement, […] $I_{<a}$ figure l'ensemble […] formé des $x \in \mathcal{L}$, $x < a$, ou mieux, les $X \in \mathfrak{M}$ tels que $X < a$, et symétriquement pour $I_{>a}$.

On pose \[ \partial I_{<a} = \delta I_{<a} = \text{\struck{$\ldots$}} = \{a\} \] \[ |I_{<a}| \overset{\mathrm{def}}{=} \mathcal{L}_{\leq a} = \{ x \in \mathcal{L} \mid x \leq a \} \] \[ |I_{<a}|^{\circ} \overset{\mathrm{def}}{=} |I_{<a}| \smallsetminus \partial I_{<a} = \mathcal{L}_{<a} = \{ x \in \mathcal{L} \mid x < a \} \] Dans la première ligne, deux formules intermédiaires sont biffées par des hachures ; dans la troisième, un mot biffé précède $|I_{<a}|$. et de même pour $I_{>a}$. Cela étend $\trianglelefteq$ et $\lhd$ à $\widehat{\mathfrak{M}}$. On étend pareillement $\mathring{\ll}$, en écrivant les nouveaux cas de $\mathring{\ll}$, indiquant $I_{<a}$

9Pagination de l'auteur : un chiffre lu 8, peut-être 6 ; la page continue la précédente.

\[ \begin{cases} I_{<a} \mathrel{\mathring{\ll}} I_{<b} \iff a \leq b \\ X \mathrel{\mathring{\ll}} I_{<a} \ \text{si} \iff X \leq a \quad \text{(cf.\ déf.\ldots)} \end{cases} \] Après « $X \leq a$ » quelques signes sont biffés par des hachures, et « dans […] » est biffé sous « (cf. déf.…) » ; le $\leq$ est repassé. (où $X \in \mathfrak{M}$), et analogue pour $I_{>}$ les relations impliquant les intervalles infinis supérieurement.

[…] $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \iff |X| \subset |Y|$ et $X \mathrel{\overline{\lhd}} Y$ […] pour $X, Y \in \widehat{\mathfrak{M}}$ […] écrit en oblique dans la marge gauche ; lecture très incertaine

On notera :

a) On n'a jamais une relation \[ I_{<a} \mathrel{\mathring{\ll}} X \qquad \text{pour } X \in \mathfrak{M} . \] Par exemple, si $\mathcal{L}$ a un plus petit él. $\omega_0$, on n'a pas $I_{<a} \mathrel{\mathring{\ll}} I_{\omega_0,a}$, car ([…] intuitivement) […] deux fois. $I_{\omega_0,a} \mathrel{\mathring{\ll}} I_{<a}$. En fait, $I_{\omega_0,a}$ doit être […] définissant une modalité…) comme une substitution effective de $I_{<a}$. (Si on avait ⌜admettait⌝ les deux relations : […], on aurait $I_{<a} = I_{\omega_0,a}$, ce qui n'est pas conforme aux intentions présentes […] ni […] $I_{<a} \ll I_{\omega_0,a}$, mais la relation inverse […] $I_{\omega_0,a} \ll I_{<a}$, et $|I_{\omega_0,a}| = |I_{<a}|$.)

b) On n'a jamais une relation $I_{<a} \mathrel{\mathring{\ll}} I_{>b}$, ni l'inverse.

Mag 2 OK sur $\widehat{\mathfrak{M}}$

Relation d'ordre $\leq$ sur $\widehat{\mathfrak{M}}$. On pose, comme, si $X, Y \in \widehat{\mathfrak{M}}$ étend $\leq$ à $\widehat{\mathfrak{M}}$ par :

$X \leq Y \iff \forall\, x \in \delta X,\ \forall\, y \in \delta Y,\ x \leq y$

(on écrit aussi $\delta X \leq \delta Y$, relation qui a un sens pour deux parties $A$, $B$ quelconques de $\mathcal{L}$ : $A \leq B$) La ligne de définition est biffée d'un trait horizontal et la parenthèse qui suit de traits obliques.

10Pagination de l'auteur : 7.

Relation $|o|$ sur $\widehat{\mathfrak{M}}$ ⌜($X \neq Y$ et)⌝ \[ X < Y \iff |X| \leq |Y| \qquad \text{On trouve} \] \[ \text{\struck{$X \mathrel{|o|} Y \iff X < Y$ ou $Y < X$, i.e.\ $\{X,Y\} \in \operatorname{Drap}_2(\widehat{\mathfrak{M}}, \leq)$}} \] La première ligne, avec l'ajout encerclé « $X \neq Y$ et » muni d'un signe $\exists$ au-dessus, n'est pas toute biffée ; lecture incertaine de cette articulation.

\[ X \leq Y \iff \begin{cases} 1^{\circ})\ \delta X \leq \delta Y \\ 2^{\circ})\ \text{si $X$ ou $Y$ est de la forme $I_{<a}$, $I_{>b}$, on exige \struck{pour} ceci :} \\ \qquad \text{a) si } Y = I_{<a},\ \text{alors } X = Y \\ \qquad \text{b) si } X = I_{>a},\ \text{alors } Y = X \end{cases} \] Dans a), « donc $X = Y$ » est biffé avant « alors $X = Y$ » ; sous les deux cas une ligne de signes est biffée par des hachures. Le $\leq$ et le $<$ de la première ligne de la page sont repassés.

NB On a dans tous les cas \[ X \leq Y \Longrightarrow |X| \leq |Y| , \qquad X < Y \Longrightarrow |X| < |Y| . \]

NB […] On n'a jamais $I_{>a} \leq I_{<b}$ à cause de $2^{\circ}$ a) (ou b)) ci-dessus. On a, bien sûr, \[ I_{<a} \leq I_{>b} \iff a \leq b . \] Dans la formule, le $>$ de $I_{>b}$ est repassé sur un autre signe ; un trait ponctué double le $\leq$.

On pose […], pour $X, Y \in \widehat{\mathfrak{M}}$ \[ X \mathrel{|o|} Y \iff X < Y \ \text{ou} \ Y < X \quad \text{i.e.} \quad \{X, Y\} \in \operatorname{Drap}_2(\widehat{\mathfrak{M}}, \leq) . \]

Vérification des axiomes. Mag 1 OK, Mag 2 OK, Mag 3 OK car \[ X < Y,\ X' \mathrel{\mathring{\ll}} X,\ Y' \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Longrightarrow X' < Y' . \] \[ \struck{\ill{}} \quad X < Y,\ X' \ll X,\ Y' \ll Y \Longrightarrow X' \leq Y' \] \[ \hookrightarrow X' < Y' \ \text{ou} \ X' = \operatorname{ex} X = Y' = \operatorname{or} Y . \] Une accolade sous les hypothèses de la deuxième ligne renvoie, par une flèche, à la troisième ; au-dessus de celle-ci, « $\leftarrow X' =$ » est biffé.

Mag 4 clair.

11Pagination de l'auteur : 8 (repassé).

Proposition

Lemme a) Soit $a \in \mathcal{L}$ non […] non minimal, et notons que $I_{<a}$ est défini. Alors $\operatorname{cosupp}^{\circ}(I_{<a}) = \{a\} \cup \operatorname{Omb}^{\circ}(I_{>a})$ Ces lignes sont barrées de trois longs traits obliques.

Lemme. $\mathfrak{M}$ est fermé dans $\widehat{\mathfrak{M}}$, i.e. pour $X, Y \in \widehat{\mathfrak{M}}$, pour qu'on ait $X \mathrel{|o|} Y$, il faut que pour tout $X' \mathrel{\mathring{\ll}} X$, $Y' \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, $X', Y' \in \mathfrak{M}$, on ait $X' \mathrel{|o|} Y'$.

NB C'est là le reflet, dans la situation, de […] $Y' \mathrel{\mathring{\ll}} X$ pour $Y$ […] écrit en oblique dans la marge gauche, lecture très incertaine

Supp Il n'y a de question que […] si $X$ est un […] des deux éléments $X$, $Y$ est un $I_{<a}$ ou un $I_{>b}$. Supposons p. ex. \[ X = I_{<a} , \] et supposons d'abord $Y \in \mathfrak{M}$. Alors

[…] $X \mathrel{|o|} Y$ ssi $I_{<a} < Y$ i.e. $a \leq Y$, […] montrons […] qu'il suffit $X' \ll I_{<a}$, ssi $\forall\, X' \mathrel{\mathring{\ll}} I_{<a}$, on ait $X' \mathrel{|o|} Y$. $X' \leq a$, alors

Prenons d'abord $X' = I_{a',a}$, avec $a' < a$ (tel existe, car $a$ non minimal). On aura $Y \mathrel{|o|} I_{a',a}$ donc $Y \trianglerighteq a$ ou $Y \leq a'$. Mais si on avait $Y \leq a'$ ($< a$), on aurait $Y \mathrel{\mathring{\ll}} X = I_{<a}$ et prenant $X' = Y$, on trouve $Y \mathrel{|o|} Y$, absurde. Dans $X' = I_{a',a}$ l'indice est récrit sous un premier indice biffé. Le signe lu $\trianglerighteq$ dans « $Y \trianglerighteq a$ » est incertain (peut-être $\geq$).

Si on prend […], pour $X'$ fixé, que

$X' \mathrel{|o|} Y$ ssi condition avec […]),

Cor. Les éléments condition de $\Sigma_{\widehat{\mathfrak{M}}}$ sont canoniquement […] à l'un des supports $\Sigma_{\mathfrak{M}}$. Le corollaire est écrit au bas de la feuille, serré ; lecture incertaine.

12Pagination de l'auteur : 9.

Mais donc à l'un des supports pour $\mathfrak{M}$ qui […] s'intéresse en fait !

Nous allons : présentement travailler avec des figures et préfigures finies de $\widehat{\mathfrak{M}}$ (ou $\widehat{\mathfrak{M}}$-préfigures, ou préfigures généralisées), i.e. les parties finies totalement ordonnées (et […]) de $\widehat{\mathfrak{M}}, \leq$. Pour une telle partie $\mathfrak{F}$, on introduit \[ T = \delta \mathfrak{F} \in \operatorname{Drap}^{*}(\mathcal{L}) , \] ⌜[…]⌝ non vide si $\mathfrak{F}$ est non vide. Ainsi On introduit les structures ensemblistes (généralisées) d'un drapeau \[ T = \{ t_1 < t_2 < \cdots < t_n \} \] de $\mathcal{L}$, ainsi : […] \[ [I_{<t_1}],\ t_1,\ I_{t_1,t_2},\ t_2,\ I_{t_2,t_3},\ \ldots,\ t_n,\ [I_{>t_n}] \] À côté de la marge gauche, en oblique : « […] si […] $b$ […] non vide » ; lecture incertaine. où les termes $I_{<t_1}$ (resp. $I_{>t_n}$) ne figurent que si (si $t_1$ non minimal, il n'existe […]) et seulement […] $t_1$ non minimal, et ne figurent que si $t_n$ non maximal (idem…).

Ce sont les éléments de la plus grande $\widehat{\mathfrak{M}}$-préfigure ⌜possible⌝ $\widehat{\mathfrak{F}}$, telle que $\delta\widehat{\mathfrak{F}} = T$. $\widehat{\mathfrak{M}}$-préfigure Le […] de ⌜$\mathfrak{F} \neq \emptyset$⌝ revient à celle de $\mathfrak{F}$, des drapeaux $T$, plus un ensemble fini de structures ensemblistes (généralisées) […] de propriétés suivantes :

La dernière ligne de la page, de lecture incertaine : « $\forall\, t \in T$, […] $t \in \mathfrak{F}$, ou $t \lhd X$ avec $X \in \mathfrak{F}$ ». \[ \forall\, t \in T, \quad t \in \mathfrak{F}, \ \text{ou} \ t \lhd X \ \text{avec} \ X \in \mathfrak{F} . \]

13Pagination de l'auteur : 10.

Ceci posé, on définit la préfigure complémentaire $\mathfrak{F}^{*}$ de $\mathfrak{F}$ comme \[ \mathfrak{F}^{*} = \widehat{\mathfrak{F}} \smallsetminus \mathfrak{F} \] $=$ ens. des intervalles ⌜structures⌝ ensemblistes généralisées de $\delta\mathfrak{F}$, qui ne sont pas $\in \mathfrak{F}$.

On aura \[ \delta \mathfrak{F}^{*} = \delta \mathfrak{F} \smallsetminus \mathfrak{F}_{\mathrm{red}} , \quad \text{soit } T' \] où $\mathfrak{F}_{\mathrm{red}}$ est l'ens. des sommets redondants de $\mathfrak{F}$, i.e. \[ \mathfrak{F}_{\mathrm{red}} = \{ s \in \mathfrak{F}_0 \mid \operatorname{ord}(s, \mathfrak{F}) = 2 \} . \] L'indice de $\mathfrak{F}_{\mathrm{red}}$ est écrit d'abord « kered » (?) puis « red » ; lecture incertaine.

On […] Il y a lieu ici de faire la petite digression sur la notion des sommets dits d'une $\widehat{\mathfrak{M}}$-préfigure (cinq types : sommets-bord propres et impropres, sommets isolés, sommets intérieurs propres et impropres (ceux-là seront les redondants) — cf. p. 110, 111. On trouve aussi ⌜ainsi⌝ que $\mathfrak{F}^{*}$ n'a pas de sommets redondants, donc $\delta\mathfrak{F}^{**} = \delta\mathfrak{F}^{*}$. Les « p. 110, 111 » sont des pages de l'auteur, extérieures à ce lot.

On obtient $\mathfrak{F}^{**} = $ ens. des structures ensemblistes $X$ de $T' = \delta\mathfrak{F} \smallsetminus \mathfrak{F}_{\mathrm{red}}$ telles qu'il existe […] $Y \in \mathfrak{F}$ avec $Y \ll X$. On dit que $\mathfrak{F}^{**}$ s'obtient à partir de $\mathfrak{F}$

14Pagination de l'auteur : 11.

en « effaçant les sommets redondants », obtenus par « composition des segments intervalles adjacents aux sommets redondants ». On a \[ (\mathfrak{F}^{**})_0 = \mathfrak{F}_0 \smallsetminus \mathfrak{F}_{\mathrm{red}} \] $(\mathfrak{F}^{**})_1 = $ composés ens. des intervalles obtenus ⌜obtenus⌝ par composition des suites drapeaux maximaux connexes contenus dans $\mathfrak{F}$, i.e. de la forme \[ X_1,\ x_1,\ X_2,\ x_2,\ \ldots,\ x_{k-1},\ X_k \] avec $x_1 \lhd X_1, X_2,$ \[ X_1 < x_1 < X_2 < x_2 < \cdots < x_{k-1} < X_k \] \[ \text{et} \quad x_1 \lhd X_1, X_2 ,\quad x_2 \lhd X_2, X_3 ,\ \ldots,\ x_{k-1} \lhd X_{k-1}, X_k . \] Elles sont en corr. 1-1 avec les composantes connexes de $\mathfrak{F}$, lesquelles sont définies par l'adjonction éventuelle d'un $x_0 \lhd X_1$, ou d'un $x_k \lhd X_k$, ou des deux. La deuxième égalité est écrite en trois lignes à droite du signe $=$ ; « composés » est biffé, un mot au-dessus de « obtenus » est biffé.

[…] Ceci posé, étant donné une préfigure $\mathfrak{F}$, notons \[ \operatorname{Omb}^{\circ}_{\mathfrak{M}}(\mathfrak{F}) = \bigcup_{X \in \mathfrak{F}} \operatorname{Omb}^{\circ}_{\mathfrak{M}}(X) = \{ Z \in \mathfrak{M} \mid \exists\, X \in \mathfrak{F},\ Z \mathrel{\mathring{\ll}} X \} . \] Devant la réunion, un signe biffé.

Ceci posé, le résultat clef est le suivant : L'énoncé suit sur la feuille suivante (p. 15).

15Pagination de l'auteur : 12.

Th. Soit $\mathfrak{F}$ une $\widehat{\mathfrak{M}}$-préfigure ⌜non vide⌝, et supposons […] a) $\operatorname{or}\delta\mathfrak{F}$ […] soit […] a) $\operatorname{or}\delta\mathfrak{F}$

Soit $a = \operatorname{or}\delta\mathfrak{F}$, $b = \operatorname{ex}\delta\mathfrak{F}$, et supposons que a) si $a$ est minimal, i.e. un plus petit élément, et ⌜si $\mathcal{L}_{<a} \in \mathfrak{F}$ et⌝ b) si $b$ est maximal, i.e. un plus grand élément ⌜si $\mathcal{L}_{>b} \in \mathfrak{F}$ et⌝ (Ce qui résulte ⌜aussi⌝ de l'hypothèse $\mathrm{H}_{\mathcal{L}}$ : […] […] $\mathcal{L}$ a un plus petit élément, ou bien pour tout $a \in \mathcal{L}$, $\mathcal{L}_{<a} \neq \emptyset$, et $\mathcal{L}$ a un plus grand élément, ou pour tout $a \in \mathcal{L}$, $\mathcal{L}_{>a} \neq \emptyset$.) Toutes ces hypothèses sont barrées de deux longs traits obliques ; elles ont été abandonnées, et le théorème reste énoncé pour toute $\widehat{\mathfrak{M}}$-préfigure non vide.

Alors \[ \operatorname{cosupp}^{\circ}_{\mathfrak{M}}(\mathfrak{F}) = \operatorname{cosupp}^{\circ}\bigl(\operatorname{Omb}^{\circ}_{\mathfrak{M}}(\mathfrak{F})\bigr) = \operatorname{Omb}^{\circ}_{\mathfrak{M}}(\mathfrak{F}^{*}) . \]

Corollaire 1. Sous la condition $\mathrm{H}_{\mathcal{L}}$, plus simplifiée : \[ \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathfrak{M}}(\mathfrak{F}) = \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathfrak{M}}\bigl(\operatorname{Omb}^{\circ}_{\mathfrak{M}}(\mathfrak{F})\bigr) = \operatorname{Omb}^{\circ}_{\mathfrak{M}}(\mathfrak{F}^{**}) . \] Lecture incertaine des mots qui suivent « $\mathrm{H}_{\mathcal{L}}$ » ; les deux égalités sont celles de la page.

Corollaire 2. Soit (Sous la condition) Soit $T \in \operatorname{Drap}(\mathcal{L})$. Considérons l'ens. des figures telles que La page s'arrête là ; le reste de la feuille est blanc.

16Pagination de l'auteur : 13. La phrase du corollaire 2 (p. 15) n'est pas reprise ; la page s'ouvre sur un mot isolé.

C. facile.

Remarques, sur l'introduction des $I_{<a}$, $I_{>b}$.

Autre présentation.

$1^{\circ}$) Pour y comprendre quelque chose, commençons avec le cas d'un « […] segment ordonné » ou « segment orienté combinatoire » (que j'appelais aussi « pseudo-segment », car on s'en assure par la suite en vérifiant les hypothèses), c'est la système \[ \{ I, \omega_0, \omega_1 \} \ \text{ou} \ (I, \partial I) , \quad \partial I = \{\omega_0, \omega_1\} \] ⌜(correspondant au segment orienté)⌝ d'un ensemble ordonné $I$ […] d'un plus petit élément $\omega_0$ ou origine, et d'un plus grand élément $\omega_1$ ou extrémité, avec \[ \omega_0 < \omega_1 \quad \text{i.e.} \quad \operatorname{card} I \geq 2 . \] On exclut par là le cas où $\operatorname{card} I = 1$, i.e. \[ |I|^{\circ} = \emptyset , \quad \text{où} \quad |I|^{\circ} = I \smallsetminus \delta I \subset I . \] Le premier « $|I|^{\circ}$ » est récrit sur un premier essai.

Le cas est celui des segments indivisibles, qui donnent lieu à une magasin qui est ⌜souvent⌝ […] singulier simpliciale, celle des simplexes orientés-type de dimension $1$, noté $\Delta^{1}$. C'est en vertu de la singularité […] écrit en oblique dans la marge gauche ; lecture incertaine

Dans ce cas, on introduit pas des structures de la forme $I_{<a}$, $I_{>b}$. La notion de préfigure complémentaire $\mathfrak{F}^{*}$ d'une préfigure $\mathfrak{F}$ se développe, en restant dans le cadre des […] $a$ ($a \in I$) et $I_{a,b}$ ($a < b$, $a, b \in I$). Les développements concernant la dite […],

17Pagination de l'auteur : 14.

des préfigures et des figures, leurs $\delta\mathfrak{F}$, $\partial\mathfrak{F}$, restent valables […], à un détail près, concernant ⌜définitions et terminologie concernant les⌝ les sommets extérieurs de $\mathfrak{F}$ ou « internes » de $\mathfrak{F}$, propres ou impropres. En plus des sommets internes propres précédemment définis (les $s \in \delta\mathfrak{F}$ t.q. $\operatorname{ord}(s, \mathfrak{F}) = 2$), ⌜i.e. $s \in \partial\mathfrak{F}$ […]⌝ il faut joindre les $s \in \delta\mathfrak{F}$ $s \in \partial I$ tels que $\operatorname{ord}(s, \mathfrak{F}) = 1$, (NB si $s \notin \partial I$, on a toujours $\operatorname{ord}(s, \mathfrak{F}) \in \{0, 1\}$, à l'exclusion du cas de l'unique élément […] dans […] $\mathfrak{F}$ ou bien $\{X\}$, où $X \in \mathfrak{M}_1$, est contractile […] […] $\mathfrak{F}$ de la forme […] […] les […] de $\delta I$). On dit qu'un tel sommet est […] redondant s'il est propre, […] impropre si […] pour les sommets redondants proprement dits) il n'est pas dans $\delta\mathfrak{F}^{*}$ ; dans le cas inverse, il est dit sommet lacunaire. Ceci dit, […]. Toute la moitié supérieure de cette page est écrite vite ; la lecture de la parenthèse « NB … » est très incertaine. \[ \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{is}} = \mathfrak{F}_{\mathrm{lac}} , \qquad \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{lac}} = \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} \] \[ \mathfrak{F}_{\mathrm{red}} = \delta\mathfrak{F} - \delta\mathfrak{F}^{*} \] \[ \delta\mathfrak{F} = \underbrace{\mathfrak{F}_{\mathrm{red}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{lac}}}_{\mathfrak{F}_{\mathrm{int}}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} \cup \partial\mathfrak{F} \] \[ \partial\mathfrak{F} = \underbrace{\partial_0\mathfrak{F}}_{\mathfrak{F}_0 \cap \partial\mathfrak{F}} \amalg \partial'_0\mathfrak{F} \] Sous la dernière décomposition, de sa main : « $\partial_0\mathfrak{F}$ : sommets-bord propres », « $\partial'_0\mathfrak{F}$ : somm. b. impropres ».

Écrire sommets disjoints : […] \[ \delta\mathfrak{F} = \delta\mathfrak{F} = \mathfrak{F}_{\mathrm{red}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{lac}} \cup \{\partial^{*}\mathfrak{F} \ldots \] où $\partial^{*}\mathfrak{F} = \partial\mathfrak{F} \smallsetminus \partial\mathfrak{F} \cap \partial I$ (sommets-bords non extrémaux) Ajouté en bas à gauche, en partie récrit ; dans la première formule, des indices sont noircis.

Les […] disjoints, sauf pour les deux ⌜propres⌝ derniers termes, […] $\partial\mathfrak{F}$ et les deux premiers, formant $\mathfrak{F}_{\mathrm{int}}$, car \[ \partial\mathfrak{F} \cap \mathfrak{F}_{\mathrm{int}} = \partial I \cap \text{\struck{$\partial I$}} (\mathfrak{F}_0 \smallsetminus \mathfrak{F}_{\mathrm{is}}) \] les points de $\delta\mathfrak{F}$ qui sont internes sans être dans $\partial I$, sans être des points isolés propres qui sont dans $\partial I$ de $\mathfrak{F}$.

18Pagination de l'auteur : 15.

Du coup, l'intérêt de l'introduction de $\partial\mathfrak{F}$ devient (les sommets-bord de $\mathfrak{F}$) devient plus problématique, d'autant plus que ces sommets ⌜l'ensemble⌝ bords de $\mathfrak{F}$ […] […] $\delta\mathfrak{F} = \partial\mathfrak{F}^{*}$. À vrai

En fait, on a \[ \text{\struck{$\partial\mathfrak{F}^{*} \cap \delta\mathfrak{F} = \partial\mathfrak{F} \smallsetminus \partial\mathfrak{F} \cap \partial I$}} \] \[ \text{\struck{$\partial\mathfrak{F} = (\partial\mathfrak{F}^{*} \cap \partial\mathfrak{F}) \amalg \partial\mathfrak{F} \cap \partial I$}} \] \[ \text{\struck{$\partial\mathfrak{F} = (\delta\mathfrak{F}^{*} \cap \partial\mathfrak{F}) \amalg \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} \cap \partial I$}} \] Ces trois formules sont barrées de longs traits obliques ; sous le second terme de la deuxième, « $= \mathfrak{F}_{\mathrm{int}} \cap \partial I$ ».

On a \[ \left. \begin{aligned} \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} &= \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{lac}} \\ \mathfrak{F}_{\mathrm{lac}} &= \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{is}} \end{aligned} \right\} \] sommets lacunaires et s. isolés de $\mathfrak{F}$ et de $\mathfrak{F}^{*}$ s'échangent. \[ \mathfrak{F}_{\mathrm{red}} = \delta\mathfrak{F} \smallsetminus \delta\mathfrak{F} \cap \delta\mathfrak{F}^{*} \qquad \text{NB}\ \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{red}} = \partial I \smallsetminus (\partial I \cap \partial\mathfrak{F}) \ldots \] \[ = \underbrace{(\delta\mathfrak{F} \smallsetminus \delta\mathfrak{F}^{**})}_{\text{sommets évanescents}} \amalg \underbrace{(\partial I \cap \partial\mathfrak{F})}_{\text{sommets redondants}} \] \[ \partial^{*}\mathfrak{F} = \partial^{*}\mathfrak{F}^{*} \qquad \text{où} \quad \partial^{*}\mathfrak{F} = \partial\mathfrak{F} \smallsetminus \partial\mathfrak{F} \cap \partial I \] Le « $=$ » écrit au-dessus de « NB » relie peut-être la seconde ligne à la première ; les accolades sous la deuxième ligne portent les mots « sommets évanescents » et « sommets redondants ».

Ainsi dans la décomposition canonique \[ \delta\mathfrak{F} = \mathfrak{F}_{\mathrm{red}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{lac}} \cup \partial^{*}\mathfrak{F} \] les $2^{\mathrm{e}}$ et $3^{\mathrm{e}}$ termes s'échangent par dualité, le troisième […] invariant par dualité, le premier disparaît par dualité — mais […] la partie $\partial\mathfrak{F} \cap \partial I$ $\mathfrak{F}_{\mathrm{red}} \cap \partial I$ […] réapparaît par bidualité : sommets red. Donc le terme « redondant » pour ces sommets n'est pas tellement adéquat, […] On pourrait les appeler si on adopte la terminologie sommets évanescents $\mathfrak{F}_{\mathrm{év}}$ et somm. red. $\mathfrak{F}_{\mathrm{red}}$ […] on pourrait appeler ces sommets semi-évanescents. On trouve alors une décomposition Les deux dernières lignes sont de lecture incertaine.

19Pagination de l'auteur : 16.

disjointe canonique de \[ \widehat{\delta}\mathfrak{F} \overset{\mathrm{def}}{=} \delta\mathfrak{F} \cup \partial I = \delta\mathfrak{F} \cup \underbrace{(\partial I \smallsetminus \partial I \cap \delta\mathfrak{F})}_{= \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{sév}}} \] $\mathrm{sév} = $ semi-évanescents, ainsi : \[ \widehat{\delta}\mathfrak{F} = \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{lac}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{év}} \cup \mathfrak{F}_{\mathrm{sév}} \cup \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{sév}} \cup \partial^{*}\mathfrak{F} \] Sous la formule, de sa main : une double flèche courbe relie $\mathfrak{F}_{\mathrm{is}}$ et $\mathfrak{F}_{\mathrm{lac}}$, une autre $\mathfrak{F}_{\mathrm{sév}}$ et $\mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{sév}}$ ; une flèche descendante sous $\mathfrak{F}_{\mathrm{év}}$ porte « disparaît par dualité » ; une flèche en boucle sur $\partial^{*}\mathfrak{F}$. Sous $\mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{sév}}$ : « $= \partial I \smallsetminus \partial I \cap \delta\mathfrak{F}$ » (une première écriture biffée), et plus bas une formule biffée par des hachures, « […] $\mathfrak{F}^{*} \cap \delta\mathfrak{F}$ ».

où \[ \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} = \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{lac}} , \quad \mathfrak{F}_{\mathrm{lac}} = \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{is}} , \quad \partial^{*}\mathfrak{F} = \partial^{*}\mathfrak{F}^{*} , \quad \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{év}} = \mathfrak{F}^{**}_{\mathrm{év}} = \emptyset . \] Dans les deux dernières égalités, des indices sont récrits sur d'autres, noircis ; « év » est la lecture la plus probable.

Pour les $s \in \partial I$, il y a quatre positions possibles par rapport à $\mathfrak{F}$ :

a) $s \in \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} \iff s \in \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{lac}}$
b) $s \in \mathfrak{F}_{\mathrm{sév}} \iff s \notin \delta\mathfrak{F}^{*}$
a$'$) $s \in \mathfrak{F}_{\mathrm{lac}} \iff s \in \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{is}}$
b$'$) $s \notin \delta\mathfrak{F} \iff s \in \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{sév}}$

\[ \mathfrak{F}_{\mathrm{sév}} = \{ s \in \partial I \mid s \notin \delta\mathfrak{F}^{*} \} = \partial I \smallsetminus \partial I \cap \delta\mathfrak{F}^{*} \] \[ \mathfrak{F}^{*}_{\mathrm{sév}} = \{ s \in \partial I \mid s \notin \delta\mathfrak{F} \} = \partial I - \partial I \cap \delta\mathfrak{F} \]

Écrit en oblique dans la marge gauche : « Cor. 1 […] $= \operatorname{supp}^{\circ}(\operatorname{Omb}^{\circ}\mathfrak{F}) = \operatorname{Omb}^{\circ}\mathfrak{F}^{**}$ » ; « Cor. 2 $\operatorname{supp}^{\circ}\mathfrak{F} = $ […] ».

On trouve alors \[ \boxed{\operatorname{cosupp}^{\circ}(\mathfrak{F}) = \operatorname{cosupp}^{\circ}\bigl(\operatorname{Omb}^{\circ}(\mathfrak{F})\bigr) = \operatorname{Omb}^{\circ}(\mathfrak{F}^{*})} \]

On pourrait appeler parties contractibles de $\mathfrak{M}$ les parties de la forme $\operatorname{Omb}^{\circ}(\mathfrak{F})$, $\mathfrak{F}$ préfigure. Il y a L'application \[ \mathfrak{F} \longmapsto \operatorname{Omb}^{\circ}(\mathfrak{F}) \qquad \operatorname{Préfig}(\mathfrak{M}) \to \operatorname{Cons}(\mathfrak{M}) \] est bijective. En effet, on récupère $\mathfrak{F}$ Le nom « $\operatorname{Cons}$ » de l'ensemble but est de lecture incertaine.

20Pagination de l'auteur : 17.

à partir de $\operatorname{Omb}^{\circ}(\mathfrak{F}) = \Sigma$ par

$\mathfrak{F}_1 = $ ensemble des éléments de $\operatorname{Omb}^{\circ}(\mathfrak{F})$ $\Sigma$ maximaux pour $\mathring{\ll}$, qui sont dans $\mathfrak{M}_1$ ;
$\mathfrak{F}_0 = \{ s \in \ldots \mid$
$\mathfrak{F}_{\mathrm{is}} = $ ensemble des éléments de $\Sigma$, maximaux pour $\mathring{\ll}$, qui sont dans $\mathfrak{M}_0$ ;
$\mathfrak{F}_0 \smallsetminus \mathfrak{F}_{\mathrm{is}} = \Bigl( \bigcup_{X \in \mathfrak{F}_1} \partial X \Bigr) \cap \Sigma$ $= \{ s \in \Sigma \cap \mathfrak{M}_0 \mid \exists\, X \in \mathfrak{F}_1 \ \text{t.q.}\ s \lhd X \}$.

Ces quatre lignes sont réunies sur la page par une grande accolade. Après le premier signe $=$ de la dernière ligne, une formule est biffée par des hachures (« $\{ s \in \Sigma \cap \mathfrak{M}_0 \}$ » ?).

On trouve que le cosupport d'une partie contractible de $\mathfrak{M}$ est encore contractible.

À gauche, en regard : « $\mathfrak{F}^{**}$ ».

[…] Et le passage au cosupport, ⌜associé⌝ ⌜du côté des⌝ préfigures, au passage à supposer la préfigure complémentaire. Le passage correspondant ⌜au passage⌝ à l'enveloppe irrédondante de la figure considérée, […] ⌜associée⌝ $T \in \operatorname{Drap}(I)$, $T \supset \partial I$, \[ t_0 = \omega_0 < t_1 < \cdots < t_n = \omega_1 \] (un drapeau), les structures ensemblistes sont \[ \underset{\substack{\| \\ \omega_0}}{\{t_0\}},\ I_{t_0 t_1},\ t_1,\ I_{t_1, t_2},\ \ldots,\ I_{t_{n-1}, t_n},\ \underset{\substack{\| \\ \omega_n}}{t_n} . \] Sous $t_n$, l'indice lu $\omega_n$ est probablement un $\omega_1$ ; on garde la page.

Désignons par préfigure subordonnée à $T$, toute partie $\mathfrak{F}$ de cet ensemble des drapeaux $T$, notée $\mathfrak{F}_T$. On trouve dans ce principe de dualité précédente ceci, $\forall\, \mathfrak{F} \subset \mathfrak{F}_T$, on désigne par $\complement\mathfrak{F}$ son complémentaire dans $\mathfrak{F}_T$ La fin de la page est d'une écriture rapide, la lecture des mots est très incertaine ; la phrase continue au-delà de ce lot.