Cote n° 156-8, pages 81–100

Cote n° 156-8 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

Supports intérieurs et fonctions support pleinement fidèles

81p. 73 de l'auteur. La page reprend un argument commencé avant ce lot : les notations $\mathcal{M}$, $|X|^\circ$, $\mathrm{supp}^\circ$, $\varphi$ y sont déjà en usage.

Soit. Supposons

Soit $F$ ⌜$\subset\mathcal{M}$⌝ une figure de $\mathcal{M}$. La chose essentielle, ici, c'est que \[ \text{\struck{$X,Y\in F \Rightarrow X \not\lessgtr Y$}} \] i.e. que $F$ est contenue dans une figure, (et une ⌜partielle⌝ telle est […] une figure vraiment, i.e. fermée pour $\le$). ce premier paragraphe est barré de trois traits obliques. Le signe de compatibilité, un $\lessgtr$ barré, est lu $\not\lessgtr$ dans tout le lot.

Je vais m'intéresser d'abord, plus particulièrement, à \[ \mathrm{supp}^\circ X = A \subset \mathcal{M} \qquad (X\in\mathcal{M}) \] et sa relation à \[ |X|^\circ \subset P . \] On a $X \in \mathrm{supp}^\circ X$ donc \[ |X|^\circ \subset |\mathrm{supp}^\circ X|^\circ . \] J'aimerais que l'⌜inclusion⌝ inverse soit vraie, i.e. que \[ |X|^\circ = |\mathrm{supp}^\circ X|^\circ \] ou encore que \[ \forall Y \in \mathrm{supp}^\circ X, \text{ on ait } |Y|^\circ \subset |X|^\circ \] (l'implication inverse étant claire). Il revient au même de dire que $Y\notin\mathrm{supp}$ \[ \begin{gathered} |Y|^\circ \not\subset |X|^\circ \Longrightarrow Y \notin \mathrm{supp}^\circ X, \text{ i.e.}\\ \exists Z\in\mathcal{M} \text{ avec } Z \mathrel{|{\circ}|} X,\; Z \mathrel{\overline{|\circ|}} Y, \end{gathered} \] i.e. $|Y|^\circ \cap \complement |X|^\circ \neq \emptyset$ à gauche, et à droite \[ \begin{cases} |Z|^\circ \cap |X|^\circ = \emptyset\\ |Z|^\circ \cap |Y|^\circ \neq \emptyset . \end{cases} \]

82p. 74 de l'auteur.

C'est clair […] dans le cas où \[ |Y|^\circ \cap \partial X \neq \emptyset , \] i.e. quand $\exists Z \le X$, […] ce qui signifie, puisque \[ \partial X = \bigcup_{Z<X} |Z|^\circ , \] que \[ \exists Z < X, \quad |Y|^\circ \cap |Z|^\circ \neq \emptyset , \] on prend donc ce $Z$-là disons, on aurait donc \[ |Y|^\circ \cap \complement |X| \neq \emptyset \] pour puisque $\complement |X|^\circ = |\partial X| \sqcup \complement |X|$, et on […] […] fait l'hypothèse […]

Hyp. $\forall X\in\mathcal{M}$, on et tout $x \in P \setminus |X|$, \[ \exists Z \in \mathcal{M} \text{ \struck{$\complement|X|$} avec } x\in|Z|, \quad Z \parallel X \quad (\text{i.e. } |Z|\cap|X| = \emptyset) . \] NB quitte à remplacer $Z$ par un de ses […], on peut supposer […] $x \in |Z|^\circ$. C'est tout fait, il est plus raisonnable d'écrire $Z \mathrel{|{\circ}|} X$ (pour inclure p.ex. les magasins fidèles, et notamment […] […] les […]).

Pour ce qui m'occupe à présent, il suffirait […] d'avoir $Z \mathrel{|{\circ}|} X$, i.e. $|Z|^\circ \cap |X|^\circ = \emptyset$. Cette hypothèse équivaut (pour $X$ donné) à \[ P \setminus |X| = \bigcup_{Z\in\mathrm{cosupp}^\circ(X)} |Z| \qquad \text{ou} \] \[ \Bigl(= \bigcup_{Z\in\mathrm{cosupp}^\circ(X)} |Z|^\circ\Bigr) \] l'exposant de « cosupp » sous les deux réunions est un petit signe peu lisible, lu ici $^\circ$.

83p. 75 de l'auteur.

En fait, pour le moment il me suffirait d'avoir Ceci implique \[ P \setminus |X|^\circ = \bigcup_{Z\in\mathrm{cosupp}^\circ X} |Z|^\circ \] NB Avec cette seule relation, il n'est pas exclu que parmi les $Z$ qui interviennent, il y en ait avec $|Z|\cap|X|^\circ \neq \emptyset$ ! et ceci me suffit pour l'instant. On voit que ça assure déjà les deux relations \[ \begin{aligned} \varphi(\mathrm{supp}^\circ X) &\overset{\text{déf}}{=} |\mathrm{supp}^\circ X|^\circ = |X|^\circ\\ \varphi(\mathrm{cosupp}^\circ X) &\overset{\text{déf}}{=} |\mathrm{cosupp}^\circ X|^\circ = P\setminus |X|^\circ . \end{aligned} \] qui impliquent Je dis qu'on a aussi $\mathrm{supp}\,X$ \[ \begin{aligned} \varphi(\mathrm{supp}\,X) &= |X|\\ \varphi(\mathrm{cosupp}\,X) &= P\setminus |X| \end{aligned} \] si […] par définition \[ \begin{aligned} \mathrm{supp}\,X &= \mathrm{supp}^\circ(\widetilde{X})\\ \mathrm{cosupp}\,X &= \mathrm{cosupp}^\circ(\widetilde{X}) \end{aligned} \] Comme pour $Y\in\widetilde{X}$, on a $Y\in\mathrm{supp}\,X$, d'où $\varphi(Y)\subset$ $|Y|^\circ \subset \varphi(\mathrm{supp}\,X)$ i.e. tant que $\varphi(\mathrm{supp}\,X)$ contient les $|Y|^\circ$, donc leur réunion $|X|$ : \[ |X| \subset \varphi(\mathrm{supp}\,X) . \] Pour l'implication inverse, il faut voir que \[ Y \in \mathrm{supp}\,X \;(= \mathrm{supp}^\circ(\widetilde{X})) \Longrightarrow |Y|^\circ \subset |X| \] or comme tantôt \[ |Y|^\circ \not\subset |\overline{X}| \Longrightarrow Y \notin \mathrm{supp}^\circ(\widetilde{X}) \quad \text{i.e. } \exists Z \] \[ \text{i.e. } |Y|^\circ \cap (P \setminus \overline{X}) \neq \emptyset \qquad \text{avec } X \mathrel{|{\circ}|} Z,\; Y \mathrel{\overline{|\circ|}} Z , \] \[ \text{i.e. } |X| \cap |Z|^\circ \neq \emptyset,\; |Y|^\circ \cap |Z|^\circ . \] sic : on attend $|X|\cap|Z|^\circ = \emptyset$, $|Y|^\circ\cap|Z|^\circ \neq \emptyset$ ; la dernière ligne, serrée au bas du feuillet, est transcrite telle qu'elle se lit, la seconde relation sans son second membre. $X$ y est écrit tantôt $\widetilde{X}$, tantôt $\overline{X}$.

84p. 76 de l'auteur.

⌜dont⌝ c'est ici qu'on aura besoin de l'hypothèse ⌜*⌝ plus haut, dans toute sa force.

Mais je soupçonne que ce n'est pas […] […] — comme un exemple, […]

Soit $Y < X$, et considérons \[ \mathrm{supp}^\circ(\{Y,X\}) \quad\text{et}\quad \varphi(\mathrm{supp}^\circ(\{Y,X\})) \] on aura donc \[ \text{\struck{\ill{}}}\; |X|^\circ \cup |Y|^\circ \subset \varphi(\mathrm{supp}^\circ(\{Y,X\})) \] aura-t-on l'inverse ? Je n'en ⌜Mais oui⌝ — et je vois ⌜à présent⌝ quelle est l'hypothèse générale qui […] ⌜assure⌝ qu'on a une « bonne compatibilité » pour des « supports ⌜(intérieurs)⌝ constructibles ». (* C'est […] […] jusqu'ici […] fait […] $P$ […] ici, si deux […] $Z$ […] $|Z| \subset P\setminus|X|$ i.e. $|Z|^\circ\cap|X| = \emptyset$, on […] […])

Définition Soit $\mathfrak{F}$ un […] associé au magasin $\mathcal{M}$. Un élément ⌜$A$⌝ de $\Sigma_{\mathcal{M}}$ on dit un support (intérieur) constructible, s'il existe une figure $F\in\mathfrak{F}$ et une ⌜(i.e. $\Phi\subset F$, avec $F\in\mathfrak{F}$)⌝ partie $\Phi$ de $\mathcal{M}$, majorée dans $\mathfrak{F}$, telle que l'on ait \[ A = \text{\struck{\ill{}}}\; \mathrm{supp}^\circ(\Phi) . \] On dit qu'une fonction support immédiatement extérieure [fidèle] \[ X \longmapsto |X|, \quad \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) \] est pleinement fidèle (pour $\mathfrak{F}$), si elle

85p. 77 de l'auteur.

satisfait la propriété suivante \[ \forall F \in \mathfrak{F}, \text{ on a } \varphi(\mathrm{cosupp}^\circ(F)) = X \setminus |F| \] i.e. \[ X\setminus|F| = \bigcup_{\substack{Z\in\mathcal{M}\\ \text{t.q. } Z \mathrel{|{\circ}|} F}} |Z|^\circ \qquad [\text{i.e. } |Z|^\circ \subset X\setminus|F|] \] i.e. \[ \boxed{\forall x \in X - |F|, \;\exists Z \text{ avec } x \in |Z|^\circ \subset X\setminus|F|} \] ? plutôt $P$ les deux $X$ de « $X\setminus|F|$ » sont entourés et reliés à la note marginale « plutôt $P$ ». Sous cette forme, la propriété implique la fidélité.

Ceci posé, on trouve

Proposition Soit $\Phi \subset F$. Alors \[ \varphi(\mathrm{supp}^\circ\Phi) = |\Phi|^\circ \Bigl(\overset{\text{déf}}{=} \bigcup_{X\in\Phi} |X|^\circ\Bigr) \qquad (*) \]

Dém Comme $X\in$ $\Phi \subset \mathrm{supp}^\circ(\Phi)$, on a $\varphi(\Phi)=$ \[ \varphi(\Phi) \overset{\text{déf}}{=} |\Phi|^\circ \subset \varphi(\mathrm{supp}^\circ(\Phi)) , \] i.e. on a $\subset$, Soit $Y\in\mathrm{supp}^\circ\Phi$, i.e. Prouvons $\supset$. \[ \text{\uncertain{Soit}}\quad Y \in \mathrm{supp}^\circ(\Phi) \Longrightarrow |Y|^\circ \subset |\Phi|^\circ \quad \text{i.e.} \] \[ \begin{gathered} (*)\quad |Y|^\circ \not\subset |\Phi|^\circ \Longrightarrow Y \notin \mathrm{supp}^\circ(\Phi), \text{ i.e. } \exists Z \ldots\\ Z \mathrel{|{\circ}|} \Phi, \text{ et } Z \mathrel{\overline{|\circ|}} Y, \text{ i.e.}\\ |Z|^\circ \cap |\Phi|^\circ = \emptyset,\; |Z|^\circ\cap|Y|^\circ \neq \emptyset . \end{gathered} \] i.e. $|Y|^\circ \cap \complement|\Phi|^\circ \neq \emptyset$. * explicitons d'abord la relation $\Phi \mapsto |\Phi|^\circ$, […] en termes de […] figures […] […]

Distinguons deux cas

(i) $|Y|^\circ \cap (|F| \setminus |\Phi|^\circ) \neq \emptyset$, si $x$ est dans le \[ |F|\setminus|\Phi|^\circ = |F\setminus\Phi|^\circ , \] $\exists Z \in F\setminus\Phi$, tel que $|Y|^\circ \cap |Z|^\circ \neq \emptyset$. OK

(ii) $|Y|^\circ \cap (P\setminus|F|) \neq \emptyset$, alors on applique l'hypothèse de pleine fidélité à $F$.

86p. 78 de l'auteur.

Corollaire 1 L'application \[ \Phi \longmapsto \mathrm{supp}^\circ(\Phi) : \mathfrak{P}(F) \longrightarrow \Sigma_{\mathcal{M}} \] commute aux Inf et Sup \[ \begin{aligned} \mathrm{supp}^\circ\Bigl(\bigcap_i \Phi_i\Bigr) &= \bigcap_i \mathrm{supp}^\circ(\Phi_i) && I \neq \emptyset\\ \mathrm{supp}^\circ\Bigl(\bigcup_i \Phi_i\Bigr) &= \operatorname{Sup}_i(\mathrm{supp}^\circ(\Phi_i)) && \text{sup dans } \Sigma_{\mathcal{M}} \end{aligned} \] et de plus on a, si $\Phi \subset \Psi$ \[ \mathrm{supp}^\circ(\Psi\setminus\Phi) = \mathrm{supp}^\circ\Psi \cap \complement\,\mathrm{supp}^\circ\Phi \]

Corollaire 2 Dans ⌜Considérons⌝ l'image $\Sigma_{\mathcal{M},F}$ de $\mathfrak{P}(F)$ (ensemble des supports constructibles subordonnés à $F$). Cette image est stable dans $\Sigma_{\mathcal{M}}$, par inf (familles non vides) et sup, et complémentaire relatif, i.e. opération $A \cap \complement B$. De plus, l'application $A \mapsto |A|^\circ$ \[ \begin{gathered} A \longmapsto |A|^\circ = \bigcup_{X\in A} |X|^\circ\\ \Sigma_{\mathcal{M},F} \longrightarrow \mathfrak{P}(|F|) \subset \mathfrak{P}(P) \end{gathered} \] commute à ces opérations.

Terminologie Une famille de supports constructibles ⌜([…] $F$)⌝ est dite « admissible », s'il existe $F\in\mathfrak{F}$, tel qu'ils soient tous subordonnés à $F$. l'image de $\mathfrak{P}(F)$ dans $\Sigma_{\mathcal{M}}$.

Scholie Pour les familles admissibles de supports constructibles, les opérations Sup, Inf, complémentaire relatif — ont toutes

87p. 79 de l'auteur.

les bonnes propriétés habituelles ensemblistes habituelles, notamment \[ \begin{aligned} A \cap \operatorname{Sup}_i B_i &= \operatorname{Sup}_i (A\cap B_i)\\ A \setminus (A\setminus B) &= \text{\struck{$A\cap$}}\, B \qquad (\text{si } B\subset A) \end{aligned} \] De plus $A\cap B$ \[ A\cap B = \emptyset \Longleftrightarrow A \mathrel{|{\circ}|} B ; \] (et pas seulement $\Leftarrow$) Toute pathologie disparaît.

Question Soit $\mathcal{M}$ un magasin quelconque, […] supposons l'existence d'une fonction support extérieure pleinement fidèle. Le scholie sur les familles admissibles de supports constructibles, […] ⌜i.e.⌝ […] des axiomes […], sont-ils nécessairement valables ? Non Aussi : existe des fonctions support fidèles existent-elles qui ne soient pleinement fidèles ??

Axiome Ax supp 1 (« axiome des supports »). Soient : $F\in\mathfrak{F}$, $\Phi\subset F$, $\Phi' = F\setminus\Phi$. Alors : \[ \mathrm{supp}^\circ(F) \cap \mathrm{cosupp}^\circ\Phi = \mathrm{supp}^\circ(\Phi') \] en d'autres termes : $\forall Z\in\mathcal{M}$ \[ \text{\struck{si}}\; Z \in \mathrm{supp}^\circ(F),\; \text{\struck{et}}\; Z \parallel \Phi \Longrightarrow Z \in \mathrm{supp}^\circ(\Phi') \] après « $\mathrm{supp}^\circ(F)\cap$ », un mot noirci et rayé précède « cosupp° ».

NB Cet axiome ne fait intervenir que $\le$, $|{\circ}|$ […] et non pas $\overset{\circ}{\ll}$.

88p. 80 de l'auteur.

C'est le premier axiome de nature délicate, sur lequel nous tombions. Il est automatiquement satisfait par les magasins fidèles (car $\mathrm{Omb}$ y est une fonction support ext. pleinement fidèle), plus généralement chaque fois qu'il y a une fonction support extérieure pleinement fidèle. Le premier cas intéressant où il n'est pas sûr qu'on ait une telle fonction support, est celui des magasins associés à un […] ensemble ordonné, qu'il serait temps d'introduire ici, et d'examiner sous l'optique des figures et des supports.

Je voudrais donc à présent

1°) regarder le cas des magasins associés définis par un ens. ordonné

2°) Examiner le cas des magasins définis par $\le$, $|{\circ}|$ seulement ($\overset{\circ}{\ll}$ étant défini via $\le$, $|{\circ}|$, […] ⌜cette description⌝ permettant de donner un sens à la relation $x^\circ = \mathrm{supp}^\circ(x,\ldots)$, donc $y^\circ \subset x^\circ$ (en définissant $\overset{\circ}{\ll}$ …) en définissant en conséquence

3°) Voir si dans ces magasins « disjonctifs », on n'arrivait pas, par des exemples évidents, à ce que l'axiome des supports serait en défaut…* * Oui !

Magasin associé à un ensemble ordonné

89p. 81 de l'auteur.

1 juillet Magasin associé à un ensemble ordonné $L$.

A) […] Supposons d'abord $L$ totalement ordonné, et divisible i.e. \[ \forall a,b\in L, \quad a<b \Longrightarrow \;]a,b[\; \neq \emptyset \qquad \Bigl(]a,b[ \;\overset{\text{déf}}{=} \{x\in L \mid a<x<b\}\Bigr) \] Dans ce cas, on va définir un magasin unidimensionnel, ayant $L$ comme ens. des points (ou lieux), et avec \[ \mathcal{M} \subset \text{\struck{$\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(L))$}}\; \mathrm{Fig}(L) \] défini ainsi : \[ \begin{cases} \mathcal{M} = \mathcal{M}_0 \sqcup \mathcal{M}_1, \quad \text{avec}\\ \mathcal{M}_0 = \{P_x \mid x \in L\}, \quad \text{où } P_x = \{\{x\}\}\\ \mathcal{M}_1 = \{S_{a,b} \mid a,b\in L,\; a<b\}, \quad S_{ab} = \{[a,b],\{a\},\{b\}\} \end{cases} \] NB […] […] écrire […] Sans […] $a<b$ […] de divisibilité […] $S_{a,b}$ […] […] figures, i.e. $|S_{a,b}|^\circ \neq \emptyset$ […] Il est tautologique que les conditions Mag 1, 2 sont vérifiées. ($\mathcal{M}$ contient les $\{\{x\}\}$ i.e. les $X_x$, et $\mathcal{M}$ stable par passage à une sous-multi multistructure.)

Explicitons les relations $\le$, $\overset{\circ}{\ll}$, $|{\circ}|$

1°) $X\le Y \Longleftrightarrow X = Y$ ou $X = P_x$, $Y = S_{a,b}$, avec $x\in\{a,b\}$, i.e. $x = a$ ou $x = b$.

2°) $X \overset{\circ}{\ll} Y$ ssi $X = Y$ ou $X = P_x$, $Y$ en d'autres termes, on a \[ \begin{cases} \partial P_x = \emptyset\\ \partial S_{a,b} = \{P_a, P_b\} \end{cases} \]

2°) $X \overset{\circ}{\ll} Y \Longleftrightarrow$ $X = Y$ ou $X = P_a$ \[ \begin{cases} \text{a) si } X = P_x,\, Y = P_y : & x = y \quad \text{i.e. } P_x = P_y\\ \text{b) si } X = P_x,\, Y = S_{ab} : & a<x<b \quad [\text{i.e. } x\in|X|^\circ]\\ \text{c) si } X = S_{a,b},\, Y = S_{a',b'} : & a'\le a<b\le b' \end{cases} \] \[ [\text{i.e. } |X|\subset|Y|,\; |X|^\circ\subset|Y|^\circ] \] en b), on attend $x\in|Y|^\circ$. En c), quelques mots rayés sous « $a'\le a<b\le b'$ » ne se lisent pas.

On avait glané* que les $P_x$ sont les éléments minimaux pour $\le$, et les éléments minimaux pour $\overset{\circ}{\ll}$ (grâce à divisibilité), ce sont donc aussi les él. minimaux pour $\overset{\circ}{\ll}$ = lieux. NB Je vais maintenant utiliser la notation $X \mathrel{\Delta} Y$ pour $X<Y$ et $X \mathrel{\underline{\Delta}} Y$ pour $X\le Y$ (notations d'incidence […] visuellement […]) pour $X<Y$ à la notation « positionnelle » $X \le_{\mathrm{pos}} Y$. * c'est d'ailleurs […] un […] des […] Magasins 1, 2. Voir p. 97, 98. p. 97, 98 : pagination de l'auteur, au-delà de ce lot.

90p. 82 de l'auteur.

3°) \[ X \mathrel{|{\circ}|} Y \Longleftrightarrow \begin{cases} X = P_x,\, Y = P_y : & [x\neq y \text{ i.e.}]\; x<y \text{ ou } y<x\\ X = P_x,\, Y = S_{a,b}\;(\text{ou l'inverse}) : & x\le a \text{ ou } b \le x\\ X = S_{a,b},\, Y = S_{a',b'} : & a<b\le a'<b' \text{ ou } a'<b'\le a<b \end{cases} \] au-dessus de l'accolade, deux signes peu lisibles (« $\partial L$ » ?). Dans le deuxième cas, un $\ge$ est surchargé en $\le$.

On a exprimé simplement $|X|^\circ \cap |Y|^\circ$ […] $= \emptyset$, en utilisant la divisibilité.

Dans le contexte ensembliste, il n'y a même plus d'axiomes à vérifier, par […] plus d'axiome […] de la fonction support, grâce à l'existence de la fonction ⌜pour⌝ support extérieure fidèle $X \mapsto |X|$ (comme pour tous magasins ensemblistes, simplement partiel, voire, seulement fidèle — on prend cette fois la fonction support fidèle $X \mapsto \mathrm{Omb}\,X$).

B) Supposons maintenant la relation d'ordre quelconque. On prendra encore \[ \begin{cases} \mathcal{M} \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(L))\\ \mathcal{M} = \mathcal{M}_0 \sqcup \mathcal{M}_1\\ \mathcal{M}_0 = \{P_x \mid x\in L\}, \quad P_x = \{\{x\}\}\\ \mathcal{M}_1 = \{S_{a,b} \mid a,b\in L,\; a<b\}, \quad S_{a,b} = \{[a,b],\{a\},\{b\}\} \end{cases} \] il […] serait plus simple de prendre $\mathcal{M}_0 = L$, $\mathcal{M}_1 = \{(a,b)\in L\times L \mid a<b\}$ mais on notera qu'il ne s'agit pas ici de figures (élémentaires), faute de savoir si \[ |S_{a,b}|^\circ = [a,b]\setminus\{a,b\} = \;]a,b[ \] est non vide. On définira alors les relations $\le$, $\overset{\circ}{\ll}$, $|{\circ}|$ par les formules explicitées plus haut, en faisant remarquer cette fois que \[ S_{a,b} \overset{\circ}{\ll} S_{a',b'} \Longleftrightarrow a'\le a<b\le b' \Longleftrightarrow |S_{a,b}|^* \subset |S_{a',b'}|^* \] \[ \Longrightarrow |S_{a,b}|^\circ \subset |S_{a',b'}|^\circ \] [mais l'implication inverse pas nécessairement valable au-dessus du second $\Longleftrightarrow$ est écrit un $\Rightarrow$ barré ; sous la formule, une ligne raturée illisible ; les exposants $^*$ sont lus tels quels. NB Avec la présentation adoptée, on trouve des « pré-figures » unidimensionnelles dans $L$ (où peut avoir $|X|^\circ = \emptyset$) (on y voit que $\overset{\circ}{\ll}$ est réduit à $\le$, […] […] par les relations ensemblistes. Mais pour $|{\circ}|$) […] dans le cas tot. ordonné.

$P_x \mathrel{|{\circ}|} P_y \Longleftrightarrow x<y$ ou

91p. 83 de l'auteur.

\[ P_x \mathrel{|{\circ}|} P_y \Longleftrightarrow x<y \text{ ou } y<x \text{ i.e. } \{x,y\}\in\mathrm{Drap}_2(L) \Longrightarrow x\neq y \] $[\Longleftrightarrow |P_x|^\circ \cap |P_y|^\circ = \emptyset]$, mais l'implication inverse pas valable en général \[ P_x \mathrel{|{\circ}|} S_{a,b} \Longleftrightarrow x\le a \text{ ou } y\ge b \Longrightarrow |P_x|^\circ\cap|S_{a,b}|^\circ = \emptyset \] mais l'implication inverse pas valable en général sic $y\ge b$, pour $x\ge b$. \[ S_{a,b} \mathrel{|{\circ}|} S_{a',b'} \Longleftrightarrow a<b\le a'<b' \text{ ou } a'<b'\le a<b \] \[ \Longrightarrow |S_{a,b}|^\circ \cap |S_{a',b'}|^\circ = \emptyset . \] mais implication inverse pas valable en général NB $X \not\lessgtr Y \Longleftrightarrow X = Y$ ou $X \mathrel{|{\circ}|} Y$ ; […] très spécial […] dim 1 …

Cet exemple qu'on vérifie directement que $\le$, $\overset{\circ}{\ll}$ sont des relations d'ordre, et $|{\circ}|$ est sym. antiréflexive (Mag 1).

Il faut vérifier Mag 2, 3, 4.

Mag 2 OK, on trouve de plus \[ X \ll Y \Longleftrightarrow \begin{cases} X = P_x,\, Y = P_y, & x = y\\ X = P_x,\, Y = S_{a,b}, & a\le x\le b \quad \text{\struck{$x\in[a,b]$ ($=|S_{a,b}|$)}}\\ X = S_{a,b},\, Y = S_{a',b'} : & a'\le a<b\le b' , \end{cases} \] donc \[ \begin{cases} X \ll Y \Longleftrightarrow |X|\subset|Y|\\ \text{si } X,Y\in\mathcal{M}_1, \quad X\ll Y \Longleftrightarrow X \overset{\circ}{\ll} Y \end{cases} \] \[ \begin{aligned} &\text{Mag 3 :} && X \mathrel{|{\circ}|} Y,\; X'\overset{\circ}{\ll}X,\; Y'\overset{\circ}{\ll}Y \Longrightarrow X'\mathrel{|{\circ}|}Y' && \text{OK} \end{aligned} \] Mag 4 : $X$ […] $Y_0 \Longrightarrow X \mathrel{|{\circ}|} Y$ OK la relation de Mag 4 est noircie par une surcharge ; le $Y$ porte un petit indice rond.

Ici encore, les $P_x$ sont les minimaux : à la fois pour $\le$ et pour $\overset{\circ}{\ll}$. Ce sont les seuls éléments minimaux pour $\le$, […] mais comme minimaux pour $\overset{\circ}{\ll}$, il y a en plus les éléments minimaux pour $\overset{\circ}{\ll}$, il y a en plus les $S_{a,b}$ tels que $|S_{a,b}|^\circ = \;]a,b[\; = \emptyset$. Toutefois, les lieux sont les $P_x$, i.e. l'ens. des lieux s'identifie à $L$.

92p. 84 de l'auteur.

L'axiome de divisibilité équiv Mag L 1. équivaut ici au fait que […] l'ens. ordonné soit divisible \[ \text{Mag L 1} \Longleftrightarrow \forall S_{a,b},\; |S_{a,b}|^\circ \overset{\text{déf}}{=} \;]a,b[\; \neq \emptyset \] i.e. si $a<b$, $\exists x$ avec $a<x<b$.

Cela implique-t-il Mag L 2 ? Non, exemple

Mag L 2 signifie ici deux choses \[ \begin{aligned} &\text{a) pour } P_x, S_{a,b} : && x \parallel \;]a,b[\; \Longrightarrow x\le a \text{ ou } x\ge b\\ &\text{b) pour } S_{a,b}, S_{a',b'} : && ]a,b[\; \parallel \;]a',b'[\; \Longrightarrow b\le a' \text{ ou } b'\le a \end{aligned} \] — mais b) vraisemblablement […] […] (i) $L$ soit div. après a), une ligne barrée « $\Rightarrow$ […] $x\parallel$ […] » ; après b), un renvoi surchargé et entouré, partiellement lisible (« […] $b'$[, […] […] que »), d'où part une flèche vers la condition (i).

Dans les deux cas, il faut pour

Lemme […] Pour que Mag L 2 soit valable, il f. et il s. que ⌜(i)⌝ ⌜(ii)⌝ que $\forall x\in L$, et $a<b$, on ait \[ x \parallel \;]a,b[\; \Longrightarrow \text{\struck{$x\parallel\{a,b\}$}}\; x\le a \text{ ou } x\ge b . \] (où pour deux parties une partie $A$ de $L$, on pose \[ \text{\struck{$x\parallel A \Longleftrightarrow \forall y\in A,\; x\parallel y$ (i.e. $x<y$ ou $y<x$))}} \] ou encore, que si $a\in L$ n'est pas un plus grand élément, ⌜si $a\in L$⌝ \[ L_{\le a} = \text{\struck{$\bigcap_{b\in L_{>a}}$}} \] ce dernier encadré, barré d'un trait oblique, est laissé inachevé. On encore, que

(iii) a) $\forall a\in L$, t.q. $a$ ne soit pas un plus grand élément, on ait \[ \bigcap_{c>a} L_{\le c} = L_{\le a} \] b) $\forall b\in L$ tel que $b$ ne soit pas un plus petit élément, on ait \[ \bigcap_{c<b} L_{\ge c} = L_{\ge b} \]

Ce n'est le plus souvent pas satisfait pour les magasins ens. ordonnés […] associés […] à des espaces topo-logiques, exemple une région allongée en fuseau, hachurée, d'extrémités $0$ et $1$ ; deux bandes verticales la traversent, marquées $a$ et $b$ ; une flèche désigne un point $x$ dans la bande $b$.

93p. 85 de l'auteur.

Quand le magasin est-il fidèle, i.e. quand a-t-on la condition de fidélité \[ (*) \qquad \mathrm{Omb}^\circ(X) \cap \mathrm{Omb}^\circ(Y) = \emptyset \Longrightarrow X \mathrel{|{\circ}|} Y \quad ? \] Il faut déjà que sur $L$ \[ P_x \neq P_y \Longrightarrow x \mathrel{|{\circ}|} y \] i.e. que $L$ soit totalement ordonné. Cela équivaut à $(*)$ pour $X = P_x$, $Y = P_y$. Dans le cas $X = P_x$, $Y = S_{a,b}$, cela signifie $x\notin\;]a,b[\; \Longrightarrow x \mathrel{|{\circ}|} S_{ab}$ i.e. $x\le a$ ou $x\ge b$, OK. Dans le cas où $X = S_{a,b}$, $Y = S_{a',b'}$, cela signifie que l'on aura $S_{ab}$ si on n'a pas $b\le a'$ ou $b'\le a$, i.e. on a à la fois $b>a'$, $b'>a$, alors il y a un […] à $L$ suffisamment intérieur commun. Je distingue quatre cas, suivant la position relative de $a$ par rapport à $a'$, et de $b$ par r. à $b'$ \[ \begin{aligned} &a'\le a<b\le b' && \text{on prend } S_{ab} \text{ comme \uncertain{\ill{}} intérieur commun}\\ &a\le a'<b\le b' \text{ ou } a'\le a<b'\le b && \text{on prend } S_{a'b} \text{ resp. } S_{ab'}\\ &a\le a'<b'\le b && \text{on prend } S_{a',b'} \end{aligned} \]

Donc lemme $\mathcal{M}$ est fidèle ssi $L$ est totalement ordonné.

Corollaire $\mathcal{M}$ est parfait ssi $L$ est totalement ordonné et divisible (et alors $\mathcal{M}$ est […] ensembliste).

94p. 86 de l'auteur.

Passons aux questions de support. Dans le cas général, on ne peut se contenter des supports intérieurs sur $L$, faute d'avoir Mag L 2. […] D'abord, étudions les figures (finies).

$X \not\lessgtr Y$ : si $X = P_x$, $Y = P_y$ : $x\neq y$, […] i.e. $\{x,y\}\in\mathrm{Drap}(L)$ ; si $X = P_x$, $Y = S_{a,b}$ : […] i.e. $x\notin[a,b]$ : $x\parallel S_{ab}$, $x\in\{a,b\}$ ou $x\parallel$ ce début de tableau est barré de plusieurs traits obliques.

Examinons la condition de compatibilité $X\not\lessgtr Y$. Si $X$ (disons ou $Y$) est de la forme $P_x$, donc un lieu \[ P_x \not\lessgtr Y \Longleftrightarrow P_x = Y \text{ ou } P_x \mathrel{|{\circ}|} Y \] (vrai pour des lieux dans un magasin) donc $\{x,y\}\in\mathrm{Dr}$ donc \[ \begin{aligned} P_x \not\lessgtr P_y &\Longleftrightarrow \{x,y\}\in\mathrm{Drap}(L)\\ P_x \not\lessgtr S_{a,b} &\Longleftrightarrow P_x \mathrel{|{\circ}|} S_{a,b} \Longleftrightarrow x\le a \text{ ou } x\ge b \end{aligned} \] D'autre part, $S_{ab}\not\lessgtr S_{a',b'}$ signifie que, ou bien $S_{ab}\parallel S_{a',b'}$, ou $S_{ab} = S_{a',b'}$, ou $\widetilde{S}_{ab} \cap \widetilde{S}_{a',b'}$ contenu dans $\partial S \cap \partial S'_{a',b'}$ et non vide et $S_{ab} \mathrel{|{\circ}|} S_{a',b'}$. Dans ce dernier cas, je dis que l'intersection ⌜$\partial S\cap\partial S'$⌝ est se réduit à un ⌜seul⌝ point élément — s'il y en avait deux, on aurait en effet $\partial S = \partial S'$ d'où $S = S'$, car pas […] […] […] cycles. On trouve ainsi \[ S_{a,b}\not\lessgtr S_{a',b'} \Longleftrightarrow \begin{cases} \text{ou (i) } S_{a,b} = S_{a',b'} \quad \text{i.e. } a = a',\, b = b'\\ \text{ou (ii) } S_{ab} \mathrel{|{\circ}|} S_{a',b'}\\ \text{ou (iii) } a<b = a'<b' \text{ ou } a'<b' = a<b \end{cases} \] en (ii), le signe est surchargé et noirci ; à droite, « i.e. $a<b<a'<b'$ ou $a'<b'<a<b$ » est barré. Sous (iii), « i.e. $S_{ab} \mathrel{|{\circ}|} S_{a',b'}$ » et « mais dans […] $S_{a,b} \mathrel{|{\circ}|} S_{a',b'}$ » sont barrés.

ou bien \[ S_{a,b}\not\lessgtr S_{a',b'} \Longleftrightarrow S_{a,b} = S_{a',b'} \text{ ou } S_{a,b} \mathrel{|{\circ}|} S_{a',b'} \] i.e. ou ce dernier cas s'écrivant \[ a<b\le a'<b' \text{ ou } a'<b'\le a<b \]

95p. 87 de l'auteur.

Posons \[ \delta X = \begin{cases} \mathbf{x} & \text{si } X = P_x\\ |\partial X| = \{a,b\} & \text{si } X = S_{a,b} \end{cases} \] donc en tous cas \[ \delta X \subset L, \quad \operatorname{card}\delta X \in \{1,2\} \] Soient Une condition nécessaire pour $X\not\lessgtr Y$ est \[ X\not\lessgtr Y \Longrightarrow \delta(X)\cup\delta(Y) \in \mathrm{Drap}(L) \] $\mathbf{x}$ : le $x$ est écrit en gras, surchargé. ens. des parties finies tot. ordonnées de $L$.

cette un drapeau ayant cardinal égal à 1 (si $X = Y\in\mathcal{M}_0$), 2, 3, ou 4 (si $X,Y\in\mathcal{M}_1$ et $X\parallel Y$). Le cas de cardinal 2 est celui de $P_x\not\lessgtr P_y$ avec $x\neq y$, ou de $P_x\not\lessgtr S_{a,b}$ avec $P_x \mathrel{\Delta} S_{ab}$ i.e. $x\in\{a,b\}$, ou $X = Y \in \mathcal{M}_1$ ; le cas de cardinal 3 est celui de $X\parallel Y$ (avec $P_x, S_{a,b}$ $X\in\mathcal{M}_0$, $Y\in\mathcal{M}_1$ ou inversement, avec $x<a$ ou $x>b$), ou celui de $X,Y\in\mathcal{M}_1$, […] comme $S_{a,b}$, $S_{b,c}$ avec $a<b<c$ (segments contigus). Ainsi trois possibilités \[ \begin{cases} \text{lieux égaux ou \struck{\ill{}} disjoints}\\ \text{lieu \struck{\ill{}} incident à un segment, ou disjoint des segments}\\ \text{segments disjoints, segments \textit{adjacents}} \end{cases} \]

Mais de façon générale, si on a $T\in\mathrm{Drap}(L)$, \[ T = \{t_1,t_2,\ldots,t_n\} \quad \text{avec } t_1<t_2<\ldots<t_n , \] définissons les segments interstitiels ⌜de $T$⌝ (comme les segments $S_{t_1,t_2}$, $S_{t_2,t_3}$, …, $S_{t_{n-1},t_n}$. Ceux ⌜Les⌝ dits […] $P_{t_i}$ sont appelés les lieux interstitiels. Ceci dit, on trouve ceci : NB Si $\operatorname{card} T = 1$, segments […] […] lieux

96p. 88 de l'auteur.

Proposition Soit $F\subset\mathcal{M}$ une partie finie ⌜non vide⌝ de $\mathcal{M}$, posons […] \[ \delta F = \bigcup_{X\in F} \delta X . \] Pour que $F$ soit formée de multistructures mutuellement compatibles, il f. et il s. que les deux conditions suivantes soient satisfaites

(i)$\delta F \in \mathrm{Drap}(L)$ [NB $\delta F = \emptyset$ ssi $F = \emptyset$]
(ii)Les éléments de $F$ sont interstitiels pour $\delta F$.

[…] […] une partie […] partie […]

Dém. par récurrence sur $\operatorname{card} F$. […]

Pour un […] ⌜$T\in\mathrm{Drap}(L)$⌝ donné, il y a donc une partie $X\not\lessgtr Y$ de $\mathcal{M}$ maximale, parmi les parties […] formées d'él. mutuel. compatibles et telles que $\delta F = T$ : à savoir \[ F_T = \text{ensemble des toutes les structures interstitielles de } T . \] On l'appellera la figure canonique définie par $T$.

Considérons maintenant le cas le plus simple (à part celui où $\operatorname{card} T = 1$) celui de \[ \text{\struck{$F = \widetilde{S}_{a,b} = \{S_{a,b}, P_a, P_b\}$ .}} \] On considère les quatre supports trois supports \[ \text{\struck{$\mathfrak{S}_a = \mathrm{supp}^\circ P_a$, $\mathfrak{S}_b = \mathrm{supp}^\circ P_b$,}} \] $\mathfrak{S}$[…] $= \mathrm{supp}^\circ S_{a,b}$ . La question des supports concerne donc […] […] de cet ens. de trois éléments, […] deux figures. Il y a manifestement […] cas distincts non triviaux tout ce passage, depuis « Considérons maintenant », est barré de deux longs traits obliques ; sous le premier support, « […] » est raturé.

Figures d'un magasin associé à un ensemble ordonné

97p. 89 de l'auteur.

2 juillet Déterminons maintenant les les figures. Tout drapeau $T$ ⌜(non vide) de $L$⌝ ⌜(détermine une)⌝ figure, $F_T$, savoir celle […] l'ens \[ F_T = \{X\in\mathcal{M} \mid X \text{ interstitiel par } T\} , \] qui se représente graphiquement par un segment horizontal découpé en intervalles par des points marqués $t_1, t_2, t_3, \ldots, t_{n-1}, t_n$. (on « oublie » les éléments de $L$ qui ne sont pas dans un des segments $[t_i,t_{i+1}]$, $1\le i\le n-1$). Les cas « dégénérés » sont $T = \emptyset$, $F_T = \emptyset$ \[ \begin{aligned} T = \emptyset &\Longrightarrow F_T = \emptyset && \text{graphisme : ?}\\ T = \{a\} &\Longrightarrow F_T = \{P_a\} && \text{graphisme : un point } a\\ T = \{a,b\} &\Longrightarrow F_T = \widetilde{S}_{a,b} && \text{graphisme : un segment } a \text{---} b \end{aligned} \] puis viennent deux segments contigus, de sommets $a$, $b$, $c$. etc. NB $F_T$ détermine $T$, $T = \delta F_T$

Sur l'ens. des drapeaux non vides $\mathrm{Drap}^*(L)$ on met une relation d'ordre \[ T < T' \quad \text{ssi} \quad \forall t\in T,\; t'\in T', \text{ on a } t<t' , \] qui nous permet de considérer des drapeaux de drapeaux. NB $T<T'$ […] […] $T\parallel T'$ […] $(\mathrm{Drap}^*(L))$ […] […] $T\cap T' = \emptyset$, $T\cup T'\in\mathrm{Drap}^*(L)$

Lemme Soient $T, T'\in\mathrm{Drap}^*(L)$, il f. et il s. pour que \[ F_T \parallel F_{T'} \quad (\Longleftrightarrow F_T \mathrel{|{\circ}|} F_{T'}) \] que \[ \underset{\text{dans } \mathrm{Drap}^*(L)}{T\parallel T'} \quad \text{i.e. } \{T,T'\}\in\mathrm{Drap}^*(\mathrm{Drap}^*(L)) . \]

98p. 90 de l'auteur.

Si donc on

Corollaire Soit $\mathcal{T}$ $\subset$ $\mathrm{Drap}^*(L)$ un ens. de drapeaux non vides. Pour que les figures $F_T$ ($T\in\mathcal{T}$) soient deux à deux disjointes, il f. et il s. que $\mathcal{T}$ soit un drapeau de l'ens. ordonné $\mathrm{Drap}^*(L)$.

Dans ce cas, on a donc une figure somme \[ F_{\mathcal{T}} \overset{\text{déf}}{=} \bigcup_{T\in\mathcal{T}} F_T \] on retrouve $F_T$ comme cas particulier \[ F_T = F_{\{T\}} \] Les $F_T$ La figure vide correspond au cas $\mathcal{T} = \emptyset$.

Théorème L'application \[ \begin{gathered} \mathcal{T} \longmapsto F_{\mathcal{T}}\\ \mathrm{Drap}(\mathrm{Drap}^*(L)) \longrightarrow \mathrm{Fig\,fin}(\mathcal{M}) = \mathfrak{F} \end{gathered} \] est bijective.

Indication de la démonstration. Pour Pour une figure donnée, on récupère les sous-figures $F_T$ comme les « composantes connexes » (⌜dans un sens⌝ combinatoire évident) des $F$. Il y a reste à voir que les composantes connexes d'une figure sont bien de la forme $F_T$, puis utiliser le lemme précédent.

99p. 91 de l'auteur.

une suite de petites chaînes de segments, de points isolés et de segments, séparées les unes des autres sur une même droite.

l'exemple de figure — les composantes connexes « se suivent à la queue-leu-leu ».

Il faudrait déterminer les supports […] les supports d'une figure. Pour y arriver, on aura à utiliser

Hypothèse H) ⌜a) […] él. non minimal de $L$⌝ Pour tout él. $a$ de $L$, si $a$ n'est pas un plus petit élément, […] […] un plus grand […]. […] ou encore : si $L$ n'a pas de plus petit élément, alors pour tout $a\in L$, existe $x\in L$ tel que $x<a$.

b) hypothèse duale.

On aura besoin de cette hypothèse dès le lemme 1

Lemme 1 Soient $X, Y\in\mathcal{M}$ tels que $X\parallel Y$, et soit $\Phi\subset\mathrm{Omb}\,X$, $\Psi\subset\mathrm{Omb}\,Y$. Alors \[ \text{\struck{$\mathrm{Supp}^\circ(\Phi\cup\Psi) = \mathrm{Supp}^\circ(\Phi)$}} \] ce premier énoncé du lemme 1 est barré de plusieurs traits obliques.

Lemme 1 Soit $X\in\mathcal{M}$. Alors \[ \mathrm{supp}(X) \Bigl(\overset{\text{déf}}{=} \mathrm{supp}^\circ(\widetilde{X})\Bigr) = \mathrm{Omb}(X) = \{Z\in\mathcal{M} \mid |Z|\subset|X|\} \] L'inclusion \[ \mathrm{Omb}(X) \subset \mathrm{supp}(X) \] est triviale, c'est l'autre inclusion qui l'est un peu moins. On […] […] $\mathrm{supp}^\circ(X) = \mathrm{Omb}^\circ(X)$ […] […], $\mathrm{cosupp}^\circ(X) \overset{\text{déf}}{=} \{Y\in\mathcal{M} \mid$ […] $\}$ Autre présentation : a) Se donner une figure $F$ (revient à) […] un drapeau $\mathfrak{D}$ ($= \delta F = \bigcup_{T\in\mathcal{T}} T = F_0$) […] b) une partie $F_1$ de l'ens. $\mathrm{Int}(\mathfrak{D})$ (ensemble des segments interstitiels de $\mathfrak{D}$ […]) — les segments de $F$ […] […] de la figure ; quand $\operatorname{card}\mathfrak{D} = n$, il y aura $2^{n-1}$ […] […] qui lui correspondent. NB Donc […] donné avec […] $2^{n-1}$ figures […] les notes de la marge gauche, écrites en long et en partie raturées, ne se lisent que par fragments.

100p. 92 de l'auteur.

Cor 1 ⌜$\mathrm{supp} = \mathrm{supp}^\circ(\{P_a\})$⌝ \[ \mathrm{supp}(\{P_a\}) = \{P_a\} \]

Cor. 2 \[ \mathrm{supp}(\{S_{a,b}\}) = \Bigl\{ Z \Bigm| \begin{array}{l} Z = P_x \text{ avec } a\le x\le b\\ \text{ou } Z = S_{x,y} \text{ avec } a\le x<y\le b \end{array} \Bigr\} \]

Cor. 3 ⌜$\mathrm{Omb}^\circ(S_{ab}) =$⌝ \[ \mathrm{supp}^\circ\{S_{ab}\} = \mathrm{supp}(\{S_{ab}\}) \setminus \partial S_{ab} \qquad (\partial S_{ab} = \{P_a, P_b\}) \] \[ = \Bigl\{ Z \Bigm| \begin{array}{l} Z = P_x \text{ avec } a<x<b\\ \text{ou } Z = S_{x,y} \text{ avec } a\le x<y\le b \end{array} \Bigr\} \;\; \text{\struck{$= \mathrm{Omb}^\circ(S_{ab})$}} \]

On trouve de même

Cor. 4 \[ \begin{aligned} \mathrm{supp}^\circ(\{S_{a,b}, P_a\}) &= \mathrm{Omb}^\circ(S_{ab}) \cup \{P_a\}\\ \mathrm{supp}^\circ(\{S_{ab}, P_b\}) &= \mathrm{Omb}^\circ(S_{ab}) \cup \{P_b\} \end{aligned} \]

Démonstration des Cor 1 et 2. (équivalents au lemme 1).

On a, par définition \[ \text{\struck{$\mathrm{cosupp}^\circ(P_a) = L_{<a}\cup L_{>a} = \{x\in L \mid x<a \text{ ou } x>a\}$}} \] \[ \text{\struck{$\mathrm{supp}^\circ(P_a) = \mathrm{supp}(P_a) = \mathrm{cosupp}^\circ(\mathrm{cosupp}^\circ(P_a))$}} \] Soit $X\in\mathrm{supp}^\circ(P_a)$. On a donc \[ \text{\struck{$X \mathrel{|{\circ}|} x \quad \forall x\in\mathrm{cosupp}^\circ(P_a)$}} \] Si $a$ n'est pas plus grand élément ce passage est barré de plusieurs traits obliques.

Cor. 1 Soit $X \in \mathrm{supp}^\circ(P_a)$ $(= \mathrm{supp}(P_a))$, i.e. \[ X \mathrel{|{\circ}|} Y, \quad \forall Y\in\mathrm{cosupp}^\circ(P_a) . \] Si $a$ est un plus petit ou plus grand élément, alors \[ \mathrm{cosupp}^\circ(P_a) = \mathcal{M} - \{P_a\} \quad (\text{car tout } X\in\mathcal{M} \] la phrase se poursuit sur la page suivante, au-delà de ce lot.