Cote n° 156-8, pages 61–80

Cote n° 156-8 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

Conventions de ce lot. $\mathcal{M}$ (le magasin), $\mathcal{F}$ (l'atlas), $\mathcal{L}$ (les lieux) et $\mathcal{P}$ sont écrits en cursive. La relation d'incidence stricte, un $\ll$ surmonté d'un petit rond, est rendue $\mathrel{\mathring{\ll}}$ ; la relation de disjonction, un rond entre deux barres, $\mathrel{|\circ|}$. « Omb » (l'ombre) et « supp », « cosupp » sont gardés tels qu'écrits.

La page 61 s'ouvre sur une définition nouvelle ; l'argument sur les magasins et leurs atlas vient d'avant ce lot, auquel renvoient les « p. 23 », « p. 27 », « p. 28 », « p. 33 », « p. 37 » et « p. 50 » de l'auteur.

61p. 53 de l'auteur. Le numéro d'archive porté au crayon sur les feuillets de ce lot (62 à 81) dépasse d'une unité la numérotation suivie ici.

Définition⌜-prop.⌝ Soit $\mathcal{M}$ un magasin, $\mathcal{M}'$ une partie de $\mathcal{M}$. On dit que c'est un sous-magasin si elle satisfait

a)$\mathcal{M}'$ fermée pour $\leq$ i.e. $X$ $\in \mathcal{M}'$, $Y \leq$ $X$ $\Rightarrow Y \in \mathcal{M}'$ ;
b)si $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq Y$ et $X, Y \in \mathcal{M}'$, alors $Y' \in \mathcal{M}'$.

la lettre barrée de a) est récrite par-dessus elle-même ; on lit $X \in \mathcal{M}'$, $Y \leq X \Rightarrow Y \in \mathcal{M}'$.

Alors $\mathcal{M}'$, muni des relations $\leq$, $\mathrel{\mathring{\ll}}$, $|\circ|$ induites par $\mathcal{M}$, est un magasin, et les relations $\ll$, $\not>$, $\parallel$ déduites sont induites par les relations de même nom dans $\mathcal{M}$. le deuxième signe de la liste, un $>$ barré, est de lecture douteuse.

Définition Dans ces conditions, si $\mathcal{F}$ est un atlas associé à $\mathcal{M}$, on appelle restriction de $\mathcal{F}$ […] associé à $\mathcal{M}'$ […], l'ens. ⌜$\mathcal{F}'$⌝ des $F \in \mathcal{F}$ tels que $\widetilde{F} \in$ \[ \mathcal{F}' = \{ F \in \mathcal{F} \mid \widetilde{F} \subset \mathcal{M}' \}. \] Pour la relation d'incidence induite entre $\mathcal{M}'$, $\mathcal{F}'$, et les relations $\mathrel{\mathring{\ll}}$, $|\circ|$ sur $\mathcal{M}'$, c'est bien un atlas associé à $\mathcal{M}'$. On a alors :

Les relations $\leq$, $\ll$, […] $\not>$, $\parallel$ dans $\mathcal{F}'$ sont induites par les relations similaires dans $\mathcal{F}$, le plongement $\mathcal{F}' \to \mathcal{F}$ commute aux Sup quelconques pour $\leq$, et aux Inf des familles non vides.

62Si $|\circ|$ dans $\mathcal{M}$ peut s'obtenir défini par $\mathrel{\mathring{\ll}}$, il n'est pas clair qu'il en soit de $=$ dans $\mathcal{M}'$, mais ça sera le cas si $\mathcal{M}'$ est $\mathrel{\mathring{\ll}}$-fermé (mais ⌜bien⌝ souvent, $\mathcal{M}'$ ne le sera pas…). Par contre, supposons qu'on ait $\mathcal{M}' \supset \mathcal{L}$, de sorte que $\mathcal{L}$ est aussi […] des lieux de $\mathcal{M}'$. Si alors $\mathcal{M}$ est strict. dirigé, $\mathcal{M}'$ aussi (axiomatique $\mathrm{M}_0$ dite, page 23) ; […] si $\mathcal{M}$ est quasi-ensembliste, $\mathcal{M}'$ aussi. Enfin si $\mathcal{M}$ ensembliste, $\mathcal{M}'$ aussi…

Je suis amené maintenant à introduire ⌜(restreints)⌝ la notion d'homomorphismes entre atlas, donc des hom. qui respectent, ⌜non seulement⌝ $\mathrel{\mathring{\ll}}$ et $|\circ|$, mais aussi $\leq$. On les appellera provisoirement « homomorphismes ».

Définition […]

Soient les \[ (\mathcal{F}, \mathcal{M}, \lhd, \mathrel{\mathring{\ll}}, |\circ|), \qquad (\mathcal{F}', \mathcal{M}', \lhd, \mathrel{\mathring{\ll}}, |\circ|) \] deux atlas, on va définir les applications \[ f : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}' \] qu'il faut […] d'homomorphismes.

631°) On veut qu'elles soient croissantes pour $\leq$, et commutent aux Sup quelconques. Ça implique qu'elles seront déterminées par leur restriction […] \[ f_{\mathcal{M}} : \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{F}', \] qui sera une application croissante pour $\leq$. Si les figures de $\mathcal{F}$ sont du type […], et celles de $\mathcal{F}'$ […], on voit que n'importe quelle appl. $f_{\mathcal{M}}$ croissante pour $\leq$ provient d'une $f$.

2°) On veut qu'elles commutent aux Inf quelconques, i.e. familles ⌜d'indices⌝ non vides, et pour commencer \[ (*) \qquad f(F \cap G) = f(F) \cap f(G). \] On est ramené aussitôt au cas où $F$, $G$ sont des […], et la formule devient \[ (*)_{\mathcal{M}} \qquad f_{\mathcal{M}}(X) \cap f_{\mathcal{M}}(Y) = \operatorname*{Sup}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} f_{\mathcal{M}}(Z) \] (qui rappelle la formule familière pour une figure ensembliste \[ X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k \ ). \] Cette formule $(*)$ inclut la commutation aux Inf finis. Pour les Inf infinis, on est ramené au cas des familles […] filtrantes décroissantes. Il […]

64pas clair que ce soit essentiel de la poser dans les définitions.

On veut d'autre part que $f_{\mathcal{M}}$ soit compatible, en plus de $\leq$, à $\mathrel{\mathring{\ll}}$, $|\circ|$. (NB On sait déjà qu'il est compatible à $X$.) Mais il faut bien donner un sens, dans le cas où $f_{\mathcal{M}}$ n'applique pas $\mathcal{M}$ dans $\mathcal{M}'$, mais dans $\mathcal{F}$ ! Mais il faut, pour cela, poser une petite condition, encore une condition (comparer p. 28) \[ (**) \qquad \forall F \in \mathcal{F}, \text{ posant } F' = f(F), \text{ l'application} \] \[ G \longmapsto G' = f(G) : \operatorname{SsFig}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{SsFig} F' \] est un isom. d'ens. ordonnés. la formule $(**)$ est marquée d'un trait vertical en marge gauche. Le signe de $\operatorname{SsFig}$, ici et plus bas, est lu « sous-figures ».

Utilisant la cosuffisance de […], cela sera équivalent à : $(**_{\mathcal{M}})$ $\forall X$ deux lignes et demie biffées de traits obliques. Mais cela implique que si $F$ est élémentaire, $F'$ aussi, c'est-à-dire $f_{\mathcal{M}} : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'$ ! C'est justement dans le moment où je m'interrogeais si je connais des […] ⌜applications⌝ $f : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'$ que j'aurais envie d'appeler « homomorphismes », et qui n'appliquent pas $\mathcal{M}$ dans $\mathcal{M}'$. Oui, il y a des exemples p. 50, mais […] ⌜qui me paraissent hétéroclites⌝ et […] les laisser de côté $(**)$.

65Revenons justement pour retomber sur \[ f_{\mathcal{M}} = f : \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{M}' \] comme pages 27, 28. On ⌜demande⌝ que pour tout $\widetilde{F} \in \operatorname{Fig}(\mathcal{M})$ (figure associée au magasin), posant $F' = f(F)$, on ait \[ f \,|\, \widetilde{F} : \widetilde{F} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{F}' \qquad \text{isom.\ d'ens.\ ordonnés} \] ce qui découle aussitôt de $(**)$. On dispose de tous les corollaires de p. 28, 29.

Les propriétés de $f$ sont voisines de celles d'un plongement, mais […] $f$ n'est pourtant pas nécess. injectif. Exemple : si $\mathcal{M}$ est quasi-ensembliste et non ensembliste, l'hom. canonique \[ \mathcal{M} \longrightarrow \operatorname{Figures}(\mathcal{L}). \]

Si c'est injectif, est-ce qu'on peut identifier $\mathcal{M}$ à un sous-magasin de $\mathcal{M}'$, i.e. l'image $f(\mathcal{M})$ est-elle un sous-$\mathcal{M}'$, i.e. $\mathcal{M}$ y est-il isomorphe […] ⌜l'image⌝ […] ? […], pour ça il faut que […] $\leq$. Montrons que ⌜Donc⌝ si \[ f(X) \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq f(Y) \quad \text{dans } \mathcal{M}' \] est-ce que $Y'$ est de la forme $f(Y_1)$ ? On voudrait de plus, bien sûr, \[ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y_1 \leq Y \] En résumé, on voudrait que

66\[ (**') \qquad f(X) \ll f(Y) \Longrightarrow X \ll Y \] ce qui n'est pas automatique même quand on suppose […] $f$ injectif. Si c'est vrai, alors prenant $Y_1$ avec $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y_1 \leq Y$, on trouve \[ f(X) \mathrel{\mathring{\ll}} f(Y_1) \leq f(Y) \quad \text{donc } Y' = f(Y_1), \text{ OK.} \] De plus, si $f(X) \mathrel{\mathring{\ll}} f(Y)$, on aura $X \ll Y$, et $f(Y_1) =$ on trouve $f(Y_1) = f(Y)$, donc $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$. Donc (cas dans $Y_1 = Y$), on a $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$. […] implique que $\mathrel{\mathring{\ll}}$ est induit par $\ll$. Qu'en est-il de $\leq$, $|\circ|$ ? Il semble qu'il faille le poser en sus…

J'ai envie maintenant de déterminer les homomorphismes de magasins \[ f : \mathcal{M} \longrightarrow \text{Figél}(P), \] où $P$ est un ens. Si on a un tel hom, on en déduit une application \[ \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{P}(P), \qquad X \longmapsto |X| \overset{\mathrm{def}}{=} |f(X)|, \] et […] $f$ est entièrement déterminé par cette application, on a \[ (\alpha) \qquad f(X) = \{ |Y| \mid Y \in \widetilde{X} \}. \] […] $f(F)$ […] note marginale oblique, en bas à gauche, à peu près illisible ; dans $(\alpha)$, un signe biffé précède le premier $|Y|$.

67La question est maintenant, quelles sont les conditions sur une application $f$ \[ X \longmapsto |X| : \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{P}(P), \] pour […] pouvoir être définie par un morphisme d'atlas ? Nous voilà revenus à la situation p. 33 ! En termes des $X \mapsto |X|$, on définira, pour $X \in \mathcal{M}$ toute […] partie […] $\Phi \subset \mathcal{M}$ \[ |\Phi| = \bigcup_{X \in \Phi} |X|, \] ce qui donne un sens à \[ |\partial X| \subset |X|, \qquad |\partial X| = \bigcup_{Y < X} |Y| \] (où \[ \partial X = \widetilde{X} - \{X\} = \{ Y \in \mathcal{M} \mid Y < X \} \ ), \] et à \[ |X|^{\circ} = |X| \setminus |\partial X|. \] Il faudrait avoir en tout cas

(i)$X \ll Y \Longrightarrow |X| \leq |Y|$
(ii)$X \mathrel{|\circ|} Y \Longrightarrow |X|^{\circ} \cap |Y|^{\circ} = \emptyset$
(iii)$\forall X \in \mathcal{M}$, $|X|^{\circ} \neq \emptyset$
(iv)$\forall X \in \mathcal{M}$, $|X| = \bigcup_{Y \in \widetilde{X}} |Y|^{\circ}$

(iv) est récrit entre les lignes, sous (iii), d'une écriture serrée ; « $\leq$ » dans (i) est tel quel. Montrons que ces conditions permettent de définir, pour $\forall X \in \mathcal{M}$, une dite $f(X) \in \text{Figél}(P)$ par $(\alpha)$ p. précédente. Il faut donc voir que la famille

68des $|Y|$, $Y \in \widetilde{X}$, est une figure élémentaire (de support $|X|$, bien sûr), où […] les $|Y| \subset |X|$). Cela résulte en effet de la condition (iii) de la prop. p. 37. (NB on n'a utilisé (i) que pour le cas $X \leq Y$.) Il est clair que l'application $f$ est croissante pour $\leq$, et qu'elle induit, $\forall X \in \mathcal{M}$, $\widetilde{X} \xrightarrow{\sim} f(X)$. Ainsi […] l'on a bien \[ |X|^{\circ} = f(X)^{\circ}, \] de sorte que (ii) implique ipso facto \[ X \mathrel{|\circ|} Y \Longrightarrow f(X) \mathrel{|\circ|} f(Y). \] condition 2) p. 28 Il reste à vérifier que \[ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Longrightarrow f(X) \mathrel{\mathring{\ll}} f(Y), \] Mais est-ce bien vrai ? Ça revient à une application croissante \[ \varphi : \widetilde{X} \longrightarrow \widetilde{Y}, \qquad \varphi(X) = Y, \] telle que conditionnée par \[ X' \mathrel{\mathring{\ll}} \varphi(Y') \] et […] revient à ceci : \[ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Longrightarrow |X|^{\circ} \subset |Y|^{\circ} \] Ce serait déjà Par (i) on aurait $|X| \subset |Y|$ donc $|X|^{\circ} \subset |Y|$, cf. CF V p. 19, 20, conditions la marginale « condition 2) p. 28 » est écrite obliquement en marge gauche, à hauteur de « qu'elle induit » ; la seconde, en bas à gauche, renvoie sans doute à un autre chapitre (V) ; lecture du sigle incertaine.

69il reste à voir que \[ |X|^{\circ} \cap |\partial Y| = \emptyset \] ce qui revient à : \[ |X|^{\circ} \cap |Z|^{\circ} = \emptyset \qquad \forall Z \not\leq Y \] le dernier signe de cette ligne est lu $\not\leq$ ; il pourrait s'agir d'un $<$ repassé, comme à la ligne suivante. et sera ([…] et comme \[ |Z| = \bigcup_{Z' \leq Z} |Z'|^{\circ} \] par (iv), il revient au même de voir \[ |X|^{\circ} \cap |Z|^{\circ} = \emptyset \qquad \forall Z < Y \] ce qui va résulter de \[ X \mathrel{|\circ|} Z \qquad \text{(via (ii))} \] \[ Z < Y \text{ \ill{} } Z \mathrel{|\circ|} Y \quad (\mathrm{M}_0 4) \] or si $X \mathrel{\mathring{\ll}} Z$ […] on en déduit et comme […] \[ X \mathrel{|\circ|} Z \quad (\mathrm{M}_0 3)\text{], on a gagné !} \]

Donc

Théorème Les hom. de magasins${}^{*}$ \[ \mathcal{M} \longrightarrow \operatorname{Figures}(P)^{*} \] sont en corr. 1-1 avec les applications \[ \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{P}(P), \qquad X \longmapsto |X| \] satisfaisant les applications ⌜conditions⌝ (i)–(iv) de la page 59.

Une fonction ayant ces propriétés est cf. p. 27 […] la marginale est écrite obliquement en marge gauche, à hauteur du théorème. L'astérisque appelle une précision que la page ne donne pas.

70appelée fonction support exacte (à valeurs dans $\mathcal{P}(P)$). Elle est dite normalisée si a) $P = |\mathcal{M}|$ i.e. les $|X|$ recouvrent $P$ et b) les $|X|$ séparent les points de $P$ ([…] $\Longleftrightarrow$ les $|X|^{\circ}$ aussi séparent les points). Elle est dite fidèle si les conditions deux conditions (ii) (iii) se renforcent en la condition \[ (\text{ii fid}) \qquad \forall X, Y \in \mathcal{M}, \quad X \mathrel{|\circ|} Y \Longleftrightarrow |X|^{\circ} \cap |Y|^{\circ} = \emptyset \]

NB […] types, en remplaçant […] par un quotient de $|\mathcal{M}|$, on se ramène au cas d'une fonction support normalisée.

Subtilités. D'ailleurs${}^{*}$ tous les exemples […] que j'ai effleurés provenant des contextes ensemblistes, de topologie ou de topologie modérée, il existe${}^{*}$ toujours des fonctions support fidèles. Donc les […] ⌜propriétés⌝ commodes souhaitables qui seraient conséquences

On dit qu'elle constitue une « réalisation » ensembliste […] si de plus, les relations $\mathrel{\mathring{\ll}}$, $\leq$ sont « induites », i.e. $\varphi(X) \mathrel{\mathring{\ll}} \varphi(Y) \Rightarrow X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, $\varphi(X) \leq \varphi(Y) \Rightarrow X \leq Y$ […] ${}^{*}$ […] 27. C'est inexact dans le cas des pseudo-[…] […] il est vrai […] deux longues notes marginales obliques, en marge gauche de la seconde moitié de la page, appelées par des astérisques ; on n'en transcrit que ce qui se lit. La note sur la réalisation est cochée « NB ». Un $X$ entouré, avec une flèche vers « $P$ », surcharge la ligne du NB.

71de l'existence d'une telle fonction support, pourraient être posées en axiome sans inconvénient pratique.

La seule exception à cette règle concerne les géométries de lieux définis […] en termes d'une fonction distance, où la disjonction est décrite en termes d'une distance ⌜$\geq \varepsilon$ ou⌝ $> \varepsilon$, et où peut-être la notion de lieu se ramène à une question de « disposition ensembliste ». De toute façon, je n'ai pas l'impression que le dessin puisse être autre que la chose géométrique des magasins bien géométriques que je propose ici, s'y appliquent intégralement.

Exemples 1) Dans Dire que dans […] un magasin $\mathcal{M}$, […] $|\circ|$ est définissable par $\mathrel{\mathring{\ll}}$, signifie que \[ X \longmapsto \mathrm{Omb}(X) \qquad \mathcal{M} \xrightarrow[\text{fidèle}]{\ \ } {}^{*}\mathcal{P}(\mathcal{M}) \] est une fonction support ⌜fidèle⌝. Mais cette Ça ne fait même pas besoin de garantir ! NB C'est une fonction support (p. 30, 31) […] la marginale, en bas à gauche, commence par un sigle biffé ; « p. 30, 31 » appartient à la ligne de « signifie que ». La dernière ligne du corps est de lecture très douteuse.

72Exemple 2 Les magasins formés avec des pseudo-cylindres etc. dans un espace ⌜$X$⌝/top. ou modéré (disons) — […] associés à une « corde » (ou « feuille ») topologique, ou plus généralement à un ens. ordonné quelconque, déjà rencontrés au cas précédent — des lieux effectivement pensés comme peut-être disjoints. Mais pourtant, la fonction support évidente à valeurs dans $\mathcal{P}(X)$ est toute trouvée !

Exemple 3 Magasins « triviaux » ou quelconques. La condition ⌜relation⌝ $X \mathrel{|\circ|} Y$ signifie $X \neq Y$, la condition ⌜relation⌝ $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$ signifie $X = Y$, on a donc […] \[ X \mathrel{|\circ|} Y \text{ ssi } \nexists Z,\ Z \mathrel{\mathring{\ll}} X,\ Z \mathrel{\mathring{\ll}} Y, \] i.e. on est dans le cas de l'exemple 1. En somme : $\forall X$ \[ |X| \overset{\mathrm{def}}{=} \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} = \mathrm{Omb}(X) \] Comme toujours, l'adhérence de $X$ pour la top. de $\mathcal{M}$ associée à $\leq$), on trouve une fonction support fidèle. Notons qu'ici \[ |X|^{\circ} = \{ X \} \qquad \text{pour } \forall X \in \mathcal{M} \] la parenthèse fermante après « $\leq$ » est sur la page, sans ouvrante. Le bas de la page est vide.

73Il est temps de revenir aux supports internes dans un magasin.

Utilisant la relation $|\circ|$ syntaxique et intuitive, on trouve […] comme d'habitude, dans $\mathcal{P}(\mathcal{M})$, […] une opération \[ \operatorname{cosupp}^{\circ}(A) = \{ \text{\struck{$X$}}\, Y \in \mathcal{M} \mid A \mathrel{|\circ|} \text{\struck{$X$}}\, Y \} \] ⌜i.e. $\forall X \in A$, $X \mathrel{|\circ|} Y$⌝ où on pose, pour deux parties $A$, $B$ de $\mathcal{M}$ \[ A \mathrel{|\circ|} B \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \forall X \in A,\ Y \in B, \text{ on a } X \mathrel{|\circ|} Y \] et \[ A \mathrel{|\circ|} X \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} A \mathrel{|\circ|} \{ X \}. \] […] pour […] On pose Ainsi $\operatorname{cosupp}^{\circ}$ \[ \begin{cases} \operatorname{cosupp}^{\circ}\bigl(\bigcup A_i\bigr) = \bigcap_i \operatorname{cosupp}^{\circ}(A_i) \\ \operatorname{cosupp}^{\circ}(\emptyset_{\mathcal{M}}) = \mathcal{M} \\ \operatorname{cosupp}^{\circ}(\mathcal{M}) = \emptyset \end{cases} \] dans la deuxième ligne, avant $\mathcal{M}$, une expression biffée commençant par $\operatorname{cosupp}^{\circ}$. On pose \[ \operatorname{supp}^{\circ}(A) = \operatorname{cosupp}^{\circ}\bigl(\operatorname{cosupp}^{\circ}(A)\bigr) \] On dit qu'une partie $S$ ⌜$A$⌝ de $\mathcal{M}$ est un $|\circ|$-support, si elle est de la forme $\operatorname{supp}^{\circ}(A)$, ou ce qui revient au même, si \[ A = \operatorname{supp}^{\circ}(A) \] Notons qu'une telle partie est fermée pour $\mathrel{\mathring{\ll}}$ : \[ X \in A, \quad X' \mathrel{\mathring{\ll}} X \Longrightarrow X' \in A. \] Mais elle n'est pas nécess. fermée pour $\leq$, et encore moins pour $\ll$. […]

La relation avec la notion précédente de support (p. 11), […] des parties est on a $\operatorname{supp}^{\circ}(X) = \operatorname{supp}^{\circ}(\{X\})$, $\operatorname{cosupp}^{\circ}(X) = \operatorname{cosupp}^{\circ}(\{X\})$ pour […] la marginale est écrite obliquement en marge gauche, à hauteur de la définition de $\operatorname{supp}^{\circ}$.

74la suivante : \[ \operatorname{cosupp} X = \{ Y \in \mathcal{M} \mid \widetilde{Y} \subset \operatorname{cosupp}^{\circ}(\widetilde{X}) \} \] \[ \operatorname{cosupp} A = \{ Y \in \mathcal{M} \mid \widetilde{Y} \subset \operatorname{cosupp}^{\circ}(\widetilde{A}) \} \] (où $\widetilde{A} \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{X \in A} \widetilde{X}$ (plus petite partie fermée de $\mathcal{M}$, $\leq$ contenant $A$)). « $\{ Y \in \mathcal{M} \mid \widetilde{Y} \subset$ » est ajouté au-dessus de chaque ligne, par-dessus un premier membre de droite $\operatorname{cosupp}^{\circ}(\widetilde{X})$ qu'il encadre ; dans la parenthèse, « partie » remplace un mot biffé.

Donc $\operatorname{cosupp} A = \operatorname{cosupp}^{\circ}(A)$ si $A = \widetilde{A}$ i.e. $A$ fermée dans $\mathcal{M}$ pour $\leq$. idiot la ligne est barrée de grands traits obliques, et l'auteur écrit « idiot » en marge.

En. Ainsi, les supports sont les supports internes des parties de $\mathcal{M}$ fermées pour $\leq$. En effet, pour une telle partie, prendre $\operatorname{cosupp}^{\circ}$ ou $\operatorname{cosupp}$ revient au même et le résultat est $\leq$-fermé, et […] le […], on trouve l'assertion. ce paragraphe, marqué d'un trait vertical en marge, est barré de deux longs traits obliques. Le traitement précédent des supports était vicié par le fait, qu'il se brouillait constamment au […] ⌜[…]⌝ quand les supports de parties fermées. Tous supp et cosupp. s'expriment, on l'a vu, en termes de $\operatorname{supp}^{\circ}$ et $\operatorname{cosupp}^{\circ}$, mais l'inverse n'est pas vrai.

Exemples instructifs : magasins triviaux ⌜ou quelconques⌝. La relation $|\circ|$ est la relation $X \neq Y$. Donc les supports sont les parties quelconques de $\mathcal{M}$. Je veux visualiser une telle partie, $A$, comme représentant la réunion des « cellules ouvertes » $X^{\circ}$, pour $X \in A$. Si on

75travaille avec la relation $X \parallel Y \Longleftrightarrow \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset$, les supports sont certaines parties fermées de $\mathcal{M}, \leq$ bien particulières. Jamais par elles on ne pourra exprimer des supports internes !

Je désigne par $\Sigma_{\mathcal{M}}$ (notation standard) l'ens. des supports pour $\mathcal{M}$. L'application C'est un ensemble, […] ordonné par $\subset$, ayant un plus petit élément $\emptyset$, et un plus grand élément $\mathcal{M}$. Il a des Inf quelconques — ce sont les $\bigcap_i$ ordinaires. Il y a une fonction application canonique \[ \Sigma_{\mathcal{M}} \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma_{\mathcal{M}}, \qquad S \longmapsto \text{\struck{$\mathcal{C}$}}\, \mathrm{c}S, \] qui est une antiinvolution de l'ens. ordonné. Il […] transforme donc les Inf en Sup, et inversement. Le Sup s'écrit ainsi \[ \operatorname{Sup} S_i = \operatorname{supp}^{\circ}\Bigl(\bigcup S_i\Bigr) \] On prendra bien garde de ne pas le confondre avec $\bigcup S_i$.

On peut aussi construire un ⌜produit⌝ $\Sigma_{\mathcal{L}}$, avec $\mathrel{|\circ|}_{\mathcal{L}} = \parallel_{\mathcal{L}}$ sur $\mathcal{L}$. On […] ⌜voudrait⌝ une application canonique

76\[ \Sigma_{\mathcal{M}} \longrightarrow \Sigma_{\mathcal{L}}, \qquad S \longmapsto S \cap \mathcal{L} \] mais est-on sûr que si $S$ est un support ⌜(interne)⌝, $S \cap \mathcal{L}$ en soit un ? (C'est OK si on suppose Mag L2 […] (magasin strict. dirigé) […], car alors, \[ \operatorname{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{M}} X = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(\mathrm{Omb}^{\circ} X) \] et plus généralement, pour une partie quelc. $A$ de $\mathcal{M}$ \[ \operatorname{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A) = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(\mathrm{Omb}^{\circ}(A)) \] où on pose \[ \mathrm{Omb}^{\circ}(A) = \bigcup_{X \in A} \mathrm{Omb}^{\circ}(X) \subset \mathcal{L} \] on en conclut \[ \operatorname{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A) \cap \mathcal{L} = \operatorname{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{L}}(\mathrm{Omb}(A)), \] donc ce qui prouve que si $S$ est un support ⌜(interne)⌝ […] ⌜de⌝ $\mathcal{M}$, i.e. de la forme $\operatorname{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A)$, alors $S \cap \mathcal{L}$ est un support (interne) dans $\mathcal{L}$. NB en conclut $\operatorname{supp}^{\circ} X = \operatorname{supp}^{\circ}(\mathrm{Omb}^{\circ} X)$ la marginale est écrite obliquement en marge gauche, à hauteur de la première formule. Dans la proposition sur Mag L2, plusieurs mots soulignés puis biffés.

On trouve une application en sens inverse \[ \Sigma_{\mathcal{L}} \longrightarrow \Sigma_{\mathcal{M}} \] \[ A \longmapsto \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A) \overset{?}{=} \{ X \in \mathcal{M} \mid \mathrm{Omb}^{\circ} X \subset A \} \] une flèche montre le signe « $\overset{?}{=}$ ». A-t-on bien l'égalité annoncée ? Sûrement, si $X \in \mathcal{M}$ \[ \mathrm{Omb}^{\circ}(X) \subset A \Longrightarrow \operatorname{supp}^{\circ}(X) \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A) \quad \text{d'où} \] sous $\operatorname{supp}^{\circ}(X)$, l'auteur écrit « $= \operatorname{supp}^{\circ}(\mathrm{Omb}^{\circ}(X))$ » ; le $\operatorname{supp}^{\circ}$ récrit au-dessus d'un mot biffé. $X \in \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A)$. Mais inversement, supposons

77$X \in \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A)$, on en conclut (puisque $\operatorname{supp}^{\circ}$ est fermé pour $\mathrel{\mathring{\ll}}$) $\mathrm{Omb}^{\circ}(X) \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A)$, OK.

Ceci dit, les deux applications précédentes sont inverses l'une de l'autre, et établissent des bij. réciproques inverses des parties ordonnées, munies de l'opération $\complement$ …

C'est formel en termes de

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  \mathcal{L} \arrow[d, leftrightarrow, "\text{comm.}"'] \arrow[dr, "x \mapsto \{x\}"] & \\
  \mathcal{M} \arrow[r, "o"'] & \mathcal{P}(\mathcal{L})
\end{tikzcd}

le trait vertical entre $\mathcal{L}$ et $\mathcal{M}$ porte une tête à chaque bout, telle qu'on la lit ; la flèche $\mathcal{M} \to \mathcal{P}(\mathcal{L})$ est légendée en dessous « application (ici $X \mapsto \mathrm{Omb}^{\circ}(X)$) » ; la lettre $o$ est celle de la suite. $\parallel_{\mathcal{L}}$ relation symétrique antiréfl. sur $\mathcal{L}$, d'où relation $|\circ|_{\mathcal{M}}$ sur $\mathcal{M}$ par \[ X \mathrel{|\circ|} Y \Longleftrightarrow o(X) \parallel o(Y) \] i.e. $\forall x \in o(X)$, $y \in o(Y)$, $x \parallel_{\mathcal{L}} y$.

À toute partie […] $\operatorname{supp}^{\circ}$ de $\mathcal{L}$, on associe alors ⌜une⌝ ⌜partie, support,⌝ ⌜de $\mathcal{M}$, par⌝ \[ \varphi(A) = \{ X \in \mathcal{M} \mid o(X) \subset A \} \] les deux premières lignes de ce paragraphe sont barrées de traits obliques, sauf ce qui est récrit au-dessus ; la reconstruction de la phrase est incertaine. et on trouve deux deux isom. […] réciproques \[ \Sigma_{\mathcal{L}} \rightleftarrows \Sigma_{\mathcal{M}} \quad \dots \] Il faudra bien que je me tape la vérification ! même général,

Cor Si $\parallel_{\mathcal{L}}$ est la relation $x \neq y$ (cas quasi-ensembliste) alors \[ \Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathcal{P}(\mathcal{L}) \] La notion de support ⌜interne⌝ […] s'explicite : supp${}^{\circ}A$ s'identifie à $\mathrm{Omb}^{\circ}(A)$.

On peut généraliser à une relation abstraite $L$, $L'$ […] entre deux magasins $\mathcal{M}$, $\mathcal{M}'$ […] marginale oblique en marge gauche, à hauteur du diagramme ; lecture très partielle.

78Si je me fatigue à faire une théorie « abstraite », c'est bien sûr pour pouvoir parler des supports aussi en dehors des cas quasi-ensemblistes (p. ex. pour les cordes etc…)

Supposons qu'on ait une fonction support ⌜exacte⌝ normalisée ⌜exacte et⌝ fidèle \[ \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{P}(P), \qquad X \longmapsto |X| \] comme (p. 62), j'ai envie alors de définir une application injective, comme ⌜relèvement⌝ \[ \Sigma_{\mathcal{M}} \hookrightarrow \mathcal{P}(P) \] de telle façon que la relation d'ordre de $\Sigma_{\mathcal{M}}$ soit induite par celle de $\mathcal{P}(P)$, que $\Sigma_{\mathcal{M}}$ soit stable par Sup et Inf quelconques, et commute à $\complement$. Si $|\mathcal{M}| = P$. Est-ce trop demander […] exprimer ?

Si $A \subset \mathcal{M}$, définissons $|A|^{\circ} = \bigcup_{X \in A} |X|^{\circ}$. Donc si $A, B \subset \mathcal{M}$, on a $A$… ces lignes, au bas de la page, sont barrées de quatre traits obliques ; la dernière s'arrête sur « $A$ » suivi d'un signe inachevé. Pour une fonction support […] $\mathcal{M}$, $\mathcal{M}'$ […] générale marginale oblique en marge gauche, à hauteur de la définition de la fonction support ; lecture très partielle. La flèche de $\Sigma_{\mathcal{M}} \hookrightarrow \mathcal{P}(P)$ est un crochet d'inclusion.

79Je regarde l'application \[ \varphi : X \longmapsto |X|^{\circ} \qquad \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{P}(P), \] plus « fine » que $X \mapsto |X|$. Par hypothèse, la relation $|\circ|$ sur $\mathcal{M}$ se déduit de la […] relation $x \neq y$ sur $P$, via l'application précédente. Je pose donc pour toute partie $A$ de $\mathcal{M}$ \[ |A|^{\circ} \text{ ou } \varphi(A) \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{X \in A} \underbrace{\varphi(X)}_{|X|^{\circ}} \] et on trouve par hyp. \[ A \parallel B \Longleftrightarrow \underbrace{\varphi(A) \cap \varphi(B)}_{S} = \emptyset \] l'accolade « $S$ » sous $\varphi(A) \cap \varphi(B)$ est sur la page ; le signe $\parallel$ est ici celui que la suite écrit $|\circ|$. Ceci vu, on a donc \[ \operatorname{cosupp}^{\circ}(A) = \{ \text{\struck{$X$}}\, X \in \mathcal{M} \mid \text{\struck{$\varphi(\ldots)$}}\ X \subset P \setminus \varphi(A) \} \] Par suite, on a \[ \varphi(\underbrace{\operatorname{cosupp}^{\circ}(A)}_{S}) \subset P \setminus \varphi(A) \] Ce partie […] support et $\underbrace{\operatorname{cosupp}^{\circ}(A)}_{S}$ est connu quand on connaît $\varphi(S) =$ la partie $\varphi(S) =$ […] $P \setminus \varphi(A)$, par dans $P$ (et $=$ à $P \setminus \varphi(A)$), par \[ X \in S \Longleftrightarrow \varphi(X) \subset \varphi(S) \] D'où l'application [En effet, $\Rightarrow$ tautologique, et $\Leftarrow$ car $\varphi(X) \subset \varphi(S)$ implique $\varphi(X) \subset P \setminus \varphi(A)$ … $\varphi(X) \cap \varphi(A) = \emptyset$ i.e. $X \mathrel{|\circ|} A$ donc $X \in \operatorname{cosupp}^{\circ} A$).

Ainsi l'application p. 71 de l'auteur. La phrase se poursuit au-delà de ce lot.

80\[ \Sigma_{\mathcal{M}} \longrightarrow \mathcal{P}(P), \qquad S \longmapsto \varphi(S) \ (= |S|^{\circ}) \] est injective, on trouve une inverse à gauche en associant, à toute partie $Q$ […] de $P$, l'ens. \[ \text{\struck{$S_Q$}} = \{ X \in \mathcal{M} \mid \varphi(X) \subset Q \} \] ou plutôt (comme celui-ci n'est peut-être pas lui-même un support) \[ S_Q = \operatorname{supp}^{\circ}\bigl(\{ X \in \mathcal{M} \mid \varphi(X) \subset Q \}\bigr). \] ⌜Peut-être⌝ faut-il […] dire […], d'ailleurs […] ⌜pas⌝ de fonction support […] plus […] que celles précédemment […] rencontrées, i.e. qui ne puisse y comprendre ⌜invariants de⌝ supports de figures quelques choses en l'occurrence) ([…] éliminant ceux qui ne sont pas compatibles, ou qui ne […] après subdivision, ou le diminuant).

Ainsi faudrait-il à présent que je me limite à des supports de figures, finis, voire finis par une subdivision : […] une figure (supports « constructibles ») la fin de la page est d'une écriture très rapide ; la lecture des deux derniers paragraphes est en grande partie conjecturale. Le texte se poursuit au-delà de ce lot.

Il me semble difficile […] […] $A \cap B$ […] […] figures […] […] En marge gauche, en bas : un fuseau hachuré, entre deux points, coupé par un segment ; légendes $|B|$, $|A|$, « $A \cap B = \emptyset$ », « $|A| \cap |B| \neq \emptyset$ ». Il illustre deux parties disjointes dont les supports se rencontrent. marginale oblique, lue très partiellement, avec le croquis qu'elle accompagne.