Cote n° 156-8, pages 21–40

Cote n° 156-8 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

21p. 13 de l'auteur. Prise de vue « synthétique ». Structure sur deux ensembles de base $\mathcal{M}$ (multistructures), $\mathfrak{F}$ (figures).

Structure

a)Relation d'incidence $X \lhd F$ entre $\mathcal{M}$, $\mathfrak{F}$ (suffisante à définir $\leq$ sur $\mathcal{M}$ et sur $\mathfrak{F}$)
b)Relations $\ll$, $|\circ|$ sur $\mathcal{M}$

Pour tout $F \in \mathfrak{F}$, on pose \[ \widetilde{F} = \{ X \in \mathcal{M} \mid X \lhd F \} \qquad \text{On pose } F \leq G \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \widetilde{F} \subset \widetilde{G} \]

At M 1 $\widetilde{F} = \widetilde{G} \Rightarrow F = G$, i.e. $\mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{M})$, $F \mapsto \widetilde{F}$ est une injection, ou encore la relation $\leq$ sur $\mathfrak{F}$ est un ordre.

At M 2 $\widetilde{\mathfrak{F}}$ […] est une […] […] qui connaisse $\mathcal{M}$ et sépare les points de $\mathcal{M}$, i.e. a) $\forall X \in \mathcal{M}$, $\mathfrak{F}^{X} = \{ F \in \mathfrak{F} \mid X \lhd F \}$ a un plus petit élément (on l'appelle la […] multistructure $X$) tout ce passage est barré de deux longs traits obliques ; on y lit encore, au-dessus de la ligne de At M 2, une variante elle-même biffée : « ens. de parties de $\mathcal{M}$ quasi-admissible ». Ainsi,

At M 1 ⌜b)⌝ La relation $X \lhd F$ est séparante sur $\mathcal{M}$ et sur $\mathfrak{F}$, i.e.

a)L'application $F \longmapsto \widetilde{F}$, $\mathfrak{F} \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M})$ est injective [i.e. encore, $\leq$ est une relation d'ordre]
b)Si $X, Y \in \mathcal{M}$ tels que $X \neq Y$, alors $\exists F \in \mathfrak{F}$ avec $X \in \widetilde{F}$, $Y \notin \widetilde{F}$ ou l'inverse (i.e. $\widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})$ sépare les points de $\mathcal{M}$)

At M 2 La famille de parties $\widetilde{\mathfrak{F}}$ dans $\mathcal{M}$ est quasi-admissible, i.e. $\forall X \in \mathcal{M}$, […] posant $\mathfrak{F}^{X} = \{ F \in \mathfrak{F} \mid X \lhd F \}$, $\mathfrak{F}^{X}$ a un plus petit élément (appelé la figure élémentaire associée à la multistructure $X$)

Ainsi $X \lhd F$ équivaut à \[ X \lhd F \Longleftrightarrow F_{X} \leq F \qquad (\Longleftrightarrow X \in \widetilde{F}) \] de sorte que la condition At M 1 b), compte tenu de At M 1 a), équivaut à \[ \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{F} \qquad X \longmapsto F_{X} \quad \text{est injectif.} \]

At M 3

a)Soit […] $\mathfrak{L}_{i}, \mathfrak{L} \in \widetilde{\mathfrak{F}}$, avec $\mathfrak{L}_{i} \subset \mathfrak{L}$. Alors $\bigcup \mathfrak{L}_{i} \in \widetilde{\mathfrak{F}}$ (stabilité de $\widetilde{\mathfrak{F}}$ par $\bigcup$ majorées)
b)$\mathfrak{F} \neq \emptyset$ ($\Longleftrightarrow \emptyset \in \widetilde{\mathfrak{F}}$ $\Longleftrightarrow \widetilde{\mathfrak{F}} \neq \emptyset$ $\Longleftrightarrow \mathfrak{F}$ a un plus petit élément)

la lettre notée $\mathfrak{L}$ est une majuscule cursive bouclée, soulignée ; lecture incertaine. résulte du reste si $\mathcal{M} \neq \emptyset$

22p. 14 de l'auteur. Les conditions At M 1 – At M 3 ⌜plus At M 4 plus bas⌝ ne concernent que la relation $X \lhd F$. Allons un peu plus loin. $\lhd$ $\leftarrow$

Si $X, Y \in \mathcal{M}$, on a tautologiquement \[\begin{align*} F_{X} \leq F_{Y} &\Longleftrightarrow \forall\, \text{\struck{$\mathfrak{L} \in \mathfrak{F}$}}\ F \in \mathfrak{F},\ Y \lhd F \Rightarrow X \lhd F \\ &\Longleftrightarrow \forall\, \mathfrak{L} \in \widetilde{\mathfrak{F}},\ Y \in \mathfrak{L} \Rightarrow X \in \mathfrak{L} \\ &\Longleftrightarrow X \lhd F_{Y} \Longleftrightarrow X \in \widetilde{F}_{Y} \end{align*}\] On écrit alors \[ X \leq Y , \] c'est une relation de préordre, induite par la relation de préordre associée à la famille $\widetilde{\mathfrak{F}}$ de parties dans $\mathcal{M}$. Par At M 1 b) c'est une relation d'ordre. Ceci dit, on a aussi On écrit $\widetilde{X} = \widetilde{F}_{X} = \{ Y \mid Y \lhd F_{X} \} = \mathcal{M}_{\leq X}$

Prop. Si $F \in \mathfrak{F}$, $\widetilde{F}$ est une partie fermée de $\mathcal{M}, \leq$. Si […] est une partie fermée de $\mathfrak{L}$, alors $X \in \widetilde{F}$ deux lignes barrées ; au-dessus de la première est écrit $\mathfrak{L} = \widetilde{F}$.

Prop. Soit $\mathfrak{L} \in \widetilde{\mathfrak{F}}$, alors toute partie fermée de ⌜dans⌝ $\mathfrak{L}$ est dans $\widetilde{\mathfrak{F}}$.

Ceci […] At est formellement plus fort que At M 3 a), et lui est même équivalent (compte tenu du reste). Si j'ai laissé At M 3 a) sous sa forme apparemment plus faible, c'est pour l'exprimer […] en termes de $(\mathfrak{F}, \leq)$, comme une condition d'existence de Sup majorés.

At M 4 Soit $F, G \in \mathfrak{F}$. Pour que Soit $F, G \in \mathfrak{F}$, on pose \[\begin{align*} F \lessgtr G &\overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \{F, G\} \text{ majoré dans } \mathfrak{F} \Longleftrightarrow F \cup G \text{ \uncertain{existe}} \\ &\Longleftrightarrow \widetilde{F} \cup \widetilde{G} \in \widetilde{\mathfrak{F}} \\ X \lessgtr Y &\overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} F_{X} \lessgtr F_{Y} \text{ i.e. } \widetilde{X} \cup \widetilde{Y} \in \widetilde{\mathfrak{F}} \quad [\widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X}] \end{align*}\]

At M 4 \[ F \lessgtr G \Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G}, \text{ on a } X \lessgtr Y \]

[…] Pour les relations […] $\ll$, $|\circ|$ sur $\mathcal{M}$, on pose

At M 5 \[ X \lessgtr Y \Longleftrightarrow \forall X' \in \widetilde{X} \setminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \setminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, \] on a $X' \mathrel{|\circ|} Y'$. le second membre de At M 5 est écrit à l'étroit en bas de page ; l'ensemble où court $Y'$ se lit mal, la lecture $\widetilde{Y} \setminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$ suit celle de la p. 26.

23p. 15 de l'auteur. Plus les axiomes ⌜des magasins⌝ (reliant $\leq$, $\ll$, $\circ$ sur $\mathcal{M}$), savoir Mag 1 – Mag 4.

Ainsi, qu'on parte de $(\mathfrak{F}, \leq, \ll, |\circ|)$, ou de $(\mathfrak{F}, \mathcal{M}, \lhd, \ll, |\circ|)$, il nous faut, en plus de Mag 1 – Mag 4, cinq axiomes. Si on part de $(\mathcal{M}, \leq, \ll, |\circ|, \mathfrak{F})$, il nous faut un seul axiome (itinéraires…) supplémentaire, concernant le choix de $\mathfrak{F}$.

Tout ceci concerne les ateliers que je devrais ⌜plutôt⌝ appeler « spécieux ». Il faut maintenant ouvrir une parenthèse sur les « ateliers “polyidéaux” », qui représentent une structure ⌜variante⌝ très légèrement différente.

Définition. Le magasin $(\mathcal{M}, \leq$ […]$)$ est dit ⌜pré⌝polyidéal si $\forall X \in \mathcal{M}$, $\widetilde{X}$ est un ens. ordonné […] polyidéal, i.e. si deux éléments $X, Y$ de $\mathcal{M}$ qui sont majorés, ont un Inf ⌜dans $\mathcal{M}$⌝. […] est dit polyidéal si de plus […] sont majorés, […] existe la définition est marquée d'un trait vertical en marge ; la première rédaction, raturée, s'enchevêtre avec la seconde, et seule celle-ci se lit en entier.

NB Si les $\mathcal{M}_{a \leq \cdot \leq b}$ […] est contenu dans les […] plus grand, si $\mathcal{M}$ est polyidéal […] et si les $\mathcal{M}_{a \leq \cdot \leq b}$ sont inductifs, alors deux […] passage encadré et barré de traits obliques.

On introduit […] les relations plus fortes que $\ll$ (pour les magasins, pas même prépolyidéaux…) \[ X \ll_{\mathrm{pol}} Y \Longleftrightarrow X \ll Y, \text{ et } \forall Y' \in \widetilde{Y},\ X_{Y'} \overset{\mathrm{def}}{=} \widetilde{X} \cap \mathrm{Ombr}(Y') \] est vide ou a un plus grand élément (i.e. $X_{Y'}$ est une figure élémentaire)

En fait $X_{Y'} = X \cdot Y' = \mathrm{Inf}^{\ll}(X, Y')$ dans $\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}$, dans le formalisme des figures… remarque encadrée en bas à gauche de la page.

24p. 16 de l'auteur. La condition que $\mathcal{M}$ soit ⌜pré⌝polyidéal […] équivaut à dire que \[ X \leq Y \Longrightarrow X \ll_{\mathrm{pol}} Y \] le signe de droite est un $\ll$ tracé d'un trait plus lourd, peut-être repassé ; la lecture $\ll_{\mathrm{pol}}$ est celle de l'indice « pol » écrit dessous. ce qui est nécessaire pour que \[ (\mathcal{M}, \leq, \ll_{\mathrm{pol}}, |\circ|) \] soit encore un magasin. Est-ce suffisant ?

1°) Mag 1. Il reste à vérifier que $\ll_{\mathrm{pol}}$ est une relation d'ordre, et tout revient à la transitivité \[ X \ll_{\mathrm{pol}} Y \ll_{\mathrm{pol}} Z \Longrightarrow X \ll_{\mathrm{pol}} Z . \] Soit $Z' \leq Z$, alors que $Y \ll_{\mathrm{pol}} Z$ […] la sous-figure induite $Y^{*}_{Z'}$ est vide, ou de la forme $Y'$. Dans le premier cas, la figure induite par $Y_{Z'}$ sur $X$ est vide, OK, dans le deuxième elle est vide ou de la forme $X'$, par $\ll_{\mathrm{pol}}$, OK aussi. (On utilise transitivité […] […])

2°) Mag 2. Soit $X \ll_{\mathrm{pol}} Y$, prouvons que l'ens. \[ \widetilde{Y}^{X,\mathrm{pol}} = \{ Z \in \widetilde{Y} \mid X \ll_{\mathrm{pol}} Z \} \] a un plus petit élément, pour ceci, il suffit de noter que l'inclusion évidente $\subset$ est une égalité \[ \widetilde{Y}^{X,\mathrm{pol}} = \widetilde{Y}^{X} , \] et on fait une égalité, i.e. que $X \leq$ \[ X \ll Y' \leq Y \Longrightarrow X \ll_{\mathrm{pol}} Y' , \] c'est évident par définition (vu que les $Y'' \leq Y'$ sont aussi $\in \widetilde{Y}$).

[…] NB On a constaté que \[ X \mathrel{\mathring{\ll}_{\mathrm{pol}}} Y \Longleftrightarrow X \ll_{\mathrm{pol}} Y \text{ et } X \mathrel{\mathring{\ll}} Y . \]

25p. 17 de l'auteur. 3°) Mag 3 […] trivial, puisque $|\circ|$ inchangé par changement ; et $\mathring{\ll}_{\mathrm{pol}} \Rightarrow \mathring{\leq}$. le signe à droite de l'implication est un $\leq$ surmonté d'un petit rond, avec un trait raturé sous lui ; lecture incertaine.

4°) Mag 4 aussi idem par changement (on ne fait intervenir que $\leq$ et $|\circ|$)

Définition. Un magasin est dit […] polyidéal, si $X \ll Y \Rightarrow X \ll_{\mathrm{pol}} Y$ (auquel cas il est poly aussi prépolyidéal, comme on voit en prenant $X \leq Y$), Si $\mathcal{M}, \leq, \ll, |\circ|$ donc si $\ll$ et $\ll_{\mathrm{pol}}$ sont égales dans $\mathcal{M}$. Le magasin \[ \mathcal{M}^{\mathrm{pol}} = (\mathcal{M}, \leq, \ll_{\mathrm{pol}}, |\circ|) \] est dit le magasin polyidéal associé au magasin prépolyidéal $\mathcal{M}$ ⌜(il est bien polyidéal)⌝. On a […] $(\mathcal{M}^{\mathrm{pol}})^{\mathrm{pol}} = \mathcal{M}^{\mathrm{pol}}$, et $\mathcal{M} = \mathcal{M}^{\mathrm{pol}}$ ssi $\mathcal{M}$ est polyidéal.

Toujours Mais si $\mathcal{M}$ est déjà polyidéal, i.e. il n'y a pas à faire de différence entre $\ll$ et $\ll_{\mathrm{pol}}$, il faut faut distinguer deux notions de compatibilité, $\lessgtr$ et $\lessgtr_{\mathrm{pol}}$. le signe de compatibilité, un $<$ et un $>$ croisés posés sur un trait, est rendu ici et dans toute la suite par $\lessgtr$.

Définition. Soit $\mathcal{M}$ magasin. On pose \[ X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} X \lessgtr Y, \text{ et } \forall X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y}, \] $\widetilde{X}' \cap \widetilde{Y}'$ est vide ou a un plus grand élément.

Donc $\mathcal{M}$ est prépolyidéal ssi pour tout $X \in \mathcal{M}$, on a $X$ et $Y, Z \leq X$, on a $Y \lessgtr_{\mathrm{pol}} Z$. Donc ce cas $X \lessgtr_{\mathrm{pol}} X$, donc $Y \lessgtr_{\mathrm{pol}} Z$ pour $Y, Z \leq X$.

[…] […] $X \lessgtr_{\mathrm{pol}}$ […] $Y \lessgtr$ […] note marginale tournée, embrassée d'une accolade qui la rattache aux deux lignes précédentes ; seuls quelques signes s'en lisent.

On introduit donc Fig \[ \mathrm{Figpol}(\mathcal{M}) \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \] (anciennement $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$) formée des figures $F$ telles que $\forall X, Y \in \widetilde{F}$, on a $X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y$,

26p. 18 de l'auteur. i.e. des figures parties $F \subset \mathcal{M}$ telles que

a)$F$ fermé par $\leq$
b)$X, Y \in F \Longrightarrow X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y$, i.e.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 1^{\circ})\ \forall X' \in \widetilde{X} \setminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \setminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \Longrightarrow X' \mathrel{|\circ|} Y' \\ 2^{\circ})\ \forall X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y},\ \widetilde{X}' \cap \widetilde{Y}' \text{ est vide ou a un plus grand élément.} \end{array} \right. \] dans 1°, le second ensemble a d'abord été écrit avec $\widetilde{X}$, raturé et récrit $\widetilde{Y}$.

Ceci posé, on trouve

NB Même si $\mathcal{M}$ est polyidéal, on a en général une inclusion stricte $\mathrm{Figpol}(\mathcal{M}) \subsetneq \mathrm{Fig}(\mathcal{M})$.

un petit cercle portant deux points marqués, l'un en haut, l'autre en bas. Cette figure circulaire est dans $\mathrm{Fig}(\mathcal{M})$, mais non dans $\mathrm{Figpol}(\mathcal{M})$, pour $\mathcal{M}$ magasin polyidéal convenable.

dans la marge gauche, deux triangles : dans le premier un arc de cercle s'appuie sur la base, dans le second un arc joint deux sommets de la base. Exemples analogues avec $X \ll Y$ mais non $X \ll_{\mathrm{pol}} Y$ (2 dimensions)

Scholie. Les propriétés formelles ⌜algébriques⌝ de $\mathcal{F} = \mathrm{Figpol}(\mathcal{M})$, muni de $\leq$, $\ll_{\mathrm{pol}}$, $\lessgtr_{\mathrm{pol}}$, et ses relations avec $\mathcal{M}$ (via des relations induites) seront essentiellement les mêmes, que pour $\leq$, $\ll$, $\lessgtr$ pol, pol. La seule différence est dans l'explicitation de $\lessgtr_{\mathrm{pol}}$ vis-à-vis $\lessgtr$, en termes de la relation de disjonction intérieure $|\circ|$.

On devrait prendre en revue toutes les propositions pertinentes… ce paragraphe est marqué d'un trait vertical en marge.

Je signale seulement celle-ci

Prop. Si $F, G \in \mathrm{Figpol}$, alors $\{F, G\}$ majoré […] conditions équivalentes

(i)$\{F, G\}$ majoré par $\leq$
(ii)$\mathrm{Sup}^{\leq}(F, G)$ existe
(ii')$F \cup G$ (réunion dans $\mathfrak{P}(\mathcal{M})$) $\in \mathrm{Figpol}(\mathcal{M})$
(iii)$\forall X \in \widetilde{F}$, $Y \in \widetilde{G}$, on a $X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y$.

On écrit alors $F \lessgtr_{\mathrm{pol}} G$ la remarque est écrite à droite des quatre conditions, reliée par une accolade.

Dans certains contextes, on laissera tomber l'indice pol à $\lessgtr$, $\ll$, quand il est bien entendu qu'il ne s'agit que des relations « polyidéales ».

Atelier polyidéal. Se définit essentiellement ⌜(en termes d'un magasin polyidéal et de $\mathrm{Figpol}(\mathcal{M})$)⌝

27p. 19 de l'auteur. de la même façon qu'un atelier « spécieux » (ou ordinaire) se définit en termes d'un magasin quelc. et de $\mathrm{Fig}(\mathcal{M})$. En termes d'un \[ \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}), \text{ ou plutôt } \mathfrak{F} \subset \mathrm{Figpol}(\mathcal{M}), \] les axiomes pertinents, qui paraphrasent Mag at (p. 10) sont

Mag at pol

a)$F \in \mathfrak{F}$, $G \leq F$ (i.e. $G$ partie fermée de $F$ pour $\leq$ dans $\mathcal{M}$) $\Longrightarrow G \in \mathfrak{F}$
b)$F, G \in \mathfrak{F}$, $F \lessgtr_{\mathrm{pol}} G \Longrightarrow F \cup G \in \mathfrak{F}$
c)$\forall X \in \mathcal{M}$, $\widetilde{X} \in \mathfrak{F}$
c')$\mathfrak{F} \neq \emptyset$ ($\Longleftrightarrow \emptyset \in \mathfrak{F}$).

NB Un « atelier spécieux » est ⌜aussi⌝ un « atelier polyidéal » ssi le magasin associé est polyidéal […] (i.e. $X \ll Y \Rightarrow X \ll_{\mathrm{pol}} Y$) […] (chose ⌜qui⌝ ici va de soi), et si de plus, \[ X \lessgtr Y \Longrightarrow X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y \] (ce qui est beaucoup plus exceptionnel(?)). Je suis amené à faire […] remarques que ce sont des notions très voisines, mais disjointes, et que

a)Les notions « spécieuses » […] $\ll$, $\lessgtr$ sont plus commodes quand il s'agit de travailler avec des figures aussi générales que possibles,

et que

b)Les notions « polyidéales » $\ll_{\mathrm{pol}}$, $\lessgtr_{\mathrm{pol}}$ sont plus commodes quand il s'agit de travailler avec des figures, par exemple des « découpages » ⌜d'autres⌝ en « morceaux » aussi « standard » que possible, avec des « ajustements » […] des « morceaux » aussi A standard que possible.

Cela provient seulement du fait qu'on a pris $\ll$ comme relation primitive plutôt […] mais non $\lessgtr$. Il y a un certain arbitraire… note marginale écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche, rattachée au passage sur $X \lessgtr Y \Rightarrow X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y$.

28p. 20 de l'auteur. Dans le magasin, la différence des deux points de vue se réduit au minimum : On ne la voit pas dans la notion des données, et dans les axiomes, à cela près que dans le cas « polyidéal », on demande des axiomes plus stricts, savoir, en plus de Mag 1 – Mag 4, l'axiome supplémentaire

Mag pol Pour $X \ll Y$ et $Y' \in \widetilde{Y}$, $\widetilde{X} \cap \mathrm{Omb}(Y')$ est vide, ou a un plus grand élément,

qui exprime que $X \ll Y \Longrightarrow X \ll_{\mathrm{pol}} Y$.

Cela n'empêche qu'il faudra, par la suite, en plus de $\lessgtr$, (ou au lieu de $\lessgtr$), introduire la relation $\lessgtr_{\mathrm{pol}}$ […]

un long trait oblique sépare ce qui précède de ce qui suit.

Je reviens encore sur l'axiomatique basée en termes de Mag 1 : Mag 4, en notant que la connaissance de $\mathring{\ll}$, $|\circ|$ redonne celle de $\ll$ par l'équivalence \[ (*) \qquad X \ll Y \Longleftrightarrow \exists Y',\ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq Y . \] On se demande, dès lors, quand At ⌜une⌝ d'une structure donnée ⌜rel. d'ordre⌝ \[ (\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll}, |\circ|) , \] […] celle-ci provient d'un magasin. Il faut bien examiner les conditions pour que la phrase se poursuit à la page suivante.

29p. 21 de l'auteur.

a)$(\mathcal{M}, \leq, \ll, |\circ|)$, avec $\ll$ défini par $(*)$, soit un magasin, et
b)La relation de recouvrement immédiat dans ce magasin est la relation de départ $\mathring{\ll}$.

Il faut supposer déjà les numéros (1), (2), (3) et (3') de cette page sont cerclés dans le manuscrit, de même que le (d) de la p. 35.

(1) $\leq$, $\mathring{\ll}$ […] ⌜relations⌝ relations d'ordre,

et pour vérifier Mag 1, il reste à vérifier que $X \ll Y$ est une relation d'ordre. Ceci se ramène à la situation (qu'il faut sans doute prendre comme axiome) \[ (2) \qquad X \leq Y \mathrel{\mathring{\ll}} Z \Longrightarrow \text{\struck{$\exists$}}\ \exists Z' \text{ avec } X \mathrel{\mathring{\ll}} Z' \leq Z , \] avec […] l'unicité en $Z'$. Dans le premier cas une variante interlinéaire, sous « avec l'unicité », se lit « unicité si […] […] ».

Mag 2 (2⌜3⌝') si $X \leq Y$ telles qu'il existe $Y'$ avec $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq Y$, alors $Y'$ est unique. inutile

Sous ces conditions, Mag 2 devient automatique, ainsi que le fait que si $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, alors $Y$ […] $X \ll Y' \leq Y \Rightarrow Y' = Y$ (i.e. $X$ est bien défini immédiatement en $Y$, au sens des rel. $\leq$, $\ll$)

Mag 3 reste une condition, (3). Mag 4 aussi.

En résumé, l'axiomatique devient

Mag 1' $X \leq Y$ et $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$ sont des relations d'ordre.

Mag 2'

a)Soient $X, Y$ tels qu'il existe $Y'$, avec $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq Y$. Alors cet $Y'$ est uniquement déterminé.
b)Si $\mathring{\ll}$ $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, alors $\forall X' \in \widetilde{X}$, il existe $Y' \in \widetilde{Y}$ avec $X' \mathrel{\mathring{\ll}} Y'$ (NB $Y'$ unique par a)).

Mag 3', Mag 4' comme Mag 3, Mag 4

Ariadoshi ; relations entre $\leq$ et $\mathring{\ll}$ ; Mag 3' relations entre $\mathring{\ll}$ et $|\circ|$ ; Mag 4' relations entre $\leq$ et $|\circ|$ notes marginales écrites en oblique dans la marge gauche, en regard de Mag 1' – Mag 4'.

Ce n'est pas plus simple ni moins simple que Mag 1 – Mag 4, mais la donnée de $\mathring{\ll}$ paraît la phrase se poursuit à la page suivante.

30p. 22 de l'auteur. plus « primaire » que celle de $\leq$ ⌜et plus « intuitive »⌝, car

1°) Elle est « disjointe » de elle donnée $\leq$, en fait on a \[ (X \leq Y \text{ et } X \mathrel{\mathring{\ll}} Y) \Longleftrightarrow X = Y , \] et et

2°) elle s'exprime plus naturellement dans Mag 3 = Mag 3'. On peut dire […] ⌜aussi⌝ que les axiomes MAG Mag 1' – Mag 4' sont à fonction plus clairement séparées : Je vais les reformuler légèrement. ⌜(Notation intrinsèque des trois relations séparément)⌝

Mag 1' $X \leq Y$ et $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$ sont des relations d'ordre. $X \mathrel{|\circ|} Y$ est une relation symétrique. Antiréflexive.

Mag 2' (Relations entre $\leq$ et $\mathring{\ll}$)

a)Si $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq Y$, $Y'$ est uniquement déterminé par $X, Y$
b)Si $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, alors $\forall X' \in \widetilde{X}$, $\exists Y' \in \widetilde{Y}$ tel que $X' \mathrel{\mathring{\ll}} Y'$.

Mag 3' (Relations entre $\mathring{\ll}$ et $|\circ|$) si $X \mathrel{|\circ|} Y$, $X' \mathrel{\mathring{\ll}} X$, $Y' \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, alors $X' \mathrel{|\circ|} Y'$

Mag 4' (Relations entre $|\circ|$ et $\leq$) Si $X \leq Y$, $X \neq Y$, alors non $X \mathrel{|\circ|} Y$,

Dans la version initiale, en somme, les axiomes […] […] […] : Mag 1 : Mag 4 ; distingue a) b) c) note marginale oblique à gauche des axiomes, séparée d'eux par un trait vertical ; lecture très incertaine.

Décidément, c'est la forme parfaite de définition !

Rappel des principales […] ⌜phases⌝ parcourues depuis quinze semaines, pour le choix des données de base, depuis GF IV p. 52 ([…] 13 juin)

[…], $\mathfrak{F}$, $\leq$, $\curlyeqprec$
$\mathfrak{F}$, $\leq$, $\ll$
$\mathcal{M}$, $\leq$, $\ll$, $\lessgtr$ (retour vers les origines)
$\mathcal{M}$, $\leq$, $\ll$, $|\circ|$ ⌜(ou $\mathcal{M}$, $\leq$, $\ll$, $\|$)⌝ Quand se rendre l'innovation d'avant-hier faisant tomber tous les fouillis des axiomes de compatibilité – disjonction
$\mathcal{M}$, $\leq$, $\mathring{\ll}$, $|\circ|$ aujourd'hui, l'épanouissement intégral !

le premier symbole de la première ligne est un $\leq$ surmonté d'un trait ondulé ; le mot raturé devant lui est illisible. L'ajout « ou $\mathcal{M}, \leq, \ll, \|$ » est relié par un trait à la ligne des $|\circ|$.

31p. 23 de l'auteur. Ce choix d'axiomes de données de base \[ \leq,\ \mathring{\ll},\ |\circ| \] fixe le magasin, pour ainsi dire, par le choix correspondant pour $\mathfrak{F}$ un atelier $\mathfrak{F}$. Seule des trois relations primitives, $\leq$ passe à $\mathfrak{F}$. Donc partant de $\mathfrak{F}$ tout seul des lors pourrait intégral, il vaut mieux prendre $(\mathcal{M}, \mathfrak{F}$ \[ (\mathcal{M}, \mathfrak{F} \mid \lhd, \mathring{\ll}, |\circ|) \] où $\lhd$ « relation d'incidence » entre $\mathcal{M}$ et $\mathfrak{F}$, ⌜et⌝ $\mathring{\ll}$, $|\circ|$ relations dans $\mathcal{M}$ (la relation $\leq$, dans $\mathcal{M}$ ou dans $\mathfrak{F}$ « sortant » de $\lhd$ $\lhd$ ⌜donnée⌝).

Voyons la forme que prennent les axiomes pour un « magasin strictement divisible »* (cf. p. 7). La relation $|\circ|$ est ici redondante, D'ailleurs sur $\mathcal{M}$, on a la donnée (d'une relation $\|$) sur $\mathcal{L}$. D'autre part, en termes de […] $\leq$, $\mathring{\ll}$, on définit $\mathcal{L}$ comme \[ \mathcal{L} = \{ X \in \mathcal{M} \mid X \text{ minimal pour } \leq \text{ et pour } \mathring{\ll} \} . \] D'où données \[ (\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll}, \|) \qquad \text{avec} \]

Mag div 1 $\leq$, $\mathring{\ll}$ sont des relations d'ordre sur $\mathcal{M}$. La relation $\|$ est une relation symét. et antiréflexive sur ⌜l'ens. $\mathcal{L}$ des éléments de $\mathcal{L}$⌝ minimaux pour $\leq$ et $\mathring{\ll}$.

Mag div 2 Comme Mag 2' p. 9 précédente.

Mag div 3 Si $X \leq Y$, $X \neq Y$, $x \mathrel{\mathring{\ll}} X$, $y \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, $x, y \in \mathcal{L}$, alors $x \| y$. […] l'ajout interlinéaire de Mag div 1 se lit mal ; la lecture « l'ens. $\mathcal{L}$ des éléments » est conjecturale. Le renvoi « p. 9 » est peut-être « p. précédente » seul, la page précédente portant Mag 2'.

* Magasins où l'un des trois derniers […] On retrouve $X \mathrel{|\circ|} Y$ […] : $X \mathrel{|\circ|} Y \Leftrightarrow \forall x \mathrel{\mathring{\ll}} X$, $y \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, $x \| y$ deux notes marginales obliques, à gauche ; la seconde est reliée à Mag div 3.

32p. 24 de l'auteur (le chiffre est récrit sur un autre). Cas quasi-ensembliste où la relation $x \| y$ équivaut à $x \neq y$. Données $(\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll})$, avec axiomes

Mag quens 1 $\leq$ et $\mathring{\ll}$ sont des relations d'ordre

Mag quens 2 Comme Mag 2' p. 21

Mag quens 3 $\forall X \in \mathcal{M}$, $\exists x \in \mathcal{L}$, avec $x \mathrel{\mathring{\ll}} \mathcal{M}$. lire sans doute $x \mathrel{\mathring{\ll}} X$ ; la page porte bien un $M$ majuscule.

On retrouve $X \mathrel{|\circ|} Y$ par […] : $X \mathrel{|\circ|} Y \Leftrightarrow \mathrm{Omb}^{\circ}(X) \cap \mathrm{Omb}^{\circ}(Y) = \emptyset$, où $\mathrm{Omb}^{\circ}(Z) = \{ x \in \mathcal{L} \mid x \mathrel{\mathring{\ll}} Z \}$ note marginale oblique dans l'angle supérieur gauche ; la lecture des ensembles $\mathrm{Omb}^{\circ}$ est incertaine.

Enfin, les magasins ensemblistes (les seuls ici examinés auxquels jusque aient travaillé vraiment moi !) sont réduits à la structure de la p. 9, à laquelle je n'ai rien à ajouter, sinon pour expliciter les structures $\leq$, $\ll$ comme induite par les structures ensemblistes correspondantes dans $\mathrm{Fig}(\mathcal{L})$, et la […] relation \[ X \mathrel{|\circ|} Y \Longleftrightarrow X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset \] où $X^{\circ} = X \setminus \partial X$, $Y^{\circ} = Y \setminus \partial Y$, constructions ensemblistes habituelles.

Mag 1 – 4 (p. 22) Mag L 1, L 2, (p. 6.7) Mag at (p. 10) : pour des « […] magasins »
Mag At 1 – 5 (p. 11, 12) At 1 – At 5 + Mag 1 – 4 ⌜4⌝ — ateliers
(p. 13, 14) At M 1 – At M 5 + Mag 1 – 4 — mixtes
(p. 23) Mag div 1 – 3 (en lieu de Mag 1 – 4, + L 2) — magasins
Mag quens 1 – 3 (p. 24)
Mag ens 1 – 2 (p. 9)
Variante polyidéale Mag 1 – 4 + Mag pol (+ Mag at pol) (pages 15 – 19) ! Voir aussi Mag 1', Mag 2' p. 30, 31

récapitulatif des systèmes d'axiomes, en bas de page ; les renvois aux pages sont ceux de l'auteur. Deux traits horizontaux à droite des trois dernières lignes restent sans libellé. Un long trait courbe relie « Mag at » à « Mag 1 – 4, + L 2 ». Au lieu de « p. 30, 31 », la page porte peut-être « p. 31, 33 » récrit.

33p. 25 de l'auteur. Magasins triviaux. Déf : Un magasin est dit « trivial » si $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Leftrightarrow X = Y$, et si $X \mathrel{|\circ|} Y \Leftrightarrow X \neq Y$, donc la seule donnée qui reste à déterminer est $X \leq Y$. Mais on vérifie ⌜trivialement⌝ que pour tout ens. ordonné $(\mathcal{M}, \leq)$, si on prend $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y$ \[ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} X = Y , \qquad X \mathrel{|\circ|} Y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} X \neq Y , \] on trouve ⌜que⌝ une structure de magasin. Ce magasin ne satisfait Mag L 1 que si […] $\mathcal{L} =$ ens. des éléments minimaux ⌜qui est il⌝ […] On a : \[ \begin{array}{lll} X \ll Y & \Longleftrightarrow & X \leq Y \\ X \lessgtr Y & & \text{toujours satisfait} \\ X \| Y & \text{ssi} & \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset \text{ i.e. } \{X, Y\} \text{ pas minoré.} \end{array} \] $\mathcal{L}$ = ens. des éléments minimaux de $X$ \[ \begin{array}{l} \mathrm{omb}(X) = \{ x \in \mathcal{L} \mid x \leq X \} \\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} = \text{\struck{$\{ x \in \mathcal{L} \mid x < X \}$}} \end{array} \left\{ \begin{array}{ll} \emptyset & \text{si } X \notin \mathcal{L} \\ \mathrm{omb}(X) = \{X\} & \text{si } X \in \mathcal{L} \end{array} \right. \] Donc la condition Mag L 1, i.e. $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$ $\forall X$, signifie que tout $X$ est minimal i.e. la relation d'ordre est discrète. On voit donc qu'un magasin trivial ne satisfait jamais Mag L 1, et même guère Mag L 2 — sauf s'il est discret-trivial ($X \leq Y \Leftrightarrow X = Y$).

NB Conditions équivalentes pour un magasin $\mathcal{M}$ : (i) […] (ii) […] (iii) $X \neq Y \Rightarrow$ […] $\mathrm{Fig}(\mathcal{M})$ […] (iv) $\mathcal{M} \in \mathrm{Fig}$ […] (v) $X \neq Y \Rightarrow X \mathrel{|\circ|} Y$ […] […] ; Ces conditions […] […] (vi) $X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Rightarrow X = Y$ (vii) $X \ll Y \Rightarrow X \leq Y$ […] […] magasins […] […] triviaux […] deux blocs de notes marginales très serrées, écrits en oblique dans la marge gauche sur la moitié inférieure de la page, et numérotés (i) à (vii) ; seuls quelques fragments s'en lisent, rendus ici sans garantie d'ordre.

Figure indexée par un ens. ordonné $I$ : figure $F$, avec donnée d'un ordonné \[ I \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{F}, \qquad i \longmapsto X_{i} \] l'argument se poursuit à la page suivante. Un symbole biffé précède $I$.

34p. 26 de l'auteur. Ainsi, une figure indexée ⌜par $I$⌝, définit une application \[ \varphi : I \longrightarrow \mathcal{M} \] qui est croissante pour $\leq$ sur $\mathcal{M}$, Quelle est $F$ est déterminé par $\varphi$ […] avec \[ \widetilde{F} = \varphi(I) . \] Quelles conditions sur $\varphi$, pour que ça corresponde bien à une figure indexée ? Il faut

a)$\varphi$ injectif, et une isom. ⌜induisant⌝ un isom. d'ens. ordonnés $I \simeq \varphi(I)$

b)$\varphi(I)$ est une figure. […] dès que […] signifie deux choses

1°)$\forall i, j \in I$, $X_{i} \lessgtr X_{j}$ i.e. et
2°)$\varphi(I)$ est une partie fermée de $\mathcal{M}$.

La première condition revient à celle-ci ; qui englobe aussi

b)$\forall i \in I$, $\varphi \mid I_{\leq i} : I_{\leq i} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{X}_{i}$
c)Si $i \neq j$, $X_{i} \mathrel{|\circ|} X_{j}$

la condition c) est écrite telle quelle ; elle est corrigée dans la proposition qui suit.

En d'autres termes, à dire $X \to X_{i}$,

Proposition. Pour que $\varphi : I \to \mathcal{M}$, ⌜définisse une figure indexée par $I$,⌝ il faut et il suffit que

a)$\varphi$ injectif croissante (dans $\mathcal{M}$, $\leq$) et injection.
b)$\forall i \in I$, l'application induite \[ \widetilde{i} = I_{\leq i} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{X}_{i} = \mathcal{M}_{\leq X_{i}} \] soit bijective ⌜bijection⌝ ([…] […]) (cette […] ensembles ordonnés) $=$ un isom. d'ensembles ordonnés)
c)Si $i \neq j$ ⌜(i.e. $i \mathrel{|\circ|} j$ pour la structure de magasin triviale sur $I$ !)⌝ on a $X_{i} \mathrel{|\circ|} X_{j}$

la proposition est marquée d'un trait vertical en marge ; dans b), la mention biffée sous la flèche n'est pas lisible.

35p. 27 de l'auteur. En effet, b) implique déjà que $\varphi(I)$ est fermé. Il reste : prouver que $i \neq j \Rightarrow$ […] $X_{i}$ pour $i, j \in I$, i.e. $X_{i} \lessgtr X_{j}$. Donc que \[ X' \in \widetilde{X}_{i} \setminus \widetilde{X}_{i} \cap \widetilde{X}_{j},\ Y' \in \widetilde{X}_{j} \setminus \widetilde{X}_{i} \cap \widetilde{X}_{j} \Longrightarrow X' \mathrel{|\circ|} Y' . \] Or par b) on a […] $X' = X_{i'}$, avec $i' \leq i$, idem pour $Y' = X_{j'}$, avec $j' \leq j$, d'ailleurs comme $X' \neq Y'$, on a $i' \neq j'$ par a). Donc on a $X_{i'} \mathrel{|\circ|} X_{j'}$ par c), qed.

Morphismes de […] Variantes polyidéales

On suppose maintenant l'ens. ordonné $I$ polyidéal. On veut se borner aux figures polyidéales. […] Les deux […] n'y pas à rien faire ; […] à vrai […]tiquement, puisque la condition polyidéale sur une figure se lit sur le magasin $\widetilde{F}$, et signifie juste que celle-ci est un ens. ordonné polyidéal. la première phrase de ce paragraphe se lit mal ; le symbole biffé devant $\widetilde{F}$ est illisible.

Morphismes de magasins $\varphi : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'$ :

application telle que si $X, Y \in \mathcal{M}$, $X' = \varphi(X)$, $Y' = \varphi(Y)$, on ait

a)$X \leq Y \Longrightarrow X' \leq Y'$
b)$X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Longrightarrow X' \mathrel{\mathring{\ll}} Y'$
c)$X \mathrel{|\circ|} Y \Longrightarrow X' \mathrel{|\circ|} Y'$ [+ (d) plus loin peut-être.]

$\varphi$ croissante pour $\leq$, $\mathring{\ll}$ (donc aussi pour $\ll$) (Est-ce trop exigeant ??) Ça semble raisonnable dans le cas d'un plongement de magasins seulement. On peut se demander si $X \lessgtr Y \Longrightarrow X' \lessgtr Y'$, ce qui est moins exigeant… remarque écrite à droite des conditions a) – c) et au-dessous ; une variante biffée de « $\Longrightarrow$ » est récrite.

on en conclut \[ X \ll Y \Longrightarrow X' \ll Y' \] avec aussi \[ X \lessgtr Y \overset{?}{\Longrightarrow} X' \lessgtr Y' , \qquad X \| Y \overset{?}{\Longrightarrow} X' \lessgtr Y' \] les deux dernières implications portent un point d'interrogation au-dessus de la flèche ; la seconde a bien $\lessgtr$ à droite, comme la première.

Peut-être on […] […] […] […] […] […] par […] […] […] plus […] […] ! Mais […] […] […] […] […] […] […] note marginale oblique, en bas à gauche de la page, presque entièrement illisible.

NB Si $\mathcal{M}$ est un magasin trivial, ces conditions signifient que $\varphi$ injective… la dernière note, en pied de page, s'interrompt au bord de la feuille.

36p. 28 de l'auteur. Il semble qu'il manque une condition pour […] […] deux lignes encadrées et hachurées en tête de page. Il semble qu'on ait besoin aussi de la condition

d)$\forall X \in \mathcal{M}$, $\varphi$ induit une bijection \[ \widetilde{X} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{X}' \qquad \text{où } X' = \varphi(X) . \]

11.7.86 Cette condition d) devrait peut-être être […] : en fait […] […] […] […] […] jamais […] note marginale oblique dans la marge gauche, en regard de d) ; la date se lit « 11.7.86 », postérieure à la fourchette du dossier, ou peut-être « 1.7.86 ».

Corollaire 1. Les conditions a), c), d) impliquent que $\forall F \in \mathrm{Fig}(\mathcal{M})$, on a $\varphi(F) \in \mathrm{Fig}(\mathcal{M}')$, et $\varphi \mid F$ est injective ⌜(indexé par $I = \widetilde{F}$)⌝ et est un isom. d'ens. ordonnés. Immédiat par la proposition précédente, si $\varphi$ est injective. Dans le cas général, Il suffit de vérifier que $\varphi \mid F$ est injective. Mais si $X, Y \in F$, et $X \neq Y$, on a $X \mathrel{|\circ|} Y$, donc $\varphi(X) \mathrel{|\circ|} \varphi(Y)$ par c), donc $\varphi(X) \neq \varphi(Y)$ OK ! M […] que (C'est la propr. qui montre en plus que $\varphi$ est un isom. ordonné…)

Corollaire 2. Si $X \lessgtr Y$ Si $X' = \varphi(X)$, $Y' = \varphi(Y)$ \[ X \lessgtr Y \Longrightarrow X' \lessgtr Y' , \qquad X \| Y \Longrightarrow X' \| Y' . \] En effet, $X \lessgtr Y$ signifie que $X, Y$ font partie d'une figure $F$, et on applique cor. 1. Plus Si $X \| Y$, $X'$ […] […] $\mathrm{Inf}(X, Y)$

précisément

Cor. 3. Soient $F$ figure dans $\mathcal{M}$. Alors pour $X, Y \in \widetilde{F}$, et $X' = \varphi(X)$, $Y' = \varphi(Y)$, on a \[ \begin{array}{l} \text{\struck{$X \lessgtr Y \Longleftrightarrow X' \lessgtr Y'$}} \\ \text{\struck{$X \| Y$}} \\ X \leq Y \Longleftrightarrow X' \leq Y' \\ \text{\struck{$X \ill{}$}} \\ X \| Y \Longleftrightarrow X' \| Y' \end{array} \] La généralisation aux deux figures quelconques de $F$ le symbole biffé de l'avant-dernière ligne est noirci ; un astérisque suit le tableau.

La première équivalence provient déjà vue (cor. 1). La deuxième provient du fait que $X \| Y$ $\{X, Y\}$ non […] […] dans l'ens. ordonné $I = F$ signifie $\{X, Y\}$ non minoré) auquel est isom. $I' = \varphi(I)$. les dernières lignes se lisent mal ; l'ordre des mots y est incertain.

37p. 29 de l'auteur. Cor. 4. Soient $F, G \in \mathrm{Fig}(\mathcal{M})$, avec $F \lessgtr G$. Alors soient $F' = \varphi(F)$, et $G' = \varphi(G)$, on a \[ F' \lessgtr G' , \quad \varphi(F \cup G) = \varphi(F) \cup \varphi(G) , \quad \varphi(F \cap G) = \varphi(F) \cap \varphi(G) \] Dém. On applique cor. 1 à $F \cup G$.

Cor. 5. Si $F \ll G$, alors $\underset{F'}{\varphi(F)} \ll \underset{G'}{\varphi(G)}$, et on a commutativité de

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \widetilde{F} \arrow[r] \arrow[d, "\varphi"'] & \widetilde{G} \arrow[d, "\varphi"] \\
  \widetilde{F}' \arrow[r] & \widetilde{G}'
\end{tikzcd}

Cor. 6. Compatibilité de $\varphi$ avec l'opération des affinements induit sur les figures.

Je n'ai pas l'impression d'avoir bien saisi le rôle exact de l'hypothèse c), qui semble très forte. Dans le cas d'une opération d'image inverse […] par une application ensembliste, elle semble supposer que cette dernière est surjective. Mais dans ce cas, $\varphi$ ⌜serait⌝ est injection, ce qui n'est pas du tout le cas en général, […] […]

?? on devrait plutôt supposer […] […] que $\varphi(X) \mathrel{|\circ|} \varphi(Y) \Rightarrow X \mathrel{|\circ|} Y$ note marginale oblique en bas à gauche ; une double flèche la relie au texte.

Exemple. 1) Considérons l'application \[ \mathcal{M} \longrightarrow \text{Figél}(\mathcal{M}) \qquad X \longmapsto \mathrm{Multombs}(X) \] ⌜figures ensemblistes ici élémentaires⌝ C'est un plongement compatible pour $\leq$, $\ll$, $\lessgtr$, qu'en est-il pour $|\circ|$ ? On a \[ \begin{array}{l} |\mathrm{Multombs}(X)| = \mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X} \\ |\mathrm{Multombs}(X)|^{\circ} = \mathrm{Omb}^{\circ}(X) = \mathcal{M}_{\mathring{\ll} X} \end{array} \] les noms « Figél » et « Multombs » sont des lectures incertaines de mots abrégés (figures élémentaires, multi-ombres ?) ; le premier porte un « él » récrit, et l'ajout « figures ensemblistes ici élémentaires » est écrit au-dessous, en partie biffé.

38p. 30 de l'auteur. donc \[ \text{\struck{$\mathrm{Multombs}(X) \mathrel{|\circ|} \mathrm{Multombs}(Y) \Longleftrightarrow$}} \] \[ \begin{array}{rl} \mathrm{Multombs}(X) \mathrel{|\circ|} \mathrm{Multombs}(Y) & \Longleftrightarrow \mathrm{Omb}^{\circ}(X) \cap \mathrm{Omb}^{\circ}(Y) = \emptyset \\ & \Longleftrightarrow \nexists Z \in \mathcal{M}, \text{ avec } Z \mathrel{\mathring{\ll}} X,\ Z \mathrel{\mathring{\ll}} Y . \end{array} \] avant $\mathrm{Omb}^{\circ}(X)$, un premier essai $\mathcal{M}_{\mathring{\ll} X}$ est biffé ; à gauche de la seconde ligne, « i.e. […] » est biffé.

Est-ce On a bien \[ X \mathrel{|\circ|} Y \Longrightarrow \mathrm{Multombs}(X) \mathrel{|\circ|} \mathrm{Multombs}(Y) \] i.e. $\{X, Y\}$ pas minoré dans $\mathcal{M}$, $\mathring{\ll}$. Car si on avait $Z \mathrel{\mathring{\ll}} X$, $Z \mathrel{\mathring{\ll}} Y$, on aurait $Z \mathrel{|\circ|} Z$ par Mag 3 b), absurde par Mag 3 a). une ligne fine relie un $|\circ|$ écrit en marge au signe barré dans « $Z \mathrel{|\circ|} Z$ », écrit d'abord $Z \mathrel{\mathring{\ll}} Z$ ; le passage est encadré.

Mais l'inverse est-il tjrs vrai i.e. $X \mathrel{|\circ|} Y$ peut-il s'exprimer en termes de la relation d'ordre $\mathring{\ll}$ ?

Ça ne marche […] […] C'est OK dans […] Mais notons que si $x, y \in \mathcal{L}$, $x \neq y$, alors $\{x, y\}$ n'est pas minoré dans $\mathcal{M}$ pour $\mathring{\ll}$, mais on n'aura pas pour autant, en général, $x \mathrel{|\circ|} y$ i.e. $x \| y$ ! (Même dans le cas des magasins divisibles.)

Donc le fait que $|\circ|$ soit induit par $\mathring{\ll}$ s'exprime : une hypothèse de nature « quasi-ensembliste », mais sans référence particulière aux lieux.

39p. 31 de l'auteur. On peut dès lors se demander quels axiomes mettre sur $(\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll})$, pour que la relation \[ (*) \qquad X \mathrel{|\circ|} Y \Longleftrightarrow \{X, Y\} \text{ non minoré dans } \mathcal{M}_{\mathring{\ll}} \] donne, avec $\leq$, $\mathring{\ll}$, un magasin. Les axiomes Mag 1, Mag 2 (p. 22), on a mis avec les ${}'$) sont clairs, Mag 3' […] pour $\ll$, $\mathring{\ll}$, et Mag 3' est automatique. Mag 4' résulte de Mag 2' a) ! […] […]. la fin de la ligne biffée porte « Mag 2' a) ! », le 2 récrit sur un autre chiffre.

Autrement

Proposition. Les magasins $(\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll})$ (avec $|\circ|$ définissable par […] ci-dessus) sont caractérisés par les conditions :

Mag 1' $\leq$, $\mathring{\ll}$ des relations d'ordre
Mag 2' Comme dans le magasin p. 22.

Mag 3' […] […], […] $\mathring{\ll}$ […], $Y$ la proposition est marquée d'un trait vertical en marge ; la ligne Mag 3' qui la suivait est rayée de hachures.

C'est pratiquement aussi simple que le cas ensembliste (p. 9) ! Il n'y a pas à mettre en fait d'axiome Mag quens, comme page 24. Finalement, on a une hiérarchie de structures de plus en plus particulières, des notions de magasins : \[ \begin{array}{lll} \text{Magasins généraux} & \leq,\ \mathring{\ll},\ |\circ| & \text{Mag 1 -- Mag 4} \\ \text{Magasins} & \leq,\ \mathring{\ll} & \text{Mag 1', Mag 2' = Mag 2} \ (\text{p.~22}) \ (\text{\uncertain{cette} page}) \\ \text{Magasins quasi-ensemblistes} & & \text{Mag 1', Mag 2', Mag 3'} \ (\text{p.~24}) \\ \text{Magasins ensemblistes} & & \text{Magens 1, Magens 2} \ (\text{p.~9}) \end{array} \] Mettre un bon principe ; et c'est là un bon principe les quatre lignes sont reliées par des doubles flèches verticales $\Uparrow$ ; à gauche, deux accolades portent la note marginale.

On sera amené aussi à regarder les magasins d'autres structures (qui interviennent entre les magasins généraux et les ensemblistes…) qui auront $\leq$, $|\circ|$, […] la dernière phrase, serrée en pied de page et récrite entre les lignes, est d'ordre incertain.

40p. 32 de l'auteur. Exemple 2. Considérons l'application \[ \varphi : \mathcal{M} \longrightarrow \text{Figél}(\mathcal{L}) \qquad X \longmapsto \mathrm{multombs}(X) \] […] […] que […] (comme […] à valeurs dans $\text{Figél}$) Ce n'est défini (que si on suppose que) Mag L 1, i.e. $\forall X \in \mathcal{M}$, $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$.

Dans ce cas, on a bien \[ \begin{array}{l} \text{\struck{$X \mathrel{|\circ|} Y \Longrightarrow \mathrm{omb}(X)$}} \\ |\mathrm{multombs}(X)| = \mathrm{omb}(X) \\ |\mathrm{multombs}(X)|^{\circ} = \mathrm{omb}(X)^{\circ} \end{array} \] et \[ \mathrm{multombs}(X) \mathrel{|\circ|} \mathrm{multombs}(Y) \Longleftrightarrow \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)^{\circ} = \emptyset \] Donc on a bien \[ X \mathrel{|\circ|} Y \Longrightarrow \mathrm{multombs}(X) \mathrel{|\circ|} \mathrm{multombs}(Y) . \]

[…] […] […] Ces deux exemples nous montrent un peu mieux que la notion de comorphismes donnée à la p. 27, n'est pas trop idiote (même s'il convient sans doute de la généraliser). Troisième exemple :

Exemple 3. $f : E' \to E$ application ensembliste surjective. Elle induit un comorphisme injectif des magasins ensemblistes associés \[ \text{Figél}(E) \longrightarrow \text{Figél}(E') \] l'exemple 3 est marqué d'un trait vertical en marge ; $E'$ est récrit sur une autre lettre, et « surjective », « injectif » sont des lectures incertaines. L'argument se poursuit au-delà de la fin du lot.

Morphismes de […] Variantes polyidéales

Morphismes de magasins \(\varphi : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) :