Fonds Grothendieck, cote n° 156-8, pages 1–20

GF VIII

intitulé porté de sa main sur la couverture (p. 1), avec, plus bas : « Voir page 46 Déf de magasins ». « GF » est le sigle qu'il porte en tête des feuillets de cette série.

page-tableau : une hiérarchie des types de magasins, reliés par des traits. Le schéma ci-dessous reprend les traits du feuillet (sans flèches : la page ne trace que des traits) ; le contenu de chaque case est transcrit ensuite. En haut à droite : « GF VIII ».

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \text{Magasins généraux} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\ \text{Magasins locaux} \arrow[dr, no head] & & \text{Magasins fidèles} \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head] \\ & \text{Magasins ponctuaires} \arrow[d, no head] & \text{Maquettes} \\ & \text{Magasins ensemblistes} \arrow[d, no head] & \\ & \text{Magasins ensemblistes modérés} & \end{tikzcd}

Magasins généraux : \mathcal{M}, \leq, \ll, |\circ| ; Mag 1 – Mag 4 (p. 22). \Sigma_{\mathcal{M}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}).

Magasins locaux : \mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll}, |\circ|_{L} ; Magloc 1 – Magloc 3 (p. 23). (A, B \in \Sigma_{\mathcal{M}}, A \cap B = \emptyset \not\Rightarrow A |\circ| B)la flèche paraît barrée ; lecture du barrement incertaine. \Sigma_{\mathcal{M}} \subset \mathfrak{P}(L) (cette inclusion ne commutant pas néc. à A \cap B ni à \bigcup (?), et aucun \mathrm{Sup}(A,B) ).

NB Un magasin « local » i.e. qui se réfère à des voisinages particuliers dévolus aux lieux.

Magasins (à ombres) fidèles : \mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll} ; Magfid 1 – Magfid 2 (p. 31). [X \mapsto \mathrm{Omb}^{\circ}(X) ~~fonction~~ fonction support fidèle. A, B \in \Sigma_{\mathcal{M}}, A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A |\circ| B.]

Magasins ~~ponctuels~~ ponctuaires : \mathcal{M}, \leq, \ll ; Mag ponc 1-3 (p. 24). \Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(L).

NB Un lieu x \in L est dit « ponctuel » ou « un point » de \mathcal{M}, si \forall X \in \mathcal{M}, x |\circ| X \Leftrightarrow x \notin \mathrm{Omb}^{\circ}(X) (cela entraîne, si y \in \mathcal{M}, x |\circ| y \Leftrightarrow x \neq y). Les mag. « ponctuels » sont locaux dont tous les lieux sont ponctuels. Ce sont les seuls magasins qui correspondent plus ou moins communément admis pour « la topologie ».

Maquettes : \mathcal{M}, \leq ; Maq 1 : \leq rel. d'ordre (p. 25). \Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(\mathcal{M}). (NB Une maquette ultra associée à un espace ~~top.~~ satisfaisant l'axiome de séparation T_0, n'est un magasin ponctuaire que si elle est discrète.)

Magasins ensemblistes : L, \mathcal{M} \subset \mathrm{Figél}(L) ; Magens 1, Magens 2 (p. 9).

Magasins ensemblistes modérés : L, \mathcal{M} \subset \mathrm{Figél}(L) ; Magens 1 – Magens 3.

Correspondent à des « topologies modérées », qui n'ont été développées à présent que pour la seule structure linéaire par morceaux sur \mathbb{R}.

NB Il y a des magasins modérés non ensemblistes, p.ex. les maquettes.

NB Je préfère finalement, dans \mathcal{M}, noter \trianglelefteq la relation d'incidence, et noter de même la relation d'incidence entre \mathcal{M} et \mathcal{F}. La notation \lhd sera l'incidence stricte. La relation d'inclusion entre figures sera notée \subseteq, où il y a confusion à craindre, (inclusion des figures). Je noterai \overset{s}{\trianglelefteq} pour les subdivisions ?les symboles de cette dernière note sont surchargés ; lecture de \overset{s}{\trianglelefteq} incertaine.

Multistructures orientées – magasins orientés

Données d'un magasin orienté : a : \mathcal{M},\ \underset{\text{incidence immédiate}}{\lhd},\ \mathring{\ll},\ |\circ|,\ \underset{\text{involution sans pt fixe}}{X \mapsto X^{-}},\ \mathcal{M}_0^{+} sous X \mapsto X^{-} est ajouté : « multistr. orientée opposée » ; après \mathcal{M}_0^{+} un mot biffé.

Magor. 1 a) \lhd antiréflexive. Le préordre strict engendré \leq (X < Y ssi \exists\, X_0 = X \lhd X_1 \lhd \cdots \lhd X_{n-1} \lhd X_n = Y) est un ordre strict (pas de chaînes fermées, i.e. on ne peut avoir X < X). Il satisfait la condition des chaînes, ~~tout élément est de dim finie, et les éléments minimaux~~ (en particulier, tout X \in \mathcal{M} de dim finie pour \leq).

(b) donnée de \lhd ainsi revient à donner une relation d'ordre satisfaisant la cond. des chaînes descendantes.

b) \mathring{\ll} relation d'ordre.

c) |\circ| ~~symétrique~~ antiréflexive.

d) X \mapsto X^{-}, involution sans pt fixe.

e) \mathcal{M}_0^{+} est une partie de \mathcal{M}.

(Magor 1' a), (a) X \lhd Y \Rightarrow X^{-} \lhd Y^{-},

b) X \mathring{\ll} Y \Rightarrow X^{-} \mathring{\ll} Y^{-}

c) X |\circ| Y \Rightarrow X^{-} |\circ| Y.

NB On n'a pas « X \lhd Y » ou X \lhd Y'. en marge de Magor 1', une petite boucle d'un point x à Y.

Magor 2 a) Si X, Y tels que \exists\, Y', X \mathring{\ll} Y' \leq Y, alors Y' unique.

b) Si X \mathring{\ll} Y, et X' \lhd X, \exists\, Y' \lhd Y X' \ll Y'.

Magor 3 Si X |\circ| Y, et X' \mathring{\ll} X, Y' \mathring{\ll} Y, X' |\circ| Y'.

Magor 4 Si X < Y, alors X |\circ| Y.

Magor 6une flèche reporte Magor 6 et Magor 5 avant Magor 4 ; son point d'arrivée exact est incertain. a) Soient X Z < X, \mathrm{codim}(Z,X) = 2. Alors il n'existe qu'un seul Y^{\sharp}, avec Z \lhd Y^{\sharp} \lhd X, et de plus il existe Y^{\flat} avec Z^{-} \lhd Y^{\flat} \lhd X^{-}.

b) Soit X avec \dim X = 1. Alors il ~~existe~~ existe un seul x \in \mathcal{M}_0^{+}, x \lhd X (i.e. x = \mathcal{M}_0).

Magor 5 a) x \in \mathcal{M}_0^{+} \Rightarrow \mathrm{codim}\, x = 0, i.e. \nexists\, y avec y \lhd x.

b) On a \mathcal{M}_0 = \mathcal{M}_0^{+} \amalg a(\mathcal{M}_0^{+}), i.e. x \in \mathcal{M}_0^{+} \Rightarrow x^{-} \notin \mathcal{M}_0^{+}, et \forall x \in \mathcal{M}_0, on a x \in \mathcal{M}_0^{+} ou x^{-} \in \mathcal{M}_0^{+}.

Maquettes orientées : quand X \mathring{\ll} Y \Rightarrow X = Y, X |\circ| Y \Leftrightarrow X \neq Y.

Ex Les systèmes de \mathcal{M} sont de dim \leq 1, \mathring{\ll} = \mathrm{id}, x |\circ| y \Leftrightarrow x \neq y. ~~\mathcal{M} = \mathcal{M}_0^{+}~~ On pose \mathcal{M}_0^{+} = S (« sommets »), \mathcal{M}_1 = A (« arêtes orientées »). On a involution sans points fixes a sur A. Magor 5 A \xrightarrow{\;o\;} S [ application].

Les maquettes orientées de dim \leq 1 \lhd (« les graphes »).

NB Cette structure par une maquette, arêtes des maquettes.

Cas de dim 2 , on trouve la description des cellulaires combinatoires de dim \leq 2.

la suite de la mouture orientée ne vient pas ; la page 7 reprend tout à neuf.

la numérotation des archivistes portée au crayon saute le 7 : ce feuillet porte « 8 », et le décalage d'une unité se maintient jusqu'au dernier feuillet du lot, qui porte « 21 ». On suit ici le rang du feuillet dans le lot. Il numérote « 1 » ; en haut à droite, « GF VIII ». En marge : « 26 juin 86 ».

Analysis Situs (quatrième mouture)

I Récapitulation en termes de « magasins ». Je reprends le formalisme algébrique d'une « algèbre en multistructures », ou « magasin » (de multistructures, magasin « fournisseur » de « »). La structure est celle d'un ens. \mathcal{M} avec trois relations \leq,\quad \ll,\quad |\circ| satisfaisant (cf GF VII, p. 110) :

Mag 1 a) X \leq Y et X \ll Y sont des relations d'ordre, et b) X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y . Si X \in \mathcal{M}, on pose \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} = \{ Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \}.

Mag 2 \forall X, Y avec X \ll Y, l'ens \widetilde{Y}^{X} = \{ Z \in \widetilde{Y} \mid X \ll Z \} admet un plus petit élément. On écrit X \mathring{\ll} Y quand cet élément minimal est Y lui-même, i.e. \widetilde{Y}^{X} = \{Y\}.

Mag 3 ⓐ X |\circ| Y est symétrique et antiréflexive, i.e. X |\circ| Y implique Y |\circ| X et X \neq Y. ⓑ De plus X |\circ| Y,\ X' \mathring{\ll} X,\ Y' \mathring{\ll} Y \Longrightarrow X' |\circ| Y' .

Mag 4 Si Y, Z \leq X, ~~alors~~ Y \neq Z, on a Y |\circ| Z.

NB Cela assouplit légèrement l'ancien At 2.

Définitions Pour X, Y \in \mathcal{M}, on pose il écrit une relation formée de \leq et \geq superposés ; on la note ici \lessgtr. \begin{aligned} X \lessgtr Y &\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \forall X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ \text{on a } X' |\circ| Y' \\ X \parallel Y &\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \forall X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y},\ \text{on a } X' |\circ| Y' . \end{aligned} Donc X \parallel Y \Longleftrightarrow X \lessgtr Y,\ \text{et } \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset (i.e. \{X, Y\} non minoré pour \leq).

il numérote « 2 », avec en tête « (inconditionnelle) », lecture incertaine. On appelle figures (du magasin, un élément de l'ens) \mathcal{F}_{\mathcal{M}} = \{ \mathfrak{F} \subset \mathcal{M} \mid \mathfrak{F} \text{ fermé dans } \mathcal{M} \text{ pour } \leq, \text{ et } \forall X, Y \in \mathfrak{F},\ \text{on a } X \lessgtr Y \} L'ens \mathcal{F}_{\mathcal{M}} est l'ensemble des « figures inconditionnelles » (ou « figures » tout court) du magasin. On sera amené, à l'occasion, de faire sur les figures envisagées deux types possibles de restriction :

1°) Conditions du type « finitude » ou « local finitude ».

2°) Condition ~~restrictive~~ « polyédrale » : si X, Y \in \mathfrak{F}, et \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \neq \emptyset, on ~~veut~~ veut qu'il ~~\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}~~ admette un plus grand élément, i.e. soit de la forme \widetilde{Z}, ou encore que \mathrm{Inf}(X,Y) existe.

Voir pages 1bis, 2bis, à mettre avant les sorites sur figures.

\mathcal{F}_{\mathcal{M}} sera appelé l'édition maximale associée au magasin \mathcal{M}.

On étend : les relations d'ordre \leq et \ll de \mathcal{M} (en plongeant \mathcal{M} dans \mathcal{F} via les « figures élémentaires » \widetilde{X}, X \in \mathcal{M} \mathcal{M} \hookrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{M}},\qquad X \mapsto \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} est injective et permet de l'identifier , \mathcal{F}_{\mathcal{M}} figures élémentaires, X \in \mathcal{M} : la figure élémentaire associée ) F \leq G \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} F \subset G NB Le Sup dans \mathcal{F} pour \leq est \bigcup dans \mathfrak{P}(\mathcal{M}), le Inf \bigcap. \begin{aligned} F \ll G &\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \forall X \in \widetilde{F},\ \exists\, Y \in \widetilde{G},\ \text{avec } X \ll Y \\ F \lessgtr G &\Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\ \text{on a } X \lessgtr Y \\ &\Longleftrightarrow \{F, G\} \text{ majoré dans } \mathcal{F} \\ &\Longleftrightarrow \mathrm{Sup}(F,G) \text{ existe dans } \mathcal{F} \\ &\Longleftrightarrow F \cup G \in \mathcal{F} \end{aligned} après « existe dans \mathcal{F} », un mot biffé.

on identifie les figures d'une figure de \mathcal{F}_{\mathcal{M}}, et pour une figure F de \mathcal{F}_{\mathcal{M}} à une partie, on identifie F à \widetilde{F} = \{ X \in \mathcal{M} (\subset \mathcal{F}) \mid X \leq F \}.

il numérote « 1bis » ; en marge : « 27 juin ». Avant de passer aux figures, il faudrait donner quelques compléments sur \mathcal{M} lui-même.

~~Prop Si Y \mathring{\ll} X et Y \mathring{\ll} X', alors X \lessgtr X'.~~

~~Prop Supposons X \lessgtr Y. Si Z \mathring{\ll} X, alors~~ \text{\struck{$Z \ll Y \Longleftrightarrow X \ll Y$.}} ~~Dém \Leftarrow trivial, prouvons \Rightarrow. Par Mag 2, \exists\, Y' avec Z \mathring{\ll} Y' \leq Y~~

~~Prop 1 Si X' \leq X, Y' \leq Y, alors X \lessgtr Y \Rightarrow X' \lessgtr Y'~~ ces trois débuts sont biffés de traits obliques ; le dernier est encadré.

Prop 1_0 a) X \lessgtr Y est symétrique et réflexive

b) Si X' \leq X, Y' \leq Y, alors X \lessgtr Y \Rightarrow X' \lessgtr Y'.

Dém. a) ~~symétrique~~ triviale par Mag 3 ⓐ.

b) Soit X'' \in \widetilde{X'} \smallsetminus \widetilde{X'} \cap \widetilde{Y'}, Y'' \in \widetilde{Y'} \smallsetminus \widetilde{X'} \cap \widetilde{Y'}. Prouvons X'' |\circ| Y''. Si X'', Y'' \notin \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, alors X'' |\circ| Y'' par déf de X \lessgtr Y. Si X'' \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, on a X'' \in \widetilde{Y}, Y'' \in \widetilde{Y'} \subset \widetilde{Y}, d'autre part évidemment X'' \neq Y'', donc X'' |\circ| Y'' par Mag 4.

~~Prop.~~ Cor 1 Soient XX, Y avec X \lessgtr Y. Soit Z avec Z \mathring{\ll} X. Alors Z \ll Y \Longleftrightarrow \text{\struck{$Z$}}\, X \ll Y Énoncé se déduit corollaire

Corollaire 2 Si Z \mathring{\ll} X, Z \mathring{\ll} Y, et si X \lessgtr Y, alors X = Y.

En effet, X \ll Y et Y \ll X, donc X = Y par Mag 1 a).

Prouvons ~~Prop. 2~~ Cor 1 \Leftarrow évident, prouvons Z \mathring{\ll} X,\ Z \ll Y \Longrightarrow X \ll Y \qquad (\text{si } X \lessgtr Y). ~~Soit~~ Par Mag 2, \exists\, Y' avec Z \mathring{\ll} Y' \leq Y, par prop 1_0 on a X \lessgtr Y', il suffit de prouver X = Y' (d'où X \leq Y), i.e. Mais si on avait X \neq Y', on se ramène au cas \text{\struck{$Z \mathring{\ll} X,\ Z \mathring{\ll} Y,\ X \lessgtr Y \Longrightarrow X = Y$.}} ~~Prouvons Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, on X \leq Y (car Y \leq X~~ ~~Il suffit de prouver \widetilde{X} \subset \widetilde{Y}, sinon on aurait X \parallel Y (cf lemme), Z |\circ| Z~~ ~~Sinon, on aurait Z \mathring{\ll} X, Z \mathring{\ll} Y Mag 3 b), absurde par Mag 3 a)~~, on aurait par prop 2 X |\circ| Y, donc Z |\circ| Z par Mag 3 b), absurde par Mag 3 a). le bas de la page est un palimpseste de tentatives biffées de traits obliques ; seule la dernière ligne n'est pas biffée.

Prop. 2 Si X \neq Y, X |\circ| Y \Leftrightarrow X \lessgtr Y. Dém \Rightarrow par Mag 3 a). Inv. Si X \neq Y, X \lessgtr Y, et si X \not\leq Y et Y \not\leq X, i.e. X \notin \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, Y \notin \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, X |\circ| Y par déf. de X \lessgtr Y. Si X \leq Y,

il numérote « 2bis ». Cor. 3 Soit X \lessgtr Y. Alors X \mathring{\ll} Y \Longleftrightarrow X \leq Y ~~En effet,~~ On applique cor 1 avec Z = X.

Proposition 3. ~~Supposons~~ X \mathring{\ll} Y \mathring{\ll} Z ~~Alors~~ implique X \mathring{\ll} Z. ~~\Longleftrightarrow X \mathring{\ll} Y et Y \mathring{\ll} Z~~

~~Supposons X \mathring{\ll} Y et Y \mathring{\ll} Z, prouvons X \mathring{\ll} Z, i.e. X \ll Z' \leq Z \Rightarrow Z' = Z. Comme~~

Par Mag 2 \exists\, Z' avec X \mathring{\ll} Z' \leq Z, ~~il faut~~ ~~par Mag~~ prouvons Z' = Z. Sinon, par Mag 4 on aurait Z' |\circ| Z, et par Mag 3 b) X |\circ| Z, d'autre part par Mag 3 b) cela implique X |\circ| Y puisque Y \mathring{\ll} Z, puis X |\circ| X puisque X \mathring{\ll} Y, ~~d'où X |~~ mais X |\circ| X contredit Mag 3 a).

à gauche, un petit schéma : X \mathring{\ll} Y \mathring{\ll} Z, avec Z' au-dessous, relié à X par \mathring{\ll} et à Z par \leq.

NB Si Supposons X \ll Y \ll Z et X \mathring{\ll} Z. Alors Y \mathring{\ll} Z, car si on avait Y \ll Z' < Z, on aurait X \ll Z' < Z, contrairement à X \mathring{\ll} Z. ~~Prouvons~~ Mais on n'a pas nécess. X \mathring{\ll} Y, exemple : un segment gradué ; une accolade inférieure désigne le segment entier, Z ; une accolade supérieure en désigne une partie, Y ; un point marqué à l'extrémité de cette partie, désigné par une flèche, est X.

Cas des figures

Prop 1_F a) F \lessgtr G sym. réfl.

b) F \lessgtr G, F' \leq F, G' \leq G \Rightarrow F' \lessgtr G'

Prop 2_F Si F \lessgtr G, ~~Prop~~ alors F \ll G \Leftrightarrow F \leq G

Cor Dans l'ens \mathcal{S} \subset \mathcal{F}_{0}(F), \ll et \leq coïncident.

il numérote « 3 » : la suite de la page 8 (« 2 »). \begin{aligned} F \parallel G &\Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\ \text{on a } X \parallel Y \\ &\Longleftrightarrow F \lessgtr G \text{ et } F \cap G = \emptyset \end{aligned} On n'écrit F |\circ| G que si F, G sont élémentaires, i.e. sont « \in \mathcal{M} », idem pour \mathring{\ll}.

~~Proposition Soient F, G \in \mathcal{F}, L = F \cap G, F' \ll F, G' \ll G,~~ ~~On a~~

Proposition 1 Propriétés usuelles de \mathcal{F}, \leq : a) stabilité et b) existence « division » des parties \mathfrak{F} ensemble de parties de \mathcal{M}.

y compris l'existence des Sup des Inf (\mathfrak{F} \neq \emptyset)

Proposition 2 a) F \lessgtr G, F' \leq F, G' \leq G \Rightarrow F' \lessgtr G'

~~b) F \parallel G, F' \ll F, G' \ll G \Longrightarrow F' \parallel G'~~

b) En Si F = \bigcup_i F_i Sup figures, \text{alors}\quad G \lessgtr F \;\text{\struck{$\Longleftrightarrow$}}\; \forall i,\ G \lessgtr F_i . Donc si F = \bigcup F_i, G = \bigcup G_j, F \lessgtr G ssi \forall i, j, F_i \lessgtr G_j.

Prop 1, Prop 2 concernent seulement \leq

Proposition 3 ~~Soient~~ Soient F, G, F \lessgtr G, ~~F' \ll F,~~ ~~L = F \cap G, F' \ll F, G' \ll G,~~

il écrit les inégalités verticalement ; le signe \geq placé entre deux lignes se lit de haut en bas. \begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ & & \geq \\ & & F' \end{array}

alors \exists\, G' avec ~~\widetilde{G} \cap \mathrm{Omb}(F')~~

\begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \ll & F' \end{array}

G' = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G).

On a \widetilde{G'} = \widetilde{G} \cap \mathrm{Omb}(F') Posant G' = G_{F'} i.e. G(F'), ou F'_{G} i.e. F'|G, on a F' \longmapsto G_{F'} : \mathrm{Ssfig}(F) \longrightarrow \mathrm{Ssfig}(G) ~~est croissante et~~ commutant aux Sup et aux Inf quelconques.

il numérote « 4 ». Cor. 1 Si G \leq F, alors G' = G \wedge F' (donc \widetilde{G'} = \widetilde{G} \cap \widetilde{F'}), i.e. \mathrm{Inf}^{\ll}(G, F') = \mathrm{Inf}^{\leq}(G, F') Cor. 2 (cf lemme p. 5) L = F \cap G,

Prop 5 Soient F, G avec F \lessgtr G, F' \ll F, G' \ll G, d'où F'_{L} \ll L, G'_{L} \ll L. Alors \begin{aligned} \text{a)}\quad & F' \lessgtr G' \Longleftrightarrow F'_{L} \lessgtr G'_{L} \\ \text{b)}\quad & F' \parallel G' \Longleftrightarrow F'_{L} \parallel G'_{L} \end{aligned} Cor. Si F'_{L} = \emptyset, alors F' \parallel G' pour tout G' \leq G.

~~(en fait F'' \parallel G)~~

Prenant L = \emptyset, on trouve

Cor ~~F \parallel G,~~ Si F' \ll F, G' \ll G, alors F \parallel G \Longrightarrow F' \parallel G' les énoncés depuis Prop 5 sont réunis par une accolade ; en marge, une flèche descendante « demande prop. 4 ».

Prop. 4 (Recollement des raffinements)

Soit F = \bigcup_i F_i. Alors \begin{array}{ccccc} \mathrm{Raff}(F) & \longrightarrow & \prod_i \mathrm{Raff}(F_i) & \rightrightarrows & \prod_{i,j} \mathrm{Raff}(F_i \cap F_j) \\ G & \longmapsto & (G|F_i)_i & & \end{array} exact.

On pose \mathrm{Raff}(F) = \{ F' \ll F \} G|F \ll F

Cor. 1 Soit F \in \mathcal{F}. Alors \mathrm{Raff}(F) \longrightarrow \prod_{X \in \widetilde{F}} \mathrm{Raff}(X) est injectif, et l'image est formée des familles (G_X)_{X \in \widetilde{F}} de raffinements telles que Y \leq X implique G_Y = G_X | Y. On a donc \mathrm{Raff}\, F = \varprojlim_{X \in \widetilde{F}} \mathrm{Raff}(X)

il numérote « 5 ». ~~Tout ceci est récapitulatif, on fait pas directement |\circ|.~~ ces deux lignes sont barrées de grandes croix ; elles sont reprises plus bas.

~~Prop. 4~~ Cor 2 Soit G \ll F = \bigcup F_i. Alors G \leq F ssi ~~Prop. pour~~ \forall i, G|F_i \leq F_i. Si G, G' \ll F, alors G \lessgtr G' ssi \forall i, G_{F_i} \lessgtr G'_{F_i}, idem pour \parallel, \leq, \ll …

devrait venir après prop. 3.

Tout ceci est récapitulatif, et ne fait pas intervenir explicitement |\circ|, si ce n'est par l'intermédiaire de \lessgtr. Il faudrait, dans ce contexte, reprendre aussi rapidement les

1)Les axiomes relatifs aux lieux, ombres, multiombres. 2)Le lien avec le cas ensembliste et quasi-ensembliste (où les lieux jouent justement un rôle prépondérant).

Mais surtout

3)Revoir la théorie des subdivisions.

~~Comme~~ Également

4)Voir ce que devient l'axiomatique \leq, \ll, |\circ|, dans le cas (le plus courant sûrement) où \ll peut s'exprimer en termes de \leq, |\circ|. Mais pour les formules, nous aurons besoin de donner un sens, pour X \in \mathcal{M}, à « X^{\circ} = X \smallsetminus \partial X », et pour X, Y \in \mathcal{M}, à « l'inclusion » « X^{\circ} \subset Y^{\circ} » i.e. il faut d'abord passer par 3.

Traitons quand même 1° et 2°).

~~Les axiomes pertinents devraient~~

il numérote « 6 ». Axiomes pour les lieux, i.e. les éléments de \mathcal{M} minimaux pour \ll. Pour x, y \in L, \underset{\text{ens.\ des lieux}}{L \subset \mathcal{M}}, il est tautologique que x \parallel y \Longleftrightarrow x |\circ| y . ~~On a aussi~~ ~~Notons aussi,~~ On pose comme d'habitude, si X \in \mathcal{M} \begin{aligned} \mathrm{omb}(X) &= \{ x \in L \mid x \ll X \} = \mathrm{Omb}(X) \cap L \\ \mathrm{omb}(F) &= \textstyle\bigcup_{X \in F} \mathrm{omb}(X) \qquad \text{pour } F \subset \mathcal{M} \text{ (p.ex.\ } F \in \mathcal{F}) \\ \text{\struck{$\mathrm{omb}(X)^{\circ}$}} &\;\text{\struck{$= \mathrm{omb}(X)$}} \\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} &= \mathrm{omb}(X) - \mathrm{omb}(\partial X) \end{aligned} plus gén. (en regard de la ligne \mathrm{omb}(F)) où \partial X = \widetilde{X} \smallsetminus \{X\} \;\text{\struck{$F$}}\; = \{ Y \in \mathcal{M} \mid Y \lneq X \} \in \mathcal{F} le \lneq final est lu sur un \leq surchargé ; lecture incertaine. Notons x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \Longleftrightarrow x \mathring{\ll} X On a alors, par Mag 3 X \parallel Y \Longrightarrow \forall x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ},\ \text{on a } x \parallel y . Ceci n'est pas bien utile, quand \mathrm{omb}(X)^{\circ} ou \mathrm{omb}(Y)^{\circ} est \emptyset.

MagL 1 \forall X \in \mathcal{M}, \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset

Ceci nous permet de définir, et donne des propriétés agréables pour \begin{aligned} \mathcal{M} &\longrightarrow \mathrm{Figél}(L) &\quad&\text{ou}\quad& \mathcal{F} &\longrightarrow \mathrm{Fig}(L) \\ X &\longmapsto \mathrm{mulomb}(X) &&\text{ou}& F &\longmapsto \mathrm{mulomb}(F) \end{aligned} savoir : croissant ~~compat.~~ pour \leq, \ll, commutant aux Sup ~~quelconques~~ finis, compatible avec \leq, |\circ|, \parallel … Il faudrait revoir la notion d'homomorphisme et de plongement pour les ~~ateliers~~ magasins (ou pour les ateliers, par exemple) cf GF VII p. 54 et GF VI …

il numérote « 7 ». MagL 2bis Soient X, Y \in \mathcal{M}, ~~tels donc~~ tels que \forall x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ},\ \text{on a } x \parallel y . Alors X |\circ| Y.

implique MagL 1 (à cause de l'antiréflexivité de |\circ|)

Cela signifie donc que |\circ| sur \mathcal{M} se déduit de la relation \parallel sur L dans les cas pratiques. Il semble que chaque fois qu'on a MagL 1, on a aussi MagL 2, qui semble donc l'axiome le plus utile.

Proposition – Scholie. Se donner sur \mathcal{M} structure de une magasin « strictement divisible » (i.e. satisfaisant à MagL 2, ) revient au même que de se donner \leq, \ll satisfaisant Mag 1, Mag 2 p. 1, (la condition MagL 1 (p. 6) plus une relation x \parallel y \quad \text{relation \emph{sur $L$}} satisfaisant les seules conditions

Mag div 3 La relation x \parallel y sur L est symétrique et antiréflexive.

Mag div 4 Si Y, Z \leq X dans \mathcal{M}, Y \neq Z, et si y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}, z \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ}, alors y \parallel z.

En effet, dans ce cas on définit |\circ| dans \mathcal{M} par la condition envers MagL 2, et on vérifie immédiatement que ~~cette~~ celle-ci satisfait Mag 3*, Mag 4, et réciproquement

mais pour la réciproque il faut que \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset

il numérote « 8 » ; la phrase de la page précédente se poursuit. la relation se déduit de sa restriction à L.

Le cas « quasi-ensembliste » est celui où on suppose

Mag quens Pour x, y \in L, x \neq y \Rightarrow x \parallel y.

Proposition – Scholie ~~Les~~ Structures de magasins pré-ensemblistes sur \mathcal{M} correspondent aux couples (\leq, \ll) de deux relations d'ordre sur \mathcal{M} sans plus, satisfaisant les seules conditions

Mag 1 X \leq Y \Rightarrow X \ll Y

Mag 2 \forall X \ll Y, l'ens. \widetilde{Y}^{X} = \{ Y' \in \widetilde{Y} \mid X \ll Y' \} a un plus petit élément

MagL 1 \forall X \in \mathcal{M}, \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset, i.e. \exists\, x \in L, avec x \mathring{\ll} X i.e. x \widetilde{X}^{x} = \{X\}.

Voir exemple dans GF VII p. 57 pour montrer que ceci n'implique pas que \mathcal{M} se plonge dans \mathrm{Figél}(L). ~~Le magasin ensembliste~~

Pour mémoire : si \mathcal{M} satisfait la condition MagL 1 (sans être nécessairement quasi- ici) alors que ens , on a pour F \in \mathcal{F} \begin{aligned} \mathrm{Ssfig}(F) &\xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Ssfig}(\mathrm{mulomb}(F)) \\ F' &\longmapsto \mathrm{mulomb}(F') \end{aligned} (isom. d'ens. ordonnés). Par contre, même dans le cas quasi-ensembliste, on n'a pas nécessairement :

il numérote « 9 ». La condition a) annoncée au bas de la page précédente n'est pas écrite ; la page s'ouvre sur b). \begin{aligned} \text{b)}\quad & \mathrm{mulomb}(F) \ll \mathrm{mulomb}\, G \Longrightarrow F \ll G \\ \text{c)}\quad & \mathrm{mulomb}(F) \lessgtr \mathrm{mulomb}(G) \Longrightarrow F \lessgtr G . \end{aligned} (c'est quand ces ~~conditions~~ implications sont satisfaites (en plus de la condition a) ci-dessus) et il suffit de la poser pour F = X, G = Y, X, Y \in \mathcal{M} (spéciaux) qu'on dit que le magasin est « ensembliste »)

~~Il est donc donné par un ensemble de telles données celles-ci~~

Proposition – Scholie (La donnée d'un magasin ensembliste, équivaut à la donnée d'un ens. L (l'ens. des « lieux » ou « points »), et d'une partie \mathcal{M} \subset \mathrm{Figél}(L), satisfaisant les conditions

Magens 1 \forall F F \in \mathcal{M}, et tout X X \in \widetilde{F}, l'ens. \widetilde{F}_{\leq X} = ( Y \in F \mid Y \subset X ) \subset F \text{ est aussi dans } \mathcal{M} (\mathcal{M} stable par passage aux )

Magens 2 \forall x \in L, \{\{x\}\} \in \mathcal{M}.

une digression !!!

Donc on a une espèce de structure \mathcal{M} \in \mathfrak{P}\mathfrak{P}(L), axiomes Magens 0 : Tout X \in \mathcal{M} est une figure ensembliste élémentaire, Magens 2 À peine plus compliqué que la définition d'une « topologie » ! !!!

de l'axiomatique. En fait, à ce stade de l'axiomatique, « ateliers » de « évidents », le point de vue des figures nous avait plutôt compliqué la vie. Ici il vaut décidément mieux partir du magasin, et y conserver aussi claire que possible – quitte à faire ensuite une petite complication les ateliers plus

il numérote « 10 » ; la phrase de la page précédente se poursuit. généraux que l'atelier canonique associé à un magasin – et de revoir les prop essentielles prop 1 à prop 5 (plus d'autres à venir peut-être) sous cet angle, logiquement suffisant à présent.

27 juin (ou plutôt, 28 juin ! (on ne sait plus …)

Définition Soit \mathcal{F}, \leq un ensemble ordonné. On appelle antifiltre de \mathcal{F} une partie \mathcal{F}' de \mathcal{F} satisfaisant les conditions suivantes

a) \mathcal{F}' est fermé pour \leq, i.e. F \in \mathcal{F}', G \leq F \Rightarrow G \in \mathcal{F}'.

b) Si F, G \in \mathcal{F}', et si F \vee G existe dans \mathcal{F}, alors F \vee G \in \mathcal{F}'.

~~Cela est que les antifiltres~~ suit un petit encadré biffé, illisible, avec F et \mathcal{F}.

Définition Soit \mathcal{M} un magasin. Un \mathcal{M}-atelier, ou atelier strict de \mathcal{M}, est par définition un antifiltre \mathcal{F} (dans l'ens \mathcal{F}_{\mathcal{M}} des \mathcal{M}-figures), ~~tel que~~ ~~ce soit vide et~~ contenant les ~~figures vides~~ figures élémentaires ~~Cette dernière~~ \widetilde{X} \quad (X \in \mathcal{M}) et la figure vide). ~~condition résulte des autres si \mathcal{M} \neq \emptyset.~~

NB Cette dernière condition résulte des autres si \mathcal{M} \neq \emptyset. On voit que les conditions suivantes sont équivalentes

(i)\mathcal{M} = \emptyset (ii)\mathcal{F} = \{\emptyset\} (iii)\mathrm{card}\, \mathcal{F} = 1

On dit ~~que~~ dans ce cas que \mathcal{M} est le un magasin vide (ou : le un atelier ~~\mathcal{F}~~ vide (ou : tout vide), ce qui est un abus de langage puisque \mathcal{F} n'est pas vide ….

Mag at •) F \in \mathcal{F}, G \leq F \Rightarrow G \in \mathcal{F} (sur F \subset \mathcal{F}) ; b) F, G \in \mathcal{F}, F \lessgtr G \Rightarrow F \cup G \in \mathcal{F} ; c) \forall X \in \mathcal{M}, \widetilde{X} \in \mathcal{F} ; d) \mathcal{F} \neq \emptyset (i.e. \emptyset \in \mathcal{F}). \mathcal{F} (contenu dans \mathfrak{P}(\mathcal{M})) commun \mathcal{M} – vérifie que \Leftrightarrow c)

il numérote « 11 ». Les ~~structures~~ relations \leq, \ll, \lessgtr, \parallel sur \mathcal{F}_{\mathcal{M}} induisent des ~~structures~~ relations de même nom sur \mathcal{F}. Les prop 1_0F, 2_0F (p. 2bis), prop. 2, 3, 5 sont « ipso facto » encore vraies dans un atelier général. Il n'y a que la prop. 4 (recollement des raffinements) qui, dans le cas d'un atelier, demande un axiome additionnel , de stabilité, nécessaire pour l'atelier,

At Fil savoir Soit F \in \mathcal{F}, et soit (G_\alpha) une famille filtrante croissante ~~pour \leq~~ pour \leq de raffinements de F. Supposons que \forall X \in \widetilde{F}, la famille des G_\alpha | X soit stationnaire. Alors \mathrm{Sup}\, G_\alpha existe dans \mathcal{F} .

Comme on a \mathcal{F} \subset \mathcal{F}_{\mathcal{M}}, cela signifie donc que (le Sup dans \mathcal{F}_{\mathcal{M}}) est par \bigcup G_\alpha (qui est le Sup dans \mathcal{F}_{\mathcal{M}}) est en fait dans \mathcal{F} : propriété de stabilité de \mathcal{F} en tant que partie fermée de \mathcal{F}_{\mathcal{M}}, \leq.

On peut considérer la structure d'atelier comme une donnée indépendante de celle d'un magasin près.

Atelier : \mathcal{F} muni de trois relations \leq, \ll, |\circ|

At 1 Les Sup majorés existent, et \mathcal{F} \neq \emptyset (\Leftrightarrow \mathcal{F} a un plus petit élément \emptyset_{\mathcal{F}}).

~~Éléments~~ Figures élémentaires ou éléments co-irréductibles : X = \mathrm{Sup}\, F_i \Longrightarrow \exists\, i,\ F_i = X . \mathcal{M} ens. des fig. élém., \widetilde{F} = \{ X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \}.

At 2 F \leq G \Longleftrightarrow \widetilde{F} \subset \widetilde{G} … X \in \mathcal{M}, X \leq F \Rightarrow X \leq G. « toute strate de F est strate de G ». Équivalent : Toute figure est le Sup de ses strates.

At 2, 3, 4 : p. 55 pour strates

il numérote « 12 ». Déf F \lessgtr G \Longleftrightarrow \{F, G\} majoré (\Longleftrightarrow F \vee G existe)

At 3 F \lessgtr G \Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\ X \lessgtr Y

(NB \Rightarrow est déjà )

At 4 F \ll G \Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ \exists\, Y \in \widetilde{G},\ X \ll Y

NB At 1 – At 3 ne concernent que \leq, At 4 ne fait que préciser \ll en termes des strates

At 5 a) F |\circ| G \Longrightarrow F, G \in \mathcal{M}. i.e. la relation |\circ| est en fait une relation dans \mathcal{M}

b) X \lessgtr Y \Longleftrightarrow \forall X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, on a X' |\circ| Y'

relation |\circ| et \lessgtr

+ Mag 1, Mag 2, Mag 3, Mag 4

Scholie Les deux points de vue

(i) (\mathcal{M}, \leq, \ll, |\circ|, \mathcal{F} \subset \mathcal{F}_{\mathcal{M}}) Mag 1 – Mag 4 + Mag at sous l'accolade de Mag 1 – Mag 4 : « \leq, \ll, |\circ| ».

(ii) (\mathcal{F}, \leq, \ll, |\circ|) axiomes At 1 – At 5 + Mag 1 – Mag 4

sont équivalents, i.e. donnent des catégories-groupoïdes équivalentes.

Le point de vue « magasin » est plus pratique, visiblement, pour l'économie de l'écriture des axiomes de base.

Le point de vue « atelier » me semble plus commode pour la pratique du calcul et des raisonnements géométriques, une fois l'axiomatique acquise.

la page s'arrête ici ; la comparaison des deux points de vue et le programme de la page 13 (lieux, cas ensembliste, subdivisions) se poursuivent au-delà de ce lot.