Cote n° 156-8, pages 1–20

Cote n° 156-8 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

GF VIII

intitulé porté de sa main sur la couverture (p. 1), avec, plus bas : « Voir page 46 Déf de magasins ». « GF » est le sigle qu'il porte en tête des feuillets de cette série.

2page-tableau : une hiérarchie des types de magasins, reliés par des traits. Le schéma ci-dessous reprend les traits du feuillet (sans flèches : la page ne trace que des traits) ; le contenu de chaque case est transcrit ensuite. En haut à droite : « GF VIII ».

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \text{Magasins généraux} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
\text{Magasins locaux} \arrow[dr, no head] & & \text{Magasins fidèles} \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head] \\
 & \text{Magasins ponctuaires} \arrow[d, no head] & \text{Maquettes} \\
 & \text{Magasins ensemblistes} \arrow[d, no head] & \\
 & \text{Magasins ensemblistes modérés} &
\end{tikzcd}

Magasins généraux : $\mathcal{M}$, $\leq$, $\ll$, $|\circ|$ ; Mag 1 – Mag 4 (p. 22). $\Sigma_{\mathcal{M}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})$.

Magasins locaux : $\mathcal{M}$, $\leq$, $\mathring{\ll}$, $|\circ|_{L}$ ; Magloc 1 – Magloc 3 (p. 23). ($A, B \in \Sigma_{\mathcal{M}}$, $A \cap B = \emptyset \not\Rightarrow A |\circ| B$)la flèche paraît barrée ; lecture du barrement incertaine. $\Sigma_{\mathcal{M}} \subset \mathfrak{P}(L)$ (cette inclusion ne commutant pas néc. à $A \cap B$ ni à $\bigcup$ (?), et aucun […] $\mathrm{Sup}(A,B)$ […]).

NB Un magasin « local » i.e. qui se réfère à […] des voisinages particuliers dévolus aux lieux.

Magasins […] ⌜(à ombres)⌝ fidèles : $\mathcal{M}$, $\leq$, $\mathring{\ll}$ ; Magfid 1 – Magfid 2 (p. 31). [$X \mapsto \mathrm{Omb}^{\circ}(X)$ fonction ⌜fonction⌝ support fidèle. $A, B \in \Sigma_{\mathcal{M}}$, $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A |\circ| B$.]

Magasins ponctuels ⌜ponctuaires⌝ : $\mathcal{M}$, $\leq$, $\ll$ ; Mag ponc 1-3 (p. 24). $\Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(L)$.

NB Un lieu $x \in L$ est dit « ponctuel » ⌜ou « un point » de $\mathcal{M}$⌝, si $\forall X \in \mathcal{M}$, $x |\circ| X \Leftrightarrow x \notin \mathrm{Omb}^{\circ}(X)$ (cela entraîne, si $y \in \mathcal{M}$, $x |\circ| y \Leftrightarrow x \neq y$). Les mag. « ponctuels » sont locaux dont tous les lieux sont […] ponctuels. Ce sont les seuls magasins qui […] correspondent plus ou moins communément admis pour « la topologie ».

Maquettes : $\mathcal{M}$, $\leq$ ; Maq 1 : $\leq$ rel. d'ordre (p. 25). $\Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(\mathcal{M})$. (NB Une maquette ⌜ultra⌝ associée à un espace top. satisfaisant l'axiome de séparation $T_0$, n'est un magasin […] ponctuaire que si elle est discrète.)

Magasins ensemblistes : $L$, $\mathcal{M} \subset \mathrm{Figél}(L)$ ; Magens 1, Magens 2 (p. 9).

Magasins ⌜ensemblistes⌝ modérés : $L$, $\mathcal{M} \subset \mathrm{Figél}(L)$ ; Magens 1 – Magens 3.

Correspondent à des « topologies modérées », qui n'ont été développées à présent que pour la seule structure linéaire par morceaux […] sur $\mathbb{R}$.

NB Il y a des magasins modérés non ensemblistes, p.ex. les maquettes.

NB Je préfère finalement, dans $\mathcal{M}$, noter $\trianglelefteq$ la relation d'incidence, et noter […] de même la relation d'incidence entre $\mathcal{M}$ et $\mathcal{F}$. La notation $\lhd$ sera l'incidence stricte. La relation d'inclusion entre figures sera notée […] $\subseteq$, où il y a confusion à craindre, […] (inclusion des figures). Je noterai $\overset{s}{\trianglelefteq}$ pour les subdivisions ?les symboles de cette dernière note sont surchargés ; lecture de $\overset{s}{\trianglelefteq}$ incertaine.

Multistructures orientées – magasins orientés

Données d'un magasin […] orienté : ⌜a :⌝ \[ \mathcal{M},\ \underset{\text{incidence immédiate}}{\lhd},\ \mathring{\ll},\ |\circ|,\ \underset{\text{involution sans pt fixe}}{X \mapsto X^{-}},\ \mathcal{M}_0^{+} \] sous $X \mapsto X^{-}$ est ajouté : « multistr. orientée opposée » ; après $\mathcal{M}_0^{+}$ un mot biffé.

Magor. 1 a) $\lhd$ antiréflexive. Le préordre strict engendré $\leq$ ($X < Y$ ssi $\exists\, X_0 = X \lhd X_1 \lhd \cdots \lhd X_{n-1} \lhd X_n = Y$) est un ordre strict (pas de chaînes fermées, i.e. on ne peut avoir $X < X$). Il satisfait la condition des chaînes, […] tout élément est de dim finie, et les éléments minimaux […] (en particulier, tout $X \in \mathcal{M}$ de dim finie pour $\leq$).

(b) donnée de $\lhd$ ainsi revient à donner une relation d'ordre satisfaisant la cond. des chaînes descendantes.

b) $\mathring{\ll}$ relation d'ordre.

c) $|\circ|$ symétrique antiréflexive.

d) $X \mapsto X^{-}$, involution sans pt fixe.

e) $\mathcal{M}_0^{+}$ est une partie de $\mathcal{M}$.

(Magor 1' a), (a) $X \lhd Y \Rightarrow X^{-} \lhd Y^{-}$,

b) $X \mathring{\ll} Y \Rightarrow X^{-} \mathring{\ll} Y^{-}$

c) $X |\circ| Y \Rightarrow X^{-} |\circ| Y$.

NB On n'a pas […] « […] $X \lhd Y$ » ou $X \lhd Y'$. en marge de Magor 1', une petite boucle d'un point $x$ à $Y$.

Magor 2 a) Si $X, Y$ tels que $\exists\, Y'$, $X \mathring{\ll} Y' \leq Y$, alors $Y'$ ⌜unique⌝.

b) Si $X \mathring{\ll} Y$, et $X' \lhd X$, $\exists\, Y' \lhd Y$ […] ⌜$X' \ll Y'$⌝.

Magor 3 Si $X |\circ| Y$, et $X' \mathring{\ll} X$, $Y' \mathring{\ll} Y$, […] $X' |\circ| Y'$.

Magor 4 Si $X < Y$, alors $X |\circ| Y$.

Magor 6une flèche reporte Magor 6 et Magor 5 avant Magor 4 ; son point d'arrivée exact est incertain. a) Soient $X$ $Z < X$, $\mathrm{codim}(Z,X) = 2$. Alors il n'existe qu'un seul $Y^{\sharp}$, avec $Z \lhd Y^{\sharp} \lhd X$, et de plus il existe $Y^{\flat}$ avec $Z^{-} \lhd Y^{\flat} \lhd X^{-}$.

b) Soit $X$ avec $\dim X = 1$. Alors il existe existe un seul $x \in \mathcal{M}_0^{+}$, $x \lhd X$ (i.e. $x = \mathcal{M}_0$).

Magor 5 a) $x \in \mathcal{M}_0^{+} \Rightarrow \mathrm{codim}\, x = 0$, i.e. $\nexists\, y$ avec $y \lhd x$.

b) On a $\mathcal{M}_0 = \mathcal{M}_0^{+} \amalg a(\mathcal{M}_0^{+})$, i.e. $x \in \mathcal{M}_0^{+} \Rightarrow x^{-} \notin \mathcal{M}_0^{+}$, et $\forall x \in \mathcal{M}_0$, on a $x \in \mathcal{M}_0^{+}$ ou $x^{-} \in \mathcal{M}_0^{+}$.

5Maquettes orientées : quand $X \mathring{\ll} Y \Rightarrow X = Y$, $X |\circ| Y \Leftrightarrow X \neq Y$.

Ex Les systèmes de $\mathcal{M}$ sont de dim $\leq 1$, $\mathring{\ll} = \mathrm{id}$, $x |\circ| y \Leftrightarrow x \neq y$. $\mathcal{M} = \mathcal{M}_0^{+}$ On pose $\mathcal{M}_0^{+} = S$ (« sommets »), $\mathcal{M}_1 = A$ (« arêtes orientées »). On a involution sans points fixes $a$ sur $A$. […] Magor 5 […] $A \xrightarrow{\;o\;} S$ [[…] application].

Les maquettes orientées […] de dim $\leq 1$ $\lhd$ (« les graphes »).

NB Cette structure […] par une maquette, […] arêtes […] […] des maquettes.

Cas de […] dim 2 […], on trouve la description des […] cellulaires combinatoires de dim $\leq 2$.

la suite de la mouture orientée ne vient pas ; la page 7 reprend tout à neuf.

7la numérotation des archivistes portée au crayon saute le 7 : ce feuillet porte « 8 », et le décalage d'une unité se maintient jusqu'au dernier feuillet du lot, qui porte « 21 ». On suit ici le rang du feuillet dans le lot. Il numérote « 1 » ; en haut à droite, « GF VIII ». En marge : « 26 juin 86 ».

Analysis Situs (quatrième mouture)

I Récapitulation en termes de « magasins ». Je reprends le formalisme algébrique d'une « algèbre en multistructures », ou « magasin » (de multistructures, magasin « fournisseur » de « […] »). La structure est celle d'un ens. $\mathcal{M}$ avec trois relations \[ \leq,\quad \ll,\quad |\circ| \] satisfaisant (cf GF VII, p. 110) :

Mag 1 a) $X \leq Y$ et $X \ll Y$ sont des relations d'ordre, et b) \[ X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y . \] Si $X \in \mathcal{M}$, on pose $\widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} = \{ Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \}$.

Mag 2 $\forall X, Y$ avec $X \ll Y$, l'ens \[ \widetilde{Y}^{X} = \{ Z \in \widetilde{Y} \mid X \ll Z \} \] admet un plus petit élément. On écrit $X \mathring{\ll} Y$ quand cet élément ⌜minimal⌝ est $Y$ lui-même, i.e. $\widetilde{Y}^{X} = \{Y\}$.

Mag 3 ⓐ $X |\circ| Y$ est symétrique et antiréflexive, i.e. $X |\circ| Y$ implique $Y |\circ| X$ et $X \neq Y$. ⓑ De plus \[ X |\circ| Y,\ X' \mathring{\ll} X,\ Y' \mathring{\ll} Y \Longrightarrow X' |\circ| Y' . \]

Mag 4 Si $Y, Z \leq X$, alors $Y \neq Z$, on a $Y |\circ| Z$.

NB Cela assouplit légèrement l'ancien At 2.

Définitions Pour $X, Y \in \mathcal{M}$, on pose il écrit une relation formée de $\leq$ et $\geq$ superposés ; on la note ici $\lessgtr$. \[ \begin{aligned} X \lessgtr Y &\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \forall X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ \text{on a } X' |\circ| Y' \\ X \parallel Y &\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \forall X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y},\ \text{on a } X' |\circ| Y' . \end{aligned} \] Donc \[ X \parallel Y \Longleftrightarrow X \lessgtr Y,\ \text{et } \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset \] (i.e. $\{X, Y\}$ non minoré pour $\leq$).

8il numérote « 2 », avec en tête « (inconditionnelle) », lecture incertaine. On appelle figures (du magasin, un élément de l'ens) \[ \mathcal{F}_{\mathcal{M}} = \{ \mathfrak{F} \subset \mathcal{M} \mid \mathfrak{F} \text{ fermé dans } \mathcal{M} \text{ pour } \leq, \text{ et } \forall X, Y \in \mathfrak{F},\ \text{on a } X \lessgtr Y \} \] L'ens $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$ est l'ensemble des « figures inconditionnelles » (ou « figures » tout court) du magasin. On sera amené, à l'occasion, de faire sur les figures envisagées deux types possibles de restriction :

1°) Conditions du type « finitude » ou « local finitude ».

[…] 2°) Condition restrictive « polyédrale » : si $X, Y \in \mathfrak{F}$, et $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \neq \emptyset$, on veut veut qu'il $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$ admette un plus grand élément, i.e. soit de la forme $\widetilde{Z}$, ou encore que $\mathrm{Inf}(X,Y)$ existe.

Voir pages 1bis, 2bis, à mettre ⌜avant⌝ les sorites sur figures.

$\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$ sera appelé l'édition maximale associé[e] au magasin $\mathcal{M}$.

On étend : les relations d'ordre $\leq$ et $\ll$ de $\mathcal{M}$ (en plongeant $\mathcal{M}$ dans $\mathcal{F}$ via les « figures élémentaires » $\widetilde{X}$, $X \in \mathcal{M}$ \[ \mathcal{M} \hookrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{M}},\qquad X \mapsto \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} \] est injective et permet de l'identifier […], […] $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$ […] figures élémentaires, $X \in \mathcal{M}$ : la figure élémentaire associée […]) \[ F \leq G \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} F \subset G \] NB Le Sup dans $\mathcal{F}$ pour $\leq$ est $\bigcup$ dans $\mathfrak{P}(\mathcal{M})$, le Inf $\bigcap$. \[ \begin{aligned} F \ll G &\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \forall X \in \widetilde{F},\ \exists\, Y \in \widetilde{G},\ \text{avec } X \ll Y \\ F \lessgtr G &\Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\ \text{on a } X \lessgtr Y \\ &\Longleftrightarrow \{F, G\} \text{ majoré dans } \mathcal{F} \\ &\Longleftrightarrow \mathrm{Sup}(F,G) \text{ existe dans } \mathcal{F} \\ &\Longleftrightarrow F \cup G \in \mathcal{F} \end{aligned} \] après « existe dans $\mathcal{F}$ », un mot biffé.

[…] on identifie les figures d'une figure de $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$, et pour une figure $F$ de $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$ […] à une partie, on identifie $F$ à $\widetilde{F} = \{ X \in \mathcal{M} (\subset \mathcal{F}) \mid X \leq F \}$.

9il numérote « 1bis » ; en marge : « 27 juin ». Avant de passer aux figures, il faudrait donner quelques compléments sur $\mathcal{M}$ lui-même.

Prop Si $Y \mathring{\ll} X$ et $Y \mathring{\ll} X'$, alors $X \lessgtr X'$.

Prop Supposons $X \lessgtr Y$. Si $Z \mathring{\ll} X$, alors \[ \text{\struck{$Z \ll Y \Longleftrightarrow X \ll Y$.}} \] Dém $\Leftarrow$ trivial, prouvons $\Rightarrow$. Par Mag 2, $\exists\, Y'$ avec $Z \mathring{\ll} Y' \leq Y$

Prop 1 Si $X' \leq X$, $Y' \leq Y$, alors $X \lessgtr Y \Rightarrow X' \lessgtr Y'$ ces trois débuts sont biffés de traits obliques ; le dernier est encadré.

Prop $1_0$ a) $X \lessgtr Y$ est symétrique et réflexive

b) Si $X' \leq X$, $Y' \leq Y$, alors $X \lessgtr Y \Rightarrow X' \lessgtr Y'$.

Dém. a) symétrique triviale par Mag 3 ⓐ.

b) Soit $X'' \in \widetilde{X'} \smallsetminus \widetilde{X'} \cap \widetilde{Y'}$, $Y'' \in \widetilde{Y'} \smallsetminus \widetilde{X'} \cap \widetilde{Y'}$. ⌜Prouvons $X'' |\circ| Y''$.⌝ Si $X'', Y'' \notin \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$, alors $X'' |\circ| Y''$ par déf de $X \lessgtr Y$. Si $X'' \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$, on a $X'' \in \widetilde{Y}$, $Y'' \in \widetilde{Y'} \subset \widetilde{Y}$, d'autre part évidemment $X'' \neq Y''$, donc $X'' |\circ| Y''$ par Mag 4.

Prop. ⌜Cor 1⌝ Soient $X$$X, Y$ avec $X \lessgtr Y$. Soit $Z$ avec $Z \mathring{\ll} X$. Alors \[ Z \ll Y \Longleftrightarrow \text{\struck{$Z$}}\, X \ll Y \] Énoncé […] se déduit corollaire

Corollaire 2 Si $Z \mathring{\ll} X$, $Z \mathring{\ll} Y$, et si $X \lessgtr Y$, alors $X = Y$.

En effet, […] $X \ll Y$ et $Y \ll X$, donc $X = Y$ par Mag 1 a).

Prouvons Prop. 2 ⌜Cor 1⌝ $\Leftarrow$ évident, prouvons \[ Z \mathring{\ll} X,\ Z \ll Y \Longrightarrow X \ll Y \qquad (\text{si } X \lessgtr Y). \] Soit Par Mag 2, $\exists\, Y'$ avec $Z \mathring{\ll} Y' \leq Y$, par prop $1_0$ on a $X \lessgtr Y'$, il suffit de prouver $X = Y'$ (d'où $X \leq Y$), i.e. […] Mais si on avait $X \neq Y'$, on se ramène au cas […] \[ \text{\struck{$Z \mathring{\ll} X,\ Z \mathring{\ll} Y,\ X \lessgtr Y \Longrightarrow X = Y$.}} \] Prouvons $Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$, on […] $X \leq Y$ (car […] $Y \leq X$ Il suffit de prouver $\widetilde{X} \subset \widetilde{Y}$, sinon on aurait $X \parallel Y$ (cf lemme), […] $Z |\circ| Z$ Sinon, on aurait $Z \mathring{\ll} X$, $Z \mathring{\ll} Y$ […] Mag 3 b), absurde par Mag 3 a), on aurait par prop 2 $X |\circ| Y$, donc $Z |\circ| Z$ par Mag 3 b), absurde par Mag 3 a). le bas de la page est un palimpseste de tentatives biffées de traits obliques ; seule la dernière ligne n'est pas biffée.

Prop. 2 Si $X \neq Y$, $X |\circ| Y \Leftrightarrow X \lessgtr Y$. Dém $\Rightarrow$ par Mag 3 a). Inv. Si $X \neq Y$, $X \lessgtr Y$, et si $X \not\leq Y$ et $Y \not\leq X$, i.e. $X \notin \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$, $Y \notin \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$, […] $X |\circ| Y$ par déf. de $X \lessgtr Y$. Si $X \leq Y$, […]

10il numérote « 2bis ». Cor. 3 Soit $X \lessgtr Y$. Alors \[ X \mathring{\ll} Y \Longleftrightarrow X \leq Y \] En effet, On applique cor 1 avec $Z = X$.

Proposition 3. Supposons $X \mathring{\ll} Y \mathring{\ll} Z$ Alors ⌜implique⌝ $X \mathring{\ll} Z$. $\Longleftrightarrow X \mathring{\ll} Y$ et $Y \mathring{\ll} Z$

Supposons $X \mathring{\ll} Y$ et $Y \mathring{\ll} Z$, prouvons $X \mathring{\ll} Z$, i.e. $X \ll Z' \leq Z \Rightarrow Z' = Z$. Comme

Par Mag 2 $\exists\, Z'$ avec $X \mathring{\ll} Z' \leq Z$, il faut par Mag prouvons $Z' = Z$. Sinon, par Mag 4 on aurait $Z' |\circ| Z$, et par Mag 3 b) $X |\circ| Z$, d'autre part par Mag 3 b) cela implique $X |\circ| Y$ puisque $Y \mathring{\ll} Z$, puis $X |\circ| X$ puisque $X \mathring{\ll} Y$, d'où $X |$ mais $X |\circ| X$ contredit Mag 3 a).

à gauche, un petit schéma : $X \mathring{\ll} Y \mathring{\ll} Z$, avec $Z'$ au-dessous, relié à $X$ par $\mathring{\ll}$ et à $Z$ par $\leq$.

NB Si Supposons ⌜$X \ll Y \ll Z$ et⌝ $X \mathring{\ll} Z$. Alors $Y \mathring{\ll} Z$, car si on avait $Y \ll Z' < Z$, on aurait $X \ll Z' < Z$, contrairement à $X \mathring{\ll} Z$. Prouvons Mais on n'a pas nécess. $X \mathring{\ll} Y$, exemple : un segment gradué ; une accolade inférieure désigne le segment entier, $Z$ ; une accolade supérieure en désigne une partie, $Y$ ; un point marqué à l'extrémité de cette partie, désigné par une flèche, est $X$.

Cas des figures

Prop $1_F$ a) $F \lessgtr G$ sym. réfl.

b) $F \lessgtr G$, $F' \leq F$, $G' \leq G \Rightarrow F' \lessgtr G'$

Prop $2_F$ Si $F \lessgtr G$, Prop alors $F \ll G \Leftrightarrow F \leq G$

Cor Dans l'ens $\mathcal{S} \subset \mathcal{F}_{0}(F)$, $\ll$ et $\leq$ coïncident.

11il numérote « 3 » : la suite de la page 8 (« 2 »). \[ \begin{aligned} F \parallel G &\Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\ \text{on a } X \parallel Y \\ &\Longleftrightarrow F \lessgtr G \text{ et } F \cap G = \emptyset \end{aligned} \] On n'écrit $F |\circ| G$ que si $F, G$ sont élémentaires, i.e. sont « $\in \mathcal{M}$ », idem pour $\mathring{\ll}$.

Proposition Soient $F, G \in \mathcal{F}$, $L = F \cap G$, $F' \ll F$, $G' \ll G$, On a

Proposition 1 Propriétés usuelles de $\mathcal{F}, \leq$ : a) stabilité […] et b) existence ⌜« division » des parties $\mathfrak{F}$⌝ […] ensemble de parties de $\mathcal{M}$.

y compris l'existence des Sup […] des Inf ($\mathfrak{F} \neq \emptyset$)

Proposition 2 a) $F \lessgtr G$, $F' \leq F$, $G' \leq G \Rightarrow F' \lessgtr G'$

b) $F \parallel G$, $F' \ll F$, $G' \ll G \Longrightarrow F' \parallel G'$

b) En Si $F = \bigcup_i F_i$ Sup […] figures, \[ \text{alors}\quad G \lessgtr F \;\text{\struck{$\Longleftrightarrow$}}\; \forall i,\ G \lessgtr F_i . \] Donc si $F = \bigcup F_i$, $G = \bigcup G_j$, $F \lessgtr G$ ssi $\forall i, j$, $F_i \lessgtr G_j$.

Prop 1, Prop 2 concernent seulement $\leq$

Proposition 3 Soient ⌜Soient⌝ $F, G$, $F \lessgtr G$, $F' \ll F$, $L = F \cap G$, $F' \ll F$, $G' \ll G$,

il écrit les inégalités verticalement ; le signe $\geq$ placé entre deux lignes se lit de haut en bas. \[ \begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ & & \geq \\ & & F' \end{array} \]

alors $\exists\, G'$ avec $\widetilde{G} \cap \mathrm{Omb}(F')$

\[ \begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \ll & F' \end{array} \]

$G' = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G)$.

On a \[ \widetilde{G'} = \widetilde{G} \cap \mathrm{Omb}(F') \] Posant $G' = G_{F'}$ ⌜i.e. $G(F')$⌝, ou $F'_{G}$ ⌜i.e. $F'|G$⌝, on a \[ F' \longmapsto G_{F'} : \mathrm{Ssfig}(F) \longrightarrow \mathrm{Ssfig}(G) \] est croissante et ⌜commutant aux⌝ Sup et aux Inf quelconques.

12il numérote « 4 ». Cor. 1 Si $G \leq F$, alors $G' = G \wedge F'$ ⌜(donc $\widetilde{G'} = \widetilde{G} \cap \widetilde{F'}$), i.e.⌝ \[ \mathrm{Inf}^{\ll}(G, F') = \mathrm{Inf}^{\leq}(G, F') \] Cor. 2 (cf lemme p. 5) $L = F \cap G$,

Prop 5 Soient $F, G$ avec $F \lessgtr G$, $F' \ll F$, $G' \ll G$, d'où $F'_{L} \ll L$, $G'_{L} \ll L$. Alors […] \[ \begin{aligned} \text{a)}\quad & F' \lessgtr G' \Longleftrightarrow F'_{L} \lessgtr G'_{L} \\ \text{b)}\quad & F' \parallel G' \Longleftrightarrow F'_{L} \parallel G'_{L} \end{aligned} \] Cor. Si $F'_{L} = \emptyset$, alors $F' \parallel G'$ pour tout $G' \leq G$.

(en fait $F'' \parallel G$)

Prenant $L = \emptyset$, on trouve

Cor $F \parallel G$, Si $F' \ll F$, $G' \ll G$, alors \[ F \parallel G \Longrightarrow F' \parallel G' \] les énoncés depuis Prop 5 sont réunis par une accolade ; en marge, une flèche descendante « demande prop. 4 ».

Prop. 4 (Recollement des raffinements)

Soit $F = \bigcup_i F_i$. Alors \[ \begin{array}{ccccc} \mathrm{Raff}(F) & \longrightarrow & \prod_i \mathrm{Raff}(F_i) & \rightrightarrows & \prod_{i,j} \mathrm{Raff}(F_i \cap F_j) \\ G & \longmapsto & (G|F_i)_i & & \end{array} \] exact.

On pose $\mathrm{Raff}(F) = \{ F' \ll F \}$ […] $G|F \ll F$ […]

Cor. 1 Soit $F \in \mathcal{F}$. Alors \[ \mathrm{Raff}(F) \longrightarrow \prod_{X \in \widetilde{F}} \mathrm{Raff}(X) \] […] est injectif, et l'image est formée des familles $(G_X)_{X \in \widetilde{F}}$ de raffinements telles que $Y \leq X$ implique $G_Y = G_X | Y$. On a donc \[ \mathrm{Raff}\, F = \varprojlim_{X \in \widetilde{F}} \mathrm{Raff}(X) \]

13il numérote « 5 ». Tout ceci est récapitulatif, on fait pas […] […] directement $|\circ|$. ces deux lignes sont barrées de grandes croix ; elles sont reprises plus bas.

Prop. 4 Cor 2 Soit $G \ll F = \bigcup F_i$. Alors $G \leq F$ ssi Prop. pour $\forall i$, $G|F_i \leq F_i$. […] Si $G, G' \ll F$, alors $G \lessgtr G'$ ssi $\forall i$, $G_{F_i} \lessgtr G'_{F_i}$, idem pour $\parallel$, $\leq$, $\ll$ …

devrait venir après prop. 3.

Tout ceci est récapitulatif, et ne fait pas intervenir explicitement $|\circ|$, si ce n'est par l'intermédiaire de $\lessgtr$. Il faudrait, dans ce contexte, reprendre aussi rapidement ⌜les⌝

1)Les axiomes relatifs aux lieux, ombres, multiombres.
2)Le lien avec le cas ensembliste et quasi-ensembliste (où les lieux jouent justement un rôle prépondérant).

Mais surtout

3)Revoir la théorie des subdivisions.

Comme Également

4)Voir ce que devient l'axiomatique $\leq$, $\ll$, $|\circ|$, dans le cas (le plus courant sûrement) où $\ll$ peut s'exprimer en termes de $\leq$, $|\circ|$. Mais pour les formules, nous aurons besoin de donner un sens, pour $X \in \mathcal{M}$, à « $X^{\circ} = X \smallsetminus \partial X$ », et pour $X, Y \in \mathcal{M}$, à « l'inclusion » « $X^{\circ} \subset Y^{\circ}$ » i.e. il faut d'abord passer par 3.

Traitons quand même 1° et 2°).

Les axiomes pertinents devraient

14il numérote « 6 ». Axiomes pour les lieux, i.e. les éléments de $\mathcal{M}$ minimaux pour $\ll$. Pour $x, y \in L$, \[ \underset{\text{ens.\ des lieux}}{L \subset \mathcal{M}}, \] il est tautologique que \[ x \parallel y \Longleftrightarrow x |\circ| y . \] On a aussi Notons aussi, On pose comme d'habitude, si $X \in \mathcal{M}$ \[ \begin{aligned} \mathrm{omb}(X) &= \{ x \in L \mid x \ll X \} = \mathrm{Omb}(X) \cap L \\ \mathrm{omb}(F) &= \textstyle\bigcup_{X \in F} \mathrm{omb}(X) \qquad \text{pour } F \subset \mathcal{M} \text{ (p.ex.\ } F \in \mathcal{F}) \\ \text{\struck{$\mathrm{omb}(X)^{\circ}$}} &\;\text{\struck{$= \mathrm{omb}(X)$}} \\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} &= \mathrm{omb}(X) - \mathrm{omb}(\partial X) \end{aligned} \] plus gén. (en regard de la ligne $\mathrm{omb}(F)$) où \[ \partial X = \widetilde{X} \smallsetminus \{X\} \;\text{\struck{$F$}}\; = \{ Y \in \mathcal{M} \mid Y \lneq X \} \in \mathcal{F} \] le $\lneq$ final est lu sur un $\leq$ surchargé ; lecture incertaine. Notons \[ x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \Longleftrightarrow x \mathring{\ll} X \] On a alors, par Mag 3 \[ X \parallel Y \Longrightarrow \forall x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ},\ \text{on a } x \parallel y . \] Ceci n'est pas bien utile, quand $\mathrm{omb}(X)^{\circ}$ ou $\mathrm{omb}(Y)^{\circ}$ est $\emptyset$.

Mag$L$ 1 $\forall X \in \mathcal{M}$, $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$

Ceci nous ⌜permet de définir, et⌝ donne des propriétés agréables pour \[ \begin{aligned} \mathcal{M} &\longrightarrow \mathrm{Figél}(L) &\quad&\text{ou}\quad& \mathcal{F} &\longrightarrow \mathrm{Fig}(L) \\ X &\longmapsto \mathrm{mulomb}(X) &&\text{ou}& F &\longmapsto \mathrm{mulomb}(F) \end{aligned} \] savoir : croissant compat. pour $\leq$, $\ll$, commutant ⌜aux […] Sup quelconques finis⌝, compatible avec ⌜$\leq$,⌝ $|\circ|$, $\parallel$ … Il faudrait revoir la notion d'homomorphisme et de plongement pour les ateliers magasins (ou pour les ateliers, par exemple) cf GF VII p. 54 et GF VI …

15il numérote « 7 ». Mag$L$ 2⌜bis⌝ Soient $X, Y \in \mathcal{M}$, tels donc tels que \[ \forall x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ},\ \text{on a } x \parallel y . \] Alors $X |\circ| Y$.

implique Mag$L$ 1 (à cause de l'antiréflexivité de $|\circ|$)

Cela signifie donc que $|\circ|$ sur $\mathcal{M}$ se déduit de la […] relation $\parallel$ sur $L$ ⌜dans les cas pratiques⌝. Il semble que chaque fois qu'on a Mag$L$ 1, on a aussi Mag$L$ 2, qui semble donc l'axiome le plus utile.

Proposition – Scholie. Se donner ⌜sur $\mathcal{M}$⌝ ⌜structure de⌝ une magasin « strictement divisible » (i.e. satisfaisant à Mag$L$ 2, […]) revient au même que de se donner $\leq$, $\ll$ satisfaisant Mag 1, Mag 2 p. 1, ⌜(la condition Mag$L$ 1 (p. 6)⌝ plus une relation \[ x \parallel y \quad \text{relation \emph{sur $L$}} \] satisfaisant les seules conditions

Mag div 3 La relation $x \parallel y$ sur $L$ est symétrique et antiréflexive.

Mag div 4 Si $Y, Z \leq X$ dans $\mathcal{M}$, $Y \neq Z$, et si $y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}$, $z \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ}$, alors $y \parallel z$.

En effet, dans ce cas on définit $|\circ|$ dans $\mathcal{M}$ par la condition envers Mag$L$ 2, et on vérifie immédiatement que cette celle-ci satisfait Mag 3⌜*⌝, Mag 4, et réciproquement

mais pour la réciproque il faut que $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$

16il numérote « 8 » ; la phrase de la page précédente se poursuit. la relation se déduit de sa restriction à $L$.

Le cas « quasi-ensembliste » est celui où on suppose

Mag quens Pour $x, y \in L$, $x \neq y \Rightarrow x \parallel y$.

Proposition – Scholie Les ⌜Structures de⌝ magasins […] ⌜pré⌝-ensemblistes sur $\mathcal{M}$ correspondent aux couples $(\leq, \ll)$ de deux relations d'ordre sur $\mathcal{M}$ sans plus, satisfaisant les seules conditions

Mag 1 $X \leq Y \Rightarrow X \ll Y$

Mag 2 $\forall X \ll Y$, l'ens. $\widetilde{Y}^{X} = \{ Y' \in \widetilde{Y} \mid X \ll Y' \}$ a un plus petit élément

Mag$L$ 1 $\forall X \in \mathcal{M}$, $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$, i.e. $\exists\, x \in L$, avec $x \mathring{\ll} X$ i.e. $x$ $\widetilde{X}^{x} = \{X\}$.

Voir exemple dans GF VII p. 57 pour montrer que ceci n'implique pas que $\mathcal{M}$ se plonge dans $\mathrm{Figél}(L)$. Le magasin […] ensembliste […]

Pour mémoire : si $\mathcal{M}$ satisfait la condition Mag$L$ 1 (sans être nécessairement quasi-[…] ici) alors que ens […], on a pour $F \in \mathcal{F}$ \[ \begin{aligned} \mathrm{Ssfig}(F) &\xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Ssfig}(\mathrm{mulomb}(F)) \\ F' &\longmapsto \mathrm{mulomb}(F') \end{aligned} \] (isom. d'ens. ordonnés). Par contre, même dans le cas quasi-ensembliste, on […] n'a pas nécessairement :

17il numérote « 9 ». La condition a) annoncée au bas de la page précédente n'est pas écrite ; la page s'ouvre sur b). \[ \begin{aligned} \text{b)}\quad & \mathrm{mulomb}(F) \ll \mathrm{mulomb}\, G \Longrightarrow F \ll G \\ \text{c)}\quad & \mathrm{mulomb}(F) \lessgtr \mathrm{mulomb}(G) \Longrightarrow F \lessgtr G . \end{aligned} \] (c'est quand ces conditions implications sont satisfaites ⌜(en plus de la condition a) ci-dessus)⌝ et il suffit de la poser pour $F = X$, $G = Y$, $X, Y \in \mathcal{M}$ ⌜(spéciaux)⌝ qu'on dit que le magasin est « ensembliste »)

Il est donc donné par un ensemble de […] telles données […] celles-ci

Proposition – Scholie (La donnée d'un magasin ensembliste, équivaut à la donnée d'un ens. $L$ (l'ens. des « lieux » ou « points »), et d'une partie \[ \mathcal{M} \subset \mathrm{Figél}(L), \] satisfaisant les conditions

Magens 1 $\forall$ $F$ $F \in \mathcal{M}$, et tout $X$ $X \in \widetilde{F}$, l'ens. \[ \widetilde{F}_{\leq X} = ( Y \in F \mid Y \subset X ) \subset F \text{ est aussi dans } \mathcal{M} \] ($\mathcal{M}$ stable par passage aux […] […])

Magens 2 $\forall x \in L$, $\{\{x\}\} \in \mathcal{M}$.

[…] une digression !!!

Donc on a une espèce de structure $\mathcal{M} \in \mathfrak{P}\mathfrak{P}(L)$, ⌜axiomes⌝ Magens 0 : Tout $X \in \mathcal{M}$ est une figure ensembliste élémentaire, […] Magens 2 […] À peine plus compliqué que la définition d'une « topologie » ! !!!

[…] […] de l'axiomatique. En fait, à ce stade de l'axiomatique, […] « ateliers » de « […] évidents », le point de vue des figures nous avait plutôt compliqué la vie. Ici il vaut décidément mieux partir du magasin, et y conserver aussi claire que possible – quitte à faire ensuite une ⌜petite⌝ complication […] les ateliers plus

18il numérote « 10 » ; la phrase de la page précédente se poursuit. généraux que l'atelier canonique associé à un magasin – et de revoir les prop essentielles prop 1 à prop 5 (plus d'autres à venir peut-être) sous cet angle, logiquement suffisant à présent.

27 juin (ou plutôt, 28 juin ! (on ne sait plus …)

Définition Soit $\mathcal{F}$, $\leq$ un ensemble ordonné. On appelle antifiltre de $\mathcal{F}$ une partie $\mathcal{F}'$ de $\mathcal{F}$ satisfaisant les conditions suivantes

a) $\mathcal{F}'$ est fermé pour $\leq$, i.e. $F \in \mathcal{F}'$, $G \leq F \Rightarrow G \in \mathcal{F}'$.

b) Si $F, G \in \mathcal{F}'$, et si $F \vee G$ existe dans $\mathcal{F}$, alors $F \vee G \in \mathcal{F}'$.

Cela est que les antifiltres […] suit un petit encadré biffé, illisible, avec $F$ et $\mathcal{F}$.

Définition Soit $\mathcal{M}$ un magasin. Un $\mathcal{M}$-atelier, ⌜ou⌝ atelier strict de $\mathcal{M}$, est par définition un antifiltre $\mathcal{F}$ (dans l'ens $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$ des $\mathcal{M}$-figures), tel que ce soit vide et contenant les figures vides figures élémentaires Cette dernière \[ \widetilde{X} \quad (X \in \mathcal{M}) \] et la figure vide). condition résulte des autres si $\mathcal{M} \neq \emptyset$.

NB Cette dernière condition résulte des autres si $\mathcal{M} \neq \emptyset$. On voit que les conditions suivantes sont équivalentes

(i)$\mathcal{M} = \emptyset$
(ii)$\mathcal{F} = \{\emptyset\}$
(iii)$\mathrm{card}\, \mathcal{F} = 1$

On dit que ⌜dans ce cas⌝ que ⌜$\mathcal{M}$ est⌝ le un magasin […] vide (ou : le un atelier $\mathcal{F}$ vide (ou : tout vide), ce qui est un abus de langage puisque $\mathcal{F}$ […] n'est pas vide ….

Mag at •) $F \in \mathcal{F}$, $G \leq F \Rightarrow G \in \mathcal{F}$ ⌜(sur $F \subset \mathcal{F}$)⌝ ; b) $F, G \in \mathcal{F}$, $F \lessgtr G \Rightarrow F \cup G \in \mathcal{F}$ ; c) $\forall X \in \mathcal{M}$, $\widetilde{X} \in \mathcal{F}$ ; d) $\mathcal{F} \neq \emptyset$ (i.e. $\emptyset \in \mathcal{F}$). $\mathcal{F}$ (contenu dans $\mathfrak{P}(\mathcal{M})$) commun […] $\mathcal{M}$ – vérifie que $\Leftrightarrow$ c)

19il numérote « 11 ». Les structures ⌜relations⌝ $\leq$, $\ll$, $\lessgtr$, $\parallel$ sur $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$ induisent des structures ⌜relations⌝ de même nom sur $\mathcal{F}$. Les prop $1_0F$, $2_0F$ (p. 2bis), prop. 2, 3, 5 sont « ipso facto » encore vraies dans un atelier général. Il n'y a que la prop. 4 (recollement des raffinements) qui, dans le cas d'un atelier, demande un axiome additionnel […], de stabilité, nécessaire pour l'atelier,

At Fil ⌜savoir⌝ Soit $F \in \mathcal{F}$, et soit $(G_\alpha)$ une famille filtrante croissante pour $\leq$ ⌜pour $\leq$⌝ de raffinements de $F$. Supposons que $\forall X \in \widetilde{F}$, la famille des $G_\alpha | X$ soit stationnaire. Alors $\mathrm{Sup}\, G_\alpha$ existe dans $\mathcal{F}$ […].

Comme on a $\mathcal{F} \subset \mathcal{F}_{\mathcal{M}}$, cela signifie donc que […] (le Sup dans $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$) est par $\bigcup G_\alpha$ (qui est le Sup dans $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}$) est en fait dans $\mathcal{F}$ : propriété de stabilité de $\mathcal{F}$ en tant que partie […] fermée de $\mathcal{F}_{\mathcal{M}}, \leq$.

On peut considérer la structure d'atelier comme une donnée indépendante […] de celle d'un magasin […] […] près.

Atelier : $\mathcal{F}$ muni de trois relations $\leq$, $\ll$, $|\circ|$ […]

At 1 Les Sup majorés existent, et $\mathcal{F} \neq \emptyset$ ($\Leftrightarrow \mathcal{F}$ a un plus petit élément $\emptyset_{\mathcal{F}}$).

Éléments Figures élémentaires ou éléments co-irréductibles : \[ X = \mathrm{Sup}\, F_i \Longrightarrow \exists\, i,\ F_i = X . \] […] $\mathcal{M}$ ens. des fig. élém., $\widetilde{F} = \{ X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \}$.

At 2 $F \leq G \Longleftrightarrow \widetilde{F} \subset \widetilde{G}$ […] … $X \in \mathcal{M}$, $X \leq F \Rightarrow X \leq G$. « toute strate de $F$ est strate de $G$ ». Équivalent : Toute figure est le Sup de ses strates.

At 2, 3, 4 : p. 55 pour strates

20il numérote « 12 ». Déf $F \lessgtr G \Longleftrightarrow \{F, G\}$ majoré ($\Longleftrightarrow F \vee G$ existe)

At 3 $F \lessgtr G \Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\ X \lessgtr Y$

(NB $\Rightarrow$ est déjà […])

At 4 $F \ll G \Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ \exists\, Y \in \widetilde{G},\ X \ll Y$

NB At 1 – At 3 ne concernent que $\leq$, At 4 ne fait que préciser $\ll$ en termes des strates

At 5 a) $F |\circ| G \Longrightarrow F, G \in \mathcal{M}$. ⌜i.e. la relation $|\circ|$ est en fait une relation dans $\mathcal{M}$⌝

b) $X \lessgtr Y \Longleftrightarrow \forall X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$, on a $X' |\circ| Y'$

relation $|\circ|$ et $\lessgtr$

$+$ Mag 1, Mag 2, Mag 3, Mag 4

Scholie Les deux points de vue […]

(i) $(\mathcal{M}, \leq, \ll, |\circ|, \mathcal{F} \subset \mathcal{F}_{\mathcal{M}})$ […] Mag 1 – Mag 4 $+$ ⌜Mag at⌝ sous l'accolade de Mag 1 – Mag 4 : « […] $\leq$, $\ll$, $|\circ|$ ».

(ii) $(\mathcal{F}, \leq, \ll, |\circ|)$ […] axiomes At 1 – At 5 $+$ Mag 1 – Mag 4

sont équivalents, i.e. donnent des catégories-groupoïdes équivalentes.

Le point de vue « magasin » est plus pratique, visiblement, pour l'économie de l'écriture des axiomes de base.

Le point de vue « atelier » me semble plus commode pour la pratique du calcul et des raisonnements géométriques, une fois l'axiomatique acquise.

la page s'arrête ici ; la comparaison des deux points de vue et le programme de la page 13 (lieux, cas ensembliste, subdivisions) se poursuivent au-delà de ce lot.