Cote n° 156-8 · pages 1–126 · Lecture modernisée · [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Couverture, table des magasins, magasins orientés (pages 1 à 6) : une table récapitulative écrite après coup, et un essai inachevé.
2. 2.Les données d'un magasin (pages 7 et 8), le 26 juin : axiomes Mag 1 à Mag 4, compatibilité, disjonction, figures.
3. 3.Premières conséquences (pages 9 et 10), le 27 juin.
4. 4.Restriction et recollement des raffinements (pages 11 à 13).
5. 5.Lieux, et les magasins divisibles, quasi-ensemblistes, ensemblistes (pages 14 à 17).
6. 6.Ateliers (pages 18 à 23), le 28 juin.
7. 7.La variante polyidéale (pages 23 à 28).
8. 8.L'incidence intérieure comme donnée primitive (pages 28 à 32).
9. 9.Magasins triviaux et figures indexées (pages 33 à 35).
10. 10.Morphismes de magasins (pages 35 à 40).
11. 11.Fonction support (pages 41 à 44).
12. 12.Familles indexées de parties (pages 45 à 53).
13. 13.Images inverses, quotients, sous-magasins (pages 53 à 60).
14. 14.Homomorphismes d'ateliers (pages 61 à 66).
15. 15.Fonctions support exactes (pages 66 à 72).
16. 16.Supports intérieurs (pages 73 à 80).
17. 17.Supports constructibles et pleine fidélité (pages 81 à 88).
18. 18.Le magasin d'un ensemble ordonné (pages 89 à 96), le premier juillet.
19. 19.Figures et supports élémentaires (pages 97 à 102), le 2 juillet.
20. 20.Préfigures (pages 102 à 110), le 4 juillet.
21. 21.Supports des préfigures (pages 110 à 117).
22. 22.Sommets, et la description des préfigures (pages 117 à 126).

La pagination. À partir de la page 7, les feuillets portent sa propre pagination 1, 2, 1bis, 2bis, 3, …, 118. Sa page \(n\) est notre page \(n + 8\) pour \(n \geq 3\) ; ses pages 1, 2, 1bis, 2bis sont nos pages 7, 8, 9, 10. Ses renvois internes sont convertis ci-dessous, avec son numéro entre parenthèses quand il importe. Les pages 4 et 6 sont des versos dactylographiés d'un autre texte, non transcrits.

La place du dossier. C'est le chapitre VIII de Vers une géométrie des formes, la quatrième mouture de l'Analysis situs après les chapitres IV (dossier 156-4), VI (156-6) et VII (156-7). Le mot « magasin » et la relation \(\mathrel{|\circ|}\) de disjonction intérieure sont apparus aux dernières pages du chapitre VII (pages 101 à 110 du dossier 156-7) ; les figures ensemblistes viennent du chapitre V, « Algèbre des figures » (156-5). Le chapitre IX (156-9), commencé le 5 juillet, reprend le magasin d'un ensemble ordonné là où celui-ci s'arrête.

Conventions, valables pour tout le dossier. Un magasin est un ensemble \(\mathcal{M}\) dont les éléments \(X, Y, Z\) sont appelés multistructures, muni de :

• –l'incidence \(X \leq Y\) (« \(X\) est une strate de \(Y\) ») ; on note \(\widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} = \{Y \mid Y \leq X\}\) et \(\partial X = \widetilde{X} \smallsetminus \{X\}\) ;
• –le raffinement \(X \ll Y\) (« \(X\) est contenu dans \(Y\) »), et l'incidence intérieure \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) (« \(X\) est dans l'intérieur de \(Y\) ») ;
• –la disjonction intérieure \(X \mathrel{|\circ|} Y\) (« les intérieurs de \(X\) et \(Y\) sont disjoints »).

On en déduit la compatibilité \(X \lessgtr Y\) et la disjonction \(X \parallel Y\) (page 7)¹ . \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\) est l'ensemble des figures (noté \(\mathcal{F}_{\mathcal{M}}\) page 8), \(\mathfrak{F}\) un atelier. \(\mathcal{L}\) est l'ensemble des lieux ; \(\mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X}\) et \(\mathrm{Omb}^{\circ}(X) = \mathcal{M}_{\mathring{\ll} X}\) sont l'ombre et l'ombre intérieure, \(\mathrm{omb}\) et \(\mathrm{omb}^{\circ}\) leurs traces sur \(\mathcal{L}\). Une fonction support est notée \(X \mapsto |X| \subset P\).

Deux homonymies, fixées ici. Les pages 61 à 67 appellent « atlas » ce que le reste du dossier appelle « atelier » ; c'est la même notion, et l'on dit partout atelier. Plus sérieusement, le bord d'une préfigure reçoit deux définitions qui ne coïncident pas : aux pages 103 à 105 c'est la réunion des bords de ses composantes connexes, que l'on note ici \(\partial_{c}\Phi\) ; en marge de la page 104 puis aux pages 118 à 126, c'est l'ensemble des sommets d'où part exactement un intervalle de \(\Phi\), noté \(\partial\Phi\). Elles diffèrent exactement aux sommets « lacunaires » (page 119), et la suite du dossier est écrite avec la seconde.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : le recollement des raffinements et la proposition 5 des pages 12 et 13 ; le programme de la page 13 sur les subdivisions ; la condition d) des morphismes, mise en question par lui-même (page 36) ; l'espoir de la page 78 de plonger tous les supports dans les parties d'un ensemble en respectant Sup, Inf et complémentaire (vrai seulement pour les familles admissibles, pages 85 à 87) ; les points 2° et 3° du programme de la page 88 ; l'énoncé de fermeture de la page 117 (« Vérifier ! ») ; la formule de la page 126, où le dossier s'arrête.

1–6

Couverture, table des magasins, magasins orientés (pages 1 à 6)

La couverture (page 1) porte, de sa main, « GF VIII », et renvoie à une page de numéro douteux pour la « définition des magasins »² .

La table de la page 2

La page 2 dresse une hiérarchie des sortes de magasins :

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \text{généraux} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
\text{locaux} \arrow[dr, no head] & & \text{fidèles} \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head] \\
 & \text{ponctuaires} \arrow[d, no head] & \text{maquettes} \\
 & \text{ensemblistes} \arrow[d, no head] & \\
 & \text{modérés} &
\end{tikzcd}

Elle a été écrite après coup : elle renvoie à ses pages 9 à 31 (nos pages 17 à 39) et utilise l'ensemble \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) des supports, qui n'apparaît qu'à la page 75. Ses noms ne sont pas ceux du texte, et la correspondance est la suivante³ :

• –généraux : \((\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll}, \mathrel{|\circ|})\) soumis à Mag 1 à Mag 4 (pages 7 et 30) ;
• –locaux : les magasins strictement divisibles (pages 15 et 31), où \(\mathrel{|\circ|}\) se lit sur les lieux ; la note en marge dit qu'un tel magasin « se réfère à des voisinages particuliers dévolus aux lieux », et que la trace sur les lieux ne respecte ni \(\cap\) ni \(\bigcup\) ;
• –ponctuaires : les quasi-ensemblistes (pages 16 et 32), pour lesquels \(\Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) (page 77) ; un lieu \(x\) y est ponctuel si \(x \mathrel{|\circ|} X \Leftrightarrow x \notin \mathrm{Omb}^{\circ}(X)\) pour tout \(X\), et ce sont, dit la marge, « les seuls magasins qui correspondent plus ou moins » à ce qu'on admet communément pour la topologie ;
• –fidèles : \((\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll})\), la disjonction intérieure étant définie par \(\mathring{\ll}\) (page 39), de sorte que \(X \mapsto \mathrm{Omb}^{\circ}(X)\) est une fonction support fidèle ;
• –maquettes : un ensemble ordonné \((\mathcal{M}, \leq)\) seul, \(\mathring{\ll}\) étant l'égalité (page 33) ; la maquette d'un espace \(T_{0}\) n'est ponctuaire que s'il est discret ;
• –ensemblistes : \(\mathcal{M} \subset \mathrm{Figél}(L)\) soumis à Magens 1 et 2 (page 17), et modérés avec un troisième axiome, qui « correspondent à des topologies modérées, qui n'ont été développées à présent que pour la seule structure linéaire par morceaux » ; la marge ajoute qu'il y a des magasins modérés non ensemblistes, les maquettes⁴ .

Une dernière note change les notations : \(\trianglelefteq\) pour l'incidence, \(\lhd\) pour l'incidence stricte, \(\subseteq\) pour l'inclusion des figures. Ces notations ne sont pas reprises dans le corps du dossier, qui garde \(\leq\).

Un essai de magasins orientés (pages 3 et 5)

Les pages 3 et 5 esquissent des « multistructures orientées ». Les données sont une incidence immédiate \(\lhd\), l'incidence intérieure, la disjonction intérieure, une involution sans point fixe \(X \mapsto X^{-}\) (« la multistructure orientée opposée ») et une partie \(\mathcal{M}_{0}^{+}\) de \(\mathcal{M}\). Les axiomes Magor demandent que \(\lhd\) engendre un ordre strict sans chaîne fermée satisfaisant la condition des chaînes descendantes (tout élément est de dimension finie), que l'involution respecte les relations, que \(X < Y\) entraîne \(X \mathrel{|\circ|} Y\), que les éléments de \(\mathcal{M}_{0}^{+}\) soient de codimension nulle et que les éléments minimaux se répartissent en \(\mathcal{M}_{0} = \mathcal{M}_{0}^{+} \amalg (\mathcal{M}_{0}^{+})^{-}\). Deux conditions sont proprement orientées :

1. a)si \(Z < X\) est de codimension 2, il y a un seul \(Y^{\sharp}\) avec \(Z \lhd Y^{\sharp} \lhd X\), et un \(Y^{\flat}\) du côté des orientations opposées⁵ ;
2. b)une multistructure de dimension 1 a exactement un sommet dans \(\mathcal{M}_{0}^{+}\).

Lorsque \(\mathring{\ll}\) est l'égalité et \(\mathrel{|\circ|}\) la différence (« maquettes orientées ») et que tout est de dimension \(\leq 1\), on trouve un ensemble \(S = \mathcal{M}_{0}^{+}\) de sommets, un ensemble \(A\) d'arêtes orientées muni d'une involution sans point fixe, et une application \(A \to S\), l'origine : ce sont, dit la page, « les graphes ». C'est exactement la définition des graphes de Serre⁶ . En dimension 2, la page annonce « la description des complexes cellulaires combinatoires de dimension \(\leq 2\) », et s'arrête : la page 7 reprend tout à neuf.

7–8

Les données d'un magasin (pages 7 et 8)

Le 26 juin, sous le titre « Analysis Situs (quatrième mouture) », la page 7 « reprend le formalisme algébrique » du chapitre VII, page 110⁷ .

Définition (page 7). Un magasin est un ensemble \(\mathcal{M}\) muni de trois relations \(\leq\), \(\ll\), \(\mathrel{|\circ|}\) telles que :

1. Mag 1.\(\leq\) et \(\ll\) sont des relations d'ordre, et \(X \leq Y \Rightarrow X \ll Y\).
2. Mag 2.Si \(X \ll Y\), l'ensemble \(\widetilde{Y}^{X} = \{Z \in \widetilde{Y} \mid X \ll Z\}\) a un plus petit élément. On écrit \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) quand ce plus petit élément est \(Y\) lui-même.
3. Mag 3.\(\mathrel{|\circ|}\) est symétrique et antiréflexive, et \(X \mathrel{|\circ|} Y\), \(X' \mathrel{\mathring{\ll}} X\), \(Y' \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) entraînent \(X' \mathrel{|\circ|} Y'\).
4. Mag 4.Si \(Y, Z \leq X\) et \(Y \neq Z\), alors \(Y \mathrel{|\circ|} Z\).

Le modèle à garder en tête est l'ensemble des cellules fermées d'un complexe cellulaire : \(X \leq Y\) si \(X\) est une face de \(Y\), \(X \ll Y\) si \(X\) est contenue dans \(Y\) comme partie, \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) si l'intérieur de \(X\) est dans l'intérieur de \(Y\), \(X \mathrel{|\circ|} Y\) si leurs intérieurs sont disjoints. Mag 2 dit qu'une cellule contenue dans \(Y\) a son intérieur dans une seule face de \(Y\), la plus petite qui la contienne ; Mag 4, que deux faces distinctes d'une même cellule ont des intérieurs disjoints.

Deux remarques que la page laisse implicites, et dont tout ce qui suit se sert. La relation \(\mathring{\ll}\) est réflexive (si \(Z \leq X\) et \(X \ll Z\), alors \(Z \ll X \ll Z\), donc \(Z = X\)), et elle est contenue dans \(\ll\). Et \(X \ll Y\) équivaut à l'existence d'un \(Y' \leq Y\) avec \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y'\) — le plus petit élément de Mag 2 —, ce que la page 28 prendra pour définition de \(\ll\).

Définitions (page 7). On pose \[ \begin{aligned} X \lessgtr Y &\iff X' \mathrel{|\circ|} Y' \text{ pour tous } X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} ; \\ X \parallel Y &\iff X' \mathrel{|\circ|} Y' \text{ pour tous } X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y}. \end{aligned} \]

Deux multistructures sont compatibles quand elles peuvent coexister dans une même figure, se touchant au plus le long de faces communes ; elles sont disjointes quand elles ne se touchent pas du tout. On a \(X \parallel Y\) si et seulement si \(X \lessgtr Y\) et \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset\) : une strate commune serait disjointe d'elle-même.

Définition (page 8). Une figure est une partie \(F \subset \mathcal{M}\) fermée pour \(\leq\) (si \(X \in F\) et \(Y \leq X\), alors \(Y \in F\)) et formée d'éléments deux à deux compatibles.

Ce sont les sous-complexes, dans le modèle cellulaire. La page envisage deux restrictions éventuelles : des conditions de finitude, et une condition « polyédrale » — si \(X, Y \in F\) ont une strate commune, \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\) a un plus grand élément — qui sera la variante polyidéale des pages 23 à 28. Elle appelle l'ensemble \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\) « l'édition maximale » associée au magasin⁸ .

\(\mathcal{M}\) se plonge dans \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\) par \(X \mapsto \widetilde{X}\), la figure élémentaire de \(X\), et les relations s'étendent aux figures : \[ \begin{aligned} F \leq G &\iff F \subset G, \\ F \ll G &\iff \text{tout } X \in F \text{ raffine un } Y \in G, \\ F \lessgtr G &\iff X \lessgtr Y \text{ pour tous } X \in F,\ Y \in G \iff F \cup G \in \mathrm{Fig}(\mathcal{M}), \\ F \parallel G &\iff F \lessgtr G \text{ et } F \cap G = \emptyset . \end{aligned} \] Les bornes inférieures pour \(\leq\) sont les intersections (de familles non vides) ; la borne supérieure de \(F\) et \(G\) existe si et seulement si \(\{F,G\}\) est majorée, si et seulement si \(F \lessgtr G\), et c'est alors \(F \cup G\). On n'écrit \(\mathrel{|\circ|}\) et \(\mathring{\ll}\) qu'entre éléments de \(\mathcal{M}\) (page 11).

9–10

Premières conséquences (pages 9 et 10)

Le 27 juin, deux pages numérotées 1bis et 2bis, que la marge de la page 8 demande d'insérer avant les sorites sur les figures, donnent « quelques compléments sur \(\mathcal{M}\) lui-même ». Le bas de la page 9 est un palimpseste de tentatives biffées ; voici ce qui en résulte.

Proposition \(1_{0}\). a) \(\lessgtr\) est symétrique et réflexive. b) Si \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\) et \(X \lessgtr Y\), alors \(X' \lessgtr Y'\).

Pour b), soient \(X'' \in \widetilde{X}' \smallsetminus \widetilde{Y}'\) et \(Y'' \in \widetilde{Y}' \smallsetminus \widetilde{X}'\). S'ils sont tous deux hors de \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\), \(X'' \mathrel{|\circ|} Y''\) par définition ; si par exemple \(X'' \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\), alors \(X''\) et \(Y''\) sont deux strates distinctes de \(Y\), et Mag 4 conclut.

Proposition 2 (marge de la page 9). Si \(X \neq Y\) et \(X \lessgtr Y\), alors \(X \mathrel{|\circ|} Y\).

Si aucun des deux n'est strate de l'autre, c'est la définition de \(\lessgtr\) ; si \(X < Y\), c'est Mag 4. La marge écrit une équivalence ; la réciproque est fausse⁹ , et c'est elle qui sert :

Corollaire 1. Si \(X \lessgtr Y\) et \(Z \mathrel{\mathring{\ll}} X\), alors \(Z \ll Y \iff X \ll Y\). Corollaire 2. Si \(Z \mathrel{\mathring{\ll}} X\), \(Z \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) et \(X \lessgtr Y\), alors \(X = Y\). Corollaire 3. Si \(X \lessgtr Y\), alors \(X \ll Y \iff X \leq Y\).

Pour le corollaire 1, il suffit de montrer \(\Rightarrow\). Par Mag 2 il existe \(Y' \leq Y\) avec \(Z \mathrel{\mathring{\ll}} Y'\) ; on a \(X \lessgtr Y'\) par la proposition \(1_{0}\). Si \(X \neq Y'\), la proposition 2 donne \(X \mathrel{|\circ|} Y'\), puis Mag 3 donne \(Z \mathrel{|\circ|} Z\), contre l'antiréflexivité. Donc \(X = Y' \leq Y\). Le corollaire 2 en résulte (\(X \ll Y\) et \(Y \ll X\)), et le corollaire 3 aussi, en prenant \(Z = X\) et \(Y'\) comme ci-dessus¹⁰ . Ainsi, entre éléments compatibles, raffinement et incidence coïncident : une cellule contenue dans une cellule compatible en est une face.

Proposition 3 (page 10). \(\mathring{\ll}\) est transitive : \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \mathrel{\mathring{\ll}} Z\) entraîne \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Z\).

Par Mag 2, \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Z' \leq Z\) pour un \(Z'\). Si \(Z' \neq Z\), Mag 4 donne \(Z' \mathrel{|\circ|} Z\), et Mag 3, appliqué deux fois, \(X \mathrel{|\circ|} Y\) puis \(X \mathrel{|\circ|} X\) : absurde. Ainsi \(\mathring{\ll}\) est une relation d'ordre, ce qui deviendra un axiome à la page 29.

Le NB de la page 10 ajoute : si \(X \ll Y \ll Z\) et \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Z\), alors \(Y \mathrel{\mathring{\ll}} Z\), mais pas nécessairement \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) — un point intérieur à un segment \(Z\) peut être l'extrémité d'un sous-segment \(Y\). Pour les figures enfin : si \(F \lessgtr G\), alors \(F \ll G \iff F \leq G\), de sorte que sur les sous-figures d'une figure, \(\ll\) et \(\leq\) coïncident.

11–13

Restriction et recollement des raffinements (pages 11 à 13)

Les propositions 1 et 2 de la page 11 sont les propriétés d'ensemble ordonné de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\) : existence des Inf de familles non vides, des Sup majorés, et \(G \lessgtr \bigcup_{i} F_{i}\) si et seulement si \(G \lessgtr F_{i}\) pour tout \(i\).

Proposition 3 (page 11). Soient \(F, G\) des figures avec \(G \ll F\), et \(F' \leq F\). La partie \[ G_{F'} = G \cap \mathrm{Omb}(F') = \{Y \in G \mid Y \ll X \text{ pour un } X \in F'\} \] est la plus grande sous-figure de \(G\) qui raffine \(F'\), et \(F' \mapsto G_{F'}\) envoie les sous-figures de \(F\) dans celles de \(G\) en commutant aux Sup et aux Inf de familles non vides.

C'est la restriction du raffinement \(G\) à la sous-figure \(F'\) ; la page l'écrit \(G | F'\) ou \(\mathrm{Inf}^{\ll}(F', G)\)¹¹ . Si \(G \leq F\), on a simplement \(G_{F'} = G \cap F'\) (corollaire 1, page 12), par le corollaire 3 de la page 9.

Proposition 4 (page 12, « recollement des raffinements »). Si \(F = \bigcup_{i} F_{i}\), la suite \[ \mathrm{Raff}(F) \longrightarrow \prod_{i} \mathrm{Raff}(F_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j} \mathrm{Raff}(F_{i} \cap F_{j}), \] où \(\mathrm{Raff}(F) = \{G \mid G \ll F\}\) et les flèches sont des restrictions, est exacte. En particulier \(\mathrm{Raff}(F) = \varprojlim_{X \in F} \mathrm{Raff}(\widetilde{X})\).

Un raffinement d'une figure est donc la même chose qu'une famille de raffinements de ses cellules qui se recollent sur les faces communes. C'est une condition de faisceau pour \(\mathrm{Raff}\) sur l'ensemble ordonné \(\mathcal{M}\)¹² . Le corollaire 2 de la page 13 en tire que \(\leq\), \(\ll\), \(\lessgtr\), \(\parallel\) entre deux raffinements de \(F\) se testent sur les restrictions aux \(F_{i}\).

Proposition 5 (page 12). Soient \(F \lessgtr G\), \(L = F \cap G\), \(F' \ll F\), \(G' \ll G\). Alors \(F' \lessgtr G'\) si et seulement si \(F'_{L} \lessgtr G'_{L}\), et de même pour \(\parallel\).

Deux raffinements de figures compatibles se rencontrent bien ou mal selon ce qui se passe sur la partie commune. La page n'en donne pas de démonstration, et une flèche en marge dit qu'elle « demande la proposition 4 ». Le cas \(L = \emptyset\), lui, est élémentaire : si \(F \parallel G\), alors \(F' \parallel G'\)¹³ .

La page 13 constate que tout ceci est « récapitulatif » et ne fait intervenir \(\mathrel{|\circ|}\) qu'à travers \(\lessgtr\), et dresse un programme : 1) les axiomes des lieux et des ombres ; 2) le lien avec le cas ensembliste ; « mais surtout » 3) revoir la théorie des subdivisions ; 4) le cas où \(\ll\) s'exprime par \(\leq\) et \(\mathrel{|\circ|}\), qui demande de donner un sens à « \(X^{\circ} \subset Y^{\circ}\) » et donc de passer d'abord par 3). Seuls 1) et 2) sont traités dans ce dossier.

14–17

Lieux, et les magasins divisibles, quasi-ensemblistes, ensemblistes (pages 14 à 17)

Les lieux sont les éléments minimaux pour \(\ll\) ; ils jouent le rôle des points¹⁴ . Pour deux lieux, \(x \parallel y\) et \(x \mathrel{|\circ|} y\) coïncident. On pose \[ \mathrm{omb}(X) = \{x \in \mathcal{L} \mid x \ll X\}, \qquad \mathrm{omb}(X)^{\circ} = \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(\partial X) = \{x \in \mathcal{L} \mid x \mathrel{\mathring{\ll}} X\}, \] l'ombre et l'ombre intérieure de \(X\) sur les lieux. Par Mag 3, \(X \mathrel{|\circ|} Y\) entraîne que les lieux intérieurs à \(X\) sont disjoints de ceux intérieurs à \(Y\). Deux axiomes possibles :

Mag L 1. Pour tout \(X\), \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset\). Mag L 2. Si \(x \parallel y\) pour tous \(x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ}\), \(y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}\), alors \(X \mathrel{|\circ|} Y\).

Mag L 2 entraîne Mag L 1, par antiréflexivité ; avec Mag 3, il dit que la disjonction intérieure se lit sur les lieux. « Il semble que chaque fois qu'on a Mag L 1, on a aussi Mag L 2, qui semble donc l'axiome le plus utile. »

Scholie (page 15). Se donner un magasin strictement divisible (satisfaisant Mag L 2) revient à se donner \(\leq\), \(\ll\) satisfaisant Mag 1, Mag 2 et Mag L 1, et une relation \(\parallel\) sur les lieux symétrique et antiréflexive, telle que si \(Y \neq Z\) sont deux strates d'un même \(X\), tout lieu intérieur à \(Y\) soit disjoint de tout lieu intérieur à \(Z\). On définit alors \(X \mathrel{|\circ|} Y\) par la condition de Mag L 2.

On vérifie Mag 3 par la transitivité de \(\mathring{\ll}\) (page 10), et Mag 4 par l'hypothèse sur les strates ; la réciproque demande \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset\), comme le dit la marge.

Le cas quasi-ensembliste est celui où deux lieux distincts sont toujours disjoints. Il ne reste alors que \((\leq, \ll)\) soumis à Mag 1, Mag 2 et Mag L 1, la disjonction intérieure étant \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)^{\circ} = \emptyset\)¹⁵ . La page 16 renvoie au chapitre VII, page 57, pour un exemple montrant qu'un tel magasin ne se plonge pas forcément dans les figures ensemblistes de ses lieux. Elle note pourtant que \(F' \mapsto \mathrm{mulomb}(F')\) identifie les sous-figures de \(F\) à celles de la figure ensembliste formée des ombres de ses éléments.

Le magasin est ensembliste quand, de plus, les relations entre figures se lisent sur ces ombres¹⁶ , et l'on a alors :

Scholie (page 17). Un magasin ensembliste est la donnée d'un ensemble \(L\) (« lieux » ou « points ») et d'une partie \(\mathcal{M}\) de l'ensemble \(\mathrm{Figél}(L)\) des figures ensemblistes élémentaires de \(L\) telle que :

1. Magens 1.si \(F \in \mathcal{M}\) et \(X \in F\), la figure \(\{Y \in F \mid Y \subset X\}\) est dans \(\mathcal{M}\) ;
2. Magens 2.pour tout \(x \in L\), \(\{\{x\}\} \in \mathcal{M}\).

Une figure ensembliste élémentaire est une famille admissible de parties de \(L\) ayant un plus grand élément, au sens du chapitre V¹⁷ . « À peine plus compliqué que la définition d'une “topologie” ! », dit la marge, et la page conclut qu'il « vaut décidément mieux partir du magasin », quitte à introduire ensuite des ateliers plus généraux que l'atelier canonique.

18–23

Ateliers (pages 18 à 23)

L'atelier comme partie de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\)

Le 28 juin (« 27 juin (ou plutôt, 28 juin ! (on ne sait plus …) »), page 18 :

Définition. Un antifiltre d'un ensemble ordonné est une partie fermée vers le bas et stable par les bornes supérieures de deux éléments lorsqu'elles existent. Un atelier de \(\mathcal{M}\) est un antifiltre \(\mathfrak{F}\) de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\) contenant les figures élémentaires \(\widetilde{X}\) et la figure vide.

L'antifiltre est ce qu'on appelle aujourd'hui un idéal de l'ensemble ordonné¹⁸ . La condition sur la figure vide résulte des autres si \(\mathcal{M} \neq \emptyset\) ; un magasin vide n'a que l'atelier \(\{\emptyset\}\). Les axiomes « Mag at » de la marge disent la même chose en termes de parties de \(\mathcal{M}\) : stabilité par sous-figure, par réunion de deux figures compatibles, présence des \(\widetilde{X}\), non-vacuité.

Les relations \(\leq\), \(\ll\), \(\lessgtr\), \(\parallel\) passent à \(\mathfrak{F}\), et les propositions des pages 9 à 13 restent vraies, sauf le recollement des raffinements, qui demande un axiome de plus :

At Fil. Si \((G_{\alpha})\) est une famille filtrante croissante de raffinements de \(F \in \mathfrak{F}\) dont la restriction à chaque \(X \in F\) est stationnaire, \(\bigcup_{\alpha} G_{\alpha}\) est dans \(\mathfrak{F}\).

L'atelier comme ensemble ordonné

On peut aussi partir de l'atelier seul (pages 19 et 20), un ensemble \(\mathfrak{F}\) muni de \(\leq\), \(\ll\), \(\mathrel{|\circ|}\) :

1. At 1.Les Sup majorés existent, et \(\mathfrak{F}\) a un plus petit élément.
2. At 2.Appelant élémentaires les \(X\) tels que \(X = \mathrm{Sup}\, F_{i}\) entraîne \(X = F_{i}\) pour un \(i\), et \(\mathcal{M}\) leur ensemble, on a \(F \leq G\) si et seulement si toute strate élémentaire de \(F\) est strate de \(G\) — « toute figure est le Sup de ses strates ».
3. At 3.\(\{F, G\}\) est majoré si et seulement si leurs strates élémentaires sont deux à deux compatibles.
4. At 4.\(F \ll G\) si et seulement si toute strate élémentaire de \(F\) raffine une strate élémentaire de \(G\).
5. At 5.\(\mathrel{|\circ|}\) ne lie que des éléments de \(\mathcal{M}\), et la compatibilité de deux d'entre eux s'exprime par \(\mathrel{|\circ|}\) comme à la page 7.

avec Mag 1 à Mag 4 sur \(\mathcal{M}\)¹⁹ .

Scholie (page 20). Les deux points de vue — \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \mathrel{|\circ|}, \mathfrak{F} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M}))\) soumis à Mag 1 à Mag 4 et Mag at, et \((\mathfrak{F}, \leq, \ll, \mathrel{|\circ|})\) soumis à At 1 à At 5 et Mag 1 à Mag 4 — donnent des groupoïdes équivalents.

« Le point de vue “magasin” est plus pratique, visiblement, pour l'économie de l'écriture des axiomes de base. Le point de vue “atelier” me semble plus commode pour la pratique du calcul et des raisonnements géométriques, une fois l'axiomatique acquise. »

Le point de vue mixte (pages 21 à 23)

Une troisième « prise de vue synthétique » se donne deux ensembles, \(\mathcal{M}\) et \(\mathfrak{F}\), et une relation d'incidence \(X \lhd F\) entre eux, avec \(\ll\) et \(\mathrel{|\circ|}\) sur \(\mathcal{M}\). Les axiomes At M 1 à At M 5 demandent : que \(F \mapsto \widetilde{F} = \{X \mid X \lhd F\}\) soit injective et sépare les éléments de \(\mathcal{M}\) ; que pour chaque \(X\) il y ait une plus petite figure \(F_{X}\) incidente à \(X\), d'où l'ordre \(X \leq Y \iff F_{X} \leq F_{Y}\) ; que \(\widetilde{\mathfrak{F}}\) soit stable par réunion de sous-familles majorées et contienne \(\emptyset\) ; que la compatibilité des figures se teste sur leurs éléments, et celle des éléments par \(\mathrel{|\circ|}\). La page 22 note que toute partie fermée d'un \(\widetilde{F}\) est encore dans \(\widetilde{\mathfrak{F}}\), ce qui est équivalent à At M 3 a), laissé sous sa forme faible pour l'énoncer comme une existence de Sup majorés.

Bilan, page 23 : partant de \(\mathfrak{F}\), ou de \(\mathfrak{F}\) et \(\mathcal{M}\), il faut cinq axiomes en plus de Mag 1 à Mag 4 ; partant de \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \mathrel{|\circ|})\), un seul suffit, sur le choix de \(\mathfrak{F}\). Les ateliers de ces pages, il propose de les appeler « spécieux ».

23–28

La variante polyidéale (pages 23 à 28)

« Il faut maintenant ouvrir une parenthèse sur les ateliers “polyidéaux”, qui représentent une variante très légèrement différente. »

Définitions (pages 23 à 25). Le magasin est prépolyidéal si deux éléments majorés de \(\mathcal{M}\) ou bien n'ont pas de minorant commun, ou bien ont une borne inférieure. On pose \(X \ll_{\mathrm{pol}} Y\) si \(X \ll Y\) et si, pour tout \(Y' \leq Y\), \(\widetilde{X} \cap \mathrm{Omb}(Y')\) est vide ou a un plus grand élément. Le magasin est polyidéal si \(\ll\) et \(\ll_{\mathrm{pol}}\) coïncident.

La page écrit « ont un Inf »²⁰ ; avec cette lecture, \(\mathcal{M}\) est prépolyidéal si et seulement si \(X \leq Y\) entraîne \(X \ll_{\mathrm{pol}} Y\) (page 24). Les pages 24 et 25 vérifient alors que \((\mathcal{M}, \leq, \ll_{\mathrm{pol}}, \mathrel{|\circ|})\) est encore un magasin, le magasin polyidéal associé : la transitivité de \(\ll_{\mathrm{pol}}\) par un argument de sous-figures induites, Mag 2 parce que \(X \ll Y' \leq Y\) entraîne déjà \(X \ll_{\mathrm{pol}} Y'\), et Mag 3, Mag 4 sans changement.

Il faut ensuite distinguer deux compatibilités : \(X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y\) si \(X \lessgtr Y\) et si deux strates quelconques \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\) ont une intersection \(\widetilde{X}' \cap \widetilde{Y}'\) vide ou ayant un plus grand élément. Les figures polyidéales, \(\mathrm{Figpol}(\mathcal{M}) \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M})\), sont celles dont les éléments sont deux à deux \(\lessgtr_{\mathrm{pol}}\), et :

même si \(\mathcal{M}\) est polyidéal, l'inclusion est stricte en général. Le croquis de la page 26 est un cercle portant deux points : deux arêtes ayant les mêmes deux extrémités forment une figure, mais leurs strates communes, les deux sommets, n'ont pas de plus grand élément. C'est exactement ce qui sépare un complexe polyédral, où deux cellules se coupent selon une face commune, d'un complexe CW régulier, où elles peuvent se couper selon plusieurs²¹ .

Pour \(F, G \in \mathrm{Figpol}(\mathcal{M})\) (page 26), les conditions suivantes sont équivalentes : \(\{F,G\}\) majoré, \(\mathrm{Sup}(F,G)\) existe, \(F \cup G \in \mathrm{Figpol}(\mathcal{M})\), et \(X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y\) pour tous \(X \in F\), \(Y \in G\). Un scholie de la même page annonce que les propriétés algébriques de \(\mathrm{Figpol}(\mathcal{M})\), avec \(\leq\), \(\ll_{\mathrm{pol}}\) et \(\lessgtr_{\mathrm{pol}}\), seront « essentiellement les mêmes » que celles de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\), la seule différence étant l'expression de \(\lessgtr_{\mathrm{pol}}\) par \(\mathrel{|\circ|}\). Un atelier polyidéal se définit comme l'atelier spécieux, avec \(\mathrm{Figpol}\) au lieu de \(\mathrm{Fig}\) (axiomes « Mag at pol », page 27). Un atelier spécieux est polyidéal si et seulement si le magasin l'est et si \(X \lessgtr Y\) entraîne \(X \lessgtr_{\mathrm{pol}} Y\), « ce qui est beaucoup plus exceptionnel ».

Conclusion de la page 27 : ce sont « des notions très voisines, mais disjointes » ; les notions spécieuses sont commodes pour travailler avec des figures aussi générales que possible, les polyidéales pour découper en morceaux « aussi standard que possible ». La marge en donne la raison : on a pris \(\ll\) comme relation primitive, et non \(\lessgtr\), « il y a un certain arbitraire ». Dans le magasin, la différence se réduit à un axiome (page 28) :

Mag pol. Si \(X \ll Y\) et \(Y' \leq Y\), \(\widetilde{X} \cap \mathrm{Omb}(Y')\) est vide ou a un plus grand élément.

28–32

L'incidence intérieure comme donnée primitive (pages 28 à 32)

Mag 1' à Mag 4'

La relation \(\ll\) se retrouve à partir de \(\mathring{\ll}\) : \[ (*) \qquad X \ll Y \iff X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq Y \text{ pour un } Y'. \] Les pages 28 et 29 cherchent quand une structure \((\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll}, \mathrel{|\circ|})\) provient ainsi d'un magasin dont \(\mathring{\ll}\) soit l'incidence intérieure, et aboutissent page 30 à :

Définition (pages 29 et 30). Un magasin est un ensemble \(\mathcal{M}\) muni de \(\leq\), \(\mathring{\ll}\), \(\mathrel{|\circ|}\) tels que :

1. Mag 1'.\(\leq\) et \(\mathring{\ll}\) sont des relations d'ordre ; \(\mathrel{|\circ|}\) est symétrique et antiréflexive.
2. Mag 2'.(Entre \(\leq\) et \(\mathring{\ll}\).) a) Si \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq Y\), \(Y'\) est déterminé par \(X\) et \(Y\). b) Si \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) et \(X' \leq X\), il existe \(Y' \leq Y\) avec \(X' \mathrel{\mathring{\ll}} Y'\).
3. Mag 3'.(Entre \(\mathring{\ll}\) et \(\mathrel{|\circ|}\).) Si \(X \mathrel{|\circ|} Y\), \(X' \mathrel{\mathring{\ll}} X\), \(Y' \mathrel{\mathring{\ll}} Y\), alors \(X' \mathrel{|\circ|} Y'\).
4. Mag 4'.(Entre \(\mathrel{|\circ|}\) et \(\leq\).) Comme Mag 4.

La page 30 récrit Mag 4' sous la forme « si \(X \leq Y\) et \(X \neq Y\), alors \(X \mathrel{|\circ|} Y\) », précédée d'un « non » douteux que nous écartons²² . La page 30 dit pourquoi \(\mathring{\ll}\) est « plus primaire » que \(\ll\) et « plus intuitive » : elle est disjointe de \(\leq\) (\(X \leq Y\) et \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) entraînent \(X = Y\)), et elle est celle qui figure naturellement dans Mag 3 ; et chaque axiome lie désormais deux relations et deux seulement. « Décidément, c'est la forme parfaite de définition ! »

Trois semaines de choix

Suit, page 30, le « rappel des principales phases parcourues » pour le choix des données de base, depuis le chapitre IV, page 52, le 13 juin²³ :

1. –des figures, avec \(\leq\) et une relation de subdivision ;
2. –des figures, avec \(\leq\) et \(\ll\) ;
3. –\(\mathcal{M}\), \(\leq\), \(\ll\), \(\lessgtr\) (« retour vers les origines ») ;
4. –\(\mathcal{M}\), \(\leq\), \(\ll\), \(\mathrel{|\circ|}\), « l'innovation d'avant-hier faisant tomber tous les fouillis des axiomes de compatibilité – disjonction » ;
5. –\(\mathcal{M}\), \(\leq\), \(\mathring{\ll}\), \(\mathrel{|\circ|}\), « aujourd'hui, l'épanouissement intégral ! ».

Seule des trois relations, \(\leq\) passe aux figures ; d'où (page 31) l'idée de se donner \((\mathcal{M}, \mathfrak{F} \mid \lhd, \mathring{\ll}, \mathrel{|\circ|})\), l'ordre \(\leq\) sortant de l'incidence \(\lhd\).

Les cas particuliers, dans la nouvelle forme

Magasins strictement divisibles (page 31). Les lieux sont les éléments minimaux pour \(\leq\) et pour \(\mathring{\ll}\) ; les données sont \((\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll}, \parallel)\) avec \(\parallel\) symétrique et antiréflexive sur \(\mathcal{L}\), Mag div 2 étant Mag 2', et Mag div 3 : si \(X < Y\), tout lieu intérieur à \(X\) est disjoint de tout lieu intérieur à \(Y\). On retrouve \(X \mathrel{|\circ|} Y\) si et seulement si tous leurs lieux intérieurs sont disjoints²⁴ .

Magasins quasi-ensemblistes (page 32). Les données sont \((\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll})\) avec Mag quens 1 (\(\leq\), \(\mathring{\ll}\) des ordres), Mag quens 2 (Mag 2') et Mag quens 3 (tout \(X\) a un lieu \(x \mathrel{\mathring{\ll}} X\))²⁵ , la disjonction intérieure étant \(\mathrm{Omb}^{\circ}(X) \cap \mathrm{Omb}^{\circ}(Y) \cap \mathcal{L} = \emptyset\).

Magasins ensemblistes. La structure de la page 17, « à laquelle je n'ai rien à ajouter », avec \(X \mathrel{|\circ|} Y \iff X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset\), \(X^{\circ} = X \smallsetminus \partial X\).

La page 32 se termine par un tableau des systèmes d'axiomes, que voici avec nos numéros de page²⁶ :

1. –magasins : Mag 1 à Mag 4 (page 30), Mag L 1, L 2 (pages 14 et 15), Mag at (page 18) ;
2. –ateliers : At 1 à At 5 et Mag 1 à Mag 4 (pages 19 et 20) ;
3. –mixtes : At M 1 à At M 5 et Mag 1 à Mag 4 (pages 21 et 22) ;
4. –magasins strictement divisibles : Mag div 1 à 3 (page 31) ; quasi-ensemblistes : Mag quens 1 à 3 (page 32) ; ensemblistes : Magens 1, 2 (page 17) ;
5. –variante polyidéale : Mag 1 à Mag 4, Mag pol, Mag at pol (pages 23 à 27).

33–35

Magasins triviaux et figures indexées (pages 33 à 35)

Un magasin est trivial si \(\mathring{\ll}\) est l'égalité et \(\mathrel{|\circ|}\) la différence : il ne reste qu'un ensemble ordonné \((\mathcal{M}, \leq)\), et tout ensemble ordonné en fournit un — ce sont les « maquettes » de la table de la page 2. On y trouve \(\ll = \leq\), \(\lessgtr\) toujours vraie, \(X \parallel Y\) si et seulement si \(\{X, Y\}\) n'est pas minoré ; les lieux sont les éléments minimaux, et \(\mathrm{omb}(X)^{\circ}\) vaut \(\{X\}\) si \(X\) est minimal, \(\emptyset\) sinon. Un magasin trivial ne satisfait donc Mag L 1 que si l'ordre est discret.

Proposition (pages 33 et 34). Soit \(I\) un ensemble ordonné. Une application \(\varphi : I \to \mathcal{M}\), \(i \mapsto X_{i}\), définit une figure indexée par \(I\) — une figure \(F\) avec un isomorphisme ordonné \(I \simeq F\) — si et seulement si : a) \(\varphi\) est croissante et injective ; b) pour tout \(i\), \(\varphi\) induit une bijection \(I_{\leq i} \to \widetilde{X}_{i}\) ; c) si \(i \neq j\), \(X_{i} \mathrel{|\circ|} X_{j}\).

La condition c) dit, remarque-t-il, que \(\varphi\) envoie la structure de magasin triviale de \(I\) dans \(\mathcal{M}\). b) rend \(\varphi(I)\) fermée ; pour la compatibilité de \(X_{i}\) et \(X_{j}\), deux strates \(X' = X_{i'}\), \(Y' = X_{j'}\) hors de la partie commune sont distinctes, donc \(i' \neq j'\), et c) conclut (page 35)²⁷ .

La page 35 ouvre ensuite une section « Variantes polyidéales » de quelques lignes : la condition polyidéale sur une figure \(F\) se lit sur le magasin \(\widetilde{F}\), et dit que c'est un ensemble ordonné polyidéal.

35–40

Morphismes de magasins (pages 35 à 40)

Définition (pages 35 et 36). Un morphisme \(\varphi : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) est une application telle que a) \(X \leq Y \Rightarrow \varphi(X) \leq \varphi(Y)\) ; b) \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Rightarrow \varphi(X) \mathrel{\mathring{\ll}} \varphi(Y)\) ; c) \(X \mathrel{|\circ|} Y \Rightarrow \varphi(X) \mathrel{|\circ|} \varphi(Y)\) ; et, « il semble qu'on ait besoin aussi », d) pour tout \(X\), \(\varphi\) induit une bijection \(\widetilde{X} \to \widetilde{\varphi(X)}\).

La marge se demande si c'est « trop exigeant », et suggère qu'on pourrait se contenter de \(X \lessgtr Y \Rightarrow \varphi(X) \lessgtr \varphi(Y)\). Une autre marge, en regard de d), datée 11.7.86²⁸ , met d) en question.

Corollaires (pages 36 et 37). Sous a), c), d) : 1) l'image d'une figure \(F\) est une figure, et \(\varphi|_{F}\) est un isomorphisme ordonné sur elle ; 2) \(\varphi\) préserve \(\lessgtr\) et \(\parallel\) ; 3) sur une figure, \(\leq\) et \(\parallel\) sont reflétés ; 4) \(\varphi\) commute à la réunion et à l'intersection de deux figures compatibles ; 5) \(\varphi\) préserve le raffinement des figures, et 6) la restriction des raffinements.

Le point du corollaire 1 est l'injectivité sur \(F\) : deux éléments distincts de \(F\) sont compatibles, donc intérieurement disjoints (proposition 2 de la page 9), et c) les sépare ; la proposition des pages 33 et 34 fait le reste.

« Je n'ai pas l'impression d'avoir bien saisi le rôle exact de l'hypothèse c), qui semble très forte » (page 37) : pour une image inverse par une application d'ensembles, elle paraît exiger la surjectivité. La marge propose plutôt l'implication réciproque, \(\varphi(X) \mathrel{|\circ|} \varphi(Y) \Rightarrow X \mathrel{|\circ|} Y\).

Exemple 1, et les magasins où \(\mathrel{|\circ|}\) vient de \(\mathring{\ll}\)

L'application \(X \mapsto \mathrm{Multombs}(X)\) de \(\mathcal{M}\) dans les figures ensemblistes élémentaires de \(\mathcal{M}\)²⁹ respecte \(\leq\), \(\ll\), \(\lessgtr\), et \(X \mathrel{|\circ|} Y\) entraîne que \(X\) et \(Y\) n'ont aucun \(\mathring{\ll}\)-minorant commun (sinon Mag 3 donnerait \(Z \mathrel{|\circ|} Z\)) (page 38). La réciproque est fausse en général : deux lieux distincts n'ont jamais de minorant commun, et ne sont pas pour autant disjoints. Qu'elle soit vraie est une hypothèse « de nature quasi-ensembliste, mais sans référence particulière aux lieux ».

Proposition (page 39). Les structures \((\mathcal{M}, \leq, \mathring{\ll})\) qui deviennent des magasins quand on pose \[ X \mathrel{|\circ|} Y \iff \{X, Y\} \text{ n'a pas de minorant pour } \mathring{\ll} \] sont exactement celles qui satisfont Mag 1' et Mag 2'.

Mag 3' résulte de la transitivité de \(\mathring{\ll}\), et Mag 4 de l'unicité de Mag 2' a)³⁰ . « C'est pratiquement aussi simple que le cas ensembliste ! » Ce sont les magasins fidèles de la table de la page 2. D'où une hiérarchie : magasins généraux \((\leq, \mathring{\ll}, \mathrel{|\circ|})\) ; magasins fidèles \((\leq, \mathring{\ll})\) ; quasi-ensemblistes ; ensemblistes. Un quasi-ensembliste est fidèle : un minorant commun à \(X\) et \(Y\) porte un lieu intérieur, commun aux deux.

Exemple 2 (page 40). Sous Mag L 1, \(X \mapsto \mathrm{multombs}(X)\), à valeurs dans les figures ensemblistes des lieux, respecte aussi \(\mathrel{|\circ|}\). Ces exemples montrent que la notion « n'est pas trop idiote ». Exemple 3 : une application surjective \(f : E' \to E\) induit un morphisme injectif \(\mathrm{Figél}(E) \to \mathrm{Figél}(E')\) ; l'exemple est repris page 54.

41–44

Fonction support (pages 41 à 44)

« J'en viens maintenant à la question d'une fonction genre “support” » \(X \mapsto |X|\), de \(\mathcal{M}\) dans les parties d'un ensemble \(P\) de « points ». Avec \(|\partial X| = \bigcup_{Y < X} |Y|\) et \(|X|^{\circ} = |X| \smallsetminus |\partial X|\), le minimum demandé est³¹ :

1. (i)\(X \ll Y \Rightarrow |X| \subset |Y|\) ;
2. (ii)\(|X|^{\circ} \neq \emptyset\) ;
3. (iii)\(X \mathrel{|\circ|} Y \iff |X|^{\circ} \cap |Y|^{\circ} = \emptyset\) ;
4. (iv)(normalisation) les \(|X|\) recouvrent \(P\) et en séparent les points.

Pour que les \(|X|^{\circ}\) séparent encore les points, il faut renforcer (ii) :

1. (ii bis)pour tout \(X\), la famille \((|Y|)_{Y \leq X}\) est une figure ensembliste élémentaire indexée par \(\widetilde{X}\), de support \(|X|\).

Il en déduit (pages 42 et 43) que l'intérieur \(|Y|^{\circ}\) calculé dans cette famille est le même que celui défini plus haut, et

1. (ii ter)\(|X| = \bigcup_{Y \leq X} |Y|^{\circ}\), réunion disjointe de parties non vides ;

puis, pour \(Y, Z \leq X\), que \(|Y| \subset |Z|\) entraîne \(Y \leq Z\) : avec \(L = \widetilde{Y} \cap \widetilde{Z}\), on a \(|Y| \cap |Z| = \bigcup_{W \in L} |W|^{\circ}\), et \(|Y| \subset |Z|\) force \(\bigcup_{W \in \widetilde{Y} \smallsetminus L} |W|^{\circ} = \emptyset\), donc \(\widetilde{Y} = L\), les intérieurs étant non vides³² . Inversement, sous (ii ter), tout point de \(|X|\) est dans un plus petit \(|Y|\), \(Y \leq X\) (page 44) — « dans tous ces cas, la relation \(\ll\) n'a pas joué de rôle ». Un lemme général commencé au bas de la page 44 est barré, et repris à la page suivante.

45–53

Familles indexées de parties (pages 45 à 53)

« Je vais reprendre ici la proposition 1, page 1 » du chapitre V³³ , dans un cadre indexé. Soient \(I\) un ensemble ordonné, \(X\) un ensemble, et \(\Phi = (X_{i})_{i \in I}\) une famille de parties de \(X\) telle que \(i \leq j\) entraîne \(X_{i} \subset X_{j}\)³⁴ . On pose \[ \partial X_{i} = \bigcup_{j < i} X_{j}, \qquad X_{i}^{\circ} = X_{i} \smallsetminus \partial X_{i}, \qquad |\Phi| = \bigcup_{i} X_{i}, \qquad I^{x} = \{i \mid x \in X_{i}\}, \] de sorte que \(x \in X_{i}^{\circ}\) si et seulement si \(i\) est minimal dans \(I^{x}\).

Proposition (pages 45 à 50). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)pour tout \(x \in |\Phi|\), \(I^{x}\) a un plus petit élément ;
2. (ii)pour tout \(x \in |\Phi|\), \(I^{x}\) a un élément minimal, et \(X_{i} \cap X_{j} = \bigcup_{k \leq i, j} X_{k}\) pour tous \(i, j\) ;
3. (iii)a) les \(X_{i}^{\circ}\) sont deux à deux disjoints ; b) \(X_{i} = \bigcup_{j \leq i} X_{j}^{\circ}\) pour tout \(i\) ;
4. (iv)avec \(I' = \{i \mid X_{i}^{\circ} \neq \emptyset\}\) : \(\alpha\)) les \(X_{i}^{\circ}\), \(i \in I'\), forment une partition de \(|\Phi|\) ; \(\beta\)) chaque \(X_{i}\) est saturé pour cette partition ; \(\gamma\)) si \(X_{j}^{\circ} \neq \emptyset\) et \(X_{j}^{\circ} \subset X_{i}\), alors \(j \leq i\).

Les conditions « \(I^{x}\) a un élément minimal » et b) sont automatiques si \(I\) est fini.

La démonstration décompose (i) en trois conditions sur chaque \(I^{x}\) : un élément minimal existe, il est unique, tout élément le majore ; leurs traductions globales sont \(|\Phi| = \bigcup_{i} X_{i}^{\circ}\), la disjonction a), et b), la dernière entraînant la première. D'où (i) \(\iff\) (iii). Pour (iv), \(\alpha\)) et \(\beta\)) redonnent a) et b) dès qu'on sait que \(X_{j}^{\circ} \subset X_{i}\) seulement si \(j \leq i\), c'est-à-dire \(\gamma\)), et \(\gamma\)) résulte de (i) :

Corollaire 1 (page 47). Sous (i), et si \(X_{j}^{\circ} \neq \emptyset\), on a \(j \leq i \iff X_{j} \subset X_{i} \iff X_{j}^{\circ} \subset X_{i} \iff X_{j}^{\circ} \cap X_{i} \neq \emptyset\). Corollaire 2 (page 48). Si de plus tous les \(X_{i}^{\circ}\) sont non vides, \(i \mapsto X_{i}\) est un plongement d'ensembles ordonnés. Les conditions (i) et « \(X_{i}^{\circ} \neq \emptyset\) pour tout \(i\) » sont donc nécessaires et suffisantes pour que \(\Phi\) soit une figure ensembliste indexée par \(I\).

Ces corollaires portent sur la page un nom lu « Main »³⁵ . Pour (i) \(\Rightarrow\) (ii) (page 49), b) et a) donnent \(X_{i} \cap X_{j} = \bigcup_{k \leq i,j} X_{k}^{\circ}\). Pour (ii) \(\Rightarrow\) (i), un lemme : la formule d'intersection entraîne a), car tout \(k \leq i, j\) avec \(i \neq j\) est strictement sous l'un des deux ; et elle entraîne que \(X_{j}^{\circ} \cap X_{i} \neq \emptyset\) force \(j \leq i\)³⁶ , ce qui, avec l'élément minimal de \(I^{x}\), donne b).

Le corollaire 3 (page 50), en partie raturé, caractérise les figures indexées par la disjonction des intérieurs, leur non-vacuité, et le fait que chaque \(\Phi_{i} = (X_{j})_{j \leq i}\) soit une figure ; la page 51, qui le démontre, est entièrement barrée.

Deux contre-exemples (pages 52 et 53)

La question de la marge de la page 46 est de savoir si \(\beta\)) et \(\gamma\)) résultent de \(\alpha\)). Non :

\(\alpha\) sans \(\beta\) (page 52). Soient \(A_{0} \supsetneq A_{1} \supsetneq \cdots\) avec \(N = \bigcap_{n} A_{n} \neq \emptyset\), et \(A_{\infty}\) avec \(A_{\infty} \cap A_{0} = N\) et \(A_{\infty} \neq N\) ; on indexe par l'inclusion, \(\infty\) étant isolé. Alors \(A_{n}^{\circ} = A_{n} \smallsetminus A_{n+1}\) et \(A_{\infty}^{\circ} = A_{\infty}\) sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion \(A_{0} \cup A_{\infty}\) ; mais \(A_{n}\) n'est pas réunion des intérieurs qu'il contient — il manque \(N\) —, et un point de \(N\) n'est dans aucun plus petit membre. \(\alpha\)) et \(\gamma\)) sont vrais, \(\beta\)) est faux.

\(\alpha\) et \(\beta\) sans \(\gamma\) (page 53), « moins idiot », même pour une indexation qui respecte les inclusions : on ajoute \(A = A_{\infty} \smallsetminus N\). Alors \(A_{\infty}^{\circ} = N\), \(A^{\circ} = A\), \(A_{n}^{\circ} = A_{n} \smallsetminus A_{n+1}\)³⁷ : ils sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion \(A_{0} \amalg A\), chaque membre est saturé ; mais \(A_{\infty}^{\circ} = N \subset A_{n}\) sans que \(A_{\infty} \subset A_{n}\).

C'est à ces deux pages que renvoie une marge de la page 3 du chapitre V pour un contre-exemple correct³⁸ .

53–60

Images inverses, quotients, sous-magasins (pages 53 à 60)

La section s'intitule « Homomorphismes de magasins et d'ateliers ». Elle commence par des exemples.

Exemple 1 : image inverse (pages 54 à 57). Une application \(f : \mathcal{L}' \to \mathcal{L}\) définit \[ f^{*}(\Phi) = \{ f^{-1}(A) \mid A \in \Phi,\ f^{-1}(A^{\circ}) \neq \emptyset \} \] sur les figures ensemblistes de \(\mathcal{L}\). Avec \(\mathcal{L}_{0} = f(\mathcal{L}')\) et \(i : \mathcal{L}_{0} \hookrightarrow \mathcal{L}\), \(f^{*}\) se décompose en trois temps : la trace \(\Phi \mapsto F_{\mathcal{L}_{0}} \cdot \Phi\) sur \(\mathcal{L}_{0}\), où \(F_{\mathcal{L}_{0}} = \{\mathcal{L}_{0}\}\) ; l'identification des figures de support dans \(\mathcal{L}_{0}\) aux figures de \(\mathcal{L}_{0}\) ; et \(f_{0}^{*}\), qui pour \(f_{0}\) surjective est simplement \(A \mapsto f^{-1}(A)\). Le premier temps est un passage au quotient : on déclare nulle toute multistructure \(X\) telle que \(X^{\circ} \cap \mathcal{L}_{0} = \emptyset\), c'est-à-dire \(F_{\mathcal{L}_{0}} \mathrel{|\circ|} X\). En général, conjecture-t-il, un quotient revient à se donner une partie de \(\mathcal{M}\) fermée pour \(\mathrel{|\circ|}\) — un support, au sens de la page 73 — dont on néglige les éléments ; négliger \(X\), c'est négliger aussi les \(Y \mathrel{\mathring{\ll}} X\), mais pas toutes ses strates.

L'image directe \(i_{*}\) plonge les figures de \(\mathcal{L}_{0}\) dans celles de \(\mathcal{L}\), et (page 56) \[ i^{*} i_{*} = \mathrm{id}, \qquad i_{*} i^{*}(Y) = i_{*}(\mathbf{1}) \cdot Y, \qquad i_{*}(X') \cdot Y = i_{*}(X' \cdot i^{*}Y), \] la dernière étant la formule de projection, sous son nom³⁹ . La différence cruciale entre les deux : \(f^{*}\) envoie l'unité sur l'unité et commute (sur les supports) au complémentaire, \(i_{*}\) non.

La difficulté (page 57) : pour \(f\) non surjective, \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y\) entraîne bien \(f^{*}X \mathrel{\mathring{\ll}} f^{*}Y\), mais pas \(X \leq Y \Rightarrow f^{*}X \leq f^{*}Y\), ni même \(f^{*}X \ll f^{*}Y\), puisque \(f^{*}Y\) peut être vide et \(f^{*}X\) non. Ces applications « inverses » qui comportent un passage au quotient ne relèvent pas d'une notion « pousse-bouton »⁴⁰ de morphisme ; en revanche \(X \mathrel{|\circ|} Y \Rightarrow f^{*}X \mathrel{|\circ|} f^{*}Y\) dans tous les cas.

Exemple 2 : produit par une figure fixe (page 58). \(F \mapsto F \times F' = \mathrm{pr}_{1}^{*}(F) \cdot \mathrm{pr}_{2}^{*}(F')\), composé de \(\mathrm{pr}_{1}^{*}\) et de la multiplication par une figure fixe : une multistructure n'y est pas envoyée sur une multistructure.

Exemple 3 : sous-magasins (pages 59 et 60). Se restreindre à un type de multistructures — connexes, irréductibles, « boules », « simplexes » — assez nombreuses pour « résumer » \(\mathcal{M}\) : on s'attend à ce que l'inclusion conserve \(\leq\), \(\mathrel{|\circ|}\), \(\parallel\), mais que \(\mathring{\ll}\) et \(\ll\) y deviennent leurs versions polyidéales. C'est un plongement, sans les difficultés de l'exemple 1. Ce qui conduit à :

61–66

Sous-magasins et homomorphismes d'ateliers (pages 61 à 66)

Définition-proposition (pages 60 et 61). Une partie \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{M}\) est un sous-magasin si a) elle est fermée pour \(\leq\) ; b) si \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y' \leq Y\) avec \(X, Y \in \mathcal{M}'\), alors \(Y' \in \mathcal{M}'\). Munie des relations induites, c'est un magasin, et ses relations \(\ll\), \(\lessgtr\), \(\parallel\) sont induites par celles de \(\mathcal{M}\)⁴¹ . « Tout marche ! »

Si \(\mathfrak{F}\) est un atelier de \(\mathcal{M}\), \(\mathfrak{F}' = \{F \in \mathfrak{F} \mid F \subset \mathcal{M}'\}\) est un atelier de \(\mathcal{M}'\), et l'inclusion commute aux Sup et aux Inf de familles non vides⁴² . Les propriétés « strictement divisible »⁴³ , quasi-ensembliste, ensembliste passent à \(\mathcal{M}'\) dès que \(\mathcal{M}'\) contient tous les lieux ; la propriété « \(\mathrel{|\circ|}\) définie par \(\mathring{\ll}\) » ne passe que si \(\mathcal{M}'\) est fermé pour \(\mathring{\ll}\), « mais bien souvent, \(\mathcal{M}'\) ne le sera pas ».

Homomorphismes d'ateliers

On cherche (pages 62 à 64) des applications \(f : \mathfrak{F} \to \mathfrak{F}'\) entre ateliers qui respectent aussi \(\leq\). 1°) Commuter aux Sup quelconques : \(f\) est alors déterminée par sa restriction croissante \(f_{\mathcal{M}} : \mathcal{M} \to \mathfrak{F}'\). 2°) Commuter aux Inf finis, \(f(F \cap G) = f(F) \cap f(G)\), ce qui se ramène à \[ f(X) \cap f(Y) = \mathrm{Sup}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} f(Z), \] qui « rappelle » la formule \(X_{i} \cap X_{j} = \bigcup_{k \leq i,j} X_{k}\) des pages 45 à 49. Pour donner un sens à la compatibilité avec \(\mathring{\ll}\) et \(\mathrel{|\circ|}\), il faut encore :

\((**)\) pour toute figure \(F\), l'application \(G \mapsto f(G)\) est un isomorphisme de l'ensemble ordonné des sous-figures de \(F\) sur celui des sous-figures de \(f(F)\).

Mais alors \(f\) envoie une figure élémentaire sur une figure élémentaire, et l'on retombe sur \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) comme aux pages 35 et 36 ; les exemples qui n'envoient pas \(\mathcal{M}\) dans \(\mathcal{M}'\), comme le produit de la page 58, lui paraissent « hétéroclites » et sont laissés de côté.

Un tel \(f\) n'est pas nécessairement injectif (page 65) : pour un magasin quasi-ensembliste non ensembliste, l'homomorphisme canonique vers les figures de ses lieux ne l'est pas. Et même injectif, son image n'est un sous-magasin que si \[ (**') \qquad f(X) \ll f(Y) \Longrightarrow X \ll Y , \] ce qui n'est pas automatique ; \(\mathring{\ll}\) est alors induite, « qu'en est-il de \(\leq\), \(\mathrel{|\circ|}\) ? Il semble qu'il faille le poser en sus… ».

66–72

Fonctions support exactes (pages 66 à 72)

Un homomorphisme \(f : \mathcal{M} \to \mathrm{Figél}(P)\) donne \(|X| = |f(X)| \subset P\) et en est déterminé, \(f(X) = \{|Y| \mid Y \leq X\}\). « Nous voilà revenus à la situation » de la page 41 :

Théorème (page 69). Les homomorphismes \(\mathcal{M} \to \mathrm{Figél}(P)\) correspondent bijectivement aux applications \(X \mapsto |X|\) de \(\mathcal{M}\) dans \(\mathfrak{P}(P)\) telles que :

1. (i)\(X \ll Y \Rightarrow |X| \subset |Y|\) ;
2. (ii)\(X \mathrel{|\circ|} Y \Rightarrow |X|^{\circ} \cap |Y|^{\circ} = \emptyset\) ;
3. (iii)\(|X|^{\circ} \neq \emptyset\) ;
4. (iv)\(|X| = \bigcup_{Y \leq X} |Y|^{\circ}\).

Une telle application est une fonction support exacte.

Que \(f(X)\) soit une figure élémentaire indexée par \(\widetilde{X}\) est la proposition des pages 45 à 50, les intérieurs étant disjoints par Mag 4 et (ii). Le point délicat est \(X \mathrel{\mathring{\ll}} Y \Rightarrow |X|^{\circ} \subset |Y|^{\circ}\) (pages 68 et 69) : \(|X| \subset |Y|\) par (i), et pour \(Z < Y\), Mag 4 donne \(Z \mathrel{|\circ|} Y\), Mag 3 \(X \mathrel{|\circ|} Z\), (ii) \(|X|^{\circ} \cap |Z|^{\circ} = \emptyset\) ; par (iv), \(|\partial Y| = \bigcup_{Z < Y} |Z|^{\circ}\), d'où la conclusion : « on a gagné ! »⁴⁴ .

La fonction support est normalisée si les \(|X|\) recouvrent \(P\) et en séparent les points (ou, ce qui revient au même, les \(|X|^{\circ}\)) ; on s'y ramène par passage au quotient. Elle est fidèle si \[ (\text{ii fid}) \qquad X \mathrel{|\circ|} Y \iff |X|^{\circ} \cap |Y|^{\circ} = \emptyset , \] et la marge appelle réalisation une fonction support fidèle qui reflète de plus \(\leq\) et \(\mathring{\ll}\). Tous les exemples « provenant des contextes ensemblistes, de topologie ou de topologie modérée » admettent une fonction support fidèle, de sorte que les propriétés qui en découlent « pourraient être posées en axiome sans inconvénient pratique ». Seule exception entrevue : les géométries où la disjonction est définie par une distance \(\geq \varepsilon\) ou \(> \varepsilon\).

Exemples (pages 71 et 72). 1) \(\mathrel{|\circ|}\) est définie par \(\mathring{\ll}\), au sens de la page 39, si et seulement si \(X \mapsto \mathrm{Omb}(X)\), à valeurs dans \(\mathfrak{P}(\mathcal{M})\), est une fonction support fidèle⁴⁵ . 2) Les magasins de « pseudo-cylindres » associés à une corde topologique ou à un ensemble ordonné ont une fonction support évidente. 3) Pour un magasin trivial, \(|X| = \widetilde{X}\) — l'adhérence de \(X\) pour la topologie de \(\mathcal{M}\) associée à \(\leq\) — est une fonction support fidèle, avec \(|X|^{\circ} = \{X\}\).

73–80

Supports intérieurs (pages 73 à 80)

« Il est temps de revenir aux supports internes dans un magasin. » Pour des parties \(A\), \(B\) de \(\mathcal{M}\), on écrit \(A \mathrel{|\circ|} B\) si tout élément de \(A\) est intérieurement disjoint de tout élément de \(B\), et l'on pose \[ \mathrm{cosupp}^{\circ}(A) = \{ Y \in \mathcal{M} \mid A \mathrel{|\circ|} Y \}, \qquad \mathrm{supp}^{\circ}(A) = \mathrm{cosupp}^{\circ}(\mathrm{cosupp}^{\circ}(A)). \] Un support (intérieur) est une partie \(A\) telle que \(A = \mathrm{supp}^{\circ}(A)\) ; \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) est leur ensemble.

C'est la correspondance de Galois — la polarité — associée à la relation symétrique \(\mathrel{|\circ|}\), et \(\mathrm{supp}^{\circ}\) est la fermeture qu'elle définit⁴⁶ . D'où ce que dit la page 75 : \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) est ordonné par inclusion, de plus petit élément \(\emptyset\) et de plus grand \(\mathcal{M}\) ; ses Inf sont les intersections ; \(S \mapsto \mathrm{cosupp}^{\circ}(S)\) est une anti-involution, qui échange Inf et Sup ; et \[ \mathrm{Sup}_{i}\, S_{i} = \mathrm{supp}^{\circ}\Bigl(\bigcup_{i} S_{i}\Bigr), \qquad \text{à ne pas confondre avec } \bigcup_{i} S_{i}. \] L'antiréflexivité donne de plus \(S \cap \mathrm{cosupp}^{\circ}(S) = \emptyset\), ce qui fait de \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) un orthotreillis complet — qui n'est pas distributif en général : c'est la « pathologie » que les pages 85 à 87 font disparaître. Un support est fermé pour \(\mathring{\ll}\) vers le bas (par Mag 3), mais pas nécessairement pour \(\leq\), « et encore moins pour \(\ll\) ».

La page 74 compare avec la notion antérieure de support, \(\mathrm{supp}\,X = \mathrm{supp}^{\circ}(\widetilde{X})\) : le traitement précédent « était vicié par le fait qu'il se brouillait » avec les supports des parties fermées ; tous les supports s'expriment par \(\mathrm{supp}^{\circ}\), non l'inverse. Exemple instructif : pour un magasin trivial, \(\mathrel{|\circ|}\) est la différence, et toute partie est un support — à visualiser comme la réunion des « cellules ouvertes » \(X^{\circ}\), \(X \in A\). Avec \(\parallel\) au contraire, les supports ne seraient que certaines parties fermées : « jamais par elles on ne pourra exprimer des supports internes ! »

Supports et lieux (pages 75 à 77)

Sur les lieux, avec \(\parallel\), on a de même \(\Sigma_{\mathcal{L}}\). Si le magasin est strictement divisible, \(\mathrm{cosupp}^{\circ}(A) = \mathrm{cosupp}^{\circ}(\mathrm{Omb}^{\circ}(A))\) pour toute partie \(A\), où \(\mathrm{Omb}^{\circ}(A) = \bigcup_{X \in A} \mathrm{omb}(X)^{\circ}\), et \[ \mathrm{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A) \cap \mathcal{L} = \mathrm{cosupp}^{\circ}_{\mathcal{L}}(\mathrm{Omb}^{\circ}(A)), \] de sorte que⁴⁷ \(S \mapsto S \cap \mathcal{L}\) envoie \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) dans \(\Sigma_{\mathcal{L}}\). En sens inverse, \(A \mapsto \mathrm{supp}^{\circ}_{\mathcal{M}}(A)\), dont la page conjecture qu'il vaut \(\{X \mid \mathrm{omb}(X)^{\circ} \subset A\}\).

Proposition (pages 76 et 77). Si \(\mathcal{M}\) est strictement divisible, \(S \mapsto S \cap \mathcal{L}\) et \(A \mapsto \{X \in \mathcal{M} \mid \mathrm{omb}(X)^{\circ} \subset A\}\) sont des bijections réciproques entre \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) et \(\Sigma_{\mathcal{L}}\), qui échangent les complémentaires \(\mathrm{cosupp}^{\circ}\).

« Il faudra bien que je me tape la vérification ! » La voici⁴⁸ .

Corollaire (page 77). Dans le cas quasi-ensembliste, où \(\parallel\) est la différence sur \(\mathcal{L}\), \(\Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(\mathcal{L})\), et \(\mathrm{supp}^{\circ}(A)\) s'identifie à \(\mathrm{Omb}^{\circ}(A)\).

« Si je me fatigue à faire une théorie “abstraite”, c'est bien sûr pour pouvoir parler des supports aussi en dehors des cas quasi-ensemblistes (p. ex. pour les cordes etc.) » (page 78).

Supports et fonction support (pages 78 à 80)

Soit une fonction support exacte, normalisée et fidèle \(X \mapsto |X|\), et \(\varphi(A) = |A|^{\circ} = \bigcup_{X \in A} |X|^{\circ}\). Par fidélité, \(\mathrm{cosupp}^{\circ}(A) = \{X \mid |X|^{\circ} \cap \varphi(A) = \emptyset\}\), et tout support \(S\) se retrouve à partir de \(\varphi(S)\) par \(X \in S \iff |X|^{\circ} \subset \varphi(S)\) (page 79). Donc \[ \Sigma_{\mathcal{M}} \longrightarrow \mathfrak{P}(P), \qquad S \longmapsto |S|^{\circ}, \] est injective, avec pour inverse à gauche \(Q \mapsto \mathrm{supp}^{\circ}(\{X \mid |X|^{\circ} \subset Q\})\). Il voudrait que l'ordre soit induit et que Sup, Inf et complémentaire soient respectés : « Est-ce trop demander ? » Oui en général ; d'où la décision de la page 80 de « se limiter à des supports de figures, finis », les supports « constructibles ». Le croquis de la marge montre deux parties disjointes dont les supports se rencontrent.

81–88

Supports constructibles et pleine fidélité (pages 81 à 88)

Il veut d'abord \(|\mathrm{supp}^{\circ} X|^{\circ} = |X|^{\circ}\), c'est-à-dire : si \(|Y|^{\circ} \not\subset |X|^{\circ}\), il existe \(Z \mathrel{|\circ|} X\) dont l'intérieur rencontre celui de \(Y\). C'est clair si \(|Y|^{\circ}\) rencontre \(|\partial X|\) ; hors de \(|X|\), il faut une hypothèse (page 82) : tout point hors de \(|X|\) est dans l'intérieur d'un \(Z\) intérieurement disjoint de \(X\). Elle assure (page 83) \(|\mathrm{supp}^{\circ} X|^{\circ} = |X|^{\circ}\) et \(|\mathrm{cosupp}^{\circ} X|^{\circ} = P \smallsetminus |X|^{\circ}\), et, « dans toute sa force », \(|\mathrm{supp}\, X|^{\circ} = |X|\)⁴⁹ .

Définitions (pages 84 et 85). Soit \(\mathfrak{F}\) un atelier. Un support est constructible s'il est de la forme \(\mathrm{supp}^{\circ}(\Phi)\) pour une partie \(\Phi\) d'une figure \(F \in \mathfrak{F}\). Une fonction support fidèle est pleinement fidèle si pour toute figure \(F \in \mathfrak{F}\), \[ P \smallsetminus |F| = \bigcup_{Z \mathrel{|\circ|} F} |Z|^{\circ}, \] c'est-à-dire si tout point hors de \(|F|\) est dans l'intérieur d'un \(Z\) dont l'intérieur évite \(|F|\)⁵⁰ .

Le mot « constructible » est celui de la géométrie algébrique, et l'analogie est juste : ce sont des réunions finies de strates ouvertes d'une même stratification⁵¹ .

Proposition (page 85). Si la fonction support est pleinement fidèle et \(\Phi \subset F \in \mathfrak{F}\), alors \(|\mathrm{supp}^{\circ}(\Phi)|^{\circ} = |\Phi|^{\circ}\).

Il faut voir qu'un \(Y \in \mathrm{supp}^{\circ}(\Phi)\) a son intérieur dans \(|\Phi|^{\circ}\). Sinon un point de \(|Y|^{\circ}\) est ou bien dans \(|F| \smallsetminus |\Phi|^{\circ} = |F \smallsetminus \Phi|^{\circ}\), donc dans l'intérieur d'un \(Z \in F \smallsetminus \Phi\), intérieurement disjoint de \(\Phi\) (proposition 2 de la page 9) ; ou bien hors de \(|F|\), et la pleine fidélité fournit le \(Z\). Dans les deux cas \(Z \in \mathrm{cosupp}^{\circ}(\Phi)\) et \(Z\) n'est pas intérieurement disjoint de \(Y\).

Corollaires (page 86). L'application \(\Phi \mapsto \mathrm{supp}^{\circ}(\Phi)\), des parties de \(F\) dans \(\Sigma_{\mathcal{M}}\), commute aux Inf de familles non vides et aux Sup, et \(\mathrm{supp}^{\circ}(\Psi \smallsetminus \Phi) = \mathrm{supp}^{\circ}\Psi \cap \mathrm{cosupp}^{\circ}(\mathrm{supp}^{\circ}\Phi)\) pour \(\Phi \subset \Psi\). Les supports constructibles subordonnés à \(F\) forment une partie de \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) stable par ces opérations, sur laquelle \(A \mapsto |A|^{\circ}\) les respecte.

Scholie (pages 86 et 87). Pour les familles admissibles de supports constructibles — subordonnés à une même figure — Sup, Inf et complémentaire relatif ont toutes les propriétés ensemblistes habituelles, et \(A \cap B = \emptyset\) si et seulement si \(A \mathrel{|\circ|} B\). « Toute pathologie disparaît. »

La page 87 pose alors une question — un magasin muni d'une fonction support pleinement fidèle satisfait-il nécessairement le scholie ? —, à laquelle la marge répond « Non »⁵² , et une seconde : existe-t-il des fonctions support fidèles qui ne soient pas pleinement fidèles ?

Axiome des supports (supp 1, page 87). Si \(F \in \mathfrak{F}\), \(\Phi \subset F\) et \(\Phi' = F \smallsetminus \Phi\), alors \[ \mathrm{supp}^{\circ}(F) \cap \mathrm{cosupp}^{\circ}(\Phi) = \mathrm{supp}^{\circ}(\Phi') , \] c'est-à-dire : si \(Z \in \mathrm{supp}^{\circ}(F)\) et \(Z \mathrel{|\circ|} \Phi\), alors \(Z \in \mathrm{supp}^{\circ}(\Phi')\)⁵³ .

« C'est le premier axiome de nature délicate, sur lequel nous tombions. » Il ne fait intervenir que \(\leq\) et \(\mathrel{|\circ|}\). Il est satisfait chaque fois qu'il existe une fonction support pleinement fidèle — c'est le dernier corollaire. La page ajoute qu'il l'est dans les magasins fidèles « car Omb y est une fonction support extérieure pleinement fidèle » ; c'est trop dire⁵⁴ .

Programme de la page 88 : 1°) les magasins définis par un ensemble ordonné ; 2°) les magasins définis par \(\leq\) et \(\mathrel{|\circ|}\) seuls, \(\mathring{\ll}\) s'en déduisant ; 3°) voir si dans ces magasins « disjonctifs » l'axiome des supports peut être en défaut — « Oui ! », dit la marge. Seul 1°) est fait dans ce dossier.

89–96

Le magasin d'un ensemble ordonné (pages 89 à 96)

Le premier juillet. Soit \(L\) un ensemble ordonné. On pose \[ \mathcal{M} = \mathcal{M}_{0} \amalg \mathcal{M}_{1}, \qquad \mathcal{M}_{0} = \{P_{x} \mid x \in L\}, \qquad \mathcal{M}_{1} = \{S_{a,b} \mid a, b \in L,\ a < b\}, \] les points et les intervalles⁵⁵ , avec \[ \begin{aligned} X \leq Y &\iff X = Y, \text{ ou } X = P_{x},\ Y = S_{a,b},\ x \in \{a, b\} \qquad (\partial S_{a,b} = \{P_{a}, P_{b}\}) ; \\ X \mathrel{\mathring{\ll}} Y &\iff \begin{cases} P_{x} = P_{y}, \\ X = P_{x},\ Y = S_{a,b},\ a < x < b, \\ X = S_{a,b},\ Y = S_{a',b'},\ a' \leq a < b \leq b' ; \end{cases} \\ X \mathrel{|\circ|} Y &\iff \begin{cases} X = P_{x},\ Y = P_{y} : & x < y \text{ ou } y < x, \\ X = P_{x},\ Y = S_{a,b} : & x \leq a \text{ ou } b \leq x, \\ X = S_{a,b},\ Y = S_{a',b'} : & b \leq a' \text{ ou } b' \leq a . \end{cases} \end{aligned} \] Si \(L\) est totalement ordonné et divisible — entre deux éléments il y en a un troisième —, ce sont les relations ensemblistes entre les parties \(\{x\}\) et \([a,b]\) de \(L\), avec \(|S_{a,b}|^{\circ} = \,]a,b[\) ; c'est le magasin unidimensionnel de \(L\)⁵⁶ . Dans le cas général (page 90), on prend les mêmes formules pour définitions ; \(|S_{a,b}|^{\circ} = \,]a,b[\) peut être vide, et \(\mathrel{|\circ|}\) entraîne la disjonction des intérieurs ensemblistes sans lui être équivalente⁵⁷ . On vérifie Mag 1 à Mag 4 (page 91), et \[ X \ll Y \iff |X| \subset |Y| ; \] les lieux sont les \(P_{x}\), et l'ensemble des lieux s'identifie à \(L\).

Propriétés (pages 92 et 93). a) Mag L 1 équivaut à la divisibilité de \(L\). b) Mag L 2 équivaut à : si \(x\) est comparable et distinct de tout point de \(]a,b[\), alors \(x \leq a\) ou \(x \geq b\). c) \(\mathcal{M}\) est fidèle si et seulement si \(L\) est totalement ordonné.

Pour b), la page donne une forme équivalente en termes des \(L_{\leq c}\)⁵⁸ , et note qu'elle n'est « le plus souvent pas satisfaite » pour les ensembles ordonnés tirés d'espaces topologiques (croquis d'un fuseau traversé par deux bandes). Pour c) (page 93) : il faut que deux points distincts soient comparables, et cela suffit, car si deux intervalles \(S_{a,b}\), \(S_{a',b'}\) ne sont pas intérieurement disjoints, \(S_{\max(a,a'),\min(b,b')}\) est intérieur aux deux. Le corollaire qui suit dit qu'un \(L\) totalement ordonné et divisible donne un magasin ensembliste⁵⁹ .

Compatibilité, drapeaux, figures canoniques (pages 94 à 96)

Un point est compatible avec \(Y\) si et seulement s'il lui est égal ou intérieurement disjoint (« vrai pour des lieux dans un magasin ») ; deux intervalles sont compatibles si et seulement s'ils sont égaux ou intérieurement disjoints, ce qui comprend les intervalles contigus \(S_{a,b}\), \(S_{b,c}\). Soit \(\mathrm{Drap}(L)\) l'ensemble des drapeaux de \(L\), ses parties finies totalement ordonnées⁶⁰ , et \(\mathrm{Drap}^{*}(L)\) celui des drapeaux non vides. Avec \(\delta P_{x} = \{x\}\), \(\delta S_{a,b} = \{a, b\}\), et pour un drapeau \(T = \{t_{1} < \cdots < t_{n}\}\) ses intervalles interstitiels \(S_{t_{i}, t_{i+1}}\) et ses lieux interstitiels \(P_{t_{i}}\) :

Proposition (page 96). Une partie finie non vide \(F\) de \(\mathcal{M}\) est formée d'éléments deux à deux compatibles si et seulement si \(\delta F = \bigcup_{X \in F} \delta X\) est un drapeau et si les éléments de \(F\) sont interstitiels pour \(\delta F\).

La démonstration est indiquée par récurrence sur le cardinal. Pour un drapeau \(T\), la plus grande telle partie est la figure canonique \(F_{T}\), formée de tous les points et intervalles interstitiels de \(T\) ; elle détermine \(T = \delta F_{T}\). Un début de calcul des supports de \(\widetilde{S}_{a,b}\) est biffé au bas de la page 96.

97–102

Figures et supports élémentaires (pages 97 à 102)

Le 2 juillet. Sur \(\mathrm{Drap}^{*}(L)\), on pose \(T < T'\) si \(t < t'\) pour tous \(t \in T\), \(t' \in T'\) ; on peut alors parler de drapeaux de drapeaux.

Lemme et théorème (pages 97 et 98). \(F_{T} \parallel F_{T'}\) si et seulement si \(T < T'\) ou \(T' < T\). L'application \[ \mathcal{T} \longmapsto F_{\mathcal{T}} = \bigcup_{T \in \mathcal{T}} F_{T}, \qquad \mathrm{Drap}(\mathrm{Drap}^{*}(L)) \longrightarrow \{\text{figures finies de } \mathcal{M}\}, \] est bijective.

Une figure finie se décompose en « composantes connexes », au sens combinatoire évident, qui sont des \(F_{T}\) et « se suivent à la queue-leu-leu » (croquis de la page 99). Une marge en donne une autre présentation : une figure est un drapeau \(\mathfrak{D} = \delta F\) et une partie de l'ensemble de ses \(n - 1\) intervalles interstitiels, soit \(2^{n-1}\) figures pour un drapeau à \(n\) éléments.

Pour les supports, il faut une hypothèse (page 99) :

Hyp. H. a) Ou bien \(L\) a un plus petit élément, ou bien tout élément de \(L\) en majore strictement un autre. b) L'énoncé dual.

Lemme 1 (page 99). Sous H, pour tout \(X \in \mathcal{M}\), \(\mathrm{supp}(X) = \mathrm{supp}^{\circ}(\widetilde{X}) = \mathrm{Omb}(X) = \{Z \mid |Z| \subset |X|\}\). Explicitement : \[ \mathrm{supp}(P_{a}) = \{P_{a}\}, \qquad \mathrm{supp}(S_{a,b}) = \{P_{x} \mid a \leq x \leq b\} \cup \{S_{x,y} \mid a \leq x < y \leq b\}, \] \[ \mathrm{supp}^{\circ}(S_{a,b}) = \mathrm{Omb}^{\circ}(S_{a,b}) = \mathrm{supp}(S_{a,b}) \smallsetminus \{P_{a}, P_{b}\}, \] \[ \mathrm{supp}^{\circ}(\{S_{a,b}, P_{a}\}) = \mathrm{Omb}^{\circ}(S_{a,b}) \cup \{P_{a}\}. \]

L'inclusion \(\mathrm{Omb}(X) \subset \mathrm{supp}(X)\) est triviale. Pour l'autre, cas de \(P_{a}\) (pages 100 et 101) : si \(a\) est un plus petit ou un plus grand élément, tout autre élément de \(\mathcal{M}\) est intérieurement disjoint de \(P_{a}\), et \(\mathrm{supp}^{\circ}(P_{a}) = \{P_{a}\}\) par antiréflexivité ; sinon, H fournit \(x < a < y\), et \(X \in \mathrm{supp}^{\circ}(P_{a})\) doit être intérieurement disjoint de \(S_{x,a}\) et de \(S_{a,y}\), ce qui force \(\delta X \geq a\) et \(\delta X \leq a\), donc \(X = P_{a}\)⁶¹ . Le cas de \(S_{a,b}\) est analogue.

Le « canular » (page 102). Pour voir ce qui se passe sans H, la page prend \(L = \{a, b, c\}\) avec \(a < b\) et \(c < b\) seulement, et calcule \(\mathrm{cosupp}^{\circ}(P_{a}) = \{P_{b}, S_{a,b}, S_{c,b}\}\) et \(\mathrm{supp}^{\circ}(P_{a}) = \{P_{a}, P_{b}\}\) ; la marge écrit « Canular ». Le calcul est faux⁶² , mais la suite est juste : \(\mathrm{cosupp}^{\circ}(\widetilde{S}_{a,b}) = \emptyset\), donc \(\mathrm{supp}^{\circ}(\widetilde{S}_{a,b}) = \mathcal{M} \neq \mathrm{Omb}(S_{a,b})\), l'ensemble à cinq éléments contenant en plus \(S_{c,b}\) et \(P_{c}\). Le lemme 1 tombe donc en défaut pour ce \(L\), qui ne satisfait pas H (\(a\) est minimal sans être le plus petit). Un second exemple, en losange, est esquissé et laissé là, et un lemme 2 sur les supports d'une réunion est biffé.

102–110

Préfigures (pages 102 à 110)

Le 4 juillet : « Détermination des profigures, ou ensembles constructibles dans \(\mathcal{M}\) »⁶³ . Une préfigure est une partie d'une figure ; sa figure engendrée \(\overline{\Phi}\) est son adhérence pour \(\leq\), et \(\delta\Phi = \delta \overline{\Phi} = \overline{\Phi} \cap \mathcal{M}_{0}\) est l'ensemble de ses sommets, un drapeau, vide si et seulement si \(\Phi = \emptyset\).

Préfigures connexes (page 103). Ce sont : a) les figures connexes \(F_{T}\), \(T \in \mathrm{Drap}^{*}(L)\) ; b) et c) les \(F_{T} \smallsetminus \alpha\), où \(\alpha\) est une partie du bord \(\partial T\) de \(T\) — son plus petit et son plus grand élément si \(\mathrm{card}\, T \geq 2\), vide sinon. Pour \(\mathrm{card}\, T = 2\) : l'intervalle fermé, semi-ouvert, ouvert.

Le bord par composantes (pages 104 et 105). Pour une préfigure quelconque, de composantes connexes \(\Phi_{i}\), la page pose \(\partial_{c}\Phi = \bigcup_{i} \partial\Phi_{i}\) et \(\Phi^{\bullet} = \bigcup_{i} \Phi_{i}^{\bullet}\), où \(\Phi_{i}^{\bullet}\) est \(\partial\Phi_{i}\), ou \(\{a\}\) si \(\Phi_{i} = \{P_{a}\}\)⁶⁴ . Exemples, pour \(a < b < c < d\) : \[ \begin{aligned} \Phi &= \{S_{a,b},\ S_{b,c},\ P_{d}\} : & \delta\Phi &= \{a,b,c,d\}, & \partial_{c}\Phi &= \{a,b,c\}, & \Phi^{\bullet} &= \{a,b,c,d\} ; \\ \Phi &= \{S_{a,b},\ P_{b},\ S_{b,c},\ P_{d}\} : & \delta\Phi &= \{a,b,c,d\}, & \partial_{c}\Phi &= \{a,c\}, & \Phi^{\bullet} &= \{a,c,d\}. \end{aligned} \] Dans le premier, \(S_{a,b}\) et \(S_{b,c}\) sont deux composantes : sans le point \(P_{b}\), elles ne se touchent pas. On a toujours \(\partial_{c}\Phi \subset \Phi^{\bullet} \subset \delta\Phi\), et \(\Phi^{\bullet}\) est la réunion disjointe de \(\partial_{c}\Phi\) et des sommets isolés. La marge de la page 104 introduit déjà l'ordre d'un sommet, le nombre d'intervalles de \(\Phi\) qui y aboutissent, qui servira page 118.

L'ordre de position (pages 105 à 108)

Définition (page 105). Sur \(\mathcal{M}\), \(X <_{\mathrm{pos}} Y\) si \(X\) est entièrement avant \(Y\) : \(P_{x} <_{\mathrm{pos}} P_{y}\) si \(x < y\) ; \(P_{x} <_{\mathrm{pos}} S_{a,b}\) si \(x \leq a\) ; \(S_{a,b} <_{\mathrm{pos}} P_{y}\) si \(b \leq y\) ; \(S_{a,b} <_{\mathrm{pos}} S_{a',b'}\) si \(b \leq a'\).

C'est un ordre strict, et (page 106) \[ X \mathrel{|\circ|} Y \iff X <_{\mathrm{pos}} Y \text{ ou } Y <_{\mathrm{pos}} X : \] la disjonction intérieure est la comparabilité pour l'ordre de position. Quand \(L\) est totalement ordonné et divisible, c'est l'ordre d'intervalles, au sens d'aujourd'hui, de la famille des intérieurs \(\{x\}\) et \(]a,b[\)⁶⁵ . Entre préfigures, \(\Phi <_{\mathrm{pos}} \Psi\) si chaque élément de \(\Phi\) est avant chaque élément de \(\Psi\) ; et \(\Phi <^{1} \Psi\) si de plus, lorsque le dernier sommet de \(\Phi\) est le premier de \(\Psi\), disons \(a\), \(P_{a}\) n'est ni dans \(\Phi\) ni dans \(\Psi\) — on exclut le « raccord » où \(\Phi\) et \(\Psi\) ne seraient pas ouvertes et fermées dans \(\Phi \cup \Psi\).

Lemme (pages 107 et 108). Soient \(\Phi, \Psi\) des préfigures connexes. \(\Phi \cap \Psi = \emptyset\) et \(\Phi \cup \Psi\) est une préfigure si et seulement si \(\Phi <_{\mathrm{pos}} \Psi\) ou \(\Psi <_{\mathrm{pos}} \Phi\)⁶⁶ ; et \(\Phi\), \(\Psi\) sont les composantes connexes de \(\Phi \cup \Psi\) si et seulement si \(\Phi <^{1} \Psi\) ou \(\Psi <^{1} \Phi\).

Théorème (pages 108 à 110). 1) \((D, \alpha) \mapsto F_{D} \smallsetminus \alpha\), pour \(D \in \mathrm{Drap}^{*}(L)\) et \(\alpha \subset \partial D\), est une bijection sur les préfigures connexes. 2) Une telle préfigure est fermée si et seulement si \(\alpha = \emptyset\) ; elle est ouverte si et seulement si \(\mathrm{card}\, D \geq 2\) et \(\alpha = \partial D \smallsetminus \Theta\), où \(\Theta\) est l'ensemble des éléments extrémaux de \(L\) (sous H). 3) Toute préfigure est, de façon unique, la réunion disjointe d'une chaîne \(\Phi_{1} <^{1} \cdots <^{1} \Phi_{n}\) de préfigures connexes, ses composantes. 4) Elle est fermée, ou ouverte, si et seulement si ses composantes le sont.

« Dans cette description des profigures et des figures, les relations \(<^{1}\) n'ont pas intervenu encore, ni (explicitement) la relation \(\mathrel{|\circ|}\) » — c'est l'ordre de position qui a servi. « Mais maintenant que je passe aux supports, il n'en sera pas de même. »

110–117

Supports des préfigures (pages 110 à 117)

La détermination de \(\mathrm{supp}^{\circ}\Phi\) se fait en étapes.

Énoncé réductif (page 110). Si \(\Phi\) a pour composantes connexes les \(\Phi_{i}\), \(\mathrm{supp}^{\circ}\Phi = \coprod_{i} \mathrm{supp}^{\circ}(\Phi_{i})\). Cas connexe (pages 111 et 112). a) Pour \(X \in \mathcal{M}\), \(\mathrm{supp}^{\circ}X = \mathrm{Omb}^{\circ}X\), et pour \(\beta \subset \partial S_{a,b}\), \(\mathrm{supp}^{\circ}(\{S_{a,b}\} \cup \beta) = \mathrm{Omb}^{\circ}(S_{a,b}) \cup \beta\) : c'est le lemme 1 de la page 99. b) Pour \(T \in \mathrm{Drap}^{*}(L)\) de premier élément \(a\) et de dernier \(b\), et \(\Phi = F_{T} \smallsetminus \alpha\) avec \(\alpha \subset \{P_{a}, P_{b}\}\) de complémentaire \(\beta\), \[ \mathrm{supp}^{\circ}\Phi = \mathrm{Omb}(S_{a,b}) \smallsetminus \alpha = \mathrm{Omb}^{\circ}(S_{a,b}) \amalg \beta . \]

La page écrit, en b), \(\mathrm{supp}\, \Phi\) sans l'anneau⁶⁷ .

Ce qui est le support d'une préfigure connexe ne dépend que de ses extrémités et de celles qu'elle contient : les sommets intérieurs ne comptent pas.

L'énoncé réductif résulte, par récurrence sur le nombre de composantes, d'un lemme (page 112) : si \(\Phi <_{\mathrm{pos}} X <_{\mathrm{pos}} \Psi\) pour un \(X\), et \(\Phi\), \(\Psi\) des préfigures, alors \(\mathrm{supp}^{\circ}(\Phi \cup \Psi) = \mathrm{supp}^{\circ}\Phi \cup \mathrm{supp}^{\circ}\Psi\). Un tel \(X\) existe exactement quand \(\Phi <^{1} \Psi\) : c'est \(S_{a,b}\) si le dernier sommet \(a\) de \(\Phi\) précède le premier \(b\) de \(\Psi\), \(P_{a}\) si \(a = b\). Comme \(X \in \mathrm{cosupp}^{\circ}(\Phi \cup \Psi)\), tout \(Z\) du support est avant ou après \(X\), et l'on montre (pages 113 et 114) que dans le premier cas il est dans \(\mathrm{supp}^{\circ}\Phi\), dans le second dans \(\mathrm{supp}^{\circ}\Psi\). « Je n'ai pas eu à utiliser Hyp., mais j'ai utilisé que \(\Phi\), \(\Psi\) sont des profigures. »

Le cas b) résulte de a) et de l'énoncé réductif par récurrence sur \(\mathrm{card}\, T\), grâce au

Lemme de composition des intervalles (page 114). Pour \(a < b < c\), \(\mathrm{supp}^{\circ}(\{S_{a,b}, P_{b}, S_{b,c}\}) = \mathrm{supp}^{\circ}(S_{a,c})\).

Les deux parties ont le même \(\mathrm{cosupp}^{\circ}\), car être avant ou après l'une, c'est être avant ou après l'autre — « trivial (sans Hyp) ».

Théorème (pages 115 à 117). 1) Tout support constructible \(S\) s'écrit \(\mathrm{supp}^{\circ}\Phi\) avec \(\Phi\) une préfigure non morcelée, c'est-à-dire sans sommet « redondant » (un point de \(\Phi\) où aboutissent deux intervalles de \(\Phi\)), et alors \[ \mathrm{supp}^{\circ}\Phi = \mathrm{Omb}^{\circ}(\Phi) = \coprod_{X \in \Phi} \mathrm{Omb}^{\circ}(X). \] \(\Phi\) est déterminée par \(S\) : ses intervalles sont les intervalles maximaux de \(S\) pour \(\mathring{\ll}\), et ses points sont les extrémités de ces intervalles qui sont dans \(S\), et les points de \(S\) maximaux pour \(\ll\). 2) Il y a un plus petit support constructible fermé contenant \(S\), \(\overline{S} = \mathrm{supp}^{\circ}(\overline{\Phi})\).

Une note de la page 116 propose « irredondante » plutôt que « non morcelée ». Le corollaire qui précède, page 115, est biffé. Pour 2), la page n'est « pas sûr[e] » de l'expression et note que \(\overline{\Phi}\) peut être morcelée quand \(\Phi\) ne l'est pas ; la marge dit « Vérifier ! », ce que nous ne faisons pas⁶⁸ . Le 3), une « description combinatoire des supports constructibles via les profigures non morcelées », est posé comme question et fait l'objet de la suite.

117–126

Sommets, et la description des préfigures (pages 117 à 126)

Toujours le 4 juillet, il veut une présentation « autoduale » des supports constructibles par les préfigures irredondantes. Il faut pour cela « omettre » les points isolés et les « points frontière intérieurs » — les sommets de \(\overline{\Phi}\) qui ne sont pas dans \(\Phi\) et ne sont pas des bords.

Zoologie des sommets (pages 118 et 119)

Pour \(a \in L\), l'ordre \(\mathrm{ord}(a, \Phi) \in \{0, 1, 2\}\) est le nombre d'intervalles de \(\Phi\) incidents à \(a\). Un sommet d'ordre 0 est dans \(\Phi\) (lemme de la page 118) : c'est un sommet isolé. Les sommets d'ordre 1 forment le bord \[ \partial\Phi = \{a \in \delta\Phi \mid \mathrm{ord}(a,\Phi) = 1\}, \] propre s'ils sont dans \(\Phi\), impropre sinon. Les sommets d'ordre 2 sont internes : redondants (ou « de morcellement ») s'ils sont dans \(\Phi\), lacunaires sinon. Dans \[ \Phi = \{P_{a},\ S_{a,b},\ S_{b,c},\ P_{c},\ S_{c,d},\ P_{e}\}, \qquad a < b < c < d < e, \] il y a un sommet de chacune des cinq espèces : \(e\) isolé, \(a\) bord propre, \(d\) bord impropre, \(c\) redondant, \(b\) lacunaire, et \(\partial\Phi = \{a, d\}\).

Ce bord n'est pas le \(\partial_{c}\) des pages 104 et 105 : un sommet lacunaire, d'ordre 2, n'est pas dans \(\partial\Phi\), mais il est au bord de chacune des deux composantes qu'il sépare, donc dans \(\partial_{c}\Phi\). Dans l'exemple ci-dessus, \(\partial_{c}\Phi = \{a, b, d\}\) ; dans le premier exemple de la page 104, \(\partial\Phi = \{a, c\}\) et \(\partial_{c}\Phi = \{a, b, c\}\). Les deux coïncident pour une préfigure connexe.

Le complété \(\Psi\), et la proposition (pages 120 à 124)

À une préfigure \(\Phi\) on associe (page 120) son adhérence \(\overline{\Phi}\), on en ôte les sommets isolés — c'est « l'adhérence purement 1-dimensionnelle » —, puis on efface les sommets redondants de ce qui reste, en fusionnant les intervalles qui s'y raccordent. On obtient une figure \(\Psi = \Phi_{\mathrm{comp}}\), la complétion de \(\Phi\), réunion disjointe de segments \(\widetilde{S}_{a_{i}, b_{i}}\) avec \[ a_{1} < b_{1} < a_{2} < b_{2} < \cdots < a_{n} < b_{n}, \qquad \delta\Psi = \partial\Psi = \partial\Phi = \{a_{1}, b_{1}, \ldots, a_{n}, b_{n}\}. \]

Proposition (pages 121 à 124). Une préfigure \(\Phi\) est déterminée, de façon unique, par les données suivantes, et toute donnée de ce type en provient :

1. 1°)la figure \(\Psi\), ou la suite \(a_{1} < b_{1} < \cdots < a_{n} < b_{n}\) ;
2. 2°)une partie \(\partial_{0} \subset \partial\Psi\), les sommets de bord propres ;
3. 3°)un drapeau \(\Delta \in \mathrm{Drap}^{*}(L)\) contenant \(\partial\Psi\), l'ensemble des sommets de \(\Phi\) ; il se décompose en \[ \Delta = \partial\Psi \amalg \Delta_{\mathrm{int}} \amalg \Delta_{\mathrm{is}}, \qquad \Delta_{\mathrm{int}} = \Delta \cap \mathrm{Omb}^{\circ}(\Psi), \] les sommets intérieurs aux intervalles \(S_{a_{i},b_{i}}\) et les sommets isolés ;
4. 4°)une partie \(\Delta_{\mathrm{lac}} \subset \Delta_{\mathrm{int}}\), les sommets lacunaires, de complémentaire \(\Delta_{\mathrm{red}}\).

On a alors \(\Phi_{0} = \partial_{0} \amalg \Delta_{\mathrm{red}} \amalg \Delta_{\mathrm{is}}\), et \(\Phi_{1}\) est l'ensemble des intervalles interstitiels de \(\Delta\) contenus dans l'un des \(S_{a_{i}, b_{i}}\) ; et \(\delta\Phi = \Delta\), \(\partial\Phi = \partial\Psi\), les sommets isolés, redondants, lacunaires de \(\Phi\) étant \(\Delta_{\mathrm{is}}\), \(\Delta_{\mathrm{red}}\), \(\Delta_{\mathrm{lac}}\).

Corollaire 1 (page 124). \(\Phi\) est irredondante si et seulement si \(\Delta_{\mathrm{lac}} = \Delta_{\mathrm{int}}\) ; se donner une préfigure irredondante, c'est se donner \(\Psi\), et \(\partial_{0} \subset \partial\Psi \subset \Delta\) avec \(\Delta \in \mathrm{Drap}^{*}(L)\). Corollaire 2 (page 125, « pour mémoire »). Sous H, pour \(\Phi\) irredondante, \(\mathrm{supp}^{\circ}\Phi = \mathrm{Omb}^{\circ}(\Phi_{1}) \amalg \Phi_{0}\).

Une présentation plus simple, et le complémentaire (pages 125 et 126)

« Ça a l'air franchement compliqué comme présentation. Ne vaut-il pas mieux dire ceci. » Se donner une préfigure, c'est se donner

1. 1°)son drapeau de sommets \(\Delta = \delta\Phi \in \mathrm{Drap}^{*}(L)\) ;
2. 2°)une partie \(\Phi_{1}\) de l'ensemble des intervalles interstitiels de \(\Delta\) ;
3. 3°)une partie \(\Phi_{0}\) de \(\Delta\) ;

avec la condition que tout sommet de \(\Delta\) hors de \(\Phi_{0}\) soit l'extrémité d'un intervalle de \(\Phi_{1}\), \(\Delta = \Phi_{0} \cup \bigcup_{X \in \Phi_{1}} \partial X\) — faute de quoi \(\delta(\Phi_{0} \cup \Phi_{1})\) serait plus petit que \(\Delta\) (« exemple : \(\Phi_{0} = \Phi_{1} = \emptyset\) ! »)⁶⁹ .

La préfigure complémentaire \(\Phi'^{*}\) a les mêmes sommets \(\Delta\), et pour parties \(\Phi'^{*}_{0} = \Delta \smallsetminus \Phi_{0}\) et \(\Phi'^{*}_{1}\), les intervalles interstitiels de \(\Delta\) qui ne sont pas dans \(\Phi_{1}\). Soient \(a\) et \(b\) le premier et le dernier élément de \(\Delta\), et \(\mathcal{M}_{<a}\), \(\mathcal{M}_{>b}\) les éléments de \(\mathcal{M}\) avant \(P_{a}\) et après \(P_{b}\) pour l'ordre de position ; sous H, \(\mathcal{M}_{<a}\) est vide si et seulement si \(a\) est le plus petit élément de \(L\). Alors \[ \mathrm{cosupp}^{\circ}(\Phi) = \mathrm{Omb}^{\circ}(\Phi'^{*}) \amalg \mathcal{M}_{<a} \amalg \mathcal{M}_{>b}, \qquad \mathrm{Omb}^{\circ}(\Phi'^{*}) = \coprod_{X \in \Phi'^{*}} \mathrm{Omb}^{\circ}(X) . \] Le complémentaire d'un support constructible est, au voisinage de ses sommets, le support de la préfigure complémentaire. La page écrit \(\mathrm{Omb}^{\circ}(\Phi'^{*}_{1})\) dans le premier membre, l'indice 1 récrit sur un autre chiffre ; il faut la préfigure complémentaire entière⁷⁰ .

Le dossier s'arrête là, sur la comparaison de \(\mathrm{cosupp}^{\circ}(\Phi)\) et de \(\mathrm{Omb}^{\circ}(\Phi'^{*})\). Le chapitre IX (dossier 156-9) la reprend le 5 juillet, avec les intervalles infinis \(I_{<a}\), \(I_{>a}\) qui absorbent \(\mathcal{M}_{<a}\) et \(\mathcal{M}_{>b}\), sous la forme \(\mathrm{cosupp}^{\circ}(F) = \mathrm{Omb}^{\circ}(F^{*})\).