Fonds Grothendieck, cote n° 156-7, pages 101–113

pagination de sa main 101 à 113 en tête des feuillets, qui coïncide avec celle des archivistes

J'ai envie de prendre sur un « magasin » (\mathcal{M}, \leq, \ll \ldots) comme relations primitives, en plus de \leq et de \ll, et au lieu de \between ou de \parallel, la ~~nouv~~ relation (heuristiquement) X \mathrel{|{\circ}|} Y \Longleftrightarrow X^{\circ} \parallel Y^{\circ} et ceci de façon à arriver à donner un sens raisonnable à X^{\circ}, même dans des cas où au sens pris jusqu'à présent celle-ci serait vide. Cf. p. 53 pour un exemplele mot « magasin », entre guillemets, est nouveau dans ce lot ; le signe \mathrel{|{\circ}|}, deux traits verticaux enserrant un petit rond, se lit (page 109) « X et Y sont intérieurement disjoints ». Le renvoi « p. 53 » est au lot 3 de ce dossier ; devant, une grande lettre (un C ?) et un signe bouclé, lus « Cf. » sous réserve : ~~pour~~ pour une maquette simpliciale, plus gén. un ensemble ordonné (\mathcal{M}, \leq) où on prend \ll \;=\; \leq, X \between Y toujours satisfait) ~~dans pour tout X un minimal~~ si X est un minimal on a \mathrm{omb}(X)^{\circ} = \emptyset, ~~X \smallsetminus \{X\}~~.deux lignes et demie barrées d'un long trait, lues par fragments ; l'exposant de « \mathrm{omb}(X)^{\circ} » ressemble à un d, lu comme le rond de l'intérieur, douteux. Un « V » sous le premier mot biffé de la ligne appelle l'insertion « pour »

P. ex. pour une maquette simpliciale (\mathcal{L}, \mathcal{M} \subset \mathfrak{P}_f(\mathcal{L})) les supports de (\mathcal{M}, \leq, \ll \;=\; \leq, \between \;=\; \text{toujours satisfait}), pour la relation X \parallel Y \Longleftrightarrow \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset i.e. X et Y non voisins, s'identifient avec les parties quelconques de S \Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(S) \mathcal{M} partie de \mathfrak{P}_f(\mathcal{L}) (\mathcal{L}) pour contenant les \{x\}note écrite en biais dans la marge gauche, en face de l'exemple, lue en partie ; « (\mathcal{L}, \mathcal{M} » : les deux lettres sont repassées d'une encre épaisse le support du ~~X \in~~ « simplexe » X est X lui-même. Avec la définition plausible X^{\circ} =: \mathrm{supp}\, X \cap \mathrm{cosupp}\, \partial X on trouve X^{\circ} = \emptyset sauf si X ~~est~~ \in \mathcal{L}.

C'est triste mais c'est vrai.

Je vais prendre comme relations primitives dans \mathcal{M} \leq, \quad \ll, \quad \mathrel{|{\circ}|} Avec ça, on va définir \between ainsi (version « magasin spécial », on reviendra bientôt sur la version « magasin polyédral ») ; pour X, Y \in \mathcal{M}, posant L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} plus grande partie fermée commune X \between Y \Longleftrightarrow \forall\, X' \in \widetilde{X} \smallsetminus L,\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus L,\quad X' \mathrel{|{\circ}|} Y' cette définition ne fait pas intervenir \llnote dans la marge gauche, en face de la définition ; « plus grande partie fermée commune » est écrit au-dessus de la formule

Nous allons d'abord poser les axiomes Mag \Lambda 1…\Lambda 6 (anciennement Prat \Lambda 1 …) de la p. 51, avec \Lambda = \mathcal{M}.« \Lambda 6 » est écrit au-dessus de la ligne avec un signe d'insertion ; après « Prat \Lambda 1 », une petite lettre bouclée (un \xi ?) n'est pas lue ; les axiomes « Prat » (préatelier) et la page 51 sont au lot 3 de ce dossier ; le mot se lit aussi « Prot », il est donné comme au lot 3

Mag \mathcal{M}1, Mag \mathcal{M}3, Mag \mathcal{M}4 en variantes devenant Mag 1'', 2'', 3'' Mag \mathcal{M}2 tombe (car tautologique si \Lambda = \mathcal{M}) Mag \mathcal{M}5 ~~est tautologique~~ va résulter des nouveaux axiomes (remplaçant At L3)

au-dessus de « Mag \mathcal{M}4 », un « \mathcal{M}\Lambda 2 » relié par un trait courbe à la ligne suivante ; « devenant Mag 1'', 2'', 3'' » est écrit au-dessus de la ligne, à droite

Mag 4'' \forall\, X \in \mathcal{M}, et Y, Z \leq X, Y \neq Z, on a Y \mathrel{|{\circ}|} Z.après le premier Y de la conclusion, un signe lourdement biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \widetilde{X} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \widetilde{Y} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\ \widetilde{X}' \arrow[dr, no head] & & L \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \widetilde{Y}' \arrow[dl, no head] \\ & X'_L \arrow[dr, no head] & & Y'_L \arrow[dl, no head] & \\ & & L' & & \end{tikzcd}

schéma en losange à gauche de la démonstration ; à gauche, « X'' \in » pointe vers \widetilde{X}', à droite « \ni Y'' » vers \widetilde{Y}'

Supposons X \between Y, soient X' \leq X, Y' \leq Y, prouvons X' \between Y'. Introduisons ~~\between~~ L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, L' = \widetilde{X}' \cap \widetilde{Y}', X'_L = \widetilde{X}' \cap L = \widetilde{X}' \cap \widetilde{Y}, Y'_L = \widetilde{Y}' \cap L = \widetilde{Y}' \cap \widetilde{X}, donc L' = X'_L \cap Y'_L. Soit X'' \in \widetilde{X}' \smallsetminus L', Y'' = \widetilde{Y}' \smallsetminus L', prouvons X'' \mathrel{|{\circ}|} Y''. Si X'', Y'' \notin L, cela ~~résulte~~ de l'hypothèse que X \between Y. Si X'' \in L i.e. X'' \in \widetilde{Y} (Y'' non ) alors X'', Y'' \in \widetilde{Y} et X'' \neq Y'', donc par Mag 4'' on gagne encore.« Y'' = \widetilde{Y}' \smallsetminus L' » : un = sur la page, pour \in. Le \widetilde{Y} de « X'' \in \widetilde{Y} » porte un indice biffé ; les mots entre parenthèses qui suivent ne sont pas lus

Il faut encore adjoindre Mag \mathcal{M}6 (ex Prat \Lambda6, pour \Lambda = \mathcal{M}).

Cor. de Mag 4'' Si X, Y avec X \between Y, X \neq Y, alors X \mathrel{|{\circ}|} Y.le signe de « X \between Y » est vite tracé et pourrait être un \geq barré ; lu comme la compatibilité, douteux

On voudra aussi la condition qui suit, similaire à ex-Mag \Lambda5 :

Mag 5'' La La relation X \mathrel{|{\circ}|} Y est symétrique et antiréflexive, i.e. elle implique Y \mathrel{|{\circ}|} X et X \neq Y. De plus, si X \mathrel{|{\circ}|} Y et X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, Y' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y implique X \mathrel{|{\circ}|} Y.« implique X \mathrel{|{\circ}|} Y » est sur la page, sans les primes qu'on attend (X' \mathrel{|{\circ}|} Y'), et la phrase mêle « si » et « implique »

Ceci va impliquer déjà Mag 6, i.e. si X, Y, \add{Z} \in \mathcal{M}, X \between Y, Z \ll X, Y, alors \exists\, Z' \in \mathcal{M} avec Z \ll Z' \leq X, Y . le « 6 » de « Mag 6 » est surchargé ; le Z est inséré au-dessus de la ligne ; le premier \ll de « Z \ll X, Y » est écrit sur un autre signe En effet, par Mag \mathcal{M}3, ~~OPS Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y~~ \exists\, X' \in \widetilde{X}, Y' \in \widetilde{Y} avec Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X', Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y'. Par Mag \mathcal{M}5 qu'on vient de vérifier, on aura X' \between Y', et par le corollaire de Mag 4'', on conclut X' = Y', i.e. le Z' cherché !« Mag \mathcal{M}5 » est souligné et relié par un trait à « qu'on vient de vérifier » ; on attend plutôt Mag 5'', énoncé en tête de page. Le signe de « X' \between Y' » est mal formé

Donc on sait qu' avec (\leq, \ll, \between) on a un atelier, ~~formé~~ dans lequel une relation \parallel

Proposition 1 Soient X, Y \in \mathcal{M}. Alors X \parallel Y \Longleftrightarrow \forall\, X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y}, \text{ on a } X' \mathrel{|{\circ}|} Y' En effet, X \parallel Y signifie X \between Y et ~~que~~ L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset. ~~et X \between Y~~ Donc la prop. est tautologique.

Vérifions At C (spéc.), i.e.

Proposition 2 (?) Soient X, Y \in \mathcal{M}, L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}. ~~Soi~~ Alors X \between Y \Longleftrightarrow (condition C) \forall\, X' \ll X, Y' \ll Y, tels que X'_L \overset{\mathrm{df}}{=} \widetilde{X}' \cap \mathrm{Omb}(L) et Y'_L \overset{\mathrm{df}}{=} \widetilde{Y}' \cap \mathrm{Omb}(L) soient vides, on a X' \parallel Y'.« (condition C) » est écrit sous « Soient X, Y » et relié au second membre de l'équivalence ; avant X'_L, un premier essai « X'_L = \widetilde{X}' \cap » est biffé ; les indices de « X' \parallel Y' » sont lourdement biffés. « At C (spéc.) » renvoie à un axiome des lots précédents

\Longrightarrow semble toujours vrai, et \Longleftarrow moyennant un axiome supplémentaire genre At L1 (axiome de divisibilité infinie). Voyons !

Supposons X \between Y, et soient X' \ll X, Y' \ll Y avec X'_L = Y'_L = \emptyset prouvons que X' \parallel Y', i.e. (prop. 1) que ~~pour~~ \forall\, X'' \leq X', Y'' \leq Y', on a X'' \mathrel{|{\circ}|} Y''. Comme ~~X''~~ X''_L \leq X'_L = \emptyset et Y''_L = \emptyset, OPS X'' = X', Y'' = Y'. Soient X_1, Y_1 tels que ~~X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X_1 \leq X,~~ X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X_1 \leq X, \qquad Y' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y_1 \leq Y en tête de cette ligne, à gauche, un signe isolé (un \exists ?) On a X_1 \notin L (sinon on aurait X' \in L et X'_L \neq \emptyset) et de même Y_1 \notin L, donc X_1 \mathrel{|{\circ}|} Y_1, par hyp. X \between Y. Donc par Mag 5'', on conclut X' \mathrel{|{\circ}|} Y', cqfd.« X_1 \mathrel{|{\circ}|} Y_1 » : le signe est serré, comme un H ; lu comme \mathrel{|{\circ}|}, que demande la définition de \between (page 102). Dans « X' \in L », le \in est surchargé

Supposons d'autre part l'hypothèse dite sur X, Y, en termes des X', Y', satisfaite, prouvons que X \between Y. Soit donc X' \in \widetilde{X} \smallsetminus L , Y' = \widetilde{Y} \smallsetminus L, prouvons X' \mathrel{|{\circ}|} Y'.« Y' = \widetilde{Y} \smallsetminus L » : un = pour \in, comme page 102

~~Ici on tombe qu'il soit~~ Si ,

Si on suppose At L2 (?) la condition C () plus : ~~\mathrm{omb}(X)~~ \forall\, x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ}, y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}, on a x \parallel y — i.e. pour tout x \in , y \in longue note écrite en biais dans la marge gauche, de la ligne « prouvons que X \between Y » au lemme, lue par fragments ; une flèche la relie au texte

Lemme La condition C sur (X, Y) implique que pour tous X', Y' comme dans l'énoncé de cette condition, et pour x \in \mathrm{omb}(X')^{\circ}, y \in \mathrm{omb}(Y')^{\circ}, on a x \parallel y.le lemme est marqué d'un trait vertical dans la marge

En effet, on a bien sûr x x_L = \emptyset ~~y_L = \emptyset~~, car sinon on aurait x_L = x donc x \ll L ~~donc~~ donc \mathrm{omb}(X') \cap \mathrm{omb}(L) = \mathrm{omb}(X'_L) \neq \emptyset, contrairement à X'_L = \emptyset la condition. Et de même y_L = \emptyset, donc .« contrairement à » est suivi, au-dessus de la ligne, d'un « X'_L \neq \emptyset » (on attend = \emptyset) et, sur la ligne, de « la condition »

Donc inversement, la condition At C (spéc.) signifie ~~la condition~~ celle de C ~~que si X, Y \in \mathcal{M}, \Longrightarrow~~ ~~on aurait~~ soit (ex-X', Y') ~~L'axiome de~~

Proposition (?) Soient X, Y \in \mathcal{M}. Alors X \mathrel{|{\circ}|} Y \Longleftrightarrow \forall\, x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}, \text{ on a } x \parallel y .

Bien sûr on a \Longrightarrow à cause de Mag 5''. Il faut voir si on a \Longleftarrow. Si on part d'un magasin style (\leq, \ll, \between), décrit par Mag 1 – Mag 6 (ex Prat 1 – Prat 6) ou Mag \mathcal{M}1 – Mag \mathcal{M}6 ( la p. 51), et si on suppose L1, L2, L3, alors on ~~pourra~~ définir raisonnablement X \mathrel{|{\circ}|} Y \Longleftrightarrow \forall\, x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}, \text{ on a } x \parallel y, et Mag 4'' et Mag 5'' sont vérifiés (Mag 4'' en raison de At L3, et Mag 5'' prprovenant de X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X \Rightarrow \mathrm{omb}(X')^{\circ} \subset \mathrm{omb}(X)^{\circ}).« Mag 1 – Mag 6 » : le « 1 » est au-dessus d'un trait ; « Prat 6 » est écrit sur un autre chiffre ; « Mag \mathcal{M}1 – Mag \mathcal{M}6 » est souligné d'un trait courbe qui le relie à « L1, L2, L3 ». Le mot qui précède « définir » (souligné) est surchargé ou biffé, lu « pourra » sous réserve Si on regarde alors la relation \between' définie par cette relation \mathrel{|{\circ}|} comme ci-dessus, alors on sait que cette relation et la relation \between ssi X satisfait la condition At C (spéc.), équivalente à At C L (spéc.) en effet, moyennant L2, i.e. à la condition que pour X, Y \in \mathcal{M}, L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} X \between Y \Longleftrightarrow \underbrace{\forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), \text{ on a } x \parallel y}_{X \between' Y} « At C (spéc.) » : le « At » est écrit sur un autre mot ; entre « L2, » et « At C L », un signe biffé. « X \between' Y » est écrit sous l'accolade du second membre

En effet, la condition du second membre équivaut à X \between' Y, car \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L) = \bigcup_{X' \in \widetilde{X} \smallsetminus L} \mathrm{omb}(X')^{\circ}, \qquad \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L) = \bigcup_{Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus L} \mathrm{omb}(Y')^{\circ} donc la condition du second membre s'écrit aussi : \forall\, X' \in \widetilde{X} \smallsetminus L,\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus L, \text{ on a } \underbrace{\bigl[\forall\, x \in \mathrm{omb}(X')^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y')^{\circ} \text{ on a } x \parallel y\bigr]}_{X' \mathrel{|{\circ}|} Y'} i.e. on a bien X \between' Y.

En résumé :

Scholie sur la comparaison des points de vue « Magasin \leq, \ll, \between » et « Magasin \leq, \ll, \mathrel{|{\circ}|} ».

Partant d'un \between-magasin, satisfaisant L1, L2, L3, celui-ci définit un \mathrel{|{\circ}|}-magasin, en définissant (*) \qquad X \mathrel{|{\circ}|} Y \Longleftrightarrow \forall\, x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}, \text{ on a } x \parallel y D'autre part, tout \mathrel{|{\circ}|}-magasin (certain) définit un \between-magasin, où donc la relation \parallel sera équivalente à (**) \qquad X \parallel Y \Longleftrightarrow \forall\, X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y}, \text{ on a } X' \mathrel{|{\circ}|} Y' . (il semble que) (**) X \between Y \Longleftarrow \forall\, X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, Y'' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, on a X' \mathrel{|{\circ}|} Y'note écrite verticalement dans la marge gauche, reliée par une accolade à la ligne « \between-magasin » et à (**) ; « (il semble que) » est écrit sous le second membre de (**) et renvoyé à la phrase suivante. Les étoiles des étiquettes (*), (**) sont mal formées

Mais on s'intéresse (la relation \mathrel{|{\circ}|} un peu au-delà de la définition raisonnable en termes des structures \leq, \ll, \between) à ce qu'elles donnent raisonnablement. Pour qu'elle le puisse, il faut supposer qu'elle satisfait la condition supplémentaire

implique At L1en biais dans la marge gauche, en face de l'axiome Mag 5'' (du type d'un axiome de divisibilité) Si X, Y \in \mathcal{M}, alors (***) \qquad X \mathrel{|{\circ}|} Y \Longleftrightarrow \forall\, x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}, \text{ on a } x \mathrel{|{\circ}|} y ( en tous cas, pour x, y \in \mathcal{L}, x \mathrel{|{\circ}|} y \Leftrightarrow x \parallel y) — i.e. que la relation X \mathrel{|{\circ}|} Y provienne d'une relation (qu'on peut aussi noter \parallel) sur \mathcal{L}. Ceci n'est possible que si l'atelier satisfait la condition de divisibilité, i.e. Mag 6'' l'étiquette de l'axiome est lue « Mag 5'' », déjà prise page 103 ; le « 5 » est mal formé et pourrait être un autre chiffre. L'étiquette de la formule porte trois ou quatre étoiles. Le dernier mot de la page n'est pas lu ; la phrase continue en tête de la page 107

pour \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset \qquad \forall\, X \in \mathcal{M}, car si on avait \mathrm{omb}(X)^{\circ} = \emptyset, on aurait X \mathrel{|{\circ}|} X, ce qui est exclu par Mag 5'' (antiréflexivité). De plus, elle implique aussi At L2 (via (***)) et At L3 (via ~~Mag~~ Cor. de Mag 4'').l'étiquette « (***) » renvoie à la formule de la page 106, où elle porte trois ou quatre étoiles

Et l'axiome At C (spéc.) semble automatique (alors qu'il ne l'est peut-être pas, et qu'il est bien, dans le cas où , supposé par (***)).

Inversement, si on part d'un \between-magasin, satisfaisant At L1, L2, L3 (qui permettent y définir raisonnablement \mathrm{|{\circ}|}), la structure \between \between' définie par \mathrel{|{\circ}|}, ssi autre que elle, \mathcal{M} satisfait At C (spéc.).la fin de cette phrase est mal lue : on attend que \between et la relation \between' définie par \mathrel{|{\circ}|} coïncident ssi \mathcal{M} satisfait At C (spéc.), comme à la page 105

Donc la donnée commune des deux notions est, visiblement par l'équivalence de catégories :

\begin{tikzcd}[row sep=small] \between\text{-magasins satisfaisant At L1, L2, L3 et At C (spéc.)} \arrow[d, Rightarrow] \\ \mathrel{|{\circ}|}\text{-magasins satisfaisant } (***) \text{ (compatibilisme)} \end{tikzcd}

la flèche verticale double entre les deux lignes n'a de pointe visible que vers le bas (le haut est un crochet ouvert) ; elle est rendue telle quoique le texte annonce une équivalence. « (dispositions) », entre parenthèses et souligné, est écrit à droite de la seconde ligne et relié à la suite

Dans les \between-magasins et les \mathrel{|{\circ}|}-magasins apparaissent comme deux ~~types de~~ généralisations d'une même espèce de structure. Celle-ci paraît trop restrictive , en un sens, par la seule présence de At L1.

On dispose donc de deux généralisations possibles, en direction d'une topologie sans axiome de divisibilité. Mais c'est la direction \mathrel{|{\circ}|} qui me semble la plus riche. En effet, elle a toujours une structure de \between-magasin correspondante, mais, en plus, une notion \mathrel{|{\circ}|} de disjonction intérieure, qui exprime une intuition géométrique inexprimable, laquelle échappe (vu l'absence de At L1) au seul \between-~~point~~ . L'axiome At C (spéc.), dans le cas actuel, apparaît artificiel — il exprime l'absence de celui qui dispose d'une notion de « disjonction » les uns des intérieurs « strates » X^{\circ}.page d'écriture rapide et sans formules ; seuls les mots offerts sont lus, souvent sous réserve

Donc finalement, je change d'optique celles d'axiomes de At C (spéc.), At C, At D… tombent flèches. Je reprends…

tout, une nouvelle fois !

Un magasin (de multistrates) est la donnée d'un ensemble \mathcal{M}, muni de trois relations \leq, \quad \ll, \quad \mathrel{|{\circ}|} avec la terminologie introduite par ailleurs. La relation X \mathrel{|{\circ}|} Y se lit « X et Y sont intérieurement disjoints », on pourra aussi l'écrire plus loin X^{\circ} \parallel Y^{\circ} (quand on disposera des notations : X^{\circ}, Y^{\circ}…).

Les axiomes sont les suivantstoute la suite de la page (Mag 1 à Mag 4 et la note de la marge) est barrée de longs traits obliques ; elle est transcrite en entier

~~Mag 1 X \leq Y et X \ll Y sont deux relations d'ordre, et X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y~~

Mag 2 \forall\, X \in \mathcal{M}, Z \in \mathcal{M} avec Z \ll X, \exists\, X' avec Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \leq X, où on écrit Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} Z est élément minimal de \widetilde{Y}^{Z} = \lbrace Y' \in \widetilde{Y} \mid Z \ll Y' \rbraceaprès « \forall\, X \in \mathcal{M}, » un signe lourdement biffé ; dans « \widetilde{Y}^{Z} » le Y est écrit sur un X

Mag 3 Soient Y \ll X et Z tels que Z \ll Y, X' , alors \exists\, Y' avec Z \ll Y' \ll X', Y' \leq Y (i.e. \mathrm{Omb}(Y) \cap \mathrm{Omb}(X') = \mathrm{Omb}\, Y_{X'} où Y_{X'} \overset{\mathrm{def}}{=} \widetilde{Y} \cap \mathrm{Omb}\, X'). De plus, si Y \leq X, OPS Y \leq X'.le schéma de Mag 3 dispose Y \ll X au-dessus de Y' \ll X', reliés par des \leq verticaux (X' \leq X, Y' \leq Y) ; le Y' du bas est écrit sur un autre signe

~~Mag 4~~

~~Variante (optimiste) : si Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y, Z \ll X', alors Y \ll X', i.e. relié ; alors Z~~ note écrite en biais dans la marge gauche, en face de Mag 3, barrée avec le reste i.e. \exists\, \ill{} Z dans Ycourte note en biais dans la marge gauche, en face de Mag 2

Mag 1 X \leq Y et X \ll Y sont des relations d'ordre, et X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y

Mag 2 Soient Z \ll X, alors l'ensemble \widetilde{X}^{Z} = \lbrace X' \in \widetilde{X} \mid Z \ll X' \rbrace a un plus petit élément. Si c'est X, on écrit Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X.après « X' », un signe lourdement biffé ; le Z de « Z \ll X' » est surchargé

Mag 3 X \mathrel{|{\circ}|} Y est symétrique et antiréflexive, i.e. elle implique Y \mathrel{|{\circ}|} X et X \neq Y. De plus on a X \mathrel{|{\circ}|} Y,\ X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X,\ Y' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \Longrightarrow X' \mathrel{|{\circ}|} Y'

Mag 4 Si X \in \mathcal{M}, Y, Z \leq X, alors Y \neq Z \Longrightarrow Y \mathrel{|{\circ}|} Z Mag 1 à Mag 4 reprennent, dans l'ordre 1, 2, 5'', 4'', les axiomes Mag 1 et Mag 2 barrés de la page 109 et Mag 5'', Mag 4'' des pages 102-103 ; « Y \neq Z » est écrit sur un premier signe biffé

En termes de ces données, on définit X \between Y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \forall\, X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, \text{ on a } X' \mathrel{|{\circ}|} Y' X \parallel Y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \forall\, X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y}, \text{ on a } X' \mathrel{|{\circ}|} Y' On a a alors X \parallel Y \Longleftrightarrow X \between Y \text{ et } \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset \quad (\text{i.e.\ } \lbrace X, Y \rbrace \text{ non minoré dans } \mathcal{M})

Figure F (d'un magasin) : partie \leq-fermée, telle que \forall\, X, Y \in F, on ait X \between Y. ~~Atelier : Magasin~~, Ex : les \widetilde{X} « Atelier : Magasin » est souligné puis barré d'un trait horizontal ; la page s'arrête sur « Ex : les \widetilde{X} »

Atelier (spéciaux) : est donné par (\mathfrak{F}, \leq, \ll ; \mathrel{|{\circ}|}) où \mathfrak{F} est un ensemble muni de deux relations d'ordre \leq, \ll, et d'une relation. Axiomes

At 1 \mathfrak{F} stable par \mathrm{Sup}^{\leq} de familles majorées \neq \emptyset et \mathfrak{F}, quelconques.« \neq \emptyset et \mathfrak{F}, » est écrit au-dessus de la ligne et relié à « stable » ; « de \mathfrak{F} » est biffé devant « majorées », souligné

At 2 Toute figure F est le \mathrm{Sup}^{\leq} de l'ens. \widetilde{F} de ses « strates » \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathfrak{F} \mid X \leq F,\ X \text{ « strictement irréductible »} \rbrace F \leq G \Longleftrightarrow \widetilde{F} \ill{} (condition sur les figures par strates) \widetilde{F}, en \leq, les de la figure ( || pas « développement »).note écrite en biais dans la marge gauche, en face de At 2 et de la suite, lue par fragments ; un mot y est souligné de trois traits

Si \mathcal{M} désigne l'ens. des figures élémentaires (ou plutôt str. irréd. de \mathfrak{F}), munie de la structure \leq induite, donc la connaissance de (\mathfrak{F}, \leq) équivaut à celle de (\mathcal{M}, \leq), avec un ens. \mathfrak{F} de parties fermées de \mathcal{M} (les \widetilde{F}), contenant avec chaque partie fermée, recouvrant \mathcal{M} , contenant au moins la partie vide de \mathcal{M} (figure vide). Ceci posé :les quatre lignes qui suivent At 2 sont écrites vite, avec des ajouts interlinéaires ; la construction de la phrase n'est pas établie

\mathcal{L} Cquelques signes en biais dans la marge gauche, en face de « (\mathcal{M}, \leq) »

At 3 ~~F \between G \Longleftarrow \forall\, X \in \widetilde{F}, \exists\, Y \in \widetilde{G} avec X \ll Y~~ et si \forall\, X \in \widetilde{F}, Y \in \widetilde{G}, ~~X \cup Y~~ X \cup Y existe dans \mathfrak{F} (i.e. \lbrace X, Y \rbrace majoré pour \leq), alors F \cup G existe dans \mathfrak{F}.At 3 est barré d'un long trait oblique ; la première formule est de plus barrée d'un trait horizontal, et « et si \forall\, X \in \widetilde{F}, Y \in \widetilde{G}, » est écrit au-dessus. Un trait vertical dans la marge marque l'énoncé

~~On introduit la relation dans \mathfrak{F} : F \between G \Longrightarrow \lbrace F, G \rbrace majoré en \mathfrak{F}. Par At 3, il suffit de la connaître dans \mathcal{M}.~~sous \lbrace F, G \rbrace, « i.e. F \cup G existe » ; ce passage est barré du même trait oblique

Critère de vérification note en biais dans la marge gauche, en face de At 4, entourée d'un trait courbe At 4 F \ll G \Longleftrightarrow \forall\, X \in \widetilde{F}, \exists\, Y \in \widetilde{G}, avec X \ll Y

Donc la connaissance de \ll sur \mathfrak{F} équivaut à celle de \ll sur \mathcal{M}.

~~At 5 F \mathrel{|{\circ}|} G implique que F, G \in \mathcal{M}.~~devant « At 5 », un premier « At » lourdement biffé

Critère de compatibilité par les stratesnote en biais dans la marge gauche, en face de At 3, reliée par une grande accolade à la ligne « + les axiomes Mag 1 – Mag 4 » At 3 (spéc.) (a) Soient F, G \in \mathfrak{F}. Pour que \lbrace F, G \rbrace majoré dans \mathfrak{F}^{\leq} i.e. F \cup G existe, il faut et il suffit que ~~\forall\, X \in \widetilde{F}, Y \in \widetilde{G}~~ \forall\, X \in \widetilde{F} \smallsetminus \widetilde{F} \cap \widetilde{G},\ Y \in \widetilde{G} \smallsetminus \widetilde{F} \cap \widetilde{G} \Longrightarrow X \mathrel{|{\circ}|} Y ~~D'autre part, la~~ (b) si F \mathrel{|{\circ}|} G \Longrightarrow F, G \in \mathcal{M}, i.e. \mathrel{|{\circ}|} est en fait une relation dans \mathcal{M}.les lettres (a), (b) sont cerclées dans le manuscrit. (b) reprend l'At 5 biffé plus haut ; « D'autre part, la » et « si » sont barrés

+ les axiomes Mag 1 – Mag 4 sur (\mathcal{M}, \leq, \ll, \mathrel{|{\circ}|}).

En termes de cette dernière structure, associée au magasin la donnée d'un atelier (spécial) : la donnée de \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}), satisfaisant les conditions

At \mathcal{M} 1 \forall\, \Phi \in \mathfrak{F}, \Phi est fermé pour \leq

At \mathcal{M} 2 Si \Phi \in \mathfrak{F}, \Psi \subset \Phi, ~~alors~~ est une partie fermée de \Phi, alors \Psi \in \mathfrak{F}

At \mathcal{M} 3 (a) \bigcup_{\Phi \in \mathfrak{F}} \Phi = \mathcal{M}, et (b) \mathfrak{F} \neq \emptyset (ce dernier automatique si \mathcal{M} \neq \emptyset), ou encore (b') \emptyset \in \mathfrak{F}.(a), (b), (b') cerclés dans le manuscrit ; « est une » est écrit au-dessus de « alors », biffé, dans At \mathcal{M} 2

At \mathcal{M} 4 Si \Phi, \Psi \in \mathfrak{F}, alors \Phi \cup \Psi \in \mathfrak{F} ssi ~~\forall\, X \in \Phi, Y \in \Psi, X, Y \notin \Phi \cap \Psi, on a X \mathrel{|{\circ}|} Y~~ X \between Y, i.e. \forall\, X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, X' \mathrel{|{\circ}|} Y'.la ligne « \forall\, X \in \Phi, Y \in \Psi, …, on a X \mathrel{|{\circ}|} Y » est barrée ; au-dessus, « X \between Y, i.e. » et, au-dessous, la condition sur X', Y' ; les variables X, Y qui y restent, sans quantificateur, sont sur la page

L'atelier est dit ~~fini~~ « à figures finies » si les multiplicités de ses figures sont finies. Cela revient à se donner le magasin correspondant, et prendre alors \mathfrak{F} = \lbrace \Phi \in \mathfrak{P}_f(\mathcal{M}) \mid X, Y \in \Phi \Rightarrow X \between Y \rbrace , mais cela satisfait aux conditions d'un M-atelier .« \Phi » est chaque fois écrit sur une autre lettre biffée

~~At \mathcal{M}~~ Mag fin \forall\, X \in \mathcal{M}, \widetilde{X} est fini. ~~(magasin fini, multistrates finies)~~la parenthèse finale, deux lignes serrées, est barrée de deux traits

(Axiome des magasins dans cette partie algébrique, au cours du travail), c'est finalement l'atelier qui est au centre de la structure constamment, alors que l'ensemble \mathfrak{F} de toutes les figures joue un rôle un tantinet accessoire.la page, et le dossier, s'arrêtent ici, au premier tiers de la feuille