24 juin

24 juin date de sa main, soulignée d'un trait oblique, dans l'angle supérieur gauche de la page 45, en tête du premier alinéa

Soit \Lambda \subset \mathcal{M}, fermé pour \leq. On introduit dans maintenant des conditions analogues pour \mathcal{L} :

At\Lambda1 \forall\, X \in \mathcal{M}, \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} \neq \emptyset, i.e. \exists\, Z \in \Lambda, Z \overset{\circ}{\ll} X densité de \Lambda pour \Lambda = \mathcal{L}, At\Lambda1 est l'« axiome des lieux » At 8 de la deuxième mouture (GF VI, p. 45, formule (1.52) \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset), repris ici pour une partie \Lambda quelconque

At\Lambda2 \forall\, X, Y \in \mathcal{M}, X \parallel Y \iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X), Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y), X' \parallel Y' si on a At\Lambda1 et At\Lambda2, on dit que \Lambda est très dense « At\Lambda2 » est doublement souligné ; la note marginale, oblique, n'est lue qu'en partie

At\Lambda3 ou At D\Lambda Soient X, Y \in \mathcal{M} tels qu'il existe X \between Y, L = X \cap Y, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X), Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y). Alors X'_L \parallel Y'_L \Longrightarrow X' \parallel Y' . si \Lambda = \mathcal{L}, c'est At L 3 « At\Lambda3 » est doublement souligné ; sous \parallel un signe noirci ; après « L = X \cap Y », « déf » surmonte un mot biffé ; au-dessus, « Supposons que », biffé

At C\Lambda (spéc) Soient X, Y \in \mathcal{M}, L = X \cap Y (défini par L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}). Alors X \between Y \iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X),\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y),\ X'_L = Y'_L = \emptyset \Longrightarrow X' \parallel Y'

At C\Lambda (pol) Soient X, Y \in \mathcal{M}, L = X \cap Y. Alors X \between Y \iff \begin{cases} \text{(i) Comme dans At C$\Lambda$ (spéc) ci-dessus} \\ \text{(ii) $L = \emptyset$ ou $L \in \mathcal{M}$} \end{cases}

On a en tout cas les implications (cf. page 22) \begin{array}{ccccc} \Lambda 3 + C\Lambda^{*} & \Longrightarrow & C\,\struck{\ill{}} & & \\ & & \Downarrow & & \\ \Lambda 2 + \Lambda 3 & \Longrightarrow & D & \Longrightarrow & \Lambda 3 \\ \Downarrow & & \Downarrow & & \\ \Lambda 2 & \Longrightarrow & D_0 & & \end{array} D_0 + \Lambda 1 + C\Lambda^{*} \Longrightarrow \Lambda 2 , \qquad \Lambda 2 + C\Lambda^{*} \iff \Lambda 2 + C^{*} où on a laissé tomber les sigles « At » dans la désignation des axiomes, et où C\Lambda^{*} désigne indifféremment At C\Lambda (spéc) ou At C\Lambda (pol), et C désigne At C ( ) C^{*} est At C (spéc) ou At C (pol) (mais toujours les mêmes). dans le tableau, la flèche verticale sous \Lambda 2 + \Lambda 3 est barrée d'un trait qui la croise (une implication annulée ?) ; la troisième ligne, D_0 + \Lambda 1 + C\Lambda^{*} \Longrightarrow \Lambda 2, aboutit sur la page au même \Lambda 2 que la colonne de gauche ; à la place de la lettre après « C » dans la première ligne, un griffonnage. Le renvoi « p. 22 » est à sa pagination ; l'ajout interlinéaire au-dessus de la parenthèse biffée n'est pas lu

Un ensemble complet de conditions de compatibilité disjonction impliquant \Lambda, est (impliquant donc tous les axiomes pertinents \underset{\substack{\Downarrow \\ D_0}}{C,\ D},\ C^{*},\ \Lambda 1,\ \Lambda 2,\ \Lambda 3,\ C\Lambda^{*} pour la conclusion) des suivants, p. ex. \begin{array}{ll} a) & \Lambda 1,\ \Lambda 2,\ \Lambda 3,\ C\Lambda^{*} \\ b) & \Lambda 1,\ \Lambda 2,\ D,\ C^{*} \\ c) & \Lambda 1,\ C\Lambda^{*},\ D \\ d) & \Lambda 1,\ \Lambda 2,\ C^{*},\ D_0 \end{array} la double flèche verticale « \Downarrow D_0 » est écrite sous le « D » de la première liste ; les quatre listes a)-d) sont réunies par une accolade à gauche ; entre a) et b), une double flèche verticale relie \Lambda 3 à D, une autre, à double pointe, C\Lambda^{*} à C^{*} ; en d), « \Lambda 2 » et « C^{*} » sont repassés

les équivalences marquées valent toutes, en présence de \Lambda 1, \Lambda 2 i.e. si \Lambda est partie très dense de \mathcal{M}.

NB \Lambda 1 est le seul des axiomes pertinents qui figure dans chacun des ensembles (a), b), c), d)) équivalents note à droite de la liste d), en trois lignes serrées, lue en partie

On dira, quand cet ensemble de conditions est vérifié, qu'on a un atelier \Lambda-spécieux, ou \Lambda-polyédral. Les cas les plus intéressants pour moi sont

1°)\Lambda = \mathcal{L} cas déjà traité — mais cela signifie que l'atelier satisfait maintenant les conditions de divisibilité. 2°)\Lambda = \mathcal{M}, auquel cas \Lambda 1 devient tautologique, \Lambda 2 équivaut à D_0, \Lambda 3 équivaut à D, C\Lambda^{*} équivaut à C^{*}, et … \mathcal{M}-polyédral signifie. Dire que \mathcal{A} est \mathcal{M}-spécieux signifie simplement qu'il satisfait : D, et C spéc resp. C pol.

« \mathcal{M}-polyédral » est souligné ; un trait le relie à « signifie » à la ligne suivante

Dans le cas général, on peut dire que \mathcal{A} est (lorsqu'il est) \Lambda-spécieux, dès qu'il est \mathcal{M}-spécieux i.e. spécieux tout court, et si de plus \Lambda est très dense (\Lambda 1 et \Lambda 2). \mathcal{A} désigne ici l'atelier ; la lettre est une ronde « A »

le « 7 » de son numéro est repassé On voudrait donner une condition sur (\mathcal{M},\ \underset{\mathcal{M}}{\leq},\ \underset{\mathcal{M}}{\ll},\ \Lambda \subset \mathcal{M},\ \underset{\Lambda}{\parallel}) où \underset{\Lambda}{\parallel} est une relation dans \Lambda, partie fermée de \mathcal{M}, pour que ce proviennent d'un atelier \Lambda-spécieux, resp. \Lambda-pol. On se propose pour fixer les idées, prenons le cas \Lambda-spécieux.

M\Lambda0, M\Lambda1, M\Lambda2, M\Lambda3 comme avant (p. 42)

M\Lambda4 : La relation \underset{\Lambda}{\parallel} (ou \parallel) sur \Lambda est réflexive symétrique, antiréflexive (X \parallel Y \Rightarrow X \neq Y), et X \parallel Y, X' \ll X, Y' \ll Y \Longrightarrow X' \parallel Y'.

M\Lambda5 Soient X, Y \in \mathcal{M} tels qu'il existe Z \in \mathcal{M} avec X, Y \leq Z, L = X \cap X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X), Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y). Posons \begin{cases} L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \\ X'_L = \widetilde{X}' \cap \mathrm{Omb}(L) , \quad Y'_L = \widetilde{Y}' \cap \mathrm{Omb}(L) \\ \text{où } \mathrm{Omb}(L) \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{Z \in L} \mathrm{Omb}(Z) \end{cases} Supposons X'_L \parallel Y'_L au sens : \forall\, X'' \in X'_L, Y'' \in Y'_L, on a X'' \parallel Y'' (NB on aura X'' \leq X', Y'' \leq Y', donc X'', Y'' \in \Lambda). Alors X' \parallel Y'. sous « \mathrm{Omb} » de X'_L, un indice noirci ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge remplace M\Lambda5 p. 34 On a besoin plus X \neq Y (car dense). deux notes obliques dans la marge gauche, en face de M\Lambda5 ; la seconde n'est lue que par fragments

Plus bas je dis que ça suffit (plus évidemment nécessaire). On pose, pour X, Y \in \mathcal{M}, si L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \begin{array}{l} X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y \iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X),\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \quad (X'_L = \emptyset,\ Y'_L = \emptyset) \Longrightarrow X' \underset{\Lambda}{\parallel} Y' \\ X \underset{\mathcal{M}}{\parallel} Y \iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X),\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) ,\ \text{on a } X' \underset{\Lambda}{\parallel} Y' . \end{array} Non, cf. p. 49 note de sa main, « Non » doublement souligné, dans la marge gauche en face de « je dis que ça suffit » ; sous le signe de compatibilité de la première ligne, un indice noirci

Ces relations sont symétriques, \between est réflexive (tautologique), \underset{\mathcal{M}}{\parallel} antiréflexive (utilisant le fait que \underset{\Lambda}{\parallel} l'est, et M\Lambda2, impliquant que \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \neq \emptyset). Je dis

Lemme 1 Soient X, Y \in \mathcal{M}.

a)X \underset{\mathcal{M}}{\parallel} Y \iff X \between Y, et \underbrace{\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}}_{L} = \emptyset b)Si X, Y \in \Lambda, alors X \underset{\mathcal{M}}{\parallel} Y \iff X \underset{\Lambda}{\parallel} Y (on omettra donc par la suite les indices \mathcal{M}, \Lambda dans \parallel)

sous \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, un trait ondulé porte « L »

Preuve a). On a \Longrightarrow : X \between Y trivialement par définition, \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset

Preuve \Longrightarrow i.e. supposons X \underset{\mathcal{M}}{\parallel} Y, prouvons :

1°)X \between Y : tautologique 2°)\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset. Si on avait Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, soit Z' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Z), alors Z' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) donc que. X \parallel Y on doit avoir Z' \parallel Z', absurde (antiréflexivité).

Preuve \Longleftarrow i.e. supposons X \between Y, \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset, et prouvons X \parallel Y. Soit X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X), Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y). Mais comme Par def X \between Y, donc … on a L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset, elle donc \mathrm{omb}_{\Lambda}(L) = \emptyset, elle se réduit : \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) la définition de X \between Y montre qu'il se réduit : X \parallel Y.

Preuve b) Résulte tautologiquement de M\Lambda4.

Terminologie Soient P, Q deux parties de \mathcal{M}. On pose \begin{aligned} P \parallel Q &\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\, X \in P,\ \forall\, Y \in Q,\ \text{on a } X \parallel Y \\ &\iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda} P,\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Q),\ \text{on a } X' \parallel Y' \end{aligned} (où \mathrm{omb}_{\Lambda}(P) = \bigcup_{X \in P} \mathrm{omb}_{\Lambda}(X), et item pour \mathrm{omb}_{\Lambda}(Q))

Lemme 2 Soient X, Y \in \mathcal{M}, avec X \between Y, L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, X' \underline{\ll} X, Y' \underline{\ll} Y. Posons X'_L = \widetilde{X}' \cap \mathrm{Omb}(L), Y'_L = \widetilde{Y}' \cap \mathrm{Omb}(L). Alors X'_L \parallel Y'_L \iff X' \parallel Y' les deux signes « \ll » sont soulignés, comme page 41

La partie tautologique \Longrightarrow est \Longrightarrow est bénigne. Je n'arrive pas à la prouver en utilisant seulement M\Lambda5 — il semble qu'il faut renforcer M\Lambda5 par cette forme plus forte, un peu décourageante par sa complication ! au-dessus de la ligne biffée, trois mots interlinéaires, biffés eux aussi, non lus

Ce lemme est le M\Lambda4 de p. 47. Il faut prouver ce M\Lambda5 de la page :

Lemme 3 Soient X, Y avec X \between Y, L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}. L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, Z \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) Z \in \Lambda tel que Z \ll X, Alors \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) = \mathrm{omb}_{\Lambda}(L).

Je n'y arrive pas non plus. Il faut donc ajouter ces deux conditions, sur la relation \underset{\Lambda}{\parallel} (en termes de la relation \underset{\mathcal{M}}{\between} que \parallel définit, cf. page précédente). Donc il faut mettre un M\Lambda6 en conséquence. Mais alors, en termes de la proposition p. 42, ça revient tautologiquement à dire qu'on a un système (\mathcal{M}, \leq, \struck{\ll}, \between, \Lambda), satisfaisant provenant d'un atelier qui satisfait \Lambda 1, \Lambda 2 spécieux. Rien de nouveau ! On tourne en rond ! les trois dernières lignes sont serrées au bas du feuillet ; « spécieux » est écrit au-dessus de la partie biffée ; le symbole biffé dans le quadruplet est un \ll (ou un \between) raturé

Récapitulation

titre de sa main, souligné d'un trait ondulé, en tête de la page 50

Les axiomes algébriques d'ateliers, en termes de la donnée (\mathfrak{F}, \leq, \ll), sont récapitulés p. 23. Disons un mot d'implication, concernant les axiomes d'incompatibilité-disjonction, voir p. 22 ou p. 45, 46 (avec une partie \Lambda \subset \mathcal{M} dense : la clef, qui conduit à la notion d'atelier \Lambda-spécieux ou \Lambda-polyédral…). Dans le cas « spécieux » ou « polyédral », j'implique maintenant l'axiome At C (spéc) resp. At C (pol). « p. 23 », « p. 22 » renvoient à sa pagination de ce chapitre (lot 2), « p. 45, 46 » aux pages 45-46 ci-dessus

Dans le cas d'une structure (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between), les données sont plus maniables (quitte encore, j'ai supposé \widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) connue, donnée compliquée !), mais le syst. d'axiomes pertinents semble plus simple, dans certains parmi autres projets d'axiomes en général. « \widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) » est écrit au-dessus de la ligne et rattaché par un trait courbe

Il y a lieu de considérer (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between) comme une structure algébrique indépendante, qu'on pourrait l'appeler un « pré-atelier » (ou « algèbre de multistrates »). Elle peut correspondre à plusieurs ateliers (réalisés comme des \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}))

parmi lesquels il y en a un le plus grand de tous, formé de toutes les parties de \mathcal{M} fermées pour \leq, et formées d'éléments deux à deux compatibles (pour \between).

J'distingue trois des conceptions possibles pour les axiomes.

(1) Introduction Axiomes At 1 à At 7 sans plus, première version (cf. p. 6 — je laisse tomber les axiomes relatifs à f) « (1) » est cerclé sur la page ; « Introduction » est écrit au-dessus de « Axiomes », biffé ; « p. 6 » est suivi d'un chiffre raturé. Ce renvoi est à sa pagination de ce chapitre (lot 1)

At 11 1

Prat 1X \leq Y \Rightarrow X \ll Y Prat 2X \overset{\circ}{\ll} Y et Y \overset{\circ}{\ll} Z \Rightarrow X \overset{\circ}{\ll} Z Prat 3Pour X \ll Y, \exists\, Y' \leq Y avec X \overset{\circ}{\ll} Y', i.e. X \in \mathrm{Omb}(Y')^{\circ} ; \between réflexive, symétrique, et si X' \leq X, Y' \leq Y, X \between Y \Rightarrow X' \between Y' Prat 4X \overset{\circ}{\ll} Y, X \overset{\circ}{\ll} Y', Y \between Y' \Longrightarrow Y = Y' Prat 6Si X \between Y, alors X \ll Y \Longrightarrow X \leq Y

« Prat » (pré-atelier) est souligné à chaque fois ; les chiffres de « Prat 2 » et « Prat 3 » sont écrits en surcharge (l'un sur l'autre ?) ; « Prat 4 » est écrit au-dessus de « Prat 5 », qui n'est pas biffé nettement ; le « 6 » de « Prat 6 » est repassé. La ligne sur \between n'a pas d'étiquette propre, elle est serrée sous Prat 3 transitivité des raff. intérieurs — Axiome — Unicité de la strate minimale — \ll \leq compatibles notes obliques dans la marge gauche, en face de Prat 1-Prat 6, lues par fragments ; elles donnent le nom de chaque axiome

NB seuls les trois deux derniers axiomes font intervenir \between.

(2) Traduction At 1 à At 7 sans plus, mais en introduisant de plus une partie \Lambda \subset \mathcal{M}, dont on exige seulement qu'elle soit dense (i.e. \forall\, X \in \mathcal{M}, \exists\, Z \in \Lambda, Z \overset{\circ}{\ll} X, i.e. \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} \neq \emptyset). (Cf. p. 42) « (2) » est cerclé [NB. Le syst. d'axiomes précédent \Lambda = \mathcal{M}] [NB 1, 3, 4 sont comme pour Prat (sauf somme \Lambda pour 3]

Prat\Lambda1X \leq Y \Rightarrow X \ll Y Prat\Lambda2\forall\, X \in \mathcal{M}, \exists\, Z \in \Lambda avec Z \overset{\circ}{\ll} X (i.e. \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} \neq \emptyset) Prat\Lambda3\forall\, X \in \mathcal{M}, Z \in \struck{\ill{}}\, \Lambda, Z \ll X, \exists\, X' \leq X, avec Z \overset{\circ}{\ll} X' Prat\Lambda5\between réflexive et symétrique, si X' \leq X, Y' \leq Y, alors X \between Y \Rightarrow X' \between Y' Prat\Lambda6Si X \between Y, et Z \in \Lambda telle que Z \ll X, Z \ll Y, alors \exists\, Z' \in \mathcal{M} avec Z' \ll Z \leq X, Y [i.e. \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) = \mathrm{omb}_{\Lambda}(L), où L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}]

les étiquettes « Prat\Lambda5 » et « Prat\Lambda6 » sont écrites en surcharge (sur « 4 » et « 5 » ?) ; une accolade à gauche, partant de Prat\Lambda4 plus bas, remonte par une flèche jusqu'à Prat\Lambda5 : l'axiome Prat\Lambda4 est à insérer avant. Dans Prat\Lambda6, la page écrit « Z' \ll Z \leq X, Y », alors que M\Lambda5 (p. 42) a Z \ll Z' \leq X, Y (évident si \Lambda = \mathcal{M}) — strate minimale pour les Z \in \Lambda Axiome des raff. induits On peut bloquer Pr\Lambda3, \Lambda4 en \forall\, Z \ll X notes obliques dans la marge gauche, en face de Prat\Lambda2-Prat\Lambda4, lues par fragments

Seuls les deux derniers axiomes font intervenir \between.

Prat\Lambda4Soient Y \underline{\ll} X, X' \ll X, et Z \in \Lambda telle que Z \ll Y, X', alors \exists\, Y' avec Z \ll Y', Y' \leq Y, Y' \underline{\ll} X'. Si Y \leq X, alors Y' \leq X'. [i.e. \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(X') = \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y_{X'}) où Y_{X'} \overset{\mathrm{def}}{=} \widetilde{Y} \cap \widehat{\mathrm{Omb}}(X')]

la relation entre X' et X est un \ll vertical, X' sous X, comme page 42 ; les deux \ll soulignés comme page 41 ; « i.e. » est entouré ; la dernière formule, encadrée, est serrée au bas du feuillet et le chapeau sur « Omb » n'est pas sûr

son numéro « 52 » est repassé et entouré (3) Cas des ateliers spécieux ou polyédraux, axiomatisés en termes de (\mathcal{M}, \leq, \ll, \underset{\mathcal{L}}{\parallel}), où \underset{\mathcal{L}}{\parallel} est une relation « de disjonction » sur \mathcal{L} = ens. des él. min. de (\mathcal{M}, \ll) (cf. p. 34) « (3) » est cerclé ; « p. 34 » renvoie à sa pagination de ce chapitre (lot 2) [Prat dis 1 à Prat dis 5 comme Prat\Lambda1 à Prat\Lambda5, avec \Lambda = \mathcal{L}] « dis » pour « disjonction » — « Prat » pour « préatelier » la première note est entre crochets à droite du titre ; la seconde, oblique, dans la marge gauche, lue en partie

Prat dis 1'X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y Prat dis 2'Comme \forall\, X \in \mathcal{M}, \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset i.e. \exists\, x \in \mathcal{L}, x \overset{\circ}{\ll} X Prat dis 3'\forall\, X \in \mathcal{M}, x \in \mathcal{L}, x \ll X, \exists\, X' \in \mathcal{M}, x \overset{\circ}{\ll} X' \leq X Prat dis 4'Comme Prat\Lambda4 : i.e. Soit Y \ll X, X' \ll X et x \in \mathcal{L}, x \ll Y, X', alors \exists\, Y' avec Y' \leq Y, Y' \ll X', x \ll Y', i.e. \mathrm{omb}(Y) \cap \mathrm{omb}(X') = \mathrm{omb}(Y_{X'}) \overset{\mathrm{(def)}}{=} \bigcup_{Z \in Y_{X'}} \mathrm{omb}(Z) \quad \text{où } Y_{X'} = \widetilde{Y} \cap \mathrm{Omb}(X') . De plus, si Y \leq X, alors Y' \leq X', i.e. \mathrm{omb}(Y) \cap \mathrm{omb}(X') = \mathrm{omb}(L) où L = \widetilde{Y} \cap \widetilde{X}'. Prat dis 5'\underset{\mathcal{L}}{\parallel} est symétrique, réflexive symétrique et antiréflexive (i.e. x \parallel y implique y \parallel x et x \neq y). Prat dis 6'\forall\, X, Y \in \mathcal{M} avec Y \leq X, x, y \in \mathcal{L}, y \ll Y, x \ll X et y \in \mathrm{omb} x \not\ll Y (i.e. y \in \mathrm{omb}(Y), x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(Y)) on a x \parallel y.

dans chaque étiquette de 2' à 6', « dis » est biffé et surmonté d'un « \mathcal{L} » ; dans 1', le mot après « Prat » est noirci. Dans Prat dis 4', X' est écrit sous X avec un \ll vertical, comme page 42 [Seules les deux dernières axiomes font intervenir \parallel]

Ce sont les mêmes axiomes que Prat\Lambda, à l'exception du dernier Prat dis 6 (et à l'exception du fait que Prat dis 5 prend une forme plus simple) — et qui remplace les derniers axiomes en termes d'incompatibilité. « en termes d'incompatibilité » : lecture incertaine du dernier mot

On définira : X \between Y \iff \begin{cases} \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L) \ (\text{où } L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}) \text{ on a } x \parallel y \\ [+\ L = \emptyset \text{ ou } L \text{ de la forme } \widetilde{Z}, \text{ dans le cas « polyédral »}] \end{cases} Donc le vrai problème d'axiomatisation pour un atelier (de plus) est de construire note oblique dans la marge inférieure gauche, « vrai » triplement souligné, lue par fragments ; la page est barrée en bas à droite d'un trait oblique

Mais dans le cas polyédral, il faut un axiome suppl. :

Prat pol \forall\, X \in \mathcal{M}, \widetilde{X} est polyédral, i.e. si Y, Z \in \mathcal{M} et si \lbrace X, Y \rbrace est majoré et minoré dans \mathcal{M}, alors \mathrm{Inf}^{\leq}(Y, Z) existe (i.e. \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} a un plus grand élément). l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; la page écrit « \lbrace X, Y \rbrace » puis « \mathrm{Inf}^{\leq}(Y, Z) », où l'on attend les mêmes lettres ; dans \mathrm{Inf}^{\leq}(Y, Z) les deux lettres sont repassées

NB Alors \struck{\mathrm{Sup}}\ \mathrm{Inf}^{\leq}(Y, Z) existe aussi dans \widetilde{X} (mais pas nécessairement dans \mathcal{M}…)

Remarque Soit (\mathcal{M}, \leq) un ens. ordonné, et prenons (\ll) \Leftrightarrow (\leq), (x \underset{\mathcal{L}}{\parallel} y) \Leftrightarrow (x \neq y). Alors tous les axiomes sont satisfaits, sauf le seul axiome de divisibilité Prat\mathcal{L}2'. Je pense p. ex. au cas où \mathcal{M} = ensemble des simplexes d'un ens. quasi simplicial, (\mathcal{L}, \mathcal{M} \subset \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{L})), où les figures sont les sous-ens. quasi simpliciaux, correspondant aux sous-ensembles fermés de \lbrace \mathcal{M}, \leq (\overset{\mathrm{def}}{=} \subset) \rbrace. Et en termes de l'axiomatique (1) ou (2), en prenant X \ll Y \iff X \leq Y , \quad \text{et } X \between Y \text{ tjrs satisfaits.} X \overset{\circ}{\ll} Y signifie X = Y. Appelons « trivial » un préatelier tel que X \ll Y \iff X \leq Y, X \between Y tjrs satisfaits, de sorte que X \overset{\circ}{\ll} Y \iff X = Y « Prat\mathcal{L}2' » : \mathcal{L} pour « dis », comme page 52 ; « un préatelier » est écrit sous un mot interlinéaire (« imaginaire » ?) non lu

Alors tous les axiomes Prat 1 - Prat 6 sont automatiquement satisfaits — on peut donc partir d'un ens. ordonné (\mathcal{M}, \leq) quelconque. Passant à \mathfrak{F}, on trouve \mathfrak{F} = \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M}, \leq) \quad \text{ensemble de \emph{toutes} les parties fermées} dans \mathfrak{F}, F \ll G \iff F \leq G, et F \between G tjrs satisfait, F \parallel G \iff F \cap G = \emptyset. Axiomes C et Les conditions At D, At C (spéc), At Fil, At supp sont satisfaites. Pour les conditions sur les lieux, At L 2 At L 1 qui est équivalent : Tout X \in \mathcal{M} est minoré par un élément minimal — n'est pas prédisant ! L'axiome At L 3 tjrs satisfait (car deux lieux distincts sont disjoints, itou compatibles). Donc le seul axiome pas satisfait est At L 1, de divisibilité. « At Fil » : lecture incertaine du dernier mot ; « prédisant » : lecture incertaine. Les trois dernières lignes sont serrées au bas du feuillet On trouve — NB « » ! longue note oblique dans la marge inférieure gauche, couverte de biffures et de traits ; illisible sauf quelques mots

25 juin

25 juin date de sa main, écrite en oblique dans l'angle supérieur gauche de la page 54, soulignée d'un trait qui la barre en partie, en face du premier alinéa

Je voudrais revenir sur la notion d'atelier ensembliste. Ce sera un atelier soit spécieux, soit polyédral, prenons le premier cas. il reprend ici les ateliers ensemblistes de la deuxième mouture (GF VI, pp. 52-58 : At ens 1, Atens*1-3, la Scholie de la p. 54), désormais caractérisés par le morphisme \varphi vers \mathrm{Fig}(\mathcal{L})

Proposition Soit \mathcal{A} = (\mathfrak{F}, \leq, \ll) un atelier, considérons l'(ho)morphisme canonique \varphi : \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \qquad F \longmapsto \mathrm{multomb}(F) Considérons les Conditions : équivalentes

(i)L'hom. \varphi est un plongement d'ateliers (cf. GF VI p. 51) et l'image de \mathfrak{F} par \varphi est un sous-atelier spécieux (p. 40) (localité : si F, G \in \varphi(\mathfrak{F}) et F \between G dans \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), alors F \between G dans \varphi(\mathfrak{F}) i.e. F \cup G \in \varphi(\mathfrak{F})).

En d'autres termes :

a)\forall\, F \in \mathfrak{F}, F' \mapsto \varphi(F') induit une bijection \mathrm{Ssfig}(F) \longrightarrow \mathrm{Ssfig}(\varphi(F)) b)\varphi(F) \ll \varphi(G) \Longrightarrow F \ll G (donc \varphi injective) c)Si \varphi(F) \between \varphi(G), \Longrightarrow F \between G (ii)\mathfrak{F} est spécieux (au sens absolu) i.e. satisfait les (pour \Lambda = \mathcal{L}) quatre systèmes équivalents de conditions en la p. 45 (p. ex. At L1, At L2, At L3, At CL (spéc)), et pour x, y \in \mathcal{L}, x \neq y \Longrightarrow x \overline{\parallel}\, y (donc At L 3 devient automatique).

Alors (i) \Longrightarrow (ii) (ii) \Longrightarrow (i a) (mais pas nécessairement (i b), vu l'injectivité de \varphi) « Mulomb(F) » sur la page, d'une plume repassée, lu \mathrm{multomb}(F) ; « GF VI p. 51 » renvoie à la deuxième mouture (folder 156-6), page 51, où sont définis les plongements d'ateliers (conditions a'), b')) ; « p. 40 » est écrit au-dessus de « spécieux », et les pages 38-40 de GF VI définissent sous-ateliers et parties « spécieuses » ; « p. 45 » renvoie à la page 45 ci-dessus. Le signe après x \neq y est un \parallel barré de traits horizontaux, lu \overline{\parallel} (non disjoints) ; « (ii) » sous « \Longrightarrow (i a) » est un ajout interlinéaire ; au-dessus de « (i b) », « (i, c) » est écrit et rattaché par une flèche \varphi plongement \varphi plongement « spécieux » deux notes obliques dans la marge gauche, en face de a)-b) et de c)

Dém (i) \Longrightarrow (ii). Comme Comme on sait que x, y \in \mathcal{L} (x, y) \in \mathcal{L} \Longrightarrow x \between y, x, y \in \mathcal{L}, x \neq y \Longrightarrow \struck{\ill{}}\ x \parallel y … Comme \varphi(x), \varphi(y) sont des figures ponctuelles i.e. \varphi(x) \between \varphi(y) donc x \between y par c). At L1 : Soit X \in \mathcal{M}, soit x comme X \neq \emptyset i.e. \varphi(X) \neq \emptyset, donc par définition de \varphi (ceci signifie \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset), OK. ces lignes de démonstration sont très abrégées ; la première implication « x, y \in \mathcal{L}, x \neq y \Longrightarrow x \parallel y » est celle qu'on lit, sans que le raccord avec ce qui suit soit sûr

At L 2 : Soient X, Y \in \mathcal{M}, avec \forall\, x \in \mathrm{omb}(X), y \in \mathrm{omb}(Y) on a x \neq y (\Longrightarrow x \parallel y) i.e. \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \emptyset. Ceci signifie que \mathrm{omb}(X) \cap \varphi(X) \parallel Comme \mathrm{omb}(X) = |\varphi(X)| et item pour \mathrm{omb}(Y), ceci exprime donc \varphi(X) \parallel \varphi(Y). Injectivité \varphi(X) \between \varphi(Y) donc X \between Y. Il est évident d'autre part que X \cap Y = \emptyset (à cause de L 1 ; si Z \leq X, Y, \exists\, x \in \mathcal{L}, x \ll Z, donc x \in \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y), absurde). « (\Longrightarrow x \parallel y) » est écrit au-dessus de « x \neq y » ; la ligne biffée est recouverte d'un trait. La phrase « Injectivité … donc X \between Y » se lit ainsi ; on attend « par c) », comme page 54

At CL (spéc) : Soient X, Y \in \mathcal{M}, L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, supposons que \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), on ait x \parallel y i.e. x \neq y, on déduit en termes ensemblistes \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \struck{\emptyset}\ \mathrm{omb}(L) Prouvons X \between Y. On sait que la condition est |\varphi(X)| \cap |\varphi(Y)| = |\varphi(L)| où \varphi(L) est une sous-fig. ensembliste commune de \varphi(X), \varphi(Y), donc \varphi(X) \between \varphi(Y), donc X \between Y, OK. « sait » est souligné, à la place d'un mot biffé

(ii) \Longrightarrow (i) a, c) Il faut prouver a) c) « a, c) » est écrit au-dessus de « (i) » et rattaché par un trait courbe

Lemme 1 Soit \mathcal{A} = (\mathfrak{F}, \leq, \ll), atelier, \Lambda partie dense de \mathcal{M}, satisfaisant L 1. Alors, Considérons le morphisme canonique \varphi_{\Lambda} : \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\Lambda) \qquad F \longmapsto \mathrm{multomb}_{\Lambda}(F) Alors \varphi_{\Lambda} satisfait a), i.e. \forall\, F, on a \mathrm{Ssfig}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ssfig}(\varphi_{\Lambda}(F)) , \quad F' \longmapsto \varphi_{\Lambda}(F') Je voudrais en effet dire que l'application \widetilde{F} \longrightarrow \widetilde{\varphi_{\Lambda}(F)} est un iso. d'ens. ordonnés La densité de \Lambda sert à assurer que \varphi_{\Lambda} des strates strates note oblique dans la marge inférieure gauche, en face de « Alors \varphi_{\Lambda} satisfait a) », avec une flèche vers le haut ; lue en partie. Le tilde de \widetilde{\varphi_{\Lambda}(F)} est un trait courbe au-dessus de l'expression, surmonté d'un mot (« de » ?)

Ça a été vu pour \Lambda = \mathcal{M}. Dans le cas général, c'est un fait ens., sa preuve paraît aussi aisée. i : \Lambda \longrightarrow \mathcal{M} et figure ens. \Phi \in \mathrm{Fig}(\mathcal{M}), pour \forall\, X \in \Phi, on a i^{*}(X^{\circ}) \neq \emptyset. la lettre bouclée pour une figure ensembliste est lue \Phi, comme dans GF VI ; cette première ligne, « Dans le cas général, c'est un fait ens., sa preuve paraît aussi aisée », est d'une lecture en partie incertaine

Prenant \Lambda = \mathcal{L} dans le cas de la prop. (supposant (ii)) on trouve a. « (supposant (ii)) » est écrit au-dessus de la ligne et rattaché par un trait courbe

Prouvons c). Supposons \varphi(F) \between \varphi(G), prouvons F \between G. Compte tenu de a) il s'ensuit que la plus grande sous-figure commune de \varphi(F), \varphi(G) est \varphi(L), où L = F \cap G (\overset{\mathrm{def}}{=} \mathrm{Inf}^{\leq}(F, G), donc \widetilde{L} = \widetilde{F} \cap \widetilde{G}). En effet, \varphi(L) est une telle sous-figure commune, et si \Phi en est une la plus grande commune de \varphi(F), \varphi(G), on a \varphi(L) \subset \Phi, donc \Phi et par a) on a \Phi = \varphi(L') = \varphi(L''), où L' \leq F, L'' \leq G. Or L \leq L', L''. Prouvons que L' = L'' donc L' = L'' = L. (NB on ne sait pas si \varphi est injectif, et \varphi pourrait ne pas l'être…) Si c'était faux, soit X \in \struck{\ill{}}\ \widetilde{L}' \smallsetminus \widetilde{L} il existe (à cause de a)) un unique Y \in \widetilde{L}'' \smallsetminus \widetilde{L} telles que \varphi(X) = \varphi(Y). Alors la plus grande sous-figure commune de X, Y est X \cap L = Y \cap L, distincte de X, Y. Est-ce bien impossible ? Si on trouve de telles situations, on aurait \varphi(X) \between \varphi(Y) puisque \varphi(X) = \varphi(Y), mais X \between Y à cause de a) appliqué à F = X \cup Y (si on avait X \between Y). « X \in \widetilde{L}' \smallsetminus \widetilde{L} » : un mot biffé après X, puis un symbole noirci ; « \in \widetilde{L}'' \smallsetminus \widetilde{L} » est écrit au-dessus de « telles que », à la place d'un Y noirci. La conclusion « mais X \between Y » se lit ainsi sur la page, alors que l'argument attend « X et Y non compatibles » ; la parenthèse finale « (si on avait X \between Y) » est de lecture incertaine

Notons qu'on devrait avoir \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset \mathrm{omb}(X) = \mathrm{omb}(Y) \quad (= |\varphi(X)| = |\varphi(Y)|) et qu'a priori il n'y a pas à exclure que L = \emptyset.

Exemple X espace topologique. On prend \mathcal{M} = \text{simplexes \emph{affines} dans } X avec la relation \leq habituelle, \ll la relation (mais en comparant les structures affines), \ll à l'inverse. Nous exigeons que |\sigma| \cap |\sigma'| soit vide ou un sous-simplexe commun ( ), et \between itou ( ), disons \mathfrak{F}, satisfaisant toutes les conditions. Mais considérons, sur une partie de X homéomorphe à [0, 1], deux structures affines différentes, disons X, Y \in \mathcal{M}, avec ici L = \partial X = \partial Y, \varphi(X) = \varphi(Y), mais X \neq Y. Donc (ici \varphi(X) \between \varphi(Y) et \varphi(X) \ll \varphi(Y)) (i a, c) non : ni X \between Y ni X \ll Y. la page est de lecture difficile ici. « ( ) » : deux mots non lus au bout de la ligne ; « \between itou » est suivi d'une parenthèse de trois mots non lus ; « (ii) » est écrit au-dessus de « conditions » et rattaché par un trait. La fin de la dernière phrase est serrée à gauche en bas du paragraphe ; « (i a, c) » est écrit en petit, en oblique ; le premier « ni » n'est pas sûr, la page donnant « X \between Y » sans négation visible

Cor La condition (i) implique (ii) + l'injectivité de \varphi. Mais réciproquement (ii) + l'injectivité de \varphi | \mathcal{M} équivaut pour mai… l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; « implique » remplace un mot biffé (« équivaut » ?) ; la ligne suivante est biffée ; « pour mai… » est inachevé Plus précisément (i) \Rightarrow (ii) + \varphi injectif \Rightarrow (i a), c) note oblique dans la marge gauche, en face du Cor

Bien sûr, (i) implique l'injectivité de \varphi, (ii) + \varphi | \mathcal{M} inj. \Longrightarrow b, c. Reste à prouver que … (ça a été prouvé déjà).

Prouvons c), plutôt, en continuant. On a (utilisant l'injectivité de \varphi) que

\varphi(L) est la plus grande sous-figure commune de \varphi(F), \varphi(G). L'hyp. \varphi(F) \between \varphi(G) équivaut à : |\varphi(F)| \cap |\varphi(G)| = |\varphi(L)| \quad \text{i.e.} \quad \mathrm{omb}(F) \cap \mathrm{omb}(G) = \mathrm{omb}(L) , mais c'est (en vertu de At CL (spéc)) le condition pour que F \between G. OK.

Prouvons b), i.e. soient F, G avec \varphi(F) \ll \varphi(G), prouvons F \ll G. Utilisant a) déjà prouvé, on est ramené au cas X, Y \in \mathcal{M}. Mais c'est un faux ! « un faux ! » : lecture incertaine du mot avant le point d'exclamation, qui pourrait être « faux »

Ex X espace affine sur \mathbb{R}. On prend \mathcal{M} = simplexes affines, \leq Cas polyédral comme dans l'exemple précédent, mais en remplaçant cette fois la relation \ll, par la relation ordinaire (« simplicial » — « polyédral »). ce paragraphe est barré de trois longs traits obliques ; la deuxième ligne biffée se termine par « sous-simplexes » ; l'ajout interlinéaire, au-dessus de « \mathbb{R} », n'est lu qu'en partie

Soit \mathcal{L} un ens., considérons l'ens. \mathrm{Figpol}(\mathcal{L}) des figures polyédrales dans \mathcal{L}. On y prend \leq et \ll comme d'habitude, « ensembliste polyédral » étant entendu que \ll signifie \underset{\mathrm{pol}}{\ll}, tandis qu'on prend la compatibilité \between ensembliste (pour son ensembliste non polyédral). (D'ailleurs, en fait, la \ll ne modifie pas la validité des conditions Prat 1' – Prat 6'.) « ensembliste polyédral » (lecture incertaine) est écrit au-dessus de « comme d'habitude » ; sous le deuxième \ll de la phrase suivante est écrit « pol ». « ensembliste », après la compatibilité, est souligné

Considérons deux figures strates polyédrales (p. ex. en hyp. \Delta_1, \Delta_n) X, Y, avec X \underset{\mathrm{ens}}{\ll} Y et hyp non X \underset{\mathrm{pol}}{\ll} Y, on a… Voilà le contre-exemple. « strates » est écrit au-dessus de « figures », biffé ; l'indice « ens » sous le premier \ll de la dernière phrase est une lecture incertaine d'un mot court ; « hyp » suit deux mots biffés

Déf Un atelier est dit « ensembliste spécieux » s'il satisfait la condition (i). Idem pour « ensembliste polyédral », en remplaçant \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) par \mathrm{Figpol}(\mathcal{L}). On a les conditions notions correspondantes pour les préateliers.

Un atelier est dit « quasi-ensembliste » s'il satisfait (ii). Notion analogue pour le cas « quasi-ensembliste polyédral », ou le cas des préateliers. « correspondantes » et « analogue » : deux mots interlinéaires, lus d'après le sens NB. Il faudrait encore des figures dans sous-ensemblistes ( de figures ens. qui ne soient pas des figures recouvrements ) longue note oblique dans la marge gauche, en face de la Déf., lue par fragments

Les préateliers quasi-ensemblistes (i.e. affirmement spécieux ou polyédraux) correspondent aux (\mathcal{M}, \leq, \ll) satisfaisant les conditions suivantes (déduites de Prat 1' – Prat 6') : « affirmement » est sur la page, lu tel quel

Prat quens 1X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y Prat quens 2\forall\, X \in \mathcal{M}, \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset i.e. \exists\, x \in \mathcal{L}, x \overset{\circ}{\ll} X Prat quens 3\forall\, X \in \mathcal{M}, x \in \mathcal{L}, x \ll X, \exists\, X' \in \mathcal{M}, x \overset{\circ}{\ll} X' \leq X Prat quens 4Soit Y \ll X, X' \ll X, Alors et Y_{X'} = \widetilde{Y} \cap X'. Alors \mathrm{omb}(Y) \cap \mathrm{omb}(X') = \mathrm{omb}(Y') \Bigl( \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{Z \in Y_{X'}} \mathrm{omb}(Z) \Bigr) , i.e. si x \in \mathcal{L}, x \ll Y, X', \exists\, Y' avec Y' \leq Y, Y' \ll X', x \ll Y'. De plus, si Y \leq X, alors Y' \leq X' (i.e. on peut remplacer Y_{X'} par \widetilde{Y} \cap \widetilde{X}' — les deux devenant d'ailleurs égaux).

« quens » (quasi-ensembliste) est souligné dans chaque étiquette. Dans Prat quens 4, X' est écrit sous X, relié par un \ll vertical, comme page 42 ; « \mathrm{omb}(Y') » est écrit ainsi, là où la parenthèse définit \mathrm{omb}(Y_{X'}) ; « De plus, si » est suivi d'un mot biffé, puis « Y' \leq X' » précédé d'un « OPS » (?) non sûr densité divisibilité strates minimales raffinements induits notes obliques dans la marge gauche, en face de Prat quens 2, 3, 4, reliées par des flèches

Je n'ai plus besoin en effet d'introduire \underset{\mathcal{L}}{\parallel}, vu qu'on la connaît : (x \parallel y) \iff (x \neq y).

Pratiquement, quand on ne travaille pas avec des « lieux » proprement dits (et je suis le premier, visiblement, à y , aux lieux…) mais avec des points, et dans l'optique des espaces « infiniment divisibles » (et , je suis le premier ), il semblerait que cette structure satisfasse à , bien sûr, des besoins. Cette structure a l'avantage d'être commune au contexte « spécieux » et « polyédral », et plus, (seulement \leq et \ll dans le cas des ateliers \mathfrak{F}) axiomes, réduits ici au nb de quatre plus compliqués . (Quand travaille avec , figures préatelier correspondant.) les ateliers qu. ens. spécieux resp. polyédraux plus généraux, il faut introduire sur \mathcal{M} la notion de partie (fermée) « admissible » par des conditions convenables de « local finitude ». page de lecture très difficile, écrite vite ; beaucoup de mots n'y sont pas lus. L'articulation générale se laisse suivre : les « lieux » et les points, les espaces « infiniment divisibles », la structure « commune » aux contextes « spécieux » et « polyédral », les quatre axiomes Prat quens de la page 59, puis, pour des ateliers quasi-ensemblistes plus généraux, une notion de partie fermée « admissible » définie par des conditions de « finitude locale ». « commune » et « plus » sont soulignés sur la page p. ex. « Préatelier » « Stratologie » ( « stratologique ») topologie ! longue note oblique dans la marge inférieure gauche, en face de la seconde moitié de la page ; on y lit les mots « Préatelier », « Stratologie », « stratologique » et « topologie ! », le reste n'est pas lu