Cote n° 156-7 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Chapitre] VII. Analysis situs (troisième mouture) : notes manuscrites (23-26/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

41pagination de sa main 41 à 60 en tête des feuillets, qui coïncide avec celle des archivistes

NB Cet axiome ne fait intervenir \(\between\) que par l'intermédiaire de la relation \(\parallel\) ; et même seulement de la relation \(X' \parallel Y'\) entre éléments de \(\Lambda\). ce NB, en tête de page, est barré de deux longs traits obliques

M\(\Lambda\)4 \(X \between Y\), \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\) \(\Longrightarrow\) \(X' \between Y'\) note oblique dans la marge gauche, en face du NB biffé ; « M\(\Lambda\)4 » est souligné

Lemme A' Comme au lemme A, on suppose seulement \(X \between Y\).

Mais on a besoin dans le raisonnement (p. 30) de la relation \[ \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) = \mathrm{omb}_{\Lambda}(L) \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} \mathrm{omb}_{\Lambda} Z \] ce qu'il faut poser ici en axiome :

M\(\Lambda\)5 Si \(X \between Y\), et si \(Z \ll X\), \(Z \ll Y\), alors \(\exists\, Z' \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\) avec \(Z \underline{\ll} Z'\), i.e. \(Z \ll Z' \leq X, Y\). le « 5 » de « M\(\Lambda\)5 » est écrit en surcharge sur un autre chiffre (un 4 ?) ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; le signe entre \(Z\) et \(Z'\) est un \(\ll\) souligné, que l'« i.e. » explicite On peut se borner au cas \(Z \in \Lambda\)

(Propriété restrictive sur les couples ⌜paires⌝ \((X, Y)\) avec \(X \between Y\))

Lemme B Soient \(Z \overset{\circ}{\ll} X\), \(Z \overset{\circ}{\ll} Y\), avec \(X \between Y\). Alors \(X = Y\) (i.e. c'est \(\mathrm{At}_{\mathcal{M}}\) 4 b)) le « B » est écrit en surcharge ; dans la marge gauche, « Lemme 6 p. 32 »

Cor Plus gén[éralement], si \(Z \overset{\circ}{\ll} X\), \(Z \ll Y\), \(X \between Y\) ⌜et⌝ \(Z \overset{\circ}{\ll} X\), donc \(Z \ll Y\), alors \(X \leq Y\). Utilisant M\(\Lambda\)2 (i.e. \(\exists\, Z_0 \in \Lambda\), \(Z_0 \ll Z\) donc \(Z_0 \ll X\)) et \(Z_0 \ll Y\), […] […] condition […]

Lemme C' Soient \(X\), \(Y\) avec […] \(X \between Y'\). Conditions équivalentes : (i) \(Y \ll X'\) […] Conditions équivalentes et \(Z \ll X\). le lemme C' est annulé par trois traits obliques et plusieurs biffures ; lecture très partielle ; un « ([…]) » sous le bloc biffé, à gauche de « alors », n'a pas été lu

En effet, soit \(Z_0 \in \Lambda\), \(Z_0 \overset{\circ}{\ll} Z\), alors \(Z_0 \overset{\circ}{\ll} Z \overset{\circ}{\ll} X\) donc \(Z_0 \overset{\circ}{\ll} X\), […] i.e. \(Z_0 \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ}\), \(Z_0 \ll Z \ll Y\) donc \(Z_0 \ll Y\), i.e. \(Z_0 \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\), donc \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \neq \emptyset\), donc \(X \leq Y\) par lemme A'. OK.

42Proposition Propriétés caractéristiques d'un système \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between, \Lambda \subset \mathcal{M})\), pour provenir d'un atelier avec \(\Lambda\) dense dans \(\mathcal{M}\).

M\(\Lambda\)0 \(X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y\) Axiome trivial

M\(\Lambda\)1 Si \(Y \ll X\), \(X' \ll X\), \(\underline{Z \in \Lambda}\) et \(Z \ll Y\), \(Z \ll X'\), alors \(\exists\, Y'\) avec \(Y' \leq Y\), \(Y' \ll X'\), \(Z \ll Y'\) : \[ \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(X') = \bigcup_{Y' \in \struck{\widetilde{Y} \cap \mathrm{Omb}(X')}} \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y') \qquad \overset{\text{si } Y \leq X}{=} \qquad \bigcup_{Y' \in \widetilde{Y} \cap \widetilde{X}'} \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y') \] la page écrit \(X'\) sous \(X\), relié par un \(\ll\) vertical dont la pointe va vers \(X'\), lu \(X' \ll X\) ; le « \(X\) » de \(X'\) est repassé. « \(Z \in \Lambda\) » est souligné d'un trait ondulé. Sous l'indice biffé de la première réunion, une flèche désigne l'« \(\mathrm{Omb}\) » : « grande ombre » Axiome des raffinements induits Mais seul […] […] M\(\Lambda\)4 + M\(\Lambda\)5 […] deux notes obliques dans la marge gauche, à la hauteur de M\(\Lambda\)0 et de M\(\Lambda\)1 ; la seconde est en partie biffée et n'est lue que par fragments

M\(\Lambda\)2 \(\forall\, X \in \mathcal{M}\), \(\exists\, Z \in \Lambda\) avec \(Z \overset{\circ}{\ll} X\) Axiome de densité de \(\Lambda\)

M\(\Lambda\)3 \(\forall\, X \in \mathcal{M}\), \(Z \in \Lambda\), avec \(Z \ll X\), \(\exists\, X' \leq X\) avec \(Z \overset{\circ}{\ll} X'\) Axiome des strates minimales

M\(\Lambda\)4 ⌜\(\between\) relation réflexive symétrique, et⌝ (\(X \between Y\), \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y'\)) l'ajout est entouré et rattaché à l'énoncé par un trait

M\(\Lambda\)5 Si \(X \between Y\) et \(Z \in \Lambda\) tel que \(Z \ll X\), \(Z \ll Y\), \(\exists\, Z' \in \mathcal{M}\) avec \(Z \ll Z' \leq X, Y\), i.e. \[ \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) = \bigcup_{Z' \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} \mathrm{omb}_{\Lambda}(Z') \] le « 5 » est écrit en surcharge (sur un 4 ?) Cette condition […] signifie que […] […] […] W […] i.e. […] fait […] […] pour \(Z \in \Lambda\). note oblique dans la marge gauche, en face de M\(\Lambda\)5, lue par fragments

C'est des ⌜deux⌝ derniers axiomes seulement qui fassent intervenir \(X \between Y\). L'axiome M\(\Lambda\)4 est un axiome de saturation. Pour M\(\Lambda\)5, soit Notons \(\mathcal{R}\) la relation (définie en termes de \((\mathcal{M}, \leq, \ll)\) seulement, sans y […] \(\Lambda\) ni \(\between\)) : \[ \mathcal{R}(X, Y) \iff \begin{array}{l} \forall\, Z \in \mathcal{M} \text{ avec } Z \ll X,\ Z \ll Y, \\ \exists\, Z' \in \mathcal{M} \text{ avec } Z \ll Z' \leq X, Y \\ \text{i.e. } \mathrm{Omb}(X) \cap \mathrm{Omb}(Y) = \bigcup_{Z' \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} \mathrm{Omb}(Z') \end{array} \] le signe de la relation est une ronde « \(\mathcal{R}\) »

43⌜Cette relation est réflexive symétrique.⌝ ajout en tête de page, au-dessus de la première ligne

On vérifie tout de suite (en utilisant M\(\Lambda\)1 dans le cas de \(Y \leq X\), \(X' \ll X\)) que cette relation si \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\), alors \(\mathcal{R}(X, Y) \Longrightarrow \mathcal{R}(X', Y')\). Et l'axiome M\(\Lambda\)5 est […] […] pour cette condition. Ainsi l'axiome M\(\Lambda\)5 prend la forme \[ X \between Y \Longrightarrow \mathcal{R}(X, Y) \] et on voit donc que les relations ⌜réfl. sym.⌝ \(\between\) sont les relations (« saturées pour \(\leq\) ») qui impliquent \(\mathcal{R}(X, Y)\). La relation admissible \(\between\) la plus large qu'on obtienne, on prendrait \(\mathcal{R}\) elle-même. dans la première phrase, \(X'\) est écrit sous \(X\), relié par un \(\ll\) vertical, comme page 42 ; la seconde mention de l'axiome s'écrit « ML 5 » sur la page, la troisième « M\(\Lambda\)5 »

Dans le cas ⌜d'un atelier⌝ ensembliste spécieux, on a \(\between = \mathcal{R}\), mais pas dans d'autres cas intéressants. Ainsi on note que \(\mathcal{R}(x, y)\) toujours vrai si \(x, y\) sont dans \(\mathcal{L}\) — or dans les cas non ensemblistes, il pourrait exister des lieux \(x, y\) qui ne soient compatibles.

Je voudrais maintenant voir que la condition \(\between\) peut se définir par la connaissance de \(\parallel\) sur \(\Lambda\), par une condition

At C\(_{\Lambda}\) (spac.) Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\), Alors \(X \between Y\) \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\). \[ X \between Y \iff \begin{array}{l} \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda} X,\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda} Y \text{ avec } X'_L = Y'_L = \emptyset , \\ \text{on a } X' \parallel Y' \end{array} \] où \(X'_L = \widetilde{X}' \cap \mathrm{Omb}(L) = \lbrace Z \mid Z \leq X',\ \exists\, S \in L,\ Z \ll S \rbrace\). la parenthèse de l'étiquette « (spac.) » est écrite sur un mot biffé ; sous l'équivalence, trois lignes biffées : « \(\forall\, X', Y' \in \Lambda\), \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y\) », « \(\forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(L)\) », « \(Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}_{\Lambda}(L)\) », et une formule biffée « \(X'_L = \mathrm{omb}_{\Lambda}(L) \cap \bigcup_{Z \in L} \ldots\) » ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge

(Ceci est vrai, […]

Cor Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\). Alors \(X'\) tel que ⌜Alors⌝ \(X \parallel Y\) (i.e. \(X \between Y\) et \(L = \emptyset\)) si \(X'\) [si] \(\forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\), \(\forall\, Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda} Y\) on a \(X' \parallel Y'\).

44toute la page est barrée de trois longs traits obliques ; elle est transcrite, la page 47 reprend M\(\Lambda\)4 et M\(\Lambda\)5

La question, c'est quand un système \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \Lambda \subset \mathcal{M}, \parallel_{\Lambda})\) ⌜avec \(\Lambda \subset \mathcal{M}\) dense,⌝ provient d'une structure d'Atelier satisfaisant At C\(_{\Lambda}\) (spac.) ⌜At D⌝. (Cette Les axiomes M\(\Lambda\)0 à M\(\Lambda\)3 restent en vigueur.) Pour On doit avoir At D […] […] la note marginale est encadrée d'un trait courbe, dans l'angle supérieur gauche ; « At D » est écrit au-dessus de « At C\(_{\Lambda}\) (spac.) », qui n'est pas biffé nettement ; après « On doit avoir », une coche

M\(\Lambda\)'4 ⌜La relation⌝ \(\parallel\) ⌜sur \(\Lambda\)⌝ est symétrique et antiréflexive (\(X \parallel Y\) implique \(X \neq Y\)). \(Z \parallel Z'\) Si \(X \parallel Y\) et \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y\), alors \(X' \parallel Y'\).

M\(\Lambda\)'5 Soient \(Y \leq X\), ⌜\(X, Y \in \mathcal{M}\) tels qu'il existe \(Z\) avec \(X, Y \leq Z\).⌝ […] \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\), […] \(X', Y' \in \Lambda\) […] \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y\) \(Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\), \(X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\). Supposons \(X'_Y = \emptyset\) [i.e. \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(X') = \emptyset\), ou encore \(\widetilde{X}' \cap\) \(\mathrm{Omb}_{\Lambda}(Y) \cap \widetilde{X}' = \emptyset\) ou encore \(\mathrm{Omb}(Y) \cap \mathrm{Omb}(X') = \emptyset\) — tout se ramène au \(=\)]. Alors \(X' \parallel Y'\). sous « M\(\Lambda\)'5 Soient », deux lignes sont couvertes de biffures et de gribouillis ; l'ajout « \(X, Y \in \mathcal{M}\) tels qu'il existe \(Z\) avec \(X, Y \leq Z\) » est écrit au-dessus d'elles ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge NB On définit \(X'_Y = \widetilde{X}' \cap \mathrm{Omb}(Y)\)

Vérifions d'abord les équivalences entre […] :

Lemme ([…] indépendant de la donnée de \(\parallel\) et de \(\between\) — ne dépend que de \(\leq\), \(\ll\), \(\Lambda\) satisfaisant M\(\Lambda\)0 à M\(\Lambda\)3) Soient \(Y \leq X\), \(X' \ll X\). Conditions Conditions équivalentes ⌜(i), (i'), (ii') et impliquant (ii)⌝ :

« \(X' \ll X\) » : \(X'\) est écrit sous \(X\), avec un \(\ll\) vertical ; la condition (ii) est entre crochets sur la page

Dém (i) \(\Longrightarrow\) (ii) tautologique, (ii') \(\Longrightarrow\) (i) : En Supposons (ii), prenons (i), par M\(\Lambda\)1 on a \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(X') = \bigcup_{Y' \in \widetilde{X}' \cap \ldots}\) la page s'arrête sur cette réunion, dont l'indice est coupé au bas du feuillet

45

24 juin

24 juin date de sa main, soulignée d'un trait oblique, dans l'angle supérieur gauche de la page 45, en tête du premier alinéa

Soit \(\Lambda \subset \mathcal{M}\), fermé pour \(\leq\). On introduit dans maintenant des conditions analogues pour \(\mathcal{L}\) :

At\(\Lambda\)1 \(\forall\, X \in \mathcal{M}\), \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} \neq \emptyset\), i.e. \(\exists\, Z \in \Lambda\), \(Z \overset{\circ}{\ll} X\) densité de \(\Lambda\) pour \(\Lambda = \mathcal{L}\), At\(\Lambda\)1 est l'« axiome des lieux » At 8 de la deuxième mouture (GF VI, p. 45, formule (1.52) \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset\)), repris ici pour une partie \(\Lambda\) quelconque

At\(\Lambda\)2 \(\forall\, X, Y \in \mathcal{M}\), \(X \parallel Y \iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\), \(Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\), \(X' \parallel Y'\) si on a At\(\Lambda\)1 et At\(\Lambda\)2, on dit que \(\Lambda\) est très dense « At\(\Lambda\)2 » est doublement souligné ; la note marginale, oblique, n'est lue qu'en partie

At\(\Lambda\)3 ou At D\(\Lambda\) Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\) tels qu'il existe \(X \between Y\), […] \(L = X \cap Y\), \(X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\), \(Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\). Alors \[ X'_L \parallel Y'_L \Longrightarrow X' \parallel Y' . \] si \(\Lambda = \mathcal{L}\), c'est At L 3 « At\(\Lambda\)3 » est doublement souligné ; sous \(\parallel\) un signe noirci ; après « \(L = X \cap Y\) », « déf » surmonte un mot biffé ; au-dessus, « Supposons que », biffé

At C\(\Lambda\) (spéc) Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\), \(L = X \cap Y\) (défini par \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\)). Alors \[ X \between Y \iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X),\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y),\ X'_L = Y'_L = \emptyset \Longrightarrow X' \parallel Y' \]

At C\(\Lambda\) (pol) Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\), \(L = X \cap Y\). Alors \[ X \between Y \iff \begin{cases} \text{(i) Comme dans At C$\Lambda$ (spéc) ci-dessus} \\ \text{(ii) $L = \emptyset$ ou $L \in \mathcal{M}$} \end{cases} \]

On a en tout cas les implications (cf. page 22) \[ \begin{array}{ccccc} \Lambda 3 + C\Lambda^{*} & \Longrightarrow & C\,\struck{\ill{}} & & \\ & & \Downarrow & & \\ \Lambda 2 + \Lambda 3 & \Longrightarrow & D & \Longrightarrow & \Lambda 3 \\ \Downarrow & & \Downarrow & & \\ \Lambda 2 & \Longrightarrow & D_0 & & \end{array} \] \[ D_0 + \Lambda 1 + C\Lambda^{*} \Longrightarrow \Lambda 2 , \qquad \Lambda 2 + C\Lambda^{*} \iff \Lambda 2 + C^{*} \] où on a laissé tomber les sigles « At » dans la désignation des axiomes, et où \(C\Lambda^{*}\) désigne indifféremment At C\(\Lambda\) (spéc) ou At C\(\Lambda\) (pol), et C […] désigne At C ([…] […] […]) \(C^{*}\) est At C (spéc) ou At C (pol) (mais toujours les mêmes). dans le tableau, la flèche verticale sous \(\Lambda 2 + \Lambda 3\) est barrée d'un trait qui la croise (une implication annulée ?) ; la troisième ligne, \(D_0 + \Lambda 1 + C\Lambda^{*} \Longrightarrow \Lambda 2\), aboutit sur la page au même \(\Lambda 2\) que la colonne de gauche ; à la place de la lettre après « C » dans la première ligne, un griffonnage. Le renvoi « p. 22 » est à sa pagination ; l'ajout interlinéaire au-dessus de la parenthèse biffée n'est pas lu

46Un ensemble complet de conditions de compatibilité disjonction impliquant \(\Lambda\), est (impliquant donc tous les axiomes pertinents \[ \underset{\substack{\Downarrow \\ D_0}}{C,\ D},\ C^{*},\ \Lambda 1,\ \Lambda 2,\ \Lambda 3,\ C\Lambda^{*} \] pour la conclusion) des suivants, p. ex. \[ \begin{array}{ll} a) & \Lambda 1,\ \Lambda 2,\ \Lambda 3,\ C\Lambda^{*} \\ b) & \Lambda 1,\ \Lambda 2,\ D,\ C^{*} \\ c) & \Lambda 1,\ C\Lambda^{*},\ D \\ d) & \Lambda 1,\ \Lambda 2,\ C^{*},\ D_0 \end{array} \] la double flèche verticale « \(\Downarrow D_0\) » est écrite sous le « \(D\) » de la première liste ; les quatre listes a)-d) sont réunies par une accolade à gauche ; entre a) et b), une double flèche verticale relie \(\Lambda 3\) à \(D\), une autre, à double pointe, \(C\Lambda^{*}\) à \(C^{*}\) ; en d), « \(\Lambda 2\) » et « \(C^{*}\) » sont repassés

les équivalences marquées valent toutes, en présence de \(\Lambda 1\), \(\Lambda 2\) i.e. si \(\Lambda\) est partie très dense de \(\mathcal{M}\).

NB \(\Lambda 1\) est le seul des axiomes pertinents qui figure dans chacun des ensembles (a), b), c), d)) équivalents note à droite de la liste d), en trois lignes serrées, lue en partie

On dira, quand cet ensemble de conditions est vérifié, qu'on a un atelier \(\Lambda\)-spécieux, ou \(\Lambda\)-polyédral. Les cas les plus intéressants pour moi sont

« \(\mathcal{M}\)-polyédral » est souligné ; un trait le relie à « signifie » à la ligne suivante

Dans le cas général, on peut dire que \(\mathcal{A}\) est (lorsqu'il est) \(\Lambda\)-spécieux, dès qu'il est \(\mathcal{M}\)-spécieux i.e. spécieux tout court, et si de plus \(\Lambda\) est très dense (\(\Lambda 1\) et \(\Lambda 2\)). \(\mathcal{A}\) désigne ici l'atelier ; la lettre est une ronde « A »

47le « 7 » de son numéro est repassé On voudrait donner une condition sur \[ (\mathcal{M},\ \underset{\mathcal{M}}{\leq},\ \underset{\mathcal{M}}{\ll},\ \Lambda \subset \mathcal{M},\ \underset{\Lambda}{\parallel}) \] où \(\underset{\Lambda}{\parallel}\) est une relation dans \(\Lambda\), ⌜partie fermée de \(\mathcal{M}\),⌝ pour que ce proviennent d'un atelier \(\Lambda\)-spécieux, resp. \(\Lambda\)-pol. On se propose pour fixer les idées, prenons le cas \(\Lambda\)-spécieux.

M\(\Lambda\)0, M\(\Lambda\)1, M\(\Lambda\)2, M\(\Lambda\)3 comme avant (p. 42)

M\(\Lambda\)4 : La relation \(\underset{\Lambda}{\parallel}\) (ou \(\parallel\)) sur \(\Lambda\) est réflexive symétrique, antiréflexive (\(X \parallel Y \Rightarrow X \neq Y\)), et \(X \parallel Y\), \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y \Longrightarrow X' \parallel Y'\).

M\(\Lambda\)5 Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\) tels qu'il existe \(Z \in \mathcal{M}\) avec \(X, Y \leq Z\), \(L = X \cap\) \(X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\), \(Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\). Posons \[ \begin{cases} L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \\ X'_L = \widetilde{X}' \cap \mathrm{Omb}(L) , \quad Y'_L = \widetilde{Y}' \cap \mathrm{Omb}(L) \\ \text{où } \mathrm{Omb}(L) \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{Z \in L} \mathrm{Omb}(Z) \end{cases} \] Supposons \(X'_L \parallel Y'_L\) au sens : \(\forall\, X'' \in X'_L\), \(Y'' \in Y'_L\), ⌜on a⌝ \(X'' \parallel Y''\) (NB on aura \(X'' \leq X'\), \(Y'' \leq Y'\), donc \(X'', Y'' \in \Lambda\)). Alors \(X' \parallel Y'\). sous « \(\mathrm{Omb}\) » de \(X'_L\), un indice noirci ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge remplace M\(\Lambda\)5 p. 34 On a besoin […] […] plus […] […] \(X \neq Y\) (car […] […] dense). deux notes obliques dans la marge gauche, en face de M\(\Lambda\)5 ; la seconde n'est lue que par fragments

Plus ⌜bas⌝ je dis que ça suffit (⌜plus⌝ évidemment […] nécessaire). […] […] On pose, pour \(X, Y \in \mathcal{M}\), si \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\) \[ \begin{array}{l} X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y \iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X),\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \quad (X'_L = \emptyset,\ Y'_L = \emptyset) \Longrightarrow X' \underset{\Lambda}{\parallel} Y' \\ X \underset{\mathcal{M}}{\parallel} Y \iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X),\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) ,\ \text{on a } X' \underset{\Lambda}{\parallel} Y' . \end{array} \] Non, cf. p. 49 note de sa main, « Non » doublement souligné, dans la marge gauche en face de « je dis que ça suffit » ; sous le signe de compatibilité de la première ligne, un indice noirci

48Ces relations sont symétriques, \(\between\) est réflexive (tautologique), \(\underset{\mathcal{M}}{\parallel}\) antiréflexive (utilisant le fait que \(\underset{\Lambda}{\parallel}\) l'est, et M\(\Lambda\)2, impliquant que \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \neq \emptyset\)). Je dis

Lemme 1 Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\).

sous \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\), un trait ondulé porte « \(L\) »

Preuve a). On a \(\Longrightarrow\) : \(X \between Y\) trivialement par définition, \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset\)

Preuve \(\Longrightarrow\) i.e. supposons \(X \underset{\mathcal{M}}{\parallel} Y\), prouvons :

Preuve \(\Longleftarrow\) i.e. supposons \(X \between Y\), \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset\), et prouvons \(X \parallel Y\). Soit \(X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\), \(Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\). ⌜Mais comme⌝ Par def […] \(X \between Y\), donc … on a \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset\), elle donc \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(L) = \emptyset\), elle se réduit : \(\forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\) la définition de \(X \between Y\) montre qu'il se réduit : \(X \parallel Y\).

Preuve b) Résulte tautologiquement de M\(\Lambda\)4.

Terminologie Soient \(P, Q\) deux parties de \(\mathcal{M}\). On pose \[ \begin{aligned} P \parallel Q &\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\, X \in P,\ \forall\, Y \in Q,\ \text{on a } X \parallel Y \\ &\iff \forall\, X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda} P,\ Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Q),\ \text{on a } X' \parallel Y' \end{aligned} \] (où \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(P) = \bigcup_{X \in P} \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\), et item pour \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(Q)\))

49Lemme 2 Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\), avec \(X \between Y\), \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\), \(X' \underline{\ll} X\), \(Y' \underline{\ll} Y\). Posons \(X'_L = \widetilde{X}' \cap \mathrm{Omb}(L)\), \(Y'_L = \widetilde{Y}' \cap \mathrm{Omb}(L)\). Alors \[ X'_L \parallel Y'_L \iff X' \parallel Y' \] les deux signes « \(\ll\) » sont soulignés, comme page 41

La partie tautologique […] \(\Longrightarrow\) est \(\Longrightarrow\) est bénigne. Je n'arrive pas à la prouver en utilisant seulement M\(\Lambda\)5 — il semble qu'il faut renforcer M\(\Lambda\)5 par cette forme plus forte, un peu décourageante par sa complication ! au-dessus de la ligne biffée, trois mots interlinéaires, biffés eux aussi, non lus

Ce lemme est le M\(\Lambda\)4 de p. 47. Il faut prouver ce M\(\Lambda\)5 de la page :

Lemme 3 Soient \(X, Y\) avec \(X \between Y\), \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\). \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\), \(Z \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\) \(Z \in \Lambda\) tel que \(Z \ll X\), Alors \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) = \mathrm{omb}_{\Lambda}(L)\).

Je n'y arrive pas non plus. Il faut donc ajouter ces deux conditions, sur la relation \(\underset{\Lambda}{\parallel}\) (en termes de la relation \(\underset{\mathcal{M}}{\between}\) que \(\parallel\) définit, cf. page précédente). Donc il faut mettre un M\(\Lambda\)6 en conséquence. Mais alors, en termes de la proposition p. 42, ça revient tautologiquement à dire qu'on a un système \((\mathcal{M}, \leq, \struck{\ll}, \between, \Lambda)\), satisfaisant provenant d'un atelier qui satisfait \(\Lambda 1\), \(\Lambda 2\) ⌜spécieux⌝. Rien de nouveau ! On tourne en rond ! les trois dernières lignes sont serrées au bas du feuillet ; « spécieux » est écrit au-dessus de la partie biffée ; le symbole biffé dans le quadruplet est un \(\ll\) (ou un \(\between\)) raturé

50

Récapitulation

titre de sa main, souligné d'un trait ondulé, en tête de la page 50

Les axiomes algébriques d'ateliers, en termes de la donnée \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\), sont récapitulés p. 23. Disons un mot d'implication, concernant les axiomes d'incompatibilité-disjonction, voir p. 22 ou p. 45, 46 (avec une partie \(\Lambda \subset \mathcal{M}\) dense : la clef, qui conduit à la notion d'atelier \(\Lambda\)-spécieux ou \(\Lambda\)-polyédral…). Dans le cas « spécieux » ou « polyédral », j'implique maintenant l'axiome At C (spéc) resp. At C (pol). « p. 23 », « p. 22 » renvoient à sa pagination de ce chapitre (lot 2), « p. 45, 46 » aux pages 45-46 ci-dessus

Dans le cas d'une structure \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)\), les données sont plus maniables (quitte encore, j'ai supposé \(\widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) connue, donnée compliquée !), mais le syst. d'axiomes pertinents semble plus simple, dans certains parmi autres projets d'axiomes en général. « \(\widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) » est écrit au-dessus de la ligne et rattaché par un trait courbe

Il y a lieu de considérer \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)\) comme une structure algébrique indépendante, qu'on pourrait l'appeler un « pré-atelier » (ou « algèbre de multistrates »). Elle peut correspondre à plusieurs ateliers (réalisés comme des \(\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\))

51parmi lesquels il y en a un le plus grand de tous, formé de toutes les parties ⌜de \(\mathcal{M}\)⌝ fermées pour \(\leq\), et formées d'éléments deux à deux compatibles (pour \(\between\)).

J'distingue trois des conceptions possibles pour les axiomes.

(1) ⌜Introduction⌝ Axiomes At 1 à At 7 sans plus, première version (cf. p. 6 […] — je laisse tomber les axiomes relatifs à f) « (1) » est cerclé sur la page ; « Introduction » est écrit au-dessus de « Axiomes », biffé ; « p. 6 » est suivi d'un chiffre raturé. Ce renvoi est à sa pagination de ce chapitre (lot 1)

At 11 1

« Prat » (pré-atelier) est souligné à chaque fois ; les chiffres de « Prat 2 » et « Prat 3 » sont écrits en surcharge (l'un sur l'autre ?) ; « Prat 4 » est écrit au-dessus de « Prat 5 », qui n'est pas biffé nettement ; le « 6 » de « Prat 6 » est repassé. La ligne sur \(\between\) n'a pas d'étiquette propre, elle est serrée sous Prat 3 […] […] transitivité des raff. intérieurs […] — Axiome […] […] […] — Unicité de la strate minimale […] — […] […] \(\ll\) […] […] \(\leq\) […] compatibles notes obliques dans la marge gauche, en face de Prat 1-Prat 6, lues par fragments ; elles donnent le nom de chaque axiome

NB seuls les ⌜trois⌝ deux derniers axiomes font intervenir \(\between\).

(2) Traduction At 1 à At 7 sans plus, mais en introduisant de plus une partie \(\Lambda \subset \mathcal{M}\), dont on exige seulement qu'elle soit dense (i.e. \(\forall\, X \in \mathcal{M}\), \(\exists\, Z \in \Lambda\), \(Z \overset{\circ}{\ll} X\), i.e. \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} \neq \emptyset\)). (Cf. p. 42) « (2) » est cerclé [NB. Le syst. d'axiomes […] […] […] […] précédent […] \(\Lambda = \mathcal{M}\)] [NB 1, 3, 4 sont comme pour Prat (sauf somme \(\Lambda\) pour 3]

les étiquettes « Prat\(\Lambda\)5 » et « Prat\(\Lambda\)6 » sont écrites en surcharge (sur « 4 » et « 5 » ?) ; une accolade à gauche, partant de Prat\(\Lambda\)4 plus bas, remonte par une flèche jusqu'à Prat\(\Lambda\)5 : l'axiome Prat\(\Lambda\)4 est à insérer avant. Dans Prat\(\Lambda\)6, la page écrit « \(Z' \ll Z \leq X, Y\) », alors que M\(\Lambda\)5 (p. 42) a \(Z \ll Z' \leq X, Y\) (évident si \(\Lambda = \mathcal{M}\)) — strate minimale pour les \(Z \in \Lambda\) Axiome des raff. induits On peut bloquer Pr\(\Lambda\)3, \(\Lambda\)4 en […] […] \(\forall\, Z \ll X\) […] […] […] […] […] notes obliques dans la marge gauche, en face de Prat\(\Lambda\)2-Prat\(\Lambda\)4, lues par fragments

Seuls les deux derniers axiomes font intervenir \(\between\).

la relation entre \(X'\) et \(X\) est un \(\ll\) vertical, \(X'\) sous \(X\), comme page 42 ; les deux \(\ll\) soulignés comme page 41 ; « i.e. » est entouré ; la dernière formule, encadrée, est serrée au bas du feuillet et le chapeau sur « Omb » n'est pas sûr

52son numéro « 52 » est repassé et entouré (3) Cas des ateliers spécieux ou polyédraux, axiomatisés en termes de \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \underset{\mathcal{L}}{\parallel})\), où \(\underset{\mathcal{L}}{\parallel}\) est une relation « de disjonction » sur \(\mathcal{L}\) = ens. des él. min. de \((\mathcal{M}, \ll)\) (cf. p. 34) « (3) » est cerclé ; « p. 34 » renvoie à sa pagination de ce chapitre (lot 2) [Prat dis 1 à Prat dis 5 comme Prat\(\Lambda\)1 à Prat\(\Lambda\)5, avec \(\Lambda = \mathcal{L}\)] « dis » pour « disjonction » — « Prat » pour « préatelier » la première note est entre crochets à droite du titre ; la seconde, oblique, dans la marge gauche, lue en partie

dans chaque étiquette de 2' à 6', « dis » est biffé et surmonté d'un « \(\mathcal{L}\) » ; dans 1', le mot après « Prat » est noirci. Dans Prat dis 4', \(X'\) est écrit sous \(X\) avec un \(\ll\) vertical, comme page 42 [Seules les deux dernières axiomes font intervenir \(\parallel\)]

Ce sont les mêmes axiomes que Prat\(\Lambda\), à l'exception du dernier Prat dis 6 (et à l'exception du fait que Prat dis 5 prend une forme plus simple) — et qui remplace les derniers axiomes en termes d'incompatibilité. « en termes d'incompatibilité » : lecture incertaine du dernier mot

On définira : \[ X \between Y \iff \begin{cases} \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L) \ (\text{où } L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}) \text{ on a } x \parallel y \\ [+\ L = \emptyset \text{ ou } L \text{ de la forme } \widetilde{Z}, \text{ dans le cas « polyédral »}] \end{cases} \] Donc le vrai problème d'axiomatisation pour un atelier (de plus) est de construire […] […] […] […] […] […] note oblique dans la marge inférieure gauche, « vrai » triplement souligné, lue par fragments ; la page est barrée en bas à droite d'un trait oblique

53Mais dans le cas polyédral, il faut un axiome suppl. :

Prat pol \(\forall\, X \in \mathcal{M}\), \(\widetilde{X}\) est polyédral, i.e. si \(Y, Z \in \mathcal{M}\) et si \(\lbrace X, Y \rbrace\) est majoré et minoré dans \(\mathcal{M}\), alors \(\mathrm{Inf}^{\leq}(Y, Z)\) existe (i.e. \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\) a un plus grand élément). l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; la page écrit « \(\lbrace X, Y \rbrace\) » puis « \(\mathrm{Inf}^{\leq}(Y, Z)\) », où l'on attend les mêmes lettres ; dans \(\mathrm{Inf}^{\leq}(Y, Z)\) les deux lettres sont repassées

NB Alors \(\struck{\mathrm{Sup}}\ \mathrm{Inf}^{\leq}(Y, Z)\) existe aussi dans \(\widetilde{X}\) (mais pas nécessairement dans \(\mathcal{M}\)…)

Remarque Soit \((\mathcal{M}, \leq)\) un ens. ordonné, et prenons \((\ll) \Leftrightarrow (\leq)\), \((x \underset{\mathcal{L}}{\parallel} y) \Leftrightarrow (x \neq y)\). Alors tous les axiomes sont satisfaits, sauf le seul axiome de divisibilité Prat\(\mathcal{L}\)2'. Je pense p. ex. au cas où \(\mathcal{M}\) = ensemble des simplexes d'un ens. quasi simplicial, \((\mathcal{L}, \mathcal{M} \subset \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{L}))\), où les figures sont les sous-ens. quasi simpliciaux, correspondant aux sous-ensembles fermés de \(\lbrace \mathcal{M}, \leq (\overset{\mathrm{def}}{=} \subset) \rbrace\). Et en termes de l'axiomatique (1) ou (2), en prenant \[ X \ll Y \iff X \leq Y , \quad \text{et } X \between Y \text{ tjrs satisfaits.} \] \(X \overset{\circ}{\ll} Y\) signifie \(X = Y\). Appelons « trivial » un préatelier tel que \(X \ll Y \iff X \leq Y\), \(X \between Y\) tjrs satisfaits, de sorte que \[ X \overset{\circ}{\ll} Y \iff X = Y \] « Prat\(\mathcal{L}\)2' » : \(\mathcal{L}\) pour « dis », comme page 52 ; « un préatelier » est écrit sous un mot interlinéaire (« imaginaire » ?) non lu

Alors tous les axiomes Prat 1 - Prat 6 sont automatiquement satisfaits — on peut donc partir d'un ens. ordonné \((\mathcal{M}, \leq)\) quelconque. Passant à \(\mathfrak{F}\), on trouve […] \[ \mathfrak{F} = \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M}, \leq) \quad \text{ensemble de \emph{toutes} les parties fermées} \] dans \(\mathfrak{F}\), \(F \ll G \iff F \leq G\), et \(F \between G\) tjrs satisfait, \(F \parallel G \iff F \cap G = \emptyset\). Axiomes C et Les conditions At D, At C (spéc), At Fil, At supp sont satisfaites. Pour les conditions sur les lieux, At L 2 At L 1 qui est équivalent : Tout […] \(X \in \mathcal{M}\) est minoré par un élément minimal — n'est pas prédisant ! L'axiome At L 3 tjrs satisfait (car deux lieux distincts sont disjoints, itou compatibles). Donc le seul axiome pas satisfait est At L 1, de divisibilité. « At Fil » : lecture incertaine du dernier mot ; « prédisant » : lecture incertaine. Les trois dernières lignes sont serrées au bas du feuillet On trouve […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] — NB […] « […] […] » […] […] […] ! longue note oblique dans la marge inférieure gauche, couverte de biffures et de traits ; illisible sauf quelques mots

54

25 juin

25 juin date de sa main, écrite en oblique dans l'angle supérieur gauche de la page 54, soulignée d'un trait qui la barre en partie, en face du premier alinéa

Je voudrais revenir sur la notion d'atelier ensembliste. Ce sera un atelier soit spécieux, soit polyédral, prenons le premier cas. il reprend ici les ateliers ensemblistes de la deuxième mouture (GF VI, pp. 52-58 : At ens 1, Atens*1-3, la Scholie de la p. 54), désormais caractérisés par le morphisme \(\varphi\) vers \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\)

Proposition Soit \(\mathcal{A} = (\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) un atelier, considérons l'(ho)morphisme canonique \[ \varphi : \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \qquad F \longmapsto \mathrm{multomb}(F) \] ⌜Considérons les⌝ Conditions : équivalentes

En d'autres termes :

Alors (i) \(\Longrightarrow\) (ii) ⌜(ii)⌝ \(\Longrightarrow\) (i a) […] (mais pas nécessairement (i b), vu l'injectivité de \(\varphi\)) « Mulomb(F) » sur la page, d'une plume repassée, lu \(\mathrm{multomb}(F)\) ; « GF VI p. 51 » renvoie à la deuxième mouture (folder 156-6), page 51, où sont définis les plongements d'ateliers (conditions a'), b')) ; « p. 40 » est écrit au-dessus de « spécieux », et les pages 38-40 de GF VI définissent sous-ateliers et parties « spécieuses » ; « p. 45 » renvoie à la page 45 ci-dessus. Le signe après \(x \neq y\) est un \(\parallel\) barré de traits horizontaux, lu \(\overline{\parallel}\) (non disjoints) ; « (ii) » sous « \(\Longrightarrow\) (i a) » est un ajout interlinéaire ; au-dessus de « (i b) », « […] (i, c) » est écrit et rattaché par une flèche \(\varphi\) plongement \(\varphi\) plongement « spécieux » deux notes obliques dans la marge gauche, en face de a)-b) et de c)

Dém (i) \(\Longrightarrow\) (ii). Comme Comme on sait que \(x, y \in \mathcal{L}\) \((x, y) \in \mathcal{L}\) \(\Longrightarrow x \between y\), \(x, y \in \mathcal{L}\), \(x \neq y \Longrightarrow \struck{\ill{}}\ x \parallel y\) … Comme \(\varphi(x)\), \(\varphi(y)\) sont des […] figures ponctuelles i.e. \(\varphi(x) \between \varphi(y)\) donc \(x \between y\) par c). At L1 : Soit \(X \in \mathcal{M}\), soit \(x\) comme \(X \neq \emptyset\) i.e. \(\varphi(X) \neq \emptyset\), donc par définition de \(\varphi\) (ceci signifie \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset\)), OK. ces lignes de démonstration sont très abrégées ; la première implication « \(x, y \in \mathcal{L}\), \(x \neq y \Longrightarrow x \parallel y\) » est celle qu'on lit, sans que le raccord avec ce qui suit soit sûr

55At L 2 : Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\), avec \(\forall\, x \in \mathrm{omb}(X)\), \(y \in \mathrm{omb}(Y)\) on a \(x \neq y\) ⌜(\(\Longrightarrow x \parallel y\))⌝ i.e. \(\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \emptyset\). Ceci signifie que \(\mathrm{omb}(X) \cap \varphi(X) \parallel\) Comme \(\mathrm{omb}(X) = |\varphi(X)|\) et item pour \(\mathrm{omb}(Y)\), ceci exprime donc \(\varphi(X) \parallel \varphi(Y)\). Injectivité […] \(\varphi(X) \between \varphi(Y)\) donc \(X \between Y\). Il est évident d'autre part que \(X \cap Y = \emptyset\) (à cause de L 1 ; si \(Z \leq X, Y\), \(\exists\, x \in \mathcal{L}\), \(x \ll Z\), donc \(x \in \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y)\), absurde). « (\(\Longrightarrow x \parallel y\)) » est écrit au-dessus de « \(x \neq y\) » ; la ligne biffée est recouverte d'un trait. La phrase « Injectivité … donc \(X \between Y\) » se lit ainsi ; on attend « par c) », comme page 54

At CL (spéc) : Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\), \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\), supposons que \(\forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L)\), \(y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L)\), on ait \(x \parallel y\) i.e. \(x \neq y\), on déduit en termes ensemblistes \[ \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \struck{\emptyset}\ \mathrm{omb}(L) \] Prouvons \(X \between Y\). On […] sait que la condition est \[ |\varphi(X)| \cap |\varphi(Y)| = |\varphi(L)| \] où \(\varphi(L)\) est une sous-fig. ensembliste commune de \(\varphi(X)\), \(\varphi(Y)\), donc \(\varphi(X) \between \varphi(Y)\), donc \(X \between Y\), OK. « sait » est souligné, à la place d'un mot biffé

(ii) \(\Longrightarrow\) (i) ⌜a, c)⌝ Il faut prouver a) […] c) « a, c) » est écrit au-dessus de « (i) » et rattaché par un trait courbe

Lemme 1 Soit \(\mathcal{A} = (\mathfrak{F}, \leq, \ll)\), ⌜atelier, \(\Lambda\) partie dense de \(\mathcal{M}\)⌝, satisfaisant L 1. Alors, […] Considérons le […] morphisme canonique \[ \varphi_{\Lambda} : \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\Lambda) \qquad F \longmapsto \mathrm{multomb}_{\Lambda}(F) \] Alors \(\varphi_{\Lambda}\) satisfait a), i.e. \(\forall\, F\), on a \[ \mathrm{Ssfig}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ssfig}(\varphi_{\Lambda}(F)) , \quad F' \longmapsto \varphi_{\Lambda}(F') \] Je voudrais en effet dire que l'application \(\widetilde{F} \longrightarrow \widetilde{\varphi_{\Lambda}(F)}\) est un iso. d'ens. ordonnés La densité de \(\Lambda\) sert à assurer que \(\varphi_{\Lambda}\) […] des strates […] […] […] strates note oblique dans la marge inférieure gauche, en face de « Alors \(\varphi_{\Lambda}\) satisfait a) », avec une flèche vers le haut ; lue en partie. Le tilde de \(\widetilde{\varphi_{\Lambda}(F)}\) est un trait courbe au-dessus de l'expression, surmonté d'un mot (« de » ?)

56Ça a été vu pour \(\Lambda = \mathcal{M}\). Dans le cas général, c'est un fait ens., sa preuve paraît aussi aisée. \[ i : \Lambda \longrightarrow \mathcal{M} \] et figure ens. \(\Phi \in \mathrm{Fig}(\mathcal{M})\), pour \(\forall\, X \in \Phi\), on a \(i^{*}(X^{\circ}) \neq \emptyset\). la lettre bouclée pour une figure ensembliste est lue \(\Phi\), comme dans GF VI ; cette première ligne, « Dans le cas général, c'est un fait ens., sa preuve paraît aussi aisée », est d'une lecture en partie incertaine

Prenant \(\Lambda = \mathcal{L}\) dans […] le cas de la prop. ⌜(supposant (ii))⌝ on trouve a. « (supposant (ii)) » est écrit au-dessus de la ligne et rattaché par un trait courbe

Prouvons c). […] Supposons \(\varphi(F) \between \varphi(G)\), prouvons \(F \between G\). Compte tenu de a) il s'ensuit que la plus grande sous-figure commune de \(\varphi(F)\), \(\varphi(G)\) est \(\varphi(L)\), où \(L = F \cap G\) […] (\(\overset{\mathrm{def}}{=} \mathrm{Inf}^{\leq}(F, G)\), donc \(\widetilde{L} = \widetilde{F} \cap \widetilde{G}\)). En effet, \(\varphi(L)\) est une telle sous-figure commune, et si \(\Phi\) en est une ⌜la⌝ plus grande […] commune de \(\varphi(F)\), \(\varphi(G)\), on a \(\varphi(L) \subset \Phi\), donc \(\Phi\) et par a) on a \(\Phi = \varphi(L') = \varphi(L'')\), où \(L' \leq F\), \(L'' \leq G\). Or \(L \leq L', L''\). Prouvons que \(L' = L''\) donc \(L' = L'' = L\). (NB on ne sait pas si \(\varphi\) est injectif, et \(\varphi\) pourrait ne pas l'être…) ⌜Si⌝ c'était faux, soit \(X\) […] \(\in \struck{\ill{}}\ \widetilde{L}' \smallsetminus \widetilde{L}\) il existe (à cause de a)) un unique \(Y \in \widetilde{L}'' \smallsetminus \widetilde{L}\) telles que \(\varphi(X) = \varphi(Y)\). Alors la plus grande sous-figure commune de \(X\), \(Y\) est \(X \cap L = Y \cap L\), distincte de \(X\), \(Y\). Est-ce bien impossible ? Si on trouve de telles situations, on aurait \(\varphi(X) \between \varphi(Y)\) puisque \(\varphi(X) = \varphi(Y)\), mais \(X \between Y\) à cause de a) appliqué à […] \(F = X \cup Y\) (si on avait \(X \between Y\)). « \(X \in \widetilde{L}' \smallsetminus \widetilde{L}\) » : un mot biffé après \(X\), puis un symbole noirci ; « \(\in \widetilde{L}'' \smallsetminus \widetilde{L}\) » est écrit au-dessus de « telles que », à la place d'un \(Y\) noirci. La conclusion « mais \(X \between Y\) » se lit ainsi sur la page, alors que l'argument attend « \(X\) et \(Y\) non compatibles » ; la parenthèse finale « (si on avait \(X \between Y\)) » est de lecture incertaine

57Notons qu'on […] devrait avoir \(\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset\) \[ \mathrm{omb}(X) = \mathrm{omb}(Y) \quad (= |\varphi(X)| = |\varphi(Y)|) \] et qu'a priori il n'y a pas à exclure que \(L = \emptyset\).

Exemple \(X\) espace topologique. On prend […] \[ \mathcal{M} = \text{simplexes \emph{affines} dans } X \] avec la relation \(\leq\) habituelle, \(\ll\) la relation (mais en comparant les structures affines), \(\ll\) à l'inverse. Nous exigeons que \(|\sigma| \cap |\sigma'|\) soit vide ou un sous-simplexe commun ([…] […]), et \(\between\) itou ([…] […] […]), disons \(\mathfrak{F}\), satisfaisant toutes les conditions. Mais considérons, sur une partie de \(X\) homéomorphe à \([0, 1]\), deux structures affines différentes, disons \(X, Y \in \mathcal{M}\), […] avec ici \(L = \partial X = \partial Y\), \(\varphi(X) = \varphi(Y)\), mais \(X \neq Y\). Donc (ici \(\varphi(X) \between \varphi(Y)\) et \(\varphi(X) \ll \varphi(Y)\)) (i a, c) non : ni \(X \between Y\) ni \(X \ll Y\). la page est de lecture difficile ici. « ([…] […]) » : deux mots non lus au bout de la ligne ; « \(\between\) itou » est suivi d'une parenthèse de trois mots non lus ; « (ii) » est écrit au-dessus de « conditions » et rattaché par un trait. La fin de la dernière phrase est serrée à gauche en bas du paragraphe ; « (i a, c) » est écrit en petit, en oblique ; le premier « ni » n'est pas sûr, la page donnant « \(X \between Y\) » sans négation visible

Cor La condition (i) implique (ii) ⌜+ l'injectivité de \(\varphi\)⌝. Mais réciproquement (ii) + l'injectivité de \(\varphi | \mathcal{M}\) équivaut pour mai… l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; « implique » remplace un mot biffé (« équivaut » ?) ; la ligne suivante est biffée ; « pour mai… » est inachevé Plus précisément (i) \(\Rightarrow\) (ii) + \(\varphi\) injectif \(\Rightarrow\) (i a), c) note oblique dans la marge gauche, en face du Cor

Bien sûr, (i) implique l'injectivité de \(\varphi\), (ii) + \(\varphi | \mathcal{M}\) inj. \(\Longrightarrow\) b, c. Reste à prouver que … (ça a été prouvé déjà).

Prouvons c), plutôt, en continuant. On a (utilisant l'injectivité de \(\varphi\)) que

58\(\varphi(L)\) est la plus grande sous-figure commune de \(\varphi(F)\), \(\varphi(G)\). L'hyp. \(\varphi(F) \between \varphi(G)\) équivaut à : \[ |\varphi(F)| \cap |\varphi(G)| = |\varphi(L)| \quad \text{i.e.} \quad \mathrm{omb}(F) \cap \mathrm{omb}(G) = \mathrm{omb}(L) , \] mais c'est (en vertu de At CL (spéc)) le condition pour que \(F \between G\). OK.

Prouvons b), i.e. soient \(F, G\) avec \(\varphi(F) \ll \varphi(G)\), prouvons \(F \ll G\). […] Utilisant a) déjà prouvé, on est ramené au cas \(X, Y \in \mathcal{M}\). Mais c'est un faux ! « un faux ! » : lecture incertaine du mot avant le point d'exclamation, qui pourrait être « faux »

Ex \(X\) espace affine sur \(\mathbb{R}\). On prend \(\mathcal{M}\) = simplexes affines, \(\leq\) […] […] ⌜Cas polyédral […] comme dans l'exemple⌝ précédent, mais en remplaçant cette fois la relation \(\ll\), par la relation ordinaire (« simplicial » — « polyédral »). ce paragraphe est barré de trois longs traits obliques ; la deuxième ligne biffée se termine par « sous-simplexes » ; l'ajout interlinéaire, au-dessus de « \(\mathbb{R}\) », n'est lu qu'en partie

Soit \(\mathcal{L}\) un ens., considérons l'ens. \(\mathrm{Figpol}(\mathcal{L})\) des figures polyédrales dans \(\mathcal{L}\). On y prend \(\leq\) et \(\ll\) comme d'habitude, ⌜« ensembliste polyédral »⌝ étant entendu que \(\ll\) signifie \(\underset{\mathrm{pol}}{\ll}\), tandis qu'on prend la compatibilité \(\between\) ensembliste (pour son ensembliste non polyédral). (D'ailleurs, en fait, la \(\ll\) ne modifie pas la validité des conditions Prat 1' – Prat 6'.) « ensembliste polyédral » (lecture incertaine) est écrit au-dessus de « comme d'habitude » ; sous le deuxième \(\ll\) de la phrase suivante est écrit « pol ». « ensembliste », après la compatibilité, est souligné

Considérons deux figures ⌜strates⌝ polyédrales (p. ex. en hyp. \(\Delta_1\), \(\Delta_n\)) \(X, Y\), […] avec \(X \underset{\mathrm{ens}}{\ll} Y\) et […] hyp non \(X \underset{\mathrm{pol}}{\ll} Y\), on a… Voilà le contre-exemple. « strates » est écrit au-dessus de « figures », biffé ; l'indice « ens » sous le premier \(\ll\) de la dernière phrase est une lecture incertaine d'un mot court ; « hyp » suit deux mots biffés

59Déf Un atelier est dit « ensembliste spécieux » s'il satisfait la condition (i). Idem pour « ensembliste polyédral », en remplaçant \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) par \(\mathrm{Figpol}(\mathcal{L})\). On a les conditions notions ⌜correspondantes⌝ pour les préateliers.

Un atelier est dit « quasi-ensembliste » s'il satisfait (ii). Notion ⌜analogue⌝ pour le cas « quasi-ensembliste polyédral », ou le cas des préateliers. « correspondantes » et « analogue » : deux mots interlinéaires, lus d'après le sens NB. Il faudrait encore […] […] […] […] […] des figures dans […] […] sous-ensemblistes ([…] de figures ens. qui ne soient pas […] […] des figures […] […] recouvrements […]) longue note oblique dans la marge gauche, en face de la Déf., lue par fragments

Les préateliers quasi-ensemblistes (i.e. affirmement spécieux ou polyédraux) correspondent aux \((\mathcal{M}, \leq, \ll)\) satisfaisant les conditions suivantes (déduites de Prat 1' – Prat 6') : « affirmement » est sur la page, lu tel quel

« quens » (quasi-ensembliste) est souligné dans chaque étiquette. Dans Prat quens 4, \(X'\) est écrit sous \(X\), relié par un \(\ll\) vertical, comme page 42 ; « \(\mathrm{omb}(Y')\) » est écrit ainsi, là où la parenthèse définit \(\mathrm{omb}(Y_{X'})\) ; « De plus, si » est suivi d'un mot biffé, puis « \(Y' \leq X'\) » précédé d'un « OPS » (?) non sûr densité divisibilité strates minimales raffinements induits notes obliques dans la marge gauche, en face de Prat quens 2, 3, 4, reliées par des flèches

Je n'ai plus besoin en effet d'introduire \(\underset{\mathcal{L}}{\parallel}\), vu qu'on la connaît : \((x \parallel y) \iff (x \neq y)\).

60Pratiquement, quand on ne travaille pas avec des « lieux » proprement dits (et je suis le premier, visiblement, à y […] […], aux lieux…) mais avec des points, et dans l'optique des espaces « infiniment divisibles » (et […] […], je suis le premier […] […] […]), il semblerait que cette structure satisfasse à […], bien sûr, des besoins. […] […] Cette structure a l'avantage d'être commune au contexte « spécieux » et « polyédral », et […] plus, […] […] […] (seulement \(\leq\) et \(\ll\) […] […] […] […] dans le cas des ateliers \(\mathfrak{F}\)) axiomes, réduits ici au nb de quatre […] […] plus compliqués […] […]. (Quand […] travaille avec […] […] […] […] […], […] […] figures […] […] […] […] préatelier correspondant.) […] […] […] […] […] […] les ateliers qu. ens. spécieux resp. polyédraux plus généraux, il faut introduire sur \(\mathcal{M}\) la notion de […] partie (fermée) « admissible » par des conditions convenables de « local finitude ». page de lecture très difficile, écrite vite ; beaucoup de mots n'y sont pas lus. L'articulation générale se laisse suivre : les « lieux » et les points, les espaces « infiniment divisibles », la structure « commune » aux contextes « spécieux » et « polyédral », les quatre axiomes Prat quens de la page 59, puis, pour des ateliers quasi-ensemblistes plus généraux, une notion de partie fermée « admissible » définie par des conditions de « finitude locale ». « commune » et « plus » sont soulignés sur la page p. ex. […] « Préatelier » […] […] […] « Stratologie » ([…] « stratologique ») […] […] […] […] […] […] […] topologie ! longue note oblique dans la marge inférieure gauche, en face de la seconde moitié de la page ; on y lit les mots « Préatelier », « Stratologie », « stratologique » et « topologie ! », le reste n'est pas lu