Fonds Grothendieck, cote n° 156-7, pages 1–20

Analysis situs (troisième mouture)

titre de sa main en tête de la page 1, qui porte en haut au centre son numéro « 1 » ; ses numéros de page, en tête de chaque feuillet, coïncident dans ce lot avec la numérotation des archivistes. Dans l'angle supérieur droit, dans un coin tracé à la plume, « GF VII » ; au-dessous, en oblique, un renvoi de sa main : « cf. p. 23, 50-58, 59, 110-113 », les derniers nombres cerclés (le « 50 » est écrit en surcharge, et un mot au-dessus des nombres n'est pas lu)

23 juin

date de sa main, soulignée, en tête du premier alinéa

Je récapitule les données et axiomes d'une « algèbre de figures », ou « atelier ». Il s'agit pour l'instant d'axiomes purement « algébriques » dominant le formalisme algébrique des figures, à l'exclusion pour le moment de propriétés topologiques (dimension, connexité, acyclicité) ou proprement géométriques (régularité topologique, boules et sphères topologiques d'une algèbre de figures), voire les « propriétés combinatoires finies », tournant autour de la notion de simplexe.

Parmi les axiomes, je distingue les axiomes « sine qua non » At 1 à At 7, qui me paraissent les plus essentiels pour fonder la seule géométrie topologique du formalisme envisagé. Les autres axiomes seront considérés comme plus ou moins « facultatifs » au niveau du formalisme algébrique. Ils pourront avoir un rôle crucial, dès qu'il s'agira d'un travail sur pièces dans le

contexte d'un atelier définissant une « contrée ».

Le travail précédent a permis de dégager le point de vue le plus commode pour le formalisme algébrique. La notion fondamentale me semble bien celle de figure, et non pas celle de « figure élémentaire » ou « multistrate », voire celle de « lieu » (voire, la notion de « lieu ponctuel » — ou « point » — qui par avoir été …). Une des raisons en est la simplicité du formalisme algébrique, quand il est agréable de pouvoir manipuler les figures et multistrates comme étant des figures particulières. Quand une figure F est interprétée (par l'ens. de ses « strates ») comme une partie (ordonnée par \leq) de l'ens. \mathcal{M} des multistrates, nous allons écrire \widetilde{F} (et non F) pour cette partie. Quand elle est interprétée comme une figure ensembliste dans \mathcal{M}, nous l'écrivons \mathrm{Multomb}(F) (« grande multiombre »), son support étant \mathrm{Omb}(F) (la « grande ombre » de F) — cette dernière, contrairement à \widetilde{F} et à \mathrm{Multomb}(F), ne permettant pratiquement jamais de reconstituer F, mais moralement, son support « seulement

L'autre raison « » simplicité figures multistrates longue note oblique dans la marge gauche, sur une quinzaine de lignes courtes, lue seulement par fragments

» (et je suis tenté maintenant sur ce support dans la mouture précédente GF VI). Quand on interprète F comme une figure ensembliste dans l'ens. des lieux \mathcal{L}, ce (pratiquement ceci signifie que c'est un atelier ensembliste) on l'écrira \mathrm{multomb}(F) (petite multiombre), son support sera \mathrm{omb}(F). la parenthèse ouverte au bas de la page 2 (« seulement ») se ferme au haut de la page 3 ; la lecture de la première ligne est incertaine

Données préliminaires :

\mathfrak{F}ensemble de figures \leqrelation d'inclusion des figures, F \leq G \overset{\mathrm{déf}}{\Longleftrightarrow} F sous-figure de G \llrelation de raffinement, F \ll G \overset{\mathrm{déf}}{\Longleftrightarrow} F raffine G

les trois lignes sont réunies par une accolade à gauche

At 0 avec F \leq G \Longrightarrow F \ll G — axiome si évident que je ne le mets pas inclus dans les axiomes numérotés.

NB. Ce serait dans At 4 plus bas note de sa main dans la marge gauche, en face de « At 0 »

(a)F \vee G ou F \cup G figure « engendrée » ou « réunion » ou « somme » : c'est le sup au sens de \leq (quand il existe) — auquel cas c'est aussi un sup pour \ll ou Inf pour \leq ; (b)F \wedge G ou F \cap G (= \mathrm{Inf}^{\leq}(F, G)) figure intersection (existe toujours (même pour familles infinies (non vides)) ; quand en outre F \vee G existe, alors c'est aussi le Inf pour \ll ; (c)F \cdot G (= \mathrm{Inf}^{\ll}(F, G)) figure « intersection fine » (quand elle existe) : Inf pour \ll ; (d)\varnothing_{\mathfrak{F}} figure vide : plus petit élément de \mathfrak{F} pour \leq et pour \ll.

chacune des quatre lignes est précédée d'un petit signe cerclé, lu ici (a) à (d) sans certitude ; sous « F \cdot G » un mot court est biffé. L'ajout « ou Inf pour \leq » de (a) est écrit plus bas dans la colonne de droite et rattaché par un trait ; sa place n'est pas sûre

NB : Si (F, G) ont un sup pour \ll (c'est toujours le cas dans le cas ensembliste \mathrm{Fig}(\mathcal{L})), ce n'est pas nécessairement un sup pour \leq NB \widetilde{F \cap G} = \widetilde{F} \cap \widetilde{G} NB Existe dans le cas ensembliste \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) et dans le cas rectiligne trois notes de sa main dans la colonne de gauche, en face de (a)-(b) et de (c) ; la première est ouverte par un mot biffé (peut-être « Question »)

(e)\mathcal{M} = ensemble des « figures élémentaires » ou multistrates \subset \mathfrak{F} formé des objets de (\mathfrak{F}, \leq) strictement irréductibles. Muni des relations \underset{\mathcal{M}}{\leq}, \underset{\mathcal{M}}{\ll} induites par \leq et \ll dans \mathfrak{F} ; (f)\mathcal{L} \subset \mathcal{M}, ens. des « lieux » : éléments minimaux de \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \varnothing_{\mathfrak{F}} \rbrace pour \ll.

les deux lignes sont précédées, comme celles de la page 3, d'un petit signe cerclé ; au-dessus de la première, un chiffre surchargé. « lieux » est écrit au-dessus d'un mot souligné et biffé ; la définition des lieux, dans la colonne de droite, est rattachée à (f) par un long trait

strates d'une figure : les X \in \mathcal{M} tels que X \leq F ; déploiement de F : ens. de ses strates \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \rbrace. On écrit X \triangleleft F (X incident à F) pour X \in \mathcal{M} et X \leq F note de sa main dans la marge gauche, encadrée d'un trait qui la relie à (e)

Axiomes

I) Axiomes « sine qua non ». Les premiers trois concernent (At 1 – At 3) (\mathfrak{F}, \leq), les quatre suivants At 4 – At 7 les relations entre \leq et \ll. « At 1 – At 3 » est écrit à droite, au-dessus de la ligne ; un « At 4 » est biffé au début de la ligne suivante

At 1 \mathfrak{F} \neq \varnothing et stable par \mathrm{Sup}_{I} majorés (I quelconque)

Axiome des sommes majorées de figures

At 2 Toute figure est le sup de ses strates : F = \mathop{\mathrm{Sup}}_{X \in \widetilde{F}} X \qquad \text{où} \qquad \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \rbrace

Axiome des strates équivalent à : si F, G \in \mathfrak{F}, alors F \leq G \Leftrightarrow \forall\, X \in \widetilde{F}, \exists\, Y \in \widetilde{G} avec X \leq Y — Critère d'inclusion des figures par strates notes de sa main en oblique dans la marge gauche, en face de At 1 et At 2

Scholie At 1 et At 2 signifient que \mathfrak{F} s'interprète, via F \mapsto \widetilde{F}, comme une partie \widetilde{\mathfrak{F}} de \mathfrak{F}(\mathcal{M}), \mathcal{M} ens. ordonné (par \leq), avec les conditions :

a)les \Phi \in \widetilde{\mathfrak{F}} sont fermées b)si \Phi \in \widetilde{\mathfrak{F}}, toute partie fermée de \Phi est \in \widetilde{\mathfrak{F}} c)~~\widetilde{\mathfrak{F}} \neq \varnothing (\Leftrightarrow \varnothing \in \widetilde{\mathfrak{F}})~~ \bigcup_{\Phi \in \widetilde{\mathfrak{F}}} \Phi = \mathcal{M}, et \widetilde{\mathfrak{F}} \neq \varnothing

« \mathfrak{F}(\mathcal{M}) » ainsi lu ; sous le c) biffé, un mot entre parenthèses n'est pas lu

ou, indépendamment d'une relation d'ordre sur \mathcal{M}, un ens. de parties satisfaisant

b')\forall\, X \in \mathcal{M}, l'ens. \widetilde{\mathfrak{F}}^{X} = \lbrace \Phi \in \widetilde{\mathfrak{F}} \mid X \in \Phi \rbrace a un plus petit élément (noté \widetilde{X}) d')Dans (\widetilde{\mathfrak{F}}, \subset), toute famille majorée a un Sup, et \widetilde{\mathfrak{F}} \neq \varnothing (\Leftrightarrow \varnothing \in \widetilde{\mathfrak{F}})

b') et d') sont réunis à gauche par une accolade ; au début de d') un « \forall » est biffé

\widetilde{\mathfrak{F}} \neq \varnothing et donc \varnothing \in \widetilde{\mathfrak{F}} note oblique dans la marge gauche, en face de c), lue en partie ; une flèche la mène vers c)

Relation F \between G \overset{\mathrm{déf}}{\Longleftrightarrow} F \vee G \text{ existe, i.e.\ } \lbrace F, G \rbrace \text{ majoré dans } (\mathfrak{F}, \leq) figures compatibles. Cette relation induit X \between Y dans \mathcal{M}. Dans le cas où les figures sont de t.f., alors (\mathfrak{F}, \leq) avec (At 1, At 2, At 3) se reconstitue par (\mathcal{M}, \leq, \between), où \between satisfait \begin{cases} X \between X & \text{réflexive, symétrique} \\ X \between Y,\ X' \leq X,\ Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y' \end{cases} « t.f. » : de type fini

Donc la donnée de (\mathfrak{F}, \leq) avec figures de t.f. équivaut à : (\mathcal{M}, \leq (ordre), \between (relation réflexive symétrique)) satisfaisant

a) pour Toute partie fermée majorée de \mathcal{M} est de type fini (i.e. réunion finie d'ens. \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X}) b)X \between Y, X' \leq X, Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y' !

au début de a), une formule de deux lignes est lourdement biffée

On aura alors \widetilde{\mathfrak{F}} = ens. des parties fermées de \mathcal{M}, de type fini, formées d'éléments deux à deux compatibles (pour \between)

At 3 Soient F, G \in \mathfrak{F} tels que \forall\, X \in \widetilde{F}, Y \in \widetilde{G}, on ait X \between Y, alors F \between G (i.e. F \vee G existe)

Critère de compatibilité par strates

At Les axiomes suivants concernent les relations entre \leq et \ll.

At 4 \forall\, F, G \in \mathfrak{F}, F \ll G \Longleftrightarrow \forall\, X \in \widetilde{F},\ \exists\, Y \in \widetilde{G},\ \text{t.q.\ } X \ll Y Ramène la connaissance de \ll dans \mathfrak{F} à celle de \underset{\mathcal{M}}{\ll}.

Critère de raffinement par strates [Corollaire F \leq G \Longrightarrow F \ll G]

At 6 ~~\forall~~ X, F \in \mathfrak{F}, X \triangleleft F (i.e. X \in \widetilde{F}), soit F^{X} = \lbrace Y \in \widetilde{F} \mid X \ll Y \rbrace. Alors F^{X} a un plus petit élément. le chiffre de « At 6 » est surchargé (un 6 sur un 5, semble-t-il) ; dans la deuxième mouture, l'axiome de la plus petite strate est At 5 (GF VI, p. 21-22)

Axiome de la plus petite strate, ou du raffinement interne

Notation X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \overset{\mathrm{déf}}{\Longleftrightarrow} X est plus petit élément de \widetilde{Y}^{X}, i.e. X \ll Y, et X \ll Y' \triangleleft Y \Rightarrow Y' = Y (ou X \in \mathrm{Omb}(Y)^{\circ}) — X raffinement interne de Y.

At 5 Si X \between Y (X, Y \in \mathcal{M}) alors X \ll Y \Rightarrow X \leq Y le 5 est écrit en surcharge, très appuyé, sur un autre chiffre (6 ?) ; au-dessus de « Si », le mot « figures » est ajouté et relié par un trait à la note marginale

on en conclut, dans une \widetilde{F}, \leq et \ll coïncident, ou encore, si F, G \in \mathcal{M} et F \between G, alors F \ll G \Leftrightarrow F \leq G.

équivalent à : si G, H des figures F \ll G \Rightarrow F \leq G — Critère des raffinements autonomes

At 7 Soient X, Y, Z \in \mathcal{M}, alors X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \Longrightarrow X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z le 7 est écrit en surcharge sur un autre chiffre

Transitivité des raffinements intérieurs les notes marginales de cette page, écrites en oblique dans la marge gauche en face de chaque axiome, sont soulignées et reliées aux axiomes par des traits

Traduction en termes de (\mathcal{M}, \leq, \ll, \widetilde{\mathfrak{F}})

\mathrm{At}_{\mathcal{M}}0\leq \Longrightarrow \ll \mathrm{At}_{\mathcal{M}}1Les \Phi \in \widetilde{\mathfrak{F}} fermés pour \leq \mathrm{At}_{\mathcal{M}}2Si \Phi \in \widetilde{\mathfrak{F}}, ~~toute partie~~ \Psi fermée de \Phi pour \leq, alors \Psi \in \widetilde{\mathfrak{F}}, et \widetilde{\mathfrak{F}} \neq \varnothing (i.e. \varnothing \in \widetilde{\mathfrak{F}}) \mathrm{At}_{\mathcal{M}}3Si \Phi, \Psi \in \widetilde{\mathfrak{F}} telles que \forall\, X \in \Phi, \forall\, Y \in \Psi, X \between Y (i.e. \exists\, \Phi \in \widetilde{\mathfrak{F}}, X, Y \in \Phi), alors \Phi \between \Psi (i.e. \Phi \cup \Psi \in \widetilde{\mathfrak{F}}).

« \Phi » rend sa capitale bouclée, comme dans la deuxième mouture ; dans la dernière parenthèse, le signe de compatibilité porte un \mathcal{M} en indice

~~\mathrm{At}_{\mathcal{M}}4 : \forall\, X \in \mathcal{M}, \Phi \in \widetilde{\mathfrak{F}}, posant \Phi^{X} = \lbrace Y \in \Phi \mid X \ll Y \rbrace, \Phi^{X} a un plus petit élément~~

\mathrm{At}_{\mathcal{M}}4 a) ~~Posons \forall\, X, Y \in \mathcal{M}, X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \overset{\mathrm{déf}}{\Longleftrightarrow} X minimal~~ Si X \ll Y, alors il y a un minimal dans \widetilde{Y}^{X} = \lbrace Z \in \widetilde{Y} \mid X \ll Z \rbrace ~~posons X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y si i.e. X \ll Y' \leq Y \Rightarrow Y' = Y~~

b) Alors X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y, X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y', Y \between Y' \Longrightarrow Y = Y' a) est un tissu de ratures et d'ajouts interlinéaires, dont l'ordre n'est pas sûr

\mathrm{At}_{\mathcal{M}}6 Si X \between Y, alors X \ll Y \Longrightarrow X \leq Y

\mathrm{At}_{\mathcal{M}}5 X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \Longrightarrow X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z les chiffres 6 et 5 sont écrits en surcharge et les deux lignes sont reliées par une flèche courbe qui les intervertit ; la numérotation At 5, At 6 de la page 5 et celle-ci ne se correspondent pas terme à terme, et elles restent telles quelles

J'ai exprimé At 5 \mathfrak{F} \widetilde{\mathfrak{F}}, mais directement en termes de (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between) note de sa main dans la marge gauche, avec une flèche vers « \mathrm{At}_{\mathcal{M}} » en haut de la page et une autre vers \mathrm{At}_{\mathcal{M}}6

D'autre part, pour des \mathfrak{F} à figures de type fini, bien connues l'élément de structure \widetilde{\mathfrak{F}} au profit de \between, et remplacer \mathrm{At}_{\mathcal{M}}1 à \mathrm{At}_{\mathcal{M}}3 par (a) et la

~~\mathrm{At}_{\mathcal{M}}() Toute partie fermée majorée de \mathcal{M} est de t.f.~~

Voir p. 5 (Toute partie fermée majorée de \mathcal{M} est de t.f.) et la condition b sur \between. (page 5)

i.e. X \between Y et X' \leq X, Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y' note oblique dans la marge gauche, en face de ces lignes ; elle redit la condition b) de la page 5

Dans le cas général, grâce à laquelle \between satisfait cette condition b) plus les conditions \mathrm{At}_{\mathcal{M}}4, 5, 6, on trouve \widetilde{\mathfrak{F}}_{\mathrm{tf}} = \text{ensemble des parties fermées } \Phi \text{ de t.f.\ de } (\mathcal{M}, \leq) \text{ telles que } X, Y \in \Phi \Rightarrow X \between Y . « \Phi de t.f. » est ajouté au-dessus de la ligne ; « telles que » est écrit au-dessus d'un mot biffé

Pour avoir \widetilde{\mathfrak{F}}, il faut cependant un choix de structure en plus : se donner certains antifiltres infinis dans l'ens. ordonné \widetilde{\mathfrak{F}}_{\mathrm{tf}} précédent…

On peut aussi interpréter \mathfrak{F} en termes de \mathfrak{F}^{*} = \lbrace \mathrm{Multomb}(F) \mid F \in \mathfrak{F} \rbrace \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) où \mathrm{Multomb}(F) = \lbrace \mathrm{Omb}(X) \mid X \in \widetilde{F} \rbrace , \qquad \mathrm{Omb}\, X = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \ll X \rbrace = \mathcal{M}_{\ll X} . (cf. Scholie GF p. 28, et axiomes, en nombre de p. 32), comme un sous-atelier (pas néc. spécieux) de \mathrm{Fig}(\mathcal{M}). dans \mathrm{Multomb}(F), un signe est biffé devant « Omb ». Les renvois sont à la deuxième mouture : GF VI, p. 28 porte le Scholie décrivant un atelier par \mathcal{M} et une famille \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M}), et p. 32 le Théorème-Scholie sur les conditions At*1 - At*5 (dossier 156-6, lot 2)

Je voudrais maintenant faire passer les axiomes de disjonction-compatibilité moins élégants avant ceux sur les lieux, pour ne pas les en faire dépendre. Les axiomes sont « facultatifs » pour un atelier, et il y aura pas mal d'implications mutuelles avec les axiomes sur les lieux.

Une notion essentielle ici est celle de « F et G disjointes » F \parallel G \overset{\mathrm{déf}}{\Longleftrightarrow} F \between G \text{ et } F \cap G = \varnothing_{\mathfrak{F}} notion qui ne dépend que de \leq. On a d'autre part F \parallel G \Longleftrightarrow \forall\, X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\ X \parallel Y d'où interprétation en termes de X \parallel Y dans \mathcal{M}, qui y signifie X \underset{\mathcal{M}}{\parallel} Y \Longleftrightarrow X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y \text{ et } \lbrace X, Y \rbrace \text{ n'est pas minoré dans } \mathcal{M}, \leq \text{, i.e.\ } \nexists\, Z \text{ avec } Z \leq X,\ Z \leq Y (NB Il résultera des axiomes précédents que indique que \nexists\, Z avec Z \ll X, Z \ll Y, ~~i.e.~~ et la réciproque résultera d'axiome ci-dessous…)

At DC 1 (Axiome des ateliers spécieux) Soient X, Y \in \mathcal{M}, K = X \cap Y = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z. Supposons que pour tous X', Y' \in \mathcal{M} X' \ll X,\ X' \parallel K,\ Y' \ll Y,\ Y' \parallel K \Longrightarrow X' \parallel Y' . Alors [NB il dans tous les cas… cf. Cor] X \between Y. dans la ligne centrale, un signe est biffé devant X' ; « cf. Cor » est écrit sous le crochet

Cor Soient F, G \in \mathfrak{F}, K = F \cap G = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{F} \cap \widetilde{G}} Z. Alors F \between G (ssi) \forall\, X, Y \in \mathcal{M}, X \ll F,\ Y \ll G,\ X \parallel K,\ Y \parallel K \Longrightarrow X \parallel Y . « ssi » (lecture incertaine) est cerclé ; le bas de la page, depuis « At DC 1 », est barré de trois longs traits obliques

Un atelier sera dit spécieux s'il satisfait cette condition contre-ex. : les lieux … note oblique dans la marge gauche, en face de At DC 1, coupée par l'un des traits de biffure ; lue en partie

J'explicite, à cause de son importance, la propriété suivante, bien qu'elle sera conséquence de diverses façons

~~At DC 1 : Soient X, Y \in \mathcal{M} avec X \between Y~~ avec X' \parallel X \cap Y = L, i.e. X' \parallel Z pour Z \leq X, Y

At Soient X' \ll X, ~~Y' \ll Y \Longrightarrow X' \parallel Y'~~ Y' \ll Y avec Y' \parallel L. Alors X' \parallel Y'

Cor 1 Soient F, G \in \mathfrak{F} avec F \parallel G. Alors F' \ll F, G' \ll G \Longrightarrow F' \parallel G'.

Cor. 2 Soient F, G \in \mathfrak{F}, F \between G , L = F \cap G, F' \ll F, G' \ll G. Supposons F' \parallel L, G' \parallel L, alors F' \parallel G'. depuis « At DC 1 » jusqu'ici, le haut de la page est barré de deux longs traits obliques ; le premier énoncé a d'abord été écrit avec X \between Y puis récrit, l'hypothèse X' \parallel X \cap Y = L étant ajoutée au-dessus de la ligne

NB Il choisi X' \between Y', alors X' \cap Y' = \varnothing immédiat ( Z \leq X', Z \leq Y' \Rightarrow Z \ll X, Z \ll Y, d'où Z \ll X \cap Y = L ; Z \leq X' \parallel L \Rightarrow Z \parallel L ; et Z \ll L et Z \parallel L \Rightarrow Z \mathrel{\overline{\parallel}} L = \varnothing ! note oblique dans la marge gauche, en face de ces énoncés, écrite ligne à ligne en formules ; l'ordre et plusieurs signes sont incertains

At DC 2 (Axiome des ateliers spécieux) Soient X, Y \in \mathcal{M}, K = X \cap Y = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z. Supposons que pour tous X', Y', avec X' \ll X, Y' \ll Y, X' \parallel K, Y' \parallel K, on ait X' \parallel Y'. Alors énoncé resté sans conclusion, encadré puis barré de traits obliques ; la ligne « Soient … Supposons que » est biffée à part

On voudrait la

Proposition 1 Soient F, G \in \mathfrak{F}, F \between G, L = F \cap G. Soient F' \ll F, G' \ll G. Alors F' \between G' \Longleftrightarrow F'_{L} \between G'_{L} ~~cf. GF VI, p. 73 — On a en tous cas \Longrightarrow. En effet,~~ Ceci est équivalent ( ) à l'ancien At 12, qui prend le nom la Proposition reprend celle de GF VI, p. 73-74, où la même équivalence (F' \between G' ssi F'|K \between G'|K) était ramenée à un « Cor. Main » puis posée en axiome At 12 (dossier 156-6, lot 4)

At CD 1 Soient X, Y ou ancien et X', Y' \in \mathcal{M}, X \between Y, X' \ll X, Y' \ll Y. Posons K = X \wedge Y = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z. Alors X'_{L} \between Y'_{L} (NB l'inverse toujours vrai) implique (cf. GF VI) X' \between Y' « At CD 1 » est écrit sur un premier « At DD 1 » (ou « At DC 1 ») ; l'énoncé pose K et conclut sur l'indice L, tel quel. Un trait vertical le borde à gauche

Cor. Main 1 (cf. la « propriété » ci-dessus) F \parallel G, F' \ll F, G' \ll G \Longrightarrow F' \parallel G'

Cor. Main 2 Si F \between G, F' \ll F, G' \ll G, alors F' \parallel G' \Longleftrightarrow F'_{L} \parallel G'_{L} devant l'équivalence, deux mots sont lus « pour que » sans certitude

Critère de compatibilité . Mais c'est faux dans le cas simplicial, ex : [dessin]. Mais on aura X'_{L} \parallel Y'_{L} \Longrightarrow X' \mathrel{\overline{\parallel}} Y' (c'est un contre-ex. à At 11, et At 11 p. 67, 68) longue note oblique dans la marge gauche, en face de At CD 1 et des corollaires. Le dessin est un losange contenant un cercle coupé par un diamètre vertical, avec de petites croix autour ; il n'est pas redessiné. Le renvoi « p. 67, 68 » est à GF VI, où At 11 est le principe de recollement des raffinements (dossier 156-6, lot 4). Le signe barré de la conclusion est lu \overline{\parallel} sans certitude

Forme affaiblie de la Propriété 1

~~At CD 1' Soient X, Y, X~~

Propriété 1'_{0} F, G, F', G' avec F \between G, F' \ll F, G' \ll G. Posons L = F \cap G, ~~et supposons F'_{L} \parallel G'_{L}~~ Alors F' \parallel G' \Longleftrightarrow F'_{L} \parallel G'_{L} l'indice de « 1'_{0} » (ici et dans At CD 1'_{0}) est un petit « o » sous le prime ; lecture incertaine. Un trait vertical borde l'énoncé à gauche

L'implication \Longrightarrow toujours valable. La validité de l'implication en sens inverse équivaut à :

At CD 1'_{0} Soient X, Y, X', Y' \in \mathcal{M}, X \between Y, X' \ll X, Y' \ll Y. Posons L = X \cap Y et supposons que X'_{L} \parallel Y'_{L} (i.e. \forall\, X'', Y'' \in \mathcal{M}, X'' \leq X', Y'' \leq Y', X'' \ll L, Y'' \ll L, on ait X'' \parallel Y'') Alors X' \parallel Y' (NB réciproque = sans At CD 1')

Critère de disjonction des raffinements de sous-figures note oblique dans la marge gauche, soulignée, en face de At CD 1'_{0}, que borde un double trait vertical

Cor. 1 Validité de Propriété 1'

Cor. 2 Si F, G, F' \in \mathfrak{F}, avec F \between G, F' \ll F, supposant F'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}} (où L = F \cap G), alors F' est disjoint de tout raffinement G' de G. dans « F, G, F' », le F' est écrit sur un autre signe

Cor. 3 Soient F \parallel G, alors F' \ll F, G' \ll G \Longrightarrow F' \parallel G'.

Corollaire 4 Soient F' \ll F, L \leq F, F'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}} \Rightarrow F' \parallel L Pour que F'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}}, il est n. et s. que F' \parallel L. Cela il suffit vraiment , i.e. F'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}} \Rightarrow F' \parallel L ( « » l'axiome ) deux notes obliques dans la marge gauche, en face des corollaires ; lecture en partie incertaine

J'ai tendance à regarder At CD comme « axiome obligatoire » pour les ateliers.

~~At CD 2 (Axiome des ateliers spécieux)~~

Propriété 2 (des « ateliers spécieux »). Soient F, G \in \mathfrak{F}, on ne suppose pas F \between G, mais soit L = F \cap G = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{F} \cap \widetilde{G}} Z . A Supposons que pour tout F' \ll F tel que F'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}} (i.e. F' \parallel L par At CD 1') et G' \ll G tel que G'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}} (i.e. G' \parallel L) on ait F' \parallel G'. Alors F \between G. un trait vertical borde l'énoncé à gauche ; « par At CD 1' » est ajouté au-dessus de « (i.e. F' \parallel L) »

Pour ceci, il ~~faudrait~~ faut qu'on ait l'axiome suivant

At CD 2 Soient X, Y \in \mathcal{M}, on on ne suppose pas X \between Y compatibles mais on introduit K = X \cap Y = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z. On suppose que pour tout X', Y' \in \mathcal{M} avec X' \ll X, X'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}} et Y' \ll Y, Y'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}}, on ait X' \parallel Y' . Alors X \between Y. l'énoncé introduit K et emploie l'indice L, tel quel ; le \parallel de la conclusion est repassé à l'encre

Critère de compatibilité des ateliers spécieux

Cet axiome n'est pas satisfait le plus souvent pour les ateliers dits « polyédraux », i.e. satisfaisant : ~~pour tout~~ deux multistrates, compatibles, minorées ~~disjointes~~ ont pour intersection une multistrate i.e. X \between Y, si X, Y dans \mathcal{M} (par ex. majorés) et minorés dans \mathcal{M}, alors ~~dans \mathcal{M}~~ X, Y ont un inf dans \mathcal{M}, i.e. X \wedge_{\mathfrak{F}} Y \in \mathcal{M}. Pour ceux-ci, les ajouts et ratures de cette phrase sont interlinéaires ; l'ordre de lecture n'est pas sûr

At CD 2' Soient X, Y \in \mathcal{M}, K = X \cap Y = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z. On suppose que \forall\, X', Y' \in \mathcal{M}, X' \ll X, X'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}}, Y' \ll Y, Y'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}}, on ait X' \parallel Y'. ~~Alors X \between Y.~~ Supposons de plus K \in \mathcal{M}, i.e. c'est un inf de X, Y dans \mathcal{M}. Alors X \between Y.

Critère de compatibilité pour ateliers polyédraux

NB ~~Chacune des deux conditions implique At CD 1_{0}.~~

N.B. Tous les ateliers que j'ai en vue sont intuitivement satisfaisant At CD 1_{0}, et l'un des deux axiomes At CD 2 ou At CD 2'. la ligne précédente est barrée de traits obliques ; celle-ci est bordée à gauche d'un double trait vertical, « l'un des deux axiomes » étant ajouté au-dessus de la ligne

L'intérêt des axiomes At CD, c'est de rendre superflue \between dans \mathcal{M}, contrôlée par les figures, i.e. ~~la propriété de \leq~~ dans \mathcal{M}, tel est le rôle crucial de cette notion de disjonction et dans la construction d'ateliers à partir de (\mathcal{M}, \leq, \ll ~~\between~~), ou maintenant en termes de (\mathcal{M}, \leq, \ll, \parallel_{\mathcal{M}}).

Attention La relation \parallel dans \mathcal{M} ne résulte pas comme dans \mathfrak{F} de la seule donnée de \leq — ici il faut voir (en l'absence de \between) primitive note oblique dans la marge gauche, au bas de la page, lue en partie ; le « \mathcal{M} » de la première ligne est souligné

Il serait donc intéressant de dégager les axiomes pertinents des ateliers spécieux ou polyédraux, en termes cette fois de (\mathcal{M}, \leq, \ll, \parallel) — en laissant de côté la donnée de \widetilde{\mathfrak{F}} (qui est explicite dans le cas des ateliers à figures de type fini..), et dans le cas général la donnée de \widetilde{\mathfrak{F}} se réduit à celle de certains antifiltres de \mathfrak{F} — i.e. d'une notion de familles loc. finies de strates..)

~~Dans le cas des ateliers spécieux, on a~~

~~Axiome(s) des~~

~~On voudrait que les~~ ces deux lignes sont barrées de cinq traits obliques

J'hésite sur un bon moyen , dans la formalisation \ll dans le cas d'un atelier simplicial (plus exactement polyédral). J'ai admis que \ll entre simplexes (d'un espace topologique, ou modéré, disons) était la relation \ll des figures ensemblistes, de sorte que j'ai accepté l'inclusion d'un \Delta^{1} dans un \Delta^{2} suivent deux petits dessins : un triangle dont la base porte deux points joints par un arc intérieur, et un triangle aplati dont un côté est doublé d'un arc ; entre eux, « ou »

ce qui me conduit à accepter des subdivisions de \Delta^{2} en deux triangles comme ceci dessin : un triangle aux trois sommets marqués d'un point, coupé par un arc joignant les deux sommets de la base, avec une petite croix au milieu de la base

ce que personne ne regarderait comme une subdivision simpliciale ! C'est la notion des simplexes affines dans un espace affine qui a guidé les yeux, et il faut utiliser

ici la notion de raffinement . Dans GF V p. 19, 20, il fallait supposer, pour F \overset{s}{\ll} G, dans a) ~~que~~ [au sens de \forall\, A \in F, G^{A} a un plus petit élément] que pour A \in F, B \in G, A \cap B soit ou bien vide, ou une ~~face de~~ sous-strate de A : En termes de la G sur |F|, i.e. une famille induite par G sur |F|, les B \in G vérifient que les traces sur |F| des \overset{\circ}{B} \cap |F| \neq \varnothing). ~~Cela signifie ceci~~ le renvoi est au chapitre V (dossier 156-5), p. 19-20 ; le petit « s » est écrit au-dessus du signe \ll. La fin du passage, depuis « En termes de », est barrée de cinq traits obliques et suivie d'une ligne biffée

Il faudra faire une opération séparée pour le critère de compatibilité ( « compatibilité stricte », ou « polyédrale ») — qui signifie que F \cup G figures ensemblistes, ~~familles~~ où F et G figures, mais que c'est une figure ensembliste polyédrale. « figures ensemblistes » est écrit au-dessus de « familles », souligné, ce dernier mot étant biffé

En résumé, ~~pour~~ pour la formulation des axiomes spécieux, il faut distinguer entre ceux relatifs aux « ateliers polyédraux », et ceux relatifs aux « ateliers spécieux ». Quand on en viendra aux plongements dans \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), dans le premier cas il faudra poser (pour les ateliers polyédraux ensemblistes, i.e. pas fondamentaux aux ateliers ensemblistes polyédraux, qui n'existent pas !) que \mathrm{Multomb}(F) \overset{\mathrm{pol}}{\ll} \mathrm{Multomb}\, G \Longrightarrow F \ll G . devant le premier « Multomb », une majuscule est biffée

ateliers GF VI p. 52 note oblique au bas de la marge gauche ; GF VI, p. 52, ouvre la discussion des ateliers « ensemblistes » (At ens 1 ; dossier 156-6, lot 3)

Définition Un ens. ordonné I est dit polyédral si deux éléments minorés ont un inf. ~~(NB Si I est fini, cela revient à ceci : I_{\leq x} et )~~ NB cela signifie que si x, y \in I sont tels que I_{\leq x} \cap I_{\leq y} \neq \varnothing, alors I_{\leq x} \cap I_{\leq y} a un plus grand élément. Quand est inductif (par ex. fini), il revient au même de dire que I_{\leq x} \cap I_{\leq y} est filtrant, ce qui signifie \forall\, x, y, x', y' \in I \text{ tels que } x', y' \leq x, y ,\quad \exists\, z \in I \text{ tel que } x', y' \leq z \leq x, y . la parenthèse biffée de la deuxième ligne est remplacée par l'ajout interlinéaire « NB cela signifie que si » ; dans la formule, un x' est écrit sur un autre signe

Sous cette forme, on voit que la condition est autoduale, et signifie donc aussi que deux éléments majorés de I ont un plus grand élément.

Cela signifie aussi de deux parties fermées strictes — ! longue note oblique dans la marge gauche, en face de la définition, lue seulement par fragments

Donc Supposons que \forall\, x, x' \in I tels que x' \leq x, I_{x' \leq \cdot \leq x} soit inductif ~~Alors~~ (p.ex. fini). Alors si I est polyédral, I^{\mathrm{op}} l'est, et l'inverse est vrai si les I_{x' \leq \cdot \leq x} sont inductifs.

Si \mathcal{A} = (\mathfrak{F}, \leq, \ll) est un atelier, F \in \mathfrak{F}, ~~la figure~~ F est dit polyédral si \widetilde{F} est polyédral, i.e. si deux strates de F non disjointes ont comme intersection une strate de F. L'atelier \mathcal{A} est dit polyédral si ~~toute~~ ses figures de \mathcal{A} est polyédrale, i.e. si on a ceci (en termes de \mathcal{M}) :

At pol 1 \forall\, X, Y \in \mathcal{M}, si X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y et X et Y non disjoints (i.e. \lbrace X, Y \rbrace minoré dans \mathcal{M}) alors \mathrm{Inf}^{\mathcal{M}, \leq}(X, Y) existe.

Définition des ateliers polyédraux, ou condition de bonne intersection

Un ens. ordonné I est dit simplicial, s'il est polyédral, et si pour tout x \in I, S = I_{\leq x} est un simplexe combinatoire, i.e. (\mathfrak{P}^{*}(J) = ens. des parties non vides de J) isomorphe à un ensemble ordonné \mathfrak{P}^{*}(J), où J est un ens. fini. Pour un ens. ordonné S, il revient au même de dire polyédral, que S est fini, que S est un simplexe combinatoire, ou que S a un plus grand élément, et que chaque élément non minimal a au moins deux prédécesseurs. [Alors on voit par induction sur card S que tout élément de S est la fin de cette phrase se lit mal : la place de l'ajout « polyédral » et la suite des conditions sont incertaines

le sup de l'un des des éléments minimaux qu'il majore, et si J est l'ens. de ces éléments minimaux, on trouve S \simeq \mathfrak{P}^{*}(J)…) Une ~~figure~~ figure F est dite (combinatoirement) simpliciale, si \widetilde{F} est simplicial — i.e. si elle est polyédrale, et si ses strates sont des simplexes combinatoires. Un atelier est dit (combinatoirement) simplicial si toutes ses figures sont simpliciales, i.e. il satisfait, en plus de At pol 1 ci-dessus, la condition

At simp 1 \forall\, X \in \mathcal{M}, ~~l'ens. \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} est un simplexe combinatoire, dans (\mathcal{M}, \leq), alors X a au moins deux éléments prédécesseurs~~ maximaux, i.e. \partial X \overset{\mathrm{déf}}{=} \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y < X \rbrace est vide, ou bien (X minimal dans (\mathcal{M}, \leq)) ou admet au moins deux éléments maximaux. la première rédaction, biffée sur trois lignes, est remplacée par la seconde ; « maximaux » est encadré avec la fin biffée ; au-dessus de « \overset{\mathrm{déf}}{=} », « \partial X a au moins deux éléments » est ajouté sans que sa place soit sûre. Dans « At simp 1 », le deuxième mot est lu sans certitude

J'en viens aux axiomes complémentaires

At C (~~Axiome~~ Critère de compatibilité des raffinements de sous-figures) Soient X, Y, X', Y' \in \mathcal{M} avec X' \ll X, Y' \ll Y, X \between Y. Soit L = X \cap Y (= \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \lbrace Z \in \mathcal{M} \mid Z \leq X, Y \rbrace), soient X'_{L} = X'.L = \mathrm{Inf}^{\ll}(X, L) = \lbrace X'' \in \widetilde{X}' \mid X'' \ll L \rbrace, et Y'_{L} = Y'.L = \dots, les raffinements de L induits par X', Y' respectivement. ~~Alors~~ [On sait déjà que X' \between Y' \Rightarrow X'_{L} \between Y'_{L}] Alors X'_{L} \between Y'_{L} \Longrightarrow X' \between Y' . « \mathrm{Inf}^{\ll}(X, L) » ainsi, pour \mathrm{Inf}^{\ll}(X', L)

Le formule de suite en termes de prop. ? note oblique dans la marge gauche, en face de At C

Cet axiome vise à la validité de la

Proposition Soient F, G, F', G' \in \mathfrak{F}, avec F' \ll F, G' \ll G, F \between G (i.e. F, G sous-figures d'une même figure H). Soit L = F \cap G, F'_{L} = F'.L, G'_{L} = G'.L. Alors F' \between G' \Longleftrightarrow F'_{L} \between G'_{L} . At C et cette Proposition reprennent At CD 1 et la Proposition 1 de la page 8, et, au-delà, la Proposition et At 12 de GF VI, p. 73-76

Au point de vue ensembliste, pour les supports des Multomb correspondants, on trouve la figure suivante (où H = F \vee G)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & \mathrm{Omb}\, H \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \\ & \mathrm{Omb}\, F \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \mathrm{Omb}\, G \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\ \mathrm{Omb}\, F' \arrow[dr, no head] & & \mathrm{Omb}\, L \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \mathrm{Omb}\, G' \arrow[dl, no head] \\ & \mathrm{Omb}\, F'_{L} & & \mathrm{Omb}\, G'_{L} & \end{tikzcd}

sur la page, les termes sont reliés par de simples traits, sans flèches

où chacun des trois carrés est cartésien. Itou pour les déploiements

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & \widetilde{H} & & \\ & \widetilde{F} \arrow[ur, hook] & & \widetilde{G} \arrow[ul, hook'] & \\ & & \widetilde{L} \arrow[ul, hook'] \arrow[ur, hook] & & \widetilde{G}' \arrow[ul] \\ \widetilde{F}' \arrow[uur] & & & & \\ & \widetilde{F}'_{L} \arrow[ul, hook'] \arrow[uur] & & \widetilde{G}'_{L} \arrow[uul] \arrow[uur, hook] & \end{tikzcd}

les flèches à crochet (inclusions) et les flèches simples sont données comme elles sont tracées ; la disposition est celle de la page, en losange

La compatibilité de F' et G' signifie que \forall\, X' \in \widetilde{F}', Y' \in \widetilde{G}', on a X' \between Y' — et la proposition dit qu'il suffit de le vérifier pour les strates X', Y' telles que X' \in \widetilde{F}'_{L}, Y' \in \widetilde{G}'_{L}, i.e. telles que X' \ll L, Y' \ll L (ce qui équivaut d'ailleurs à : ~~X' \ll G,~~ X' \ll G, Y' \ll F). d'où découle la conséquence

At D (~~Axiome~~ Critère de disjonction des raffinements de sous-figures) Soient X, Y, X', Y' \in \mathcal{M}, avec X' \ll X, Y' \ll Y, X \between Y. Soit L = X \cap Y. [On sait déjà que X' \parallel Y' \Rightarrow X'_{L} \parallel Y'_{L}] Alors X'_{L} \parallel Y'_{L} \Longrightarrow X' \parallel Y' un trait vertical borde l'énoncé à gauche

Visée : la validité de la

Proposition Données comme dans prop. précédente. Alors F' \parallel G' \Longleftrightarrow F'_{L} \parallel G'_{L}

Cor. Main 1 (At \mathrm{D}_{0}) ~~Soient~~ F, G, F', G' avec F \parallel G, F' \ll F, G' \ll G, alors F' \parallel G'.

cf. ( Cor. 2') note oblique dans la marge gauche ; une accolade y réunit la Proposition et le Cor. Main 1

At pol 1 (~~Axiome~~ Critère de compatibilité pour ateliers polyédraux) Soient X, Y \in \mathcal{M}. On ne suppose pas X, Y compatibles, on introduit pourtant L = X \cap Y = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z, figure telle que \widetilde{L} = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}. Supposons que pour tout X', Y' \in \mathcal{M}, avec X' \ll X, Y' \ll Y, X'_{L} = \varnothing, Y'_{L} = \varnothing, on ait X' \parallel Y' . ~~Alors~~ Supposons de plus que L = \varnothing ou L \in \mathcal{M}, i.e. \lbrace X, Y \rbrace s'il est minoré a un Inf dans (\mathcal{M}, \leq). Alors X \between Y. le numéro de « At pol 1 » est écrit en surcharge ; il reprend le nom de la condition de bonne intersection de la page 13 pour un autre énoncé. Dans la ligne de X', Y', un passage d'environ deux mots est lourdement biffé

On ne veut pas cet axiome, dans . il suffit compatibilité — . L'axiome avec At \mathrm{D}_{0} longue note oblique dans la marge gauche, en face de At pol 1, lue en partie ; ses dernières lignes sont barrées de traits obliques

Visée : la validité de la proposition

Prop. (Moyennant At pol 1) Soient F, G \in \mathfrak{F}. Soit L = F.G. On ne suppose pas F \between G. ~~Supp~~ Alors F \between G ssi les conditions suivantes sont satisfaites :

(i)\forall\, X \in \widetilde{F}, Y \in \widetilde{G}, tels que \lbrace X, Y \rbrace soit minoré dans \mathcal{M}, X \cap Y \in \mathcal{M}, i.e. ~~Supp.~~ \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} est vide ou a un plus grand élément (ii)\forall ~~X, Y~~ X, Y \in \mathcal{M}, X avec X \ll F, Y \ll G, X_{L} = \varnothing, Y_{L} = \varnothing, on ait X \parallel Y

« L = F.G » ainsi, avec le point de l'intersection fine ; « ssi » est lu sans certitude

\begin{tikzcd}[column sep=small] \mathrm{Omb}\, F \arrow[dr, hook] & & \mathrm{Omb}\, G \arrow[dl, hook'] \\ & \mathrm{Omb}(F) \cap \mathrm{Omb}(G) \arrow[d, hook] & \\ & \mathrm{Omb}(L) & \end{tikzcd}

schéma de sa main en haut de la page, sans texte qui l'introduise ; les traits se terminent par un petit crochet, rendu par des flèches à crochet dans le sens où ils sont tracés. Il se rapporte à la Proposition de la page 16, où L = F.G

At spéc (Critère de compatibilité pour ateliers dits spécieux) Comme At pol, mais en supprimant la condition sur L (L = \varnothing ou L \in \mathcal{M}).

Proposition correspondante pour ateliers spécieux : comme prop. ci-dessus, en supprimant (i).

NB \begin{array}{l} \mathrm{At\ D} + \mathrm{At\ spéc} \Longrightarrow \\ \mathrm{At\ D} + \mathrm{At\ pol} \Longrightarrow \end{array} \quad \mathrm{At\ C} \Longrightarrow \mathrm{At\ D} \Longrightarrow \mathrm{At\ D}_{0} . sur la page, les deux premières implications convergent vers « At C » ; le « NB » est dans la marge gauche, en face

il suffit ici d'avoir At D', forme affaiblie de At D, où on affirme seulement (pour X'_{L} = \varnothing, Y'_{L} = \varnothing) \Longrightarrow X' \parallel Y' (NB At D' \Longrightarrow At \mathrm{D}_{0}) note oblique dans la marge gauche, reliée par une flèche aux deux implications « \Longrightarrow At C »

At fil (Critère des Sup filtrants) loc. finis Soient F \in \mathfrak{F}, (F_{i})_{i \in I} une famille filtrante croissante (pour \leq) de raffinements F_{i} \ll F, « localement finie dans F » i.e. \forall\, X \in \widetilde{F}, la famille des F_{i} | X est stationnaire. Alors \mathop{\mathrm{Sup}} F_{i} existe dans \mathfrak{F}, \leq. « loc. finis » est ajouté au-dessus de la parenthèse ; « (pour \leq) » au-dessus de « croissante », un mot biffé dessous

On voudrait supposer \ll aussi (i \leq j \Rightarrow F_{i} \ll F_{j}) ? (et F_{i} \leq F_{j}) (et prendre \mathrm{Sup} pour \ll ??) note oblique dans la marge gauche, en face de At fil

Cor. Main 1 (Moyennant At C) Recollement des raffinements, quand F = \mathop{\mathrm{Sup}} F_{i} (deux versions, suivant qu'on recolle sur des sous-figures de F, ou sur ses strates) le recollement des raffinements était l'axiome At 11 de GF VI, p. 67-70 ; il devient ici un corollaire

Corollaire 2 Énoncé analogue à At fil, mais avec (F_{i}) filtrants croissants pour \ll et \leq.

At supp (Axiome des supports d'un raffinement) Soient F, X \in \mathcal{M} , G \ll X. Supposons \exists\, Y \in \mathcal{M} avec Y \parallel G, Y \mathrel{\overline{\parallel}} X. Alors ~~on peut~~ il existe une telle Y (choisie) avec Y \ll X. « G » est écrit sur un F ; un trait vertical borde l'énoncé à gauche

Peut-être y a-t-il lieu de renforcer : Pour Y donnée, Y \parallel G, Y \mathrel{\overline{\parallel}} X, \exists\, Y' \in \mathcal{M}, avec Y' \ll X, telle que Y' \parallel G, Y' \mathrel{\overline{\parallel}} Y ~~(ou )~~. Ceci est lié à la question de l'étude de l'ombre « complémentaire » de G… Où veut-on en venir… longue note oblique dans la marge gauche, en face de At supp et de la Prop. qui suit ; la conclusion « Y' \ll X » est écrite sur un F

Prop. Idem pour At supp, avec X remplacé par une figure F quelconque (G \ll F).

Question : Quand Y \parallel G, Y \mathrel{\overline{\parallel}} F, peut-on trouver Y' \ll Y avec Y' \ll F ? (On trouverait ~~alors~~ automatiquement Y' \parallel G, par At D.) (Cela serait so, le « ».) Mais moyennant At L 1, notre At 8) Y est un lieu, disons x, et la première question x \mathrel{\overline{\parallel}} Y \Longleftrightarrow x \ll Y \quad \text{i.e.\ } x \in \mathrm{omb}(Y) \qquad (\Longleftarrow \text{ est évident}) i.e. x \parallel Y \Longleftrightarrow x \notin \mathrm{omb}(Y) devant « x \notin », un « x \parallel » suivi d'un mot est biffé Mais ceci n'est guère vérifié que pour les ateliers ensemblistes. Notons pourtant

At ens D (Critère de disjonction ensembliste) ~~Pour que~~ Soient X, Y \in \mathcal{M}. Pour que X \parallel Y, il ~~suffit~~ (faut et) suffit que \mathrm{Omb}(X) \cap \mathrm{Omb}(Y) = \varnothing, i.e. qu'il n'existe pas de Z \in \mathcal{M} avec Z \ll X, Z \ll Y. « At ens » est souligné ; le mot qui le suit, biffé, semble « Disj » ou « D ». L'énoncé est encadré de parenthèses à gauche ; « (faut et) » est ajouté au-dessus de « suffit »

Cor 1 Itou pour figures F, G : F \parallel G \Longleftrightarrow \mathrm{Omb}\, F \cap \mathrm{Omb}\, G = \varnothing

Cor 2 Soient x \in \mathcal{L}, F \in \mathfrak{F}. Alors x \parallel F \Longleftrightarrow x \not\ll F \quad \text{i.e.\ } x \notin \mathrm{omb}(F)

Cor. 3 Soient x, y \in \mathcal{L}, alors x \parallel y \Longleftrightarrow x \neq y .

NB On a trivialement \mathrm{At\ ens\ D} \Longrightarrow \mathrm{At\ supp} . au-dessus de la formule, un premier « At supp » est biffé On notera que At supp est vérifié dans les ateliers auxquels j'ai songé jusqu'à présent pratiques, mais non At ens D.

un trait horizontal, au milieu de la page, sépare ce qui suit

J'en viens aux axiomes impliquant les lieux (At L 1, 2, 3)

At L 1 (Axiome de divisibilité) Soit X \in \mathcal{M}, alors \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \varnothing i.e. \exists\, x \in \mathcal{L} avec x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X. un trait vertical borde l'énoncé à gauche ; dans la deuxième mouture, c'est l'axiome des lieux At 8, (1.52) \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \varnothing (GF VI, p. 45)

Cet axiome d'apparence anodine implique pourtant (ce qui signifie, ) que les « espaces » ou « contrées » qu'on décrit par des ateliers, sont « infiniment divisibles », et en particulier (quand ils ne sont pas discrets) sont infinis : c'est l'introduction du « l'infini actuel » tout court !

At L 2 (Critère de disjonction par les lieux) Soient X, Y \in \mathcal{M}. Alors X \parallel Y \Longleftrightarrow \forall\, x \in \mathrm{omb}(X),\ y \in \mathrm{omb}\, Y,\ \text{on a } x \parallel y (À ne pas confondre avec \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \varnothing !) dans la deuxième mouture, ce critère était At 9 (GF VI, p. 61)

Cor Soient F, G \in \mathfrak{F}. Alors F \parallel G \Longleftrightarrow \forall\, x \in \mathrm{omb}(F),\ y \in \mathrm{omb}(G),\ \text{on a } x \parallel y ce corollaire est écrit à gauche, en retrait sur la marge, entre At L 2 et At L 3

At L 3 (~~Axiome~~ Critère de disjonction pour les lieux) Soient X, Y \in \mathcal{M}, X \between Y, X \neq Y. Alors x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ} \Longrightarrow x \parallel y

équivalent, moyennant L 2, à note oblique dans la marge gauche, en face de At L 3

Équivalent à

Cor Soit F \in \mathfrak{F}. Alors deux lieux appartenant aux intérieurs de deux strates distinctes de F sont disjoints.

NB Quand on admet At D, alors il suffit de poser At L 3 dans le cas Y \leq X.

Si on admet At L 2, alors At At C (~~pol~~) spéc prend la forme

At CL (spéc) (Critère de compatibilité par les lieux, pour ateliers ~~polyédraux~~ spécieux) Soient X, Y \in \mathcal{M}, L = X \cap Y = \mathop{\mathrm{Sup}}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z. Alors pour que X et Y soient comp., ~~il suffit~~ il suffit que \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), y \in \mathrm{omb}(Y) - \mathrm{omb}(L), on ait x \parallel y. l'énoncé est bordé à gauche d'un trait vertical ; « spécieux » est écrit au-dessus de « polyédraux » biffé, et le mot entre parenthèses après « At CL » semble « spéc » écrit sur « pol » ; l'ajout « il suffit que » est lu sans certitude

Vaut-il mieux poser : il faut et il suffit ? note oblique dans la marge gauche, en face de At CL

En effet, ~~la condi~~ dans l'énoncé de ~~At spéc~~ At spéc avec X, Y, L : X' \ll X, Y' \ll Y, la condition X'_{L} = \varnothing, Y'_{L} = \varnothing \Rightarrow X' \parallel Y', cette dernière condition s'explicite, par L 2, par « At spéc » est écrit dans la marge gauche, souligné, en face de « En effet » ; la page s'arrête sur « par », la suite au lot 2