Cote n° 156-7 · pages 1–113 · Lecture modernisée · [Chapitre] VII. Analysis situs (troisième mouture) : notes manuscrites (23-26/06/1986) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les feuillets portent sa pagination 1 à 113, qui coïncide avec celle des archivistes. La page 1 porte « Analysis situs (troisième mouture) » et, dans un angle, « GF VII ». Le dossier se lit comme une suite de stations ; il se reprend lui-même plusieurs fois, et ces reprises sont gardées distinctes.

1. 1.Les données d'un atelier et les axiomes du « gros œuvre » (pages 1 à 6, 23 juin) : figures, sous-figures, raffinements, multistrates, lieux ; axiomes At 1 à At 7 ; traduction en termes de multistrates.
2. 2.Disjonction et compatibilité (pages 7 à 12) : ateliers « spécieux » et « polyédraux ».
3. 3.Ensembles ordonnés polyédraux et simpliciaux (pages 13 et 14).
4. 4.Axiomes complémentaires (pages 14 à 19) : At C, At D, At C (pol), At C (spéc), At fil, At supp, At ens D.
5. 5.Les axiomes des lieux (pages 19 à 23) : divisibilité At L 1, At L 2, At L 3, At CL ; tableau des implications, récapitulation.
6. 6.Reconstruire un atelier à partir des lieux (pages 24 à 38) : axiomes ML, Théorème-Scholie.
7. 7.Une partie dense \(\Lambda\) (pages 39 à 49, 24 juin à la page 45) : première reprise, qui finit par « On tourne en rond ! ».
8. 8.Préateliers (pages 50 à 53) : récapitulation, trois axiomatiques.
9. 9.Ateliers ensemblistes et quasi-ensemblistes (pages 54 à 60, 25 juin).
10. 10.Supports (pages 61 à 68).
11. 11.Réalisations par des points (pages 69 à 80, 25 juin à la page 69).
12. 12.La ficelle à deux brins (pages 81 à 83) : les supports ne sont pas distributifs.
13. 13.L'intérieur d'une multistrate (pages 84 à 100, 26 juin à la page 99).
14. 14.Magasins (pages 101 à 113) : la relation « intérieurement disjoints » devient primitive ; « Je reprends tout, une nouvelle fois ! ».

Les moutures. Le dossier est la troisième de quatre rédactions d'un même Analysis situs : la première est le chapitre IV (dossier 156-4, 10 juin), la deuxième le chapitre VI (dossier 156-6, 18-20 juin), la quatrième le chapitre VIII (dossier 156-8, du 26 juin au 4 juillet). Entre elles, le chapitre V (dossier 156-5) est une « algèbre des figures ». Celle-ci renvoie explicitement à la deuxième — « GF VI, p. 28, 32, 51, 52, 67, 68, 73 » — ainsi qu'aux chapitres V et III — « GF V p. 19, 20 », « GF III ». Elle commence par récapituler les axiomes de la deuxième, les renumérote, en change le statut (le recollement des raffinements, axiome At 11 de la deuxième mouture, devient ici un corollaire), et finit sur une notion, le magasin, dont la quatrième mouture fait son point de départ.

Conventions. \(\mathfrak{F}\) est l'ensemble des figures d'un atelier, \(\leq\) la relation « sous-figure de », \(\ll\) la relation « raffine ». \(\mathcal{M}\) est l'ensemble des multistrates, \(\mathcal{L} \subset \mathcal{M}\) celui des lieux. Pour une figure \(F\), \(\widetilde{F} = \{X \in \mathcal{M} \mid X \leq F\}\) est l'ensemble de ses strates, et pour \(X \in \mathcal{M}\), \(\partial X = \widetilde{X} \smallsetminus \{X\}\). La compatibilité est notée \(\between\), la disjonction \(\parallel\), la non-disjonction \(\nparallel\). La grande ombre de \(X\) est \(\mathrm{Omb}(X) = \{Y \in \mathcal{M} \mid Y \ll X\}\), sa petite ombre \(\mathrm{omb}(X) = \mathrm{Omb}(X) \cap \mathcal{L}\), et \(\mathrm{omb}(X)^{\circ}\) l'ensemble des lieux de \(X\) qui ne raffinent aucune strate propre de \(X\). Pour deux multistrates \(X, Y\), \(L = X \cap Y\) désigne toujours la sous-figure commune, de strates \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\) — jamais l'intersection « fine » \(X \cdot Y\). Pour \(F' \ll F\) et \(L \leq F\), \(F'_{L}\) est la sous-figure de \(F'\) formée des strates qui raffinent \(L\).

À partir de la page 84, trois notions d'intérieur d'une multistrate se succèdent, et un lecteur risque de lire la troisième comme la première. On les note \(X^{\circ}_{\mathrm{s}} = \mathrm{supp}\, X \cap \mathrm{cosupp}\, \partial X\) (page 84), \(X^{\circ} = \{Y \in \mathrm{Omb}(X) \mid Y \parallel \partial X\}\) (page 89) et \(X^{\circ}_{\ell} = \mathrm{Supp}\, \mathrm{omb}(X)^{\circ}\) (page 99) ; les pages, elles, écrivent \(X^{\circ}\) pour les trois. De même le mot « support » a deux sens : un support abstrait est une partie de \(\mathcal{M}\) fermée pour la fermeture de Galois de la disjonction (pages 61 à 68) ; le support ponctuel \(|X|\) est une partie d'un ensemble de points \(P\) (pages 72 à 80). Enfin la relation « intérieurement disjoints » des pages 101 à 113 est notée \(X \mathrel{|{\circ}|} Y\), comme il la dessine.

Les étiquettes des axiomes sont les siennes, avec une exception : deux énoncés différents portent sur la page le nom « At pol 1 » (pages 13 et 16), et le second, comme « At spéc » (page 17), est appelé ici At C (pol), resp. At C (spéc), comme le fait sa propre récapitulation de la page 23. Plusieurs suites de lemmes recommencent à 1 (pages 21, 25, 48, 55, 89, 97) ; on les cite avec leur page.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : les implications b) à d) du tableau de la page 22 ; que les axiomes M\(\Lambda\) 0 à M\(\Lambda\) 5 de la page 42 suffisent ; l'assertion (i b) de la page 54 ; les parties (b) et (c) du théorème de la page 93 ; l'énoncé (b) et l'inclusion \(\supset\) de (a) à la page 100 ; la réciproque de la proposition de la page 104 ; la version « polyédrale » du magasin annoncée à la page 102.

1–6

Les données d'un atelier et le gros œuvre (pages 1 à 6)

Les données

Le 23 juin, il récapitule « les données et axiomes d'une algèbre de figures, ou atelier », en se limitant aux axiomes purement « algébriques » : ni dimension, ni connexité, ni régularité topologique, ni combinatoire des simplexes. Parmi les axiomes, sept sont dits « sine qua non » ; les autres seront « plus ou moins facultatifs », mais pourront devenir cruciaux « dès qu'il s'agira d'un travail sur pièces dans le contexte d'un atelier définissant une contrée ». La notion fondamentale, dit-il, est celle de figure, et non celle de multistrate ou de lieu : on manipule plus commodément les figures si l'on peut traiter multistrates et lieux comme des figures particulières.

Un atelier est un ensemble \(\mathfrak{F}\) muni de deux relations d'ordre, \(\leq\) (« sous-figure ») et \(\ll\) (« raffinement »), avec

\[ \textbf{At 0} \qquad F \leq G \Longrightarrow F \ll G , \]

axiome « si évident » qu'il ne le numérote pas. Viennent ensuite :

1. (a)la somme \(F \vee G\), borne supérieure pour \(\leq\) quand elle existe — c'est alors aussi une borne supérieure pour \(\ll\), alors qu'une borne supérieure pour \(\ll\) n'en est pas forcément une pour \(\leq\) ;
2. (b)l'intersection \(F \cap G = \mathrm{Inf}^{\leq}(F, G)\), qui existe toujours, même pour une famille infinie non vide ; quand \(F \vee G\) existe, c'est aussi la borne inférieure pour \(\ll\) ;
3. (c)l'intersection fine \(F \cdot G = \mathrm{Inf}^{\ll}(F, G)\), quand elle existe ;
4. (d)la figure vide \(\varnothing_{\mathfrak{F}}\), plus petit élément pour les deux ordres¹ .

Les multistrates (ou figures élémentaires) sont les figures strictement irréductibles pour \(\leq\)² , avec les ordres induits ; les lieux sont les éléments minimaux de \(\mathfrak{F} \smallsetminus \{\varnothing_{\mathfrak{F}}\}\) pour \(\ll\), et ce sont des multistrates. Les strates d'une figure \(F\) sont les multistrates \(X \leq F\) ; leur ensemble \(\widetilde{F}\) est le déploiement de \(F\), et l'on écrit \(X \triangleleft F\) (« \(X\) incident à \(F\) ») pour \(X \in \widetilde{F}\).

Trois lectures de \(F\) sont distinguées dès la page 2 : comme partie ordonnée \(\widetilde{F}\) de \(\mathcal{M}\) ; comme figure ensembliste dans \(\mathcal{M}\), la grande multiombre \(\mathrm{Multomb}(F) = \{\mathrm{Omb}(X) \mid X \in \widetilde{F}\}\), de support la grande ombre \(\mathrm{Omb}(F)\) ; comme figure ensembliste dans \(\mathcal{L}\), la petite multiombre \(\mathrm{multomb}(F)\), de support la petite ombre \(\mathrm{omb}(F)\). L'ombre seule ne permet « pratiquement jamais » de reconstituer \(F\) ; le déploiement et la multiombre le permettent.

Les axiomes « sine qua non » (pages 4 et 5)

Les trois premiers ne portent que sur \((\mathfrak{F}, \leq)\), les quatre suivants lient \(\leq\) et \(\ll\)³ .

1. At 1\(\mathfrak{F} \neq \varnothing\), et toute famille majorée (pour \(\leq\)) a une borne supérieure. (Axiome des sommes majorées.)
2. At 2Toute figure est la borne supérieure de ses strates : \(F = \mathrm{Sup}_{X \in \widetilde{F}} X\). De façon équivalente, \(F \leq G\) si et seulement si toute strate de \(F\) est sous une strate de \(G\). (Axiome des strates.)
3. At 3Si toute strate de \(F\) est compatible avec toute strate de \(G\), alors \(F\) et \(G\) sont compatibles — où \(F \between G\) veut dire que \(\{F, G\}\) est majorée, c'est-à-dire que \(F \vee G\) existe. (Critère de compatibilité par strates.)
4. At 4\(F \ll G\) si et seulement si toute strate de \(F\) raffine une strate de \(G\). (Critère de raffinement par strates.)
5. At 5Pour des multistrates compatibles \(X \between Y\), \(X \ll Y \Rightarrow X \leq Y\). Dans un même déploiement, \(\leq\) et \(\ll\) coïncident.
6. At 6Si \(X \in \mathcal{M}\) raffine \(F\), l'ensemble \(\{Y \in \widetilde{F} \mid X \ll Y\}\) a un plus petit élément⁴ . (Axiome de la plus petite strate.)
7. At 7Pour \(X, Y, Z \in \mathcal{M}\), \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \Rightarrow X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z\). (Transitivité des raffinements intérieurs.)

Ici \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y\), « \(X\) est un raffinement intérieur de \(Y\) », signifie que \(Y\) est le plus petit élément de \(\{Y' \in \widetilde{Y} \mid X \ll Y'\}\) : \(X \ll Y\), et \(X\) ne raffine aucune strate propre de \(Y\)⁵ . La page 6 ajoute deux formes de At 6 en termes de multistrates : si \(X \ll Y\) il y a un \(Z \leq Y\) avec \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z\), et si \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y\), \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y'\) avec \(Y \between Y'\), alors \(Y = Y'\).

Traduction en termes de multistrates (pages 4 à 6)

At 1 et At 2 disent que \(F \mapsto \widetilde{F}\) identifie \(\mathfrak{F}\) à un ensemble \(\widetilde{\mathfrak{F}}\) de parties de \(\mathcal{M}\) telles que : ce sont des parties fermées vers le bas pour \(\leq\) ; toute partie fermée d'un élément de \(\widetilde{\mathfrak{F}}\) en est un ; elles recouvrent \(\mathcal{M}\) ; la partie vide en est une ; et toute famille majorée a une borne supérieure dans \((\widetilde{\mathfrak{F}}, \subset)\). Indépendamment de l'ordre, on peut demander que chaque \(X\) appartienne à un plus petit élément de \(\widetilde{\mathfrak{F}}\), qui est alors \(\widetilde{X}\).

Quand les figures sont de type fini — réunions finies d'ensembles \(\widetilde{X}\) — toute la donnée \((\mathfrak{F}, \leq)\) se reconstitue à partir de \((\mathcal{M}, \leq, \between)\), où la compatibilité est réflexive, symétrique, et héréditaire : \[ X \between Y,\ X' \leq X,\ Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y' . \] Les figures sont alors exactement les parties fermées de type fini de \(\mathcal{M}\) formées d'éléments deux à deux compatibles⁶ . Dans le cas général, il faut une donnée de plus : « certains antifiltres infinis », c'est-à-dire une notion de famille localement finie de strates. Enfin, avec \(\ll\) sur \(\mathcal{M}\), l'atelier se lit aussi comme sous-atelier \(\{\mathrm{Multomb}(F)\}\) de l'atelier ensembliste \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\), par \(\mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X}\)⁷ .

7–12

Disjonction et compatibilité : ateliers spécieux et polyédraux (pages 7 à 12)

Il fait passer maintenant les axiomes de disjonction-compatibilité avant ceux des lieux, « pour ne pas les en faire dépendre ». Deux figures sont disjointes si \[ F \parallel G \iff F \between G \ \text{et}\ F \cap G = \varnothing_{\mathfrak{F}} , \] notion qui ne dépend que de \(\leq\), et qui se teste strate par strate : \(F \parallel G\) si et seulement si \(X \parallel Y\) pour toutes strates \(X\) de \(F\), \(Y\) de \(G\). Pour des multistrates, \(X \parallel Y\) signifie \(X \between Y\) et qu'aucune multistrate n'est sous les deux.

Le premier axiome tenté (At DC 1, page 7) est barré, et la page 8 en reformule le contenu. Ce qui reste, sous les noms qu'il fixera à la page 14, est ceci. Soient \(F \between G\), \(L = F \cap G\), et des raffinements \(F' \ll F\), \(G' \ll G\) ; on note \(F'_{L}\) et \(G'_{L}\) les sous-figures de \(F'\) et \(G'\) formées des strates qui raffinent \(L\) — les raffinements de \(L\) « induits » par \(F'\) et \(G'\)⁸ . La Proposition 1 souhaitée est \[ F' \between G' \iff F'_{L} \between G'_{L} , \] dont le sens \(\Rightarrow\) est automatique ; le sens \(\Leftarrow\) est l'axiome At CD 1 (futur At C), qui « équivaut à l'ancien At 12 »⁹ . Ses corollaires (Cor. Main 1 et 2) : la disjonction est stable par raffinement — \(F \parallel G\), \(F' \ll F\), \(G' \ll G \Rightarrow F' \parallel G'\) — et, pour \(F \between G\), \(F' \parallel G' \iff F'_{L} \parallel G'_{L}\).

À la page 9, la forme affaiblie (Propriété \(1'_{0}\), axiome At CD \(1'_{0}\)) ne demande que la disjonction : sous \(F \between G\), \(F' \parallel G' \iff F'_{L} \parallel G'_{L}\), le sens \(\Rightarrow\) étant toujours vrai¹⁰ . Elle donne qu'un raffinement \(F'\) de \(F\) avec \(F'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}}\) est disjoint de tout raffinement de \(G\), et qu'en général \(F'_{L} = \varnothing_{\mathfrak{F}}\) équivaut à \(F' \parallel L\). « J'ai tendance à regarder At CD comme axiome obligatoire pour les ateliers. »

Reste le cas où l'on ne suppose pas \(F\) et \(G\) compatibles. Avec \(L = F \cap G\) — qui existe, la famille des strates communes étant majorée —, la Propriété 2 des ateliers « spécieux » dit : si tout raffinement \(F'\) de \(F\) avec \(F'_{L} = \varnothing\) est disjoint de tout raffinement \(G'\) de \(G\) avec \(G'_{L} = \varnothing\), alors \(F \between G\). Pour les multistrates c'est l'axiome At CD 2, critère de compatibilité des ateliers spécieux. Il n'est pas satisfait, le plus souvent, par les ateliers polyédraux — ceux où deux multistrates compatibles qui ont une sous-multistrate commune ont pour intersection une multistrate — et il faut pour eux l'axiome At CD 2', qui demande de plus que \(L\) soit vide ou une multistrate. Tous les ateliers qu'il a en vue satisfont \(1'_{0}\) et l'un des deux. La différence est géométrique : dans le cas spécieux, deux triangles qui ne se rencontrent qu'en deux sommets, sans partager le côté qui les joint, sont compatibles ; dans le cas polyédral, non.

L'intérêt de ces axiomes, dit la page 10, est de rendre la compatibilité dans \(\mathcal{M}\) superflue : elle se déduit de la disjonction, et l'on peut chercher les axiomes en termes de \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \parallel)\) — « Attention, la relation \(\parallel\) dans \(\mathcal{M}\) ne résulte pas, comme dans \(\mathfrak{F}\), de la seule donnée de \(\leq\) ».

Une hésitation sur les simplexes (pages 11 et 12)

Pour un atelier simplicial, il avait admis que \(\ll\) entre simplexes est la relation ensembliste d'inclusion. Cela fait d'un segment tracé dans un triangle un raffinement, et accepte comme « subdivision » d'un triangle sa découpe en deux par un arc joignant deux sommets — « ce que personne ne regarderait comme une subdivision simpliciale ! ». Il faut, dit-il, un raffinement plus strict, comme au chapitre V¹¹ , et une compatibilité « polyédrale » séparée : l'union de deux figures doit être une figure polyédrale. En résumé, il faut distinguer partout les axiomes des ateliers polyédraux de ceux des ateliers spécieux, et pour le plongement dans les figures ensemblistes demander que \(\mathrm{Multomb}(F) \overset{\mathrm{pol}}{\ll} \mathrm{Multomb}(G) \Rightarrow F \ll G\).

13–14

Ensembles ordonnés polyédraux et simpliciaux (pages 13 et 14)

Un ensemble ordonné \(I\) est polyédral si deux éléments qui ont un minorant commun ont une borne inférieure : dès que \(I_{\leq x} \cap I_{\leq y} \neq \varnothing\), cette intersection a un plus grand élément. Quand ces intersections sont finies (plus généralement inductives), il revient au même de demander qu'elles soient filtrantes : \[ x', y' \leq x, y \Longrightarrow \exists\, z,\ x', y' \leq z \leq x, y . \] Sous cette forme la condition est autoduale, et si les intervalles \(I_{x' \leq \cdot \leq x}\) sont finis, elle entraîne aussi que deux éléments majorés ont une borne supérieure¹² . Une figure est polyédrale si son déploiement l'est — deux strates non disjointes ont pour intersection une strate — et un atelier est polyédral si toutes ses figures le sont ; c'est l'axiome At pol 1, « condition de bonne intersection » : deux multistrates compatibles et non disjointes ont une borne inférieure dans \((\mathcal{M}, \leq)\).

Un ensemble ordonné est simplicial s'il est polyédral et si chaque \(I_{\leq x}\) est un simplexe combinatoire, c'est-à-dire isomorphe à l'ensemble \(\mathfrak{P}^{*}(J)\) des parties non vides d'un ensemble fini \(J\) ; un ensemble ordonné fini \(S\) avec un plus grand élément est un simplexe combinatoire si et seulement si \(S\) augmenté d'un plus petit élément est un treillis de Boole¹³ . Une figure, un atelier sont (combinatoirement) simpliciaux si leurs déploiements le sont¹⁴ .

14–19

Axiomes complémentaires (pages 14 à 19)

Compatibilité et disjonction des raffinements

La page 14 donne leurs noms définitifs aux axiomes des pages 8 à 10. Soient \(X, Y, X', Y' \in \mathcal{M}\) avec \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y\), \(X \between Y\), \(L = X \cap Y\), et \(X'_{L} = \{X'' \in \widetilde{X}' \mid X'' \ll L\}\), \(Y'_{L}\) de même — l'intersection fine de \(X'\) et de \(L\)¹⁵ .

1. At C(critère de compatibilité des raffinements de sous-figures) \(X'_{L} \between Y'_{L} \Rightarrow X' \between Y'\).
2. At D(critère de disjonction des raffinements de sous-figures) \(X'_{L} \parallel Y'_{L} \Rightarrow X' \parallel Y'\).

Ils visent les propositions \(F' \between G' \iff F'_{L} \between G'_{L}\) et \(F' \parallel G' \iff F'_{L} \parallel G'_{L}\) pour des figures \(F \between G\) — c'est-à-dire sous-figures d'une même figure \(H = F \vee G\). La page 15 les illustre par le schéma des grandes ombres

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & \mathrm{Omb}\, H \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \\
 & \mathrm{Omb}\, F \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \mathrm{Omb}\, G \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
 \mathrm{Omb}\, F' \arrow[dr, no head] & & \mathrm{Omb}\, L \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \mathrm{Omb}\, G' \arrow[dl, no head] \\
 & \mathrm{Omb}\, F'_{L} & & \mathrm{Omb}\, G'_{L} &
\end{tikzcd}

où chacun des trois carrés est, dit-il, cartésien (une intersection), et le même pour les déploiements. Il suffit de tester la compatibilité de \(F'\) et \(G'\) sur les strates qui raffinent \(L\). Le corollaire de At D est At D\(_{0}\) : la disjonction est stable par raffinement¹⁶ .

Compatibilité sans compatibilité préalable

Sans supposer \(X \between Y\), on forme encore \(L = X \cap Y\). Les deux critères des pages 9 et 10 deviennent :

1. At C (pol)si tout raffinement \(X'\) de \(X\) avec \(X'_{L} = \varnothing\) est disjoint de tout raffinement \(Y'\) de \(Y\) avec \(Y'_{L} = \varnothing\), et si de plus \(L\) est vide ou une multistrate, alors \(X \between Y\) ;
2. At C (spéc)le même sans la condition sur \(L\)¹⁷ .

Sous At C (pol), deux figures \(F, G\) sont compatibles si et seulement si (i) deux strates de \(F\) et de \(G\) qui ont un minorant commun ont pour intersection une strate, et (ii) les raffinements de \(F\) et de \(G\) qui évitent \(L = F \cap G\) sont disjoints¹⁸ ; sous At C (spéc), la seule condition (ii). Et l'on a \[ \text{At D} + \text{At C (spéc)} \ \text{ou}\ \text{At D} + \text{At C (pol)} \Longrightarrow \text{At C} \Longrightarrow \text{At D} \Longrightarrow \text{At D}_{0} , \] où, dit une note en marge, la forme affaiblie de At D qui ne traite que le cas \(X'_{L} = Y'_{L} = \varnothing\) suffirait.

Sommes filtrantes, supports, cas ensembliste

At fil (critère des sommes filtrantes localement finies) : une famille filtrante croissante \((F_{i})\) de raffinements de \(F\), localement finie dans \(F\) — pour chaque strate \(X\) de \(F\), la famille des \(F_{i}|X\) est stationnaire — a une borne supérieure. Moyennant At C, il en tire le recollement des raffinements, en deux versions selon qu'on recolle sur des sous-figures ou sur des strates¹⁹ .

At supp (axiome des supports d'un raffinement) : si \(G \ll X\) et qu'il existe une multistrate \(Y\) disjointe de \(G\) et non disjointe de \(X\), on peut en choisir une qui raffine \(X\). Intuitivement : si \(G\) ne remplit pas \(X\), un morceau de \(X\) en est témoin. La Proposition qui suit dit le même pour une figure \(F\) quelconque au lieu de \(X\). La question qui suit — peut-on trouver \(Y' \ll Y\) avec \(Y' \ll F\) ? — se ramène, pour un lieu \(x\), à \(x \nparallel Y \iff x \ll Y\), ce qui « n'est guère vérifié que pour les ateliers ensemblistes ». D'où At ens D : \(X \parallel Y\) si et seulement si \(\mathrm{Omb}(X) \cap \mathrm{Omb}(Y) = \varnothing\), avec pour corollaires \(F \parallel G \iff \mathrm{Omb}\, F \cap \mathrm{Omb}\, G = \varnothing\), \(x \parallel F \iff x \notin \mathrm{omb}(F)\), et, pour deux lieux, \(x \parallel y \iff x \neq y\). At ens D entraîne At supp ; « At supp est vérifié dans les ateliers auxquels j'ai songé, mais non At ens D ».

19–23

Les axiomes des lieux (pages 19 à 23)

At L 1 (axiome de divisibilité) : toute multistrate a un lieu intérieur, \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \varnothing\), c'est-à-dire qu'il existe \(x \in \mathcal{L}\) avec \(x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\)²⁰ . Cet axiome d'apparence anodine, dit-il, implique que les espaces qu'on décrit par des ateliers sont « infiniment divisibles », et donc infinis quand ils ne sont pas discrets : « c'est l'introduction de l'infini actuel tout court ! »²¹

At L 2 (critère de disjonction par les lieux) : \(X \parallel Y\) si et seulement si \(x \parallel y\) pour tous \(x \in \mathrm{omb}(X)\), \(y \in \mathrm{omb}(Y)\) — « à ne pas confondre avec \(\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \varnothing\) ! »²² Il vaut alors pour les figures.

At L 3 (critère de disjonction pour les lieux) : si \(X \between Y\) et \(X \neq Y\), deux lieux intérieurs \(x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ}\), \(y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ}\) sont disjoints. Autrement dit, dans une figure, des lieux intérieurs à deux strates distinctes sont disjoints ; moyennant At D, il suffit de le demander pour \(Y \leq X\).

At CL (spéc) (critère de compatibilité par les lieux, ateliers spécieux) : si \(x \parallel y\) pour tous \(x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L)\), \(y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L)\), où \(L = X \cap Y\), alors \(X \between Y\). Une note en marge se demande s'il vaut mieux poser « il faut et il suffit ».

La démonstration, à cheval sur les pages 20 et 21, montre que sous At L 2, At C (spéc) équivaut à At CL (spéc). La condition sur les lieux \[ (\mathrm{AL}) \quad \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L) :\ x \parallel y \] équivaut à la condition sur les raffinements \[ (\mathrm{A}) \quad \forall\, X' \ll X,\ Y' \ll Y \ \text{avec}\ X'_{L} = Y'_{L} = \varnothing :\ X' \parallel Y' . \] ²³ De (AL) à (A) : par At L 2 il suffit de voir \(x \parallel y\) pour \(x \in \mathrm{omb}(X')\), \(y \in \mathrm{omb}(Y')\), et \(X'_{L} = \varnothing\) force \(x \notin \mathrm{omb}(L)\). De (A) à (AL) : il suffit de prendre \(X', Y'\) des lieux. On a utilisé deux lemmes :

1. Lemme 1 (page 21). Pour \(P \leq Q\) et \(x \in \mathrm{omb}(Q)\), \(x_{P} = \varnothing\) si et seulement si \(x \notin \mathrm{omb}(P)\) — car un lieu n'a pas d'autre strate que lui-même, donc \(x_{P}\) vaut \(x\) ou \(\varnothing\).
2. Lemme 2 (page 21). Pour \(P \leq Q\) et \(F \ll Q\), \(F_{P} = \varnothing\) si et seulement si \(F \parallel P\) — le sens \(\Rightarrow\) par At D, l'autre avec les seuls At 1 à At 7²⁴ .

La version polyédrale At CL (pol) ajoute la condition que \(L\) soit vide ou une multistrate.

Le tableau des implications et la récapitulation (pages 22 et 23)

La page 22 enregistre :

1. a)At L 2 + At CL (spéc ou pol) \(\iff\) At L 2 + At C (spéc ou pol) ;
2. b)At D\(_{0}\) + At L 1 + At CL \(\Rightarrow\) At L 2 ;
3. c)At L 2 + At L 3 \(\Rightarrow\) At D \(\Rightarrow\) At D\(_{0}\) ;
4. d)At L 3 + At CL (spéc) \(\Rightarrow\) At C ;
5. e)At D \(\Rightarrow\) At L 3²⁵ .

« Pratiquement », retient-il, \(C \Rightarrow D \Rightarrow D_{0}\), et L 2 et L 3 entraînent \(D\) ; pour obtenir \(C\) à partir des lieux il faut At CL. Ainsi \[ \text{At L 2} + \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \] implique tous les axiomes de compatibilité-disjonction de style spécieux, et avec At L 1 on a tout. La page 23 récapitule l'ensemble : At 1 à At 7, axiomes du « gros œuvre » ; At C, At D, At D\(_{0}\), At C (spéc), At C (pol), axiomes de compatibilité et de disjonction ; At Fil et At supp ; At L 1 à At L 3, At CL (spéc), At CL (pol), axiomes concernant les lieux.

24–38

Reconstruire un atelier à partir des lieux (pages 24 à 38)

Le critère At CL réduit la connaissance de la compatibilité dans \(\mathcal{M}\) à celle de la disjonction entre lieux, c'est-à-dire à une structure de graphe sur \(\mathcal{L}\) — dans un atelier ensembliste, rappelle-t-il, \(x \parallel y \iff x \neq y\). D'où la question : partant de \((\mathcal{M}, \leq, \ll)\), de \(\mathcal{L}\) l'ensemble des éléments minimaux pour \(\ll\), et d'une relation symétrique antiréflexive \(\parallel\) sur \(\mathcal{L}\), à quelles conditions proviennent-ils d'un atelier spécieux satisfaisant At L 1 à At L 3 et At CL (spéc) ? La compatibilité sera définie par \[ (1) \qquad X \between Y \iff \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L) :\ x \parallel y , \] où \(\mathrm{omb}(L) = \bigcup_{Z \leq X, Y} \mathrm{omb}(Z)\).

Les axiomes ML (pages 25 à 34)

On pose, pour \(X \in \mathcal{M}\), \(\mathrm{omb}(X) = \{x \in \mathcal{L} \mid x \ll X\}\) et \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} = \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \bigcup_{Y < X} \mathrm{omb}(Y)\), et \(Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\) comme plus haut. Dans la numérotation définitive de la page 34 :

1. ML 0\(X \leq Y \Rightarrow X \ll Y\) (« axiome trivial ») ;
2. ML 1(raffinements induits) si \(Z \ll X\), \(X' \leq X\), et si un lieu \(x\) raffine \(Z\) et \(X'\), il existe \(Z' \leq Z\) avec \(Z' \ll X'\) et \(x \ll Z'\) ; si de plus \(Z \leq X\), on peut prendre \(Z' \leq X'\) ;
3. ML 2(divisibilité) \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \varnothing\) pour tout \(X\) ;
4. ML 3(plus petite strate) si \(x \ll X\), il existe \(X' \leq X\) avec \(x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'\) ;
5. ML 4\(\parallel\) est symétrique et antiréflexive ;
6. ML 5(disjonction des lieux) si \(Y \leq X\), \(y \in \mathrm{omb}(Y)\) et \(x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(Y)\), alors \(x \parallel y\)²⁶ .

ML 2 et ML 3 disent que les \(\mathrm{omb}(Y)^{\circ}\), \(Y \leq X\), forment une partition de \(\mathrm{omb}(X)\) ; ML 2 est At L 1, ML 3 la forme de At 6 pour les lieux, ML 5 la forme de At L 3. Une note dit que ML 2 entraîne que si \(\leq\) et \(\ll\) sont égales, \(\mathcal{M}\) est discret.

La chaîne de lemmes est la suivante.

1. Lemme 1 (page 25). Pour \(X, Y\) majorés par un même élément²⁷ , sont équivalents : \(X \leq Y\) ; \(X \ll Y\) ; \(\mathrm{omb}\, X \subset \mathrm{omb}\, Y\) ; \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(Y)\) ; \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \varnothing\). En effet, si \(x\) est dans la dernière intersection, ML 1 donne \(Z \leq X, Y\) avec \(x \ll Z\), et \(x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\) force \(Z = X\). Corollaire : sous la même hypothèse, deux multistrates distinctes ont des intérieurs disjoints, donc la strate \(Y\) de ML 3 est unique et c'est le plus petit élément de \(\{X' \leq X \mid x \ll X'\}\).
2. Lemme 2 (page 27). Admettant ML 1 sous la forme généralisée ci-dessus : si \(Z \ll X \geq X'\) et \(x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z\) avec \(x \ll X'\), alors \(Z \ll X'\), et \(x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \iff Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'\).
3. Corollaires 1 à 4 (pages 28 et 29). Tout raffinement \(Z \ll X\) est raffinement intérieur d'une unique strate de \(X\) ; \(Z \ll X'\) se teste par \(\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(X') \neq \varnothing\), et \(Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'\) par \(\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(X')^{\circ}\) ; d'où la transitivité des raffinements intérieurs (Corollaire 4), c'est-à-dire At 7.

Il fait ensuite intervenir \(\parallel\) et la définition (1). Pour \(X, Y\) majorés par un même élément, ML 1 donne \(\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(L)\)²⁸ , d'où le Lemme 3 (deux sous-multistrates d'une même multistrate sont compatibles, « sera contenu dans lemme 5 »), le Lemme 4 (sous \(X \between Y\), le Lemme 1 vaut), le Lemme 5 (la compatibilité définie par (1) est héréditaire pour \(\leq\), démonstration par ML 1 et ML 5), le Lemme 6 et son corollaire (si \(X \between Y\), \(Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\) et \(Z \ll Y\), alors \(X \leq Y\) ; en particulier, si \(Z\) est raffinement intérieur de deux multistrates compatibles, elles sont égales, c'est \(\mathrm{At}_{\mathcal{M}} 4\) b), le Lemme 7 (pour deux lieux, \(x \between y\) si et seulement si \(x = y\) ou \(x \parallel y\), et \(\parallel\) est la disjonction au sens de l'atelier construit) et le Lemme 8 (At L 2, « tautologique »).

Le Théorème-Scholie (pages 33 à 37)

Théorème-Scholie. Soient \((\mathcal{M}, \leq, \ll)\) un ensemble muni de deux relations d'ordre, \(\mathcal{L}\) l'ensemble de ses éléments minimaux pour \(\ll\), et \(\parallel\) une relation symétrique antiréflexive sur \(\mathcal{L}\). Ces données proviennent d'un atelier spécieux satisfaisant At 1 à At 7, At L 1 à At L 3 et At CL (spéc) si et seulement si ML 0 à ML 5 sont satisfaits.

L'atelier construit est l'ensemble \(\underline{\Phi}\) des parties de \(\mathcal{M}\) fermées pour \(\leq\) et formées d'éléments deux à deux compatibles au sens de (1), avec l'inclusion pour \(\leq\) et \(F \ll G\) si tout élément de \(F\) raffine un élément de \(G\) ; les \(\widetilde{X}\) en sont les figures élémentaires. Tout atelier qui correspond à ces données est un sous-atelier spécieux de \(\underline{\Phi}\) : une partie \(\mathfrak{F}\) stable par passage aux parties fermées, par réunion de deux figures compatibles, et qui contient les \(\widetilde{X}\)²⁹ — donc toutes les parties fermées des réunions finies de \(\widetilde{X}\). « À part un petit flottement dû à la possibilité de familles infinies », tout s'exprime donc par \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \parallel)\) avec \(\parallel\) défini sur \(\mathcal{L}\) seulement, soumis à six axiomes, « au lieu de la douzaine d'axiomes At 1-7, At L 1-3, At CL (spéc) »³⁰ .

Si l'on se donne \(\parallel\) sur \(\mathcal{M}\) et non sur \(\mathcal{L}\), il faut un axiome de plus, ML 6 : \(X \parallel Y\) si et seulement si tous les lieux de \(X\) sont disjoints de tous ceux de \(Y\). La variante polyédrale change un peu la définition (1) et demande ML 0 pol : chaque \(\widetilde{X}\) est un ensemble ordonné polyédral au sens de la page 13.

La marge de choix (page 38)

Partant de \((\mathcal{M}, \leq, \ll)\), le choix de \(\parallel\) est très libre. Si \(\Gamma_{0}\) est l'ensemble des paires \(\{x, y\}\) de lieux pour lesquelles il existe \(Y \leq X\) avec \(y \ll Y\), \(x \ll X\), \(x \not\ll Y\) — les paires que ML 5 force à être disjointes —, toute structure de graphe \(\Gamma\) avec \(\Gamma_{0} \subset \Gamma \subset \mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L})\) convient, puisque seuls ML 4 et ML 5 parlent de \(\parallel\). « Ça fait de la marge ! » En revanche, poser \(x \parallel y \iff x \neq y\) ne suffit sans doute pas à rendre l'atelier ensembliste : ML 0 à ML 3 n'impliquent ni que \(\mathcal{M} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) soit injective, ni que \(\ll\) soit induite par la relation ensembliste.

39–49

Une partie dense (pages 39 à 49)

Première reprise (pages 39 à 44)

La minimalité des lieux n'a servi qu'à la fin, observe-t-il, pour montrer que la relation de départ est la disjonction de l'atelier construit. « On va tout reprendre. » Une partie \(\Lambda \subset \mathcal{M}\) est dense si toute multistrate a un raffiné intérieur dans \(\Lambda\) ; \(\Lambda = \mathcal{M}\) est l'exemple « universel », \(\Lambda = \mathcal{L}\) l'est sous At L 1. On pose \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X) = \{Z \in \Lambda \mid Z \ll X\}\) et \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ}\) les éléments de \(\Lambda\) qui sont raffinés intérieurs de \(X\). Les axiomes M\(\Lambda\) 0 à M\(\Lambda\) 3 sont ML 0 à ML 3 avec \(\Lambda\) au lieu de \(\mathcal{L}\), et les Lemmes A, B, C et leur corollaire (page 40) redisent les lemmes et corollaires des pages 25 et 28, le Lemme A avec l'hypothèse explicite d'un majorant commun³¹ .

La compatibilité est maintenant donnée sur \(\mathcal{M}\), et la disjonction définie par \(X \parallel Y \iff X \between Y\) et \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \varnothing\). Le raisonnement de la page 30 a besoin de \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) = \mathrm{omb}_{\Lambda}(L)\), qu'il faut poser en axiome (Lemme A', page 41) ; il en tire, comme pages 32 et 33, que si un même élément est raffinement intérieur de deux multistrates compatibles, celles-ci sont égales (Lemme B et son corollaire). La Proposition de la page 42 énonce les propriétés caractéristiques d'un système \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between, \Lambda)\) pour provenir d'un atelier où \(\Lambda\) est dense :

1. M\(\Lambda\) 0\(X \leq Y \Rightarrow X \ll Y\) ;
2. M\(\Lambda\) 1(raffinements induits) si \(Y \ll X\), \(X' \leq X\), et \(Z \in \Lambda\) raffine \(Y\) et \(X'\), il existe \(Y' \leq Y\) avec \(Y' \ll X'\) et \(Z \ll Y'\)³² ;
3. M\(\Lambda\) 2(densité) tout \(X\) a un raffiné intérieur dans \(\Lambda\) ;
4. M\(\Lambda\) 3(strates minimales) si \(Z \in \Lambda\) raffine \(X\), il existe \(X' \leq X\) avec \(Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'\) ;
5. M\(\Lambda\) 4(saturation) \(\between\) est réflexive, symétrique et héréditaire pour \(\leq\) ;
6. M\(\Lambda\) 5si \(X \between Y\) et \(Z \in \Lambda\) raffine \(X\) et \(Y\), il existe \(Z'\) avec \(Z \ll Z' \leq X, Y\).

Seuls les deux derniers font intervenir \(\between\). M\(\Lambda\) 5 s'écrit \(X \between Y \Rightarrow \mathcal{R}(X, Y)\), où \(\mathcal{R}\) est la relation, définie par \(\leq\) et \(\ll\) seuls, \[ \mathcal{R}(X, Y) \iff \mathrm{Omb}(X) \cap \mathrm{Omb}(Y) = \bigcup_{Z' \leq X, Y} \mathrm{Omb}(Z') , \] réflexive, symétrique et héréditaire. Les compatibilités admissibles sont donc les relations saturées contenues dans \(\mathcal{R}\), et la plus large est \(\mathcal{R}\) elle-même — qui est la compatibilité dans un atelier ensembliste spécieux, mais pas dans d'autres cas intéressants : \(\mathcal{R}(x, y)\) est toujours vraie pour deux lieux, alors que hors du cas ensembliste deux lieux peuvent être incompatibles³³ .

Il cherche ensuite (pages 43 et 44) à définir la compatibilité par la disjonction sur \(\Lambda\) (At C\(_{\Lambda}\)), puis à axiomatiser \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \Lambda, \parallel_{\Lambda})\) ; la page 44 est entièrement barrée, et la page 47 en reprend les axiomes. Il y apparaît une notion de partie « très dense » : toute multistrate majore un élément de \(\Lambda\).

45–49

Ateliers \(\Lambda\)-spécieux (24 juin, pages 45 à 49)

Le 24 juin, pour \(\Lambda\) fermée pour \(\leq\), il pose les analogues des axiomes des lieux :

1. At\(\Lambda\) 1(densité) \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} \neq \varnothing\) ;
2. At\(\Lambda\) 2\(X \parallel Y\) si et seulement si tout élément de \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\) est disjoint de tout élément de \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\) ;
3. At\(\Lambda\) 3(ou At D\(\Lambda\)) pour \(X' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\), \(Y' \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\), \(X'_{L} \parallel Y'_{L} \Rightarrow X' \parallel Y'\) — c'est At L 3 si \(\Lambda = \mathcal{L}\) ;
4. At C\(\Lambda\) (spéc)\(X \between Y\) si et seulement si les éléments de \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)\) et de \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)\) qui évitent \(L\) sont disjoints ; At C\(\Lambda\) (pol) ajoute que \(L\) est vide ou une multistrate.

Avec At\(\Lambda\) 1 et At\(\Lambda\) 2, \(\Lambda\) est dite très dense. Le tableau d'implications de la page 22 se transpose (page 45), et la page 46 donne quatre systèmes complets équivalents d'axiomes de compatibilité-disjonction, par exemple \(\{\Lambda 1, \Lambda 2, \Lambda 3, C\Lambda^{*}\}\) ou \(\{\Lambda 1, \Lambda 2, C^{*}, D_{0}\}\), l'astérisque désignant indifféremment la version spécieuse ou polyédrale ; \(\Lambda 1\) est le seul à figurer dans chacun. Quand ils sont satisfaits l'atelier est dit \(\Lambda\)-spécieux, resp. \(\Lambda\)-polyédral. Pour \(\Lambda = \mathcal{L}\), c'est le cas déjà traité, avec la divisibilité ; pour \(\Lambda = \mathcal{M}\), \(\Lambda 1\) est tautologique, \(\Lambda 2\) équivaut à \(D_{0}\), \(\Lambda 3\) à \(D\), \(C\Lambda^{*}\) à \(C^{*}\), et « \(\mathcal{M}\)-spécieux » veut dire spécieux tout court, avec \(D\).

Les pages 47 à 49 tentent de reconstruire l'atelier à partir de \(\parallel_{\Lambda}\) seule, en définissant \(\between\) et \(\parallel\) sur \(\mathcal{M}\) par les éléments de \(\Lambda\) qui évitent \(L\). Le Lemme 1 de la page 48 passe : \(X \parallel Y\) équivaut à \(X \between Y\) et \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \varnothing\), et sur \(\Lambda\) la disjonction définie est celle de départ. Le Lemme 2 (\(X'_{L} \parallel Y'_{L} \iff X' \parallel Y'\)) et le Lemme 3 (\(\mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) = \mathrm{omb}_{\Lambda}(L)\) pour \(X \between Y\)) ne passent pas : il faudrait les poser en axiomes, et alors l'énoncé revient « tautologiquement » à la Proposition de la page 42. « Rien de nouveau ! On tourne en rond ! »³⁴

50–53

Préateliers (pages 50 à 53)

La page 50 est une récapitulation. Les axiomes en termes de \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) sont ceux de la page 23 ; les implications entre axiomes de compatibilité-disjonction, celles des pages 22, 45 et 46, avec une partie dense \(\Lambda\) pour « clef ». Les données \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)\) sont plus maniables, et il propose de les regarder comme une structure algébrique indépendante, un préatelier (ou « algèbre de multistrates »). Un préatelier peut correspondre à plusieurs ateliers, réalisés comme des \(\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\), parmi lesquels un plus grand : toutes les parties de \(\mathcal{M}\) fermées pour \(\leq\) et formées d'éléments deux à deux compatibles. Il en donne trois axiomatiques.

(1) En termes de \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)\) : Prat 1 (\(\leq \Rightarrow \ll\)), Prat 2 (transitivité des raffinements intérieurs), Prat 3 (tout raffinement est raffinement intérieur d'une strate ; \(\between\) réflexive, symétrique, héréditaire), Prat 4 (deux multistrates compatibles dont un même élément est raffinement intérieur sont égales), Prat 6 (si \(X \between Y\), \(X \ll Y \Rightarrow X \leq Y\))³⁵ . Seuls les trois derniers parlent de \(\between\).

(2) Avec une partie dense \(\Lambda\) : Prat\(\Lambda\) 1 à Prat\(\Lambda\) 6, qui sont M\(\Lambda\) 0 à M\(\Lambda\) 5 de la page 42³⁶ .

(3) Avec une disjonction sur les lieux : Prat dis \(1'\) à \(6'\), qui sont ML 0 à ML 5 de la page 34 dans un autre ordre, la compatibilité étant définie par (1) — à quoi s'ajoute, dans le cas polyédral, que \(L\) soit vide ou de la forme \(\widetilde{Z}\), et l'axiome Prat pol : chaque \(\widetilde{X}\) est polyédral³⁷ . « Donc le vrai problème d'axiomatisation », dit une note en marge, est ailleurs — la suite n'est pas lue.

Remarque (page 53). Un ensemble ordonné \((\mathcal{M}, \leq)\) quelconque, avec \(\ll = \leq\), la compatibilité toujours satisfaite et \(x \parallel y \iff x \neq y\) sur les éléments minimaux, est un préatelier « trivial » : \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y\) y signifie \(X = Y\), les figures sont toutes les parties fermées, \(F \parallel G \iff F \cap G = \varnothing\). Il satisfait At D, At C (spéc), At Fil, At supp, At L 3, et At L 2 dès que tout élément majore un élément minimal (ce qui est le cas d'un ensemble ordonné fini)³⁸ — tous les axiomes, donc, sauf la divisibilité. C'est le cas de l'ensemble des simplexes d'un ensemble quasi simplicial, figures et sous-ensembles quasi simpliciaux se correspondant. La divisibilité est ce qui sépare un complexe combinatoire d'un espace.

54–60

Ateliers ensemblistes et quasi-ensemblistes (pages 54 à 60)

Le 25 juin, il revient sur les ateliers ensemblistes³⁹ . Pour un atelier \(\mathcal{A} = (\mathfrak{F}, \leq, \ll)\), on a l'homomorphisme canonique \[ \varphi : \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), \qquad F \mapsto \mathrm{multomb}(F) , \] et deux conditions :

1. (i)\(\varphi\) est un plongement d'ateliers⁴⁰ d'image un sous-atelier spécieux, c'est-à-dire a) pour toute figure \(F\), \(\varphi\) induit une bijection des sous-figures de \(F\) sur celles de \(\varphi(F)\) ; b) \(\varphi(F) \ll \varphi(G) \Rightarrow F \ll G\), d'où l'injectivité ; c) \(\varphi(F) \between \varphi(G) \Rightarrow F \between G\) ;
2. (ii)\(\mathfrak{F}\) est spécieux (pour \(\Lambda = \mathcal{L}\), par exemple At L 1, At L 2, At L 3, At CL (spéc)) et deux lieux distincts sont toujours disjoints, de sorte que At L 3 devient automatique⁴¹ .

Ce que les pages établissent est ceci.

1. –(i) \(\Rightarrow\) (ii), et \(\varphi\) est injective. Deux lieux distincts ont pour images des figures ponctuelles distinctes, compatibles, donc ils sont compatibles par c), donc disjoints. At L 2 : si les ombres de \(X\) et de \(Y\) ne se rencontrent pas, \(\varphi(X) \parallel \varphi(Y)\), d'où \(X \between Y\) par c), et \(X \cap Y = \varnothing\) par At L 1. At CL (spéc) : la condition équivaut à \(\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(L)\), qui fait de \(\varphi(L)\) une sous-figure commune et donne \(\varphi(X) \between \varphi(Y)\)⁴² .
2. –(ii) \(\Rightarrow\) (i a). C'est le Lemme 1 de la page 55 : pour \(\Lambda\) dense, \(\varphi_{\Lambda} : F \mapsto \mathrm{multomb}_{\Lambda}(F)\) induit une bijection des sous-figures, \(\widetilde{F} \to \widetilde{\varphi_{\Lambda}(F)}\) étant un isomorphisme d'ensembles ordonnés — « vu pour \(\Lambda = \mathcal{M}\) ; dans le cas général, c'est un fait ensembliste ».
3. –(ii) et l'injectivité de \(\varphi\) sur \(\mathcal{M}\) donnent (i c) : la plus grande sous-figure commune de \(\varphi(F)\) et \(\varphi(G)\) est alors \(\varphi(L)\), et \(\varphi(F) \between \varphi(G)\) équivaut à \(\mathrm{omb}(F) \cap \mathrm{omb}(G) = \mathrm{omb}(L)\), qui est la condition de At CL (spéc).
4. –Sans injectivité, (i c) peut manquer. Exemple (page 57) : dans un espace topologique, les simplexes affines, avec la relation de face et le raffinement par inclusion (en comparant les structures affines) ; deux structures affines différentes sur une même partie homéomorphe à \([0,1]\) donnent \(X \neq Y\) de même bord, \(\varphi(X) = \varphi(Y)\), et ni \(X \between Y\) ni \(X \ll Y\).
5. –(i b) n'est pas atteint : ramené aux multistrates, « c'est faux ! », et le contre-exemple de la page 58 prend les figures polyédrales \(\mathrm{Figpol}(\mathcal{L})\) avec le raffinement polyédral et la compatibilité ensembliste — deux strates polyédrales avec \(X \ll Y\) au sens ensembliste mais non au sens polyédral⁴³ .

Définition (page 59). Un atelier est ensembliste spécieux s'il satisfait (i), ensembliste polyédral si l'on remplace \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) par \(\mathrm{Figpol}(\mathcal{L})\) ; il est quasi-ensembliste s'il satisfait (ii). Les préateliers quasi-ensemblistes sont donnés par \((\mathcal{M}, \leq, \ll)\) et les quatre axiomes Prat quens 1 à 4 : \(\leq \Rightarrow \ll\) ; divisibilité ; strates minimales ; raffinements induits, \(\mathrm{omb}(Y) \cap \mathrm{omb}(X') = \bigcup_{Z \in Y_{X'}} \mathrm{omb}(Z)\) avec \(Y_{X'} = \widetilde{Y} \cap \mathrm{Omb}(X')\). La disjonction sur les lieux n'a plus à être donnée : c'est \(x \neq y\).

La page 60, écrite vite et lue en partie, dit pourquoi cette structure lui convient : elle est commune aux contextes spécieux et polyédral, elle ne demande que \(\leq\) et \(\ll\), et quatre axiomes au lieu de beaucoup plus. Pour aller au-delà du cas quasi-ensembliste, il faudra une notion de partie fermée « admissible », définie par des conditions de finitude locale. Une note en marge, presque illisible, essaie des noms — « Préatelier », « Stratologie », « stratologique » — et s'achève sur « topologie ! ».

61–68

Supports (pages 61 à 68)

La fermeture de Galois de la disjonction

Soient \(\Sigma_{\mathfrak{F}}\) l'ensemble des parties de \(\mathfrak{F}\) fermées vers le bas pour \(\ll\) et stables par sommes, et \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) l'ensemble des parties de \(\mathcal{M}\) fermées vers le bas pour \(\ll\). Les applications \(\mathfrak{S} \mapsto \mathfrak{S} \cap \mathcal{M}\) et \(S \mapsto \{F \mid \widetilde{F} \subset S\}\) sont des isomorphismes d'ensembles ordonnés inverses l'un de l'autre, et l'on identifie les deux. Pour \(A \subset \mathfrak{F}\) on pose \[ \mathrm{cosupp}\, A = \{G \in \mathfrak{F} \mid G \parallel F \ \text{pour tout}\ F \in A\} , \qquad \mathrm{supp}\, A = \mathrm{cosupp}(\mathrm{cosupp}\, A) , \] qu'il note aussi \(\overline{A}\) — « ne pas confondre avec l'adhérence de \(A\) pour la topologie associée à \(\leq\) ou à \(\ll\) ! ». Le cosupport est dans \(\Sigma_{\mathfrak{F}}\)⁴⁴ . Tout cela est formel : il ne s'agit que d'une relation symétrique sur un ensemble, et l'on écrit \(A \parallel B\) pour \(A \subset \mathrm{cosupp}\, B\), ce qui équivaut à \(B \subset \mathrm{cosupp}\, A\) et à \(X \parallel Y\) pour tous \(X \in A\), \(Y \in B\).

Les propriétés (i) à (x) des pages 62 et 63 sont celles d'une telle fermeture : \(\mathrm{cosupp}\) renverse l'inclusion ; \(A \subset \overline{A}\), \(\overline{\overline{A}} = \overline{A}\) ; \(\overline{A}\) est le plus petit \(\mathfrak{F}\)-support — partie égale à sa fermeture — contenant \(A\) ; l'ensemble \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\) des supports est un treillis complet, d'infimum l'intersection et de supremum la fermeture de la réunion ; \(\complement A = \mathrm{cosupp}\, A\) est un anti-isomorphisme involutif de \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\) (parce que \(\parallel\) est symétrique), qui échange le plus petit support \(\{\varnothing_{\mathfrak{F}}\}\) et le plus grand \(\mathfrak{F}\) ; enfin \(A \cap \complement A = \{\varnothing_{\mathfrak{F}}\}\), parce que la figure vide est la seule disjointe d'elle-même, et donc \(A \subset B \Rightarrow A \cap \complement B = \{\varnothing_{\mathfrak{F}}\}\)⁴⁵ .

NB (pages 63 et 64). La réciproque de la dernière implication n'est pas vraie en général (« il est faux »), la réunion de deux supports n'est pas a priori un support — une « figure » contenue dans la réunion n'est pas forcément contenue dans l'un ou dans l'autre — et la distributivité \(P \wedge \bigvee_{i} Q_{i} = \bigvee_{i} (P \wedge Q_{i})\) n'a pas de raison d'être vraie, même pour des sommes finies. « Pourtant, cela a tendance à être vrai » dans les ateliers auxquels il a songé. Les pages 81 à 83 montreront le contraire.

Changer d'ensemble de référence

Tout se redit en termes de la disjonction dans \(\mathcal{M}\) : les \(\mathcal{M}\)-supports sont en bijection canonique avec les \(\mathfrak{F}\)-supports, compatible au complément, et cette fois le plus petit \(\mathcal{M}\)-support est la partie vide. Plus généralement, pour une partie \(\Lambda \subset \mathfrak{F}\) satisfaisant \[ \mathrm{Disj}_{\Lambda} : \quad F \parallel G \iff X \parallel G \ \text{pour tout}\ X \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) , \] on a \(\mathrm{cosupp}\, A = \mathrm{cosupp}\, \mathrm{omb}_{\Lambda}(A)\) pour toute partie \(A \subset \mathfrak{F}\)⁴⁶ , \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(A) = A \cap \Lambda\) si \(A\) est fermée pour \(\ll\), et une bijection \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} \simeq \Sigma^{\circ}_{\Lambda}\), \(A \mapsto A \cap \Lambda\), d'inverse \(S \mapsto \{F \mid \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) \subset S\}\), qui respecte l'ordre et le complément. Pour comprendre les supports on a intérêt à prendre \(\Lambda\) petit : \(\Lambda = \mathcal{L}\) s'impose, si At L 2 est satisfait.

Le cas « particulièrement agréable » est celui où la disjonction des lieux est \(x \neq y\), par exemple un atelier quasi-ensembliste. Alors \(\Sigma_{\mathcal{L}} = \mathfrak{P}(\mathcal{L})\), le complément est le complément ordinaire, le support d'une partie \(A\) est \(\mathrm{omb}(A)\), la disjonction devient \[ F \parallel G \iff \mathrm{omb}\, F \cap \mathrm{omb}\, G = \varnothing , \] et les perplexités se dissipent : \(A \subset B \iff A \cap \complement B = \varnothing\), et la distributivité vaut. La page 68 — barrée d'un trait oblique — généralise à une partie \(P \subset \mathcal{L}\) de « points », deux à deux disjoints et qui détectent la disjonction ; les supports s'identifient alors à \(\mathfrak{P}(P)\), de façon compatible au complément, et le support d'une partie est la réunion des ensembles de points de ses éléments⁴⁷ .

69–80

Réalisations par des points (pages 69 à 80)

Un doute, et l'exemple d'un ensemble ordonné (25 juin, pages 69 à 72)

« En dehors du cas quasi-ensembliste, je suspecte que la notion de support, telle qu'elle est présentée ici, est caduque » : on ne devrait parler du support d'une partie \(A\) que si ses éléments sont mutuellement compatibles. Exemple typique : les strates d'un ensemble ordonné \(I\). Les 0-strates sont les points, les 1-strates les segments \([a, b] = I_{a \leq \cdot \leq b}\) avec \(a < b\), de bord \(\partial X = \{a, b\}\) ; \(X \leq Y\) si \(X = Y\) ou si \(X\) est une extrémité de \(Y\) ; \(X \ll Y\) si \(X \subset Y\) ; et \(X \between Y\) dans trois cas exclusifs : \(X = Y\) ; l'un est extrémité de l'autre ; ou \(\partial X \cup \partial Y\) est totalement ordonné et \(X \cap Y\) est vide ou réduit à une extrémité commune (segments séparés ou bout à bout). Tous les axiomes sont satisfaits, dit-il, sauf At L 1, qui l'est si et seulement si les intervalles ouverts \(]a, b[\) ne sont pas vides — l'ordre est dense. Les figures finies sont les parties finies, fermées, d'éléments deux à deux compatibles ; les strates y sont combinatoirement finies, \(\widetilde{X}\) ayant un élément pour un point et trois pour un segment⁴⁸ .

Au chapitre III, il avait défini le support d'une telle figure comme partie de \(I\), et appelé « modérées fermées » des parties qu'il aurait dû appeler « modérées », réservant « constructibles » à celles qu'il appelait « modérées »⁴⁹ . Cela donne un bon formalisme de réunion, d'intersection et de complément pour des parties constructibles deux à deux compatibles — dont la réunion des bords est totalement ordonnée. Sans hypothèse sur \(I\), il faut compter avec des segments \([a, b]\) réduits à \(\{a, b\}\), et il serait déraisonnable de leur donner \([a, b]\) pour support. Mais à une chaîne finie \(a_{1} < \cdots < a_{n}\) on peut associer l'algèbre de Boole engendrée par les « points » \(\{a_{1}\}, [a_{1}, a_{2}], \{a_{2}\}, \ldots, \{a_{n}\}\) — les cellules ouvertes —, et définir les supports des familles qui lui sont subordonnées. Pour une figure \(F\), les supports forment \(\mathfrak{P}(\widetilde{F})\), et un raffinement \(F' \ll F\), par l'application \(\varphi : \widetilde{F}' \to \widetilde{F}\) qui envoie une strate sur la plus petite strate qu'elle raffine, induit l'image réciproque \(\varphi^{*} : \mathfrak{P}(\widetilde{F}) \to \mathfrak{P}(\widetilde{F}')\). Ce qu'il ne croit pas, hors du cas quasi-ensembliste, c'est qu'on puisse interpréter ces \(\mathfrak{P}(\widetilde{F})\), pour des figures sans rapport, comme parties d'un même \(\mathfrak{P}(P)\).

Réalisations par supports (pages 72 à 80)

Il définit pourtant une réalisation par supports d'un atelier dans un ensemble \(P\) de « points » : une application \(\mathcal{M} \to \mathfrak{P}(P)\), \(X \mapsto |X|\), telle que

1. (i)\(_{\mathcal{M}}\)\(X \ll Y \Rightarrow |X| \subset |Y|\) ;
2. (ii)\(_{\mathcal{M}}\)\(X \between Y \Rightarrow |X| \cap |Y| = \bigcup_{Z \leq X, Y} |Z|\) ;
3. (iii)\(_{\mathcal{M}}\)\(X \parallel Y \iff |X| \cap |Y| = \varnothing\) — « le fond de l'axiome est dans \(\Leftarrow\) » ;
4. (iv)\(_{\mathcal{M}}\)une subdivision ne change pas \(|X|\) ;
5. (v)\(_{\mathcal{M}}\)\(|X| = \bigcup_{Z \in \mathrm{omb}(X)} |Z|\) ;
6. (vi)\(_{\mathcal{M}}\)(a) les \(|X|\) recouvrent \(P\), et (b) ils séparent les points⁵⁰ .

(vi) est une normalisation : on peut toujours passer au quotient de \(P\) par la relation « appartenir aux mêmes \(|X|\) ». Par (v) il suffit de connaître \(|x|\) pour les lieux, et la variante en termes de lieux demande que \(x \parallel y \iff |x| \cap |y| = \varnothing\) et que les \(|x|\) séparent les points. Dans tous les cas intéressants connus — sauf peut-être celui d'un ensemble ordonné donné ad hoc —, on trouve une notion naturelle de support ponctuel ; dans l'exemple d'une ficelle topologique, la séparation des points peut manquer. La question est alors : une telle donnée détermine-t-elle \(P\) à isomorphisme unique près, par un isomorphisme \(\Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(P)\) compatible au complément ?

Pour \(A \subset \mathcal{M}\) on pose \(|A| = \bigcup_{X \in A} |X|\). Avec (iii) seul, \(X \in \mathrm{cosupp}\, A\) équivaut à \(|X| \cap |A| = \varnothing\), d'où :

Lemme (page 76). Sous (iii)\(_{\mathcal{M}}\), \(|A| \subset |B| \Rightarrow \mathrm{supp}\, A \subset \mathrm{supp}\, B\) ; la réciproque vaut si \(B\) est un support. Corollaire. \(A \mapsto |A|\) est injective sur les supports et y induit l'inclusion.

En général \(|\bigwedge A_{i}| \subset \bigcap |A_{i}|\), \(|\bigvee A_{i}| \supset \bigcup |A_{i}|\) et \(|\complement A| \subset P \smallsetminus |A|\), sans égalité garantie, et l'on n'a que \(|A| \subset |\mathrm{supp}\, A|\). « Tout se résout » sous l'hypothèse

Hyp. Si \(x \notin |A|\), il existe \(X \parallel A\) avec \(x \in |X|\) — c'est-à-dire \(|\mathrm{cosupp}\, A| = P \smallsetminus |A|\) pour toute partie \(A\).

Lemme 2 (page 78). Sous (iii)\(_{\mathcal{M}}\), (vi a)\(_{\mathcal{M}}\) et Hyp., on a \(|A| = |\mathrm{supp}\, A|\) pour toute partie \(A\), et \(\mathrm{supp}\, A \subset \mathrm{supp}\, B \iff |A| \subset |B|\) ; l'injection \(\Sigma_{\mathcal{M}} \to \mathfrak{P}(P)\) commute aux compléments⁵¹ .

Pour les intersections il faut plus : Hyp', chaque point est le support \(|X|\) d'une multistrate. Elle entraîne Hyp. et la surjectivité, et donne \(|\bigcap A_{i}| = \bigcap |A_{i}|\) pour des supports : si \(|X| = \{x\}\) est contenu dans chaque \(|A_{i}|\), alors \(X \in A_{i}\) pour tout \(i\).

Proposition (page 80). Soit \(X \mapsto |X|\) une application \(\mathcal{M} \to \mathfrak{P}(P)\) telle que \[ \mathrm{Supp}^{1}_{P} : X \parallel Y \iff |X| \cap |Y| = \varnothing, \qquad \mathrm{Supp}^{2}_{P} : \text{tout point est un } |X| . \] Alors \(|A| = |\mathrm{supp}\, A|\) et \(|\mathrm{cosupp}\, A| = P \smallsetminus |A|\) pour toute partie \(A\)⁵² ; \(\mathrm{supp}\, A \subset \mathrm{supp}\, B \iff |A| \subset |B|\), et \(A \parallel B \iff |A| \cap |B| = \varnothing\) — ceci sans \(\mathrm{Supp}^{2}_{P}\) ; enfin \(A \mapsto |A|\) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés \(\Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(P)\) qui commute aux compléments. Les supports forment alors une algèbre de Boole complète atomique, dont les atomes sont les points⁵³ .

81–83

La ficelle à deux brins (pages 81 à 83)

La page 81, en prose rapide et lue par fragments, prend pour lieux les parties compactes contractiles d'un espace \(P\), construit des « quasi-simplexes » de basse dimension par des conditions ad hoc et constate que « tout marche ! » — sauf que, si l'on regarde les lieux sur une ficelle donnée, \(\mathrm{Supp}^{1}_{P}\) cesse d'être vrai en général.

Exemple. La « ficelle à deux brins » : deux arcs joignant un point \(0\) à un point \(1\). Un lieu qui la coupe en deux est un couple de points, un sur chaque brin, et les lieux intérieurs s'identifient à \(]0, 1[ \times ]0, 1[\). Plus généralement, soient \(I\), \(I'\) deux ensembles totalement ordonnés, et \(J = I \times I'\) ; pour \(z = (x, x')\), le support ponctuel est \(|z| = \{x, x'\}\), et \(|0| = \{0\}\), \(|1| = \{1\}\). Deux lieux sont disjoints lorsqu'ils sont emboîtés⁵⁴ : \(z' < z\) ou \(z' > z\) dans l'ordre produit. Le support de \(\{z\}\) est \(A_{z} = \{z\}\), son complément \(B_{z} = \{z' \mid z' < z \text{ ou } z' > z\}\), et \(|B_{z}| = (I \sqcup I') \smallsetminus |z|\).

Mais si \(z_{1} = (x_{1}, x'_{1})\) et \(z_{2} = (x_{2}, x'_{2})\) se croisent — \(x_{1} < x_{2}\) et \(x'_{1} > x'_{2}\) —, un lieu comparable aux deux est sous les deux ou au-dessus des deux, et \[ |B_{z_{1}} \cap B_{z_{2}}| \subsetneqq |B_{z_{1}}| \cap |B_{z_{2}}| , \] la différence étant \(]x_{1}, x_{2}[\) sur \(I\) et \(]x'_{2}, x'_{1}[\) sur \(I'\). Par complément, pour \(A = \{z_{1}, z_{2}\}\), \[ |A| = \{x_{1}, x_{2}, x'_{1}, x'_{2}\} \subsetneqq |\mathrm{supp}\, A| = [x_{1}, x_{2}] \cup [x'_{2}, x'_{1}] . \] Enfin, pour \(z_{3} = (x_{3}, x'_{3})\) avec \(x_{1} < x_{3} < x_{2}\) et \(x'_{2} < x'_{3} < x'_{1}\), on a \(A_{z_{3}} \cap (A_{z_{1}} \vee A_{z_{2}}) = A_{z_{3}}\) tandis que \((A_{z_{3}} \cap A_{z_{1}}) \vee (A_{z_{3}} \cap A_{z_{2}})\) est le plus petit support : « on n'a pas la propriété modulaire » ni la distributivité de \(\wedge\) par rapport à \(\vee\)⁵⁵ .

Conclusion-Scholie. Le formalisme des supports est bon pourvu qu'on ne s'en serve pas pour comparer les supports de strates ou de figures qui ne sont pas compatibles⁵⁶ . « C'est cette intuition que je voudrais maintenant essayer de cerner de plus près. »

84–100

L'intérieur d'une multistrate (pages 84 à 100)

Strates ouvertes (pages 84 à 87)

Pour une figure \(F\), on voudrait identifier les éléments de \(\widetilde{F}\) à des « strates ouvertes », et \(\mathfrak{P}(\widetilde{F})\) à un ensemble de supports, réunions de strates ouvertes. Il faut pour cela donner un sens intrinsèque à « \(X \smallsetminus \partial X\) ». Première idée : \[ X^{\circ}_{\mathrm{s}} = \mathrm{supp}\, X \cap \mathrm{cosupp}\, \partial X \subset \mathcal{M} , \] avec le souhait que \(\mathrm{supp}\, X\) soit la borne supérieure, dans les supports, des \(Y^{\circ}_{\mathrm{s}}\), \(Y \in \widetilde{X}\) ; c'est-à-dire que \(Z \parallel X\) si et seulement si \(Z\) est disjoint de tous les \(Y^{\circ}_{\mathrm{s}}\) — le sens direct est clair. Moyennant At L 2 et At L 3, on a \[ (\delta) \qquad \mathrm{supp}\, \mathrm{omb}(X)^{\circ} \subset X^{\circ}_{\mathrm{s}} . \] ⁵⁷ Il introduit alors At supp 1 : si \(Y \in X^{\circ}_{\mathrm{s}}\) — \(Y\) disjoint de toute strate propre de \(X\), et disjoint de tout ce qui est disjoint de \(X\) — alors \(Y \ll X\). D'où le Corollaire (page 86) : moyennant At D, \[ X^{\circ}_{\mathrm{s}} = \{Y \in \mathrm{Omb}(X) \mid Y_{\partial X} = \varnothing\} . \] Une note en marge datée du 26 juin juge l'axiome « un peu artificiel » : il n'est pas satisfait par les « gros ateliers », ni par l'atelier linéaire par morceaux. La Remarque de la page 87 le renforce en At supp 1 (spéc)⁵⁸ , et suggère qu'il doit exister une définition raisonnable de \(\ll\) au moyen de \(\leq\) et de la disjonction — mais d'une disjonction entre des objets « virtuels » comme \(Y \smallsetminus L\), que At C (spéc) fait déjà intervenir implicitement.

L'intérieur défini par la grande ombre (pages 88 à 91)

« Faisons abstraction pour le moment des axiomes de supports. » La Définition de la page 89 est \[ X^{\circ} = \{Y \in \mathrm{Omb}(X) \mid Y \parallel \partial X\} , \] ce qui, sous At D, équivaut à \(Y_{\partial X} = \varnothing\) : aucune strate de \(Y\) ne raffine une strate propre de \(X\). Une note avertit que \(X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \varnothing\) n'entraîne \(X^{\circ} \parallel Y^{\circ}\) que si deux lieux distincts sont disjoints.

Lemme 1 (page 89). \(X \parallel Y\) si et seulement si \(X'^{\circ} \parallel Y'^{\circ}\) pour toutes strates \(X'\) de \(X\) et \(Y'\) de \(Y\). Le sens direct est clair par At D\(_{0}\) ; la réciproque utilise At L 2 et At L 3⁵⁹ .

Lemme 2 (page 89). Moyennant At L 1 à At L 3, pour \(Y \ll X\) : a) \(Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\) si et seulement si \(Y^{\circ} \subset X^{\circ}\) ; b) \(Y \in X^{\circ}\) si et seulement si \(Y'^{\circ} \subset X^{\circ}\) pour toute strate \(Y'\) de \(Y\). La démonstration de a) utilise, dans un sens, que \(Y_{\partial X} \leq \partial Y\) quand \(Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\), et dans l'autre que \(Y^{\circ} \neq \varnothing\), qui vient de la divisibilité ; b) vient de ce que \(X^{\circ}\) est fermé pour \(\ll\). Une note dit que \(Y \in X^{\circ}\), qu'il écrit \(Y \overset{\circ\circ}{\ll} X\), signifie que l'application \(\widetilde{Y} \to \widetilde{X}\) est constante de valeur \(X\).

NB (page 91). Si \(X \between Y\) et \(X \neq Y\), alors \(X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \varnothing\)⁶⁰ .

Un théorème, et le lemme qui devait le donner (pages 91 à 98)

Soit \(\Phi = \widetilde{F}\) une partie finie de \(\mathcal{M}\), fermée pour \(\leq\), formée de multistrates deux à deux compatibles. Pour \(A \subset \widetilde{F}\) on pose \[ S_{A} = \mathrm{Supp}_{\mathcal{M}}\Bigl(\bigcup_{X \in A} X^{\circ}\Bigr) = \mathop{\mathrm{Sup}}_{X \in A} \mathrm{Supp}(X^{\circ}) , \] d'où une application croissante \(\mathfrak{P}(\widetilde{F}) \to \Sigma_{\mathcal{M}}\). Si l'on admet At supp 1, \(X^{\circ}\) est déjà un support.

Théorème (page 93), souhaité : (a) \(A \mapsto S_{A}\) est un isomorphisme de \(\mathfrak{P}(\widetilde{F})\) sur une partie ordonnée de \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) ; (b) elle commute aux bornes supérieures (trivial) et aux bornes inférieures quelconques ; (c) pour \(B \subset A\), \(S_{A \smallsetminus B} = S_{A} \cap \complement S_{B}\) ; (d) si \(A = \widetilde{G}\) est fermée, \(S_{A} = \mathrm{supp}\, G\).

Ce qui est démontré : (d), par le Lemme 1 de la page 89 ; et (a), par le Lemme 3 (si \(B \cup \{X\}\) est formé d'éléments mutuellement compatibles, \(X^{\circ} \subset S_{B} \Rightarrow X \in B\)) et le Lemme 4 (pour \(X \between Y\) distincts, \(X^{\circ} \parallel Y^{\circ}\)) : on prend \(Z \in X^{\circ}\), qui existe par la divisibilité, et \(Z\) est disjoint de tous les \(Y^{\circ}\), \(Y \in B\), mais pas de \(X^{\circ}\)⁶¹ .

Pour (b) et (c), il voit le théorème comme cas particulier d'un énoncé formel : dans un ensemble muni d'une relation symétrique antiréflexive \(\parallel\), avec ses supports, leurs bornes et le complément \(\complement\), qui vérifie \(S \cap \complement S = \varnothing\) et \(S \vee \complement S = \mathcal{M}\), soit une famille \((A_{i})\) de parties non vides deux à deux disjointes, et \(S_{J}\) la borne supérieure des \(\mathrm{supp}\, A_{i}\), \(i \in J\) ; alors \(J \mapsto S_{J}\) serait un isomorphisme sur son image commutant à toutes les bornes, avec \(S_{A \smallsetminus B} = S_{A} \cap \complement S_{B}\). L'injectivité passe (Lemmes 1 et 2 de la page 97). La formule de différence se ramène au Lemme 3 de la page 97 : \[ S \parallel S' \Longrightarrow S' = (S \vee S') \cap \complement S . \] « Mais c'est faux ! » Dans un graphe où une chaîne \(A' - A - B - B'\) est telle que \(A\) et \(B\) ne sont liés qu'entre eux et à \(A'\), \(B'\), on a \(\mathrm{cosupp}\, A = \{A', B\}\), \(\mathrm{supp}\, A = \{A\}\), \(\mathrm{supp}\, B = \{B\}\)⁶² ; aucun sommet n'est lié à la fois à \(A\) et à \(B\), donc \(A \vee B = \mathcal{M}\), et le lemme affirmerait \(\{B\} = \complement A = \{A', B\}\). « Rideau… »⁶³

Il pense pourtant que la formule devrait être vraie, au moins sous la divisibilité At L 1, « avec l'approche que j'ai prise pour donner un sens intrinsèque aux “supports constructibles”, via les \(X^{\circ}\) ».

99–100

L'intérieur défini par les lieux (26 juin, pages 99 et 100)

Puisqu'il est obligé d'admettre At L 1 (en plus de At L 2 et At L 3), autant définir plus simplement \[ X^{\circ}_{\ell} = \mathrm{Supp}\, \mathrm{omb}(X)^{\circ} , \] « c'est pareil » grâce au Corollaire de la page 86 et au fait que, sous At L 2, tout support \(S\) est le support de ses lieux, \(S = \mathrm{supp}(S \cap \mathcal{L})\)⁶⁴ .

Lemme (page 99). Si \(F \preccurlyeq X\) est une subdivision, et \(\widetilde{F}^{\circ} = \{X' \in \widetilde{F} \mid X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\}\), alors \(X^{\circ}_{\ell}\) est la borne supérieure des \(X'^{\circ}_{\ell}\), \(X' \in \widetilde{F}^{\circ}\) — alors même que, dans le cas quasi-ensembliste, \(\mathrm{omb}(X)^{\circ}\) n'est pas la réunion des \(\mathrm{omb}(X')^{\circ}\). L'inclusion \(\supset\) est claire, et la réciproque équivaut au Corollaire (page 100) : si \(Z\) est disjoint de tous les \(\mathrm{omb}(X')^{\circ}\), il l'est de \(\mathrm{omb}(X)^{\circ}\) ; par At L 2 on se ramène au cas où \(Z\) est un lieu.

Il le vérifie sur une réalisation par points satisfaisant \(\mathrm{Supp}^{1}_{P}\) et \(\mathrm{Supp}^{2}_{P}\), où \(F \preccurlyeq X\) signifie \(F \ll X\) et \(|F| = |X|\), et annonce (a) \(|X^{\circ}_{\ell}| = |X| \smallsetminus |\partial X|\) et (b) \(\widetilde{F}^{\circ}\) est l'ensemble des \(X' \in \widetilde{F}\) dont l'intérieur est contenu dans celui de \(X\), ou le rencontre. La page démontre l'inclusion \(|X^{\circ}_{\ell}| \subset |X| \smallsetminus |\partial X|\) et s'arrête là.

101–113

Magasins (pages 101 à 113)

Une relation nouvelle (pages 101 à 105)

« J'ai envie de prendre sur un “magasin” \((\mathcal{M}, \leq, \ll)\) comme relations primitives, en plus de \(\leq\) et \(\ll\), et au lieu de \(\between\) ou de \(\parallel\) », la relation intérieurement disjoints \[ X \mathrel{|{\circ}|} Y \quad \text{(heuristiquement : } X^{\circ} \parallel Y^{\circ}) , \] de façon à donner un sens à l'intérieur même là où les définitions précédentes le font vide. L'exemple est celui de la page 53 : pour une maquette simpliciale, avec \(\ll = \leq\), la compatibilité toujours vraie et \(X \parallel Y\) si \(X\) et \(Y\) n'ont pas de face commune, les supports s'identifient aux parties quelconques de l'ensemble des sommets, le support d'un simplexe étant le simplexe lui-même⁶⁵ . Avec la définition \(\mathrm{supp}\, X \cap \mathrm{cosupp}\, \partial X\), tout simplexe de dimension \(\geq 1\) a un intérieur vide, chacun de ses sommets étant dans une face propre. « C'est triste mais c'est vrai. »

Avec \(\leq\), \(\ll\), \(\mathrel{|{\circ}|}\) pour relations primitives, on définit, dans la version qu'il appelle « magasin spécial »⁶⁶ , pour \(L = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\) la plus grande partie fermée commune, \[ X \between Y \iff X' \mathrel{|{\circ}|} Y' \ \text{pour tous}\ X' \in \widetilde{X} \smallsetminus L,\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus L , \] définition qui ne fait pas intervenir \(\ll\). Il reprend les axiomes de la page 51 avec \(\Lambda = \mathcal{M}\) et en ajoute deux :

1. Mag 4''deux strates distinctes d'une même multistrate sont intérieurement disjointes ;
2. Mag 5''\(\mathrel{|{\circ}|}\) est symétrique et antiréflexive, et stable par raffinement intérieur : \(X \mathrel{|{\circ}|} Y\), \(X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\), \(Y' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \Rightarrow X' \mathrel{|{\circ}|} Y'\)⁶⁷ .

Avec Mag 4'' la compatibilité ainsi définie est héréditaire, et deux multistrates compatibles distinctes sont intérieurement disjointes. On en déduit Mag 6 : si \(X \between Y\) et \(Z \ll X, Y\), il y a \(Z'\) avec \(Z \ll Z' \leq X, Y\). En effet, soient \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\) les strates dont \(Z\) est raffiné intérieur ; elles sont compatibles ; si elles étaient distinctes elles seraient intérieurement disjointes, et Mag 5'' donnerait \(Z \mathrel{|{\circ}|} Z\), contre l'antiréflexivité ; donc \(X' = Y'\) est le \(Z'\) cherché⁶⁸ .

On obtient un atelier, dont la disjonction vérifie (Proposition 1) : \(X \parallel Y\) si et seulement si toutes les strates de \(X\) sont intérieurement disjointes de toutes celles de \(Y\) — par définition, l'antiréflexivité excluant une strate commune. La Proposition 2 (?) examine At C (spéc) : le sens \(\Rightarrow\) est démontré (pages 103 et 104), par la plus petite strate et Mag 5'' ; le sens \(\Leftarrow\) demanderait « un axiome supplémentaire genre At L 1 »⁶⁹ . Un Lemme montre que sous cette condition C, les lieux intérieurs de deux raffinements évitant \(L\) sont disjoints. D'où la Proposition (?) de la page 104 : \[ X \mathrel{|{\circ}|} Y \iff x \parallel y \ \text{pour tous}\ x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ} , \] dont le sens \(\Rightarrow\) vient de Mag 5'' et dont la réciproque reste ouverte. Inversement, dans un magasin donné par \(\leq, \ll, \between\) et satisfaisant At L 1 à At L 3, on peut définir \(\mathrel{|{\circ}|}\) par cette formule ; Mag 4'' vient de At L 3, Mag 5'' de ce que \(X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\) entraîne \(\mathrm{omb}(X')^{\circ} \subset \mathrm{omb}(X)^{\circ}\), et la compatibilité \(\between'\) que redéfinit \(\mathrel{|{\circ}|}\) coïncide avec \(\between\) si et seulement si At C (spéc) — équivalent sous At L 2 à At CL (spéc) — est vrai, parce que \(\mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L)\) est la réunion des \(\mathrm{omb}(X')^{\circ}\), \(X' \in \widetilde{X} \smallsetminus L\).

Le Scholie, et le changement d'optique (pages 106 à 108)

Scholie. Un \(\between\)-magasin satisfaisant At L 1 à At L 3 définit un \(\mathrel{|{\circ}|}\)-magasin par la formule ci-dessus. Un \(\mathrel{|{\circ}|}\)-magasin définit un \(\between\)-magasin, de disjonction « toutes les strates intérieurement disjointes ». Pour que \(\mathrel{|{\circ}|}\) provienne d'une relation sur les lieux, il faut la condition \[ (\ast\ast\ast) \qquad X \mathrel{|{\circ}|} Y \iff x \mathrel{|{\circ}|} y \ \text{pour tous}\ x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ},\ y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ} , \] ⁷⁰ du type d'un axiome de divisibilité : elle entraîne At L 1 — si \(\mathrm{omb}(X)^{\circ}\) était vide, on aurait \(X \mathrel{|{\circ}|} X\) —, et aussi At L 2 et At L 3, et At C (spéc) « semble automatique ». Il conclut à une « équivalence de catégories » entre \(\between\)-magasins satisfaisant At L 1 à At L 3 et At C (spéc), et \(\mathrel{|{\circ}|}\)-magasins satisfaisant \((\ast\ast\ast)\)⁷¹ . Les deux notions apparaissent comme deux généralisations d'une même structure, trop restrictive par la seule présence de At L 1.

« On dispose donc de deux généralisations possibles, en direction d'une topologie sans axiome de divisibilité. Mais c'est la direction \(\mathrel{|{\circ}|}\) qui me semble la plus riche » : elle a toujours un \(\between\)-magasin associé, et en plus une notion de disjonction intérieure qui exprime une intuition géométrique que la seule compatibilité ne peut dire en l'absence de At L 1. Dans ce cadre At C (spéc) paraît artificiel. « Donc finalement, je change d'optique … Je reprends tout, une nouvelle fois ! »⁷²

Magasins et ateliers spéciaux (pages 109 à 113)

Un magasin (de multistrates) est un ensemble \(\mathcal{M}\) muni de trois relations \(\leq\), \(\ll\), \(\mathrel{|{\circ}|}\), cette dernière se lisant « \(X\) et \(Y\) sont intérieurement disjoints » et pouvant s'écrire plus tard \(X^{\circ} \parallel Y^{\circ}\). Les axiomes, après un premier jet barré à la page 109, sont :

1. Mag 1\(\leq\) et \(\ll\) sont des relations d'ordre et \(X \leq Y \Rightarrow X \ll Y\) ;
2. Mag 2si \(Z \ll X\), l'ensemble \(\{X' \in \widetilde{X} \mid Z \ll X'\}\) a un plus petit élément ; si c'est \(X\), on écrit \(Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\) ;
3. Mag 3\(\mathrel{|{\circ}|}\) est symétrique, antiréflexive, et stable par raffinement intérieur ;
4. Mag 4deux strates distinctes d'une même multistrate sont intérieurement disjointes⁷³ .

On définit alors \[ X \between Y \iff X' \mathrel{|{\circ}|} Y' \ \text{pour tous}\ X' \in \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y},\ Y' \in \widetilde{Y} \smallsetminus \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} , \] \[ X \parallel Y \iff X' \mathrel{|{\circ}|} Y' \ \text{pour tous}\ X' \in \widetilde{X},\ Y' \in \widetilde{Y} , \] et \(X \parallel Y\) si et seulement si \(X \between Y\) et \(\{X, Y\}\) n'est pas minoré. Une figure du magasin est une partie fermée pour \(\leq\) dont les éléments sont deux à deux compatibles ; les \(\widetilde{X}\) en sont.

Un atelier spécial est la donnée \((\mathfrak{F}, \leq, \ll ; \mathrel{|{\circ}|})\) : At 1 (sommes des familles majorées), At 2 (toute figure est la somme de ses strates, qui forment le magasin \(\mathcal{M}\)), At 4 (critère de raffinement par strates), At 3 (spéc) — (a) \(F \vee G\) existe si et seulement si les strates de \(F\) et de \(G\) hors de leur partie commune sont intérieurement disjointes, (b) \(\mathrel{|{\circ}|}\) ne relie que des multistrates —, plus Mag 1 à Mag 4 sur \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \mathrel{|{\circ}|})\). De façon équivalente, c'est un ensemble \(\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) de parties fermées pour \(\leq\) (At \(\mathcal{M}\) 1), stable par passage aux parties fermées (At \(\mathcal{M}\) 2), qui recouvre \(\mathcal{M}\) et contient la partie vide (At \(\mathcal{M}\) 3), et où \(\Phi \cup \Psi \in \mathfrak{F}\) si et seulement si \(X \between Y\) pour tous \(X \in \Phi\), \(Y \in \Psi\) (At \(\mathcal{M}\) 4)⁷⁴ . Il est « à figures finies » si l'on prend pour \(\mathfrak{F}\) les parties finies fermées d'éléments deux à deux compatibles, ce qui demande Mag fin : chaque \(\widetilde{X}\) est fini.

Le dossier s'arrête au premier tiers de la page 113, sur une remarque : au cours du travail, c'est « finalement l'atelier qui est au centre de la structure, alors que l'ensemble \(\mathfrak{F}\) de toutes les figures joue un rôle un tantinet accessoire »⁷⁵ . La quatrième mouture (dossier 156-8) s'ouvre sur un tableau des types de magasins dont le premier, les « magasins généraux », est celui-ci : \(\mathcal{M}\), \(\leq\), \(\ll\), \(\mathrel{|{\circ}|}\), Mag 1 à Mag 4.