Fonds Grothendieck, cote n° 156-6, pages 81–93

pagination de sa main 81 à 93 en tête des feuillets, qui coïncide avec celle des archivistes ; sous le numéro, un court trait horizontal sépare ce qui suit de la fin de la page 80

J'en viens aux ~~axiomes~~ subdivisions, dont il n'avait pas encore été question jusqu'à présent ! J'ai envie de poser

Proposition« Proposition » est écrit au-dessus d'un mot souligné puis lourdement biffé (peut-être « Axiome ») Soient F une figure, F' \ll F. Supposons qu'il existe une figure G non vide, avec G \parallel F', G \mathrel{\overline{\parallel}} F. Alors il existe ~~une~~ une telle figure avec G \ll F. le signe \overline{\parallel}, deux traits verticaux surmontés d'une barre, s'oppose ici à \parallel (disjonction) : « non disjoint ». Il revient pages 82 à 86

~~En vertu de~~ On prendra dans premier pour G une X \in \mathcal{M}, et ~~une~~ une x \in \mathcal{L}, ~~pour~~ en prenant n'importe quel X dans \mathrm{Omb}(G) avec x dans \mathrm{Omb}(G). (NB la vérification de (1.58 page 59))la formule (1.58) et sa page 59 sont au lot 3 ; le lot 4 les cite de même

Pour trouver une énoncé minimal qui implique la prop., notons que dans la situation initiale, G, l'hypothèse G \mathrel{\overline{\parallel}} F signifie aussi (grâce à At 9) qu'il existe x \in \mathrm{Omb}(F), y \in \mathrm{Omb}\, G, tels que x \mathrel{\overline{\parallel}} y, et même, prenant , y \parallel F' ! Soit donc X \in \widetilde{F} tel que x \in \mathrm{Omb}(X)^{\circ} i.e. x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X.« une énoncé » est sur la page ; « \in \widetilde{F} » : le tilde est lu sous le F en fin de ligne, douteux

F' \ll F, \qquad F'_X \leq F', \qquad X \leq F, \qquad F'_X \ll X, \qquad x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, \quad y petit schéma au bas de la page : F' \ll F sur la première ligne, F'_X \ll X au-dessous, reliés par des \leq couchés (F'_X \leq F', X \leq F) ; sous X, un \gg surmonté d'un petit rond vers x, et y à côté de x

On veut remplacer la situation initiale par F'_X \ll X, \qquad x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, \qquad y \qquad (\text{i.e. on } F \in \mathcal{M},\ G \in \mathcal{L}) sous X, le signe vertical vers x est surchargé et raturé en utilisant ~~deux~~ plus l'existence d'un x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} tel que x \mathrel{\overline{\parallel}} y. Supposons qu'on puisse trouver z \in \mathrm{omb}(X) telles que z \parallel F'_X. On aura z \ll X \leq F donc z \ll F, prouvons que z \parallel F' (dans la figure, on prendra G = z).la lettre z est écrite chaque fois d'un trait barré, comme un \mathcal{Z} ; « G = z » : un accent ou prime après le z n'est pas certain

~~Mais en fait, on n'a pas At 9 il suffit de vérifier que \forall\, z' \in \mathcal{L}, z' \ll F', on ait z' \parallel z, si z' \ll F'_X, cela résulte de F'_X \parallel z.~~ Cela ne résulte pas passage barré d'un long trait et de traits obliques ; un cadre à gauche entoure « Mais en fait », « z' \parallel z » et un mot commençant par « Di », lus en partie

Le cas suivant suffit F' \ll F, \qquad F'_G \leq F', \qquad G \leq F, \qquad F'_G \ll G, \qquad H \ll G schéma : F' \ll F au-dessus de F'_G \ll G, reliés par des \leq couchés ; sous G, un \gg couché vers H

Pour que ~~H soit disjoint de~~ l'on ait H \parallel F', il (faut et) suffit que H \parallel F'_G.

(On l'appliquera : G = X, H = z) Supposons en effet H \parallel F'_G, prouvons H \parallel F', donc que x' \in \mathrm{omb}\, F',\ x \in \mathrm{omb}\, H \Longrightarrow x \parallel x' . NB OPS H = x, F' = x'note encadrée à droite ; « H = x » est écrit sur un premier signe biffé Or on sait par hyp. si x \in \mathrm{omb}\, F'_G = \mathrm{omb}\, F' \cap \mathrm{omb}\, G. Si x \in \mathrm{omb}\, F' \smallsetminus \mathrm{omb}\, F'_G

Considérons x' \ll F' \ll F, \qquad x'_G \ll F'_G \ll G, \qquad x \ll G schéma : deux lignes x' \ll F' \ll F et x'_G \ll F'_G \ll G, reliées par trois \leq couchés (x'_G \leq x', F'_G \leq F', G \leq F) ; sous G, un \gg couché vers x

Comme x'_G \leq x', et x' \in \mathcal{L}, on aura x'_G = x' ou x'_G = \emptyset, et comme x' \not\ll F'_G par hyp., on a x'_G = \emptyset. Mais cela signifie aussi que ~~\mathrm{omb}(F~~ x' \in \mathrm{omb}(F) \smallsetminus \mathrm{omb}(G), donc x et x' appartiennent à deux strates différentes de \mathrm{omb}(F), donc x \parallel x' At 10.« x' \not\ll F'_G » : le \ll est barré d'un trait ; entre « x \parallel x' » et « At 10 », quelques mots écrits en biais et biffés

Nous allons donc poser

NB At 8, At 9, At 13 sont des axiomes de type « beaucoup de lieux »note oblique dans la marge droite, en face de ce qui suit

At 13 ~~Soient~~ Soient F \ll X, avec X \in \mathcal{M}. Si Supposons qu'il existe G \in \mathfrak{F}, G \neq \emptyset, G \parallel F, G \mathrel{\overline{\parallel}} X (NB on ~~pourrait~~ pourra donc prendre G \in \mathcal{L}). Alors il existe x \in \mathrm{omb}\, X, tel que ~~F \parallel~~ x \parallel F ( x \mathrel{\overline{\parallel}} X).

(Cela bien dans

« Axiome de » (dans le critère d'existence ) ; Avec la notation de abstrait (\mathfrak{F}, \leq) ou (\mathcal{M}, \leq), l'hypothèse signifie aussi ; At 13 dit que F \neq il existe longue note oblique dans la marge gauche, de At 13 au corollaire, lue par fragments

Corollaire Soit F' \ll F. Conditions équivalentes :

(i)\forall\, G \in \mathfrak{F}, G \parallel F' \Longrightarrow G \parallel F (donc G \parallel F' \Leftrightarrow G \parallel F) (ii)~~\forall\, x~~ Pour tout x \in \mathrm{omb}(X), on a x \mathrel{\overline{\parallel}} F'

« \mathrm{omb}(X) » est sur la page ; la démonstration de la page 84 se sert de x \ll F, i.e. x \in \mathrm{omb}(F)

(iii)~~Il n'existe pas~~ Pour tout \overline{F'} , avec F' \leq \overline{F'} \ll F on a F' = \overline{F'}, i.e. F' est maximal parmi les raffinements de F, ordonnés par \leq (iv)~~Pour tout F' avec F' \ll \overline{F'} \ll F on a F' = \overline{F'}, i.e. F' est maximal parmi les raffinements de F, ordonnés par \ll.~~

(iv) est barré de grands traits en zigzag

Dém. (i) \Leftrightarrow (ii) n'est autre que la prop. (conditionnée par At 13), compte tenu de la remarque qui la suit.

~~(iii) \Rightarrow (ii) est évident~~ i.e. \overline{\text{(ii)}} \Rightarrow \overline{\text{(iii)}}. En effet (iii) \Longrightarrow (ii) ~~(ii) n'était~~ si on a x \in \mathrm{omb}\, F, avec x \parallel F,« \overline{\text{(ii)}} », « \overline{\text{(iii)}} » : les numéros surlignés, pour les négations considérons F' \vee x = \overline{F'} prouvons que l'on a \overline{F'} \ll F (ce qui montrera \overline{\text{(iii)}}, car F' \nleq \overline{F'}). Or ~~il suffit donc de prouver cela~~ par At 4 cela se prouve strates par strates, on y gagne.« x \parallel F » : on attend x \parallel F'. Le signe de « F' \nleq \overline{F'} » est un \leq barré ; on attend F' \neq \overline{F'}

~~Prop. Soit F figure,~~ Il reste à prouver que (ii) \Longrightarrow (iii). ~~Prouvons d'abord (ii) \Rightarrow (iii).~~ Si dans (iii), on avait F' \neq \overline{F'}, soit X \in \widetilde{\overline{F'}} \smallsetminus \widetilde{F'}, x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ}, alors x \ll \overline{F'} \ll F donc x \ll F, et x \parallel F', contrairement à (ii). ~~Ainsi (i) (ii) (iii) sont équivalentes et impliquées par (iv).~~ Mais impliquent-elles (iv) ?

Définition Quand ces conditions sont satisfaites, on dit que F' est une subdivision de F, ou F une surdivision (ou une agrégation) de F', et on écrit F' \preccurlyeq F . le signe est un \leq dont le trait inférieur est ondulé, comme au lot 1 (page 7), où \preccurlyeq note déjà la subdivision. Dans la première mouture (GF IV, dossier 156-4, lot 5, p. 84), \preccurlyeq est une relation primitive dont se déduit \ll ; ici la subdivision est définie à partir de \ll et de la disjonction

NB At 13, on définition F' \ll F ; NB F' \preccurlyeq F surjectif ; Plus généralement si F'' \ll F' \ll F et ; Mieux : F'' \ll F' \ll F, (F'' \preccurlyeq F) \Rightarrow F' \preccurlyeq F longues notes obliques dans la marge gauche, sur toute la moitié supérieure, lues par fragments

Proposition La relation F' \preccurlyeq F dans \mathfrak{F} est une relation d'ordre.

Elle est évidemment réflexive. Prouvons F'' \preccurlyeq F' \preccurlyeq F \Longrightarrow F'' \preccurlyeq F . Soit ~~donc~~ G \in \mathfrak{F}, supposons G \parallel F'', prouvons G \parallel F. En effet, on a G \parallel F' car F'' \preccurlyeq F', donc G \parallel F car F' \preccurlyeq F, OK.

Proposition Considérons F' \ll F, \qquad F'_G \leq F', \qquad G \leq F, \qquad F'_G \ll G . même schéma carré que page 82 ; près de « Proposition », de petits signes (F'', \succcurlyeq) mêlés à la note de marge Si F' \preccurlyeq F, alors F'_G \preccurlyeq G.

En effet, ~~soit K \in \mathfrak{F}, avec x~~ il suffit de voir que pour ~~\forall\, x \in \mathrm{omb}~~ tout x \in \mathrm{omb}(G), on a x \mathrel{\overline{\parallel}} F'_G. Mais si on avait x \parallel F'_G, on aurait x \parallel F' par le lemme p. 82, contrairement à F' \preccurlyeq F, cqfd.

Corollaire Soit F' \ll F, et F_i \leq F (i \in I) tels que \operatorname{Sup} F_i = F. Soit F'_i = F' | F_i le raffinement de F_i induit. Alors F' \preccurlyeq F ssi F'_i \preccurlyeq F_i \forall\, i \in I.

Nécessité résulte de la prop. Pour la suffisance, soit x \in \mathrm{omb}\, F, prouvons qu'on ne peut avoir x \parallel F'. Comme \mathrm{omb}\, F = \bigcup_i \mathrm{omb}(F_i), \exists\, i \in I t.q. x \in \mathrm{omb}\, F_i. Mais alors, comme F'_i \preccurlyeq F_i on a x \mathrel{\overline{\parallel}} F'_i, ce qui par le lemme signifie x \parallel F', cqfd.« signifie x \parallel F' » : la barre, qu'on attend, n'est pas sur la page

Corollaire 2 Recollement des subdivisions. c'est, dans la première mouture, l'axiome C8 « Axiome de recollement des subdivisions » (GF IV, p. 86 ; dossier 156-4, lot 5)

At 14 Soient G \leq F, G' \preccurlyeq G. Alors \exists subdivision F' de F qui induise G'. sous G, un \succcurlyeq couché vers G'. At 14 est marqué d'un trait vertical dans la marge

Je voudrais ?note oblique dans la marge gauche, en face de At 14

Par le recollement des subdivisions, on doit être ramené (par une construction transfinie , si \widetilde{F} infini) au cas où F = X \in \mathcal{M} .

Remarque On aimerait avoir un choix canonique, ou une subdivision F' la moins fine (maximale) parmi celles qui ont la propriété voulue, comme dans le cas ensembliste. Ce serait une variante, qu'on pourrait énoncer ainsi :

At (fort) 14 bis Sous les conditions précédentes, ~~considérons~~ Considérons ~~Multomb~~ \widetilde{G} \subset \widetilde{F}, \qquad \widetilde{G'} \longrightarrow \widetilde{G} la flèche monte de \widetilde{G'} vers \widetilde{G}, sous l'inclusion \widetilde{G} \subset \widetilde{F} ; « (fort) » est écrit par-dessus un mot biffé alors on peut trouver F' \preccurlyeq F induisant G', de telle façon que dans le diagramme d'ens. ordonnés

\begin{tikzcd} \widetilde{G'} \arrow[r, hook] \arrow[d, "\varphi|\widetilde{G'}"'] & \widetilde{F'} \arrow[d, "\varphi"] \\ \widetilde{G} \arrow[r, hook] & \widetilde{F} \end{tikzcd}

carré marqué « cart » au centre ; l'étiquette de la flèche de gauche, lue \varphi|\widetilde{G'}, est douteuse on ait \widetilde{F'} \smallsetminus \widetilde{G'_{+}} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{F} \smallsetminus \widetilde{G}, au-dessus de « \widetilde{F'} \smallsetminus \widetilde{G'_{+}} » : « sous-ens. fermé » ; au-dessus de la flèche : « iso d'ens. ordonnés ». L'indice lu + est douteux et pour \xi \in \widetilde{G'_{+}}, \eta \in \widetilde{F'}, on ait \xi \leq \eta ssi \varphi^{*}(\xi) \leq \varphi^{*}(\eta) [ce qui détermine l'ens. ordonné \widetilde{F'} et les diagrammes précédents, à iso unique près].l'exposant de \varphi, une petite étoile ou un dièse, est rendu \ast

22. Juindate de sa main, soulignée, dans la marge gauche, en face du paragraphe qui suit

J'ai l'impression qu'on doit pouvoir prouver qu'un tel F' est unique, comme la plus grande des subdivisions de F induisant G' sur G. Dans le cas où \mathfrak{F} est à figures finies (pour éviter des inductions transfinies …), ~~cette~~ cette condition est équivalente à :

unicité ?note oblique dans la marge gauche

At (fort) 14 ter : Soit X \in \mathcal{M}, et F' \preccurlyeq \partial X. Alors il existe un unique X' \in \mathcal{M} tel que X' \preccurlyeq X, \partial X' = F'. l'énoncé est marqué d'un double trait vertical dans la marge

Nous imposerons du moins cette condition pour les ateliers stricts (cf plus bas). Mais on notera que cette condition n'est pas vérifiée dans le cas d'ateliers simpliciaux stricts, par exemple [triangle] est un contre-exemple.un petit triangle dessiné, un point marqué près d'un sommet, précédé d'un « ! »

(Atelier simplicial : ~~tout X \in \mathcal{M}~~ \forall\, X \in \mathcal{M} est un « simplexe » ~~toute~~ partie non vide de \widetilde{X} … \widetilde{X} ~~soit~~ finis, ~~et tout X soit fini.~~ de \mathcal{M} … par exemple : \bigcirc )parenthèse très corrigée : plusieurs lignes serrées, des insertions et un passage barré de plusieurs traits ; lue en partie seulement. Elle s'achève sur un petit cercle dessiné

Atelier simplicial strict : simplicial et X, Y compatibles \Rightarrow X \cap Y \in \mathcal{M}, i.e. (X, Y) dans \mathcal{M} note oblique dans la marge gauche, lue en partie

Pour le moment, je voudrais

1°)Expliciter les axiomes dans le cas d'un atelier ensembliste 2°)Voir leur stabilité stabilité par passage à un sous-atelier 3°)Étudier l'opération de saturation d'un atelier ( au cas d'un atelier « modéré »).

Nous avons vu (p. 55-57) qu'un atelier ensembliste est défini par un ens. \mathcal{L} et une partie \mathfrak{F} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) satisfaisant les conditions Atens 1, 2, 3. (On a déjà vu qu'on a automatiquement At 1 à At 8. Il faut examiner les autres axiomes. Pour les exemples et contre-exemples on pensera surtout au cas \mathcal{L} fini, et on peut se représenter au partie …« Atens » est suivi d'un petit signe en exposant ; la ligne finale est écrite serrée au bas du feuillet

~~At 9 J'ai pensé au cas~~

d'une donnée de \mathcal{M} ens. de figures dans \mathcal{L}, avec relation \underset{\mathcal{M}}{\between}, satisfaisant Atens* 1 – Atens* 3. Si on prend p.ex. \mathcal{M} = \lbrace \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace \mid x \in \mathcal{L} \rbrace , le premier départ de l'accolade est surchargé, et un mot est biffé sous « x \in \mathcal{L} ». Le sigle lu « Atens* » (au lot 4, page 61 : « Atens* 4 ») se présente ici comme « At ens » suivi d'un signe proche de « ff » donc la donnée se réduit strictement à celle d'une relation symétrique réflexive x \between y dans \mathcal{L} (les conditions Atens* 1–3 étant trivialement satisfaites).

At 9 dans ce cas-là ~~signifie que~~ est automatiquement vérifié. Dans le cas général, il se traduit par

~~Atens* 4~~ (*) Atens* 4 Si X, Y \in \mathcal{M} et |X| \cap |Y| = \emptyset. Alors X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y ssi \forall\, x \in |X|, y \in |Y|, x \underset{\mathcal{M}}{\between} y. la fin de l'énoncé est ajoutée au-dessus de la ligne et rattachée par un trait ; le sigle est surchargé et biffé, puis récrit

Mais compte tenu de Atens 2, cela équivaut à :

Atens 2 (ou Atens* 4) Si X, Y \in \mathcal{M} et |X| \cap |Y| = \emptyset, alors X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y (donc X \parallel Y).

En fait, on a donc X \parallel Y ssi |X| \cap |Y| = \emptysetnote oblique dans la marge gauche

Atens 9_{\Sigma} se traduit par

Atens 2_{\Sigma} (ou Atens* 4_{\Sigma}) ~~Soient~~ Soient X, Y \in \mathcal{M}, ( fig. ens. ) soit K l'ens. des strates communes à X et Y. Pour que X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y, il faut et il suffit que |X| \cap |Y| = K (i.e. X \underset{\mathrm{ens}}{\between} Y) et K \in \Sigma.l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge

Le cas où \Sigma = tous les ens. ordonnés (axiome At 9') ceci équivaut à dire que \mathfrak{F} est un sous-atelier spécieux de ~~\mathfrak{F}~~ \mathrm{Fig}(\mathcal{L}). Mais il on se rappellera que ce ne sera pratiquement jamais le cas pour les ateliers simpliciaux.

At 10 automatique par Atens (2).

At Axiome de stabilité par Sup. filtrantes \operatorname{Sup} F_i, quand les F_i \ll F et la famille F_i est « loc. finie près de F ».le numéro de l'axiome est biffé et n'est pas remplacé ; c'est l'axiome des Sup filtrants de la page 80 (At 11 bis). La page porte « \operatorname{Sup} F'_i », le prime douteux

de « très »note oblique dans la marge gauche

Cet axiome est vide dans le cas où les figures \in \mathfrak{F} sont ~~de t.f. finies~~ de t.f. (car alors la famille (F_i) = stationnaire …) At 12 (ou l'axiome donné At 9_{\Sigma} i.e. Atens 2_{\Sigma})« At 12 » est écrit sous un sigle biffé ; la parenthèse est lue en partie

Atens 4 (ou Atens* 4) Soient ~~X, Y \in \mathcal{M}~~, X' \ll X, Y' \ll Y dans \mathcal{M}, ~~K = X \cap Y~~ avec X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y, K = X \cap Y. Si X'_K \underset{\mathcal{M}}{\between} Y'_K (i.e. pour tout X'' \in \widetilde{X'} telle que X'' \ll K (i.e. X'' \ll Y) et tout Y'' \in \widetilde{Y'} telle que Y'' \ll K (i.e. Y'' \ll X) on a X'' \underset{\mathcal{M}}{\between} Y''), alors X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y.« alors X \between Y » est sur la page ; c'est la traduction de At 12 (lot 4, page 76), dont la conclusion est X' \between Y'. Le chiffre de « Atens* 4 » est surchargé

Résulte de Atens 2_{\Sigma}note oblique dans la marge gauche, en face de Atens 4

Grâce à Atens 2, on voit que At la condition sur F \ll X dans At 13 signifie que |F| \subsetneq |X|, et que At 13 est toujours vérifié.

La condition At 14 (peut-être condition) semble ~~plus~~ un peu discordante, traduite en termes de sous-ateliers d'un \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) — ce n'est plus dans le d'une condition de stabilité. , l'axiome At 14 bis (quantitatif) est plus sympathique :

Atens fort 5 : Soit X \in \mathcal{M}, et F' \preccurlyeq \partial X. Considérons l'unique F' \in \mathcal{M}. figure F \in \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) qui soit élémentaire — et telle que \partial F = F'. Alors F \in \mathcal{M}.« F' \in \mathcal{M}. » est seul sur sa ligne, sans suite ; la phrase reprend au-dessous. L'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge

Mais ce sera pas vrai pour les ateliers simpliciaux !

un court trait horizontal sépare ce qui suit

Passons à la situation d'un atelier \mathfrak{F}, et d'un sous-atelier \mathfrak{F}' \subset \mathfrak{F} (cf conditions Sous at 1, 2 p. 47)la page 47 est au lot 3

Les conditions At 1 à At 7 sur \mathfrak{F} se transportent automatiquement à \mathfrak{F}' ! Pour les conditions impliquant \mathcal{L} (At 8, 9, 9_{\Sigma}, 10) il faut distinguer soigneusement \mathcal{L} et \mathcal{L}'. Évidemment \mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' \subset \mathcal{L}' .

On voudrait qu'il y ait égalité, i.e. que tout élément minimal de \mathfrak{F}' (pour \ll) () soit minimal dans \mathfrak{F}. On posera

Définition On dit que le sous-atelier \mathfrak{F}' de \mathfrak{F} est épais (pour les lieux) si F \in \mathfrak{F}' \Rightarrow \mathrm{omb}(F) \subset \mathfrak{F}' i.e. F \in \mathfrak{F}',\ x \ll F \ (x \in \mathcal{L}) \Longrightarrow x \in \mathfrak{F}' . Il est dit quasi-dense si \forall\, X \in \mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M}, \exists\, x \in \mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' avec x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X i.e. x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ}.

Cela équivaut à :

Sous at (épais) 3 \forall\, X \in \mathcal{M}', x \in \mathcal{L}, t.q. x \ll X, x \in \mathfrak{F}'.

~~On dit~~ ou ~~Corollaire~~

Sous-at (quasi-dense) 3' \forall\, X \in \mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M}, \exists\, x \in \mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' avec x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X.

Bien sûr, Sous at 3 \Longrightarrow Sous at 3', et ces deux conditions impliquent At 8 pour \mathfrak{F}', et la dernière implique déjà \mathcal{L}' = \mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' . avant la formule, trois mots soulignés puis biffés

Ceci dit, At 9 n'est pas nécessairement stable par passage à un « sous-atelier », même plein. Pour être correct, on voudra

Sous-at 4 Si X, Y \in \mathcal{M}' et X \parallel Y dans \mathfrak{F}, alors X \parallel Y dans \mathfrak{F}' (\Leftrightarrow X \underset{\mathfrak{F}'}{\between} Y)

dans la « propriété »note oblique dans la marge gauche, en face de Sous-at 4

qui implique, avec Sous-at 3 (atelier plein) que si \mathfrak{F} satisfait At 9, \mathfrak{F}' aussi (bien que dans Sous-at 4 il soit question des lieux).

Moyennant Sous-at 4, et Sous-at 3, At 10 pour \mathfrak{F}' implique ~~que~~ itou pour \mathfrak{F}.ainsi sur la page ; le sens attendu, d'après le reste de la page, est de \mathfrak{F} vers \mathfrak{F}'

At 11 bis pour \mathfrak{F}' est une propriété de stabilité de \mathfrak{F}' dans \mathfrak{F} automatique.sous la ligne de At 11 bis est ajouté « ( At 11) »

Idem pour At 12. Pour At 13, moyennant Sous-at 3, Sous-at 4, la validité dans \mathfrak{F} l'implique dans \mathfrak{F}'. At 14 est discordante, At 14 bis dans le d'une condition de stabilité.

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