Fonds Grothendieck, cote n° 156-6, pages 61–80

pagination de sa main 61 à 80 en tête des feuillets, qui coïncide avec celle des archivistes

mais je ne veux pas l'expliciter en axiome ici ; ou je le vois comme cas particulier d'un axiome de recollement des raffinements, beaucoup plus général, dont il sera question plus bas. C'est un axiome qui s'énonce sans référence particulière aux lieux. Mais j'ai envie de deux axiomes, impliquant eux les lieux.

At 9 Soient X et Y \in \mathcal{M}, telles que \forall\, x \in \mathrm{omb}(X), y \in \mathrm{omb}(Y), x et y soient disjoints : ~~x \between y~~ x \parallel y. Alors X et Y sont disjoints : X \parallel Y. Critère de disjonction par les lieux.« omb » est souligné dans « \mathrm{omb}(X) »

D'autre part, pour un atelier ensembliste, (et par exemple quasi-ensembliste !) on pose

Atens 2 Si x, y \in \mathcal{L}, x \neq y, alors x \underset{\mathcal{M}}{\between} y

qui se traduit en termes de ~~\mathcal{M}, \between~~ \mathcal{M} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), et \underset{\mathcal{M}}{\between}, par

Atens* 4 \forall\, x, \struck{\ill{}}\, y \in \mathcal{L}, x \neq y, … \lbrace\lbrace x \rbrace\rbrace \underset{\mathcal{M}}{\between} \lbrace\lbrace y \rbrace\rbrace. « Atens » (atelier ensembliste) est souligné ; le « 4 » suit un chiffre biffé

Donc

Corollaire Pour un atelier ensembliste (satisfaisant aussi At 9 et Atens 2) si F, G sont deux figures, pour que F \parallel G, il f. et s. que \forall\, x \in \mathrm{omb}\, X, y \in \mathrm{omb}\, Y, on ait x \parallel y. il écrit « \mathrm{omb}\, X, \mathrm{omb}\, Y » là où l'on attend \mathrm{omb}\, F, \mathrm{omb}\, G

Dans le cas des ateliers quelconques, on trouve d'autre part

Corollaire Validité de (1.58), si \mathfrak{F} satisfait At 9. la formule (1.58) est à la page 59, d'après le renvoi de la page 70

D'autre part, je voudrais un puissant axiome facultatif

At 9' Soient X, Y \in \mathcal{M}, F et F = X \cap Y (dans \widetilde{F} l'une des strates communes). ~~Supposons que pour tout de \mathcal{M}~~, soit Supposons que pour tout x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(F) et tout y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(F) on ait x \parallel y (donc x \neq y) [et que indique aussi que \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(F) \,] Alors X \between Y. sous l'énoncé, un petit schéma : \mathrm{omb}(X) et \mathrm{omb}(Y), reliés par deux traits à \mathrm{omb}(F) au-dessous

NB La réciproque vraie aussi, par axiome de disjonction plus bas p. 72

Cet axiome est intuitivement , qu'il exprime la compatibilité des multistrates génériques (qui ~~points distincts~~

NB dans \mathfrak{F}, les Inf existent toujours, pour F \cap G F, G compatibles, il y correspond l'intersection de \mathcal{M} partie F. L'axiome ci-contre automatique deux figures quelconques note oblique dans la marge gauche, lue par fragments

ingrédients principaux pour décrire l'atelier, i.e. (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)) en termes ensemblistes, au moyen de la seule relation \between dans \mathcal{L} (puisque il est clair que pour deux lieux, \begin{equation} x \parallel y \Longleftrightarrow x \between y \text{ et } x \neq y \tag{1.59} \end{equation} ~~Le seul~~ Cela mettrait donc un poids particulier sur cette relation \underset{\mathcal{L}}{\between} (ou ce qui revient au même \underset{\mathcal{L}}{\parallel}) ~~dans~~ sur \mathcal{L}. Cet axiome est bien raisonnable, compris dans des cas non « ensemblistes », mais la seule chose, c'est qu'il n'est pas satisfait dans les cas simpliciaux les plus importants, cf exemples …. Mais dans ce cas, on peut substituer une ~~propriété~~ propriété qui fera le même usage

At 9'' Soient X, Y \in \mathcal{M} et F comme dans At 9' 1. Alors X \between Y \Longleftrightarrow \begin{cases} \forall\, x \in \mathrm{omb}\, X \smallsetminus \mathrm{omb}\, F \text{ et } y \in \mathrm{omb}\, Y \smallsetminus \mathrm{omb}\, F, \text{ on a } x \parallel y \\ F \text{ est « élémentaire » (i.e. } F \in \mathcal{M} \text{)} \end{cases} sous « élémentaire », il ajoute « i.e. c'est une multistrate commune » ; au-dessus, entouré, « réciproquement » ; la numérotation « At 9' 1 » est sur la page

Variante « simplicial » de At 9'

NB On peut donner variantes avec toutes autres conditions sur l'ens. ordonné \widetilde{F}.

At 9 est impliqué par chacun des Axiomes At 9', At 9''. (Et il coïncide …) la moitié supérieure de la page est couverte par une longue note oblique, écrite par-dessus le texte, qui en rend la fin illisible

(*) Introduction At 9, At 10, pour ces axiomes At 8, At 10 (qui sont ~~d'existence~~, : l'existence des lieux et des . ~~Donnons ici deux~~ Axiome de disjonction… At 10 Soient X, Y \in \mathcal{M}… ~~X \between Y, X \neq Y, alors \mathrm{omb}(F) disjoints~~… x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} et y \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ} … NB ~~Y \neq X … X \leq Y~~ X \cap Y \neq X, Y résulterait aussi de l'axiome du recollement At 11 plus bas — dans le cas général Y \subset X. Les axiomes At 8, At 9, At 10 « axiomes des lieux ». … At 10 X, Y \in \mathcal{M}, X \neq Y … x \parallel y … (*) … cf. p. 72note écrite en oblique en travers du haut de la page, marquée d'un astérisque cerclé ; lue par fragments seulement. C'est là qu'est énoncé l'axiome At 10 (« axiome de disjonction ») auquel renvoie la marge de la page 72 (« At 10, p. 64 »)

21. juindate de sa main, soulignée, dans la marge gauche en face de la Proposition

Proposition Soient \mathfrak{F} un atelier At 1 — At 7 Soit F \in \mathfrak{F}, F' \ll F, G \leq F. Alors G' = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G) existe, et G' est une sous-figure de F' :

\begin{tikzcd} F' \arrow[r, no head, "\ll" description] & F \\ G' \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & G \arrow[u, no head, "\leq" description] \end{tikzcd}

\begin{equation} \widetilde{G'} = \lbrace X \in \widetilde{F'} \mid X \ll G \rbrace \tag{1.60} \end{equation} . le numéro (1.60) est écrit dans la marge gauche, en face de la formule

Démonstration La formule (1.60) ~~résulte~~ est tautologique par la définition des \mathrm{Inf}^{\ll} le fait que \leq implique \ll. Mais sans admettre l'existence des Inf, la formule (1.60) définit une partie fermée de \widetilde{F'}, donc une sous-figure G' de F', et on a évidemment G' \ll F par

Peut-être remplacer (1.60) notes obliques dans la marge gauche du bas de la page, lues par fragments

At 4. Prouvons que c'est un Inf pour \ll, i.e. que pour toute figure \mathfrak{X}, on a \mathfrak{X} \ll F',\ \mathfrak{X} \ll G \Longrightarrow \mathfrak{X} \ll G' Par At 4, on est ramené au cas où \mathfrak{X} = Z \in \mathcal{M}. Comme Z \ll F', soit X' le plus petit élément de \widetilde{F'}{}^{Z} = \lbrace X' \in \widetilde{F'} \mid Z \ll X' \rbrace. Il suffit de prouver que X' \ll G', i.e. X' \ll G. Donc on est ramené au \mathfrak{X} rend sa lettre de ronde soulignée ; le Z est écrit par-dessus un X, ici et plus bas

Lemme Soitschéma : F' \ll F sur la première ligne ; sous F', X' \leq F' ; sous F, G \leq F ; sous X', Z \overset{\circ}{\ll} X' (signe pointé d'un petit cercle), et Z \ll G sur la dernière ligne F' \ll F, \quad X' \leq F', \quad G \leq F, \quad Z \overset{\circ}{\ll} X', \quad Z \ll G, alors X' \ll G.

En effet, soit X l'unique élément de \widetilde{F} tel que X' \overset{\circ}{\ll} X. Alors par At 7 on a que Z \overset{\circ}{\ll} X le Z est écrit par-dessus une lettre biffée donc X est le plus petit élément de \widetilde{F}{}^{Z}. Comme Z \ll G, \exists\, Y \in \widetilde{G} avec Z \ll Y, (par At 4) donc comme \widetilde{G} \subset \widetilde{F} d'où Y \in \widetilde{F}{}^{Z}, on a par définition de X, X \leq Y, ~~d'où X \in \widetilde{G}~~, donc ~~Z \ll X \leq~~ comme X' \ll X \leq Y \leq G d'où X' \ll G, qed.

Corollaire 1 ~~L'application~~ Si F' est aussi une sous-figure i.e. F' \leq F, alors G' est une ~~(1.61) G' = \mathrm{Inf}^{\leq}(F', G)~~ sous-figure de G, de F, et c'est F' \wedge G (sous-figure intersection).

Formule, en remarquant les rôles de F' et G — et le fait que G' = F' \wedge G se voit sur (1.60).

Corollaire 2 Si F' \ll F, ~~L'application~~ G \longmapsto G' \overset{\mathrm{df}}{=} F'.G \begin{equation} \mathrm{Sousfig}(F) \longrightarrow \mathrm{Sousfig}(F') \tag{1.61} \end{equation} commute aux Sup et aux Inf. Notation F'.G

En En effet, en termes des applications canoniques croissantes \varphi : \widetilde{F'} \longrightarrow \widetilde{F} d'ens. ordonnés, cette application s'identifie à l'application correspondante des sous-ensembles \varphi^{*} : \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\widetilde{F}) \longrightarrow \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\widetilde{F'}), \qquad A \longmapsto \varphi^{-1}(A) \,) qui a les propriétés en question. \mathfrak{P}_{\mathrm{f}} rend son « \mathfrak{P}f » : l'ensemble des parties fermées

Corollaire 3 Soit F' \ll F, et soit (F_i) une famille de sous-figures de F telles que F = \operatorname{Sup} F_i. Soit F_{ij} = F_i \cap F_j. Considérons les Notation \vee F_i

sous-figures F'_i, F'_{ij} de F' induites par les F_i, F_{ij}. Alors ~~F' = \operatorname{Sup}^{\leq} F'_i, F'_i \cap F'_j = F'_{ij}~~.

(i)Chaque F'_i est un raffinement de F_i (ii)Le raffinement induit par F'_i sur F_{ij} (= F_i \cap \uncertain{F_j}) (est F'_{ij}) est égal à celui induit par F'_j sur F_{ij}) (iii)F' = \operatorname{Sup} F'_i, et c'est un raffinement de F.

un trait vertical, terminé en flèche, relie (ii) à (iii) dans la marge

donne un principe de recollement des raffinements de F : un tel raffinement est connu (par (iii)) quand on connaît une « famille compatible » de raffinements des F_i. La question est si donnée celle-ci arbitraire… . C'est ce qui va être assuré par l'axiome suivant

NB Si pour tout i, j F_{ij} (F'_{ij} F'_i|F_{ij}) (ii) signifie F'_i|F_{ij} = F'_j|F_{ij}note oblique dans la marge gauche, lue par fragments

At 11 (Axiome de recollement des raffinements) Soit F \in \mathfrak{F}, et pour tout X \in \widetilde{F}, soit F'_X \ll X un raffinement de X. On suppose que pour X, Y \in \widetilde{F}, Y < X ~~X \neq Y, X \angle Y~~, on ait ~~F' | X \cap Y =~~ F'_Y = F'_X | Y Alors \exists\, F' \ll F, tel que pour tout X \in \widetilde{F}, F'_X = F' | X. le « 11 » de At 11 est écrit par-dessus un autre chiffre

NB Par le corollaire précédent, F' est unique. On l'appelle le raffinement de F obtenu par recollement à partir des raffinements F'_X de ses multistrates. il écrit « F_X »

NB ~~Cet axiome~~ Le contenu essentiel de cet axiome, c'est que les F'_X étant donnés soient compatibles entre eux, de façon à pouvoir former \operatorname*{Sup}_{X \in \widetilde{F}} F'_X = F' (du moins, on pourrait le faire, indépendamment de At 11, si on suppose \widetilde{F} fini…). La difficulté est de comparer F'_X et F'_Y quand on n'a pas Y \leq X ou X \leq Y.

Donc le noyau de At 11 est ceci :

Cor. (At 11') Soient X, Y \in \mathcal{M} avec X \between Y, soit X' \ll X, Y' \ll Y, ~~F = X \cup Y~~, Z T = X \cap Y. Supposons que X' | T = Y' | T (ou, ce qui revient au même, pour toute Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, X' | Z = Y' | Z). Alors X' \between Y' ! « Cor. » est surchargé et la mention « (At 11') » est ajoutée au-dessus ; les X', Y' sont écrits par-dessus d'autres lettres

Ceci est une variante précisée affaiblie de At 11. Elle implique At 11 pour \widetilde{F} fini — plus généralement, au moins pour At 11 que les F'_X sont compatibles entre eux, et si on \operatorname{Sup} F'_X existe

(ce qui est automatique si \widetilde{F} fini) donc je dis que les F'_X sont \operatorname{Sup} F' répond à la question. En , . \widetilde{F'} = \bigcup_{X} \widetilde{F'_X} et on F' \ll F par At 4. Prouvons \forall\, X \in \widetilde{F} que F' | X = F'_X, que F'_X = \operatorname*{Sup}_{Z \in \widetilde{F}} (F'_Z | X) Et par la condition sur les F'_Z la suite est un passage encadré d'une longue courbe et en partie barré de traits obliques : un schéma F' \ll F, F'_Z \ll Z, X, avec X \cap Z au-dessous, et deux lignes de relations \operatorname{Sup}_Z F'_Z = F' \ll F, F'_Z | X \leq F'_X | X \ll X ; à droite, barré, « raffinements F'_Z de F sous-figures X de F les supports des F'_Z »

On regarde ensembliste \widetilde{F'} = \bigcup \widetilde{F'_X} \longrightarrow \widetilde{F} \supset \widetilde{X} \widetilde{F} est réunion des \widetilde{X}, et ici \widetilde{F'} a été obtenu par recollement ~~des~~ des systèmes des \widetilde{F'_X} des admissibles des \widetilde{X} recouvrant la famille admissible \widetilde{F}…

Corollaire 2 Sous les conditions du Cor. 3 de la page 66, si on se donne un système compatible (F'_i des raffinements des F_i (définition en termes )), alors

il existe un raffinement F' de F (nécessairement unique) qui les induit.

Dans le cas où la famille des indices I est finie, ceci résulte déjà du seul axiome affaibli At 11'.

En particulier

Cor. 3 Soient F, G deux figures avec F \parallel G, et considérons la figure H = F \amalg G somme disjointe. Alors

(i)Si F' \ll F, G' \ll G, on a F' \parallel G', et H' \overset{\mathrm{df}}{=} F' \amalg G' \ll H = F \amalg G . (ii)~~On trouve~~ On trouve ainsi une bijection \mathrm{Raff}(F) \times \mathrm{Raff}(G) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Raff}(F \amalg G), \qquad (F', G') \longmapsto H' = F' \amalg G' la bijection en sens inverse est donnée par H' \longmapsto (H'|F, H'|G) .

« Cor. 3 » répète le numéro du corollaire 3 de la page 66 ; la somme disjointe est notée par deux barres (ici \amalg) ; « (ii) » est ajouté devant « On trouve »

Se généralise au cas d'une famille F, somme disjointe de sous-familles F_i.

On obtient en particulier la relation (1.58) p. 59 F \parallel G, \quad F' \ll F,\ G' \ll G \Longrightarrow F' \parallel G' !

~~Cor. 4~~

Définition Une figure \mathfrak{X} est dite discrète si toutes ses ~~multi~~strates sont des lieux, i.e. \widetilde{\mathfrak{X}} \subset \mathcal{L}.

Ces telles figures sont connues ~~Coroll.~~ par la connaissance de la partie \widetilde{\mathfrak{X}} = A de \mathcal{L}. Celle-ci est formée de lieux deux à deux disjoints, et pour qu'une partie finie de \mathcal{L} « soit » une figure, il f. et s. que ses lieux soient deux à deux ~~disjoints~~ disjoints. Notons que la relation \leq ou \ll sur \widetilde{\mathfrak{X}} = A est la relation discrète (i.e. ainsi sur \mathcal{L} !) donc les parties fermées de A sont les parties quelconques, donc les sous-figures correspondent aux parties quelconques.

Plus généralement, si F est une figure, on s'intéresse aux sous-figures discrètes. Elles sont décrites par certaines parties A de \mathcal{L}.

Cor 4 Soit F une figure, Pour qu'une partie A de \mathcal{L} définisse une figure discrète \mathfrak{X} et qui soit \mathfrak{X} \ll F, il f. et s. que

(i)\mathfrak{X} \subset \mathrm{omb}(F) (ii)\forall\, X \in \widetilde{F}, \mathfrak{X} \cap \mathrm{omb}(X) « soit une figure » (p. ex. soit fini et formé d'éléments deux à deux disjoints).

Ceci indique notamment que , dans l'énoncé de At 9' ( X \between Y), la condition suffisante pour que condition en termes de lieux. de disjonction nécessaire [mais est visiblement équivalente à At 10]

Corollaire 5 Soient F une figure, G une sous-figure \neq F. Alors \exists\, x \in \mathcal{L} tel que x \ll F (i.e. x \in \mathrm{omb}(F)) et x \parallel G. At 10, p. 64.

Soit X \in \widetilde{F} \smallsetminus \widetilde{G}, et x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} (1.48), i.e. x \in \mathcal{L}, x \overset{\circ}{\ll} X. Je dis qu'il fait l'affaire. Pour voir qu'il est disjoint de G, on peut utiliser soit At 9 (critère de disjonction par les lieux) et At 10 (critère de disjonction pour les lieux), soit se référer à l'axiome des recollements, construisant G \amalg \ill{} comme raffinement de F… « (1.48) » renvoie à une formule d'un lot précédent ; le Corollaire 5 est marqué d'un trait vertical dans la marge

J'ai envie de renforcer At 11', dans la direction suivante :

Proposition (?) Soient F, G \in \mathfrak{F}, F \between G, et soit K = F \cap G. Soient F' \ll F, G' \ll G. Pour que F' \between G', il f. et s. que F' | K \between G' | K, et alors F' \vee G' \ll F \vee G.

Supposons que F' et G' soient compatibles, ~~soit K' = F' \wedge G'~~ i.e. que H' = F' \vee G' existe. Je dis que H' \ll F \vee G \overset{\mathrm{df}}{=} H : cela résulte aussitôt de la condition At 4. D'autre part, F'|K étant une sous-figure de H', et de même pour G'|K, donc ~~soit K' = F' \wedge G'~~ K' \leq F' \ll F \quad \text{et} \quad K' \leq G' \ll G, \quad \text{donc} \quad K'' \ll F, G, donc (…) K' \ll K = F \cap G = F.G. Donc . Ils sont compatibles. ~~on a le diagramme suivant~~ Inversement, supposons F'|K et ~~compatibles et~~ G'|K compatibles à partir d'ici et jusqu'au bas de la page, le texte est barré de longs traits obliques ; il est transcrit tel quel. « K'' » est sur la page

schéma (barré) : un hexagone F, H, G en haut, F', K', G' en bas, avec K et H' au centre ; flèches à crochet pour les \leq (F \to H, G \to H, K \to F, K \to G, K' \to F', K' \to G', F' \to H', G' \to H') et flèches verticales pour les \ll (F' \to F, G' \to G, H' \to H, K' \to K). Il est repris au propre page 74

(les deux flèches horizontales ) — les 8 flèches horizontales sont des \leq, et les grandes flèches verticales des \ll plus.

On a K' = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G') = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G', K) = \mathrm{Inf}^{\ll}\bigl(\underbrace{\mathrm{Inf}(F', K)}_{F'|K}, \underbrace{\mathrm{Inf}(G', K)}_{G'|K}\bigr) ~~F'.G'~~ et F'|K étant une sous-figure de F' \leq H', de H', et de même pour G'

On arrive donc au diagramme schéma : même disposition qu'à la page 73, au propre. En haut H ; en dessous F et G, reliés à H par des flèches à crochet ; au centre K, relié à F et à G par des flèches à crochet et à H par une flèche verticale, et une flèche de K vers H' ; puis F' et G', reliés à F et G par des flèches verticales ; en bas K', relié à F' et G' par des flèches à crochet et à K par une flèche verticale. Un premier « F » en haut à gauche est biffé

~~où K' = F' \cap G'~~

où K' = F' \cap G'. (NB. K' \ll K car K' \ll F et K' \ll G, K = \mathrm{Inf}^{\ll}(F, G)) ~~On a donc~~ Mieux, K' = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G') = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G', K) = \mathrm{Inf}^{\ll}\bigl(\mathrm{Inf}^{\ll}(F', K), \mathrm{Inf}^{\ll}(G', K)\bigr) i.e. K' = \mathrm{Inf}(\underbrace{F'|K, G'|K}_{\text{deux sous-figures de } H'}) = (\underbrace{F'|K}_{F'_K}) \cap (\underbrace{G'|K}_{G'_K}) . sous « deux sous-figures », un mot biffé

~~et je dis que~~ H'|F = F' \vee G'_K, \qquad H'|G = G' \vee F'_K H'_F = F' \vee H'_K, \qquad = G' \vee H'_K les deux premières égalités sont traversées de traits courbes (biffées ?) ; « H'|F » est surmonté de « H'_F » ; la seconde colonne de la dernière ligne est pour H'_G

on arrive : schéma : un cube tronqué, de haut en bas : H ; F et G ; K et H' au centre ; H'_F et H'_G ; F', H'_K, G' ; F'_K et G'_K ; K'. Flèches à crochet (\leq) : F \to H, G \to H, K \to F, K \to G, F' \to H'_F, G' \to H'_G, H'_F \to H', H'_G \to H', H'_K \to H'_F, H'_K \to H'_G, F'_K \to F', F'_K \to H'_K, G'_K \to H'_K, G'_K \to G', K' \to F'_K, K' \to G'_K ; flèches verticales (\ll) : H' \to H, H'_F \to F, H'_G \to G, H'_K \to K

Diagramme où les cinq carrés horizontaux sont ~~des \leq~~ cartésiens et cocartésiens (pour flèches \xrightarrow{\leq}) et les quatre flèches verticales sont des \xrightarrow{\ll} .

Inversement, supposons que F' \ll F \quad \text{et} \quad G' \ll G soient tels que F'_K \between G'_K ~~, désignons par H'~~. H'_K = F'_K \vee G'_K \qquad \text{on aura } H'_K \ll K \text{ par At 4} K' = \underbrace{F'_K \cap G'_K}

Considérons F' et H'_K ~~deux raffinements compatibles de~~ raffinements de F l'un, de K l'autre, et tels que F'_K \overset{\mathrm{df}}{=} F'|K soit compatible avec H'_K. Si on savait déjà qu'ils sont compatibles, on pourrait construire leur ~~Sup~~ Sup H'_F et H'_F \to F, et symétriquement H'_G (~~Sup~~ de G' et de H'_K). On vérifierait sans mal H'_F | K = H'_K, et de même H'_G | K = H'_K, donc par l'axiome de recollement, on saurait H'_F \between H'_G et on pourrait construire H' = H'_F \vee H'_G. ~~Dém.~~ Nous voyons, pour vérifier la partie non triviale de la proposition, on est ramené au cas particulier où G \trianglelefteq F et où F'_G \leq G'. sous G et F il écrit G' et F' avec le signe \ll tourné : G' \ll G, F' \ll F

i.e. on est ramené au

Cor. Main Soient G \trianglelefteq F, F' \ll F un raffinement de F, induisant le raffinement F'_G \leq ~~\ll~~ F' de G, et ~~soit~~ supposons F'_G \leq G', où G' est un raffinement de G. Alors G' F' et G' sont compatibles (et F' \cap G' = F'_G) . « Main » en anglais, souligné avec « Cor. »

Est-ce que ça résulte des autres axiomes ? ~~Regardons~~ On peut encore visualiser plus (c'est standard) de façon suivante

~~At 12~~ Corollaire Main Soient schéma : X \supseteq Y sur la première ligne ; sous X, X' \overset{\circ}{\ll} X ; sous Y, X'_Y \ll Y ; à droite, Y' \overset{\circ}{\ll} Y ; sur la ligne du bas X' \supseteq X'_Y, avec X'_Y = X'|Y X \supseteq Y, \quad X' \overset{\circ}{\ll} X, \quad Y' \overset{\circ}{\ll} Y, \quad X' \supseteq X'_Y = X'|Y . Si X'_Y \between Y', alors X' \between Y'.

C'est un renforcement ( cas particulier de At 11 ou At 11') des At 10, mais qui résulterait aussi de At 9'' + At 10, ou de At 9' + At 10.

On va formuler plutôt, sous forme un peu plus générale, qui impliquera aussi At 11' (donc, en tout, aussi At 11) :

At 12 Soient X' \ll X et Y' \ll Y dans \mathcal{M}, avec X \between Y. Soit K = X \cap Y, d'où X'_K \leq X', \quad X'_K \ll K \quad \text{et} \quad Y'_K \leq Y', \quad Y'_K \ll K . ~~Supposons que~~ Alors

si X'_K \between Y'_K, alors X' \between Y'. En d'autres termes, si \forall\, X'' \in \widetilde{X'} tel que X'' \ll K (\Leftrightarrow X'' \ll Y), et tout Y'' \in \widetilde{Y'} tel que Y'' \ll K (\Leftrightarrow Y'' \ll X), on a X'' \between Y'', alors X' \between Y'.

Ceci implique At 11', At 10, et la prop. de la p. 73. Donc cela implique At 11 pour ~~familles finies~~ \widetilde{F} fini, et le cor. 2 p. 69 pour finie. ~~un énoncé qui implique~~

At 10,

Les axiomes At 9 (critère de disjonction par les lieux) variantes 9', 9'' (critères de compatibilité par les lieux) At 10 (critère de disjonction des lieux) At 11 (critère de recollement des (variante un peu affaiblie At 11')) At 12 (critère de compatibilité par raffinements) dans le même par d'certains de figures (figures de , les ) intimement , reliés entre eux, par des implications diverses et diagrammes. Mais quitte d'abord à résumer une formulation commune, je vais à At 9' et At 9'', par la notion de \Sigma-atelier, où \Sigma est une sous-cat. pleine de la cat. des ens. ordonnés. Un atelier est un \Sigma-atelier si

(i)\forall\, \struck{X}\ X \in \mathcal{M}, \widetilde{X} \in \Sigma (ii)\mathfrak{F} satisfait l'axiome suivant :

un bloc biffé de hachures précède « Les axiomes »

At 9_{\Sigma} (critère de compatibilité par les lieux, pour \Sigma-ateliers) Soient X, Y \in \mathcal{M}, ~~tels que~~ K = X \cap Y \quad \Bigl( = \mathrm{Inf}^{\leq}(X, Y) = \operatorname*{Sup}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z \Bigr), de sorte que \widetilde{K} = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}. Pour que X \between Y, il f. et s. que

(i)\forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(K), y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(K), on a x \parallel y (ou encore x \between y) (ii)\widetilde{K} \in \Sigma

à la fin du (i), le signe de compatibilité est barré d'un trait : on attend « x \between y et x \neq y »

Cela implique donc

Corollaire 1 (ancien At 9'') Si on a (i) et

(ii')K \in \mathcal{M} (i.e. \widetilde{K} a un plus grand élément),

alors X \between Y.

En effet, K \in \mathcal{M} \Rightarrow \widetilde{K} \in \Sigma.

Corollaire 2 (ancien At 9') Supposons que \Sigma \supset catégorie des ens. ordonnés isomorphes à un \widetilde{F}, F \in \mathfrak{F} (p. ex. \Sigma = cat. de tous les ens. ordonnés) alors X \between Y ssi on a (i).

Tous les ateliers auxquels j'ai songé ~~supposons que les ateliers~~ sont des \Sigma-ateliers, pour \Sigma convenable, ce qui signifie que c'est un \Sigma-atelier pour \Sigma = \Sigma_{\mathcal{M}} = cat. des ens. ord. \widetilde{X}, X \in \mathcal{M}. Cela signifie aussi que At 9_{\Sigma} est valable pour \Sigma_{\mathcal{M}}, on en conclut que l'on la validité du cor. 1 les six dernières lignes sont barrées de grandes croix

Justification : 1°) \Sigma = tous 2°) \Sigma = \Sigma_{\mathcal{M}} cat. (ii) X \in \mathcal{M}note oblique dans la marge gauche, lue par fragments

Ceci posé, on a : \begin{array}{lll} \text{At } 9_{\Sigma} \Longrightarrow \text{At } 9 & & \text{At } 11 \Longleftrightarrow \text{At } 11 \text{ pour } F = \operatorname{Sup} F_i \text{ quelc.} \\ \Downarrow & & \\ \text{At } 12 \Longrightarrow \text{At } 10 & & \text{At } 11' \Longleftrightarrow \text{At } 11 \text{ pour } F = \operatorname{Sup} F_i \text{ fini} \\ \text{At } 12 \Longrightarrow \text{At } 11' \text{ pour } \widetilde{F} \text{ fini} & & \end{array} schéma d'implications : doubles flèches de At 9_{\Sigma} vers At 9 et vers At 12, de At 12 vers At 10 et vers « At 11' pour \widetilde{F} fini », de At 11 vers At 11', de « At 11 pour F = \operatorname{Sup} F_i quelc. » vers « At 11 pour F = \operatorname{Sup} F_i fini », et de At 11' vers « At 11' pour \widetilde{F} fini ». Une équivalence avec « At 11 » à la fin de la dernière ligne est biffée, ainsi qu'un signe dans la marge gauche

Dans ces axiomes, le seul qui fait la notion d'un critère d'existence pour un Sup d'une famille infinie de figures ~~condition~~ est At 11 (qui par cette raison n'est pas par At 12) — la seule autre qui un sup pour un \mathfrak{F} suit un premier schéma d'implications (At 9_{\Sigma}, At 9, At 9_{\Sigma} + At 10, At 12, At 10, At 11, At 11', avec les recollements des raffinements dans F = \operatorname{Sup} F_i), barré de grands traits obliques ; il est repris au propre au-dessous

schéma d'implications : de « At 9_{\Sigma} + At 10 » partent deux doubles flèches, vers At 9_{\Sigma} et vers At 12 ; de At 9_{\Sigma} une double flèche vers At 9 (critère de disj. par les lieux) ; de At 12 deux doubles flèches, vers At 10 et vers At 11' ; de At 11 une double flèche vers At 11'. Les légendes sont transcrites ci-dessous

At 11 (\Longleftrightarrow Recollement des raff. dans F = \operatorname{Sup} F_i) (\Longleftrightarrow At 11 bis + At 11') At 11' (\Longleftrightarrow Recollement des raffinements dans F = \operatorname{Sup} F_i pour I fini) At 9 (critère de disj. par les lieux)

Le seul axiome qui échappe à At 9_{\Sigma} + At 10 (équivalent : At 9_{\Sigma} + At 12) est At 11, qui implique un Sup infini. On pourrait donc renforcer At 11 par un énoncé qui soit équivalent, compte tenu de At 11' :

At 11 bis Soit F une figure, (F'_i)_{i \in I} une famille filtrante croissante de raffinements de F. Supposons que pour tout X \in \widetilde{F}, la famille des F'_i | X ait un Sup (soit F_X). Alors F' = \operatorname{Sup} F'_i existe.

NB Ça résulte aussitôt de At 11, et implique At 11 moyennant At 11' (critère de compatibilité). ~~Mais ce~~ sympathique, c'est le « condition de locale finitude ». Ainsi, on : aux axiomes « réduits » :

n'a rien à voir avec les lieux, et devrait se formuler avec les axiomes sans les lieux (critère d'existence des Sup filtrants)note de sa main dans la marge droite, reliée par une flèche à At 11 bis \text{At } 9_{\Sigma}, \quad \text{At } 10, \quad \text{At } 11 \text{ bis} le seul petit ennui étant dans la formulation de At 9_{\Sigma}, un peu , i.e. le choix d'un \Sigma. Si on veut At 9_{\Sigma}, on est réduit à nouveau : At 9, , At 11 bis, At 12 ici At 12 disparaît ici At 10 disparaît ; dans les deux systèmes d'axiomes At 11 et At 11' disparaissent, au profit de At 11 bis qui

et on perd seulement un critère de compatibilité universel par lieux, At 9_{\Sigma}, bien sympathique. Je la pour à la saturation de l'atelier, n'oubliant pas, dans la définition d'un atelier saturé, d'inclure At 9' = At 9_{\overline{\Sigma}} (pour \overline{\Sigma} = tous les ens. ordonnés).