Fonds Grothendieck, cote n° 156-6, pages 21–40

pagination de sa main 21 à 40 en tête des feuillets, qui coïncide avec celle des archivistes

question s'il n'existe une semblable nécessaire. Aussi, finalement, j'ai envie de poser

At 4le sigle « At » est écrit par-dessus une autre lettre (on lit d'abord « AE ») ; les axiomes At 1 à At 3 sont dans le lot 1. L'axiome est marqué d'un double trait vertical dans la marge Si F, G \in \mathfrak{F}, alors G \ll F ssi pour tout X \in \widetilde{G}, \exists\, Y \in \widetilde{F} avec X \ll Y.

Ainsi, la relation \ll sur \mathfrak{F} se déduit de la relation \ll sur \mathcal{M}.une croix de renvoi sous « la » avant « relation » ; son objet n'est pas lu Donc, si on aux figures de type fini, (\mathfrak{F}, \leq, \ll) (i.e. l'atelier) se reconstitue entièrement à partir de (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between).

Cor \forall F \in \mathfrak{F}, \mathrm{Omb}(F) = |\mathrm{Multomb}(F)| note oblique dans la marge gauche, à la hauteur de ce paragraphe, lue en partie ; comparer la formule du début de la page 25

At 5 Soient X \in \mathcal{M}, F \in \mathfrak{F}, tels que X \ll F. Alors ~~dans~~ l'ensemble F^{X} = \lbrace Y \in \widetilde{F} \mid \underbrace{X \ll Y}_{X \in \mathrm{Omb}(Y)} \rbrace (lequel est \neq \emptyset par C 4) admet un plus petit élément (pour \leq).

En d'autres termes, l'ensemble de parties \mathrm{Multomb}(F) = \lbrace \widetilde{Y} \mid Y \in \widetilde{F}, \ Y \trianglelefteq F \rbrace est une figure dans \mathcal{M}, au sens usuel, ~~que les \widetilde{Y}^{\circ} = \widetilde{Y} \smallsetminus \ill{}~~ qui est préadmissible. (C'est en tous cas impliqué par C 5, et lui est équivalent si on admet que la relation (pour Y, Y' \in \widetilde{F}) Y \leq Y', qui implique Y \ll Y' donc \mathrm{Omb}(Y) \subset \mathrm{Omb}(Y'), lui est en fait équivalente. Cela équivaut à la condition

At 6 Si X, Y \in \mathcal{M} et X \between Y, alors X \ll Y \Rightarrow X \leq Y (donc X \ll Y \Leftrightarrow X \leq Y).

En d'autres termes,

Corollaire 1 Soit F \in \mathfrak{F}. Alors dans \widetilde{F} \subset \mathcal{M}, les relations d'ordre \leq et \ll coïncident.

Corollaire 2 Soient F et G deux figures compatibles (F \between G). Alors F \ll G ssi F \leq G.

Il suffit de prouver \Longrightarrow, et par C 4, on est ramené à le ~~prouver~~ voir pour X (\in \widetilde{F}) et Y (\in \widetilde{G}) dans \mathcal{M}, ce qui n'est autre que C 6.

Ainsi, pour toute F \in \mathfrak{F}, la paramétrisation de \mathrm{Multomb}(F) par \widetilde{F} est fidèle et respecte les relations d'ordre ( \leq).

Ceci dit, pour voir que \mathrm{Multomb}(F) est bien une figure, il reste à voir que pour Y \in \widetilde{F}, \widetilde{Y}^{\circ} \overset{\mathrm{def}}{=} \widetilde{Y} \smallsetminus \bigcup_{\substack{Y' \in \widetilde{F} \\ Y' \leq Y}} \widetilde{Y}' sous la réunion, entre parenthèses : « ou mieux, Y' \ll Y, Y' \neq Y » est non vide. Mais il n'y a qu'à ~~prouver~~ noter que Y \in \widetilde{Y}^{\circ} !

NB C 6, Y' \in \ldots il Y' \neq Y, Y' \leq Y note oblique dans la marge gauche, en face de ce passage, lue par fragments seulement

Par la relation d'ordre \ll sur \mathcal{M}, on trouve une application \mathcal{M} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}), \qquad X \longmapsto \mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \ll X \rbrace \tag{1.39} le numéro (1.39) est écrit par-dessus un autre qui est injective (\ll relation d'ordre, pas seulement préordre) et la relation d'ordre de \mathcal{M} induite. Les figures \mathrm{Multomb}(F) sont les images, par cette injection, des \widetilde{F} (F \in \mathfrak{F}).

Proposition Soient F, G \in \mathfrak{F}. Conditions équivalentes

(i)F \leq G (i bis)\widetilde{F} \subset \widetilde{G} (ii)\mathrm{Multomb}(F) \leq \mathrm{Multomb}(G) i.e. \mathrm{Multomb}(F) est une sous-figure de \mathrm{Multomb}(G) (ii bis)\mathrm{Multomb}(F) \subset \mathrm{Multomb}(G),

Dém. F \leq G ~~trivial, et~~ \Leftrightarrow \widetilde{F} \subset \widetilde{G} ~~trivial~~ déjà connu (\Rightarrow trivial, \Leftarrow car F = \operatorname{Sup}_{\leq} X (X \in \widetilde{F}), G = \operatorname{Sup}_{\leq} Y (Y \in \widetilde{G})). L'équivalence (i bis) \Leftrightarrow (ii bis) triviale par l'injectivité de (1.39). Or (ii bis) est impliqué par (ii) (tautologique) ; l'inverse, que (ii bis) implique que \mathrm{Multomb}(F) est fermé dans \mathrm{Multomb}(G) pour l'inclusion. Mais \widetilde{F} \subset \widetilde{G} donc F \leq G, et il en ( et trivial) que \widetilde{F} est fermé dans \widetilde{G}.

Corollaire! ~~Conditions équivalentes pour~~ Soient F, G \in \mathfrak{F}il écrit « F, G \in \mathcal{M} » tels que F \between G, alors ~~(i) F \between G~~ (*) \qquad \mathrm{Multomb}(F) \between \mathrm{Multomb}(G), ~~Quand elles sont vérifiées~~, on a (**) \qquad \begin{cases} \mathrm{Multomb}(F \vee G) = \mathrm{Multomb}(F) \cup \mathrm{Multomb}(G) \\ \mathrm{Multomb}(F \wedge G) = \mathrm{Multomb}(F) \cap \mathrm{Multomb}(G). \end{cases}

La condition (ii) signifie que \widetilde{F} et \widetilde{G} sont fermés dans \widetilde{F} \cup \widetilde{G} \subset \mathcal{M}, pour la relation \ll (induite par \subset dans \mathfrak{P}(\mathcal{M})).ce dernier paragraphe est barré de plusieurs traits obliques

En effet, \widetilde{F \vee G} = \widetilde{F} \cup \widetilde{G}, et \widetilde{F} et \widetilde{G} y sont fermés, ~~dans \mathcal{M}~~ ce qui prouve que \mathrm{Multomb}(F \vee G) = \mathrm{Multomb}(F) \cup \mathrm{Multomb}(G), et que \mathrm{Multomb}(F) et \mathrm{Multomb}(G) y sont fermés, donc (*) et la première relation (**). La deuxième relation provient de ce que \widetilde{F \wedge G} = \widetilde{F} \cap \widetilde{G}.

NB Il n'est pas vrai en général que \mathrm{Multomb}(F) \between \mathrm{Multomb}(G) implique F \between G, — même si F et G sont réduits à deux lieux distincts x et y — auquel cas \mathrm{Multomb}(X) = \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace, \mathrm{Multomb}(Y) = \lbrace \lbrace y \rbrace \rbrace sont compatibles et même disjoints, mais x et y ne le sont pas forcément. Mais il sera vrai équivalence, dans le cas où \mathfrak{F} est un atelier ensembliste.« \mathrm{Multomb}(X) », « \mathrm{Multomb}(Y) » sur la page, pour les figures F, G réduites aux lieux x, y

vérifier plus tard

Corollaire 2 Si F et G sont disjointes, alors \mathrm{Multomb}(F) et \mathrm{Multomb}(G) aussi.

Cela provient formellement du corollaire 1 et de la formule \mathrm{Multomb}(\emptyset_{\mathfrak{F}}) = \emptyset \quad (\text{figure vide dans } \mathcal{M}) \tag{1.40}

Proposition Soient F, G \in \mathfrak{F}. Alors F \ll G \Longleftrightarrow \mathrm{Multomb}(F) \ll \mathrm{Multomb}(G).

D'abord une observation. Soit F \in \mathfrak{F}, d'où \mathrm{Omb}(F) = |\mathrm{Multomb}\, F| \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{X \in \widetilde{F}} \mathrm{Omb}(X) On a une application canonique \mathrm{Omb}(F) \xrightarrow{\ \varphi_F\ } \widetilde{F} NB. \varphi_F induit \mathrm{id}_{\widetilde{F}} sur \widetilde{F} \subset \mathrm{Omb}(F) associant à tout Y \in \mathrm{Omb}\, F, i.e. Y \in \mathcal{M} tel que Y \ll F, le plus petit élément de F^{Y} i.e. le plus petit X de \widetilde{F} parmi ceux satisfaisant Y \ll X i.e. Y \in \mathrm{Omb}\, X. Cette application est celle qui définit la relation de préordre de |\mathrm{Multomb}(F)| associée à la figure \mathrm{Multomb}(F).

Ceci dit, dire que \underbrace{\mathrm{Multomb}(G)}_{\Psi} \ll \underbrace{\mathrm{Multomb}\, F}_{\Phi}, pour G, F \in \mathfrak{F} données, signifie qu'on a une inclusion |\Psi| \subset |\Phi| \qquad \text{i.e.} \qquad \mathrm{Omb}\, G \subset \mathrm{Omb}\, F, et une application croissante f : \widetilde{G} \to \widetilde{F} rendant commutatif le diagramme (1.42)le numéro se lit plutôt « (1.48) » ; ses renvois des pages 26 et 27 à « (1.42) » visent ce diagramme

\begin{tikzcd} \mathrm{Omb}\, G \arrow[r, hook] \arrow[d, "\varphi_G"'] & \mathrm{Omb}\, F \arrow[d, "\varphi_F"] \\ \widetilde{G} \arrow[r, "f"] & \widetilde{F} \end{tikzcd}

Montrons que cela équivaut à G \ll F. En effet, si G \ll F, associant à tout X \in \widetilde{G} le plus petit élément f(X) de \widetilde{F} tel que X \ll f(X), on trouve bien une application f : \widetilde{G} \to \widetilde{F} et elle est évidemment croissante : si X, X' \in \widetilde{G}, X' \leq X \ \text{ i.e. } \ X' \ll X \ (\ll f(X)) \ \text{ implique que } \ X' \ll f(X), \ \text{ donc } \ f(X') \ll f(X), qui signifie f(X') \leq f(X)mise en page de la déduction condensée : il l'écrit en escalier sur trois lignes. Et il faut vérifier la commutativité de (1.42), ce qui ~~signifie~~ .

Corollaire Soient X \in \mathcal{M}, F, G \in \mathfrak{F} tels que X \ll G \ll F. Soit X' le plus petit élément de G^{X}, X'' le plus petit élément de F^{X'}, alors X'' est aussi le plus petit élément de F^{X}.

Il semble qu'il faille le prendre en axiome, sous forme , mais en fait équivalente. On va introduire une notation, pour X, Y \in \mathcal{M} X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \tag{1.43} numéro lu « (1.48) », comme page 25 ; la suite des numéros demande (1.43) (X est raffinement intérieur de Y) pour ~~X \ll Y, et X \ll Y~~ X \in \mathrm{Omb}(Y)^{\circ} = \mathrm{Omb}(Y) \smallsetminus \bigcup_{Y' < Y} \mathrm{Omb}(Y') i.e. X \ll Y, et X \ll Y' \leq Y implique Y' = Y.

On doit donc poser

At 7« At » écrit, comme page 21, par-dessus une autre lettre Si X, Y, Z \in \mathcal{M} sont tels que X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \quad \text{alors} \quad X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z i.e. la relation \overset{\circ}{\ll} est transitive.

Ceci prouve donc \Longrightarrow dans la prop. En sens inverse, s'il existe f comme dans (1.42), soit X \in \widetilde{G}, ~~alors \varphi_G(X)~~ de sorte que \varphi_G(X) = X (tautologique), moyennant (6), ~~on a donc~~ soit f(X) = Y, on a donc Y = \varphi_F(X) i.e. Y est le plus petit élément de \widetilde{F} ~~contenant X~~ tel que X \ll Y. Cela ~~signifie~~ ~~Donc~~ implique donc que pour tout X \in \widetilde{G}, existe Y \in \widetilde{F} telle que X \ll Y, i.e. (C 4) \widetilde{G} \ll \widetilde{F}, cqfd. On n'a pas utilisé le fait que f soit croissante, donc

Corollaire 2 de la prop. ~~Les conditions~~ Pour que \mathrm{Multomb}(F) \ll \mathrm{Multomb}(G) i.e. que F \ll G, il faut et il suffit que \mathrm{Omb}\, F \subset \mathrm{Omb}\, G, et que ~~dans~~ la relation d'équivalence sur \mathrm{Omb}\, F définie par \varphi_F soit plus fine que la relation d'équiv. induite ~~par~~ sur \mathrm{Omb}\, G.

Ce ne sera vrai, il faut R_F petitesnote oblique dans la marge gauche, en face du corollaire, lue en partie

Scholie Ainsi, via F \mapsto \mathrm{Multomb}(F), (\mathfrak{F}, \leq, \ll) s'interprète comme un « sous-atelier » de \mathrm{Fig}(\mathcal{M}).le \leq du triplet est surchargé, comme page 38 Donc la donnée de l'atelier (\mathfrak{F}, \leq, \ll) équivaut à celle d'un ens. \mathcal{M}, et d'une partie \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) \tag{1.44} entre \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} et le premier \subset, des signes lourdement biffés (donc \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})))) satisfaisant certaines conditions (qui doivent traduire C1 à C7).

Du coup, la notion de multiombre (générale) reprend un plus grand intérêt, et je me demande s'il ne faudrait pas une notation ~~plus~~ et un nom plus lapidaire.

Je vais expliciter les conditions sur cet ens. de figures ensemblistes dans \mathcal{M}. Je désignerai par At*1 etc. les en termes de (\mathcal{M}, \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \in \mathfrak{P}\mathfrak{P}\mathfrak{P}(\mathcal{M})).

Il est entendu que \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M}), i.e. ~~At*1~~ que les éléments de \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} sont des ensembles de parties de \mathcal{M} qui sont des figures ensemblistes F dans \mathcal{M}. ~~Ainsi~~ Considérons

\mathcal{M}^{*} = \bigcup_{\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}} \Phi \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \quad = \quad \lbrace A \in \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \mid \exists\, \Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \text{ avec } A \in \Phi \rbrace i.e. l'ensemble des strates de toutes les figures \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}.au-dessus de \mathcal{M}^{*}, ici et plus bas, un petit signe biffé

At*1 \mathcal{M}^{*} est une figure ensembliste dans \mathcal{M}, de support \mathcal{M}. De plus, le préordre associé (sur \mathcal{M}) est une relation d'ordre i.e. X, Y \in \mathcal{M},\ X \neq Y \Longrightarrow \exists\, A \in \mathcal{M}^{*} \text{ avec } X \in A,\ Y \notin A \ \text{ ou } \ Y \in A,\ X \notin A

Ainsi, l'application X \longmapsto \mathcal{M}_{\ll X} \overset{\mathrm{def}}{=} \mathrm{Omb}(X), \qquad (*) \quad \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}) induit une bijection de \mathcal{M} sur \mathcal{M}^{*}, transformant \ll en la relation d'inclusion. Les A \in \mathcal{M}^{*} sont les parties fermées irréductibles de \mathcal{M} admettant un pt générique.

Soit \Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} (donc \Phi \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) et par définition même \Phi \subset \mathcal{M}^{*} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})), donc \Phi est

l'image par ~~(1.39)~~ (*) \mathcal{M} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{M}^{*} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) d'une unique partie F \subset \mathcal{M}, à savoir que \Phi = \widetilde{F}, i.e. \Phi = \lbrace \mathrm{Omb}(X) \mid X \in F \rbrace, \qquad \mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X} Ainsi, on peut aussi interpréter, grâce à \ll, \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} en termes d'une ~~partie~~ ens. de parties \widetilde{\mathfrak{F}} de \mathcal{M}

\begin{tikzcd} \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, no head, "\cap" description] & \widetilde{\mathfrak{F}} \arrow[d, no head, "\cap" description] \\ \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) & \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \end{tikzcd}

les inclusions verticales sont notées par un \cap sous chaque terme

Ceci dit, ~~on demande que~~ ceux \widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}), ~~satisfaisant~~ satisfont C1, C2, C3, ~~la relation d'inclusion~~ par \mathcal{M} s'identifie à l'un des objets l'ens. des parties \widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) ( d'abord que) ~~soit~~ préadmissible, i.e. pour tout X \in \mathcal{M}, il existe un plus petit élément de \widetilde{\mathfrak{F}} qui le contienne. En d'autres termes,paragraphe très corrigé : plusieurs lignes biffées et des ajouts interlinéaires, lus en partie ; « Axiome » en tête de ligne est biffé

cf GF IV page 54 (cor. 2) et p. 55 (variante), id pour C3, p. 58renvoi, dans la marge gauche, à la première mouture (chapitre IV, dossier 156-4), selon sa pagination ; c'est là que les conditions C1 à C3 étaient établies

At*2le sigle porte en indice deux petits ronds, peut-être un « \circ » doublé Pour toute ~~\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}~~ \mathcal{M}-figure ensembliste \Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, et pour toute ~~strate de~~ A [= \mathrm{Omb}(X)\,!] de \Phi (i.e. A \in \Phi), il existe une plus petite figure \Phi_A \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} contenant A (plus petite au sens de l'inclusion entre parties de \mathfrak{P}(\mathcal{M}), ou de \mathcal{M}^{*} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) — figures i.e. entre parties qui contiennent A comme élément (laquelle \Phi_A sera donc \subset \Phi)).

c'est la multistrate de figure A

At*3 Si \Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, et si \Phi_i \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, \Phi_i \subset \Phi, alors \bigcup \Phi_i \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} (stabilité par réunions majorées dans \mathfrak{F}_{\mathcal{M}})

C'est pour \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} C 1

et de plus on a \emptyset \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} (en outre \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \neq \emptyset).

Enfin, on voudra aussi

At*4 Si \Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, pour que \Phi \cup \Psi soit ~~élément~~ dans \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} (i.e., par At*3, \Phi, \Psi majorés dans \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} ), il faut et il suffit que pour tout A \in \Phi, B \in \Psi, \Phi_A \cup \Psi_B soit dans \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}.

Je voudrais revenir sur ce \Phi_A. En fait, \Phi_A consiste en l'ensemble des sous-strates de A dans \Phi, donc At*2 peut se formuler sous la forme plus compréhensible

At*2. Soient \Phi et \Psi deux \mathcal{M}-figures \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, et soit A \in \Phi \cap \Psi une strate commune. Alors la multistrate associée : A dans \Phi, et dans \Psi, est la même, et elle est \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}.

Corollaire Si \Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} avec \Phi \subset \Psi, alors \Phi est fermée dans \Psi, donc est une sous-figure (\Phi \leq \Psi).

[Il s'ensuit qu'on a dans \mathcal{M} \simeq \mathcal{M}^{*} une relation d'ordre \leq, avec X \leq Y \Longleftrightarrow \Phi_{\mathrm{Omb}(X)} \subset \Phi_{\mathrm{Omb}(Y)}, \quad \text{i.e.} \quad \mathrm{Omb}(X) \in \Phi_{\mathrm{Omb}(Y)} \ \overset{\mathrm{def}}{=}\ \mathrm{Multomb}(Y) avant \Phi_{\mathrm{Omb}(X)}, « \mathrm{Omb}(X) » est biffé de telle façon que les ~~éléments de~~ F \in \widetilde{\mathfrak{F}} soient des parties fermées de \mathcal{M}. Associant à tout X \in \mathcal{M} la partie \widetilde{X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace = \mathcal{M}_{\leq X} dans l'accolade, après « Y \leq X » : « i.e. \mathrm{Omb}(Y) \in \Phi_{\mathrm{Omb}(X)} » on trouve une application injective \mathcal{M} \hookrightarrow \widetilde{\mathfrak{F}} \quad (\simeq \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}) qui induit un iso entre \mathcal{M} et l'ens. des éléments str. irréductibles de \widetilde{\mathfrak{F}} (ordonné par inclusion, relation \leq).]

Théorème-Scholie La catégorie des (quasi-) ateliers (\mathfrak{F}, \leq, \ll) satisfaisant At 1 … At 7, équivaut à celle des (\mathcal{M}, \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}) (avec \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M})) satisfaisant les conditions suivantes, :

At*1 \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} contient \emptyset (figure vide), et ~~non vide, et~~ (stable par ~~réunions majorées~~ réunions majorées dans \mathfrak{F}_{\mathcal{M}})

~~Cette~~ [La stabilité par , la condition suivante, celle de stabilité par : une sous-~~figure~~ figure)fin de page très corrigée, lue en partie ; la parenthèse n'est pas refermée sur la page

At*2 Si \Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, et A \in \Phi \cap \Psi, alors \Phi_A = \Psi_A, i.e. la multistrate définie par A, soit dans \Phi, soit dans \Psi, est la même.

On l'appellera A. « Toute strate porte canoniquement une structure de multistrate », indépendamment des \Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} dont c'est une strate.

At*1 et At*2 (C1 et C2 ) (\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, \leq)note oblique dans la marge gauche, en haut de page, lue en partie

At*4le chiffre ressemble à un « 9 » ; la liste de la page 31 demande At*4 Si \Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} sont telles que \forall\, A \in \Phi, B \in \Psi, on ait \Phi_A \cup \Psi_B \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, alors \Phi \cup \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}.

NB il suffit que \Phi_A, \Psi_B soient compatibles comme figures ensemblistes !

At*5 L'ensemble \mathcal{M}^{*} des A strates de toutes les \Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} est une figure dans \mathcal{M} de support \mathcal{M}. De plus, pour X, Y \in \mathcal{M}, X \neq Y, existe A \in \mathcal{M}^{*} telle que Y \in A, X \notin A ou X \in A, Y \notin A (\mathcal{M}^{*} « sépare les points » de \mathcal{M}).

At*3 Soient A, B deux strates (i.e. des strates de \Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}), telles que A \subset B, alors \widetilde{A} \ll \widetilde{B}.At*3 est entouré d'une accolade, et une flèche tracée dans la marge le fait remonter avant At*4, sous At*2

i.e. tout X \in \mathcal{M} strate ; NB On que At*2 et At*3 \Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, B \in \Psi, A \subset B \Phi_A \ldots \Psi_B longues notes obliques dans la marge gauche de la moitié inférieure, lues par fragments

J'espère que je n'ai pas oublié d'axiome !

en tête de page, souligné : « 20 juin » — date de sa main

20 juin Comme \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) induit par l'application \mathcal{L} \longrightarrow \mathcal{M} est croissant pour \leq et \ll, il s'ensuit que l'application \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), \qquad F \longmapsto \mathrm{multomb}(F) (petites multiombres) est également croissante pour \leq et \ll, et commute aux Sup pour \leq, et à Inf pour \leq. Mais elle n'est plus nécessairement injective. [Elle transforme sous-figures en sous-figures]

Exemple 1 A) Soit E espace topologique, ~~\ill{}~~ \mathfrak{F} l'ensemble des ~~figures ensemblistes~~ ~~paires~~ triples F = (X, \Sigma, \Phi) où

X est une partie fermée de E, \Sigma est une structure lin. par morceaux (, donnée) sur X modérée , \Phi est une figure ens. sur X, de support X, dont les strates sont des sous-ens. fermés lin. par morceaux.

(X', \Sigma', \Phi') \leq (X, \Sigma, \Phi) \overset{\mathrm{df}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} \text{a) } X' \subset X,\ \text{sous-espace lin. par morceaux pour } \Sigma \\ \text{b) } \Sigma' \text{ induite par } \Sigma \\ \text{c) } \Phi' \leq \Phi \end{cases} (X', \Sigma', \Phi') \ll (X, \Sigma, \Phi) \overset{\mathrm{df}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} \text{a) et b) comme dessus} \\ \text{c) } \Phi' \ll \Phi \end{cases} On l'ens. \mathcal{L} s'identifie à E, et l'application \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(E) = \mathrm{Fig}(E) est l'application F = (X, \Sigma, \Phi) \mapsto \Phi. Elle n'est visiblement pas injective (en général p. ex. si E contient homéo à [0,1]).

B) Variante \mathcal{M} = ens. des ~~parties de~~ couples X = (A, \sigma) avec

A partie ~~fermée~~ de E \sigma une structure de simplexe affine sur A, d'où figure ensembliste \mathfrak{L}_{\sigma} avec |\mathfrak{L}_{\sigma}| = A.

On suppose l'inclusion A \subset E continue.

On pose \begin{aligned} (A', \sigma') \leq (A, \sigma) &\overset{\mathrm{df}}{\Longleftrightarrow} (A', \sigma') \text{ sous-simplexe (face) de } (A, \sigma) \\ (A', \sigma') \ll (A, \sigma) &\overset{\mathrm{df}}{\Longleftrightarrow} \mathfrak{L}_{\sigma'} \ll \mathfrak{L}_{\sigma} \\ (A, \sigma) \between (A', \sigma') &\Longleftrightarrow A \cap A' \text{ est vide ou une face commune de } (X, \sigma) \text{ et } (X', \sigma') \end{aligned} « de (A,\sigma) », « vide ou » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; la dernière ligne écrit (X,\sigma), (X',\sigma') pour (A,\sigma), (A',\sigma')

\mathfrak{F} = ens. des parties finies (p. ex.) de \mathcal{M}, fermées pour \leq, et formées de simplexes (A, \sigma) deux à deux compatibles.

(NB au lieu de « finies », on pourrait prendre aussi « localement finies »)

Ici encore, \mathcal{L} \simeq E, et ici \mathcal{M} \longrightarrow \mathrm{Mulstrat}(\mathcal{L}) \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) n'est en général pas injectif (par p. ex. si E contient une partie homéomorphe à [0,1] !)

Exemple 2 Considérons un « pseudodisque » (B, \delta B, \ldots) dans esp. top. E. ~~B \supset B. Alors un~~ Alors, ~~la donnée ()~~ pour une définition convenable de l'ens. des \mathfrak{F} de (pseudo)-figures de E, indiquant le type ~~topologique~~ combinatoire (disque avec pt marqué) une figure () de ce type, correspondant à (B, \delta B), par la seule de la partie (contractile) de B, \delta B « » du disque, mais il faut de plus se donner une « structure » au bord …avant « de ce type », un petit cercle contenant un signe, sans doute le dessin du disque à point marqué ; l'exemple est écrit vite et lu en partie

Ceci étant, il est sans doute illusoire d'espérer que \begin{aligned} \mathrm{multomb}(F) \leq \mathrm{multomb}(F') &\Longrightarrow F \leq F' \\ \mathrm{multomb}(F) \ll \mathrm{multomb}(F') &\Longrightarrow F \ll F' \end{aligned} au début de la première ligne, un premier départ (« \mathrm{Mult}\,\mathrm{multomb}(F) ») est biffé

et en fait, le contraire est vrai dans les exemples 1. A) et B).

Définition On dit que \mathfrak{F} est un atelier ensembliste si pour F, G \in \mathfrak{F}, \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) injectif

a)\mathrm{multomb}\, F \leq \mathrm{multomb}\, G \Longrightarrow F \leq G b)\mathrm{multomb}\, F \ll \mathrm{multomb}\, G \Longrightarrow F \ll G c)\mathrm{multomb}\, F \between \mathrm{multomb}\, G \Longrightarrow F \between G

~~\mathrm{multomb}(F) élémentaire \Longleftrightarrow~~ ( pas question : conditions), de telle sorte que \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) identifie \mathfrak{F}, avec les structures \leq, \ll, \between, à un « sous-atelier » de \mathrm{Fig}(\mathcal{L}).

élémentaire \mathrm{multomb}(F) élémentaire \Longleftrightarrow F élémentairenote oblique dans la marge gauche, en face de c), lue en partie

Je voudrais préciser ce point. D'abord

Définition Soient (\mathfrak{F}, \leq, \ll) et (\mathfrak{F}', \leq, \ll) deux ateliers, f = f_{\mathrm{fig}} : \mathfrak{F} \to \mathfrak{F}' une application. On dit que f est un morphisme d'ateliers si

a)f croissante pour \leq et \ll (donc \emptyset_{\mathfrak{F}} \mapsto \emptyset_{\mathfrak{F}'}) b)f f commute aux Sup pour \leq et aux majorés ~~figures~~

~~f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'~~ On dit que f est « compatible aux strates » si ~~telle que f croissante pour~~ f satisfait

c)f transforme multistrates (i.e. fig. él.) en multistrates (fig. él.)

Alors la donnée d'une telle f équivaut à celle de f_{\mathrm{mult}} : \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{M}'

NB \mathcal{F} \subset \mathfrak{F} \ll F \leq F' Dans le des ensemblistes, croissante également …longues notes obliques dans la marge gauche de la moitié inférieure, dont une ouverte par « b) Dans le » ; lues par fragments

satisfaisant

a)f_{\mathrm{mult}} croissante pour \leq et \ll b)~~f_{\mathrm{m}}~~ pour tout F \subset \mathcal{M} provenant d'une figure, f_{\mathrm{m}}(F) est une figure

NB Pour que f soit , il faut et il suffit que f_{\mathrm{m}} le soit. Pour que ce soit un iso sur un , il faut et il suffit que f soit un plongement pour \leq et \ll, et que l'image soit -fermée.NB encadré, écrit serré entre les lignes, lu en partie

On appelle sous-atelier d'un atelier \mathfrak{F}, une de partie \mathfrak{F}' de \mathfrak{F}, telle que, munie des relations d'ordre \leq_{\mathfrak{F}'}, \ll_{\mathfrak{F}} induites par celles de \mathfrak{F}, ce soit un atelier, et que \mathfrak{F}' \hookrightarrow \mathfrak{F} soit un morphisme d'ateliers, i.e. que

1°)si F_i \in \mathfrak{F}' sont majorés dans \mathfrak{F}' par F, alors \operatorname{Sup}_{i \in I} F_i \in \mathfrak{F}' (stabilité par Sup majorés) 2°)sous les hypothèses, \bigcap F_i \in \mathfrak{F}'

je me demande s'il ne serait pas plus raisonnable, de 1°, et 2°, de poser

(*)si F' \in \mathfrak{F}', ~~et F \in \mathfrak{F} est tel que~~ F' dans \mathfrak{F}'.

« (*) » est entouré sur la page Il faut vérifier que cette condition suffit pour que (\mathfrak{F}', \leq_{\mathfrak{F}'}, \ll_{\mathfrak{F}'}) soit bien un atelier (strict)… Les sous-ateliers correspondant aux sous-ens. \mathcal{M}' de \mathcal{M} fermés pour \leq , \mathcal{M}' s'identifie à l'un des . Donc, si \mathfrak{F} est dit ensembliste, i.e. l'application \mathrm{multomb} : \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) le « réalise » comme un sous- de \mathrm{Fig}\, \mathcal{L} — en fait, on aimerait que ce soit un sous-atelier strict ^{*}, et on voudra ~~que~~ en particulier que \mathcal{M} se réalise comme un ens. de figures (multistrates ensemblistes) élémentaires dans \mathcal{L}. Ainsi, dans la définition de la page précédente, il faudrait poser

Mais les sous-ateliers pas stricts f(\mathcal{M}) \subset \mathcal{M}' ; Mais on F, F' \in \mathfrak{F}' F \vee F' ; ^{*} c'est-à-dire stabilité F \vee notes obliques dans la marge gauche, sur toute la hauteur de la page, lues par fragments ; l'astérisque de « strict » y renvoie

toute la page est barrée d'un long trait oblique, du haut au bas du feuillet ; elle est donnée en entier

des conditions : \mathfrak{F} stable dans \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) par passage à une sous-figure, et par \operatorname{Sup}_{\leq} (en demandant ).

Je reprends ces définitions

Définition Soit (\mathfrak{F}, \leq, \ll) un atelier At 1 – At 7 (on verra plus loin des raisons ultérieures pour ). Une sous-atelier () est une partie non vide \mathfrak{F}' de \mathfrak{F}, fermée pour \leq (i.e. telle que toute sous-figure d'une figure dans \mathfrak{F}' est dans \mathfrak{F}') et stable par Sup majorés dans \mathfrak{F}'. On dit que \mathfrak{F}' est spécieux de plus s'il est stable par Sup quelconques ( supposés majorés dans \mathfrak{F}').

non vide i.e. \emptyset_{\mathfrak{F}} \in \mathfrak{F}'

Ces notions ne dépendent que de \leq. Mais on munira bien sûr \mathfrak{F}' des deux relations \leq, \ll induites.

Soit \mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} alors on voit que les objets de \mathcal{M}' sont les objets (strictement) irréductibles de \mathfrak{F}' pour \leq (cf GF IV, p. 53). En effet, si ~~X \in \mathfrak{F},~~ ~~X = \operatorname{Sup} F_i dans \mathfrak{F},~~ ~~on a aussi X = \operatorname{Sup} F_i dans \mathfrak{F} ()~~ ~~par hyp. donc \exists\, i avec X = F_i, donc X irr. dans \mathfrak{F}'~~ ~~Inversement, si X \in \mathfrak{F}' est irr. dans \mathfrak{F},~~ les familles \lbrace F_i \rbrace dans \mathfrak{F}', majorées par X, sont les mêmes . Comme \mathfrak{F}' ~~est stable par Sup~~, dire que pour une telle famille, X = \operatorname{Sup} F_i dans \mathfrak{F}' revient au même. Donc dire que pour toute telle famille, \exists\, i avec X = F_i, est idem pour \mathfrak{F} ou \mathfrak{F}'.

~~Il faudrait vérifier.~~

Dans le cas d'un atelier spécieux on

Définition Soit (\mathfrak{F}, \leq) un ens. ordonné avec Sup majorés et plus petit élément \emptyset_{\mathfrak{F}}. Une partie fermée \mathfrak{F}' de \mathfrak{F} est dite ample si \mathfrak{F}' est stable et \mathfrak{F}' \neq \emptyset (\Leftrightarrow \emptyset_{\mathfrak{F}} \in \mathfrak{F}') par Sup. majorés dans \mathfrak{F}'. On dit qu'elle est spécieuse si elle est ~~stable par~~ = stable par Sup majorés dans \mathfrak{F}.cette définition est barrée de plusieurs traits obliques

Soit (\mathfrak{F}, \leq) un ens. ordonné ~~stable par~~ avec Sup. majorés et plus petit élément \emptyset_{\mathfrak{F}} (i.e. satisfaisant At 1). Soit \mathfrak{F}' une partie fermée. Alors ~~dans~~ \mathfrak{F}' est non vide ssi \emptyset_{\mathfrak{F}} \in \mathfrak{F}'. D'autre part, si (F_i) est une famille dans \mathfrak{F}' qui est majorée dans \mathfrak{F}' par G, alors son sup dans \mathfrak{F}, soit F, est \leq G, donc \in \mathfrak{F}', et c'est son sup dans \mathfrak{F}'. Donc \mathfrak{F}' (il satisfait donc At 1) est stable par Sup. majorés dans \mathfrak{F}', et \mathfrak{F}' \hookrightarrow \mathfrak{F} commute aux Sup.

Soit \mathcal{M} l'ens. des éléments (str.) irréductibles de \mathfrak{F}, et \mathcal{M}' = \mathcal{M} \cap \mathfrak{F}' . Alors, \mathcal{M}' est l'ens. des objets (str.) irréd. de \mathfrak{F}'. En d'autres termes, si F \in \mathfrak{F}', pour que F soit irréd. dans \mathfrak{F}', il faut et il suffit qu'il le soit dans \mathfrak{F}. C'est immédiat, en termes des définitions : les familles (F_i) d'objets majorés par F, que ce soit dans \mathfrak{F} ou \mathfrak{F}', sont les mêmes, et leurs Sup dans \mathfrak{F} ou \mathfrak{F}' itou, et donc celles pour lesquelles F = \operatorname{Sup} F_i sont les mêmes, et dire que pour

telle famille, \exists\, i t.q. F_i = F, est donc pareil dans \mathfrak{F} et \mathfrak{F}'.)

Supposons que \mathfrak{F} satisfasse At 2 : \forall F \in \mathfrak{F}, \quad F = \operatorname*{Sup}_{X \in \widetilde{F}} X \quad \text{où} \quad \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \rbrace = \lbrace X \in \mathfrak{F},\ X \trianglelefteq F \rbrace Alors \mathfrak{F}' y satisfait aussi, car si F \in \mathfrak{F}', \widetilde{F} au sens de \mathfrak{F} ou de \mathfrak{F}' c'est pareil, et le sup dans \mathfrak{F} est un sup dans \mathfrak{F}'.

Définition La partie fermée \mathfrak{F}' de \mathfrak{F} est dite spécieuse si elle est stable par Sup quelconques (de familles majorées dans \mathfrak{F}).

On dira ample stable par ; Remarquons « spécieuse » notes obliques dans la marge gauche, lues par fragments

Exemple Soit \mathfrak{F} l'ens. des parties d'un ens. I = \mathfrak{P}(I), avec la relation d'inclusion. Satisfait At 1, At 2, At 3, \mathcal{M} = \lbrace \lbrace i \rbrace \mid i \in I \rbrace (comme discret), donner une \mathfrak{F}' fermée = donner une structure de complexe simplicial sur I, du moins si I est fini (sinon, c'est vrai à condition de se restreindre aux \mathfrak{F}' formés d'ens. finis …). Dire que \mathfrak{F}' est spécieux, signifie que la réunion de simplexes est un simplexe — i.e. donner une partie I' de I, et \mathfrak{F}' = \mathfrak{P}(I') — c'est pas du ~~tout~~ pareil !