Cote n° 156-6 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Chapitre] VI. Analysis situs (deuxième mouture) : notes manuscrites (18-20/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

21pagination de sa main 21 à 40 en tête des feuillets, qui coïncide avec celle des archivistes

question s'il n'existe une semblable nécessaire. Aussi, finalement, j'ai envie de poser

At 4le sigle « At » est écrit par-dessus une autre lettre (on lit d'abord « AE ») ; les axiomes At 1 à At 3 sont dans le lot 1. L'axiome est marqué d'un double trait vertical dans la marge Si \(F, G \in \mathfrak{F}\), alors \(G \ll F\) ssi pour tout \(X \in \widetilde{G}\), \(\exists\, Y \in \widetilde{F}\) avec \(X \ll Y\).

Ainsi, la relation \(\ll\) sur \(\mathfrak{F}\) se déduit de la relation \(\ll\) sur \(\mathcal{M}\).une croix de renvoi sous « la » avant « relation » ; son objet n'est pas lu Donc, si on […] aux figures de type fini, \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) (i.e. […] l'atelier) se reconstitue entièrement à partir de \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)\).

Cor \(\forall F \in \mathfrak{F}\), […] \(\mathrm{Omb}(F) = |\mathrm{Multomb}(F)|\) […]note oblique dans la marge gauche, à la hauteur de ce paragraphe, lue en partie ; comparer la formule du début de la page 25

At 5 Soient \(X \in \mathcal{M}\), \(F \in \mathfrak{F}\), tels que \(X \ll F\). Alors dans l'ensemble \[ F^{X} = \lbrace Y \in \widetilde{F} \mid \underbrace{X \ll Y}_{X \in \mathrm{Omb}(Y)} \rbrace \] (lequel est \(\neq \emptyset\) par C 4) admet un plus petit élément (pour \(\leq\)).

En d'autres termes, l'ensemble de parties \[ \mathrm{Multomb}(F) = \lbrace \widetilde{Y} \mid Y \in \widetilde{F}, \ Y \trianglelefteq F \rbrace \] est une figure dans \(\mathcal{M}\), […] au sens usuel, que les \(\widetilde{Y}^{\circ} = \widetilde{Y} \smallsetminus \ill{}\) qui est préadmissible. (C'est […] en tous cas impliqué par C 5, et lui est équivalent si on admet que la relation (pour \(Y, Y' \in \widetilde{F}\)) \(Y \leq Y'\), qui implique \(Y \ll Y'\) donc \(\mathrm{Omb}(Y) \subset \mathrm{Omb}(Y')\), lui est en fait équivalente. Cela équivaut à la condition

At 6 Si \(X, Y \in \mathcal{M}\) et \(X \between Y\), alors \(X \ll Y \Rightarrow X \leq Y\) (donc \(X \ll Y \Leftrightarrow X \leq Y\)).

En d'autres termes,

22Corollaire 1 Soit \(F \in \mathfrak{F}\). Alors dans \(\widetilde{F} \subset \mathcal{M}\), les relations d'ordre \(\leq\) et \(\ll\) coïncident.

Corollaire 2 Soient \(F\) et \(G\) deux figures compatibles (\(F \between G\)). Alors \(F \ll G\) ssi \(F \leq G\).

Il suffit de prouver \(\Longrightarrow\), et par C 4, on est ramené à ⌜le⌝ prouver voir pour \(X\) (\(\in \widetilde{F}\)) et \(Y\) (\(\in \widetilde{G}\)) dans \(\mathcal{M}\), ce qui n'est autre que C 6.

Ainsi, pour toute \(F \in \mathfrak{F}\), la paramétrisation de \(\mathrm{Multomb}(F)\) par \(\widetilde{F}\) est fidèle […] et respecte les relations d'ordre […] ([…] \(\leq\)).

⌜Ceci dit⌝, pour voir que \(\mathrm{Multomb}(F)\) est bien une figure, il reste à voir que pour \(Y \in \widetilde{F}\), \[ \widetilde{Y}^{\circ} \overset{\mathrm{def}}{=} \widetilde{Y} \smallsetminus \bigcup_{\substack{Y' \in \widetilde{F} \\ Y' \leq Y}} \widetilde{Y}' \] sous la réunion, entre parenthèses : « ou mieux, \(Y' \ll Y\), \(Y' \neq Y\) » est non vide. Mais il n'y a qu'à prouver ⌜noter⌝ que \(Y \in \widetilde{Y}^{\circ}\) !

NB […] C 6, […] \(Y' \in \ldots\) […] il […] \(Y' \neq Y\), \(Y' \leq Y\) […]note oblique dans la marge gauche, en face de ce passage, lue par fragments seulement

Par la relation d'ordre \(\ll\) sur \(\mathcal{M}\), on trouve une application \[ \mathcal{M} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}), \qquad X \longmapsto \mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \ll X \rbrace \tag{1.39} \] le numéro (1.39) est écrit par-dessus un autre qui est injective (\(\ll\) relation d'ordre, pas seulement préordre) ⌜et la relation d'ordre de \(\mathcal{M}\) […] induite⌝. Les figures […] \(\mathrm{Multomb}(F)\) sont les images, par cette injection, des \(\widetilde{F}\) (\(F \in \mathfrak{F}\)). […]

23Proposition Soient \(F, G \in \mathfrak{F}\). Conditions équivalentes

Dém. \(F \leq G\) trivial, et \(\Leftrightarrow \widetilde{F} \subset \widetilde{G}\) trivial déjà connu […] ⌜[…]⌝ (\(\Rightarrow\) trivial, \(\Leftarrow\) car \(F = \operatorname{Sup}_{\leq} X\) (\(X \in \widetilde{F}\)), \(G = \operatorname{Sup}_{\leq} Y\) (\(Y \in \widetilde{G}\))). L'équivalence (i bis) \(\Leftrightarrow\) (ii bis) triviale par l'injectivité de (1.39). Or (ii bis) est impliqué par (ii) (tautologique) ; […] l'inverse, […] que (ii bis) implique que \(\mathrm{Multomb}(F)\) est fermé dans \(\mathrm{Multomb}(G)\) pour l'inclusion. Mais \(\widetilde{F} \subset \widetilde{G}\) […] ⌜donc⌝ \(F \leq G\), et il en […] ([…] et trivial) que \(\widetilde{F}\) est fermé dans \(\widetilde{G}\).

Corollaire! Conditions équivalentes pour ⌜Soient⌝ \(F, G \in \mathfrak{F}\)il écrit « \(F, G \in \mathcal{M}\) » tels que \(F \between G\), alors (i) \(F \between G\) \[ (*) \qquad \mathrm{Multomb}(F) \between \mathrm{Multomb}(G), \] Quand elles sont vérifiées, on a \[ (**) \qquad \begin{cases} \mathrm{Multomb}(F \vee G) = \mathrm{Multomb}(F) \cup \mathrm{Multomb}(G) \\ \mathrm{Multomb}(F \wedge G) = \mathrm{Multomb}(F) \cap \mathrm{Multomb}(G). \end{cases} \]

La condition (ii) signifie que \(\widetilde{F}\) et \(\widetilde{G}\) sont fermés dans \(\widetilde{F} \cup \widetilde{G} \subset \mathcal{M}\), pour la relation \(\ll\) (induite par \(\subset\) dans \(\mathfrak{P}(\mathcal{M})\)).ce dernier paragraphe est barré de plusieurs traits obliques

24En effet, \(\widetilde{F \vee G} = \widetilde{F} \cup \widetilde{G}\), et \(\widetilde{F}\) et \(\widetilde{G}\) y sont fermés, dans \(\mathcal{M}\) ce qui prouve que \[ \mathrm{Multomb}(F \vee G) = \mathrm{Multomb}(F) \cup \mathrm{Multomb}(G), \] et que \(\mathrm{Multomb}(F)\) et \(\mathrm{Multomb}(G)\) y sont fermés, donc (*) et la première relation (**). La deuxième relation provient de ce que \(\widetilde{F \wedge G} = \widetilde{F} \cap \widetilde{G}\).

NB Il n'est pas vrai en général que \(\mathrm{Multomb}(F) \between \mathrm{Multomb}(G)\) implique \(F \between G\), — même si \(F\) et \(G\) sont réduits à deux lieux distincts \(x\) et \(y\) — auquel cas \(\mathrm{Multomb}(X) = \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace\), \(\mathrm{Multomb}(Y) = \lbrace \lbrace y \rbrace \rbrace\) sont compatibles et même disjoints, mais \(x\) et \(y\) ne le sont pas forcément. Mais il sera vrai […] équivalence, dans le cas où \(\mathfrak{F}\) est un atelier ensembliste.« \(\mathrm{Multomb}(X)\) », « \(\mathrm{Multomb}(Y)\) » sur la page, pour les figures \(F\), \(G\) réduites aux lieux \(x\), \(y\)

vérifier plus tard

Corollaire 2 Si \(F\) et \(G\) sont disjointes, alors \(\mathrm{Multomb}(F)\) et \(\mathrm{Multomb}(G)\) aussi.

Cela provient formellement du corollaire 1 et de la formule \[ \mathrm{Multomb}(\emptyset_{\mathfrak{F}}) = \emptyset \quad (\text{figure vide dans } \mathcal{M}) \tag{1.40} \]

Proposition Soient \(F, G \in \mathfrak{F}\). Alors \(F \ll G \Longleftrightarrow \mathrm{Multomb}(F) \ll \mathrm{Multomb}(G)\).

25D'abord une observation. Soit \(F \in \mathfrak{F}\), d'où \[ \mathrm{Omb}(F) = |\mathrm{Multomb}\, F| \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{X \in \widetilde{F}} \mathrm{Omb}(X) \] On a une application canonique \[ \mathrm{Omb}(F) \xrightarrow{\ \varphi_F\ } \widetilde{F} \] NB. \(\varphi_F\) induit \(\mathrm{id}_{\widetilde{F}}\) sur \(\widetilde{F} \subset \mathrm{Omb}(F)\) associant à tout \(Y \in \mathrm{Omb}\, F\), i.e. \(Y \in \mathcal{M}\) tel que […] \(Y \ll F\), le plus petit élément de \(F^{Y}\) i.e. le plus petit \(X\) de \(\widetilde{F}\) parmi ceux satisfaisant \(Y \ll X\) i.e. […] \(Y \in \mathrm{Omb}\, X\). Cette application est celle qui définit la relation de préordre de \(|\mathrm{Multomb}(F)|\) associée à la figure \(\mathrm{Multomb}(F)\).

Ceci dit, dire que \(\underbrace{\mathrm{Multomb}(G)}_{\Psi} \ll \underbrace{\mathrm{Multomb}\, F}_{\Phi}\), ⌜pour \(G, F \in \mathfrak{F}\) données,⌝ signifie qu'on a une inclusion \[ |\Psi| \subset |\Phi| \qquad \text{i.e.} \qquad \mathrm{Omb}\, G \subset \mathrm{Omb}\, F, \] et une application croissante […] \[ f : \widetilde{G} \to \widetilde{F} \] rendant commutatif le diagramme (1.42)le numéro se lit plutôt « (1.48) » ; ses renvois des pages 26 et 27 à « (1.42) » visent ce diagramme

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  \mathrm{Omb}\, G \arrow[r, hook] \arrow[d, "\varphi_G"'] & \mathrm{Omb}\, F \arrow[d, "\varphi_F"] \\
  \widetilde{G} \arrow[r, "f"] & \widetilde{F}
\end{tikzcd}

26Montrons que cela équivaut à \(G \ll F\). En effet, si \(G \ll F\), associant à tout \(X \in \widetilde{G}\) le plus petit élément \(f(X)\) de \(\widetilde{F}\) tel que \[ X \ll f(X), \] on trouve bien une application \[ f : \widetilde{G} \to \widetilde{F} \] et elle est évidemment croissante : si \(X, X' \in \widetilde{G}\), \[ X' \leq X \ \text{ i.e. } \ X' \ll X \ (\ll f(X)) \ \text{ implique que } \ X' \ll f(X), \ \text{ donc } \ f(X') \ll f(X), \] qui signifie \(f(X') \leq f(X)\)mise en page de la déduction condensée : il l'écrit en escalier sur trois lignes. Et il faut vérifier la commutativité de (1.42), ce qui signifie […] […].

Corollaire Soient \(X \in \mathcal{M}\), \(F, G \in \mathfrak{F}\) tels que \(X \ll G \ll F\). Soit […] \(X'\) le plus petit élément de \(G^{X}\), \(X''\) le plus petit élément de \(F^{X'}\), alors \(X''\) est aussi le plus petit élément de \(F^{X}\).

Il semble qu'il faille le prendre en axiome, sous forme […] […], mais en fait équivalente. On va […] introduire une notation, pour \(X, Y \in \mathcal{M}\) \[ X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \tag{1.43} \] numéro lu « (1.48) », comme page 25 ; la suite des numéros demande (1.43) (\(X\) est raffinement intérieur de \(Y\)) pour \(X \ll Y\), et \(X \ll Y\) \[ X \in \mathrm{Omb}(Y)^{\circ} = \mathrm{Omb}(Y) \smallsetminus \bigcup_{Y' < Y} \mathrm{Omb}(Y') \] i.e. \(X \ll Y\), et \(X \ll Y' \leq Y\) implique \(Y' = Y\).

27On doit donc poser

At 7« At » écrit, comme page 21, par-dessus une autre lettre Si \(X, Y, Z \in \mathcal{M}\) sont tels que \[ X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \quad \text{alors} \quad X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \] i.e. la relation \(\overset{\circ}{\ll}\) est transitive.

Ceci prouve donc \(\Longrightarrow\) dans la prop. En sens inverse, s'il existe \(f\) comme dans (1.42), soit \(X \in \widetilde{G}\), alors \(\varphi_G(X)\) de sorte que \(\varphi_G(X) = X\) (tautologique), moyennant (6), on a donc soit \(f(X) = Y\), on a donc \(Y = \varphi_F(X)\) i.e. \(Y\) est le plus petit élément de \(\widetilde{F}\) contenant \(X\) tel que \(X \ll Y\). Cela signifie Donc implique donc que pour tout \(X \in \widetilde{G}\), existe \(Y \in \widetilde{F}\) telle que \(X \ll Y\), i.e. (C 4) \(\widetilde{G} \ll \widetilde{F}\), cqfd. On n'a pas utilisé le fait que \(f\) soit croissante, donc

Corollaire 2 de la prop. Les conditions ⌜Pour que⌝ \(\mathrm{Multomb}(F) \ll \mathrm{Multomb}(G)\) i.e. que \(F \ll G\), ⌜il faut et il suffit⌝ que \(\mathrm{Omb}\, F \subset \mathrm{Omb}\, G\), et que dans la relation d'équivalence sur \(\mathrm{Omb}\, F\) définie par \(\varphi_F\) soit plus fine que la relation d'équiv. induite par ⌜sur⌝ \(\mathrm{Omb}\, G\).

Ce ne sera […] vrai, il faut […] \(R_F\) […] petitesnote oblique dans la marge gauche, en face du corollaire, lue en partie

28Scholie Ainsi, via \(F \mapsto \mathrm{Multomb}(F)\), \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) s'interprète comme un « sous-atelier » de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\).le \(\leq\) du triplet est surchargé, comme page 38 Donc la donnée de l'atelier \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) équivaut à celle d'un ens. \(\mathcal{M}\), et d'une partie \[ \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) \tag{1.44} \] entre \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) et le premier \(\subset\), des signes lourdement biffés (donc \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})))\)) satisfaisant certaines conditions (qui doivent traduire C1 à C7).

Du coup, la notion de multiombre ⌜(générale)⌝ reprend un plus grand intérêt, et je me demande s'il ne faudrait pas une notation plus […] et un nom plus lapidaire.

Je vais expliciter les conditions sur cet ens. de figures ensemblistes dans \(\mathcal{M}\). Je désignerai par At*1 etc. les […] en termes de \((\mathcal{M}, \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \in \mathfrak{P}\mathfrak{P}\mathfrak{P}(\mathcal{M}))\).

[…] Il est entendu que \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M})\), i.e. At*1 que les éléments de \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) sont des ensembles de parties de \(\mathcal{M}\) qui sont des figures ensemblistes \(F\) dans \(\mathcal{M}\). Ainsi Considérons

29\[ \mathcal{M}^{*} = \bigcup_{\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}} \Phi \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \quad = \quad \lbrace A \in \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \mid \exists\, \Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \text{ avec } A \in \Phi \rbrace \] i.e. l'ensemble des strates de toutes les figures \(\in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\).au-dessus de \(\mathcal{M}^{*}\), ici et plus bas, un petit signe biffé

At*1 \(\mathcal{M}^{*}\) est une figure ensembliste dans \(\mathcal{M}\), de support \(\mathcal{M}\). De plus, le préordre associé ⌜(sur \(\mathcal{M}\))⌝ est une relation d'ordre i.e. \[ X, Y \in \mathcal{M},\ X \neq Y \Longrightarrow \exists\, A \in \mathcal{M}^{*} \text{ avec } X \in A,\ Y \notin A \ \text{ ou } \ Y \in A,\ X \notin A \]

Ainsi, l'application \[ X \longmapsto \mathcal{M}_{\ll X} \overset{\mathrm{def}}{=} \mathrm{Omb}(X), \qquad (*) \quad \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \] induit une bijection de \(\mathcal{M}\) sur \(\mathcal{M}^{*}\), transformant \(\ll\) en la relation d'inclusion. Les \(A \in \mathcal{M}^{*}\) sont les parties fermées irréductibles de \(\mathcal{M}\) admettant un pt générique.

[…] Soit \(\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) (donc \(\Phi \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) et par définition même \(\Phi \subset \mathcal{M}^{*} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\)), donc \(\Phi\) est

30l'image par (1.39) (*) \[ \mathcal{M} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{M}^{*} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \] d'une unique ⌜partie⌝ \(F \subset \mathcal{M}\), à savoir que \(\Phi = \widetilde{F}\), i.e. \[ \Phi = \lbrace \mathrm{Omb}(X) \mid X \in F \rbrace, \qquad \mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X} \] Ainsi, on peut aussi interpréter, grâce à \(\ll\), \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) en termes d'une partie ⌜ens. de parties⌝ \(\widetilde{\mathfrak{F}}\) de \(\mathcal{M}\)

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, no head, "\cap" description] & \widetilde{\mathfrak{F}} \arrow[d, no head, "\cap" description] \\
  \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) & \mathfrak{P}(\mathcal{M})
\end{tikzcd}

les inclusions verticales sont notées par un \(\cap\) sous chaque terme

Ceci dit, on demande […] que ⌜ceux […]⌝ \(\widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\), satisfaisant […] […] satisfont C1, C2, C3, la relation d'inclusion […] […] par \(\mathcal{M}\) s'identifie à l'un des […] objets ⌜[…]⌝ […] l'ens. des parties \(\widetilde{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) ⌜([…] d'abord que)⌝ soit préadmissible, i.e. pour tout \(X \in \mathcal{M}\), il existe un plus petit élément de \(\widetilde{\mathfrak{F}}\) qui le contienne. En d'autres termes,paragraphe très corrigé : plusieurs lignes biffées et des ajouts interlinéaires, lus en partie ; « Axiome » en tête de ligne est biffé

cf GF IV page 54 (cor. 2) et p. 55 (variante), id pour C3, p. 58renvoi, dans la marge gauche, à la première mouture (chapitre IV, dossier 156-4), selon sa pagination ; c'est là que les conditions C1 à C3 étaient établies

At*2le sigle porte en indice deux petits ronds, peut-être un « \(\circ\) » doublé Pour toute \(\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) \(\mathcal{M}\)-figure ensembliste \(\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), et pour toute strate de \(A\) ⌜\([= \mathrm{Omb}(X)\,!]\)⌝ de \(\Phi\) (i.e. \(A \in \Phi\)), il existe une plus petite figure \(\Phi_A\) […] \(\in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) contenant \(A\) (plus petite au sens de l'inclusion entre parties de \(\mathfrak{P}(\mathcal{M})\), ou de \(\mathcal{M}^{*} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) — figures i.e. entre parties qui contiennent \(A\) comme élément (laquelle \(\Phi_A\) sera donc \(\subset \Phi\))).

c'est la multistrate de figure \(A\)

At*3 Si \(\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), et si \(\Phi_i \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), \(\Phi_i \subset \Phi\), alors \(\bigcup \Phi_i \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) (stabilité par réunions majorées dans \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\))

C'est pour \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) C 1

31et de plus on a \(\emptyset \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) (en outre \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \neq \emptyset\)).

Enfin, on voudra aussi

At*4 Si \(\Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), pour que \(\Phi \cup \Psi\) soit élément dans \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) ⌜(i.e., par At*3, \(\Phi\), \(\Psi\) majorés dans \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) […])⌝, il faut et il suffit que pour tout \(A \in \Phi\), \(B \in \Psi\), \(\Phi_A \cup \Psi_B\) soit dans \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\).

Je voudrais revenir sur ce \(\Phi_A\). En fait, \(\Phi_A\) consiste en l'ensemble des sous-strates de \(A\) dans \(\Phi\), donc At*2 peut se formuler sous la forme plus compréhensible

At*2. Soient \(\Phi\) et \(\Psi\) deux \(\mathcal{M}\)-figures \(\in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), et soit \(A \in \Phi \cap \Psi\) une strate commune. Alors la multistrate associée : \(A\) dans \(\Phi\), et dans \(\Psi\), est la même, et elle est \(\in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\).

Corollaire Si \(\Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) avec \(\Phi \subset \Psi\), alors \(\Phi\) est fermée dans \(\Psi\), donc est une sous-figure (\(\Phi \leq \Psi\)).

32[Il s'ensuit qu'on a dans \(\mathcal{M} \simeq \mathcal{M}^{*}\) une relation d'ordre \(\leq\), avec \[ X \leq Y \Longleftrightarrow \Phi_{\mathrm{Omb}(X)} \subset \Phi_{\mathrm{Omb}(Y)}, \quad \text{i.e.} \quad \mathrm{Omb}(X) \in \Phi_{\mathrm{Omb}(Y)} \ \overset{\mathrm{def}}{=}\ \mathrm{Multomb}(Y) \] avant \(\Phi_{\mathrm{Omb}(X)}\), « \(\mathrm{Omb}(X)\) » est biffé de telle façon que les éléments de \(F \in \widetilde{\mathfrak{F}}\) soient des parties fermées de \(\mathcal{M}\). Associant à tout \(X \in \mathcal{M}\) la partie \[ \widetilde{X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace = \mathcal{M}_{\leq X} \] dans l'accolade, après « \(Y \leq X\) » : « i.e. \(\mathrm{Omb}(Y) \in \Phi_{\mathrm{Omb}(X)}\) » on trouve une application injective \[ \mathcal{M} \hookrightarrow \widetilde{\mathfrak{F}} \quad (\simeq \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}) \] qui induit un iso entre \(\mathcal{M}\) et l'ens. des éléments str. irréductibles de \(\widetilde{\mathfrak{F}}\) (ordonné par inclusion, relation \(\leq\)).]

D

Théorème-Scholie La catégorie des ⌜(quasi-)⌝ ateliers \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) satisfaisant At 1 … At 7, équivaut à celle des \((\mathcal{M}, \mathfrak{F}_{\mathcal{M}})\) (avec \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M})\)) satisfaisant les conditions suivantes, […] :

At*1 \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) ⌜contient \(\emptyset\) (figure vide), et⌝ non vide, et (stable par réunions majorées ⌜réunions majorées dans \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\)⌝)

Cette [La stabilité par […], […] la condition suivante, […] celle de […] stabilité par […] : une sous-figure […] figure)fin de page très corrigée, lue en partie ; la parenthèse n'est pas refermée sur la page

33At*2 Si \(\Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), et \(A \in \Phi \cap \Psi\), alors \(\Phi_A = \Psi_A\), i.e. la multistrate définie par \(A\), soit […] dans \(\Phi\), soit dans \(\Psi\), est la même.

On l'appellera […] \(A\). « Toute strate porte canoniquement une structure de multistrate », indépendamment des \(\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) dont c'est une strate.

At*1 et At*2 […] (C1 et C2 […]) \((\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}, \leq)\)note oblique dans la marge gauche, en haut de page, lue en partie

At*4le chiffre ressemble à un « 9 » ; la liste de la page 31 demande At*4 Si \(\Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) sont telles que \(\forall\, A \in \Phi\), \(B \in \Psi\), […] on ait \(\Phi_A \cup \Psi_B \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), alors \(\Phi \cup \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\).

NB il suffit que \(\Phi_A\), \(\Psi_B\) soient compatibles comme figures ensemblistes !

At*5 L'ensemble […] \(\mathcal{M}^{*}\) des ⌜\(A\)⌝ strates […] ⌜de toutes⌝ les \(\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) est une figure dans \(\mathcal{M}\) de support \(\mathcal{M}\). De plus, ⌜pour⌝ \(X, Y \in \mathcal{M}\), \(X \neq Y\), existe \(A \in \mathcal{M}^{*}\) telle que \(Y \in A\), \(X \notin A\) ou \(X \in A\), \(Y \notin A\) (\(\mathcal{M}^{*}\) « sépare les points » de \(\mathcal{M}\)).

At*3 Soient \(A, B\) deux strates ⌜[…]⌝ (i.e. des strates de \(\Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\)), telles que \(A \subset B\), alors \(\widetilde{A} \ll \widetilde{B}\).At*3 est entouré d'une accolade, et une flèche tracée dans la marge le fait remonter avant At*4, sous At*2

i.e. tout \(X \in \mathcal{M}\) […] strate […] […] ; NB On […] que At*2 et […] At*3 […] \(\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), \(B \in \Psi\), \(A \subset B\) […] \(\Phi_A \ldots \Psi_B\) […]longues notes obliques dans la marge gauche de la moitié inférieure, lues par fragments

J'espère que je n'ai pas oublié d'axiome !

34en tête de page, souligné : « 20 juin » — date de sa main

20 juin Comme \[ \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \] induit par l'application \[ \mathcal{L} \longrightarrow \mathcal{M} \] est croissant pour \(\leq\) et \(\ll\), il s'ensuit que l'application \[ \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), \qquad F \longmapsto \mathrm{multomb}(F) \] (petites multiombres) est également croissante pour \(\leq\) et \(\ll\), et commute aux Sup pour \(\leq\), et à Inf pour \(\leq\). Mais elle n'est plus nécessairement injective. [Elle transforme sous-figures en sous-figures]

Exemple 1 A) Soit \(E\) espace topologique, \(\ill{}\) \(\mathfrak{F}\) l'ensemble des figures ensemblistes paires triples \[ F = (X, \Sigma, \Phi) \] où

\[ (X', \Sigma', \Phi') \leq (X, \Sigma, \Phi) \overset{\mathrm{df}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} \text{a) } X' \subset X,\ \text{sous-espace lin. par morceaux pour } \Sigma \\ \text{b) } \Sigma' \text{ induite par } \Sigma \\ \text{c) } \Phi' \leq \Phi \end{cases} \] \[ (X', \Sigma', \Phi') \ll (X, \Sigma, \Phi) \overset{\mathrm{df}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} \text{a) et b) comme dessus} \\ \text{c) } \Phi' \ll \Phi \end{cases} \] On […] […] l'ens. \(\mathcal{L}\) s'identifie à \(E\), et l'application \(\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(E) = \mathrm{Fig}(E)\) est l'application \(F = (X, \Sigma, \Phi) \mapsto \Phi\). Elle n'est visiblement pas injective (en général p. ex. si \(E\) contient […] homéo à \([0,1]\)).

B) Variante \(\mathcal{M} =\) ens. des parties de ⌜couples⌝ \(X = (A, \sigma)\) avec

On suppose l'inclusion \(A \subset E\) continue.

35On pose \[ \begin{aligned} (A', \sigma') \leq (A, \sigma) &\overset{\mathrm{df}}{\Longleftrightarrow} (A', \sigma') \text{ sous-simplexe (face) de } (A, \sigma) \\ (A', \sigma') \ll (A, \sigma) &\overset{\mathrm{df}}{\Longleftrightarrow} \mathfrak{L}_{\sigma'} \ll \mathfrak{L}_{\sigma} \\ (A, \sigma) \between (A', \sigma') &\Longleftrightarrow A \cap A' \text{ est vide ou une face commune de } (X, \sigma) \text{ et } (X', \sigma') \end{aligned} \] « de \((A,\sigma)\) », « vide ou » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; la dernière ligne écrit \((X,\sigma)\), \((X',\sigma')\) pour \((A,\sigma)\), \((A',\sigma')\)

\(\mathfrak{F} =\) ens. des parties finies (p. ex.) de \(\mathcal{M}\), fermées pour \(\leq\), et formées de simplexes \((A, \sigma)\) deux à deux compatibles.

(NB au lieu de « finies », on pourrait prendre aussi « localement finies »)

Ici encore, \(\mathcal{L} \simeq E\), et ici \[ \mathcal{M} \longrightarrow \mathrm{Mulstrat}(\mathcal{L}) \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \] n'est en général pas injectif (par p. ex. si \(E\) contient une partie homéomorphe à \([0,1]\) !)

Exemple 2 Considérons un « pseudodisque » \((B, \delta B, \ldots)\) dans esp. top. \(E\). \(B \supset B\). Alors un Alors, la donnée ([…]) pour une définition convenable de l'ens. des \(\mathfrak{F}\) de (pseudo)-figures de \(E\), indiquant le type topologique ⌜combinatoire⌝ (disque avec pt marqué) une figure ([…]) de ce type, correspondant à \((B, \delta B)\), […] par la seule […] de la partie (contractile) […] de \(B, \delta B\) […] « […] » du disque, mais il faut de plus se donner une « structure […] » […] au bord …avant « de ce type », un petit cercle contenant un signe, sans doute le dessin du disque à point marqué ; l'exemple est écrit vite et lu en partie

Ceci étant, il est ⌜sans doute⌝ illusoire d'espérer que \[ \begin{aligned} \mathrm{multomb}(F) \leq \mathrm{multomb}(F') &\Longrightarrow F \leq F' \\ \mathrm{multomb}(F) \ll \mathrm{multomb}(F') &\Longrightarrow F \ll F' \end{aligned} \] au début de la première ligne, un premier départ (« […] \(\mathrm{Mult}\,\mathrm{multomb}(F)\) ») est biffé

36et en fait, le contraire est vrai dans les exemples 1. A) et B).

Définition On dit que \(\mathfrak{F}\) est un atelier ensembliste si pour \(F, G \in \mathfrak{F}\)⌜, \(\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) injectif⌝

\(\mathrm{multomb}(F)\) élémentaire \(\Longleftrightarrow\) ([…] pas […] question […] : […] conditions), de telle sorte que \[ \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \] identifie \(\mathfrak{F}\), avec les structures \(\leq\), \(\ll\), \(\between\), à un « sous-atelier » de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\).

[…] élémentaire […] \(\mathrm{multomb}(F)\) élémentaire \(\Longleftrightarrow\) \(F\) élémentairenote oblique dans la marge gauche, en face de c), lue en partie

[…] Je voudrais préciser ce point. ⌜D'abord⌝

Définition Soient \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) et \((\mathfrak{F}', \leq, \ll)\) deux ateliers, \(f = f_{\mathrm{fig}} : \mathfrak{F} \to \mathfrak{F}'\) une application. On dit que \(f\) est un morphisme d'ateliers si

\(f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) On dit que \(f\) est « compatible aux strates » si telle que \(f\) croissante pour \(f\) satisfait

Alors la donnée d'une telle \(f\) équivaut à celle de \[ f_{\mathrm{mult}} : \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{M}' \]

NB […] \(\mathcal{F} \subset \mathfrak{F}\) […] \(\ll\) […] […] \(F \leq F'\) […] […] Dans le […] des ensemblistes, […] croissante […] également …longues notes obliques dans la marge gauche de la moitié inférieure, dont une ouverte par « b) Dans le » ; lues par fragments

37satisfaisant

NB Pour que \(f\) soit […], il faut et il suffit que \(f_{\mathrm{m}}\) le soit. Pour que ce soit un iso sur un […] […], il faut et il suffit que \(f\) soit un plongement pour \(\leq\) et \(\ll\), et que l'image soit […]-fermée.NB encadré, écrit serré entre les lignes, lu en partie

On appelle sous-atelier d'un atelier \(\mathfrak{F}\), une de partie \(\mathfrak{F}'\) de \(\mathfrak{F}\), telle que, munie des relations d'ordre \(\leq_{\mathfrak{F}'}\), \(\ll_{\mathfrak{F}}\) induites par celles de \(\mathfrak{F}\), ce soit un atelier, et que \(\mathfrak{F}' \hookrightarrow \mathfrak{F}\) soit un morphisme d'ateliers, i.e. que

[…] je me demande s'il ne serait pas plus raisonnable, […] de 1°, et 2°, de poser […]

« (*) » est entouré sur la page Il faut vérifier ⌜[…]⌝ que cette condition suffit pour que \((\mathfrak{F}', \leq_{\mathfrak{F}'}, \ll_{\mathfrak{F}'})\) soit bien un atelier ⌜(strict)⌝… Les sous-ateliers correspondant aux sous-ens. \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{M}\) fermés pour \(\leq\) […], […] \(\mathcal{M}'\) s'identifie à l'un des […]. Donc, si \(\mathfrak{F}\) est dit ensembliste, i.e. l'application \[ \mathrm{multomb} : \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \] le « réalise » comme un sous-[…] de \(\mathrm{Fig}\, \mathcal{L}\) — en fait, on aimerait que ce soit un sous-atelier strict \(^{*}\), et on voudra que en particulier que \(\mathcal{M}\) se réalise comme un ens. de figures (multistrates ensemblistes) élémentaires dans \(\mathcal{L}\). Ainsi, dans la définition de la page précédente, il faudrait […] poser

Mais les sous-ateliers […] pas stricts […] \(f(\mathcal{M}) \subset \mathcal{M}'\) […] ; Mais on […] \(F, F' \in \mathfrak{F}'\) […] \(F \vee F'\) […] ; \(^{*}\) c'est-à-dire […] […] stabilité […] \(F \vee\) […]notes obliques dans la marge gauche, sur toute la hauteur de la page, lues par fragments ; l'astérisque de « strict » y renvoie

38toute la page est barrée d'un long trait oblique, du haut au bas du feuillet ; elle est donnée en entier

des conditions : \(\mathfrak{F}\) stable dans \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) par passage à une sous-figure, et par \(\operatorname{Sup}_{\leq}\) (en demandant […] […]).

Je reprends ces définitions

Définition Soit \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) un atelier At 1 – At 7 (on verra plus loin des raisons ultérieures pour […]). Une sous-atelier ([…]) est une partie ⌜non vide⌝ \(\mathfrak{F}'\) de \(\mathfrak{F}\), fermée pour \(\leq\) (i.e. telle que toute sous-figure d'une figure dans \(\mathfrak{F}'\) est dans \(\mathfrak{F}'\)) ⌜et stable par Sup majorés dans \(\mathfrak{F}'\)⌝. On dit que \(\mathfrak{F}'\) est spécieux ⌜de plus⌝ s'il est stable par Sup quelconques ([…] supposés majorés dans \(\mathfrak{F}'\)).

non vide i.e. \(\emptyset_{\mathfrak{F}} \in \mathfrak{F}'\)

Ces notions […] ne dépendent que de \(\leq\). Mais on munira bien sûr \(\mathfrak{F}'\) des deux relations \(\leq\), \(\ll\) induites.

Soit \[ \mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} \] alors on voit que les objets de \(\mathcal{M}'\) sont les objets (strictement) irréductibles de \(\mathfrak{F}'\) pour \(\leq\) (cf GF IV, p. 53). En effet, si \(X \in \mathfrak{F}\), […] \(X = \operatorname{Sup} F_i\) dans \(\mathfrak{F}\), on a aussi \(X = \operatorname{Sup} F_i\) dans \(\mathfrak{F}\) ([…]) par hyp. donc \(\exists\, i\) avec \(X = F_i\), donc \(X\) irr. dans \(\mathfrak{F}'\) Inversement, si \(X \in \mathfrak{F}'\) est irr. dans \(\mathfrak{F}\), les familles \(\lbrace F_i \rbrace\) dans \(\mathfrak{F}'\), ⌜majorées par \(X\),⌝ sont les mêmes […]. Comme \(\mathfrak{F}'\) est stable par Sup, dire que pour une telle famille, \(X = \operatorname{Sup} F_i\) dans \(\mathfrak{F}'\) revient au même. Donc dire que pour […] toute telle famille, \(\exists\, i\) avec \(X = F_i\), est idem pour \(\mathfrak{F}\) ou \(\mathfrak{F}'\).

Il faudrait vérifier.

Dans le cas d'un atelier spécieux on […]

39Définition Soit \((\mathfrak{F}, \leq)\) un ens. ordonné ⌜avec Sup majorés et plus petit élément \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\)⌝. Une partie […] fermée \(\mathfrak{F}'\) de \(\mathfrak{F}\) est dite ample si \(\mathfrak{F}'\) est stable ⌜et \(\mathfrak{F}' \neq \emptyset\) (\(\Leftrightarrow \emptyset_{\mathfrak{F}} \in \mathfrak{F}'\))⌝ par Sup. majorés dans \(\mathfrak{F}'\). On dit qu'elle est spécieuse si elle est stable par \(=\) stable par Sup majorés dans \(\mathfrak{F}\).cette définition est barrée de plusieurs traits obliques

Soit \((\mathfrak{F}, \leq)\) un ens. ordonné stable par avec Sup. majorés et plus petit élément \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\) (i.e. satisfaisant At 1). Soit \(\mathfrak{F}'\) une partie fermée. Alors dans \(\mathfrak{F}'\) est non vide ssi \(\emptyset_{\mathfrak{F}} \in \mathfrak{F}'\). D'autre part, si \((F_i)\) est une famille dans \(\mathfrak{F}'\) qui est majorée dans \(\mathfrak{F}'\) par \(G\), alors son sup dans \(\mathfrak{F}\), soit \(F\), est \(\leq G\), donc \(\in \mathfrak{F}'\), et c'est son sup dans \(\mathfrak{F}'\). Donc \(\mathfrak{F}'\) ⌜(il satisfait donc At 1)⌝ est stable par Sup. majorés dans \(\mathfrak{F}'\), et \(\mathfrak{F}' \hookrightarrow \mathfrak{F}\) commute aux Sup.

Soit \(\mathcal{M}\) l'ens. des éléments (str.) irréductibles de \(\mathfrak{F}\), et \[ \mathcal{M}' = \mathcal{M} \cap \mathfrak{F}' . \] Alors, \(\mathcal{M}'\) est l'ens. des objets (str.) irréd. de \(\mathfrak{F}'\). En d'autres termes, si \(F \in \mathfrak{F}'\), pour que \(F\) soit irréd. dans \(\mathfrak{F}'\), il faut et il suffit qu'il le soit dans \(\mathfrak{F}\). C'est immédiat, en termes des définitions : les familles \((F_i)\) d'objets majorés par \(F\), que ce soit dans \(\mathfrak{F}\) ou \(\mathfrak{F}'\), sont les mêmes, et leurs Sup dans \(\mathfrak{F}\) ou \(\mathfrak{F}'\) itou, et donc celles pour lesquelles \(F = \operatorname{Sup} F_i\) sont les mêmes, et dire que pour

40telle famille, \(\exists\, i\) t.q. \(F_i = F\), est ⌜donc⌝ pareil dans \(\mathfrak{F}\) et \(\mathfrak{F}'\).)

Supposons que \(\mathfrak{F}\) satisfasse At 2 : \[ \forall F \in \mathfrak{F}, \quad F = \operatorname*{Sup}_{X \in \widetilde{F}} X \quad \text{où} \quad \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \rbrace = \lbrace X \in \mathfrak{F},\ X \trianglelefteq F \rbrace \] Alors \(\mathfrak{F}'\) y satisfait aussi, car si \(F \in \mathfrak{F}'\), \(\widetilde{F}\) au sens de \(\mathfrak{F}\) ou de \(\mathfrak{F}'\) c'est pareil, et le sup dans \(\mathfrak{F}\) est un sup dans \(\mathfrak{F}'\).

Définition La partie fermée \(\mathfrak{F}'\) […] de \(\mathfrak{F}\) ⌜[…]⌝ est dite spécieuse si elle est stable par Sup quelconques (de familles majorées dans \(\mathfrak{F}\)).

On dira […] ample […] […] stable par […] ; Remarquons […] […] « spécieuse » […]notes obliques dans la marge gauche, lues par fragments

Exemple Soit \(\mathfrak{F}\) l'ens. des parties d'un ens. \(I\) ⌜\(= \mathfrak{P}(I)\)⌝, avec la relation d'inclusion. Satisfait At 1, At 2, At 3, \(\mathcal{M} = \lbrace \lbrace i \rbrace \mid i \in I \rbrace\) (comme […] […] discret), […] donner une \(\mathfrak{F}'\) fermée \(=\) donner une structure de ⌜[…]⌝ complexe simplicial sur \(I\), du moins si \(I\) est fini (sinon, c'est vrai à condition de se restreindre aux \(\mathfrak{F}'\) formés d'ens. finis …). Dire que \(\mathfrak{F}'\) est spécieux, signifie que […] la réunion de simplexes est un simplexe — i.e. […] donner une partie \(I'\) de \(I\), […] et \(\mathfrak{F}' = \mathfrak{P}(I')\) — c'est pas du tout pareil !