Fonds Grothendieck, cote n° 156-6, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-27
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machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)156-6
[Chapitre] VI. Analysis situs (deuxième mouture) : notes manuscrites (18-20/06/1986)
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
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page) ; lot 1 de vingt pages.
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le seul enregistrement.1986Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/156-6.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
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\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
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https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
Analysis situs (deuxième mouture)
titre de sa main en tête de la page 1, qui porte en haut au centre son numéro « 1 » ; dans l'angle supérieur droit, dans un coin tracé à la plume, « GF VI » (le chiffre souligné)
18 juin 86date de sa main, écrite en oblique dans la marge gauche, au début du premier alinéa
Avant de décrire ce qu'est une contrée, je vais décrire ce qui sera une « contrée avec notion de multistrates » — la famille des multistrates choisies jouant un peu le rôle de la famille d'ouverts baignantengendrantpour une topologie, ou une famille génératrice d'éléments d'un topos. Je vais donc commencer par
(I) « Algèbre de figures » ou « Atelier ».
le « I » est cerclé
1. Une algèbre de figures implique avant tout trois types d'objets, les lieux, les multistrates, les figures, formant trois ensembles
(1.1.) \qquad \mathcal{L},\ \mathcal{M},\ \mathfrak{F} ,
liés entre eux par diverses applications, et chacun muni de diverses structures. Ainsi on a des applications canoniques injectives
(1.2) \qquad \mathcal{L} \overset{b)}{\hookrightarrow} \mathcal{M} \overset{a)}{\hookrightarrow} \mathfrak{F} ,
que nous utiliserons souvent pour identifier un lieu à une multistrate particulière, et une multistrate à une figure particulière — \mathcal{L} à un sous-ens. de \mathcal{M}, \mathcal{M} à un sous-ens. de \mathfrak{F}.
les étiquettes « b) » et « a) » sont écrites au-dessus des deux flèches, dans cet ordre, de gauche à droite
Il y a d'autre part deux autres paires d'applications, que voici.
son numéro « 2 » en haut de la page(1.3) \qquad
\begin{cases}
a)\ \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}) & F \mapsto \widetilde{F} = \mathrm{Dépl}(F) \subset \mathcal{M} \\
b)\ \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) & \text{plus précisément } \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{M}), \\
& F \mapsto \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})
\end{cases}b) se déduit de a) et de 1.2. a)la première note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche ; la seconde, de deux mots, est sous b), une flèche la rattache à « b) » et une autre flèche courbe la mène à « F \mapsto \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) » ; dans cette dernière formule le « \mathrm{F} » de « \mathrm{Fig} » est écrit en surcharge sur un \widetilde{F}
où \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) désigne la partie de \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) formée des figures ensemblistes dans \mathcal{M}. On On peut considérer que la première application correspond à une relation entre \mathcal{M} et \mathfrak{F}, appelée relation d'incidence. Pour une figure F, \widetilde{F} s'appelle l'ensemble des multistratesincidentes, ou le déploiement de la figure F. Si X \in \mathcal{M}, F \in \mathfrak{F}, on dira que la multistrate X est incidente à la figure F, de la figure F ou encore que c'est une strate de F, si X \in \widetilde{F}. D'autre part, touteélément Xde de \mathcal{M} (i.e. toute multistrate), regardée comme une figure par (1.2), a donc un déploiement \widetilde{X}, et la multistratemais on pose
(1.4) \qquad \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) = \lbrace \widetilde{X} \mid X \in \widetilde{F} = \mathrm{Dépl}(F) \rbrace \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})
\quad \text{i.e.} \quad \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M}))
et il résultera des axiomes que c'est une figure ensembliste dans \mathcal{M}, indexée fidèlement par l'ens. \widetilde{F} des strates de F. En fait, \mathcal{M} sera muni d'une relation d'ordre \leq, cf. plus bas, et \widetilde{F}\subset \mathcal{M} sera une partie fermée de \mathcal{M}, et pour tout X \in \widetilde{F}, \widetilde{X} on aura
(1.5) \qquad \widetilde{X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace .
son numéro « 3 » en haut de la page
À cause de cette interprétation, le passage de \widetilde{F} \subset \mathcal{M} à \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) est à tel point évident, que la considération de cette figure ensembliste dans \mathcal{M} ne semble nullement importante — mais à voir….
Quand on identifie
On pourra utiliser les deux applications (1.3) pour identifier une figure, suivant les cas, à une partie de \mathcal{M} [via F \mapsto \widetilde{F}] ou à une figure ensembliste dans \mathcal{M} [via F \mapsto \mathrm{Dépl}(F)]. Dans le premier cas, compte tenu de\mathcal{M} \hookrightarrow \mathfrak{F} (1.2), par la formule 1.5. Cette dernière inclusion s'identifie à
X \longmapsto \widetilde{X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace \qquad \mathcal{M} \to \mathfrak{P}_{\mathrm{ferm}}(\mathcal{M}) .dans le second crochet, « \mathrm{Dépl}(F) » est sur la page ; d'après (1.3), \mathrm{Dépl}(F) = \widetilde{F}, et c'est \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) qu'on attend
Donc il faudra être prudent l'identification dont il a été question, des éléments X \in \mathcal{M} multistrates à des figures particulières, quand celles-ci sont interprétées comme des parties de \mathcal{M} : la figure associée à X \in \mathcal{M} n'est nullement \lbrace X \rbrace, mais \widetilde{X} = ens. des multistrates majorées par X pour \leq (ou encore, des sous-multistrates, ou multistrates incidentes à X, ou encore des strates de X).
son numéro « 4 » en haut de la page
D'autre part, il y a deux autres applications
(1.6) \qquad
\begin{cases}
a)\ \mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{M}) & F \mapsto \mathrm{Omb}_{\mathcal{M}}(F) \\
b)\ \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}\mathfrak{P}(\mathcal{M}) \ \text{et} = \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \subset \mathfrak{P}\mathfrak{P}(\mathcal{M}) & F \mapsto \mathrm{Multomb}_{\mathcal{M}}(F) ,
\end{cases}« (1.6) » est écrit en surcharge sur « (1.4) »
où \mathrm{Omb}_{\mathcal{M}}(F) s'appelle l'ombre de la figureF sur \mathcal{M}, ou la grande ombredeF. Une multistrate X qui est dans la grande ombre d'une figure F est dite « raffiner » la figureF (c'est cette fois déduit d'une relation d'ordre \ll sur \mathfrak{F}, la raffinement, par la condition X \ll F). Il n'est pas clair que cette application \mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{M}) soit injective, i.e. que F s'identifie à un ens. de parties de \mathcal{M}, via cette application. Par contre il en sera ainsi de (1.6) b), qui est déduit de a) via la formation de \widetilde{F}, comme (1.3 b) est déduit de (1.3. a) :
(1.7) \qquad \mathrm{Multomb}(F) = \lbrace X \in \widetilde{F} \mid \mathrm{Omb}\, X \rbrace ,« (1.7) » remplace un « (1.5) » biffé ; la formule est ainsi sur la page, on attend \lbrace \mathrm{Omb}\, X \mid X \in \widetilde{F} \rbrace, par analogie avec (1.4)
alors que \mathrm{Omb}(X) s'explicite par
(1.8) \qquad \mathrm{Multomb}(X) = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \ll X \rbrace ,à gauche, « \mathrm{Mult} » précède un « \mathrm{O} » repassé ; le texte annonce \mathrm{Omb}(X)
analogue à (1.5), où cette fois on a utilisé la relation d'ordre\ll au lieu de \leq. C'est la
son numéro « 5 » en haut de la pageune figure de
Pour toute figure F, \mathrm{Multomb}(F)est appelédans la grandemultiombre de F, ou la \mathcal{M}-multiombre de F. On C'est en fait une figure ensembliste dans \mathcal{M}, indexée fidèlement par \widetilde{F} (le déploiement de F) et dont la connaissance implique celle de F. (Jusqu'ici puisque il n'était pas question de \mathcal{L}.) Utilisant d'autre partmaintenant l'application
\mathcal{L} \hookrightarrow \mathcal{M} ,
et les applications images inverses correspondantes
\mathfrak{P}(\mathcal{M}) \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) , \qquad \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) ,
on trouve, en composant avec 1.6 a) b)
(1.9) \qquad
\begin{cases}
a)\ \mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) & F \mapsto \mathrm{omb}(F) \\
b)\ \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) & F \mapsto \mathrm{multomb}(F)
\end{cases} ,les deux flèches de (1.9) sont écrites en surcharge sur des flèches à crochet
dont la première n'a aucune raison d'être injective, le second par contre a une tendance à l'être. On vaOn appelle \mathrm{omb}(F) la petite ombre de F, ou simplement son ombre quand une confusion semble exclue, et de mêmede\mathrm{multomb}, la (petite) multiombre de la figure F.
son numéro « 6 » en haut de la page
Ainsi, l'ombre d'une figure est formée des lieux qui la raffinent — on dit aussi que ce sont les lieux « de la figure » ( un peu abusivement, ou les strates de la figure qui sont des lieux). La multiombre est donc formée des ombres de ses strates, elle est indexée par le déploiement \widetilde{F}, ensemble des strates de F, la relation d'inclusion de la figure ensembliste n'étant autre que la relation d'incidence entre strates de F, i.e. la relation dans \widetilde{F} induite par \leq dans \mathcal{M} (ou par \ll au choix, se réduisant au =). Alors qu'une figure n'est reconstituable pratiquement jamais à partir de son ombre, elle est reconstituable pourtant doncdans (cas des « Ateliers ensemblistes ») à à partir de sa multiombre. Nous y reviendrons.
§ Il y a lieu de parler des relations d'ordre canoniques
son numéro « 7 » en haut de la page(1.10) \qquad \leq,\ \ll,\ \preccurlyeq \quad \text{relations d'ordre dans } \mathfrak{F}
et les relations induites dans \mathcal{M}(1.11) \qquad \leq,\ \ll \quad \text{dans } \mathcal{M}
[et la relation d'ordre \preccurlyeq induite dans \mathcal{M} est moins importante, comme structure spécifique\mathcal{M}].
le troisième signe, que l'on rend par \preccurlyeq, est un \leq dont le trait inférieur est courbé
NB Les relations d'ordre induites par \leq, \ll sur \mathcal{L} sont discrètes.NBG \leq F \Rightarrow G \ll F : une sous-figure de F raffine Fces deux notes sont écrites en oblique dans la marge gauche, en regard de (1.11) et des définitions qui suivent
G \leq FG est dit une sous-figure de F (si GG = X\in \mathcal{M}, c'est donc une strate de F)
G \ll FG est dit un raffinement de F (si G = X \in \mathcal{M}, c'est donc un élément de la grande ombre de F)
G \preccurlyeq FG est dit une subdivision de F, on dit que la figure G subdivise la figure F.
Je note enfin deux autres relations importantes dans entre figures :
(1.12) \qquad
\begin{cases}
F \text{ et } G \ \underline{\text{compatibles}} \\
F \text{ et } G \ \underline{\text{disjoints}}
\end{cases} ,
qui l'une et l'autre peuvent s'exprimer en termes de la relation d'ordre \leq :
F et G compatibles : ce sont des sous-figures d'une même figure, i.e. \lbrace F, G \rbrace majoré pour \leq ;
F et G disjoints : F et G compatibles, et leur
son numéro « 8 » en haut de la page
inf dans \mathfrak{F} est \emptyset_{\mathfrak{F}}, le plus petit élément de \mathfrak{F} ou figure vide. Ainsi
F \text{ et } G \text{ disjoints} \Longrightarrow F \text{ et } G \text{ compatibles.}
On a, par les axiomes :
(1.13) \qquad F \text{ et } G \text{ disjoints} \ifftout\mathrm{omb}(F) et \mathrm{omb}(G)\mathrm{omb}(F) \cap \mathrm{omb}(G) = \emptyset sont « disjoints » en un sens suivant : ils sont disjoints ensemblistement i.e. \mathrm{omb}(F) \cap \mathrm{omb}(G) = \emptyset, et tout élément de \mathrm{omb}(F) est compatible avec tout élt de \mathrm{omb}(G))
ce membre de droite de (1.13) est écrit en colonne à droite de la page
— i.e. deux figures sont disjointes ssi elles n'ont pas de lieu commun, et tout lieu de l'une est disjointco disjoint (au sens de la théorie l'atelier) de tout lieux de l'autre ;
Cela montre que les relations de discompatibilité et de disjonction sont importantes aussi dans les ensembles \mathcal{M}, \mathcal{L} de \mathfrak{F}. Dans le cas des ateliers ensemblistes, ces relations sont « triviales » sur \mathcal{L} : deux lieux sont disjointscompatibles, et disjoints ssi ils sont distincts. Par contre, même dans le cas ensembliste et « modéré », la relation
son numéro « 9 » en haut de la page
de compatibilité dans \mathcal{M} est une relation relation importante, qui se surajoute aux relations \leq_{\mathcal{M}}, \ll_{\mathcal{M}}. Moralement, pour récupérer l'atelier (à iso unique près) il suffit de connaître sur \mathcal{M} ces deux relations d'ordre, et la relation de compatibilité.
au moins dans le cas modérénote écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de ces lignes
Les relations (compatibilité, disjonction) sont si importantes qu'elles méritent chacune une notation lapidaire. Je propose (1.14) \qquad F \parallel G
pour la disjonction, et (1.15) \qquad F \mathbin{\Diamond} G \quad \text{ou} \quad F \mathbin{\between} G
pour la compatibilité (NB \between est plus rapide à écrire que \Diamond, \Leftrightarrow, mais est moins suggestif de l'idée combinatoire exprimée.
les deux notations biffées devant « F \parallel G » et « F \mathbin{\Diamond} G » sont surchargées et raturées. Le signe rendu \Diamond est un losange partagé par un trait vertical ; le signe rendu \between, comme au lot 2, est un sablier (deux chevrons opposés par le sommet, fermés en haut et en bas), et « F \between G » est entouré d'un cercle ; le signe rendu \Leftrightarrow est une double flèche horizontale inscrite dans un losange
On n'a rien dit pour l'instant au sujet de la relation \ll\preccurlyeq de raffinement sur \mathfrak{F}. Elle est formellement la relation la plus délicate, et est la relation la plus spécifique dans l'« Algèbre des figures ». Sa signification géométrique s'éclaire par les exemples, et les axiomes qui aux
à la page 7, \preccurlyeq est la subdivision et \ll le raffinement ; le mot lu ici « raffinement » est resté après que \ll a été biffé et remplacé par \preccurlyeq
son numéro « 10 » en haut de la page
ci inspirent.
Axiomes On peut prendre pour ens. de base d'une axiomatique des ateliers, soit \mathfrak{F}, soit \mathcal{M}, soit \mathcal{L}. On trouve des les plus simples sur \mathfrak{F}, les plus sophistiqués sur \mathcal{L}. Par contre, les axiomes naturels sont les moins transparents quand on reste plus ou moins dans \mathfrak{F}, et les plus transparents quand on travaille dans \mathcal{L} (ou peut-être pareil pour \mathcal{M} ?).
Sur\mathfrak{F}, on peut prendre comme structure de base, au choix
(1.16) \qquad
\begin{cases}
a)\ \leq,\ \ll \\
b)\ \leq,\ \preccurlyeq \\
c)\ \ll,\ \text{et}\ \mathfrak{F} \to \mathrm{P}(\mathfrak{F})
\end{cases}(20 juin) Non, nouveau que pour \llajout daté, de sa main, écrit à droite de b) et relié à b) par une flèche ; la date « 20 juin » est la siennedans c), un signe biffé avant « et »
(notion F \mapsto \widetilde{F}, le déploiement de F vu comme partie de \mathfrak{F}) i.e. la relation d'incidence ; sous c), i.e. la relation d'incidence « F est une strate de G » (i.e. F \in \mathcal{M}etF \leq G).
le commentaire entre parenthèses est écrit à droite de c) ; « i.e. la relation d'incidence… » est écrit sous c) et rattaché par une accolade à « \ll, et \mathfrak{F} \to \mathrm{P}(\mathfrak{F}) »
Je Avant de préciser ce point, je vais grouper dans un diagramme les six relations fondamentales dans \mathfrak{F}, en incluant(1.17) \qquad F \mathrel{\triangleleft} G \overset{\mathrm{dfn}}{\iff} \text{« $F$ incident à $G$ » i.e. } F \leq G \text{ et } F \in \mathcal{M}
son numéro « 11 » en haut de la page
(1.18)
\begin{tikzcd}[column sep=small]
& & G \mathrel{\triangleleft} F \arrow[d, Rightarrow] & & \\
G \preccurlyeq F \arrow[dr, Rightarrow] & & G \leq F \arrow[dl, Rightarrow] \arrow[dr, Rightarrow] & & G \parallel F \arrow[dl, Rightarrow] \\
& G \ll F & & G \between F &
\end{tikzcd}
les flèches sont doubles (implications) ; un cadre oblique, tracé à la main, entoure G \leq F et G \ll F avec la flèche qui les joint
Parmi les six relations, il y a quatre relations d'ordre \triangleleft, \leq, \preccurlyeq, \ll, et les deux autres relations \parallel et \between sont symétriques. Les La relation \between est de plus, réflexive, mais \parallel ne l'est que si \mathfrak{F} est réduit à son seul élément \emptyset_{\mathfrak{F}}, car
(1.19) \qquad F \parallel F \iff F = \emptyset_{\mathfrak{F}} \quad \text{figure vide.}
Non, \triangleleft n'est pas rel. d'ordre, elle est transitive mais non réflexive, F \mathrel{\triangleleft} F \Leftrightarrow F \in \mathcal{M}. Pour une rel. d'ordre avoir écrit F \trianglelefteq F \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} F \mathrel{\triangleleft} F ou F = Fnote écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de l'énumération des « quatre relations d'ordre » ; le dernier F \trianglelefteq F (triangle souligné) est aussi porté seul au bas de la note. La définition proposée, avec « F = F », est telle quelle sur la page ; on attend F \mathrel{\triangleleft} G ou F = G
Remarques a) les relations \triangleleft et \leq se déterminent mutuellement. Connaissant \leq, on définit \mathcal{M} \subset \mathfrak{F} comme
(1.20) \qquad \mathcal{M} = \lbrace X \in \mathfrak{F} \mid X \text{ strict.\ irréductible pour } \leq ,\ \text{i.e. } X \leq \textstyle\sup_i F_i \Rightarrow \exists\, i \text{ avec } X \leq F_i \rbrace
puis \triangleleft par (1.17). D'autre D'autre part, connaissant \triangleleft on définit \mathcal{M} par
(1.21) \qquad \mathcal{M} = \lbrace X \in \mathfrak{F} \mid X \mathrel{\triangleleft} X \rbrace
puis, pour F \in \mathfrak{F}, son déploiement
(1.22) \qquad \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \mathrel{\triangleleft} F \rbrace
et enfin
(1.23) \qquad F \leq G \iff \widetilde{F} \subset \widetilde{G}dans (1.20), la dernière inégalité, « X \leq F_i », est surchargée ; dans (1.22), la page écrit « X \mathrel{\triangleleft} \mathfrak{F} », pour X \mathrel{\triangleleft} F
Donc, pour déterminer la structure, il est équivalentles données minimales qui fixent la structure d'atelier, il est indifférent de s'y
son numéro « 12 » en haut de la page
prendre soit \leq, soit \triangleleft.
b) et \ll déterminent \preccurlyeq, car
G \preccurlyeq F \iff G \ll Fdeux lignes biffées, la seconde surchargée
b) Chacune des relations \leq, \ll détermine la relation \parallel. En effet
(1.24) \qquad
\begin{cases}
a)\ F \parallel G \iff \lbrace F, G \rbrace \text{ majoré pour } \leq, \text{ et } \mathrm{Inf}_{\leq}(F,G) = \emptyset_{\mathfrak{F}} \\
b)\ F \parallel G \iff \mathrm{Sup}_{\ll}(F,G) \text{ existe, et } \mathrm{Inf}_{\ll}\, F,G = \emptyset_{\mathfrak{F}}
\end{cases}Vérifier \rightarrowla note, dans la marge gauche, pointe vers b) ; dans a), le premier \iff est écrit en surcharge sur un autre signe
(NB \emptyset_{\mathfrak{F}} est à la fois plus petit élément de \mathfrak{F} pour \leq, et pour \ll)
c) La relation \ll détermine \preccurlyeq, par
(1.25) \qquad F \preccurlyeq G \iff F \ll G, \text{ et } \forall H \in \mathfrak{F} \text{ on a } (H \parallel F \iff H \parallel G)une croix dans la marge gauche, en regard de (1.25)
et on applique b).
d) La relation \ll détermine \mathcal{L} \subset \mathfrak{F} comme l'ens. des éléments minimaux de \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset_{\mathfrak{F}} \rbrace :
(1.26) \qquad \mathcal{L} = \lbrace X \in \mathfrak{F},\ X \neq \emptyset_{\mathfrak{F}} \mid Y \in \mathfrak{F},\ Y \ll X,\ Y \neq \emptyset_{\mathfrak{F}} \Rightarrow Y = X \rbrace
(Chaque lieu est une figure non vide dont le seul raffinement non vide est elle-même).
On dit \ll implique la relation \between par(1.27) F \between G \iff \exists\, Vla ligne est biffée, et la formule, encadrée, est annulée par des hachures obliques
Je ne vois pas que \ll (+ \preccurlyeq, c'est kif-kif) détermine \leq, ni même \between. Mais
(e) \ll et \between déterminent \leq par
(1.27) \qquad G \leq F \iff (G \ll F \text{ et } G \between F)« e » est cerclé ; une croix dans la marge gauche, en regard de (1.27)
Donc finalement,
son numéro « 13 » en haut de la page
on trouve trois possibilités optimales de définir la structure d'atelier sur \mathfrak{F} :
(1.28) \qquad
\begin{cases}
\text{soit par } \boxed{\leq,\ \ll} \\
\text{soit par } \leq,\ \preccurlyeq \\
\text{soit par } \ll,\ \between .
\end{cases}Non, ça ne suffit pas, d'après nouveau point de vue…ajout écrit à droite de la deuxième ligne de (1.28) ; cf. l'ajout daté du 20 juin à la page 10
Dans la première mouture, j'ai choisi \leq, \preccurlyeq, en définissant en termes de ceux-ci \llest la relation de préordre engendrée par \leq, \preccurlyeq, donc on a
(1.29) \qquad G \ll F \iff \exists\, F' \text{ avec } G \leq F' \preccurlyeq F
[correspondant au contexte de intuitif], qui est bien une notion de subdivision, plutôt celle de raffinement. Mais techniquement c'était un peu laborieux, de déduire les propriétés de transitivité et surtout de réflexivité pour \ll, et ça amenait à multiplier les axiomes en nombre. Toujours techniquement, il semblerait que ce soit en partant de \leq, \ll que soit le plus simple. C'est l'approche que je vais suivre maintenant. Quant à la possibilité de passer par \ll, \between, c'est plutôt une curiosité qu'autre chose.
la « première mouture » est le chapitre IV, dossier 156-4. La page écrit « relation de … engendrée par \leq, \preccurlyeq » ; deux ordres engendrent un préordre, d'où la lecture proposée
J'ai le de (1.29) le 20, plus que \ll\leq, \preccurlyeq\ll et longue note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de (1.29) et du paragraphe qui suit, en grande partie illisible ; « le 20 » y renvoie sans doute au 20 juin, date de l'ajout de la page 10
son numéro « 14 » en haut de la page
En résumé, en termes de \mathfrak{F}, c'est la donnée de deux relationsd'ordre(1.30) \qquad \boxed{\leq,\ \ll \ \text{(rel.\ d'ordre dans } \mathfrak{F}) \ \text{telles que} \ F \leq G \Rightarrow F \ll G}
que je vais partir.
la formule est encadrée ; « rel. d'ordre dans \mathfrak{F} » est écrit sous « \leq, \ll », rattaché par une accolade
En termes de celles-ci, on définit \mathcal{M}\mathcal{M} \subset \mathfrak{F}
par (1.20), avec les relations \leq_{\mathcal{M}}, \ll_{\mathcal{M}} induites par \leq_{\mathfrak{F}}, \ll_{\mathfrak{F}}, puis
\mathcal{L} \subset \mathcal{M}
par (1.25). L'application
(*) \qquad \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \qquad F \mapsto \widetilde{F} = \mathrm{Dépl}(F)
est donc définie par
(1.31) \qquad \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \rbrace
et
(**) \qquad \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \qquad F \mapsto \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F)
par (1.4) (1.32)\mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) = \lbrace \widetilde{X} \mid X \in \widetilde{F} \rbrace \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})
\quad \text{avec} \quad \widetilde{X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace .« (1.25) » est sur la page ; \mathcal{L} est défini en (1.26), page 12. Les marques « (*) » et « (**) » sont écrites en surcharge ; dans (*), un X biffé précède F \mapsto \widetilde{F}
Ainsi, \mathfrak{F} est interprété comme un ens. de parties dans \mathcal{M} via (*), et \leq s'interprète simplement par l'inclusion
(1.32) \qquad F \leq G \iff \widetilde{F} \subset \widetilde{G}
son numéro « 15 » en haut de la page
Par contre la relation \ll n'a pas d'interprétation simple évidente, ni en termes des déploiements\widetilde{F} \subset \mathcal{M}, ni en termes des multidéploiements \mathrm{Fig}(F) ; ainsi G \ll F n'implique nullement \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(G) \ll \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F). Aussi l'application (**) et la notation = \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) sont-ils finalement un peu bidon !
En termes de \mathcal{M}, la structure est donnée par
(1.33) \qquad
\boxed{
\begin{array}{l}
\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \ \text{ens.\ de parties de } \mathcal{M} \\
\ll \ \text{relation d'ordre dans } \mathfrak{F}, \text{ impliquée par l'inclusion (notée } F \leq G)
\end{array}}
Ça a l'air moins sympathique du point de vue simplicité des données et d'autant plus qu'il n'y a pas à première vued'interprétation directe de \ll en termes d'ensemblistes. Mais c'est ici que vont servir les (grandes) ombres ! (et avant d'introduire \ll)
En termes de la première donnée (1.33), le premier axiome est le fait que \mathfrak{F} est une famille d'une figure ens. préadmissibledans\mathcal{M} de Axiomeparties de\mathcal{M}, donc dans la donnée de \mathfrak{F}impliquerevient à la donnée d'une relation de préordre dans \mathcal{M} (la rel. \leq) — lequel se
attention au « pré » !la note marginale est en regard de « préadmissible », dont le « pré » est souligné deux fois ; au-dessous, dans la marge, une autre note est annulée par des hachures. Les ratures et les ajouts de ces dernières lignes s'enchevêtrent et leur ordre n'est pas sûr. Un « 16 » est écrit sous l'accolade en fin de page
son numéro « 16 » en haut de la page
une relation d'ordre ; en d'autres termes
(i) \forall X \in \mathcal{M}, dans l'ens. \mathfrak{F}^{X} des F \in \mathfrak{F} telles que X \in F, il y a un plus petit élément, soit F_X (NB ce sera l'ens. des Y \in \mathcal{M} tels que Y \leq X)
(ii) L'application X \mapsto F_X est injective, i.e. si X, Y \in \mathcal{M}, X \neq Y, alors \exists\, F \in \mathfrak{F} telle que X \in F, Y \notin F, ou l'inverse Y \in F, X \notin F.
Dès lors, les F \in \mathfrak{F}sont les contenant les \mathcal{M}_{\leq X}, X \in \mathcal{M}fermées de plus suppose de \mathcal{M}, donnée \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) satisfaisant (i) (ii), revient que \emptyset (partie vide de \mathcal{M}) \in \mathfrak{F} (ce qui implique que \mathfrak{F} n'est jamais admissible !).
passage très raturé : deux lignes sont biffées et plusieurs ajouts interlinéaires s'y enchevêtrent ; on donne ce qui se lit
Dans GF IV (Analysis situs, première mouture) j'ai explicité en long et en large la relation entre la donnée de (\mathfrak{F}, \leq), satisfaisant les conditions qui y étaient appeléesC 1, C 2, C 3 (voir §§ 5, 6, 8), et celle d'un ens. ordonné \mathcal{M}, muni d'un ens. de parties fermées \mathfrak{F}qui contenant les \mathcal{M}_{\leq X}, la partie vide, formé de parties fermées (pour l'ordre de \mathcal{M}), plus la condition : si F, G \in \mathfrak{F}, tels que \forall X \in F, Y \in G on ait \mathcal{M}_{\leq X} \cup \mathcal{M}_{\leq Y} \in \mathfrak{F}, alors F \cup G \in \mathfrak{F}. (Condition de compatibilité).
J'appellerai ces trois conditions plutôt At 1, At 2, At 3note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de « C 1, C 2, C 3 ». Le renvoi est au chapitre IV, dossier 156-4 ; les numéros de paragraphes, surchargés, se lisent « 5, 6, 8 » sans certitude
son numéro « 17 » en haut de la page
Il n'y a pas à y revenir. Je vais plutôt m'attacher à présent aux interprétations en termes d'ombres (grandes ou petites). Il est entendu que dans un premier temps, je m'attache aux aspects « algébriques » ou « triviaux » d'un formalisme des figures, et un contexte de dignes de bon raisonnement, de telle façon que
1°) Ceux-ci valables dans tout « atelier » de la forme \mathrm{Fig}(\text{\struck{\ill{}}}\, L), formé des figures ensemblistes dans un ensemble donné L (sans conditions de finitude d'aucune sorte), et
2°) qu'ils soient applicables aussi, disons, aux figures simpliciales affines finies, dans un espace affine sur \mathbb{R} (ou, plus généralement, sur un corps ordonné quelconque).
Pour expliciter, en termes de l'ens. ordonné (\mathcal{M}, \leq), les ens. \mathfrak{F} de figures, en tant qu'ens. de parties de \mathcal{M}, il est on dira figures de type fini(1.34) \qquad F \in \mathfrak{F} \text{ de t.f.} \iff \widetilde{F} = \text{réunion finie d'ens.\ } \mathcal{M}_{\leq X_i}
(pour un ens. fini de strates de \mathcal{M})
la parenthèse est écrite sous la formule ; dans (1.34), un mot biffé précède « réunion »
son numéro « 18 » en haut de la page
la chose essentielle est la connaissance de
(1.35) \qquad \mathbin{\between_{\mathcal{M}}} \ \text{relation binaire sym.\ réfl.\ (sur } \mathcal{M})qui implique satisfaisant
(1.36) \qquad X \between Y,\quad X' \leq X,\ Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y'Alors il y a corr. biunivoque entre l'ens. de telles relations sur \mathcal{M}, et d'un ens. \mathfrak{F}\subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) satisfaisant les conditions énumérées précédemment, plus celle disant que les F \in \mathfrak{F} soient de type fini. C'est en ce sens que j'ai pu dire que « moralement », le couple (\mathcal{M}, \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})) équivalait à la donnée de \leq_{\mathcal{M}} et de \between satisfaisant (1.36).
cf. page 9 : « Moralement, pour récupérer l'atelier… il suffit de connaître sur \mathcal{M} ces deux relations d'ordre, et la relation de compatibilité »
Mais il s'agit maintenant
Pratiquement, dans presque tous les exemples, c'est via \mathcal{M}(multistrates) muni de \leq et d'une relation de disjonction \between, qu'on définira les ateliers…
« relation de disjonction \between » est ainsi sur la page ; en (1.14)-(1.15), page 9, \parallel note la disjonction et \between la compatibilité, que désigne aussi (1.35)-(1.36)
Il faut à présent en venir à la relation \ll. Comme elle Elle ne pouvant l'instant s'exprimer surtout à formes des ombres, je commence par les grandes ombres
son numéro « 19 » en haut de la page, écrit comme un « 17 »(*) \qquad \mathrm{Omb}(F) = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \ll F \rbrace
et la multiombre
(**) \qquad \mathrm{Multomb}(F) = \lbrace \mathrm{Omb}(X) \mid X \in \widetilde{F} \rbrace .\widetilde{F} = F, si on identifie F à une partie de \mathcal{M} via \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}), F \mapsto \widetilde{F}ajout à droite de (**), relié à \widetilde{F} par un trait
En apparence (*) utilise la connaissance de \ll dans \mathfrak{F} tout entier, mais il résulte des axiomes qui dit qu'elle ne dépend que de \ll_{\mathcal{M}} (au lieu de \ll_{\mathfrak{F}}). En tous cas, il est clair que la multiombre ne dépend que de \ll_{\mathcal{M}}.
NB Je vais C 5 C 4, note écrite en oblique dans la marge gauche, en grande partie illisible
Je veux que cette multiombre soit une figure ensembliste dans \mathcal{M}, et indexée fidèlement par \widetilde{F}, appelée l'ombre, ( d'une figure), telle que X \ll F, et
avec la relation d'ordre \leq dans \mathfrak{F} correspondant à l'inclusion dans \mathrm{Multomb}(F), i.e. dans \mathfrak{F} ; C 4 si X, Y \in \mathcal{M} tels que X \ll Y, X \between Yalors\Rightarrow X \leq Ynote de la marge gauche, marquée d'un point cerclé qui la renvoie au texte ; « C 4 » y est souligné.
C 5 si X \in \mathcal{M}, F \in \mathfrak{F}, (si F^{X} est l'ens. des Y \in \mathcal{M} tels que X \leq YX \ll Y \leq F (l'ens. des strates de F raffinées par X), on dans (1.37) est que F^{X} a un plus petit élément pour \leq (i.e. il existe une strate de F raffinée par X, et parmi toutes les strates de F raffinées par X, il en est une plus petite)
la phrase est reprise en surcharge et les parenthèses ne se ferment pas toutes ; « (1.37) » est écrit dans la marge du texte de C 5
Cor Pour que si X \in \mathcal{M}, F \in \mathfrak{F}, X \ll F, il faut il existe Y \in \mathcal{M}X \ll Y \leq F. Ainsi X \ll FY \in FX \ll Ycorollaire écrit en oblique dans la marge gauche, en regard de C 5 ; lecture partielle
C 6 Soit X \in \mathcal{M}, . Alors \exists\, Y \in \mathcal{M} tel que i.e. X \in F^{Y} a) Y \ll X b) Y \ll X' \leq X, X' \in \mathcal{M}\Rightarrow X' = Xb) X est le plus petit élément de (cf C 4)« C 6 » et tout son énoncé sont biffés, la ligne de titre d'un trait, le reste de longs traits obliques
NB Le fait que dans \mathrm{Multomb}(X), les \mathrm{Omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset, est trivial, car X \in \mathrm{Omb}(X)^{\circ}note au pied de la page, à gauche, sous la marge
son numéro « 20 » en haut de la page
Ainsi on trouve donc une application
(*) \qquad \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) , \qquad F \longmapsto \mathrm{Multomb}(F)
Elle est injective, car X est connu quand \mathrm{Omb}(X) est connu (c'est le plus grand élément de \mathrm{Omb}(X) pour \ll), donc \widetilde{F} est connu quand \mathrm{Multomb}(F) l'est, donc F aussi. Il est immédiat
(1.38) \qquad G \leq F \iff \mathrm{Multomb}(G) \leq \mathrm{Multomb}(F)l'explication de l'injectivité est ajoutée entre les lignes, à droite, et rattachée par une accolade ; le \iff de (1.38) est écrit en surcharge. Sous les deux membres de droite, des accolades : « les strates sont les \mathrm{Omb}(Y), Y \in \widetilde{G} », « les strates sont les \mathrm{Omb}(X), X \in \widetilde{F} », et sous les deux : « or \widetilde{G} \subset \widetilde{F} est une partie fermée de \widetilde{F} si G \leq F »
19 juindate de sa main, soulignée, en tête de l'alinéa
Finalement, j'ai changé de point de vue pour le sens géométrique de la relation G \ll F, que je voyais comme « G est une sous-figure d'une subdivision de F ». Déjà dans le cas simplicial (i.e. la structure combinatoire des \mapsto multistrates étant celle une structure de simplexe : l'ens. ordonné des sous-ens. d'un ens. fini…), cela n'a pas l'air naturel. Par contre, si on a un choix modéré, et deux simplexes modérés X, Y dans un \mathbb{R}^n disons, on dira que Y \ll X si c'est le cas pour les figures ensemblistes correspondantes — ce qui implique sans doute pas l'existence d'une subdiv. de X telle que Y en soit une multistrate de la
dans « Y \ll X », la première lettre est un X surchargé, qu'on lit Y d'après la suite. La date « 19 juin » précède ici celle du 20 juin portée page 10 : l'ajout de la page 10 est postérieur à la rédaction suivie. La page s'arrête au milieu de la phrase