Cote n° 156-6, pages 1–20

Cote n° 156-6 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Chapitre] VI. Analysis situs (deuxième mouture) : notes manuscrites (18-20/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

Analysis situs (deuxième mouture)

titre de sa main en tête de la page 1, qui porte en haut au centre son numéro « 1 » ; dans l'angle supérieur droit, dans un coin tracé à la plume, « GF VI » (le chiffre souligné)

18 juin 86 date de sa main, écrite en oblique dans la marge gauche, au début du premier alinéa

Avant de décrire ce qu'est une contrée, je vais décrire ce qui sera une « contrée avec notion de multistrates » — la famille des multistrates ⌜choisies⌝ jouant un peu le rôle de la famille d'ouverts baignant ⌜engendrant⌝ pour une topologie, ou une famille génératrice d'éléments d'un topos. Je vais donc commencer par

(I) « Algèbre de figures » ou « Atelier ».

le « I » est cerclé

1. Une algèbre de figures implique avant tout trois types d'objets, les lieux, les multistrates, les figures, formant trois ensembles \[ (1.1.) \qquad \mathcal{L},\ \mathcal{M},\ \mathfrak{F} , \] liés entre eux par diverses applications, et chacun muni de diverses structures. Ainsi on a des applications canoniques injectives \[ (1.2) \qquad \mathcal{L} \overset{b)}{\hookrightarrow} \mathcal{M} \overset{a)}{\hookrightarrow} \mathfrak{F} , \] que nous utiliserons souvent pour identifier un lieu à une multistrate particulière, et une multistrate à une figure particulière — $\mathcal{L}$ à un sous-ens. de $\mathcal{M}$, $\mathcal{M}$ à un sous-ens. de $\mathfrak{F}$. les étiquettes « b) » et « a) » sont écrites au-dessus des deux flèches, dans cet ordre, de gauche à droite

Il y a d'autre part deux autres paires d'applications, que voici.

2son numéro « 2 » en haut de la page \[ (1.3) \qquad \begin{cases} a)\ \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}) & F \mapsto \widetilde{F} = \mathrm{Dépl}(F) \subset \mathcal{M} \\ b)\ \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) & \text{plus précisément } \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{M}), \\ & F \mapsto \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \end{cases} \] b) se déduit de a) et de 1.2. a) […] […] la première note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche ; la seconde, de deux mots, est sous b), une flèche la rattache à « b) » et une autre flèche courbe la mène à « $F \mapsto \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F)$ » ; dans cette dernière formule le « $\mathrm{F}$ » de « $\mathrm{Fig}$ » est écrit en surcharge sur un $\widetilde{F}$

où $\mathrm{Fig}(\mathcal{M})$ désigne la partie de $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M}))$ formée des figures ensemblistes dans $\mathcal{M}$. On On peut considérer que la première application correspond à une relation entre $\mathcal{M}$ et $\mathfrak{F}$, appelée relation d'incidence. Pour une figure $F$, $\widetilde{F}$ s'appelle l'ensemble des multistrates incidentes, ou le déploiement de la figure $F$. Si $X \in \mathcal{M}$, $F \in \mathfrak{F}$, on dira que la multistrate $X$ est incidente à la figure $F$, de la figure $F$ ou encore que c'est une strate de $F$, si $X \in \widetilde{F}$. D'autre part, toute ⌜élément $X$⌝ de de $\mathcal{M}$ (i.e. toute multistrate), regardé[e] comme une figure par (1.2), a donc un déploiement $\widetilde{X}$, et la multistrate mais on pose \[ (1.4) \qquad \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) = \lbrace \widetilde{X} \mid X \in \widetilde{F} = \mathrm{Dépl}(F) \rbrace \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \quad \text{i.e.} \quad \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) \] et il résultera des axiomes que c'est une figure ensembliste dans $\mathcal{M}$, indexée fidèlement par l'ens. $\widetilde{F}$ des strates de $F$. […] En fait, $\mathcal{M}$ sera muni d'une relation d'ordre $\leq$, cf. plus bas, et $\widetilde{F}$ ⌜$\subset \mathcal{M}$⌝ sera une partie fermée de $\mathcal{M}$, et pour tout $X \in \widetilde{F}$, $\widetilde{X}$ on aura \[ (1.5) \qquad \widetilde{X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace . \]

3son numéro « 3 » en haut de la page À cause de cette interprétation, le passage de $\widetilde{F} \subset \mathcal{M}$ à $\mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F)$ est à tel point évident, que ⌜la considération de⌝ cette figure ensembliste dans $\mathcal{M}$ ne semble nullement importante — mais à voir….

Quand on identifie On pourra utiliser les deux applications (1.3) pour identifier une figure, suivant les cas, à une partie de $\mathcal{M}$ [via $F \mapsto \widetilde{F}$] ou à une figure ensembliste dans $\mathcal{M}$ [via $F \mapsto \mathrm{Dépl}(F)$]. Dans le premier cas, compte tenu de $\mathcal{M} \hookrightarrow \mathfrak{F}$ (1.2), par la formule 1.5. Cette dernière inclusion s'identifie à \[ X \longmapsto \widetilde{X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace \qquad \mathcal{M} \to \mathfrak{P}_{\mathrm{ferm}}(\mathcal{M}) . \] dans le second crochet, « $\mathrm{Dépl}(F)$ » est sur la page ; d'après (1.3), $\mathrm{Dépl}(F) = \widetilde{F}$, et c'est $\mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F)$ qu'on attend Donc il faudra être prudent […] l'identification dont il a été question, des éléments $X \in \mathcal{M}$ multistrates à des figures particulières, quand celles-ci sont interprétées comme des parties de $\mathcal{M}$ : la figure associée à $X \in \mathcal{M}$ n'est nullement $\lbrace X \rbrace$, mais $\widetilde{X}$ = ens. des multistrates majorées par $X$ pour $\leq$ (ou encore, des sous-multistrates, ou multistrates incidentes à $X$, ou encore des […] strates de $X$).

4son numéro « 4 » en haut de la page D'autre part, il y a deux ⌜autres⌝ applications \[ (1.6) \qquad \begin{cases} a)\ \mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{M}) & F \mapsto \mathrm{Omb}_{\mathcal{M}}(F) \\ b)\ \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}\mathfrak{P}(\mathcal{M}) \ \text{et} = \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \subset \mathfrak{P}\mathfrak{P}(\mathcal{M}) & F \mapsto \mathrm{Multomb}_{\mathcal{M}}(F) , \end{cases} \] « (1.6) » est écrit en surcharge sur « (1.4) » où $\mathrm{Omb}_{\mathcal{M}}(F)$ s'appelle l'ombre de la figure $F$ sur $\mathcal{M}$, ou la grande ombre de $F$. Une multistrate ⌜$X$⌝ qui est dans la grande ombre d'une figure $F$ est dite « raffiner » la figure $F$ (c'est cette fois déduit d'une relation d'ordre $\ll$ sur $\mathfrak{F}$, la raffinement, par la condition $X \ll F$). Il n'est pas clair que cette application $\mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{M})$ soit injective, i.e. que $F$ s'identifie à un ens. de parties de $\mathcal{M}$, via cette application. Par contre il en sera ainsi de (1.6) b), qui est déduit de a) via la formation de $\widetilde{F}$, comme (1.3 b) est déduit de (1.3. a) : \[ (1.7) \qquad \mathrm{Multomb}(F) = \lbrace X \in \widetilde{F} \mid \mathrm{Omb}\, X \rbrace , \] « (1.7) » remplace un « (1.5) » biffé ; la formule est ainsi sur la page, on attend $\lbrace \mathrm{Omb}\, X \mid X \in \widetilde{F} \rbrace$, par analogie avec (1.4) alors que $\mathrm{Omb}(X)$ s'explicite par \[ (1.8) \qquad \mathrm{Multomb}(X) = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \ll X \rbrace , \] à gauche, « $\mathrm{Mult}$ » précède un « $\mathrm{O}$ » repassé ; le texte annonce $\mathrm{Omb}(X)$ analogue à (1.5), où cette fois on a utilisé la relation ⌜d'ordre⌝ $\ll$ au lieu de $\leq$. C'est la

5son numéro « 5 » en haut de la page une figure de Pour toute figure $F$, $\mathrm{Multomb}(F)$ ⌜est appelé⌝ dans la grande multiombre de $F$, ou la $\mathcal{M}$-multiombre de $F$. On C'est en fait une figure ensembliste dans $\mathcal{M}$, ⌜indexée fidèlement par $\widetilde{F}$ (le déploiement de $F$)⌝ et dont la connaissance implique celle de $F$. ⌜(Jusqu'ici puisque il n'était pas question de $\mathcal{L}$.)⌝ Utilisant d'autre part ⌜maintenant⌝ l'application \[ \mathcal{L} \hookrightarrow \mathcal{M} , \] et les applications images inverses correspondantes \[ \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) , \qquad \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) , \] on trouve, en composant avec 1.6 a) b) \[ (1.9) \qquad \begin{cases} a)\ \mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) & F \mapsto \mathrm{omb}(F) \\ b)\ \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) & F \mapsto \mathrm{multomb}(F) \end{cases} , \] les deux flèches de (1.9) sont écrites en surcharge sur des flèches à crochet dont la première n'a aucune raison d'être injective, le second par contre a une tendance à l'être. On va ⌜On⌝ appelle $\mathrm{omb}(F)$ la petite ombre de $F$, ou simplement son ombre quand une confusion semble exclue, et de même de $\mathrm{multomb}$, la (petite) multiombre de la figure $F$.

6son numéro « 6 » en haut de la page Ainsi, l'ombre d'une figure est formée des lieux qui la raffinent — on dit aussi que ce sont les lieux « de la figure » ([…] un peu abusivement, ou les strates de la figure qui sont des lieux). La multiombre est donc formée des ombres de ses strates, elle est indexée par le déploiement $\widetilde{F}$, ensemble des strates de $F$, la relation d'[…]⌜inclusion⌝ de la figure ensembliste n'étant autre que la relation d'incidence entre strates de $F$, i.e. la relation dans $\widetilde{F}$ induite par $\leq$ dans $\mathcal{M}$ (ou par $\ll$ au choix, se réduisant au $=$). Alors qu'une figure n'est reconstituable pratiquement jamais à partir de son ombre, elle est reconstituable pourtant donc dans (cas des « Ateliers ensemblistes ») à à partir de sa multiombre. Nous y reviendrons.

§ Il y a lieu de parler des relations d'ordre canoniques

7son numéro « 7 » en haut de la page \[ (1.10) \qquad \leq,\ \ll,\ \preccurlyeq \quad \text{relations d'ordre dans } \mathfrak{F} \] et les relations induites dans $\mathcal{M}$ \[ (1.11) \qquad \leq,\ \ll \quad \text{dans } \mathcal{M} \] [et la relation d'ordre $\preccurlyeq$ induite dans $\mathcal{M}$ est moins importante, comme structure spécifique […] $\mathcal{M}$]. le troisième signe, que l'on rend par $\preccurlyeq$, est un $\leq$ dont le trait inférieur est courbé

NB Les relations d'ordre induites par $\leq$, $\ll$ sur $\mathcal{L}$ sont discrètes. NB $G \leq F \Rightarrow G \ll F$ : une sous-figure de $F$ raffine $F$ ces deux notes sont écrites en oblique dans la marge gauche, en regard de (1.11) et des définitions qui suivent

$G \leq F$ $G$ est dit une sous-figure de $F$ (si $G$ ⌜$G = X$⌝ $\in \mathcal{M}$, c'est donc une strate de $F$)

$G \ll F$ $G$ est dit un raffinement de $F$ (si $G = X \in \mathcal{M}$, c'est donc un élément de la grande ombre de $F$)

$G \preccurlyeq F$ $G$ est dit une subdivision de $F$, on dit que la figure $G$ subdivise la figure $F$.

Je note enfin deux autres relations importantes dans entre figures : \[ (1.12) \qquad \begin{cases} F \text{ et } G \ \underline{\text{compatibles}} \\ F \text{ et } G \ \underline{\text{disjoints}} \end{cases} , \] qui l'une et l'autre peuvent s'exprimer en termes de la relation d'ordre $\leq$ : $F$ et $G$ compatibles : ce sont des sous-figures d'une même figure, i.e. $\lbrace F, G \rbrace$ majoré pour $\leq$ ; $F$ et $G$ disjoints : $F$ et $G$ compatibles, et leur

8son numéro « 8 » en haut de la page inf dans $\mathfrak{F}$ est $\emptyset_{\mathfrak{F}}$, le plus petit élément de $\mathfrak{F}$ ou figure vide. Ainsi \[ F \text{ et } G \text{ disjoints} \Longrightarrow F \text{ et } G \text{ compatibles.} \] On a, par les axiomes : \[ (1.13) \qquad F \text{ et } G \text{ disjoints} \iff \] tout $\mathrm{omb}(F)$ et $\mathrm{omb}(G)$ $\mathrm{omb}(F) \cap \mathrm{omb}(G) = \emptyset$ sont « disjoints » en un sens suivant : ils sont disjoints ensemblistement i.e. $\mathrm{omb}(F) \cap \mathrm{omb}(G) = \emptyset$, et tout élément de $\mathrm{omb}(F)$ est compatible avec tout élt de $\mathrm{omb}(G)$) ce membre de droite de (1.13) est écrit en colonne à droite de la page

— i.e. deux figures sont disjointes ssi elles n'ont pas de lieu commun, et tout lieu de l'une est disjoint ⌜co disjoint⌝ (au sens de la théorie l'atelier) de tout lieux de l'autre ;

Cela montre que les relations de discompatibilité et de disjonction sont importantes aussi dans les […] ensembles $\mathcal{M}$, $\mathcal{L}$ de $\mathfrak{F}$. Dans le cas des ateliers ensemblistes, ces relations sont « triviales » sur $\mathcal{L}$ : deux lieux sont disjoints ⌜compatibles⌝, et disjoints ssi ils sont distincts. Par contre, même dans le cas ensembliste et « modéré », la relation

9son numéro « 9 » en haut de la page de compatibilité dans $\mathcal{M}$ est une relation relation importante, qui se surajoute aux relations $\leq_{\mathcal{M}}$, $\ll_{\mathcal{M}}$. Moralement, pour récupérer l'atelier (à iso unique près) il suffit de connaître sur $\mathcal{M}$ ces deux relations d'ordre, et la relation de compatibilité. au moins […] dans le cas modéré note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de ces lignes

Les relations ⌜(compatibilité, disjonction)⌝ […] sont si importantes qu'elles méritent chacune une notation lapidaire. Je propose […] \[ (1.14) \qquad F \parallel G \] pour la disjonction, et […] \[ (1.15) \qquad F \mathbin{\Diamond} G \quad \text{ou} \quad F \mathbin{\between} G \] pour la compatibilité (NB $\between$ est plus rapide à écrire que $\Diamond$, $\Leftrightarrow$, mais est moins suggestif de l'idée combinatoire exprimée. les deux notations biffées devant « $F \parallel G$ » et « $F \mathbin{\Diamond} G$ » sont surchargées et raturées. Le signe rendu $\Diamond$ est un losange partagé par un trait vertical ; le signe rendu $\between$, comme au lot 2, est un sablier (deux chevrons opposés par le sommet, fermés en haut et en bas), et « $F \between G$ » est entouré d'un cercle ; le signe rendu $\Leftrightarrow$ est une double flèche horizontale inscrite dans un losange

On n'a rien dit pour l'instant au sujet de la relation $\ll$ $\preccurlyeq$ de raffinement sur $\mathfrak{F}$. Elle est formellement la relation la plus délicate, et est la relation la plus spécifique dans l'« Algèbre des figures ». Sa signification géométrique s'éclaire par les exemples, et les axiomes qui aux à la page 7, $\preccurlyeq$ est la subdivision et $\ll$ le raffinement ; le mot lu ici « raffinement » est resté après que $\ll$ a été biffé et remplacé par $\preccurlyeq$

10son numéro « 10 » en haut de la page ci inspirent.

Axiomes On peut prendre pour ens. de base d'une axiomatique des ateliers, soit $\mathfrak{F}$, soit $\mathcal{M}$, soit $\mathcal{L}$. On trouve des […] les plus simples sur $\mathfrak{F}$, les plus sophistiqués sur $\mathcal{L}$. Par contre, les axiomes naturels sont les moins transparents quand on reste plus ou moins dans $\mathfrak{F}$, et les plus transparents quand on travaille dans $\mathcal{L}$ (ou peut-être pareil pour $\mathcal{M}$ ?).

Sur $\mathfrak{F}$, on peut prendre comme structure de base, au choix \[ (1.16) \qquad \begin{cases} a)\ \leq,\ \ll \\ b)\ \leq,\ \preccurlyeq \\ c)\ \ll,\ \text{et}\ \mathfrak{F} \to \mathrm{P}(\mathfrak{F}) \end{cases} \] (20 juin) Non, […] nouveau […] […] que pour $\ll$ ajout daté, de sa main, écrit à droite de b) et relié à b) par une flèche ; la date « 20 juin » est la sienne dans c), un signe biffé avant « et » (notion $F \mapsto \widetilde{F}$, le déploiement de $F$ vu comme partie de $\mathfrak{F}$) i.e. la […] relation d'inc[idence] ; sous c), i.e. la relation d'incidence « $F$ est une strate de $G$ » (i.e. $F \in \mathcal{M}$ et $F \leq G$). le commentaire entre parenthèses est écrit à droite de c) ; « i.e. la relation d'incidence… » est écrit sous c) et rattaché par une accolade à « $\ll$, et $\mathfrak{F} \to \mathrm{P}(\mathfrak{F})$ »

Je Avant de préciser ce point, je vais grouper dans un diagramme les six relations fondamentales dans $\mathfrak{F}$, en incluant \[ (1.17) \qquad F \mathrel{\triangleleft} G \overset{\mathrm{dfn}}{\iff} \text{« $F$ incident à $G$ » i.e. } F \leq G \text{ et } F \in \mathcal{M} \]

11son numéro « 11 » en haut de la page (1.18)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & & G \mathrel{\triangleleft} F \arrow[d, Rightarrow] & & \\
G \preccurlyeq F \arrow[dr, Rightarrow] & & G \leq F \arrow[dl, Rightarrow] \arrow[dr, Rightarrow] & & G \parallel F \arrow[dl, Rightarrow] \\
 & G \ll F & & G \between F &
\end{tikzcd}

les flèches sont doubles (implications) ; un cadre oblique, tracé à la main, entoure $G \leq F$ et $G \ll F$ avec la flèche qui les joint

Parmi les six relations, il y a quatre relations d'ordre $\triangleleft$, $\leq$, $\preccurlyeq$, $\ll$, et les deux autres relations $\parallel$ et $\between$ sont symétriques. Les La relation $\between$ est ⌜de plus,⌝ réflexive, mais $\parallel$ ne l'est que si $\mathfrak{F}$ est réduit à son seul élément $\emptyset_{\mathfrak{F}}$, car \[ (1.19) \qquad F \parallel F \iff F = \emptyset_{\mathfrak{F}} \quad \text{figure vide.} \]

Non, $\triangleleft$ n'est pas rel. d'ordre, elle est transitive mais non réflexive, $F \mathrel{\triangleleft} F \Leftrightarrow F \in \mathcal{M}$. Pour […] une rel. d'ordre […] avoir écrit $F \trianglelefteq F \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} F \mathrel{\triangleleft} F$ ou $F = F$ note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de l'énumération des « quatre relations d'ordre » ; le dernier $F \trianglelefteq F$ (triangle souligné) est aussi porté seul au bas de la note. La définition proposée, avec « $F = F$ », est telle quelle sur la page ; on attend $F \mathrel{\triangleleft} G$ ou $F = G$

Remarques a) les relations $\triangleleft$ et $\leq$ se déterminent mutuellement. Connaissant $\leq$, on définit $\mathcal{M} \subset \mathfrak{F}$ comme \[ (1.20) \qquad \mathcal{M} = \lbrace X \in \mathfrak{F} \mid X \text{ strict.\ irréductible pour } \leq ,\ \text{i.e. } X \leq \textstyle\sup_i F_i \Rightarrow \exists\, i \text{ avec } X \leq F_i \rbrace \] puis $\triangleleft$ par (1.17). D'autre D'autre part, connaissant $\triangleleft$ on définit $\mathcal{M}$ par \[ (1.21) \qquad \mathcal{M} = \lbrace X \in \mathfrak{F} \mid X \mathrel{\triangleleft} X \rbrace \] puis, pour $F \in \mathfrak{F}$, son déploiement \[ (1.22) \qquad \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \mathrel{\triangleleft} F \rbrace \] et enfin \[ (1.23) \qquad F \leq G \iff \widetilde{F} \subset \widetilde{G} \] dans (1.20), la dernière inégalité, « $X \leq F_i$ », est surchargée ; dans (1.22), la page écrit « $X \mathrel{\triangleleft} \mathfrak{F}$ », pour $X \mathrel{\triangleleft} F$ Donc, pour déterminer la structure, il est équivalent ⌜les données minimales qui⌝ fixent la structure d'atelier, il est indifférent de s'y

12son numéro « 12 » en haut de la page prendre soit $\leq$, soit $\triangleleft$.

b) […] et $\ll$ déterminent […] $\preccurlyeq$, car

$G \preccurlyeq F \iff G \ll F$ deux lignes biffées, la seconde surchargée

b) Chacune des relations $\leq$, $\ll$ détermine la relation $\parallel$. En effet \[ (1.24) \qquad \begin{cases} a)\ F \parallel G \iff \lbrace F, G \rbrace \text{ majoré pour } \leq, \text{ et } \mathrm{Inf}_{\leq}(F,G) = \emptyset_{\mathfrak{F}} \\ b)\ F \parallel G \iff \mathrm{Sup}_{\ll}(F,G) \text{ existe, et } \mathrm{Inf}_{\ll}\, F,G = \emptyset_{\mathfrak{F}} \end{cases} \] Vérifier $\rightarrow$ la note, dans la marge gauche, pointe vers b) ; dans a), le premier $\iff$ est écrit en surcharge sur un autre signe (NB $\emptyset_{\mathfrak{F}}$ est à la fois plus petit élément de $\mathfrak{F}$ pour $\leq$, et pour $\ll$)

c) La relation $\ll$ détermine $\preccurlyeq$, par \[ (1.25) \qquad F \preccurlyeq G \iff F \ll G, \text{ et } \forall H \in \mathfrak{F} \text{ on a } (H \parallel F \iff H \parallel G) \] une croix dans la marge gauche, en regard de (1.25) et on applique b).

d) La relation $\ll$ détermine $\mathcal{L} \subset \mathfrak{F}$ comme l'ens. des éléments minimaux de $\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset_{\mathfrak{F}} \rbrace$ : \[ (1.26) \qquad \mathcal{L} = \lbrace X \in \mathfrak{F},\ X \neq \emptyset_{\mathfrak{F}} \mid Y \in \mathfrak{F},\ Y \ll X,\ Y \neq \emptyset_{\mathfrak{F}} \Rightarrow Y = X \rbrace \] (Chaque lieu est une figure non vide dont le seul raffinement non vide est elle-même).

On dit $\ll$ implique la relation $\between$ par (1.27) $F \between G \iff \exists\, V$ la ligne est biffée, et la formule, encadrée, est annulée par des hachures obliques Je ne vois pas que $\ll$ (+ $\preccurlyeq$, c'est kif-kif) détermine $\leq$, ni même $\between$. Mais

(e) $\ll$ et $\between$ déterminent $\leq$ par \[ (1.27) \qquad G \leq F \iff (G \ll F \text{ et } G \between F) \] « e » est cerclé ; une croix dans la marge gauche, en regard de (1.27) Donc finalement,

13son numéro « 13 » en haut de la page on trouve trois possibilités optimales de définir la structure d'atelier sur $\mathfrak{F}$ : \[ (1.28) \qquad \begin{cases} \text{soit par } \boxed{\leq,\ \ll} \\ \text{soit par } \leq,\ \preccurlyeq \\ \text{soit par } \ll,\ \between . \end{cases} \] Non, ça ne suffit pas, d'après nouveau point de vue… ajout écrit à droite de la deuxième ligne de (1.28) ; cf. l'ajout daté du 20 juin à la page 10

Dans la première mouture, j'ai choisi $\leq$, $\preccurlyeq$, en définissant en termes de ceux-ci $\ll$ ⌜est⌝ la relation de préordre engendrée par $\leq$, $\preccurlyeq$, donc on a \[ (1.29) \qquad G \ll F \iff \exists\, F' \text{ avec } G \leq F' \preccurlyeq F \] [correspondant au contexte de […] ⌜[…]⌝ […] intuitif], qui est bien une notion de subdivision, plutôt […] celle de raffinement. Mais techniquement c'était un peu laborieux, de déduire les propriétés de transitivité et ⌜surtout⌝ de réflexivité pour $\ll$, et ça amenait à multiplier les axiomes en nombre. Toujours techniquement, il semblerait que ce soit en partant de $\leq$, $\ll$ que soit le plus simple. C'est l'approche que je vais suivre maintenant. Quant à la possibilité de passer par $\ll$, $\between$, c'est plutôt une curiosité qu'autre chose. la « première mouture » est le chapitre IV, dossier 156-4. La page écrit « relation de … engendrée par $\leq$, $\preccurlyeq$ » ; deux ordres engendrent un préordre, d'où la lecture proposée

J'ai […] le […] de (1.29) […] le 20, […] plus que […] […] $\ll$ […] $\leq$, $\preccurlyeq$ […] $\ll$ […] et […] longue note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de (1.29) et du paragraphe qui suit, en grande partie illisible ; « le 20 » y renvoie sans doute au 20 juin, date de l'ajout de la page 10

14son numéro « 14 » en haut de la page En résumé, en termes de $\mathfrak{F}$, c'est la donnée de deux relations d'ordre \[ (1.30) \qquad \boxed{\leq,\ \ll \ \text{(rel.\ d'ordre dans } \mathfrak{F}) \ \text{telles que} \ F \leq G \Rightarrow F \ll G} \] que je vais partir. la formule est encadrée ; « rel. d'ordre dans $\mathfrak{F}$ » est écrit sous « $\leq$, $\ll$ », rattaché par une accolade

En termes de celles-ci, on définit $\mathcal{M}$ \[ \mathcal{M} \subset \mathfrak{F} \] par (1.20), avec les relations $\leq_{\mathcal{M}}$, $\ll_{\mathcal{M}}$ induites par $\leq_{\mathfrak{F}}$, $\ll_{\mathfrak{F}}$, puis \[ \mathcal{L} \subset \mathcal{M} \] par (1.25). L'application \[ (*) \qquad \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \qquad F \mapsto \widetilde{F} = \mathrm{Dépl}(F) \] est ⌜donc⌝ définie par \[ (1.31) \qquad \widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \rbrace \] et \[ (**) \qquad \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \qquad F \mapsto \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) \] par (1.4) (1.32) \[ \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) = \lbrace \widetilde{X} \mid X \in \widetilde{F} \rbrace \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \quad \text{avec} \quad \widetilde{X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace . \] « (1.25) » est sur la page ; $\mathcal{L}$ est défini en (1.26), page 12. Les marques « (*) » et « (**) » sont écrites en surcharge ; dans (*), un $X$ biffé précède $F \mapsto \widetilde{F}$

Ainsi, $\mathfrak{F}$ est interprété comme un ens. de parties dans $\mathcal{M}$ via (*), et $\leq$ s'interprète simplement par l'inclusion \[ (1.32) \qquad F \leq G \iff \widetilde{F} \subset \widetilde{G} \]

15son numéro « 15 » en haut de la page Par contre la relation $\ll$ n'a pas d'interprétation simple évidente, ni en termes des ⌜déploiements⌝ $\widetilde{F} \subset \mathcal{M}$, ni en termes des multidéploiements $\mathrm{Fig}(F)$ ; ainsi $G \ll F$ n'implique nullement $\mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(G) \ll \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F)$. Aussi l'application (**) et la notation $= \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F)$ sont-ils finalement un peu bidon !

En termes de $\mathcal{M}$, la structure est donnée par \[ (1.33) \qquad \boxed{ \begin{array}{l} \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}) \ \text{ens.\ de parties de } \mathcal{M} \\ \ll \ \text{relation d'ordre dans } \mathfrak{F}, \text{ impliquée par l'inclusion (notée } F \leq G) \end{array}} \] Ça a l'air moins sympathique du point de vue simplicité des données et d'autant plus qu'il n'y a pas ⌜à première vue⌝ ⌜d'interprétation directe⌝ de $\ll$ en termes d'[…] ⌜ensemblistes⌝ […]. Mais c'est ici que vont servir les (grandes) ombres ! (et avant d'introduire $\ll$)

En termes de la ⌜première⌝ donnée (1.33), le […] premier axiome est […] le fait que $\mathfrak{F}$ est une famille d' une figure ens. ⌜préadmissible⌝ dans $\mathcal{M}$ de Axiome parties de $\mathcal{M}$, donc dans la donnée de $\mathfrak{F}$ ⌜implique⌝ revient à la donnée d'une relation de préordre dans $\mathcal{M}$ (la rel. $\leq$) — lequel se attention au « pré » ! la note marginale est en regard de « préadmissible », dont le « pré » est souligné deux fois ; au-dessous, dans la marge, une autre note est annulée par des hachures. Les ratures et les ajouts de ces dernières lignes s'enchevêtrent et leur ordre n'est pas sûr. Un « 16 » est écrit sous l'accolade en fin de page

16son numéro « 16 » en haut de la page une relation d'ordre ; en d'autres termes

(i) $\forall X \in \mathcal{M}$, dans l'ens. $\mathfrak{F}^{X}$ des $F \in \mathfrak{F}$ telles que $X \in F$, il y a un plus petit élément, soit $F_X$ (NB ce sera l'ens. des $Y \in \mathcal{M}$ tels que $Y \leq X$)

(ii) L'application $X \mapsto F_X$ est injective, i.e. si $X, Y \in \mathcal{M}$, $X \neq Y$, alors $\exists\, F \in \mathfrak{F}$ telle que $X \in F$, $Y \notin F$, ou l'inverse $Y \in F$, $X \notin F$.

Dès lors, les $F \in \mathfrak{F}$ […] ⌜sont les […]⌝ contenant les $\mathcal{M}_{\leq X}$, $X \in \mathcal{M}$ […] ⌜[…]⌝ ⌜fermées⌝ de plus […] suppose de $\mathcal{M}$, […] donnée […] $\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})$ satisfaisant (i) (ii), revient […] que […] $\emptyset$ (partie vide de $\mathcal{M}$) $\in \mathfrak{F}$ (ce qui implique que $\mathfrak{F}$ n'est jamais admissible !). passage très raturé : deux lignes sont biffées et plusieurs ajouts interlinéaires s'y enchevêtrent ; on donne ce qui se lit

Dans GF IV (Analysis situs, première mouture) j'ai explicité en long et en large la relation entre la donnée de $(\mathfrak{F}, \leq)$, satisfaisant les conditions qui y étaient appelées C 1, C 2, C 3 (voir §§ 5, 6, 8), et celle d'un ens. ordonné $\mathcal{M}$, muni d'un ens. de parties fermées $\mathfrak{F}$ ⌜qui⌝ contenant les $\mathcal{M}_{\leq X}$, la partie vide, formé de parties fermées (pour l'ordre de $\mathcal{M}$), plus la condition : si $F, G \in \mathfrak{F}$, tels que $\forall X \in F$, $Y \in G$ on ait $\mathcal{M}_{\leq X} \cup \mathcal{M}_{\leq Y} \in \mathfrak{F}$, alors $F \cup G \in \mathfrak{F}$. (Condition de compatibilité). J'appellerai ces trois conditions plutôt At 1, At 2, At 3 note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de « C 1, C 2, C 3 ». Le renvoi est au chapitre IV, dossier 156-4 ; les numéros de paragraphes, surchargés, se lisent « 5, 6, 8 » sans certitude

17son numéro « 17 » en haut de la page Il n'y a pas à y revenir. Je vais plutôt m'attacher à présent aux interprétations en termes d'ombres (grandes ou petites). Il est entendu que dans un premier temps, je m'attache aux aspects « algébriques » ou « triviaux » d'un formalisme des figures, et un contexte de dignes de bon raisonnement, de telle façon que

1°) Ceux-ci […] valables dans tout « atelier » de la forme $\mathrm{Fig}(\text{\struck{\ill{}}}\, L)$, formé des figures ensemblistes dans un ensemble donné $L$ (sans conditions de finitude d'aucune sorte), et

2°) qu'ils soient applicables aussi, disons, aux figures simpliciales affines finies, dans un espace affine sur $\mathbb{R}$ (ou, plus généralement, sur un corps ordonné quelconque).

Pour expliciter, en termes de l'ens. ordonné $(\mathcal{M}, \leq)$, les ens. $\mathfrak{F}$ de figures, en tant qu'ens. de parties de $\mathcal{M}$, il est on dira figures de type fini \[ (1.34) \qquad F \in \mathfrak{F} \text{ de t.f.} \iff \widetilde{F} = \text{réunion finie d'ens.\ } \mathcal{M}_{\leq X_i} \] (pour un ens. fini de strates de $\mathcal{M}$) la parenthèse est écrite sous la formule ; dans (1.34), un mot biffé précède « réunion »

18son numéro « 18 » en haut de la page la chose essentielle est la connaissance de \[ (1.35) \qquad \mathbin{\between_{\mathcal{M}}} \ \text{relation binaire sym.\ réfl.\ (sur } \mathcal{M}) \] qui implique satisfaisant \[ (1.36) \qquad X \between Y,\quad X' \leq X,\ Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y' \] Alors il y a corr. biunivoque entre l'ens. de telles relations sur $\mathcal{M}$, et d'un ens. $\mathfrak{F}$ ⌜$\subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})$⌝ satisfaisant les conditions énumérées précédemment, plus celle disant que les $F \in \mathfrak{F}$ soient […] de type fini. C'est en ce sens que j'ai pu dire que « moralement », le couple $(\mathcal{M}, \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}))$ équivalait à […] la donnée de $\leq_{\mathcal{M}}$ et de $\between$ satisfaisant (1.36). cf. page 9 : « Moralement, pour récupérer l'atelier… il suffit de connaître sur $\mathcal{M}$ ces deux relations d'ordre, et la relation de compatibilité »

Mais il s'agit maintenant Pratiquement, dans presque tous les exemples, c'est via $\mathcal{M}$ ⌜(multistrates)⌝ muni de $\leq$ et d'une relation de disjonction $\between$, qu'on définira les ateliers… « relation de disjonction $\between$ » est ainsi sur la page ; en (1.14)-(1.15), page 9, $\parallel$ note la disjonction et $\between$ la compatibilité, que désigne aussi (1.35)-(1.36)

Il faut à présent en venir à la relation $\ll$. Comme elle Elle ne pouvant l'instant s'exprimer surtout à formes des ombres, je commence par les grandes ombres

19son numéro « 19 » en haut de la page, écrit comme un « 17 » \[ (*) \qquad \mathrm{Omb}(F) = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \ll F \rbrace \] et la multiombre \[ (**) \qquad \mathrm{Multomb}(F) = \lbrace \mathrm{Omb}(X) \mid X \in \widetilde{F} \rbrace . \] $\widetilde{F} = F$, si on identifie $F$ à une partie de $\mathcal{M}$ via $\mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M})$, $F \mapsto \widetilde{F}$ ajout à droite de (**), relié à $\widetilde{F}$ par un trait

En apparence (*) utilise la connaissance de $\ll$ dans $\mathfrak{F}$ tout entier, mais il résulte des axiomes […] qui dit qu'elle ne dépend que de $\ll_{\mathcal{M}}$ (au lieu de $\ll_{\mathfrak{F}}$). En tous cas, il est clair ⌜[…]⌝ que la multiombre ne dépend que de $\ll_{\mathcal{M}}$. NB Je vais […] […] […] C 5 […] C 4, […] […] note écrite en oblique dans la marge gauche, en grande partie illisible

Je veux que cette multiombre soit une figure ensembliste dans $\mathcal{M}$, ⌜et indexée fidèlement par $\widetilde{F}$⌝, appelée l'ombre, ([…] […] […] […] d'une […] figure), ⌜telle que $X \ll F$⌝, et avec la relation d'ordre $\leq$ dans $\mathfrak{F}$ correspondant à l'inclusion dans $\mathrm{Multomb}(F)$, i.e. dans $\mathfrak{F}$ ; C 4 si $X, Y \in \mathcal{M}$ tels que $X \ll Y$, $X \between Y$ ⌜alors⌝ $\Rightarrow X \leq Y$ note de la marge gauche, marquée d'un point cerclé qui la renvoie au texte ; « C 4 » y est souligné.

C 5 si $X \in \mathcal{M}$, $F \in \mathfrak{F}$, (si $F^{X}$ est l'ens. des $Y \in \mathcal{M}$ tels que $X \leq Y$ $X \ll Y \leq F$ (l'ens. des strates de $F$ raffinées par $X$), on dans (1.37) est que $F^{X}$ a un plus petit élément ⌜pour $\leq$⌝ (i.e. il existe une strate de $F$ raffinée par $X$, et parmi toutes les strates de $F$ raffinées par $X$, il en est une plus petite) la phrase est reprise en surcharge et les parenthèses ne se ferment pas toutes ; « (1.37) » est écrit dans la marge du texte de C 5

Cor Pour que si $X \in \mathcal{M}$, $F \in \mathfrak{F}$, $X \ll F$, il faut […] il existe $Y \in \mathcal{M}$ […] $X \ll Y \leq F$. Ainsi $X \ll F$ […] […] $Y \in F$ […] $X \ll Y$ corollaire écrit en oblique dans la marge gauche, en regard de C 5 ; lecture partielle

C 6 Soit […] $X \in \mathcal{M}$, […]. Alors $\exists\, Y \in \mathcal{M}$ tel que ⌜i.e. $X \in F^{Y}$⌝ a) $Y \ll X$ b) $Y \ll X' \leq X$, ⌜$X' \in \mathcal{M}$⌝ $\Rightarrow X' = X$ b) […] $X$ est le plus petit élément de (cf C 4) « C 6 » et tout son énoncé sont biffés, la ligne de titre d'un trait, le reste de longs traits obliques

NB Le fait que dans $\mathrm{Multomb}(X)$, les $\mathrm{Omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$, est trivial, car $X \in \mathrm{Omb}(X)^{\circ}$ note au pied de la page, à gauche, sous la marge

20son numéro « 20 » en haut de la page Ainsi on trouve donc une application \[ (*) \qquad \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) , \qquad F \longmapsto \mathrm{Multomb}(F) \] Elle est injective, car ⌜$X$ est connu quand $\mathrm{Omb}(X)$ est connu (c'est le plus grand élément de $\mathrm{Omb}(X)$ pour $\ll$), donc $\widetilde{F}$ est connu quand $\mathrm{Multomb}(F)$ l'est, donc $F$ aussi.⌝ Il est immédiat \[ (1.38) \qquad G \leq F \iff \mathrm{Multomb}(G) \leq \mathrm{Multomb}(F) \] l'explication de l'injectivité est ajoutée entre les lignes, à droite, et rattachée par une accolade ; le $\iff$ de (1.38) est écrit en surcharge. Sous les deux membres de droite, des accolades : « les strates sont les $\mathrm{Omb}(Y)$, $Y \in \widetilde{G}$ », « les strates sont les $\mathrm{Omb}(X)$, $X \in \widetilde{F}$ », et sous les deux : « or $\widetilde{G} \subset \widetilde{F}$ est une partie fermée de $\widetilde{F}$ si $G \leq F$ »

19 juin date de sa main, soulignée, en tête de l'alinéa Finalement, j'ai changé de point de vue pour le sens géométrique de la relation $G \ll F$, que je voyais comme « $G$ est une sous-figure d'une subdivision de $F$ ». Déjà dans […] le cas simplicial (i.e. la structure combinatoire des ⌜$\mapsto$⌝ multistrates étant celle une structure de simplexe : l'ens. ordonné des sous-ens. d'un ens. fini…), cela n'a pas l'air naturel. Par contre, si on a un choix modéré, et deux simplexes modérés $X$, $Y$ dans un $\mathbb{R}^n$ disons, on dira que $Y \ll X$ si c'est le cas pour les figures ensemblistes correspondantes — ce qui implique sans doute pas l'existence d'une subdiv. de $X$ telle que $Y$ en soit une multistrate de la dans « $Y \ll X$ », la première lettre est un $X$ surchargé, qu'on lit $Y$ d'après la suite. La date « 19 juin » précède ici celle du 20 juin portée page 10 : l'ajout de la page 10 est postérieur à la rédaction suivie. La page s'arrête au milieu de la phrase