Cote n° 156-6 · pages 1–93 · Lecture modernisée · [Chapitre] VI. Analysis situs (deuxième mouture) : notes manuscrites (18-20/06/1986) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.L'atelier : lieux, multistrates, figures, ombres (pages 1 à 6), le 18 juin.
2. 2.Six relations, et lesquelles suffisent (pages 6 à 14).
3. 3.L'atelier vu dans les multistrates (pages 14 à 18).
4. 4.Le raffinement par les grandes ombres (pages 18 à 28), avec le changement de point de vue du 19 juin (page 20) et les axiomes At 4 à At 7.
5. 5.Le théorème-scholie (pages 28 à 33) : un atelier est une famille de figures ensemblistes dans \(\mathcal{M}\).
6. 6.Petites multiombres, exemples, sous-ateliers (pages 34 à 40), le 20 juin.
7. 7.Sous-ateliers spécieux et axiome des lieux (pages 41 à 46).
8. 8.Quasi-morphismes et plongements (pages 47 à 52).
9. 9.Ateliers ensemblistes (pages 52 à 58).
10. 10.Axiomes de disjonction (pages 59 à 64).
11. 11.Restreindre et recoller les raffinements (pages 64 à 72), le 21 juin.
12. 12.Compatibilité des raffinements, \(\Sigma\)-ateliers (pages 73 à 80).
13. 13.Subdivisions (pages 81 à 88), le 22 juin à la page 87.
14. 14.Le cas ensembliste, et les sous-ateliers (pages 88 à 93).

La page 1 porte en angle « GF VI » et le titre « Analysis situs (deuxième mouture) ». C'est le chapitre VI d'un texte dont les chapitres I à III (dossiers 156-1 à 156-3) ouvrent le programme et traitent notamment des failles, des mailles et des réseaux, le chapitre IV (dossier 156-4, du 10 au 14 juin) est la première mouture du même « Analysis situs », et le chapitre V (dossier 156-5, « Algèbre des figures », 14 et 15 juin) la théorie des figures ensemblistes dont celui-ci se sert constamment. La troisième mouture suit dès le 23 juin (dossier 156-7). Ce dossier-ci renvoie explicitement à la première mouture aux pages 13, 16, 30 et 38 ; les numéros de page qu'il y cite sont ceux de la première mouture. Deux moutures ne se confondent pas : là où il s'en sépare, on le signale, sans fondre les deux.

Figures ensemblistes. Pour un ensemble \(L\), \(\mathrm{Fig}(L)\) est l'ensemble des figures ensemblistes dans \(L\) au sens du chapitre V : les familles \(\Phi\) de parties de \(L\) telles que tout point de la réunion \(|\Phi|\) soit dans un plus petit membre, que l'intersection de deux membres soit une réunion de membres, et que chaque membre \(A\) ait un intérieur \(A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A\) non vide, \(\partial A\) étant la réunion des membres strictement contenus dans \(A\) (si l'on omet cette dernière condition, la famille est seulement préadmissible). Les membres sont les strates de \(\Phi\), les \(A^{\circ}\) ses strates ouvertes, qui partitionnent \(|\Phi|\). \(\Psi \leq \Phi\) si \(\Psi\) est une sous-famille fermée de \(\Phi\) ; \(\Psi\) et \(\Phi\) sont compatibles si \(\Psi \cup \Phi\) est une figure dans laquelle toutes deux sont fermées ; \(\Psi \ll \Phi\) si \(|\Psi| \subset |\Phi|\) et si chaque strate ouverte de \(\Psi\) est contenue dans une strate ouverte de \(\Phi\), l'application \(\Psi \to \Phi\) ainsi définie étant croissante¹ .

Conventions. \(\mathfrak{F}\) est l'ensemble des figures d'un atelier, \(\mathcal{M} \subset \mathfrak{F}\) celui des multistrates, \(\mathcal{L} \subset \mathcal{M}\) celui des lieux ; une figure sans épithète est un élément de \(\mathfrak{F}\), à ne pas confondre avec une figure ensembliste, élément d'un \(\mathrm{Fig}(L)\), et une strate de \(F \in \mathfrak{F}\) est un élément de son déploiement \(\widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \rbrace\), à ne pas confondre avec un membre d'une figure ensembliste. Une partie \(A\) d'un ensemble ordonné est fermée si \(X \in A\) et \(Y \leq X\) entraînent \(Y \in A\) ; \(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}\) désigne l'ensemble des parties fermées, \(\mathcal{M}_{\leq X}\) ou \(\widetilde{X}\) la partie fermée engendrée par \(X\). Les relations sont \(\leq\) (sous-figure), \(\ll\) (raffinement), \(\preccurlyeq\) (subdivision), \(\triangleleft\) (incidence), \(\parallel\) (disjonction), \(\between\) (compatibilité), et \(\nparallel\) pour « non disjoint ». \(\mathrm{Omb}\), \(\mathrm{Multomb}\) sont les grandes ombre et multiombre, \(\mathrm{omb}\), \(\mathrm{multomb}\) les petites ; \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y\) est le raffinement intérieur ; \(F'|G\) le raffinement de \(G\) induit par \(F'\). Les numéros d'axiomes (At 1 à At 14, At\(^{*}\), Atens, Sousat) et de formules (1.1) à (1.61) sont les siens.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : la réciproque de (1.24 b) ; que la liste des conditions du théorème-scholie (page 33) soit complète ; l'unicité de la subdivision canonique de At 14 bis ; si les conditions (i) à (iii) de la page 83 entraînent (iv) ; la saturation d'un atelier, annoncée aux pages 80 et 88 et jamais commencée.

1–6

L'atelier : lieux, multistrates, figures, ombres (pages 1 à 6)

Le premier alinéa, daté du 18 juin, dit l'intention. Avant de décrire une contrée — le nom de la première mouture —, il décrit une « contrée avec notion de multistrates », la famille des multistrates jouant un peu le rôle d'une famille d'ouverts engendrant une topologie, ou d'une famille génératrice d'objets d'un topos. C'est l'algèbre de figures, ou atelier.

Un atelier comporte trois ensembles, les lieux, les multistrates et les figures, emboîtés par des injections canoniques (1.1)–(1.2) : \[ \mathcal{L} \subset \mathcal{M} \subset \mathfrak{F} . \] À chaque figure \(F\) est associé son déploiement \(\widetilde{F} \subset \mathcal{M}\), ensemble de ses strates ou multistrates incidentes (1.3 a). L'ensemble \(\mathcal{M}\) sera ordonné par \(\leq\), \(\widetilde{F}\) en sera une partie fermée, et pour une multistrate \(X\) on aura (1.5) \[ \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \leq X \rbrace . \] D'où une seconde application (1.3 b), (1.4) : \[ F \longmapsto \mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F) = \lbrace \widetilde{X} \mid X \in \widetilde{F} \rbrace \in \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) , \] figure ensembliste dans \(\mathcal{M}\) indexée fidèlement par \(\widetilde{F}\)² . La page 3 avertit : la figure associée à une multistrate \(X\), vue comme partie de \(\mathcal{M}\), n'est pas \(\lbrace X \rbrace\) mais \(\widetilde{X}\). Et la page 15 jugera cette seconde application « un peu bidon », parce que le raffinement ne s'y lit pas.

Grandes et petites ombres

L'ombre, ou grande ombre, d'une figure est l'ensemble des multistrates qui la raffinent : \[ \mathrm{Omb}(F) = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \ll F \rbrace . \] Rien ne dit que \(F \mapsto \mathrm{Omb}(F)\) soit injective. La multiombre est la famille des ombres des strates (1.7), (1.8) : \[ \mathrm{Multomb}(F) = \lbrace \mathrm{Omb}(X) \mid X \in \widetilde{F} \rbrace, \qquad \mathrm{Omb}(X) = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y \ll X \rbrace , \] analogue à (1.4)–(1.5) avec \(\ll\) à la place de \(\leq\)³ . Elle sera une figure ensembliste dans \(\mathcal{M}\) qui détermine \(F\) (pages 19 et 20).

En tirant ces familles en arrière par l'inclusion \(\mathcal{L} \hookrightarrow \mathcal{M}\) — on intersecte chaque membre avec \(\mathcal{L}\) — on obtient (1.9) la petite ombre et la petite multiombre \[ \mathrm{omb}(F) = \mathrm{Omb}(F) \cap \mathcal{L} , \qquad \mathrm{multomb}(F) = \lbrace \mathrm{omb}(X) \mid X \in \widetilde{F} \rbrace \in \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) , \] la première sans raison d'être injective, la seconde y « tendant ». Les éléments de \(\mathrm{omb}(F)\) sont les « lieux de la figure ». Une figure ne se reconstitue presque jamais à partir de son ombre ; elle se reconstitue, dans les « ateliers ensemblistes », à partir de sa multiombre : c'est le programme des pages 34 à 58⁴ .

6–14

Six relations, et lesquelles suffisent (pages 6 à 14)

Sur \(\mathfrak{F}\) vivent trois ordres (1.10) : \(G \leq F\), \(G\) est une sous-figure de \(F\) ; \(G \ll F\), \(G\) est un raffinement de \(F\) ; \(G \preccurlyeq F\), \(G\) est une subdivision de \(F\). Ils induisent \(\leq\) et \(\ll\) sur \(\mathcal{M}\) (1.11), et des ordres discrets sur \(\mathcal{L}\). Une sous-figure est un raffinement : \(G \leq F \Rightarrow G \ll F\).

S'y ajoutent deux relations symétriques (1.12) : \(F\) et \(G\) sont compatibles, \(F \between G\), si \(\lbrace F, G \rbrace\) est majoré pour \(\leq\) ; disjoints, \(F \parallel G\), s'ils sont compatibles et si leur borne inférieure est la figure vide \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\), plus petit élément de \(\mathfrak{F}\) (1.14), (1.15)⁵ . La compatibilité est réflexive, la disjonction ne l'est que pour la figure vide (1.19). La page 8 annonce, « par les axiomes », que deux figures sont disjointes si et seulement si leurs ombres n'ont pas de lieu commun et que tout lieu de l'une est disjoint de tout lieu de l'autre (1.13)⁶ . Dans un atelier ensembliste, deux lieux sont compatibles, et disjoints si et seulement s'ils sont distincts ; c'est ce que la page 61 posera comme Atens 2. Sur \(\mathcal{M}\), en revanche, la compatibilité est une donnée importante, qui s'ajoute aux deux ordres : « moralement », dit la page 9, ces trois données suffisent à retrouver l'atelier — ce que les pages 18 et 21 préciseront.

La sixième relation est l'incidence (1.17) : \(F \mathrel{\triangleleft} G\) si \(F \in \mathcal{M}\) et \(F \leq G\). Il range les six dans un diagramme d'implications (1.18) :

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & & G \mathrel{\triangleleft} F \arrow[d, Rightarrow] & & \\
G \preccurlyeq F \arrow[dr, Rightarrow] & & G \leq F \arrow[dl, Rightarrow] \arrow[dr, Rightarrow] & & G \parallel F \arrow[dl, Rightarrow] \\
 & G \ll F & & G \between F &
\end{tikzcd}

La page compte quatre ordres, \(\triangleleft\), \(\leq\), \(\preccurlyeq\), \(\ll\) ; la marge corrige : \(\triangleleft\) est transitive et antisymétrique mais non réflexive, puisque \(F \mathrel{\triangleleft} F\) équivaut à \(F \in \mathcal{M}\), et l'ordre associé est \(F \trianglelefteq G \iff (F \mathrel{\triangleleft} G\) ou \(F = G)\)⁷ .

Qui détermine quoi

1. a)\(\leq\) et \(\triangleleft\) se déterminent mutuellement. De \(\leq\) on tire \(\mathcal{M}\), l'ensemble des éléments strictement irréductibles — \(X \leq \sup_{i} F_{i}\) entraîne \(X \leq F_{i}\) pour un \(i\) (1.20) — puis \(\triangleleft\). De \(\triangleleft\) on tire \(\mathcal{M} = \lbrace X \mid X \mathrel{\triangleleft} X \rbrace\) (1.21), les déploiements (1.22), et \(F \leq G \iff \widetilde{F} \subset \widetilde{G}\) (1.23)⁸ .
2. b)Chacun des ordres \(\leq\), \(\ll\) détermine la disjonction. Pour \(\leq\) c'est la définition (1.24 a). Pour \(\ll\) la page propose \[ F \parallel G \iff \mathrm{Sup}_{\ll}(F,G) \text{ existe et } \mathrm{Inf}_{\ll}(F,G) = \emptyset_{\mathfrak{F}} , \] avec en marge « Vérifier »⁹ (1.24 b).
3. c)\(\ll\) détermine \(\preccurlyeq\) (1.25) : \[ F \preccurlyeq G \iff F \ll G \text{ et, pour tout } H, \ (H \parallel F \iff H \parallel G) . \] C'est, dix-huit pages avant, la définition que les pages 83 à 85 finiront par adopter.
4. d)\(\ll\) détermine les lieux, éléments minimaux de \(\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset_{\mathfrak{F}} \rbrace\) (1.26) : un lieu est une figure non vide dont le seul raffinement non vide est elle-même.
5. e)\(\ll\) ne semble déterminer ni \(\leq\) ni \(\between\), mais \(\ll\) et \(\between\) déterminent \(\leq\) (1.27) : \[ G \leq F \iff G \ll F \text{ et } G \between F . \]

Le sens \(\Leftarrow\) de (1.27) n'est pas une conséquence de ce qui précède : c'est l'axiome At 6 de la page 21, et son corollaire 2¹⁰ .

D'où trois présentations minimales de la structure (1.28) : par \((\leq, \ll)\), qu'il encadre, par \((\leq, \preccurlyeq)\), par \((\ll, \between)\). La première mouture avait choisi \((\leq, \preccurlyeq)\) et défini \(\ll\) comme le préordre qu'elles engendrent (1.29) : \[ G \ll F \iff \text{il existe } F' \text{ avec } G \leq F' \preccurlyeq F , \] « qui est bien une notion de subdivision, plutôt que de raffinement » ; mais démontrer que c'est un ordre y était laborieux et multipliait les axiomes¹¹ . Il part donc maintenant de (1.30) : \[ \boxed{\ \leq,\ \ll \ \text{ deux ordres sur } \mathfrak{F}, \ \text{tels que} \ F \leq G \Rightarrow F \ll G\ } \] la troisième présentation n'étant « qu'une curiosité ». Le 20 juin, des notes reviennent sur ce choix : en regard de \((\leq, \preccurlyeq)\) dans (1.16), une addition datée, en partie illisible (« Non, … nouveau … que pour \(\ll\) ») ; à côté de la même ligne de (1.28), « Non, ça ne suffit pas, d'après nouveau point de vue… » ; et une longue note oblique, presque illisible, qui renvoie « au 20 », en regard de (1.29)¹² .

La page 10 contient une remarque sur le choix de l'ensemble de base, qui vaut au delà de ce dossier : on peut axiomatiser les ateliers sur \(\mathfrak{F}\), sur \(\mathcal{M}\) ou sur \(\mathcal{L}\) ; les axiomes les plus simples sont sur \(\mathfrak{F}\), mais ils y sont les moins transparents, et les plus transparents sont sur \(\mathcal{L}\), où ils sont les plus sophistiqués.

14–18

L'atelier vu dans les multistrates (pages 14 à 18)

De \((\leq, \ll)\) on tire \(\mathcal{M}\) par (1.20), puis \(\mathcal{L}\) par (1.26)¹³ , et le déploiement (1.31) \(\widetilde{F} = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \leq F \rbrace\), de sorte que \(F \leq G \iff \widetilde{F} \subset \widetilde{G}\) (1.32). Le nom actuel de \(\mathcal{M}\) est celui d'ensemble des éléments complètement sup-premiers de l'ensemble ordonné \((\mathfrak{F}, \leq)\)¹⁴ , et \(F \mapsto \widetilde{F}\) identifie \(\mathfrak{F}\) à un ensemble de parties fermées de \(\mathcal{M}\) (1.33), sur lequel l'ordre \(\ll\) contient l'inclusion.

La donnée de \(\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) revient à celle d'une famille préadmissible de parties, au sens du chapitre V :

1. (i)pour tout \(X \in \mathcal{M}\), il y a une plus petite \(F_{X} \in \mathfrak{F}\) contenant \(X\) — ce sera \(\mathcal{M}_{\leq X}\) ;
2. (ii)\(X \mapsto F_{X}\) est injective,

de sorte que le préordre \(X \leq Y \iff F_{X} \subset F_{Y}\) est un ordre. Comme la partie vide est dans \(\mathfrak{F}\), \(\mathfrak{F}\) n'est jamais admissible : \(\emptyset\) n'a pas d'intérieur non vide.

La première mouture avait établi en détail l'équivalence entre \((\mathfrak{F}, \leq)\) soumis à ses conditions C 1, C 2, C 3 et un ensemble ordonné \(\mathcal{M}\) muni d'un ensemble \(\mathfrak{F}\) de parties fermées contenant la partie vide et les \(\mathcal{M}_{\leq X}\), stable par la condition de compatibilité : si \(\mathcal{M}_{\leq X} \cup \mathcal{M}_{\leq Y} \in \mathfrak{F}\) pour tous \(X \in F\), \(Y \in G\), alors \(F \cup G \in \mathfrak{F}\)¹⁵ . « Il n'y a pas à y revenir. »

Les figures de type fini sont celles dont le déploiement est une réunion finie de \(\mathcal{M}_{\leq X_{i}}\) (1.34). Pour elles, la chose essentielle est la compatibilité sur \(\mathcal{M}\) (1.35)–(1.36) : une relation \(\between\) réflexive et symétrique, telle que \[ X \between Y, \quad X' \leq X, \quad Y' \leq Y \ \Longrightarrow\ X' \between Y' , \] les figures étant alors les réunions finies de \(\mathcal{M}_{\leq X_{i}}\) avec les \(X_{i}\) deux à deux compatibles. C'est en ce sens que la page 9 disait que \((\mathcal{M}, \leq, \between)\) équivaut « moralement » à la donnée des figures¹⁶ . Dans presque tous les exemples, c'est ainsi qu'on définira un atelier.

18–28

Le raffinement par les grandes ombres (pages 18 à 28)

Reste \(\ll\), qui n'a d'interprétation simple ni dans les déploiements ni dans les \(\mathrm{Fig}_{\mathcal{M}}(F)\) : c'est ici que servent les grandes ombres. La page 19 veut que \(\mathrm{Multomb}(F)\) soit une figure ensembliste dans \(\mathcal{M}\), indexée fidèlement par \(\widetilde{F}\). Les conditions qu'elle écrit à cet effet deviennent, aux pages 21 et 27, les axiomes At 4 à At 7¹⁷ .

20–20

Le changement de point de vue du 19 juin (page 20)

Le dernier alinéa de la page 20, daté du 19 juin, abandonne la lecture du raffinement qui guidait la première mouture, « \(G\) est une sous-figure d'une subdivision de \(F\) ». Déjà dans le cas simplicial, où les multistrates ont la combinatoire d'un simplexe, cela n'a pas l'air naturel. Pour deux simplexes modérés \(X\), \(Y\) d'un \(\mathbb{R}^{n}\), on dira que \(Y \ll X\) si c'est le cas pour les figures ensemblistes correspondantes — ce qui n'entraîne sans doute pas l'existence d'une subdivision de \(X\) dont \(Y\) soit une multistrate¹⁸ .

21–24

Les axiomes At 4 à At 6 (pages 21 à 24)

At 4. Pour \(F, G \in \mathfrak{F}\), \(G \ll F\) si et seulement si toute strate de \(G\) raffine une strate de \(F\).

At 5. Si \(X \in \mathcal{M}\) et \(X \ll F\), l'ensemble \(F^{X} = \lbrace Y \in \widetilde{F} \mid X \ll Y \rbrace\), non vide par At 4, a un plus petit élément.

At 6. Si \(X, Y \in \mathcal{M}\) sont compatibles, \(X \ll Y\) entraîne \(X \leq Y\).

At 4 dit que \(\ll\) sur \(\mathfrak{F}\) se déduit de \(\ll\) sur \(\mathcal{M}\) ; avec la page 18, un atelier à figures de type fini se reconstitue donc à partir de \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)\). At 6 a deux corollaires (page 22) : sur chaque \(\widetilde{F}\), dont les éléments sont deux à deux compatibles, \(\leq\) et \(\ll\) coïncident ; et pour deux figures compatibles, \(F \ll G \iff F \leq G\) — la formule (1.27) de la page 12. Il en résulte que \(\mathrm{Multomb}(F)\) est une figure ensembliste, et même admissible : tout \(X \in \mathrm{Omb}(F)\) est dans un plus petit membre \(\mathrm{Omb}(Y)\) (At 5, joint au premier corollaire), et chaque membre a un intérieur non vide, puisque \(Y \in \mathrm{Omb}(Y)^{\circ}\).

L'application \(X \mapsto \mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X}\) (1.39) est injective, \(\ll\) étant un ordre : \(X\) est le plus grand élément de son ombre. \(\mathrm{Multomb}(F)\) est l'image de \(\widetilde{F}\) par cette injection, et détermine \(F\).

Proposition (page 23). Pour \(F, G \in \mathfrak{F}\), sont équivalents : \(F \leq G\) ; \(\widetilde{F} \subset \widetilde{G}\) ; \(\mathrm{Multomb}(F) \subset \mathrm{Multomb}(G)\) ; \(\mathrm{Multomb}(F)\) est une sous-figure de \(\mathrm{Multomb}(G)\).

Corollaire. Si \(F \between G\), alors \(\mathrm{Multomb}(F) \between \mathrm{Multomb}(G)\), et \[ \mathrm{Multomb}(F \vee G) = \mathrm{Multomb}(F) \cup \mathrm{Multomb}(G), \] \[ \mathrm{Multomb}(F \wedge G) = \mathrm{Multomb}(F) \cap \mathrm{Multomb}(G), \] parce que \(\widetilde{F \vee G} = \widetilde{F} \cup \widetilde{G}\) et \(\widetilde{F \wedge G} = \widetilde{F} \cap \widetilde{G}\)¹⁹ . La réciproque est fausse, même pour deux lieux distincts \(x\), \(y\) : leurs multiombres \(\lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace\) et \(\lbrace \lbrace y \rbrace \rbrace\) sont disjointes, sans que \(x\) et \(y\) soient nécessairement compatibles ; elle sera vraie pour les ateliers ensemblistes²⁰ . Comme \(\mathrm{Multomb}(\emptyset_{\mathfrak{F}}) = \emptyset\) (1.40), deux figures disjointes ont des multiombres disjointes (corollaire 2).

24–28

Le raffinement se lit sur les multiombres (pages 24 à 28)

Proposition (pages 24 à 27). \(G \ll F\) si et seulement si \(\mathrm{Multomb}(G) \ll \mathrm{Multomb}(F)\).

Par At 4, \(\mathrm{Omb}(F)\) est la réunion \(|\mathrm{Multomb}(F)|\) des \(\mathrm{Omb}(X)\), \(X \in \widetilde{F}\), et l'application \[ \varphi_{F} : \mathrm{Omb}(F) \longrightarrow \widetilde{F} \] qui envoie \(Y\) sur le plus petit élément de \(F^{Y}\) (At 5) est celle qui envoie chaque point du support de \(\mathrm{Multomb}(F)\) sur sa strate ouverte ; elle induit l'identité sur \(\widetilde{F}\). Dire que \(\mathrm{Multomb}(G) \ll \mathrm{Multomb}(F)\), c'est dire que \(\mathrm{Omb}(G) \subset \mathrm{Omb}(F)\) et qu'il existe une application croissante \(f\) rendant commutatif le carré (1.42)²¹

\begin{tikzcd}
\mathrm{Omb}(G) \arrow[r, hook] \arrow[d, "\varphi_{G}"'] & \mathrm{Omb}(F) \arrow[d, "\varphi_{F}"] \\
\widetilde{G} \arrow[r, "f"] & \widetilde{F}
\end{tikzcd}

Si \(G \ll F\), on prend pour \(f(X)\) le plus petit élément de \(F^{X}\) ; \(f\) est croissante. La commutativité de (1.42) est la propriété que la page 26 énonce en corollaire et propose aussitôt de prendre pour axiome. Elle se dit avec le raffinement intérieur (1.43) : \[ X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \iff X \in \mathrm{Omb}(Y)^{\circ} = \mathrm{Omb}(Y) \smallsetminus \bigcup_{Y' < Y} \mathrm{Omb}(Y') , \] c'est-à-dire \(X \ll Y\), et \(X \ll Y' \leq Y\) entraîne \(Y' = Y\). Pour \(Y\) dans un déploiement \(\widetilde{F}\), qui est fermé, \(Y\) est le plus petit élément de \(F^{X}\) si et seulement si \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y\).

At 7. La relation \(\overset{\circ}{\ll}\) est transitive.

C'est exactement ce qui fait commuter (1.42) : pour \(X \in \mathrm{Omb}(G)\), si \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \in \widetilde{G}\) et \(X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'' \in \widetilde{F}\), alors \(X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X''\), et \(\varphi_{F}(X) = X'' = f(\varphi_{G}(X))\)²² . Réciproquement, s'il existe un tel \(f\), chaque \(X \in \widetilde{G}\) vérifie \(X \ll \varphi_{F}(X) \in \widetilde{F}\), donc \(G \ll F\) par At 4 ; la croissance de \(f\) n'a pas servi. D'où le corollaire 2 de la page 27 : \(G \ll F\) si et seulement si \(\mathrm{Omb}(G) \subset \mathrm{Omb}(F)\) et la partition de \(\mathrm{Omb}(G)\) par les fibres de \(\varphi_{G}\) est plus fine que celle que \(\varphi_{F}\) y induit²³ .

28–33

Le théorème-scholie (pages 28 à 33)

Scholie (page 28). Par \(F \mapsto \mathrm{Multomb}(F)\), \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) s'identifie à un « sous-atelier » de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\). Se donner l'atelier revient donc à se donner un ensemble \(\mathcal{M}\) et une partie (1.44) \[ \mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{M})) \] soumise à des conditions qui traduisent les précédentes. Du coup, dit-il, la multiombre reprend de l'intérêt et mériterait un nom plus lapidaire.

Soit \(\mathcal{M}^{*} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) l'ensemble des strates de toutes les figures de \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\). Si \(\mathcal{M}^{*}\) est une figure de support \(\mathcal{M}\) qui sépare les points, \(X \mapsto \mathrm{Omb}(X) = \mathcal{M}_{\ll X}\) est une bijection de \(\mathcal{M}\) sur \(\mathcal{M}^{*}\) qui change \(\ll\) en l'inclusion, et les éléments de \(\mathcal{M}^{*}\) sont les parties fermées irréductibles de \((\mathcal{M}, \ll)\) qui ont un point générique²⁴ . Chaque \(\Phi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) est alors l'image d'une unique partie \(F \subset \mathcal{M}\), d'où un ensemble \(\widetilde{\mathfrak{F}} \simeq \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) de parties de \(\mathcal{M}\).

Théorème-scholie (pages 32 et 33). La catégorie des ateliers \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) satisfaisant At 1 à At 7 équivaut à celle des couples \((\mathcal{M}, \mathfrak{F}_{\mathcal{M}})\), \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{M})\), satisfaisant :

1. At\(^{*}\)1\(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) contient la figure vide et est stable par réunions majorées dans \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) ;
2. At\(^{*}\)2si \(A\) est une strate commune à \(\Phi, \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), les multistrates \(\Phi_{A}\) et \(\Psi_{A}\) qu'elle définit dans l'une et dans l'autre — ses sous-strates — sont les mêmes, et appartiennent à \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) ;
3. At\(^{*}\)3si \(A \subset B\) sont deux strates, la multistrate de \(A\) raffine celle de \(B\) ;
4. At\(^{*}\)4si \(\Phi_{A} \cup \Psi_{B} \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) pour toutes strates \(A\) de \(\Phi\) et \(B\) de \(\Psi\), alors \(\Phi \cup \Psi \in \mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\) ;
5. At\(^{*}\)5\(\mathcal{M}^{*}\) est une figure de support \(\mathcal{M}\), qui sépare les points de \(\mathcal{M}\).

« Toute strate porte canoniquement une structure de multistrate. » Corollaire (page 31) : si \(\Phi \subset \Psi\) dans \(\mathfrak{F}_{\mathcal{M}}\), \(\Phi\) est fermée dans \(\Psi\), donc en est une sous-figure. Et l'on retrouve sur \(\mathcal{M} \simeq \mathcal{M}^{*}\) l'ordre \(\leq\) : \(X \leq Y\) si et seulement si \(\mathrm{Omb}(X)\) est une strate de la multistrate \(\Phi_{\mathrm{Omb}(Y)} = \mathrm{Multomb}(Y)\), les éléments de \(\widetilde{\mathfrak{F}}\) étant alors des parties fermées et les \(\mathcal{M}_{\leq X}\) ses éléments strictement irréductibles (page 32). Et il conclut : « J'espère que je n'ai pas oublié d'axiome ! »²⁵

34–40

Petites multiombres, exemples, sous-ateliers (pages 34 à 40)

Le 20 juin, il passe aux petites multiombres. Comme \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) est croissante pour \(\leq\) et \(\ll\), \(F \mapsto \mathrm{multomb}(F)\) l'est aussi, commute aux bornes supérieures et inférieures pour \(\leq\), envoie sous-figures sur sous-figures — mais n'est plus nécessairement injective.

Exemple 1 A. \(E\) est un espace topologique ; une figure est un triplet \((X, \Sigma, \Phi)\) formé d'une partie fermée \(X\), d'une structure linéaire par morceaux modérée \(\Sigma\) sur \(X\) et d'une figure ensembliste \(\Phi\) de support \(X\) dont les strates sont des fermés linéaires par morceaux. Sous-figure et raffinement demandent que \(X'\) soit un sous-polyèdre de \(X\) de structure induite, et respectivement \(\Phi' \leq \Phi\), \(\Phi' \ll \Phi\). Les lieux sont les points de \(E\), et \((X, \Sigma, \Phi) \mapsto \Phi\) n'est pas injective dès que \(E\) contient un arc : deux structures linéaires par morceaux sur un même arc donnent la même figure ensembliste.

Exemple 1 B. Les multistrates sont des simplexes affines \((A, \sigma)\), \(A \subset E\) ; \(\leq\) est « face de », \(\ll\) est le raffinement des figures ensemblistes \(\mathfrak{L}_{\sigma}\) associées, et deux simplexes sont compatibles si leur intersection est vide ou une face commune. Les figures sont les ensembles finis — ou localement finis — de simplexes, fermés pour « face de », deux à deux compatibles²⁶ .

Exemple 2, un « pseudodisque » dans un espace, n'est lisible qu'en partie : pour en faire une figure, la seule partie contractile ne suffit pas, il faut encore une structure au bord.

Dans les exemples 1, il est « illusoire » d'espérer que \(\mathrm{multomb}\) réfléchisse \(\leq\) et \(\ll\) ; c'est même faux. D'où une première définition : un atelier est ensembliste si \(\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) est injective et réfléchit \(\leq\), \(\ll\) et \(\between\), ce qui l'identifie à un « sous-atelier » de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\). La page 52 en donnera la forme définitive.

Morphismes (pages 36 et 37). Une application \(f : \mathfrak{F} \to \mathfrak{F}'\) est un morphisme d'ateliers si elle est croissante pour \(\leq\) et \(\ll\) et commute aux bornes supérieures majorées ; elle est compatible aux strates si elle envoie multistrates sur multistrates. Une telle \(f\) est déterminée par \(f_{\mathrm{mult}} : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\), qui doit être croissante pour \(\leq\) et \(\ll\) et envoyer les déploiements sur des déploiements, puisque \(f(F)\) est la borne supérieure des \(f(X)\), \(X \in \widetilde{F}\)²⁷ .

Sous-ateliers et parties spécieuses (pages 37 à 40). Après une rédaction barrée (page 38), la page 39 reprend sur un ensemble ordonné \((\mathfrak{F}, \leq)\) avec bornes supérieures majorées et plus petit élément (At 1). Soit \(\mathfrak{F}'\) une partie fermée. Elle est non vide si et seulement si elle contient \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\) ; elle est automatiquement stable par les bornes supérieures des familles majorées dans \(\mathfrak{F}'\), qui sont les mêmes dans \(\mathfrak{F}\) et dans \(\mathfrak{F}'\) ; ses éléments irréductibles sont \(\mathcal{M}' = \mathcal{M} \cap \mathfrak{F}'\), et elle hérite de At 2. Elle est dite spécieuse si elle est stable par les bornes supérieures des familles majorées dans \(\mathfrak{F}\)²⁸ .

L'exemple de la page 40 montre la différence. Pour \(\mathfrak{F} = \mathfrak{P}(I)\) ordonné par inclusion, les multistrates sont les singletons, et une partie fermée non vide est une famille de parties de \(I\) stable par passage aux parties, c'est-à-dire un complexe simplicial abstrait de sommets dans \(I\) — si \(I\) est fini, ou si l'on se borne aux simplexes finis. Elle est spécieuse si la réunion de deux simplexes en est un, c'est-à-dire si elle est \(\mathfrak{P}(I')\) pour une partie \(I'\) de \(I\) : « c'est pas du tout pareil ! »²⁹

41–46

Sous-ateliers spécieux et axiome des lieux (pages 41 à 46)

Proposition (page 41). Sous At 1 et At 2, les applications \[ \mathfrak{F}' \longmapsto \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M}, \qquad \mathcal{M}' \longmapsto \mathrm{Env}(\mathcal{M}') = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \widetilde{F} \subset \mathcal{M}' \rbrace \] sont des bijections réciproques entre parties fermées spécieuses de \(\mathfrak{F}\) et parties fermées de \(\mathcal{M}\). Elles ne dépendent que de \(\leq\).

C'est la forme, pour des familles de parties fermées, de la représentation de Birkhoff³⁰ .

Sous-ateliers. Pour que \(\mathfrak{F}'\), muni des ordres induits, soit un atelier, At 1, At 2 sont acquis, At 4 à At 7 passent « trivialement » — le raffinement intérieur est le même dans \(\mathfrak{F}\) et dans \(\mathfrak{F}'\) —, mais At 3 demande une condition. D'où la définition (page 42) : un sous-atelier de \(\mathfrak{F}\) est une partie satisfaisant

1. Sousat 1\(\mathfrak{F}'\) est une partie fermée non vide de \(\mathfrak{F}\) ;
2. Sousat 2si \(F, G \in \mathfrak{F}'\) et si, pour toutes strates \(X\) de \(F\) et \(Y\) de \(G\), \(\lbrace X, Y \rbrace\) est majoré dans \(\mathfrak{F}'\), alors \(F \vee G \in \mathfrak{F}'\).

Une partie fermée spécieuse est un sous-atelier, dit spécieux. L'image de \(\mathrm{Multomb} : \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{M})\) est un sous-atelier, en général non spécieux. Les sous-ateliers d'un sous-atelier sont les sous-ateliers contenus dans celui-ci, et de même pour les spécieux (1.50), (1.51).

Ateliers triviaux (page 44). Un ensemble ordonné \((\mathcal{M}, \leq)\), un ensemble \(\mathfrak{F}\) de parties fermées recouvrant \(\mathcal{M}\) et stable par passage aux parties fermées, et \(\ll \overset{\mathrm{df}}{=} \leq\) : si At 3 est satisfait, c'est un atelier au sens de At 1 à At 7. Les axiomes suivants, pense-t-il, élimineront cet exemple.

L'axiome des lieux

Pour \(X \in \mathcal{M}\), soit \(\partial X\) la borne supérieure de ses strates distinctes de \(X\).

At 8 (page 45). Pour toute \(X \in \mathcal{M}\), il existe un lieu \(x \ll X\) qui ne raffine pas \(\partial X\), c'est-à-dire \(x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\). Autrement dit, (1.52) : \[ \boxed{\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} = \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(\partial X) = \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \bigcup_{Y \mathrel{\triangleleft} X,\ Y \neq X} \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset\ } \]

La première mouture énonçait cette propriété en proposition, sans démonstration ; elle devient ici un axiome³¹ . Alors \(\mathrm{multomb}(F)\) est indexée par \(\widetilde{F}\) tout entier, et :

Corollaire (pages 45 et 46). Pour \(X, Y\) strates d'une même figure, sont équivalents : \(X \leq Y\) ; \(\mathrm{omb}(X) \subset \mathrm{omb}(Y)\) ; \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(Y)\) ; \(\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset\)³² . D'où une bijection (1.53) \[ \mathrm{Ssfig}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ssfig}(\mathrm{multomb}(F)), \qquad F' \longmapsto \mathrm{multomb}(F'), \] et \(F\) est une multistrate si et seulement si \(\mathrm{multomb}(F)\) est élémentaire.

At 8 n'a aucune raison de passer à un sous-atelier, même spécieux. Il passe aux sous-ateliers pleins, fermés aussi pour \(\ll\) (\(F \in \mathfrak{F}'\), \(G \ll F \Rightarrow G \in \mathfrak{F}'\))³³ , et il suffit qu'ils soient \(\mathcal{L}\)-pleins (\(x \in \mathcal{L}\), \(x \ll F \in \mathfrak{F}' \Rightarrow x \in \mathfrak{F}'\)). En général les lieux de \(\mathfrak{F}\) qui sont dans \(\mathfrak{F}'\) sont des lieux de \(\mathfrak{F}'\), \(\mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' \subset \mathcal{L}'\) ; pour un sous-atelier \(\mathcal{L}\)-plein il y a égalité, et ombres et multiombres sont les mêmes dans \(\mathfrak{F}\) et dans \(\mathfrak{F}'\)³⁴ .

47–52

Quasi-morphismes et plongements (pages 47 à 52)

Définition (page 47). Un quasi-morphisme \(f : \mathfrak{F}' \to \mathfrak{F}\) est une application croissante pour \(\leq\) et \(\ll\), qui commute aux bornes supérieures majorées — donc envoie la figure vide sur la figure vide — et aux bornes inférieures pour \(\leq\). On réserve le nom de morphisme pour plus tard. Si \(f\) envoie multistrates sur multistrates, elle est connue par sa restriction \(f_{\mathrm{str}} : \mathcal{M}' \to \mathcal{M}\), et elle est injective si et seulement si \(f_{\mathrm{str}}\) l'est.

La condition qui compte est que, pour toute \(F' \in \mathfrak{F}'\) et \(F = f(F')\), l'application \[ (1.54) \qquad \mathrm{Ssfig}(F') \longrightarrow \mathrm{Ssfig}(F), \qquad G' \longmapsto f(G') \] soit bijective³⁵ . Dans les cas qu'il connaît, (1.54) provient d'une application croissante \(\varphi : \widetilde{F} \to \widetilde{F'}\) (1.55) — en sens inverse de \(f\) — par \(A \mapsto \varphi^{-1}(A)\) sur les parties fermées (1.56), et elle est toujours au moins surjective. Une telle \(\varphi\) est unique, en vertu du

Lemme (page 49). Soient \(I\), \(I'\) deux ensembles ordonnés. L'application \(\varphi \mapsto \varphi^{-1}\), \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{croiss}}(I, I') \longrightarrow \mathrm{Hom}(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I'), \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I)), \] est injective, et son image est formée des applications qui commutent aux réunions et aux intersections quelconques.

La page est très retravaillée, et c'est l'énoncé exact que l'on donne³⁶ . La surjectivité de (1.54) équivaut alors à ce que l'ordre de \(\widetilde{F}\) soit l'image réciproque par \(\varphi\) de celui de \(\widetilde{F'}\).

Que cette condition est substantielle (pages 49 et 50). Dans les ateliers triviaux de la page 44 avec \(\mathfrak{F} = \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M})\), \(\mathfrak{F}' = \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M}')\), les quasi-morphismes \(\mathfrak{F}' \to \mathfrak{F}\) correspondent, par le lemme, à toutes les applications croissantes \(\mathcal{M} \to \mathcal{M}'\), sans aucune condition : la surjectivité de (1.54) est donc une vraie exigence. En passant, la page examine At 8 dans ces ateliers et la trouve « des plus restrictives » ; elle est en fait plus forte encore³⁷ .

Exemples (pages 50 et 51). Une application d'ensembles \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) induit un quasi-morphisme \[ f^{*} : \mathrm{Fig}(\mathcal{L}') \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), \qquad \Phi' \longmapsto \lbrace f^{-1}(A') \mid A' \in \Phi',\ f^{-1}(A') \neq \emptyset \rbrace , \] contravariant en \(f\). \(\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{M})\) est un quasi-morphisme injectif qui satisfait (1.54) ; composé avec le \(f^{*}\) de \(\mathcal{L} \hookrightarrow \mathcal{M}\), il donne \(\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\), \(F \mapsto \mathrm{multomb}(F)\), qui satisfait (1.54) sous At 8 — c'est (1.53).

Plongements (page 51). Un quasi-morphisme \(f\) est un plongement si son image est un sous-atelier et si \(f\) induit un isomorphisme sur elle. Il l'affirme équivalent à

1. a')pour toute \(F'\), \(\mathrm{Sousfig}(F') \to \mathrm{Sousfig}(f(F'))\) est bijective — la surjectivité suffit, vu b') ;
2. b')\(f(G') \ll f(F')\) entraîne \(G' \ll F'\).

La démonstration de la page 52 établit ce qui en est l'essentiel : b') rend \(f\) injective, puisque \(\ll\) est antisymétrique, et a') avec b') rend \(f\) réfléchissante pour \(\leq\) ; que l'image satisfasse Sousat 2 n'est pas vérifié³⁸ .

52–58

Ateliers ensemblistes (pages 52 à 58)

Définition (page 52). Un atelier satisfaisant At 1 à At 8 est ensembliste si le quasi-morphisme canonique \(\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) est un plongement, ou, ce qui revient au même vu (1.53) :

1. At ens 1\(\mathrm{multomb}(F) \ll \mathrm{multomb}(G) \Rightarrow F \ll G\),

qu'il suffit de demander pour des multistrates.

On n'exige pas que le sous-atelier image soit spécieux. Exemple : \(E\) un espace modéré, les multistrates ses simplexes topologiques ou modérés, sans structure affine cette fois, la compatibilité étant celle de l'exemple 1 B ; At 8 est évident, et \(\mathcal{L} = E\). La compatibilité des simplexes y est plus fine que celle des figures ensemblistes associées, puisqu'on exige que l'intersection soit une multistrate commune³⁹ .

Scholie (pages 54 et 55). Se donner un atelier (quasi-)ensembliste revient à se donner un ensemble \(\mathcal{L}\) et un sous-atelier \(\mathfrak{F}\) de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) tel que

1. Atens\(^{*}\)1pour tout \(x \in \mathcal{L}\), \(\lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace \in \mathfrak{F}\),

les conditions de sous-atelier s'écrivant

1. Atens\(^{*}\)2\(\mathfrak{F}\) est fermé dans \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) pour \(\leq\) ;
2. Atens\(^{*}\)3si toute multistrate de \(F\) et toute multistrate de \(G\) sont majorées ensemble dans \(\mathfrak{F}\), alors \(F \vee G \in \mathfrak{F}\).

\(\mathcal{L}\) se retrouve comme l'ensemble des lieux : \(x \mapsto \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace\) est une bijection sur les éléments minimaux de \(\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace\) pour \(\ll\), car toute figure non vide \(F\) est raffinée par les \(\lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace\), \(x \in |F|\)⁴⁰ .

On peut aussi partir d'un ensemble \(\mathcal{M}\) de figures ensemblistes élémentaires dans \(\mathcal{L}\) et d'une relation réflexive et symétrique \(\between_{\mathcal{M}}\), la « compatibilité géométrique », soumis à

1. Atens\(^{\sharp}\)1\(\lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace \in \mathcal{M}\) pour tout \(x \in \mathcal{L}\) ;
2. Atens\(^{\sharp}\)2toute sous-multistrate d'un élément de \(\mathcal{M}\) est dans \(\mathcal{M}\) ;
3. Atens\(^{\sharp}\)3\(\between_{\mathcal{M}}\) est stable par passage aux sous-multistrates, et entraîne la compatibilité ensembliste.

Scholie (page 56) : les ateliers ensemblistes à figures de type fini correspondent aux données \((\mathcal{L}, \mathcal{M}, \between_{\mathcal{M}})\) satisfaisant Atens\(^{\sharp}\)1 à Atens\(^{\sharp}\)3, toute sous-figure d'un \(X \in \mathcal{M}\) étant de type fini ; \(\mathfrak{F}\) est l'ensemble des figures ensemblistes de type fini dont les multistrates sont dans \(\mathcal{M}\) et deux à deux compatibles pour \(\between_{\mathcal{M}}\)⁴¹ .

On ne doit pas s'attendre à ce que \(\mathfrak{F}\) soit spécieux au sens fort : la figure formée de tous les points de \(\mathcal{L}\) n'a aucune raison d'y être. La condition raisonnable est que \(\mathfrak{F}\) soit finiment spécieux, stable par bornes supérieures finies majorées dans \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) ; vu Atens\(^{\sharp}\)3, cela signifie que \(\between_{\mathcal{M}}\) est la compatibilité ensembliste. Corollaire : les ateliers ensemblistes finiment spécieux de type fini correspondent aux couples \((\mathcal{L}, \mathcal{M})\) satisfaisant Atens\(^{\sharp}\)1 et Atens\(^{\sharp}\)2, les sous-figures des \(X \in \mathcal{M}\) étant de type fini⁴² .

Remarque (page 58). L'autre cas intéressant qu'il ait rencontré est celui où \(X \between_{\mathcal{M}} Y\) signifie : \(X\) et \(Y\) sont ensemblistement compatibles et \(X \cap Y\) est vide ou est une multistrate commune — le cas simplicial. Alors (1.57) : pour toute figure \(F\), deux strates de \(F\) qui se rencontrent ont pour borne inférieure leur intersection, qui est une multistrate⁴³ .

59–64

Axiomes de disjonction (pages 59 à 64)

At 8 était « l'axiome des lieux ». Viennent les axiomes de disjonction.

Proposition (page 59). Sous At 1 à At 3, \(F \parallel G\) si et seulement si toute strate de \(F\) est disjointe de toute strate de \(G\). On voudrait de plus la stabilité de la disjonction par raffinement : \[ (1.58) \qquad F \parallel G, \quad F' \ll F, \quad G' \ll G \ \Longrightarrow\ F' \parallel G' , \] qu'on ramène, par At 4, au cas de multistrates. Elle ne résulte pas des conditions Atens\(^{\sharp}\), même pour un atelier ensembliste de type fini. Le contre-exemple de la page 60 : trois multistrates à une seule strate, \(X = \lbrace A \rbrace\), \(Y = \lbrace B \rbrace\), \(X' = \lbrace A' \rbrace\), avec \(A' \subsetneq A\) et \(A \cap B = \emptyset\). On a \(X' \ll X\), et la compatibilité ensembliste des trois est acquise ; Atens\(^{\sharp}\)3 laisse donc libre de choisir \(X \between_{\mathcal{M}} Y\) et non \(X' \between_{\mathcal{M}} Y\). Alors \(X \parallel Y\) mais \(X' \nparallel Y\). D'où la condition :

1. (*)si \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y\) dans \(\mathcal{M}\) et \(X \parallel Y\), alors \(X' \parallel Y'\),

qu'il ne veut pas poser en axiome : il y voit un cas particulier de l'axiome de recollement des raffinements, At 11, qui viendra plus loin⁴⁴ .

At 9 (page 61, « critère de disjonction par les lieux »). Si \(X, Y \in \mathcal{M}\) et si tout lieu de \(X\) est disjoint de tout lieu de \(Y\), alors \(X \parallel Y\).

Atens 2 (pour les ateliers ensemblistes). Deux lieux distincts sont compatibles ; en termes de \(\mathcal{M} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\), \(\lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace \between_{\mathcal{M}} \lbrace \lbrace y \rbrace \rbrace\) pour \(x \neq y\) (Atens\(^{*}\)4).

Pour deux lieux, (1.59) : \[ x \parallel y \iff x \between y \text{ et } x \neq y . \] Corollaire (page 62). Dans un atelier ensembliste satisfaisant At 9 et Atens 2, deux figures sont disjointes si et seulement si leurs lieux le sont deux à deux — c'est l'annonce (1.13) de la page 8⁴⁵ . Un second corollaire affirme (1.58) pour tout atelier satisfaisant At 9⁴⁶ .

Critères de compatibilité par les lieux. Pour \(X, Y \in \mathcal{M}\), soit \(F = X \cap Y = X \wedge Y\).

At 9' (page 62). Si tout lieu de \(\mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(F)\) est disjoint de tout lieu de \(\mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(F)\), alors \(X \between Y\).

L'hypothèse entraîne \(\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(F)\), puisqu'un lieu commun hors de \(\mathrm{omb}(F)\) serait disjoint de lui-même ; la réciproque, dit la marge, résultera d'un axiome de disjonction (page 72). Cet axiome ferait reposer toute la description sur la seule relation \(\between\) entre lieux ; il est raisonnable, mais il n'est pas satisfait dans les cas simpliciaux les plus importants, où l'on demande que l'intersection soit une multistrate. D'où la variante « simpliciale » :

At 9'' (page 63). \(X \between Y\) si et seulement si tout lieu de \(\mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(F)\) est disjoint de tout lieu de \(\mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(F)\), et si \(F\) est vide ou est une multistrate.

Chacun de At 9', At 9'' entraîne At 9⁴⁷ .

At 10. Une longue note oblique en tête de la page 64, écrite par-dessus le texte, énonce un « axiome de disjonction » At 10, lisible par fragments seulement. D'après ces fragments et l'usage qu'en font les pages 72 et 83, c'est le critère de disjonction pour les lieux :

si \(X \neq Y\) sont deux multistrates compatibles, tout lieu de \(\mathrm{omb}(X)^{\circ}\) est disjoint de tout lieu de \(\mathrm{omb}(Y)^{\circ}\)⁴⁸ .

64–72

Restreindre et recoller les raffinements (pages 64 à 72)

Proposition (page 64, 21 juin). Soient \(F' \ll F\) et \(G \leq F\). Alors \(G' = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G)\) existe ; c'est la sous-figure de \(F'\) définie par \[ (1.60) \qquad \widetilde{G'} = \lbrace X \in \widetilde{F'} \mid X \ll G \rbrace . \]

\begin{tikzcd}
F' \arrow[r, no head, "\ll" description] & F \\
G' \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & G \arrow[u, no head, "\leq" description]
\end{tikzcd}

La partie (1.60) est fermée dans \(\widetilde{F'}\), donc définit une sous-figure \(G'\), et \(G' \ll G\) par At 4. Pour voir que c'est la borne inférieure pour \(\ll\), il suffit par At 4 de traiter une multistrate \(Z \ll F'\), \(Z \ll G\), et, \(X'\) désignant la strate de \(F'\) telle que \(Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'\), de montrer \(X' \ll G\) :

Lemme (page 65). Si \(F' \ll F\), \(X' \leq F'\), \(G \leq F\), \(Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'\) et \(Z \ll G\), alors \(X' \ll G\). — Soit \(X\) la strate de \(F\) telle que \(X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\). Par At 7, \(Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\), donc \(X\) est le plus petit élément de \(F^{Z}\). Par At 4, \(Z \ll Y\) pour une strate \(Y\) de \(G\), qui est dans \(F^{Z}\) ; donc \(X \leq Y\), et \(X' \ll X \leq Y \leq G\).

On note \(G' = F'|G\) — la page écrit aussi \(F'.G\) — le raffinement de \(G\) induit par \(F'\).

Corollaire 1. Si \(F' \leq F\), alors \(F'|G = F' \wedge G\).

Corollaire 2. Pour \(F' \ll F\), l'application \[ (1.61) \qquad \mathrm{Sousfig}(F) \longrightarrow \mathrm{Sousfig}(F'), \qquad G \longmapsto F'|G , \] commute aux bornes supérieures et inférieures : en termes de l'application croissante \(\varphi : \widetilde{F'} \to \widetilde{F}\) (qui envoie \(X\) sur la strate de \(F\) qu'il raffine intérieurement), c'est \(\varphi^{*} : A \mapsto \varphi^{-1}(A)\) sur les parties fermées.

Corollaire 3. Si \(F = \mathrm{Sup}\,F_{i}\) (\(F_{i} \leq F\)), et \(F'_{i} = F'|F_{i}\), alors chaque \(F'_{i}\) raffine \(F_{i}\), \(F'_{i}\) et \(F'_{j}\) induisent le même raffinement de \(F_{i} \cap F_{j}\), et \(F' = \mathrm{Sup}\,F'_{i}\). Un raffinement de \(F\) est donc connu par une « famille compatible » de raffinements des \(F_{i}\). Reste à savoir si toute famille compatible provient d'un raffinement :

At 11 (page 67, axiome de recollement des raffinements). Soient \(F \in \mathfrak{F}\) et, pour toute strate \(X\) de \(F\), un raffinement \(F'_{X} \ll X\), tels que \(F'_{Y} = F'_{X}|Y\) pour \(Y < X\). Il existe alors \(F' \ll F\) tel que \(F'|X = F'_{X}\) pour toute strate \(X\).

\(F'\) est unique par le corollaire 3. En termes actuels, les raffinements forment un préfoncteur \(G \mapsto \mathrm{Raff}(G)\) contravariant sur \((\mathfrak{F}, \leq)\), par restriction, et At 11 dit que \(\mathrm{Raff}(F)\) est la limite des \(\mathrm{Raff}(X)\) sur les strates de \(F\) : c'est une condition de faisceau⁴⁹ . Le contenu essentiel, note la page 68, est de comparer \(F'_{X}\) et \(F'_{Y}\) quand \(X\) et \(Y\) ne sont pas comparables ; son « noyau » est

At 11' (page 68). Si \(X \between Y\) dans \(\mathcal{M}\), \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y\) et \(X'|T = Y'|T\) pour \(T = X \cap Y\), alors \(X' \between Y'\).

At 11 entraîne At 11' (on recolle \(X'\) et \(Y'\) sur les strates de \(X \vee Y\)), et At 11' entraîne At 11 quand \(\widetilde{F}\) est fini, ou plus généralement quand \(\mathrm{Sup}\,F'_{X}\) existe, avec \(\widetilde{F'} = \bigcup \widetilde{F'_{X}}\)⁵⁰ . Corollaire 2 (page 69) : un système compatible de raffinements des \(F_{i}\), \(F = \mathrm{Sup} \,F_{i}\), provient d'un unique raffinement de \(F\) ; pour \(I\) fini, At 11' suffit.

Sommes disjointes (page 70). Si \(F \parallel G\), les strates de \(F \amalg G = F \vee G\) sont celles de \(F\) et celles de \(G\), jamais comparables entre elles ; At 11 donne donc une bijection \[ \mathrm{Raff}(F) \times \mathrm{Raff}(G) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Raff}(F \amalg G), \qquad (F', G') \longmapsto F' \amalg G', \qquad H' \longmapsto (H'|F, H'|G) , \] et en particulier \(F' \parallel G'\), puisque \(F' \wedge G' = H'|(F \wedge G) = H'|\emptyset_{\mathfrak{F}}\) est vide par (1.61) : c'est (1.58), maintenant démontrée⁵¹ .

Figures discrètes (pages 71 et 72). Une figure est discrète si toutes ses strates sont des lieux. Elle est connue par la partie \(A \subset \mathcal{L}\) de ses strates, formée de lieux deux à deux disjoints, et une partie finie de \(\mathcal{L}\) est une figure discrète si et seulement si ses lieux sont deux à deux disjoints ; l'ordre y étant discret, ses sous-figures sont ses parties quelconques. Corollaire 4 : une partie \(A\) définit une figure discrète qui raffine \(F\) si et seulement si \(A \subset \mathrm{omb}(F)\) et \(A \cap \mathrm{omb}(X)\) est une figure pour toute strate \(X\) de \(F\) (par exemple, finie et formée de lieux deux à deux disjoints)⁵² .

Corollaire 5 (page 72). Si \(G\) est une sous-figure de \(F\) distincte de \(F\), il existe un lieu \(x \ll F\) disjoint de \(G\). — On prend une strate \(X\) de \(F\) qui n'est pas dans \(G\) et \(x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ}\) (At 8) ; \(x\) n'est pas une sous-figure de \(G\), par le corollaire de la page 45, et sa compatibilité avec \(G\) s'obtient par At 9 et At 10, ou par le recollement des raffinements.

73–80

Compatibilité des raffinements, \(\Sigma\)-ateliers (pages 73 à 80)

Il veut renforcer At 11' :

Proposition (?) (page 73). Soient \(F \between G\), \(K = F \cap G\), \(F' \ll F\), \(G' \ll G\). Pour que \(F' \between G'\), il faut et il suffit que \(F'|K \between G'|K\) ; et alors \(F' \vee G' \ll F \vee G\).

Si \(F'\) et \(G'\) sont compatibles, \(H' = F' \vee G' \ll H = F \vee G\) par At 4, et \(K' = F' \wedge G' \ll K\) ; mieux, \[ K' = \mathrm{Inf}^{\ll}(F', G') = \mathrm{Inf}^{\ll}(F'|K, G'|K) = F'|K \cap G'|K , \] deux sous-figures de \(H'\), qui sont donc compatibles. La réciproque se lit sur un diagramme dont le cœur est le cube suivant, où les flèches à crochet sont des \(\leq\) et les flèches verticales des \(\ll\) ; la marge dit les carrés horizontaux cartésiens et cocartésiens pour \(\leq\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
H'_{K} \arrow[rr, hook] \arrow[dr, hook] \arrow[dd, "\ll"'] & & H'_{F} \arrow[dr, hook] \arrow[dd] & \\
 & H'_{G} \arrow[rr, hook] \arrow[dd] & & H' \arrow[dd, "\ll"] \\
K \arrow[rr, hook] \arrow[dr, hook] & & F \arrow[dr, hook] & \\
 & G \arrow[rr, hook] & & H
\end{tikzcd}

Sous le carré du haut, le diagramme de la page 74 porte encore \(F' \leq H'_{F}\), \(G' \leq H'_{G}\), \(F'_{K} = F'|K\) et \(G'_{K} = G'|K\), sous-figures de \(F'\), \(G'\) et de \(H'_{K}\), et \(K' \leq F'_{K}, G'_{K}\)⁵³ . Si l'on savait \(F'\) et \(H'_{K} = F'_{K} \vee G'_{K}\) compatibles, on formerait \(H'_{F}\) et \(H'_{G}\), qui induisent tous deux \(H'_{K}\) sur \(K\), et l'on recollerait. On est ainsi ramené au

Cor. Main (page 76). Si \(G \trianglelefteq F\), \(F' \ll F\) induit \(F'_{G}\) sur \(G\), et \(F'_{G} \leq G'\) pour un raffinement \(G'\) de \(G\), alors \(F'\) et \(G'\) sont compatibles, et \(F' \cap G' = F'_{G}\)⁵⁴ .

Il le récrit pour des multistrates, \(X \supseteq Y\), \(X' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\), \(Y' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y\) et \(X'_{Y} = X'|Y\) : si \(X'_{Y} \between Y'\), alors \(X' \between Y'\) ; c'est, dit-il, un cas particulier de At 11 ou de At 11', qui résulterait aussi de At 9'' et At 10, ou de At 9' et At 10. Plutôt que de le déduire, il pose, sous une forme qui contient la proposition :

At 12 (pages 76 et 77, critère de compatibilité par raffinements). Soient \(X' \ll X\) et \(Y' \ll Y\) dans \(\mathcal{M}\), avec \(X \between Y\), et \(K = X \cap Y\). Si \(X'|K \between Y'|K\), alors \(X' \between Y'\).

Selon la page 77, At 12 entraîne At 11' (si \(X'|K = Y'|K\), la compatibilité est triviale), At 10, la proposition de la page 73, donc At 11 pour \(\widetilde{F}\) fini et le corollaire 2 de la page 69 pour les familles finies.

\(\Sigma\)-ateliers (pages 77 et 78). Pour donner une forme commune à At 9' et At 9'', soit \(\Sigma\) une sous-catégorie pleine de celle des ensembles ordonnés. Un atelier est un \(\Sigma\)-atelier si chaque \(\widetilde{X}\), \(X \in \mathcal{M}\), est dans \(\Sigma\), et si l'on a

At 9\(_{\Sigma}\) (critère de compatibilité par les lieux). Pour \(X, Y \in \mathcal{M}\) et \(K = X \cap Y\), de sorte que \(\widetilde{K} = \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}\), on a \(X \between Y\) si et seulement si (i) tout lieu de \(\mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(K)\) est disjoint de tout lieu de \(\mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(K)\), et (ii) \(\widetilde{K} \in \Sigma\).

Corollaire 1, « ancien At 9'' » : (i) et \(K \in \mathcal{M}\) entraînent \(X \between Y\). Corollaire 2, « ancien At 9' » : si \(\Sigma\) contient tous les \(\widetilde{F}\), \(X \between Y\) équivaut à (i)⁵⁵ . Tous les ateliers auxquels il a songé sont des \(\Sigma\)-ateliers pour \(\Sigma\) convenable.

Le tableau des implications (pages 79 et 80), dans sa version au propre :

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & \mathrm{At}\,9_{\Sigma} + \mathrm{At}\,10 \arrow[dl, Rightarrow] \arrow[dr, Rightarrow] & & \\
\mathrm{At}\,9_{\Sigma} \arrow[d, Rightarrow] & & \mathrm{At}\,12 \arrow[dl, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] & \mathrm{At}\,11 \arrow[dl, Rightarrow] \\
\mathrm{At}\,9 & \mathrm{At}\,10 & \mathrm{At}\,11' &
\end{tikzcd}

avec, en légende, At 11 équivalent au recollement des raffinements dans \(F = \mathrm{Sup}\,F_{i}\) quelconque, At 11' à ce recollement pour \(I\) fini⁵⁶ . Le seul axiome qui échappe à At 9\(_{\Sigma}\) + At 10 est At 11, parce qu'il porte sur des bornes supérieures infinies. On le remplace donc par

At 11 bis (page 80). Si \((F'_{i})\) est une famille filtrante croissante de raffinements de \(F\) telle que, pour toute strate \(X\) de \(F\), les \(F'_{i}|X\) aient une borne supérieure, alors \(\mathrm{Sup}\,F'_{i}\) existe,

qui résulte de At 11 et l'entraîne moyennant At 11' — un axiome, note la marge, qui n'a rien à voir avec les lieux. D'où deux systèmes « réduits » : At 9\(_{\Sigma}\), At 10, At 11 bis ; ou, si l'on veut éviter le choix de \(\Sigma\), At 9, At 11 bis, At 12 — au prix du critère universel de compatibilité par les lieux, « bien sympathique ». La page finit sur la saturation d'un atelier, dans la définition de laquelle il faudra inclure At 9' = At 9\(_{\overline{\Sigma}}\), \(\overline{\Sigma}\) désignant tous les ensembles ordonnés.

81–88

Subdivisions (pages 81 à 88)

« J'en viens aux subdivisions, dont il n'avait pas encore été question jusqu'à présent ! » Dans cette mouture, la subdivision n'est pas primitive : elle va être définie à partir du raffinement et de la disjonction, comme la page 12 l'avait entrevu en (1.25)⁵⁷ .

Proposition (page 81). Si \(F' \ll F\) et s'il existe une figure non vide \(G\) disjointe de \(F'\) mais non de \(F\), on peut en trouver une avec de plus \(G \ll F\). Pour la démontrer, il isole :

Lemme (page 82). Soient \(F' \ll F\), \(G \leq F\), \(F'_{G} = F'|G\) et \(H \ll G\). Alors \(H \parallel F'\) si et seulement si \(H \parallel F'_{G}\). — Le sens direct est clair, \(F'_{G}\) étant une sous-figure de \(F'\). Pour l'autre, par At 9 il suffit de voir qu'un lieu \(x\) de \(H\) et un lieu \(x'\) de \(F'\) sont disjoints. Si \(x'\) raffine \(F'_{G}\), c'est l'hypothèse. Sinon \(x'\) ne raffine pas \(G\) (il raffinerait \(\mathrm{Inf}^{\ll}(F', G) = F'_{G}\)), donc \(x\) et \(x'\) sont dans les ombres ouvertes de deux strates différentes de \(F\), et \(x \parallel x'\) par At 10.

At 13 (page 83). Soient \(X \in \mathcal{M}\) et \(F \ll X\). S'il existe une figure non vide \(G\) avec \(G \parallel F\) et \(G \nparallel X\) — on peut alors la prendre dans \(\mathcal{L}\) —, il existe un lieu \(x\) de \(X\) disjoint de \(F\).

La marge range At 8, At 9 et At 13 parmi les axiomes « beaucoup de lieux ».

Corollaire (pages 83 et 84). Pour \(F' \ll F\), sont équivalents :

1. (i)toute figure disjointe de \(F'\) est disjointe de \(F\) ;
2. (ii)aucun lieu de \(F\) n'est disjoint de \(F'\) ;
3. (iii)\(F'\) est maximal, pour \(\leq\), parmi les raffinements de \(F\).

(i) \(\Leftrightarrow\) (ii) est la proposition, sous At 13. Si (ii) est en défaut, avec \(x \in \mathrm{omb}(F)\) disjoint de \(F'\), alors \(F' \vee x\) est un raffinement de \(F\) (At 4) qui majore strictement \(F'\), et (iii) est en défaut. Si (iii) est en défaut, avec \(F' < \overline{F'} \ll F\), une strate \(X\) de \(\overline{F'}\) hors de \(F'\) et \(x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ}\) donnent un lieu de \(F\) disjoint de \(F'\)⁵⁸ . Une quatrième condition, la maximalité pour \(\ll\), est barrée, et la page s'arrête sur « Mais impliquent-elles (iv) ? ».

Définition (page 85). Quand ces conditions sont satisfaites, \(F'\) est une subdivision de \(F\), et \(F\) une surdivision de \(F'\) ; on écrit \(F' \preccurlyeq F\).

C'est un ordre : la transitivité suit de (i). Comme \(G \parallel F\) entraîne toujours \(G \parallel F'\) par (1.58), la condition (i) dit que \(F'\) et \(F\) ont les mêmes figures disjointes, et l'on retrouve (1.25) de la page 12. Une subdivision de \(F\) induit une subdivision de toute sous-figure, par le lemme de la page 82 ; et réciproquement, si \(F = \mathrm{Sup}\,F_{i}\), \(F'\) est une subdivision de \(F\) dès que chaque \(F'|F_{i}\) en est une de \(F_{i}\), puisque l'ombre de \(F\) est la réunion de celles des \(F_{i}\)⁵⁹ .

At 14 (page 86, recollement des subdivisions). Si \(G \leq F\) et \(G' \preccurlyeq G\), il existe une subdivision de \(F\) qui induit \(G'\).

Par recollement — transfini si \(\widetilde{F}\) est infini — on doit se ramener au cas où \(F\) est une multistrate. On aimerait de plus un choix canonique, la moins fine des subdivisions voulues, « comme dans le cas ensembliste » :

At (fort) 14 bis (page 87). On peut choisir \(F' \preccurlyeq F\) induisant \(G'\) de sorte que, \(\varphi : \widetilde{F'} \to \widetilde{F}\) étant l'application canonique, le carré

\begin{tikzcd}
\widetilde{G'} \arrow[r, hook] \arrow[d, "\varphi|\widetilde{G'}"'] & \widetilde{F'} \arrow[d, "\varphi"] \\
\widetilde{G} \arrow[r, hook] & \widetilde{F}
\end{tikzcd}

soit cartésien, que \(\varphi\) induise un isomorphisme d'ensembles ordonnés du complémentaire de \(\widetilde{G'_{+}}\) sur \(\widetilde{F} \smallsetminus \widetilde{G}\), et que l'ordre de \(\widetilde{F'}\) entre ces deux morceaux soit l'image réciproque de celui de \(\widetilde{F}\).

Le 22 juin, il pense qu'un tel \(F'\) doit être unique, comme la plus grande des subdivisions de \(F\) induisant \(G'\), et que, pour des figures finies, la condition équivaut à :

At (fort) 14 ter. Pour \(X \in \mathcal{M}\) et \(F' \preccurlyeq \partial X\), il existe une unique \(X' \in \mathcal{M}\) avec \(X' \preccurlyeq X\) et \(\partial X' = F'\).

C'est ce que font les cellules : une boule dont on subdivise le bord reste une seule cellule. Ce n'est pas vrai dans un atelier simplicial strict, où chaque multistrate a la combinatoire d'un simplexe et l'intersection de deux multistrates compatibles est une multistrate : un triangle dont un côté a reçu un sommet supplémentaire n'est plus le bord d'aucun simplexe⁶⁰ . Il imposera du moins At 14 ter aux ateliers stricts, à définir plus bas.

88–93

Le cas ensembliste, et les sous-ateliers (pages 88 à 93)

La page 88 fixe un programme : expliciter les axiomes pour un atelier ensembliste ; étudier leur stabilité par passage à un sous-atelier ; étudier la saturation d'un atelier. Les deux premiers points occupent les dernières pages ; le troisième n'est pas abordé.

Le cas ensembliste. Un atelier ensembliste, donné par \(\mathcal{L}\) et \(\mathfrak{F} \subset \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\), satisfait automatiquement At 1 à At 8. Lorsque \(\mathcal{M}\) est formé des seuls points \(\lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace\), la donnée se réduit à une relation réflexive et symétrique sur \(\mathcal{L}\). En général, les axiomes se traduisent ainsi :

1. At 9devient, compte tenu de Atens 2 : deux multistrates de supports disjoints sont compatibles, donc disjointes ; deux multistrates sont alors disjointes si et seulement si leurs supports le sont.
2. At 9\(_{\Sigma}\)devient Atens 2\(_{\Sigma}\) : \(X \between_{\mathcal{M}} Y\) si et seulement si \(X\) et \(Y\) sont ensemblistement compatibles, c'est-à-dire \(|X| \cap |Y|\) est la réunion \(K\) de leurs strates communes, et \(\widetilde{K} \in \Sigma\) ; pour \(\Sigma\) formé de tous les ensembles ordonnés, c'est dire que \(\mathfrak{F}\) est un sous-atelier spécieux de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\), ce qui n'arrive presque jamais pour les ateliers simpliciaux.
3. At 10est automatique, par Atens 2.
4. At 11 bisest vide pour des figures de type fini, la famille étant alors stationnaire.
5. At 12devient Atens 4 : si \(X \between_{\mathcal{M}} Y\), \(K = X \cap Y\), \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y\) et \(X'|K \between_{\mathcal{M}} Y'|K\), alors \(X' \between_{\mathcal{M}} Y'\) ; il résulte de Atens 2\(_{\Sigma}\)⁶¹ .
6. At 13signifie que \(F \ll X\) avec \(|F| \subsetneq |X|\), et il est toujours vérifié.
7. At 14 bisdevient Atens fort 5 : si \(X \in \mathcal{M}\) et \(F' \preccurlyeq \partial X\), l'unique figure ensembliste élémentaire de bord \(F'\) et de support \(|X|\) est dans \(\mathcal{M}\) — « mais ce sera pas vrai pour les ateliers simpliciaux ! ». At 14, en revanche, se traduit mal en termes de sous-ateliers : ce n'est plus une condition de stabilité.

Sous-ateliers (pages 91 à 93). Pour \(\mathfrak{F}' \subset \mathfrak{F}\) satisfaisant Sousat 1 et Sousat 2⁶² , At 1 à At 7 passent automatiquement. Pour les axiomes où entrent les lieux, il faut distinguer \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{L}'\) : on a \(\mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' \subset \mathcal{L}'\), et l'on voudrait l'égalité. D'où :

1. Sous-at 3(épais) : si \(X \in \mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M}\) et \(x \in \mathcal{L}\), \(x \ll X\), alors \(x \in \mathfrak{F}'\) ;
2. Sous-at 3'(quasi-dense) : pour tout \(X \in \mathcal{M}'\), il existe \(x \in \mathcal{L} \cap \mathfrak{F}'\) avec \(x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\) ;
3. Sous-at 4: si \(X, Y \in \mathcal{M}'\) sont disjoints dans \(\mathfrak{F}\), ils le sont dans \(\mathfrak{F}'\), c'est-à-dire \(X \vee Y \in \mathfrak{F}'\).

Sous-at 3 entraîne Sous-at 3' (par At 8 dans \(\mathfrak{F}\)) ; chacune entraîne At 8 pour \(\mathfrak{F}'\), et la seconde déjà \(\mathcal{L}' = \mathcal{L} \cap \mathfrak{F}'\). At 9 ne passe pas nécessairement à un sous-atelier, même plein ; il passe moyennant Sous-at 3 et Sous-at 4, ainsi que At 10⁶³ et At 13. At 11 bis et At 12 sont des propriétés de stabilité de \(\mathfrak{F}'\) dans \(\mathfrak{F}\). At 14 reste « discordante » — lecture douteuse — et At 14 bis est, elle, une condition de stabilité. Un trait clôt la page 93, le chapitre et le dossier.