Fonds Grothendieck, cote n° 156-5, pages 41–48

la page s'ouvre sur l'item c) d'un énoncé dont le début est à la page précédente

c) L'ens. des fermés pour \tau' est en corr. biunivoque avec l'ens. des couples (B, A_{\mathcal{U}}) \qquad \begin{array}{l} B \subset T \text{ fermé pour } \tau'_0 \\ A_{\mathcal{U}} \text{ fermé de } \mathcal{U} = S \smallsetminus T \text{ pour } \tau|(S \smallsetminus T) \end{array} tels que \overline{A_{\mathcal{U}}} \cap T \subset B \qquad (\text{adh. prise pour } \tau) sous « (adh. prise pour \tau) », un symbole biffé, peut-être \tau

d) Si \tau'_0 et \tau ultratopologiques, \tau' aussi. La relation de préordre associée ~~se définit~~ se décrit ainsi. Pour x, y \in S, on a x \leq_{\tau'} y ssi \begin{cases} \text{ou bien } x, y \in T, & x \leq_{\uncertain{\tau'_0}} y \\ \text{ou bien } x, y \in \mathcal{U} = S \smallsetminus T, & x \leq_{\tau} y \\ \text{ou bien } x \in T,\ y \in \mathcal{U}, & x \leq_{\tau} y \end{cases} l'indice du premier cas est écrit \tau' suivi d'un petit signe, lu \tau'_0 En d'autres termes, si y \in \mathcal{U}, on a x \leq_{\tau'} y ssi x \leq_{\tau} y.

Sous les conditions de d)ces mots sont écrits au-dessus de la ligne et rattachés à « e) » par un trait

e) Considérons les ens. ordonnés I, I' associés à \overline{\tau}, \overline{\tau}'les deux lettres sont barrées d'un trait horizontal, lues \tau surligné, et la partie fermée« fermée » au-dessus de la ligne J \subset I correspondant à la partie fermée T de (S, \tau), enfin l'application \varphi : I' \to I canonique.

\begin{tikzcd} \varphi^{-1}(J) = J' \arrow[r, hook] \arrow[d] & I' \arrow[d, "\varphi"] & \overline{\tau}' \arrow[d] \\ J \arrow[r, hook] & I & \overline{\tau} \end{tikzcd}

la flèche \overline{\tau}' \to \overline{\tau} est surchargée d'un gribouillis

Mais, soit \overline{\tau}' est la top. de \tau' déduite de \tau' par passage au quo (qui lient les , associée relation d'ordre sur I' associée au préordre), \widetilde{\tau} I' image inverse de \overline{\tau}. Alors est plus fine que \widetilde{\tau}ces mots sont écrits au-dessus de la ligne, après « Alors » la topologie sur I' qui induit des top. sur I' qui topologie \overline{\tau}|J'. Elle est

C'est faux, sauf (iii), (iv) ! — i.e. \overline{\tau}' \in \mathcal{C} note oblique dans l'angle supérieur gauche, séparée du texte par un trait ; au-dessus, un renvoi « v. 48 »

caractérisée par les conditions suivantes :

(i)\overline{\tau}' est plus fine que \widetilde{\tau}, et induit sur J' \overline{\tau}|J' (ii)\overline{\tau}'|\mathcal{U}' = I' \smallsetminus J' coïncide avec \widetilde{\tau}|\mathcal{U}' (iii)\varphi|\mathcal{U}' induit une ~~bijection~~ iso. ord. \mathcal{U}' \to \mathcal{U} = S \smallsetminus T (iv)La topologie de I est quotient fermé pour les applications I' \to I, J \to I (I' muni de \overline{\tau}', J muni de \overline{\tau}|J)

(Ce qui inclut trivial pour ) Au

(i), (ii), obtenu en prenant la topologie somme sur I' = J' \cup \mathcal{U}' (disj.), I lui-même est une somme (J \sqcup \mathcal{U}, \mathcal{U} = I \smallsetminus J).

C'est une condition que j'avais d'abord oubliée à la page 31 !

Démonstration

~~a) et b).~~ (a b c) Il est clair que les de c) sont les fermés b), et que est unique. dans la marge droite, un paragraphe oblique entouré d'une boucle : « en fait, cela implique ultratop. » ; puis un bloc oblique, dont le premier mot est biffé : « dire que \overline{\tau}', sur S est par (i) (ii) (iii) (iv) revient à dire que top. \tau' S \tau sur S et \tau' sur T (\uncertain{\mathcal{U}} \supset S) » ; il n'est lu qu'en partie

qui satisfait 1°), 2°), 3°) ; que les conséquences . Il reste à voir, pour un (a, b, c), que les ensembles ainsi formés sont une topologie, et qu'elle ~~les propr.~~ dans \underline{\mathcal{C}}, il est la moins fine des top. \in \underline{\mathcal{C}}.

1) C'est l'ens. des fermés d'une topologie. Stable par intersections quelconques : clair ; stable par réunions finies : id. C'est = stable par réunions quelconques s'il en est ainsi pour (T, \tau'_0), (\struck{\ill{}}\,\uncertain{\mathcal{U}}, \tau), et c'est le préordre associé de d).

Cette topologie est plus fine que \uncertain{\tau}, i.e. si X est fermé dans \tau, il satisfait aux conditions : clair. Il induit \tau'_0, i.e. si X \subset T, il est fermé ssi il est fermé pour \tau'_0 : clair. Donc \tau' \in \underline{\mathcal{C}}. Prouvons que c'est un plus grand élément (top. la moins fine), i.e. que pour tout \tau'' \in \underline{\mathcal{C}}, les fermés pour \tau' sont des fermés pour \tau''. X = B \cup \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} En effet, .

B étant fermé dans T (pour \tau'_0), fermé pour \tau''|T« pour \tau''|T » est écrit au-dessus de la ligne, en remplacement d'un mot biffé, fermé dans S pour \tau''au-dessus, « effectivement », donc pour \tau'' ; (car T fermé dans S) \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} est fermé dans S pour \tau, l'est pour \tau'', donc X = B \cup \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} l'est aussi. Cqfd.

Prouvons a) b) c). (C'est déjà fait )

Prouvons d), en notant que x \leq_{\tau'} y \iff \overline{x}^{(\tau')} \subset \overline{y}^{(\tau')} \iff x \in \overline{y}^{(\tau')} . Comme \tau'|\mathcal{U} \neq \tau|\mathcal{U}, et \tau'|T = \tau'_0, le signe est lu \neq ; l'argument demande =, cf. (ii) p. 42 et (iii) p. 47 les cas x, y \in T et x, y \in \mathcal{U} sont déjà clairs. Reste le cas où x \in \mathcal{U}, y \in T, à prouver. Le premier cas ne peut se produire, car si y \in T, \overline{y}^{(\tau')} \subset T (T fermé dans S pour \tau') donc x \notin \overline{y}^{(\tau')} ~~puisque~~ si x \in \mathcal{U}. Donc reste le cas [x \in T,] y \in \mathcal{U}, prouvons x \leq_{\tau'} y \iff x \leq_{\tau} y, NB l'autre cas x \in T

donc il faut voir que l'adhérence de y pour \tau', et pour \tau, est pareille (a priori elle serait plus petite). ~~Soit~~

~~En effet X de X, tel que~~

Cela donne l'adhérence d'une partie générale X de S, pour \tau', en termes de \tau et \tau'_0 : \overline{X}^{(\tau')} = \left(\overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)}\right) \cup \overline{(X \cap T)}^{(\tau'_0)} la note précédente est écrite en oblique dans la marge gauche, à hauteur du corollaire

Corollaire Sous ~~X est une~~ ces conditions, ( ultratopologiques) si A est une partie de \mathcal{U}, son adhérence pour \tau', et , est la même. ~~( pour de T.)~~ la lettre de « si A est une partie » est écrite en surcharge ; la démonstration qui suit parle de A

Soit en effet X \supset A, fermé pour \tau'. Alors par les conditions 1°, 2°, 3°) plus haut, X \supset \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} , donc si X \supset A, X \supset \overline{A}^{(\tau)} , \qquad \struck{\ill{}} \text{ en particulier} \overline{A}^{(\tau')} \supset \overline{A}^{(\tau)} , \qquad \text{OK.}

Prouvons e). La première assertion (basée sur le fait) ~~(les conditions (i) (ii) (iii) pour \tau' connues)~~au-dessus du passage biffé : « considérées par \tau' » est évidente. Montrons que la top. de I est quotient pour J \to I, I' \to I. ~~question de~~ Cela signifie que ~~I', dans~~ pour une partie de I' qui est \widetilde{\tau}-saturée (i.e. de la forme \varphi^{-1}(A)), celle-ci est fermée pour \overline{\tau}' si (et seulement si) elle l'est pour \widetilde{\tau}, et sa trace sur J' l'est pour \overline{\tau}« \widetilde{\tau} » et « \overline{\tau} » sont écrits sur deux lignes serrées en bas de page ; l'ordre de lecture est incertain. Cela revient à ceci,

revient à à l'interprétation suivante

utile,

Corollaire ~~Dans le cas des ultratopologies,~~au-dessus du passage biffé : « (Vu les formules de ventilation en termes d'ultratopologies) » ~~Soit~~ A une partie de T ~~\tau.~~ Pour qu'elle soit fermée pour \tau, il faut et il suffit qu'elle soit a) fermée pour \tau' et b) que sa trace sur T soit fermée pour \tau. la lettre lue T dans « une partie de T » ; la suite (« sa trace sur T ») demande plutôt une partie de S

[i.e. la top. \tau sur S est finale pour S \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } S, \qquad T \xrightarrow{\ \mathrm{inc.}\ } S ~~pour les topologies~~ \tau' sur S, \tau|T sur T.]

(C'est évidemment nécessaire.) Prouvons

le passage qui suit est barré de deux longs traits obliques ; il est transcrit tel qu'il se lit ~~Comme~~ X fermé pour \tau', (d'après (b)) ~~donc~~ \tau|\mathcal{U}, et que X \cap \mathcal{U} = X_{\mathcal{U}} est fermé pour \tau|\mathcal{U}, d'où \overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau)} = X_{\mathcal{U}} ; Comme X = \overline{X_{\mathcal{U}}}^{\tau} \cup X_B ; que \overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau)} \cap T \subset X_B, et hypothèse, il fermé dans T pour \tau par hypothèse,

il s'ensuit que X est sur la formule \overline{X}^{(\tau')} = \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} \cup \overline{X \cap T}^{(\tau'_0)} (cf. p. 44, marge), si X est fermé pour \tau', on a ~~X_B~~, donc X = \uncertain{\text{second membre}} = \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} \cup (X \cap T) donc fermé comme réunion de deux fermés. sous (X \cap T), une accolade : « car X \cap T fermé pour \tau, a fortiori pour \tau'_0 » ; la seconde topologie est lue \uncertain{\tau'_0}

Corollaire (Cas ultratopologiques)la parenthèse est au-dessus de la ligne Supposons (), que la top. de \mathcal{J}' soit quotient de celle de \mathcal{J}, ~~Alors~~ i.e. \varphi^* : \mathcal{J}' \to \mathcal{J} \text{ surjectif.} Alors \varphi .

Corollaire (Ultratopologiques) Supposons \varphi^* surjectif ; fibres 0-connexes — alors \varphi itou. Supposons \varphi homotopiquement propre i.e. les \varphi^{-1}(J_{\leq x}) l'exposant de \varphi est écrit \ast surchargé en -1 ; sous \leq, un trait double, peut-être un \not\leq corrigé « faiblement contractiles ». Alors kif-kif pour \varphi^*. ~~(qui )~~ On est ramené à prouver que si I admet un plus grand élément x (donc x \notin J, sinon c'est f.c.)« x \notin J » est écrit au-dessus de la ligne, alors I' est f. contractile. Mais considérons l'unique élément x' qui s'envoie sur x ; je prétends que c'est un plus grand élément. En effet, comme plus grand pour \overline{\tau}', et pour \overline{\tau}, et x' \in I \smallsetminus \mathcal{U}', c'est . OK !

Corollaire (Ultratopologiques)la parenthèse est au-dessus de la ligne Si \varphi^{\ill{}} est homotopiquement propre à fibres faiblement contractiles (donc une équivalence d'homotopie faible universelle), itou pour \varphi.

Mais je n'ai pas démontré entièrement (ou \overline{\tau}') : pour prouver e), il faut montrer que \tau' a les conditions dites. vrai ? c'est faux !! la note précédente est écrite en oblique dans la marge, pointant sur le mot souligné « Construction » qui ouvre la troisième ligne

Donc il faut voir que si \tau'', sur S, satisfait les conditions

(i)\tau'' \leq \tau (ii)\tau''|T = \tau'_0 (iii)\tau''|\mathcal{U} = \tau|\mathcal{U} \quad (\mathcal{U} = S \smallsetminus T) (iv)Toute partie de X de S ~~telle~~ qui est fermée pour \tau'' et telle que X \cap T fermée pour \tau, est fermée pour \uncertain{\tau},

i.e. top. finale pour S_{(\tau'')} \xrightarrow{\mathrm{id}} S, T_{(\tau)} \xrightarrow{i} S alors \tau'' = \tau'. On sait déjà, en vertu de (i)la référence est lue « (ii) » ou « (i) » ; seule (i) donne l'inégalité, que \tau'' \leq \tau', reste à voir l'inverse, i.e. que ~~X fermé pour \tau''~~ tout fermé pour \tau'' est fermé pour \tau', i.e. satisfait les conditions 1° 2° 3° de (b). « (b) » est entouré d'un cercle, au début de la ligne

1°)X \cap \mathcal{U} est fermé dans \mathcal{U} pour \tau|\mathcal{U} : OK puisque \tau''|\mathcal{U} = \tau|\mathcal{U} (iii) 2°)X \cap T fermé dans T pour \tau'_0 : OK puisque \tau''|T = \tau'_0 (ii) 3°)\overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau)} \cap T \subset X \cap T

Ceci n'est pas démontré, il faut utiliser (iv).

Il faudrait prouver que \overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau)} \subset \overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau'')} \qquad \left(\subset \overline{X}^{(\tau'')} = X\right) sous le dernier X : « car X fermé pour \tau'' » donc = ; et ça donnerait le résultat.

Donc il faudrait prouver que pour A \subset \mathcal{U}, \overline{A}^{(\tau'')} = \overline{A}^{(\tau)} , \quad \text{i.e.} \quad \overline{A}^{(\tau'')} \text{ est } \tau\text{-fermé} les derniers mots sont doublement soulignés

et par la condition (iv), il reste à vérifier que \overline{A}^{(\tau'')} \cap T \text{ est } \tau \text{ fermé} \qquad ?? C'est peut-être faux ?

C'est ultra faux

croquis : deux ovales l'un au-dessus de l'autre, reliés par une flèche verticale \varphi (surchargée d'un signe biffé). L'ovale du haut, surmonté d'une accolade marquée I', contient trois points : un point isolé en haut à gauche, relié au point b par un trait épais hachuré, et deux points a \to b reliés par une flèche. L'ovale du bas, marqué J' à gauche et souligné d'une accolade marquée I, contient deux points reliés par une flèche. À gauche de l'ovale du haut, un gribouillis biffé

I' a trois éléments, I deux. J un seul, J' deux. On prend A = \{b\}, son adhérence pour \tau est I' tout entier, pour \tau' c'est \{a, b\}.

un trait horizontal traverse la page ; le paragraphe suivant est marqué d'un double trait vertical dans la marge

Finalement, la condition ici demandée : imposer à \tau' pour la construire dans \underline{\underline{\mathcal{C}}}, c'est la condition évidente : pour A \subset \mathcal{U} = S \smallsetminus T, son adhérence pour \tau, et pour \tau', est la même (ce qui implique déjà \tau|\mathcal{U} = \tau'|\mathcal{U}). Cela donne l'adhérence d'une partie quelconque A, comme \overline{A}^{(\tau')} = \overline{A \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} \cap \overline{(A \cap T)}^{(\tau'_0)} le signe entre les deux adhérences est lu \cap ; la même formule, en marge de la page 44, porte \cup