Cote n° 156-5 · batch 3 · pages 41–48 · Transcription · [Chapitre] V. Algèbre des figures : notes manuscrites (14/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

41la page s'ouvre sur l'item c) d'un énoncé dont le début est à la page précédente

c) L'ens. des fermés pour \(\tau'\) est en corr. biunivoque avec l'ens. des couples \[ (B, A_{\mathcal{U}}) \qquad \begin{array}{l} B \subset T \text{ fermé pour } \tau'_0 \\ A_{\mathcal{U}} \text{ fermé de } \mathcal{U} = S \smallsetminus T \text{ pour } \tau|(S \smallsetminus T) \end{array} \] tels que \[ \overline{A_{\mathcal{U}}} \cap T \subset B \qquad (\text{adh. prise pour } \tau) \] sous « (adh. prise pour \(\tau\)) », un symbole biffé, peut-être \(\tau\)

d) Si \(\tau'_0\) et \(\tau\) ultratopologiques, \(\tau'\) aussi. La relation de préordre associée se définit se décrit ainsi. Pour \(x, y \in S\), on a \(x \leq_{\tau'} y\) ssi \[ \begin{cases} \text{ou bien } x, y \in T, & x \leq_{\uncertain{\tau'_0}} y \\ \text{ou bien } x, y \in \mathcal{U} = S \smallsetminus T, & x \leq_{\tau} y \\ \text{ou bien } x \in T,\ y \in \mathcal{U}, & x \leq_{\tau} y \end{cases} \] l'indice du premier cas est écrit \(\tau'\) suivi d'un petit signe, lu \(\tau'_0\) En d'autres termes, si \(y \in \mathcal{U}\), on a \(x \leq_{\tau'} y\) ssi \(x \leq_{\tau} y\).

Sous les conditions de d)ces mots sont écrits au-dessus de la ligne et rattachés à « e) » par un trait

e) Considérons les ens. ordonnés \(I\), \(I'\) associés à \(\overline{\tau}\), \(\overline{\tau}'\)les deux lettres sont barrées d'un trait horizontal, lues \(\tau\) surligné, et la partie [fermée]« fermée » au-dessus de la ligne \(J \subset I\) correspondant à la partie fermée \(T\) de \((S, \tau)\), enfin l'application \(\varphi : I' \to I\) canonique.

\begin{tikzcd}
\varphi^{-1}(J) = J' \arrow[r, hook] \arrow[d] & I' \arrow[d, "\varphi"] & \overline{\tau}' \arrow[d] \\
J \arrow[r, hook] & I & \overline{\tau}
\end{tikzcd}

la flèche \(\overline{\tau}' \to \overline{\tau}\) est surchargée d'un gribouillis

Mais, […] soit \(\overline{\tau}'\) est la top. de \(\tau'\) déduite de \(\tau'\) par passage au quo[…] (qui lient les […], associée […] relation d'ordre sur \(I'\) associée au préordre), \(\widetilde{\tau}\) […] \(I'\) image inverse de \(\overline{\tau}\). Alors est plus fine que \(\widetilde{\tau}\)ces mots sont écrits au-dessus de la ligne, après « Alors » […] la topologie sur \(I'\) qui […] induit […] […] des top. sur \(I'\) qui […] topologie \(\overline{\tau}|J'\). Elle est

42C'est faux, sauf (iii), (iv) […] […] […] […] […] […] […] ! […] — i.e. \(\overline{\tau}' \in \mathcal{C}\) note oblique dans l'angle supérieur gauche, séparée du texte par un trait ; au-dessus, un renvoi « v. 48 »

caractérisée par les conditions suivantes :

• (i)\(\overline{\tau}'\) est plus fine que \(\widetilde{\tau}\), et induit sur \(J'\) \(\overline{\tau}|J'\)
• (ii)\(\overline{\tau}'|\mathcal{U}' = I' \smallsetminus J'\) coïncide avec \(\widetilde{\tau}|\mathcal{U}'\)
• (iii)\(\varphi|\mathcal{U}'\) induit une bijection iso. ord. \(\mathcal{U}' \to \mathcal{U} = S \smallsetminus T\)
• (iv)La topologie de \(I\) est quotient fermé pour les applications \(I' \to I\), \(J \to I\) (\(I'\) muni […] de \(\overline{\tau}'\), \(J\) muni de \(\overline{\tau}|J\))

(Ce qui inclut […] […] trivial pour […]) Au[…]

(i), (ii), obtenu en prenant la topologie somme sur […] \(I' = J' \cup \mathcal{U}'\) (disj.), […] \(I\) lui-même est une somme […] (\(J \sqcup \mathcal{U}\), \(\mathcal{U} = I \smallsetminus J\)).

C'est une condition que j'avais d'abord oubliée […] à la page 31 !

Démonstration

a) et b). (a b c) Il est clair que les […] de c) sont les fermés […] […] b), et que […] est unique. dans la marge droite, un paragraphe oblique entouré d'une boucle : « en fait, cela implique […] […] […] […] ultratop. » ; puis un bloc oblique, dont le premier mot est biffé : « […] dire que \(\overline{\tau}'\), sur \(S\) est […] par (i) (ii) (iii) (iv) […] revient à dire que […] top. \(\tau'\) […] \(S\) […] \(\tau\) sur \(S\) et \(\tau'\) sur \(T\) (\(\uncertain{\mathcal{U}} \supset S\)) […] » ; il n'est lu qu'en partie

[…] […] qui satisfait 1°), 2°), 3°) ; que les conséquences […]. Il reste à voir, pour un (a, b, c), que les ensembles ainsi formés sont une topologie, et qu'elle les propr. […] dans \(\underline{\mathcal{C}}\), il est la moins fine des top. \(\in \underline{\mathcal{C}}\).

1) C'est l'ens. des fermés d'une topologie. Stable par intersections quelconques : clair ; stable par réunions finies : id. C'est = stable par réunions quelconques s'il en est ainsi pour \((T, \tau'_0)\), \((\struck{\ill{}}\,\uncertain{\mathcal{U}}, \tau)\), et c'est le préordre associé de d).

43Cette topologie est plus fine que \(\uncertain{\tau}\), i.e. si \(X\) est fermé dans \(\tau\), il satisfait aux conditions : clair. Il induit \(\tau'_0\), i.e. si \(X \subset T\), il est fermé ssi il est fermé pour \(\tau'_0\) : clair. Donc \(\tau' \in \underline{\mathcal{C}}\). Prouvons que c'est un plus grand élément (top. la moins fine), i.e. que pour tout \(\tau'' \in \underline{\mathcal{C}}\), les fermés pour \(\tau'\) sont des fermés pour \(\tau''\). \[ X = B \cup \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} \] En effet, […] […].

\(B\) étant fermé dans \(T\) (pour \(\tau'_0\)), […] fermé pour \(\tau''|T\)« pour \(\tau''|T\) » est écrit au-dessus de la ligne, en remplacement d'un mot biffé, fermé dans \(S\) pour \(\tau''\)au-dessus, « effectivement », donc pour \(\tau''\) ; (car […] […] […] […] \(T\) fermé dans \(S\)) \(\overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)}\) est fermé dans \(S\) pour \(\tau\), l'est pour \(\tau''\), donc \[ X = B \cup \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} \] l'est aussi. Cqfd.

Prouvons a) b) c). (C'est déjà fait […])

Prouvons d), en notant […] que \[ x \leq_{\tau'} y \iff \overline{x}^{(\tau')} \subset \overline{y}^{(\tau')} \iff x \in \overline{y}^{(\tau')} . \] Comme \(\tau'|\mathcal{U} \neq \tau|\mathcal{U}\), et \(\tau'|T = \tau'_0\), le signe est lu \(\neq\) ; l'argument demande \(=\), cf. (ii) p. 42 et (iii) p. 47 les cas \(x, y \in T\) et \(x, y \in \mathcal{U}\) sont déjà clairs. Reste le cas où […] \(x \in \mathcal{U}\), \(y \in T\), […] à prouver. Le premier cas ne peut se produire, car si \(y \in T\), \(\overline{y}^{(\tau')} \subset T\) (\(T\) fermé dans \(S\) pour \(\tau'\)) donc \(x \notin \overline{y}^{(\tau')}\) puisque si \(x \in \mathcal{U}\). Donc reste le cas [\(x \in T\),] \(y \in \mathcal{U}\), prouvons \(x \leq_{\tau'} y \iff x \leq_{\tau} y\), NB l'autre cas […] […] […] \(x \in T\)

44donc il faut voir que l'adhérence de \(y\) pour \(\tau'\), et pour \(\tau\), est pareille (a priori elle serait plus petite). Soit

En effet […] \(X\) […] […] […] de \(X\), tel que

Cela donne l'adhérence d'une partie générale \(X\) de \(S\), pour \(\tau'\), en termes de \(\tau\) et \(\tau'_0\) : \(\overline{X}^{(\tau')} = \left(\overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)}\right) \cup \overline{(X \cap T)}^{(\tau'_0)}\) la note précédente est écrite en oblique dans la marge gauche, à hauteur du corollaire

Corollaire Sous \(X\) est une ces conditions, ([…] […] […] […] ultratopologiques) si \(A\) est une partie […] de \(\mathcal{U}\), son adhérence pour \(\tau'\), et […] […] […], est la même. ([…] […] […] pour […] de \(T\).) la lettre de « si \(A\) est une partie » est écrite en surcharge ; la démonstration qui suit parle de \(A\)

[…] Soit en effet \(X \supset A\), fermé pour \(\tau'\). Alors par les conditions 1°, 2°, 3°) plus haut, \[ X \supset \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} , \] donc si \(X \supset A\), \[ X \supset \overline{A}^{(\tau)} , \qquad \struck{\ill{}} \text{ en particulier} \] \[ \overline{A}^{(\tau')} \supset \overline{A}^{(\tau)} , \qquad \text{OK.} \]

Prouvons e). La première assertion (basée sur le fait) (les conditions (i) (ii) (iii) pour \(\tau'\) […] […] […] connues)au-dessus du passage biffé : « considérées […] par \(\tau'\) […] […] » est évidente. Montrons que la top. de \(I\) est quotient pour \(J \to I\), \(I' \to I\). question […] de […] Cela signifie que \(I'\), dans pour une partie de \(I'\) qui est \(\widetilde{\tau}\)-saturée (i.e. de la forme \(\varphi^{-1}(A)\)), […] celle-ci est fermée pour \(\overline{\tau}'\) si (et seulement si) elle l'est pour \(\widetilde{\tau}\), et sa trace sur \(J'\) l'est pour \(\overline{\tau}\)« \(\widetilde{\tau}\) » et « \(\overline{\tau}\) » sont écrits sur deux lignes serrées en bas de page ; l'ordre de lecture est incertain. Cela revient à ceci, […]

45revient à à l'interprétation suivante

[…] […] utile,

Corollaire Dans le cas des ultratopologies,au-dessus du passage biffé : « (Vu les formules de ventilation en termes d'ultratopologies) » Soit \(A\) une partie de \(T\) […] \(\tau\). Pour qu'elle soit fermée pour \(\tau\), il faut et il suffit qu'elle soit a) fermée pour \(\tau'\) et b) que sa trace sur \(T\) soit fermée pour \(\tau\). la lettre lue \(T\) dans « une partie de \(T\) » ; la suite (« sa trace sur \(T\) ») demande plutôt une partie de \(S\)

[i.e. la top. \(\tau\) sur \(S\) est finale pour \[ S \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } S, \qquad T \xrightarrow{\ \mathrm{inc.}\ } S \] pour les topologies \(\tau'\) sur \(S\), \(\tau|T\) sur \(T\).]

(C'est évidemment […] nécessaire.) Prouvons […]

le passage qui suit est barré de deux longs traits obliques ; il est transcrit tel qu'il se lit […] Comme \(X\) […] fermé pour \(\tau'\), (d'après (b)) donc \(\tau|\mathcal{U}\), […] et que \(X \cap \mathcal{U}\) [\(= X_{\mathcal{U}}\)] est fermé pour \(\tau|\mathcal{U}\), d'où \(\overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau)} = X_{\mathcal{U}}\) ; Comme \(X = \overline{X_{\mathcal{U}}}^{\tau} \cup X_B\) ; que \(\overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau)} \cap T \subset X_B\), et hypothèse, il […] fermé dans \(T\) pour \(\tau\) par hypothèse,

il s'ensuit que \(X\) est […] sur la formule \[ \overline{X}^{(\tau')} = \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} \cup \overline{X \cap T}^{(\tau'_0)} \] (cf. p. 44, marge), si \(X\) est fermé pour \(\tau'\), on a \(X_B\), donc \[ X = \uncertain{\text{second membre}} = \overline{X \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} \cup (X \cap T) \] donc fermé comme réunion de deux fermés. sous \((X \cap T)\), une accolade : « car \(X \cap T\) fermé pour \(\tau\), a fortiori pour \(\tau'_0\) » ; la seconde topologie est lue \(\uncertain{\tau'_0}\)

46Corollaire (Cas ultratopologiques)la parenthèse est au-dessus de la ligne Supposons ([…]), que la top. de \(\mathcal{J}'\) soit quotient de celle de \(\mathcal{J}\), Alors i.e. \[ \varphi^* : \mathcal{J}' \to \mathcal{J} \text{ surjectif.} \] Alors \(\varphi\) […].

Corollaire (Ultratopologiques) Supposons \(\varphi^*\) surjectif ; fibres 0-connexes — alors \(\varphi\) itou. Supposons \(\varphi\) […] homotopiquement propre i.e. les \[ \varphi^{-1}(J_{\leq x}) \] l'exposant de \(\varphi\) est écrit \(\ast\) surchargé en \(-1\) ; sous \(\leq\), un trait double, peut-être un \(\not\leq\) corrigé « faiblement contractiles ». Alors kif-kif pour \(\varphi^*\). (qui […]) On est ramené à prouver que si \(I\) admet un plus grand élément \(x\) (donc \(x \notin J\), sinon c'est f.c.)« \(x \notin J\) » est écrit au-dessus de la ligne, alors \(I'\) est f. contractile. Mais considérons l'unique élément \(x'\) qui s'envoie sur \(x\) ; je prétends que c'est un plus grand élément. En effet, comme […] plus grand […] pour \(\overline{\tau}'\), et pour \(\overline{\tau}\), et \(x' \in I \smallsetminus \mathcal{U}'\), […] […] c'est […]. OK !

[…] \(=\)

Corollaire (Ultratopologiques)la parenthèse est au-dessus de la ligne Si \(\varphi^{\ill{}}\) est homotopiquement propre à fibres […] faiblement contractiles (donc une équivalence d'homotopie faible universelle), itou pour \(\varphi\).

47Mais je n'ai pas démontré entièrement […] (ou \(\overline{\tau}'\)) : pour prouver e), il faut montrer que \(\tau'\) a […] les conditions dites. vrai ? c'est faux !! la note précédente est écrite en oblique dans la marge, pointant sur le mot souligné « Construction » qui ouvre la troisième ligne

Donc il faut voir que si \(\tau''\), sur \(S\), satisfait les conditions

• (i)\(\tau'' \leq \tau\)
• (ii)\(\tau''|T = \tau'_0\)
• (iii)\(\tau''|\mathcal{U} = \tau|\mathcal{U} \quad (\mathcal{U} = S \smallsetminus T)\)
• (iv)Toute partie de \(X\) de \(S\) telle qui est fermée pour \(\tau''\) et telle que \(X \cap T\) fermée pour \(\tau\), est fermée pour \(\uncertain{\tau}\),

i.e. top. finale pour \(S_{(\tau'')} \xrightarrow{\mathrm{id}} S\), \(T_{(\tau)} \xrightarrow{i} S\) alors \(\tau'' = \tau'\). On sait déjà, en vertu de (i)la référence est lue « (ii) » ou « (i) » ; seule (i) donne l'inégalité, que \(\tau'' \leq \tau'\), reste à voir l'inverse, i.e. que \(X\) fermé pour \(\tau''\) tout fermé pour \(\tau''\) est fermé pour \(\tau'\), i.e. satisfait les conditions 1° 2° 3° de (b). « (b) » est entouré d'un cercle, au début de la ligne

• 1°)\(X \cap \mathcal{U}\) est fermé dans \(\mathcal{U}\) pour \(\tau|\mathcal{U}\) : OK puisque \(\tau''|\mathcal{U} = \tau|\mathcal{U}\) (iii)
• 2°)\(X \cap T\) fermé dans \(T\) pour \(\tau'_0\) : OK puisque \(\tau''|T = \tau'_0\) (ii)
• 3°)\(\overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau)} \cap T \subset X \cap T\)

Ceci n'est pas démontré, il faut utiliser (iv).

Il faudrait prouver que \[ \overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau)} \subset \overline{X_{\mathcal{U}}}^{(\tau'')} \qquad \left(\subset \overline{X}^{(\tau'')} = X\right) \] sous le dernier \(X\) : « car \(X\) fermé pour \(\tau''\) » donc \(=\) ; et ça donnerait le résultat.

Donc il faudrait prouver que pour \(A \subset \mathcal{U}\), \[ \overline{A}^{(\tau'')} = \overline{A}^{(\tau)} , \quad \text{i.e.} \quad \overline{A}^{(\tau'')} \text{ est } \tau\text{-fermé} \] les derniers mots sont doublement soulignés

48et par la condition (iv), il reste à vérifier que \[ \overline{A}^{(\tau'')} \cap T \text{ est } \tau \text{ fermé} \qquad ?? \] C'est peut-être faux ?

C'est ultra faux […]

croquis : deux ovales l'un au-dessus de l'autre, reliés par une flèche verticale \(\varphi\) (surchargée d'un signe biffé). L'ovale du haut, surmonté d'une accolade marquée \(I'\), contient trois points : un point isolé en haut à gauche, relié au point \(b\) par un trait épais hachuré, et deux points \(a \to b\) reliés par une flèche. L'ovale du bas, marqué \(J'\) à gauche et souligné d'une accolade marquée \(I\), contient deux points reliés par une flèche. À gauche de l'ovale du haut, un gribouillis biffé

\(I'\) a trois éléments, \(I\) deux. \(J\) un seul, \(J'\) deux. On prend \(A = \{b\}\), son adhérence pour \(\tau\) est \(I'\) tout entier, pour \(\tau'\) c'est \(\{a, b\}\).

un trait horizontal traverse la page ; le paragraphe suivant est marqué d'un double trait vertical dans la marge

Finalement, la condition ici demandée : imposer à \(\tau'\) pour la construire dans \(\underline{\underline{\mathcal{C}}}\), c'est la condition évidente : pour \(A \subset \mathcal{U} = S \smallsetminus T\), son adhérence pour \(\tau\), et pour \(\tau'\), est la même (ce qui implique déjà \(\tau|\mathcal{U} = \tau'|\mathcal{U}\)). Cela donne l'adhérence […] […] d'une partie quelconque \(A\), comme \[ \overline{A}^{(\tau')} = \overline{A \cap \mathcal{U}}^{(\tau)} \cap \overline{(A \cap T)}^{(\tau'_0)} \] le signe entre les deux adhérences est lu \(\cap\) ; la même formule, en marge de la page 44, porte \(\cup\)