Sorite ensembliste (14.6.86)
Soient L un ens., \mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L) un ens. de parties de L. Posons
|\mathfrak{L}| = \bigcup_{A \in \mathfrak{L}} A
et pour A \in \mathfrak{L}
\partial A = \bigcup_{\substack{B \in \mathfrak{L} \\ B \subset A}} B , \qquad A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A .
sous la réunion, « B \subset A » ; l'inclusion doit s'entendre stricte, faute de quoi A^{\circ} serait vide
Voir variante « in extenso », formellement plus forte, voir GF VIII p. 37…
Proposition 1 Les conditions suivantes sont équivalentes :
1°) Pour tout x \in L, dans l'ens. \mathfrak{L}_x des l'ensemble
\mathfrak{L}_x = \{ A \in \mathfrak{L} \mid x \in A \}
admet un plus petit élément, (noté A(x)).
2°) On a les deux conditions
\alpha) \forall A, B \in \mathfrak{L}, on a A \cap B = \bigcup_{C \in \mathfrak{L},\ C \subset A \cap B} C
\beta) \forall x \in \mathfrak{L}, il existe un élément minimal de \mathfrak{L}_x i.e. un A \in \mathfrak{L} tel que x \in A^{\circ} — i.e. \bigcup_{A \in \mathfrak{L}} A^{\circ} = |\mathfrak{L}|.
« \forall x \in \mathfrak{L} » est sur la page ; on attend x \in |\mathfrak{L}|
3°) On a les deux trois conditions suivantes (où \mathfrak{L}' on a posé
\mathfrak{L}' = \{ A \in \mathfrak{L} \mid A^{\circ} \neq \emptyset \} )
\gamma) La famille \{A^{\circ}\}_{A \in \mathfrak{L}'} forme une partition de |\mathfrak{L}|, i.e. \forall x \in |\mathfrak{L}|, \exists il existe un unique A \in \mathfrak{L}' tel que x \in A^{\circ}, i.e. \bigcup_{A \in \mathfrak{L}'} A^{\circ} = |\mathfrak{L}| et (A, B \in \mathfrak{L}',\ A^{\circ} \cap B^{\circ} \neq \emptyset) \Rightarrow (A = B)
\delta) Tout \forall A \in \mathfrak{L}, A est saturé dans |\mathfrak{L}| pour la relation d'équivalence précédente.
\eta) Si A, B \in \mathfrak{L}, A^{\circ} \subset B et A^{\circ} \neq \emptyset (i.e. A \in \mathfrak{L}') \Rightarrow A \subset B
NB On peut remplacer \delta, \eta par (\delta') \forall A \in \mathfrak{L}, on a A = \bigcup_{B \in \mathfrak{L},\ B \subset A} B^{\circ}
Dém
1^{\circ} \Rightarrow 2^{\circ} Supposons 1°, prouvons \alpha) et \beta)
\alpha) Soit x \in A \cap B, donc A(x) \subset A, A(x) \subset B, donc x \in C \subset A \cap B d'où A \cap B = \bigcup_{C \in \mathfrak{L},\ C \subset A, B} C
\beta) trivial
2^{\circ}) \Rightarrow 3^{\circ}) Prouvons \gamma), \delta), \eta),
\gamma) On sait \bigcup_{A \in \mathfrak{L}'} A^{\circ} = \bigcup_{A \in \mathfrak{L}} A^{\circ} = |\mathfrak{L}| par \beta), prouvons que A, B \in \mathfrak{L}, A^{\circ} \cap B^{\circ} \neq \emptyset \Rightarrow A = B. Soit x \in A^{\circ} \cap B^{\circ}. Prouvons A = B il suffit de prouver que x \in A^{\circ} \Rightarrow A plus petit i.e. A minimal dans \mathfrak{L}_x, implique que A est un plus petit élément de \mathfrak{L}_x. Soit B \in \mathfrak{L}_xécrit en surcharge, donc x \in \struck{B^{\circ}} \Rightarrow x \in A^{\circ} \cap B \subset A \cap B = \bigcup_{C \in \mathfrak{L},\ C \subset A, B} C, comme x \in C, que C \subset A, minimalité de A \Rightarrow C = A, comme C \subset B, ainsi A \subset B, OK.
\delta) Soit A \in \mathfrak{L}, x \in A, prouvons que considérons A(x), i.e. B \in il faut, si B l'unique B \in \mathfrak{L}' tel que x \in B^{\circ}, prouver que B^{\circ} \subset A, or on vient de voir que B est i.e. x \in B^{\circ} \Rightarrow B est plus petit élément dans \mathfrak{L}_x, donc B B \subset A, donc B^{\circ} \subset A, qed.
\eta) A été vu en cours de route : si x \in A^{\circ}, x \in B, alors A \subset B.
3^{\circ} \Rightarrow 1^{\circ}. On suppose \gamma, et \delta, prouvons 1°). Soit x \in |\mathfrak{L}|, par \gamma) x appartient à un unique A^{\circ} (A \in \mathfrak{L}'), prouvons que A est plus petit élt de \mathfrak{L}_x. Soit B \in \mathfrak{L} tel que x \in B, il faut prouver A \subset B. Comme Par \delta B est saturé donc x \in B, x \in A^{\circ} \Rightarrow A^{\circ} \subset B. Il suffit donc de prouver que A^{\circ} Par \eta, on a A \subset B.
Remarques Si dans 1°) 2°) La condition \beta) de 2° est automatique si \mathfrak{L} finie, plus généralement si \mathfrak{L} est « artinienne » pour \subset, i.e. s'il n'existe pas de suite str. décroissante illimitée de \mathfrak{L}
A_1 \supset A_2 \supset \cdots
Si par contre \mathfrak{L} est réduite à
toute la remarque 2°) qui suit, avec son exemple et ses croquis, est annulée par plusieurs longs traits obliques et verticaux ; on transcrit ce qui se lit sous les ratures
2°) Dans 3°, il suffit de supposer la condition \eta) n'est pas conséquence de
\struck{\Bigl\{ \bigcup_{A \in \mathfrak{L}'} A^{\circ} = |\mathfrak{L}| , \quad \forall A \in \mathfrak{L}, \text{ on a } A = \bigcup_{B \in \mathfrak{L} \text{ tq. } B^{\circ} \subset A} B^{\circ}}
, comme on voit dans l'exemple suivant : \mathfrak{L} = \{A, B, C, D\}, L = \{x, y, z, t\}
croquis : les points x, y, z, t ; une courbe marquée A entoure x et z, une accolade marquée C réunit z et y, z seul est marqué D
et B = \{x, y, z, t\} ; A^{\circ} = \{x\}, C^{\circ} = \{y\}, D^{\circ} = \{z\}, B^{\circ} = \{t\} ; \mathfrak{L} = \{A, B, C, D\}, A \cap C = D, \subset B ; donc D^{\circ} = D, A^{\circ} = A \smallsetminus D, C^{\circ} = C \smallsetminus D, B^{\circ} = B \smallsetminus (A \cup C). On a A^{\circ} \subset B mais non que A \subset B. les X^{\circ} (X \in \mathfrak{L}) sont non vides.
après « donc », un premier « A^{\circ} = A \smallsetminus D » est barré avant d'être récrit plus loin ; à droite, un petit schéma d'inclusions : D contenu dans A et dans C, un B raturé au-dessous
Exemple idiot — mais voir contre-exemple correct GF VIII pp. 44, 45 [ infini]
[Idem si A \in \mathfrak{L} \Rightarrow A \neq \emptyset ??]
Définition On dit que \mathfrak{L} est préadmissible, si elle satisfait les conditions équivalentes 1°, 2°, 3°. On dit qu'elle est admissible si de plus
pour \forall A \in \mathfrak{L}, on a A^{\circ} \neq \emptyset. (Donc l'ens. d'indices de la partition de 3°) \gamma est \mathfrak{L} lui-même)
Proposition 2 Soient \mathfrak{L}, \Psi deux familles préadmissibles
Se donner dans L une famille admissible \mathfrak{L} de parties, revient au même que de se donner
a) Un ens. ordonné I (une copie de l'ensemble \mathfrak{L})
b) Une partie S de L (S = |\mathfrak{L}|)
c) Une application surjective \varphi : S \to I (x \mapsto A(x))
Se donner de plus précision S \to I [NB ] une famille préadmissible, c'est se donner un système a), b), c) comme dessus (de parties \Psi de parties fermées de I (pour aux éléments de \mathfrak{L} \smallsetminus \mathfrak{L}')
longue note oblique dans la marge gauche, surchargée d'insertions interlinéaires en partie illisibles
Prenons sur I la top. associée à l'ordre (i.e. les fermés sont les réunions quelconques d'ens. I_{\leq i}, les ouverts les réunions quelc. d'ens. I_{\geq i}) — donc J \subset I est fermé ssi (i \in J, j \leq i \Rightarrow j \in J)) et sur S la top. image inverse (qui est aussi celle définie par la préordre induit de l'ordre de I via \varphi), les on récupère \mathfrak{L} comme
\mathfrak{L} = \bigl\{ \overline{\varphi^{-1}(i)} = \varphi^{-1}(\overline{\{i\}} = I_{\leq i}) \bigr\}_{i \in I}
(vérification facile). Les parties fermées de S sont les réunions quelconques des « strates fermées » i.e. d'éléments de \mathfrak{L}, elles correspondent bijectivement biunivoquement par image inv. par \varphi aux parties fermées J de I (ou de \mathfrak{L}), les parties ouvertes
A_J = \bigcup_{i \in J} A_i = \bigcup_{A \in J} A = \underbrace{\coprod_{i \in J} A_i^{\circ}}_{\text{réunion disjointe de parties non vides}}
sous le deuxième membre : « si on identifie I = \mathfrak{L}, donc J \subset \mathfrak{L} »
NB Si on regarde les De même, les parties ouvertes sont d'ailleurs de
la forme
(1) \qquad A_J = \bigcup_{i \in J} A_i^{\circ} = \varphi^{-1}(J)
où J est une partie ouverte de I (ou de \mathfrak{L} \simeq I) (Cette fois-ci, cette fois dans \bigcup_{i \in J} il n'est pas question de remplacer A_i^{\circ} par A_i !). Les parties loc. fermées sont de même les
A_J = \varphi^{-1}(J) = \bigcup_{i \in J} A_i^{\circ}
où cette fois J est une partie loc. fermée de I, i.e. telles que
(*) \qquad i \leq j \leq k, \quad i, k \in J \Longrightarrow j \in J
(les I_{\geq i}, i \in J, sont des ouverts de I recouvrant J, et pour chacun dans de ces ouverts, J \cap I_{\geq i} est fermé dans I_{\geq i}, à cause de (*), donc J est bien loc. fermé d'après (*), l'inv. étant encore plus évident…)
NB On peut aussi dire, si \mathfrak{L} finie, que les A^{\circ} (A \in \mathfrak{L}) sont les \mathfrak{L}-modérées ou \mathfrak{L}-constructibles de \mathfrak{L}.
Sous-familles () admissibles d'un ens. admissible \mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L) : par définition, c'est une \Psi \subset \mathfrak{L} qui est fermée dans \mathfrak{L}. Alors pour A \in \Psi, La top. de \Psi est induite En fait, avec les notations précédentes, on a
|\Psi| = A_{\Psi}
Donc, il est évident que pour Soit x \in |\Psi|, donc \exists A \in \Psi tel que x \in A, x \in |\Psi| \Longrightarrow et donc x \in A(x) \subset A (puisque A(x) est le plus petit des éléments de \mathfrak{L} qui \ni x) donc A(x) \in \Psi (\Psi étant fermé). Donc A(x) est aussi le plus petit élément de \Psi qui contient x. Ainsi, \Psi est préadmissible, et de plus il est évident qu'il est admissible (les A^{\circ(\Psi)} \neq \emptyset, d'après A^{\circ(\Psi)} = A^{\circ \mathfrak{L}}).
les segments de ce raisonnement sont écrits en surcharge les uns des autres ; l'ordre donné ici est celui qu'impose l'argument
Prop. Soit \mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L) un ens. de parties admissible, et soit \Psi \subset \mathfrak{P}(L). Conditions équivalentes :
a) \Psi \subset \mathfrak{L}, et \Psi est une partie fermée de \mathfrak{L} |\Psi| est saturé dans |\mathfrak{L}| pour R_{\mathfrak{L}}
cette dernière précision est écrite au-dessus de la ligne, soulignée d'un trait courbe
b) \Psi \subset \mathfrak{L}, \Psi est admissible, et la relation d'équivalence R_{\Psi} dans |\Psi| \subset |\mathfrak{L}| définie par \Psi est celle induite par R_{\mathfrak{L}}
On vient de voir que a) \Rightarrow b), prouvons l'inverse, supposons b) prouvons a) i.e. soient
A \in \Psi, \quad B \in \mathfrak{L}, \quad B \subset A \quad \text{prouvons } B \in \Psi
Considérons B^{\circ}, on a B^{\circ} \neq \emptyset (\mathfrak{L} adm.) et comme R_{\Psi} = R_{\mathfrak{L}} \bigm| |\Psi| |\Psi| saturé, on a B^{\circ} = C^{\circ} pour C \in \Psi convenable, puis cela implique B = C, donc B \in \Psi, qed.
On dit que \Psi est une sous-famille admissible. (aussi comme ens. ordonnés)
Scholie Elles correspondent ( aux) parties fermées de \mathfrak{L}, ou de |\mathfrak{L}|. Elles sont stables par \bigcup et \bigcap quelc. dans |\mathfrak{L}|.
Proposition Soient \mathfrak{L}, \Psi \subset \mathfrak{P}(L) deux ens. de parties admissibles. Conditions équiv. :
a) \mathfrak{L} \cup \Psi est admissible, et \mathfrak{L}, \Psi en sont deux sous-ens. admissibles (i.e. fermés)
a) a') \mathfrak{L} et \Psi sont sous-familles adm. deux sous-familles adm. d'une famille adm. \Sigma
a) et a') sont écrits l'un dans l'autre, avec des insertions interlinéaires ; la répartition ici proposée est incertaine
b) \mathfrak{L} \cap \Psi est \mathfrak{L}-fermé dans \mathfrak{L} et \Psi-fermé dans \Psi, et
|\mathfrak{L}| \cap |\Psi| = |\mathfrak{L} \cap \Psi|
c) |\mathfrak{L}| \cap |\Psi| est \mathfrak{L}-fermé dans |\mathfrak{L}| et \Psi-fermé dans \Psi, et toute A \in \mathfrak{L} telle pour A \subset |\mathfrak{L}| \cap |\Psi|, A \in \mathfrak{L} donc \mathfrak{L} ssi A \in \Psi, (i.e. ssi A \in \mathfrak{L} \cap \Psi).
d) \forall A \in \mathfrak{L}, B \in \Psi, on ait A \cap \mathfrak{L}_{\subset A} et \Psi_{\subset}
Condition équiv. « (i.e. » genre d), « str. str. »
note oblique dans la marge gauche, en regard de la condition d) barrée
a') \Longleftrightarrow a) évident par les sorites précédents, de même que a) implique b) et c). Reste à prouver b \Rightarrow c, c \Rightarrow a.
Prouvons d'abord b \Rightarrow c. Comme |\mathfrak{L}| \cap |\Psi| = |\mathfrak{L} \cap \Psi| par b), et \mathfrak{L} \cap \Psi fermé dans \mathfrak{L} et
fermé dans \Psi, il s'ensuit que |\mathfrak{L} \cap \Psi| est fermé dans |\mathfrak{L}|, et fermé dans |\Psi|. Soit A \in \mathfrak{L}, A \subset |\mathfrak{L}| \cap |\Psi| = |\mathfrak{L} \cap \Psi|, on a donc par le sorite préliminaire (comme \mathfrak{L} \cap \Psi fermé dans \Psi) que A \subset \bigcup_{B \in \mathfrak{L} \cap \Psi} B, cela implique (comme les B dans \mathfrak{L}) que A \exists \exists B \in \mathfrak{L} \cap \Psi tel que A \subset B. Appliquant le raisonnement B (qui est \in \mathfrak{L} \cap \Psi donc \mathfrak{L} \cap \Psi est \subset |\mathfrak{L} \cap \Psi| = |\mathfrak{L}| \cap |\Psi|) Mais comme \Psi fermé dans \Psi, on en conclut A \in \Psi, qed.
c \Rightarrow a On suppose c), prouvons a).
1°) \mathfrak{L} \cup \Psi est admissible. Soit x \in |\mathfrak{L} \cup \Psi| = |\mathfrak{L}| \cup |\Psi|, soit A(x) le plus si x \in |\mathfrak{L}| \cap |\Psi|, soit A(x) le plus petit élément de \mathfrak{L} tel que x \in A(x), et itou B(x) de \Psi tel que x \in B(x). Comme T = |\mathfrak{L}| \cap |\Psi| est \mathfrak{L}-fermé dans |\mathfrak{L}|, on a A(x) \subset T, et de même B(x) \subset T. On doit donc avoir (par c) A(x) \in \mathfrak{L} \cap \Psi, et donc par définition soit C A(x) \in \Psi i.e. B(x) \subset A(x), et = A(x) \subset B(x)), donc B(x) = A(x). donc Cela montre que C est le plus petit élément de \mathfrak{L} \cup \Psi qui contient x aussi !. Il reste à prouver que si A \in \mathfrak{L} \cup \Psi, alors
\bigcup_{\substack{B \in \mathfrak{L} \cup \Psi \\ B \subsetneq A}} B \neq A .
Mais Ainsi Il suffit pour A \in \mathfrak{L} A \in \mathfrak{L}, B \subset A prouvons que
la fin de la page est chargée de ratures et d'insertions interlinéaires qui ne sont lues qu'en partie ; sous la réunion, l'inclusion est stricte
les B en question sont dans \mathfrak{L}, i.e. que \mathfrak{L} est fermé dans \mathfrak{L} \cup \Psi (itou pour le cas A \in \Psi, avec \Psi fermé de \mathfrak{L} \cup \Psi). Donc il reste
2°) \mathfrak{L} fermé dans \mathfrak{L} \cup \Psi : A \in \mathfrak{L}, B \in \Psi,
B \subset A \Longrightarrow B \in \mathfrak{L} .
Mais on a
Définition On dit alors que \mathfrak{L} et \Psi compatibles.
Corollaire ! Quand ces conditions sont satisfaites, |\mathfrak{L}| \cap |\Psi| est une partie de |\mathfrak{L}| qui est \mathfrak{L}-saturée, et une partie de |\Psi| qui est \Psi-saturée, et les deux relations d'équiv. induites par |\mathfrak{L}| et par |\Psi| sont les mêmes.
Mais attention, cette dernière condition ne suffit nullement à impliquer que \mathfrak{L} et \Psi compatibles. Exemple : \mathfrak{L} et la famille \mathfrak{L}^{\circ} des A^{\circ} ont même support, et définissent la même relation d'équiv. sur |\mathfrak{L}|, mais elles ne sont compatibles que si elles sont égales (car i.e. \mathfrak{L} formé d'ens. deux à deux disjoints. En effet (car la relation d'ordre sur \mathfrak{L} et sur \mathfrak{L}^{\circ} c'est la même que si
Corollaire 2 Supposons \mathfrak{L} et \Psi compatibles. Alors
|\mathfrak{L}| \subset |\Psi| \ \text{ssi}\ \mathfrak{L} \subset \Psi , \qquad |\mathfrak{L}| = |\Psi| \ \text{ssi}\ \mathfrak{L} = \Psi .
En effet, c'est connu pour les sous-familles admissibles d'une famille (ici \mathfrak{L} \cup \Psi) — cf. Scholie p. 7.
Cor 3 Si \mathfrak{L}, \Psi comp., alors pour \mathfrak{L}' \leq \mathfrak{L}, \Psi' \leq \Psi (parties fermées) \mathfrak{L}' et \Psi' sont admissibles, et \mathfrak{L}' \cup \Psi' est fermé (ss-famille adm.) de \mathfrak{L} \cup \Psi.
Soit \mathfrak{F} l'ens. de toutes les parties admissibles \mathfrak{L} de \mathfrak{P}(L). On ordonne \mathfrak{F} par
\mathfrak{L} \leq \Psi \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \mathfrak{L} \text{ est une sous-famille admissible de } \Psi .
On a ici l'algèbre de \mathfrak{F} « figures ensemblistes »
note oblique dans la marge gauche, en regard de la définition de \mathfrak{F} ; « figures » est souligné
Alors on a
C 1 \mathfrak{F} admet des Sup majorés, en effet si \mathfrak{L}_i \in \mathfrak{F}, \mathfrak{L}_i \leq \Psi des ss-ens. fermés d'un = \Psi, donc \bigcup_i \mathfrak{L}_i est un sous-ens. fermé de \Psi, qui est le sup.
la suite de la page est barrée de plusieurs longs traits obliques, et chargée d'insertions interlinéaires qui ne sont lues qu'en partie
C'est ( parties fermées) d'un \Psi ; pour ceci, il faut prouver que \mathfrak{F} des sup finis, on montre que (de l'ens. vide, sup vide !) \emptyset \subset \mathfrak{P}(L) est admissible (! c'est la seule famille admissible \mathfrak{L} telle que |\mathfrak{L}| = \emptyset) — la seule famille admissible \in \mathfrak{F} ; et que si \mathfrak{L}, \Psi, \Sigma \in \mathfrak{F} sont tels que (\mathfrak{L} et \Psi sont admissibles, donc \Sigma qui) (\mathfrak{L}, \Psi) compatibles, alors \Sigma est compatible avec \mathfrak{L} \cup \Psi ssi il l'est avec \mathfrak{L} et avec \Psi.
La sup. relative pour la relation \leq
compatibles
Les éléments irréductibles de \mathfrak{F} sont les \mathfrak{L} \in \mathfrak{F} qui ont un un plus grand élément : (un ens. fermé est irréductible (au sens top.) ssi il a un plus grand élément.)
Appelons-les « multiplicités ensemblistes »
Dém
C 2 Tout \mathfrak{L} \in \mathfrak{F} est le sup des objets irréductibles de \mathfrak{F}, à savoir des
\mathfrak{L}_X = \{ Y \in \mathfrak{L} \mid Y \leq X \} , \quad \text{pour } X \in \mathfrak{L}
C 3 Soient F, G \in \mathfrak{F}. Pour que F et G soient compatibles (i.e. F, G majorés) il f. et s. que X \in F, \forall X \leq F et Y \leq G,
En d'autres termes, que pour X \in F, Y \in G, F_X et G_Y soient compatibles :
Remarque à prop. p. 7 : Cond. équiv. à a) b) c)
d) Compos \forall A \in \mathfrak{L}, B \in \Psi, A \cap B est fermé dans A (pour \mathfrak{L} i.e. pour \mathfrak{L}_A) et dans B (pour \Psi i.e. pour \Psi_B), et si A \cap C \in \mathfrak{L} ou C est une partie de A \cap B, alors C \in \mathfrak{L} (\Leftrightarrow C \in \mathfrak{L}_A) ssi C \in \Psi (\Leftrightarrow C \in \Psi_B) i.e. \mathfrak{L}_{A \cap B} = \Psi_{A \cap B}
et que
Composantes connexes de \mathcal{M} = ens. des multiplicités. Les éléments minimaux de \mathcal{M} sont ceux qui sont réduits à un seul ensemble A, (qui peut être A \neq \emptyset (NB \mathfrak{L} = \{\emptyset\} n'est pas une famille admissible !) Si \mathfrak{L} est admissible, \emptyset \notin \mathfrak{L}, puisque A \in \mathfrak{L} \Rightarrow A^{\circ} \neq \emptyset a fortiori A \neq \emptyset)
\mathfrak{L} = \{A\}
(A \cap B \in \mathfrak{L} \Rightarrow \neq \emptyset !)
Si \mathfrak{X} \in \mathcal{M}, \mathfrak{X} \subset \mathfrak{P}(L) et si \mathfrak{X} admet un d'autre part, \mathfrak{X} et \{A\} dans la même comp. connexe. D'autre part,
même comp. connexe que les \{\{x\}\}, comme on voit à l'aide de la multiplicité
\bigl\{ \{\{x\}\}, \{L \smallsetminus \{x\}\} \bigr\}
Si L de card. 1, = \emptyset, \mathfrak{P}(L) est de cardinal alors \mathcal{M} = \emptyset, et \mathcal{M} est connexe. Si \operatorname{Card} L = 1, \mathfrak{P}(L) = \{\emptyset, L\}, et les \mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L) qui sont dans telles que ne contiennent pas \emptyset \emptyset \notin \mathfrak{L} sont \emptyset et \{L\}. Donc
\mathcal{M} = \{\{L\}\}
a un seul élément, et est connexe.
Donc
Prop. Si \operatorname{card} L \leq 1, \mathcal{M} est connexe (il est vide si L = \emptyset, il est de card 1 donc connexe si \operatorname{card} L = 1). Si \operatorname{card} L \geq 1, alors les X \in \mathcal{M} qui ont un élément minimal sont dans une même comp. connexe. Donc si l'on se borne aux familles figures ou multiplicités finies (ce qui suffira, j'imagine) \mathcal{M} est connexe. Donc l'axiome C 4 est ici de relatif à la décomposition de \mathcal{M} en comp. connexes (que X, Y appartenant à des composantes différentes sont compatibles) est automatique.
« \operatorname{card} L \geq 1 » est sur la page ; le cas traité est \operatorname{card} L > 1
Si on ne se borne aux familles finies, on a encore connexité. En effet, si X \in \mathcal{M} est \neq \{L\}, soit A \in X tel que A \neq L. Alors X et X_A dans même comp. connexe et
|X_A| = A
donc si
NB Construction qui a servi ici plusieurs fois : Soient F \in \mathfrak{F}, G \in \mathfrak{F}écrits en surcharge sur d'autres lettres, |F| \cap |G| = \emptyset, posons
F \boxtimes G = \bigl\{ A \cup B \bigm| \underbrace{A \in F, B \in G}_{A \text{ et } B \text{ pouvant être } \emptyset} \bigr\} ,
alors
(A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cup B^{\circ} , \qquad \partial(A \cup B) = (\partial A \cup B) \cup (A \cup \partial B)
— si F et G sont des multiplicités i.e. ont un ont plus grand élément A_0, B_0 alors A_0 \cup B_0 est plus grand élément de F \boxtimes G, qui est une multiplicité. Cette construction F \boxtimes G contient F \amalg G comme sous-figure. Donc, si F et G sont des multiplicités « disjointes » elles sont dans la même comp. connexe car elles sont majorées par F \boxtimes G. Donc en tous cas, \mathcal{M} connexe (et de même si on se limite aux familles figures ensemblistes finies).
Supports et complément. F et G dans \mathfrak{F} sont disjoints (au sens de \leq) ssi
|F| \cap |G| = \emptyset .
Donc les F disjoints d'une famille de figures G_i, sont celles qui sont sont telles que |F| \subset L', où
L' = L \smallsetminus \bigcup_i |G_i| .
Donc, moyennant que les supports correspondent aux parties quelconques L' de L, la notion de complémentarité est la notion ensembliste.
Les \mathfrak{F}(L') L'ens. des figures de support \subset L' est de L' s'identifie aux figures de L', i.e. on trouve les
\mathfrak{F}(L') \subset \mathfrak{F}(L)
comme sous-ens. saturés (au sens de \leq et de la disjonction…).
On récupère l'ens. \mathfrak{P}(L) des fermés de L_{\leq}, ou de (\mathcal{M}_{\leq}, \text{compatibilité}), et on retrouve la relation d'ordre sur \mathfrak{P}(L) en termes de la relation d'ordre sur les supports, et itou pour les disjonctions. Mais cela ne redonne NB \mathfrak{F} est formé des limites (ou parties fermées de \mathcal{M})
Mais \widehat{L} le complété ou divers types de L, mais L apparaissant comme l'ens. de points (L se récupère par \widehat{L}). Leurs ingrédients des points isolés .
Les hypothèses en termes d'un espace top. X, et remplacant familles admissibles fermées de fois ouvertes et fermées, fermées d'un ; la fois Si on se permet que les parties , prend les efigures infinies dans en constructions quelconques .
cette partie de la page, surchargée et tachée d'encre, n'est lue que par fragments ; l'ordre des phrases est incertain
au lieu d'un espace des figures
Les
15 juin
On peut remplacer \mathfrak{F} par divers sous-ensembles ordonnés, stables par \leq et par Sup passage à une sous-figure (i.e. fermé dans \mathfrak{F})
Exemples : Si L est un espace (éventuellement ),
NB Signalons, i.e. A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A en propriétés non vide connexe, de F \mathfrak{L} connexe, ou plus gén. i-connexe, de A pour les A () connexe vide
0 \leq i \leq +\infty ,
\mathfrak{D} idem. Où on peut demander aux |\partial A| d'être des sphères topologiques, etc.
Mais il n'y aurait pas d'intérêt d'imposer à la fois et Aussi, la condition de densité A = \overline{A^{\circ}} i.e. A \subset B \Rightarrow A^{\circ} \subset \overline{B^{\circ}}
note oblique dans la marge gauche ; sa première partie est barrée de deux traits parallèles
Si L est muni d'une modérée, on se bornera aux \mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L) pour lesquels A \in \mathfrak{L} \Rightarrow A partie modérée de L.
On peut envisager aussi des conditions de nature plus globale sur \mathfrak{L}, avec toujours
L est muni d'une topologie, comme celle d'être localement fini. Le sous-ens. ordonné \mathfrak{F}' Figure finie : Si les structures d'une Une figure est de t. finie
Autre cas : Supposons L muni d'une structure d'ordre — il définit donc une réalisation (fermée) X_x (x \in L) « cellulaire » dans un espace topologique, par des « cellules » dans un espace top. X triangulable compact modéré. Alors
Les X_x forment une famille admissible de parties de X, i.e. une figure
note oblique dans la marge gauche, reliée par une flèche au texte
On se bornera alors aux parties A de L, de façon que \ill{}
A \longmapsto X_A
soit une application bijective de l'ens. des parties considérées de L (les p. fermées) avec un ens. par la relation par les (X_x^{\circ})_{x \in L} (en fait, toutes les parties
en ont si L est fini). Donc on se bornera aux \mathfrak{L} \in \mathfrak{F} telles que les A \in \mathfrak{L} soient fermés dans L, i.e. telles que
\mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}_{\text{fermés}}(L)
Les éléments de \mathfrak{F}' ainsi obtenus peuvent s'interpréter en termes de X, comme des familles admissibles (maximales) de familles de parties fermées de X, stables par la relation d'équiv. cellulaire définie définie par les X_x^{\circ}, i.e. dont chacune soit réunion de strates fermées de X. sont sont de modérées de X comme une sorte de choix modèle de leurs « subdivisions » (ou plutôt, induit sur leurs supports dans X)
Soient F et G deux figures ensemblistes dans L. On veut définir quand F est un raffinement, et quand c'est une subdivision de G.
Proposition Conditions équivalentes
a) [\forall A \in F, désignons par G^{A} l'ens. des B \in G tels que A \subset B, G^{A} a un plus petit élément \varphi(A). (On trouve donc une application \varphi : F \to G, qui est bien sûr croissante.)] De plus
et exiger |F| \subset |G|
pour tout A \in F, B \in G, A \cap F est
b) Pour tout A \in F, \exists B \in G telle que A^{\circ} \subset B^{\circ} (soit \varphi(A), B étant évidemment unique), l'application \varphi : F \to G ainsi obtenue est croissante (A' \subset A, et A \subset A', A^{\circ} \subset B^{\circ}) A'^{\circ} et A' \subset A i.e. A, A' \in F, B, B' \in G,
A^{\circ} \subset B^{\circ} , \quad A'^{\circ} \subset B'^{\circ} , \quad A' \subset A \Longrightarrow B' \subset B .
NB Le « de plus » implique dans la première condition, si on ajoute que |F| \subset |G|, et cela équivaut à la continuité |F| \to |G| (où )
b') condition A^{\circ}
notes obliques dans la marge gauche, en haut de la page
a) \Rightarrow b) Soit Considérons B' \cap A, c'est une partie de A réunion d'objets de F, i.e. donc \exists A' \in F, telle que x \in A' \subset B' \cap A. Comme x \in A^{\circ} et A' \in F_A, on a A' = A et comme A' = A \subset B' \cap A, on a A \subset B'. D'après la condition minimale de B, on a donc B' = B qed. D'autre part, on a dans vu que l'application \varphi est croissante. Donc établit b).
b) \Rightarrow a). Supposons b, prouvons a). Soit A \in F, soit B \in G tel que A^{\circ} \subset B^{\circ}, prouvons que B est plus petit élément dans G^{A}. Donc A \subset B prouvons que si B' \in G tel que A \subset B', comme A^{\circ} \subset B^{\circ} \subset B, Soit On a
A = \bigcup_{\substack{A' \in F \\ A' \subset A}} A'^{\circ}
Lemme (cf. p. 7) A \in F, B \in G, A^{\circ} \subset B A \subset B
note oblique dans la marge inférieure gauche, en partie raturée ; la page s'arrête au milieu de la démonstration