Cote n° 156-5 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Chapitre] V. Algèbre des figures : notes manuscrites (14/06/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

1

Algèbre des figures

titre de sa main, écrit en oblique dans l'angle supérieur gauche de la page 1 et encadré ; dans l'angle supérieur droit, dans un coin tracé à la plume, « GF V »

Sorite ensembliste (14.6.86)

Soient \(L\) un ens., \(\mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L)\) un ens. de parties de \(L\). Posons \[ |\mathfrak{L}| = \bigcup_{A \in \mathfrak{L}} A \] et pour \(A \in \mathfrak{L}\) \[ \partial A = \bigcup_{\substack{B \in \mathfrak{L} \\ B \subset A}} B , \qquad A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A . \] sous la réunion, « \(B \subset A\) » ; l'inclusion doit s'entendre stricte, faute de quoi \(A^{\circ}\) serait vide

Voir variante « in extenso », formellement plus forte, voir GF VIII p. 37…

Proposition 1 Les conditions suivantes sont équivalentes :

1°) Pour tout \(x \in L\), dans l'ens. \(\mathfrak{L}_x\) des l'ensemble \[ \mathfrak{L}_x = \{ A \in \mathfrak{L} \mid x \in A \} \] admet un plus petit élément, (noté \(A(x)\)).

2°) On a les deux conditions

\(\alpha\)) \(\forall A, B \in \mathfrak{L}\), on a \(A \cap B = \bigcup_{C \in \mathfrak{L},\ C \subset A \cap B} C\)

\(\beta\)) \(\forall x \in \mathfrak{L}\), il existe un élément minimal de \(\mathfrak{L}_x\) i.e. un \(A \in \mathfrak{L}\) tel que \(x \in A^{\circ}\) — i.e. \(\bigcup_{A \in \mathfrak{L}} A^{\circ} = |\mathfrak{L}|\). « \(\forall x \in \mathfrak{L}\) » est sur la page ; on attend \(x \in |\mathfrak{L}|\)

3°) On a les deux trois conditions suivantes (où \(\mathfrak{L}'\) on a posé \[ \mathfrak{L}' = \{ A \in \mathfrak{L} \mid A^{\circ} \neq \emptyset \} ) \]

\(\gamma\)) La famille \(\{A^{\circ}\}_{A \in \mathfrak{L}'}\) forme une partition de \(|\mathfrak{L}|\), i.e. \(\forall x \in |\mathfrak{L}|\), \(\exists\) il existe un unique \(A \in \mathfrak{L}'\) tel que \(x \in A^{\circ}\), i.e. \(\bigcup_{A \in \mathfrak{L}'} A^{\circ} = |\mathfrak{L}|\) et \((A, B \in \mathfrak{L}',\ A^{\circ} \cap B^{\circ} \neq \emptyset) \Rightarrow (A = B)\)

\(\delta\)) Tout \(\forall A \in \mathfrak{L}\), \(A\) est saturé dans \(|\mathfrak{L}|\) pour la relation d'équivalence précédente.

\(\eta\)) Si \(A, B \in \mathfrak{L}\), \(A^{\circ} \subset B\) et \(A^{\circ} \neq \emptyset\) (i.e. \(A \in \mathfrak{L}'\)) \(\Rightarrow A \subset B\)

NB On peut remplacer \(\delta\), \(\eta\) par (\(\delta'\)) \(\forall A \in \mathfrak{L}\), on a \(A = \bigcup_{B \in \mathfrak{L},\ B \subset A} B^{\circ}\)

2Dém

\(1^{\circ} \Rightarrow 2^{\circ}\) Supposons 1°, prouvons \(\alpha\)) et \(\beta\))

\(\alpha\)) Soit \(x \in A \cap B\), donc \(A(x) \subset A\), \(A(x) \subset B\), donc \(x \in C \subset A \cap B\) d'où \(A \cap B = \bigcup_{C \in \mathfrak{L},\ C \subset A, B} C\)

\(\beta\)) trivial

\(2^{\circ}) \Rightarrow 3^{\circ})\) Prouvons \(\gamma\)), \(\delta\)), \(\eta\)),

\(\gamma\)) On sait \(\bigcup_{A \in \mathfrak{L}'} A^{\circ} = \bigcup_{A \in \mathfrak{L}} A^{\circ} = |\mathfrak{L}|\) par \(\beta\)), prouvons que \(A, B \in \mathfrak{L}\), \(A^{\circ} \cap B^{\circ} \neq \emptyset \Rightarrow A = B\). Soit \(x \in A^{\circ} \cap B^{\circ}\). Prouvons \(A = B\) il suffit de prouver que \(x \in A^{\circ}\) \(\Rightarrow\) \(A\) plus petit i.e. \(A\) minimal dans \(\mathfrak{L}_x\), implique que \(A\) est un plus petit élément de \(\mathfrak{L}_x\). Soit \(B \in \mathfrak{L}_x\)écrit en surcharge, donc \(x \in \struck{B^{\circ}} \Rightarrow x \in A^{\circ} \cap B \subset A \cap B = \bigcup_{C \in \mathfrak{L},\ C \subset A, B} C\), comme \(x \in C\), que \(C \subset A\), minimalité de \(A\) \(\Rightarrow\) \(C = A\), comme \(C \subset B\), ainsi \(A \subset B\), OK.

\(\delta\)) Soit \(A \in \mathfrak{L}\), \(x \in A\), prouvons que […] considérons \(A(x)\), i.e. \(B \in\) il faut, si \(B\) l'unique \(B \in \mathfrak{L}'\) tel que \(x \in B^{\circ}\), prouver que \(B^{\circ} \subset A\), or on vient de voir que \(B\) est i.e. \(x \in B^{\circ} \Rightarrow B\) est plus petit élément dans \(\mathfrak{L}_x\), donc \(B\) \(B \subset A\), donc \(B^{\circ} \subset A\), qed.

\(\eta\)) A été vu en cours de route : si \(x \in A^{\circ}\), \(x \in B\), alors \(A \subset B\).

\(3^{\circ} \Rightarrow 1^{\circ}\). On suppose \(\gamma\), et \(\delta\), prouvons 1°). Soit \(x \in |\mathfrak{L}|\), par \(\gamma\)) \(x\) appartient à un unique \(A^{\circ}\) (\(A \in \mathfrak{L}'\)), prouvons que \(A\) est plus petit élt de \(\mathfrak{L}_x\). Soit \(B \in \mathfrak{L}\) tel que \(x \in B\), il faut prouver \(A \subset B\). Comme Par \(\delta\) \(B\) est saturé donc \(x \in B\), \(x \in A^{\circ} \Rightarrow A^{\circ} \subset B\). Il suffit donc de prouver que \(A^{\circ}\) Par \(\eta\), on a \(A \subset B\).

3Remarques Si dans 1°) 2°) La condition \(\beta\)) de 2° est automatique si \(\mathfrak{L}\) finie, plus généralement si \(\mathfrak{L}\) est « artinienne » pour \(\subset\), i.e. s'il n'existe pas de suite str. décroissante illimitée de \(\mathfrak{L}\) \[ A_1 \supset A_2 \supset \cdots \] Si par contre \(\mathfrak{L}\) est réduite à […] les termes d'une telle suite, […] alors \(\alpha\) est satisfaite mais non \(\beta\) si \(\bigcap A_i \neq \emptyset\).

toute la remarque 2°) qui suit, avec son exemple et ses croquis, est annulée par plusieurs longs traits obliques et verticaux ; on transcrit ce qui se lit sous les ratures 2°) Dans 3°, il suffit de supposer la condition \(\eta\)) n'est pas conséquence de \[ \struck{\Bigl\{ \bigcup_{A \in \mathfrak{L}'} A^{\circ} = |\mathfrak{L}| , \quad \forall A \in \mathfrak{L}, \text{ on a } A = \bigcup_{B \in \mathfrak{L} \text{ tq. } B^{\circ} \subset A} B^{\circ}} \] […], comme on voit dans l'exemple suivant : \(\mathfrak{L} = \{A, B, C, D\}\), \(L = \{x, y, z, t\}\)

croquis : les points \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) ; une courbe marquée \(A\) entoure \(x\) et \(z\), une accolade marquée \(C\) réunit \(z\) et \(y\), \(z\) seul est marqué \(D\)

et \(B = \{x, y, z, t\}\) ; \(A^{\circ} = \{x\}\), \(C^{\circ} = \{y\}\), \(D^{\circ} = \{z\}\), \(B^{\circ} = \{t\}\) ; \(\mathfrak{L} = \{A, B, C, D\}\), \(A \cap C = D\), […] \(\subset B\) ; donc \(D^{\circ} = D\), \(A^{\circ} = A \smallsetminus D\), \(C^{\circ} = C \smallsetminus D\), \(B^{\circ} = B \smallsetminus (A \cup C)\). On a \(A^{\circ} \subset B\) mais non que \(A \subset B\). […] les \(X^{\circ}\) (\(X \in \mathfrak{L}\)) sont non vides.

après « donc », un premier « \(A^{\circ} = A \smallsetminus D\) » est barré avant d'être récrit plus loin ; à droite, un petit schéma d'inclusions : \(D\) contenu dans \(A\) et dans \(C\), un \(B\) raturé au-dessous

Exemple idiot — mais voir contre-exemple correct GF VIII pp. 44, 45 [[…] infini]

[Idem si \(A \in \mathfrak{L} \Rightarrow A \neq \emptyset\) ??]

Définition On dit que \(\mathfrak{L}\) est préadmissible, si elle satisfait les conditions équivalentes 1°, 2°, 3°. On dit qu'elle est admissible si de plus

4pour \(\forall A \in \mathfrak{L}\), on a \(A^{\circ} \neq \emptyset\). (Donc l'ens. d'indices de la partition de 3°) \(\gamma\) est \(\mathfrak{L}\) lui-même)

Proposition 2 Soient \(\mathfrak{L}\), \(\Psi\) deux familles préadmissibles […] Conditions équivalentes : « Proposition 2 » et le début de l'énoncé sont barrés de traits obliques ; une insertion oblique entre les lignes n'est pas lue

Se donner dans \(L\) une famille admissible \(\mathfrak{L}\) de parties, revient au même que de se donner

a) Un ens. ordonné \(I\) (une copie de l'ensemble \(\mathfrak{L}\))

b) Une partie \(S\) de \(L\) (\(S = |\mathfrak{L}|\))

c) Une application surjective \(\varphi : S \to I\) (\(x \mapsto A(x)\))

Se donner […] de plus […] précision […] \(S \to I\) […] [NB […]] une famille préadmissible, c'est se donner un système a), b), c) comme dessus ([…] où \(I = \mathfrak{L}' = \{A \in \mathfrak{L} \mid A^{\circ} \neq \emptyset\}\)) et de plus, un ens. […] de parties \(\Psi\) de parties fermées de \(I\) (pour […] aux éléments de \(\mathfrak{L} \smallsetminus \mathfrak{L}'\)) longue note oblique dans la marge gauche, surchargée d'insertions interlinéaires en partie illisibles

Prenons sur \(I\) la top. associée à l'ordre (i.e. les fermés sont les réunions quelconques d'ens. \(I_{\leq i}\), les ouverts les réunions quelc. d'ens. \(I_{\geq i}\)) — donc \(J \subset I\) est fermé ssi (\(i \in J\), \(j \leq i \Rightarrow j \in J\))) et sur \(S\) la top. image inverse (qui est aussi celle définie par la préordre induit de l'ordre de \(I\) via \(\varphi\)), les on récupère \(\mathfrak{L}\) comme \[ \mathfrak{L} = \bigl\{ \overline{\varphi^{-1}(i)} = \varphi^{-1}(\overline{\{i\}} = I_{\leq i}) \bigr\}_{i \in I} \] (vérification facile). Les parties fermées de \(S\) sont les réunions quelconques des « strates fermées » i.e. d'éléments de \(\mathfrak{L}\), elles correspondent bijectivement biunivoquement [par image inv. par \(\varphi\)] aux parties fermées \(J\) de \(I\) (ou de \(\mathfrak{L}\)), les parties ouvertes […] \[ A_J = \bigcup_{i \in J} A_i = \bigcup_{A \in J} A = \underbrace{\coprod_{i \in J} A_i^{\circ}}_{\text{réunion disjointe de parties non vides}} \] sous le deuxième membre : « si on identifie \(I = \mathfrak{L}\), donc \(J \subset \mathfrak{L}\) »

NB Si on regarde les De même, les parties ouvertes sont d'ailleurs de

5la forme \[ (1) \qquad A_J = \bigcup_{i \in J} A_i^{\circ} = \varphi^{-1}(J) \] où \(J\) est une partie ouverte de \(I\) (ou de \(\mathfrak{L} \simeq I\)) (Cette fois-ci, cette fois dans \(\bigcup_{i \in J}\) il n'est pas question de remplacer \(A_i^{\circ}\) par \(A_i\) !). Les parties loc. fermées sont de même les \[ A_J = \varphi^{-1}(J) = \bigcup_{i \in J} A_i^{\circ} \] où cette fois \(J\) est une partie loc. fermée de \(I\), i.e. telles que \[ (*) \qquad i \leq j \leq k, \quad i, k \in J \Longrightarrow j \in J \] (les \(I_{\geq i}\), \(i \in J\), sont des ouverts de \(I\) recouvrant \(J\), et [pour chacun] dans de ces ouverts, \(J \cap I_{\geq i}\) est fermé dans \(I_{\geq i}\), à cause de \((*)\), donc \(J\) est bien loc. fermé d'après \((*)\), l'inv. étant encore plus évident…)

NB On peut aussi dire, [si \(\mathfrak{L}\) finie,] que les \(A^{\circ}\) (\(A \in \mathfrak{L}\)) sont les […] fibres de l'algèbre de Boole engendrée par les \(A \in \mathfrak{L}\) dans \(\mathfrak{P}(S)\) (\(S = |\mathfrak{L}|\)). Les ens. obtenus à partir des \(A \in \mathfrak{L}\), par réunions, intersections et complémentations dans \(S = |\mathfrak{L}|\), sont exactement ceux saturés pour la rel. d'équiv. dans \(S\) définie par les \(A^{\circ}\) i.e. celle définie par \(\varphi\). Donc ils correspondent biunivoquement aux parties quelc. de \(I\), par la formule \[ J \longmapsto A_J = \varphi^{-1}(J) = \bigcup_{i \in J} A_i^{\circ} . \] On appellera les ens. ainsi obtenus les parties \(\mathfrak{L}\)-modérées ou \(\mathfrak{L}\)-constructibles de \(\mathfrak{L}\).

6Sous-familles [([…])] admissibles d'un ens. admissible \(\mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L)\) : par définition, c'est une \(\Psi \subset \mathfrak{L}\) qui est fermée dans \(\mathfrak{L}\). Alors pour \(A \in \Psi\), […] on a \[ \partial_{\Psi} A = \partial_{\mathfrak{L}} A \quad \text{donc} \quad A^{\circ (\Psi)} = A^{\circ (\mathfrak{L})} , \] ce qui montre que \(|\Psi|\) est une partie saturée de \(|\mathfrak{L}|\), pour la rel. d'équiv. \(R_{\mathfrak{L}}\) de \(|\mathfrak{L}|\). La top. de \(\Psi\) est induite En fait, avec les notations précédentes, on a \[ |\Psi| = A_{\Psi} \] Donc, il est évident que pour […] Soit \(x \in |\Psi|\), donc \(\exists A \in \Psi\) tel que \(x \in A\), \(x \in |\Psi| \Longrightarrow\) et donc \(x \in A(x) \subset A\) (puisque \(A(x)\) est le plus petit des éléments de \(\mathfrak{L}\) qui \(\ni x\)) donc \(A(x) \in \Psi\) (\(\Psi\) étant fermé). Donc \(A(x)\) est aussi le plus petit élément de \(\Psi\) qui contient \(x\). Ainsi, \(\Psi\) est préadmissible, et de plus il est évident qu'il est admissible (les \(A^{\circ(\Psi)} \neq \emptyset\), d'après \(A^{\circ(\Psi)} = A^{\circ \mathfrak{L}}\)). les segments de ce raisonnement sont écrits en surcharge les uns des autres ; l'ordre donné ici est celui qu'impose l'argument

Prop. Soit \(\mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L)\) un ens. de parties admissible, et soit \(\Psi \subset \mathfrak{P}(L)\). Conditions équivalentes :

a) \(\Psi \subset \mathfrak{L}\), et \(\Psi\) est une partie fermée de \(\mathfrak{L}\) [\(|\Psi|\) est saturé dans \(|\mathfrak{L}|\) pour \(R_{\mathfrak{L}}\)] cette dernière précision est écrite au-dessus de la ligne, soulignée d'un trait courbe

b) \(\Psi \subset \mathfrak{L}\), \(\Psi\) est admissible, et la relation d'équivalence \(R_{\Psi}\) dans \(|\Psi| \subset |\mathfrak{L}|\) définie par \(\Psi\) est celle induite par \(R_{\mathfrak{L}}\)

7On vient de voir que a) \(\Rightarrow\) b), prouvons l'inverse, supposons b) prouvons a) i.e. soient \[ A \in \Psi, \quad B \in \mathfrak{L}, \quad B \subset A \quad \text{prouvons } B \in \Psi \] Considérons \(B^{\circ}\), on a \(B^{\circ} \neq \emptyset\) (\(\mathfrak{L}\) adm.) et comme \(R_{\Psi} = R_{\mathfrak{L}} \bigm| |\Psi|\) [\(|\Psi|\) saturé], on a \(B^{\circ} = C^{\circ}\) pour \(C \in \Psi\) convenable, puis cela implique \(B = C\), donc \(B \in \Psi\), qed.

On dit que \(\Psi\) est une sous-famille admissible. [(aussi comme ens. ordonnés)]

Scholie Elles correspondent ([…] aux) parties fermées de \(\mathfrak{L}\), ou de \(|\mathfrak{L}|\). Elles sont stables par \(\bigcup\) et \(\bigcap\) quelc. dans \(|\mathfrak{L}|\).

Proposition Soient \(\mathfrak{L}, \Psi \subset \mathfrak{P}(L)\) deux ens. de parties admissibles. Conditions équiv. :

a) \(\mathfrak{L} \cup \Psi\) est admissible, et \(\mathfrak{L}\), \(\Psi\) en sont [deux sous-ens. admissibles (i.e. fermés)] […]

a) a') \(\mathfrak{L}\) et \(\Psi\) sont sous-familles adm. [deux sous-familles adm.] d'une [[…]] famille [adm.] \(\Sigma\) a) et a') sont écrits l'un dans l'autre, avec des insertions interlinéaires ; la répartition ici proposée est incertaine

b) \(\mathfrak{L} \cap \Psi\) est \(\mathfrak{L}\)-fermé dans \(\mathfrak{L}\) et [\(\Psi\)-fermé] dans \(\Psi\), et \[ |\mathfrak{L}| \cap |\Psi| = |\mathfrak{L} \cap \Psi| \]

c) \(|\mathfrak{L}| \cap |\Psi|\) est \(\mathfrak{L}\)-fermé dans \(|\mathfrak{L}|\) et \(\Psi\)-fermé dans \(\Psi\), et toute \(A \in \mathfrak{L}\) telle pour \(A \subset |\mathfrak{L}| \cap |\Psi|\), \(A \in \mathfrak{L}\) donc \(\mathfrak{L}\) ssi \(A \in \Psi\), (i.e. ssi \(A \in \mathfrak{L} \cap \Psi\)).

d) \(\forall A \in \mathfrak{L}\), \(B \in \Psi\), on ait \(A \cap \mathfrak{L}_{\subset A}\) et \(\Psi_{\subset}\) […]

Condition équiv. […] « (i.e. » […] genre d), « str. […] str. […] » note oblique dans la marge gauche, en regard de la condition d) barrée

a') \(\Longleftrightarrow\) a) évident par les sorites précédents, de même que a) implique b) et c). Reste à prouver \(b \Rightarrow c\), \(c \Rightarrow a\).

Prouvons d'abord \(b \Rightarrow c\). Comme \(|\mathfrak{L}| \cap |\Psi| = |\mathfrak{L} \cap \Psi|\) par b), et \(\mathfrak{L} \cap \Psi\) fermé dans \(\mathfrak{L}\) et

8fermé dans \(\Psi\), il s'ensuit que \(|\mathfrak{L} \cap \Psi|\) est fermé dans \(|\mathfrak{L}|\), et fermé dans \(|\Psi|\). Soit \(A \in \mathfrak{L}\), \(A \subset |\mathfrak{L}| \cap |\Psi| = |\mathfrak{L} \cap \Psi|\), on a donc par le sorite préliminaire (comme \(\mathfrak{L} \cap \Psi\) fermé dans \(\Psi\)) que \(A \subset \bigcup_{B \in \mathfrak{L} \cap \Psi} B\), cela implique (comme les \(B\) dans \(\mathfrak{L}\)) que \(A\) \(\exists\) \(\exists B \in \mathfrak{L} \cap \Psi\) tel que \(A \subset B\). Appliquant le raisonnement […] \(B\) (qui est \(\in \mathfrak{L} \cap \Psi\) donc \(\mathfrak{L} \cap \Psi\) est […] \(\subset |\mathfrak{L} \cap \Psi| = |\mathfrak{L}| \cap |\Psi|\)) Mais comme […] \(\Psi\) fermé dans \(\Psi\), on en conclut \(A \in \Psi\), qed.

\(c \Rightarrow a\) On suppose c), prouvons a).

1°) \(\mathfrak{L} \cup \Psi\) est admissible. Soit \(x \in |\mathfrak{L} \cup \Psi| = |\mathfrak{L}| \cup |\Psi|\), soit \(A(x)\) le plus si \(x \in |\mathfrak{L}| \cap |\Psi|\), soit \(A(x)\) le plus petit élément de \(\mathfrak{L}\) tel que \(x \in A(x)\), et itou \(B(x)\) de \(\Psi\) tel que \(x \in B(x)\). Comme \(T = |\mathfrak{L}| \cap |\Psi|\) est \(\mathfrak{L}\)-fermé dans \(|\mathfrak{L}|\), on a \(A(x) \subset T\), et de même \(B(x) \subset T\). On doit donc avoir (par c) \(A(x) \in \mathfrak{L} \cap \Psi\), et donc par définition [soit \(C\)] \(A(x) \in \Psi\) i.e. \(B(x) \subset A(x)\), et \(= A(x) \subset B(x)\)), donc \(B(x) = A(x)\). donc Cela montre que \(C\) est le plus petit élément de \(\mathfrak{L} \cup \Psi\) qui contient \(x\) [aussi !]. Il reste à prouver que si \(A \in \mathfrak{L} \cup \Psi\), alors \[ \bigcup_{\substack{B \in \mathfrak{L} \cup \Psi \\ B \subsetneq A}} B \neq A . \] Mais Ainsi […] Il suffit pour […] [[…] \(A \in \mathfrak{L}\)] \(A \in \mathfrak{L}\), […] \(B \subset A\) prouvons que la fin de la page est chargée de ratures et d'insertions interlinéaires qui ne sont lues qu'en partie ; sous la réunion, l'inclusion est stricte

9les \(B\) en question sont dans \(\mathfrak{L}\), i.e. que \(\mathfrak{L}\) est fermé dans \(\mathfrak{L} \cup \Psi\) (itou pour le cas \(A \in \Psi\), avec \(\Psi\) fermé de \(\mathfrak{L} \cup \Psi\)). Donc il reste

2°) \(\mathfrak{L}\) fermé dans \(\mathfrak{L} \cup \Psi\) : \(A \in \mathfrak{L}\), \(B \in \Psi\), \[ B \subset A \Longrightarrow B \in \mathfrak{L} . \] Mais on a […] \(B \subset |\mathfrak{L}| \cap |\Psi|\), donc \(B \in \mathfrak{L} \Rightarrow B \in \Psi\) OK.

Définition On dit alors que \(\mathfrak{L}\) et \(\Psi\) compatibles.

Corollaire ! Quand ces conditions sont satisfaites, \(|\mathfrak{L}| \cap |\Psi|\) est une partie de \(|\mathfrak{L}|\) qui est \(\mathfrak{L}\)-saturée, et une partie de \(|\Psi|\) qui est \(\Psi\)-saturée, et les deux relations d'équiv. induites par \(|\mathfrak{L}|\) et par \(|\Psi|\) sont les mêmes.

Mais attention, cette dernière condition ne suffit nullement à impliquer que \(\mathfrak{L}\) et \(\Psi\) compatibles. Exemple : \(\mathfrak{L}\) et la famille [\(\mathfrak{L}^{\circ}\)] des \(A^{\circ}\) ont même support, et définissent la même relation d'équiv. sur \(|\mathfrak{L}|\), mais elles ne sont compatibles que si elles sont égales (car i.e. \(\mathfrak{L}\) formé d'ens. deux à deux disjoints. En effet (car la relation d'ordre sur \(\mathfrak{L}\) et sur \(\mathfrak{L}^{\circ}\) c'est la même que si

Corollaire 2 Supposons \(\mathfrak{L}\) et \(\Psi\) compatibles. Alors \[ |\mathfrak{L}| \subset |\Psi| \ \text{ssi}\ \mathfrak{L} \subset \Psi , \qquad |\mathfrak{L}| = |\Psi| \ \text{ssi}\ \mathfrak{L} = \Psi . \]

10En effet, c'est connu pour les sous-familles admissibles d'une famille (ici \(\mathfrak{L} \cup \Psi\)) — cf. Scholie p. 7.

Cor 3 Si \(\mathfrak{L}\), \(\Psi\) comp., alors pour \(\mathfrak{L}' \leq \mathfrak{L}\), \(\Psi' \leq \Psi\) (parties fermées) \(\mathfrak{L}'\) et \(\Psi'\) sont admissibles, et \(\mathfrak{L}' \cup \Psi'\) est fermé (ss-famille adm.) de \(\mathfrak{L} \cup \Psi\).

Soit \(\mathfrak{F}\) l'ens. de toutes les parties admissibles \(\mathfrak{L}\) de \(\mathfrak{P}(L)\). On ordonne \(\mathfrak{F}\) par \[ \mathfrak{L} \leq \Psi \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \mathfrak{L} \text{ est une sous-famille admissible de } \Psi . \]

On a ici l'algèbre de \(\mathfrak{F}\) « figures ensemblistes » note oblique dans la marge gauche, en regard de la définition de \(\mathfrak{F}\) ; « figures » est souligné

Alors on a

C 1 \(\mathfrak{F}\) admet des Sup majorés, [en effet] si \(\mathfrak{L}_i \in \mathfrak{F}\), \(\mathfrak{L}_i \leq \Psi\) des ss-ens. fermés d'un \(= \Psi\), donc \(\bigcup_i \mathfrak{L}_i\) est un sous-ens. fermé de \(\Psi\), qui est le sup.

la suite de la page est barrée de plusieurs longs traits obliques, et chargée d'insertions interlinéaires qui ne sont lues qu'en partie C'est […] ([…] parties fermées) d'un \(\Psi\) […] ; pour ceci, il faut prouver que \(\mathfrak{F}\) […] des sup finis, on montre que (de l'ens. vide, sup vide !) \(\emptyset \subset \mathfrak{P}(L)\) est admissible (! c'est la seule famille admissible \(\mathfrak{L}\) telle que \(|\mathfrak{L}| = \emptyset\)) — la seule famille admissible \(\in \mathfrak{F}\) ; et que si \(\mathfrak{L}, \Psi, \Sigma \in \mathfrak{F}\) sont tels que (\(\mathfrak{L}\) et \(\Psi\) sont admissibles, donc \(\Sigma\) qui) \((\mathfrak{L}, \Psi)\) compatibles, alors \(\Sigma\) est compatible avec \(\mathfrak{L} \cup \Psi\) ssi il l'est avec \(\mathfrak{L}\) et avec \(\Psi\).

La sup. relative […] pour la relation \(\leq\) […] compatibles […]

11Les éléments irréductibles de \(\mathfrak{F}\) sont les \(\mathfrak{L} \in \mathfrak{F}\) qui ont un un plus grand élément : (un ens. fermé est irréductible (au sens top.) ssi il a un plus grand élément.)

Appelons-les « multiplicités ensemblistes »

Dém

C 2 Tout \(\mathfrak{L} \in \mathfrak{F}\) est le sup des objets irréductibles de \(\mathfrak{F}\), à savoir des \[ \mathfrak{L}_X = \{ Y \in \mathfrak{L} \mid Y \leq X \} , \quad \text{pour } X \in \mathfrak{L} \]

C 3 Soient \(F, G \in \mathfrak{F}\). Pour que \(F\) et \(G\) soient compatibles (i.e. \(F\), \(G\) majorés) il f. et s. que \(X \in F\), \(\forall X \leq F\) et \(Y \leq G\), […] \(X\) et \(Y\) […] irréductibles, on ait \(X\) et \(Y\) compatibles.

En d'autres termes, que pour \(X \in F\), \(Y \in G\), \(F_X\) et \(G_Y\) soient compatibles :

Remarque à prop. p. 7 : Cond. équiv. à a) b) c)

d) Compos \(\forall A \in \mathfrak{L}\), \(B \in \Psi\), \(A \cap B\) est fermé dans \(A\) (pour \(\mathfrak{L}\) i.e. pour \(\mathfrak{L}_A\)) et dans \(B\) (pour \(\Psi\) i.e. pour \(\Psi_B\)), et si \(A \cap C \in \mathfrak{L}\) ou \(C\) est une partie de \(A \cap B\), alors \(C \in \mathfrak{L}\) (\(\Leftrightarrow C \in \mathfrak{L}_A\)) ssi \(C \in \Psi\) (\(\Leftrightarrow C \in \Psi_B\)) i.e. \(\mathfrak{L}_{A \cap B} = \Psi_{A \cap B}\)

12et que

Composantes connexes de \(\mathcal{M} =\) ens. des multiplicités. Les éléments minimaux de \(\mathcal{M}\) sont ceux qui sont réduits à un seul ensemble \(A\), (qui peut être \(A \neq \emptyset\) (NB \(\mathfrak{L} = \{\emptyset\}\) n'est pas une famille admissible !) [Si \(\mathfrak{L}\) est admissible, \(\emptyset \notin \mathfrak{L}\),] puisque \(A \in \mathfrak{L} \Rightarrow A^{\circ} \neq \emptyset\) a fortiori \(A \neq \emptyset\)) \[ \mathfrak{L} = \{A\} \] (\(A \cap B \in \mathfrak{L} \Rightarrow \neq \emptyset\) !)

Si \(\mathfrak{X} \in \mathcal{M}\), [\(\mathfrak{X} \subset \mathfrak{P}(L)\)] et si \(\mathfrak{X}\) admet un […] élément minimal \(A\) (p. ex. \(\mathfrak{X}\) fini) [[…] \(X \neq \emptyset\)], donc \[ \mathfrak{X}_A = \{A\} \leq F \] on attend \(\leq \mathfrak{X}\) ; le \(F\) est sur la page d'autre part, \(\mathfrak{X}\) et \(\{A\}\) dans la même comp. connexe. D'autre part, […] si \(A \neq L\), et si \(x \in L \smallsetminus A\), \(\{A\}\) et \(\{\{x\}\}\) sont dans la même composante connexe, car ils sont majorés par la multiplicité \[ \bigl\{ \{A\}, \{\{x\}\}, A \cup \{x\} \bigr\} \] les accolades sont celles de la page ; on attend la multiplicité \(\{A, \{x\}, A \cup \{x\}\}\) Et pour \(\{\{x\}\}\) [[…] pour tous les \(x\)] […] de \(L\) sont dans […] même comp. connexe de \(\mathfrak{L}\). En […] les \(X \in \mathcal{M}\) qui ont un plus petit élément \(A\) sont dans une même composante connexe, du moment que \(A \neq L\), i.e. du moment que \(X\) ne se réduit pas à \(\{A\} = \{L\}\). Mais celui-ci aussi, si […] \(L \neq \emptyset\), est dans la

13même comp. connexe que les \(\{\{x\}\}\), comme on voit à l'aide de la multiplicité \[ \bigl\{ \{\{x\}\}, \{L \smallsetminus \{x\}\} \bigr\} \] Si \(L\) de card. 1, \(= \emptyset\), \(\mathfrak{P}(L)\) est de cardinal alors \(\mathcal{M} = \emptyset\), et \(\mathcal{M}\) est connexe. Si \(\operatorname{Card} L = 1\), \(\mathfrak{P}(L) = \{\emptyset, L\}\), et les \(\mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L)\) qui sont dans telles que […] ne contiennent pas \(\emptyset\) \(\emptyset \notin \mathfrak{L}\) sont \(\emptyset\) et \(\{L\}\). Donc \[ \mathcal{M} = \{\{L\}\} \] a un seul élément, et est connexe.

Donc

Prop. Si \(\operatorname{card} L \leq 1\), \(\mathcal{M}\) est connexe (il est vide si \(L = \emptyset\), il est de card 1 donc connexe si \(\operatorname{card} L = 1\)). Si \(\operatorname{card} L \geq 1\), alors les \(X \in \mathcal{M}\) qui ont un élément minimal sont dans une même comp. connexe. Donc si l'on se borne aux familles figures [ou] multiplicités finies (ce qui suffira, j'imagine) \(\mathcal{M}\) […] est connexe. Donc l'axiome C 4 est ici de relatif à la décomposition de \(\mathcal{M}\) en comp. connexes (que \(X\), \(Y\) appartenant à des composantes différentes sont compatibles) est automatique. « \(\operatorname{card} L \geq 1\) » est sur la page ; le cas traité est \(\operatorname{card} L > 1\)

14Si on ne se borne aux familles finies, on a encore connexité. En effet, si \(X \in \mathcal{M}\) est \(\neq \{L\}\), soit \(A \in X\) tel que \(A \neq L\). Alors \(X\) et \(X_A\) dans même comp. connexe et \[ |X_A| = A \] donc si […] \(x \in L \smallsetminus A\), on trouve une multiplicité en prenant \[ Z = \bigl\{ B, B \cup \{x\}, \{x\} \bigm| B \in X_A \bigr\} , \]

NB Construction qui a servi ici plusieurs fois : Soient \(F \in \mathfrak{F}\), \(G \in \mathfrak{F}\)écrits en surcharge sur d'autres lettres, \(|F| \cap |G| = \emptyset\), posons \[ F \boxtimes G = \bigl\{ A \cup B \bigm| \underbrace{A \in F, B \in G}_{A \text{ et } B \text{ pouvant être } \emptyset} \bigr\} , \] alors \[ (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cup B^{\circ} , \qquad \partial(A \cup B) = (\partial A \cup B) \cup (A \cup \partial B) \] — si \(F\) et \(G\) sont des multiplicités i.e. ont un ont plus grand élément \(A_0\), \(B_0\) alors \(A_0 \cup B_0\) est plus grand élément de \(F \boxtimes G\), qui est une multiplicité. Cette construction […] \(F \boxtimes G\) contient \(F \amalg G\) comme sous-figure. Donc, si \(F\) et \(G\) sont des multiplicités « disjointes » elles sont dans la même comp. connexe car elles sont majorées par \(F \boxtimes G\). Donc en tous cas, […] \(\mathcal{M}\) connexe (et de même si on se limite aux familles figures ensemblistes finies).

15Supports et complément. \(F\) et \(G\) dans \(\mathfrak{F}\) sont disjoints (au sens de \(\leq\)) ssi \[ |F| \cap |G| = \emptyset . \] Donc les \(F\) disjoints d'une famille de figures \(G_i\), sont celles qui sont sont telles que \(|F| \subset L'\), où \[ L' = L \smallsetminus \bigcup_i |G_i| . \] Donc, moyennant que les supports correspondent aux parties quelconques \(L'\) de \(L\), la notion de complémentarité est la notion ensembliste.

Les \(\mathfrak{F}(L')\) L'ens. des figures de support \(\subset L'\) est [de \(L'\)] s'identifie aux figures de \(L'\), i.e. on trouve les \[ \mathfrak{F}(L') \subset \mathfrak{F}(L) \] comme sous-ens. saturés (au sens de \(\leq\) et de la disjonction…).

16On récupère l'ens. \(\mathfrak{P}(L)\) des fermés de \(L_{\leq}\), ou de \((\mathcal{M}_{\leq}, \text{compatibilité})\), et on retrouve la relation d'ordre sur \(\mathfrak{P}(L)\) en termes de la relation d'ordre sur les supports, et itou pour les disjonctions. Mais cela ne redonne […] complètement. NB \(\mathfrak{F}\) est formé des limites (ou parties fermées de \(\mathcal{M}\)) […] dont deux éléments quelc. sont comp.

Mais \(\widehat{L}\) le complété ou divers types de \(L\), mais \(L\) apparaissant comme l'ens. de points (\(L\) se récupère par \(\widehat{L}\)). Leurs ingrédients des points isolés […].

Les hypothèses en termes d'un espace top. \(X\), et remplacant […] la disjonction en comptant […] dans \(X\) prenant \(\mathfrak{F}\) familles admissibles fermées de fois ouvertes et fermées, fermées d'un […] ; la fois […] Si on se permet que les […] parties […] figures finies, […] les supports s'identifient […] dans les supports […] de \(X\). Mais […] à la fois […] […] des parties […] des efigures infinies […] des […] si on prend […] les efigures infinies […] dans […] en […] constructions […] des parties fermées quelconques […]. cette partie de la page, surchargée et tachée d'encre, n'est lue que par fragments ; l'ordre des phrases est incertain

au lieu d'un espace […] […] des figures […]

Les […] couples […] de \(X\), […] les […] couples \((\mathcal{U}, \mathcal{V})\) d'ouverts de \(X\), s'identifient aux […] \(\overline{\mathcal{U}}\) \[ \mathcal{U} = \operatorname{int}(\complement \mathcal{V}) = \operatorname{ext} \mathcal{V} , \qquad \mathcal{V} = \operatorname{int}(\complement \mathcal{U}) = \operatorname{ext} \mathcal{U} , \] \[ X \smallsetminus (\mathcal{U} \cup \mathcal{V}) = \partial \mathcal{U} \cap \partial \mathcal{V} , \] la dernière égalité est écrite \(\overline{\mathcal{U}} \cap \overline{\mathcal{V}} = X \smallsetminus (\mathcal{U} \cup \mathcal{V})\), avec des traits au-dessus qui peuvent être des barres de fermeture doubles i.e. les ouverts \(\mathcal{U}\) tels que \(\mathcal{U} = \operatorname{int}(\overline{\mathcal{U}})\)

1715 juin On peut remplacer \(\mathfrak{F}\) par divers sous-ensembles ordonnés, stables par \(\leq\) et par Sup [passage à une] sous-figure [(i.e. fermé dans \(\mathfrak{F}\))] […] et par Sup.

Exemples : Si \(L\) est un espace [(éventuellement […])], […] on peut soumettre les \(A \in F\) […] ([\(F \in \mathfrak{F}\)] figure) à des conditions de nature topologique, comme d'être fermés, ou […] compactes, ou fermés et connexes. Toute condition portant sur la nature des objets \(A \in F\) (en tant que partie de \(L\), et non en tant que multiplicités…) va se sur les natures des multiplicités \(F_A\) (\(A \in F\)), définit une sous-ens. admissible de \(\mathfrak{F}\) ayant les propriétés de stabilité voulues.

NB Signalons, i.e. \(A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A\) en propriétés […] (la définition utilisant \(A^{\circ}\) dépend de la multiplicité \(F_A\)) on comme celle d'être non vide connexe, […] de \(F\) […] \(\mathfrak{L}\) connexe, ou plus gén. \(i\)-connexe, […] de \(A\) pour les \(A\) […] ([…]) connexe […] vide \[ 0 \leq i \leq +\infty , \] \(\mathfrak{D}\) idem. Où on peut demander aux \(|\partial A|\) d'être des sphères topologiques, etc.

Mais il n'y aurait pas d'intérêt […] […] d'imposer à la fois […] et […] Aussi, la condition de densité \(A = \overline{A^{\circ}}\) [i.e.] \(A \subset B \Rightarrow A^{\circ} \subset \overline{B^{\circ}}\) note oblique dans la marge gauche ; sa première partie est barrée de deux traits parallèles

Si \(L\) est muni d'une [[…] […]] modérée, on se bornera aux \(\mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}(L)\) pour lesquels \(A \in \mathfrak{L} \Rightarrow A\) partie modérée de \(L\).

On peut envisager aussi des conditions de nature plus globale sur \(\mathfrak{L}\), avec toujours

18\(L\) est muni d'une topologie, comme celle d'être localement fini. Le sous-ens. ordonné \(\mathfrak{F}'\) […] de \(\mathfrak{F}\) est alors stable par sup finis, mais pas par généralisé par sup. quelc. Figure finie : […] \(F\) fini en tant qu'ensemble, i.e. un ens. fini de parties. Figures de type fini : contenue dans une réunion finie de ss-figures \(F_A\). Si les structures d'une Une figure est de t. finie […] si et seulement si elle est de t. f. et ses strates sont finies.

Autre cas : Supposons \(L\) muni d'une structure d'ordre — il définit donc une réalisation [(fermée)] \(X_x\) (\(x \in L\)) « cellulaire » dans un espace topologique, par des « cellules » dans un espace top. \(X\) triangulable compact modéré. Alors […] les \(A \subset L\) correspondent les \(X_A = \bigcup_{x \in A} X_x\).

Les \(X_x\) forment une famille admissible de parties de \(X\), i.e. une figure […] […] note oblique dans la marge gauche, reliée par une flèche au texte

On se bornera alors aux parties \(A\) de \(L\), de façon que \(\ill{}\) \[ A \longmapsto X_A \] soit une application bijective de l'ens. des parties considérées de \(L\) (les p. fermées) avec un ens. […] des parties [fermées] de \(X\) […] stables par la relation d'équivalence induite par la relation par les \((X_x^{\circ})_{x \in L}\) (en fait, toutes les parties

19en ont si \(L\) est fini). Donc on se bornera aux \(\mathfrak{L} \in \mathfrak{F}\) telles que les \(A \in \mathfrak{L}\) soient fermés dans \(L\), i.e. telles que \[ \mathfrak{L} \subset \mathfrak{P}_{\text{fermés}}(L) \] Les éléments de \(\mathfrak{F}'\) ainsi obtenus peuvent s'interpréter en termes de \(X\), comme des familles admissibles [(maximales)] [de familles de] parties [fermées] de \(X\), stables par la relation d'équiv. cellulaire [définie] définie par les \(X_x^{\circ}\), i.e. dont chacune soit réunion de strates fermées de \(X\). […] Dans une terminologie qui sera développée [admettant] […] dans […] la recouvrement cellulaire, elles sont sont de modérées de \(X\) comme une sorte de [choix] modèle de leurs « subdivisions » (ou plutôt, induit sur leurs supports dans \(X\))

Soient \(F\) et \(G\) deux figures ensemblistes dans \(L\). On veut définir quand \(F\) est un raffinement, et quand c'est une subdivision de \(G\).

Proposition Conditions équivalentes

a) [\(\forall A \in F\), désignons par \(G^{A}\) l'ens. des \(B \in G\) tels que \(A \subset B\), \(G^{A}\) a un plus petit élément \(\varphi(A)\). (On trouve donc une application \(\varphi : F \to G\), qui est bien sûr croissante.)] De plus

et exiger \(|F| \subset |G|\)

20pour tout \(A \in F\), \(B \in G\), \(A \cap F\) est […] une partie \(F\)-fermée de \(|F|\), i.e. réunion de strates de \(F\). « \(A \cap F\) » est sur la page ; on attend \(A \cap B\)

b) Pour tout \(A \in F\), \(\exists B \in G\) telle que \(A^{\circ} \subset B^{\circ}\) ([soit \(\varphi(A)\)], B étant évidemment unique), l'application \(\varphi : F \to G\) ainsi obtenue est croissante (\(A' \subset A\), et \(A \subset A'\), \(A^{\circ} \subset B^{\circ}\)) \(A'^{\circ}\) et \(A' \subset A\) i.e. \(A, A' \in F\), \(B, B' \in G\), \[ A^{\circ} \subset B^{\circ} , \quad A'^{\circ} \subset B'^{\circ} , \quad A' \subset A \Longrightarrow B' \subset B . \]

NB Le « de plus » implique dans la première condition, si on ajoute que \(|F| \subset |G|\), et cela équivaut à la continuité \(|F| \to |G|\) (où […]) b') […] condition […] \(A^{\circ}\) […] notes obliques dans la marge gauche, en haut de la page

\(a) \Rightarrow b)\) […] Supposons a) prouvons b). Soit \(A \in F\), par a) \(\exists B \in G\) [\(= \varphi(A)\)] […] qui soit plus petit dans \(G^{A}\). Prouvons […] \(A^{\circ} \subset B^{\circ}\). Soit \(x \in A^{\circ}\), il faut prouver que \(B' \in G\), \(B' \subset B\), et \(x \in B' \Longrightarrow B' = B\). Soit Considérons \(B' \cap A\), c'est une partie de \(A\) réunion d'objets de \(F\), i.e. […] […] donc \(\exists A' \in F\), telle que \(x \in A' \subset B' \cap A\). Comme \(x \in A^{\circ}\) et \(A' \in F_A\), on a \(A' = A\) et comme \(A' = A \subset B' \cap A\), on a \(A \subset B'\). D'après la condition minimale de \(B\), on a donc \(B' = B\) qed. D'autre part, on a […] dans […] […] vu que l'application \(\varphi\) est croissante. Donc établit b).

\(b) \Rightarrow a)\). Supposons b, prouvons a). Soit \(A \in F\), soit \(B \in G\) tel que \(A^{\circ} \subset B^{\circ}\), prouvons que \(B\) est plus petit élément dans \(G^{A}\). Donc \(A \subset B\) prouvons que si […] \(B' \in G\) tel que \(A \subset B'\), comme \(A^{\circ} \subset B^{\circ} \subset B\), Soit On a \[ A = \bigcup_{\substack{A' \in F \\ A' \subset A}} A'^{\circ} \] […] il suffit donc de prouver que […] […] […] \(A'^{\circ}\) sont \(\subset B\).

Lemme (cf. p. 7) […] \(A \in F\), […] \(B \in G\), \(A^{\circ} \subset B\) […] \(A \subset B\) note oblique dans la marge inférieure gauche, en partie raturée ; la page s'arrête au milieu de la démonstration