Cote n° 156-5 · pages 1–48 · Lecture modernisée · [Chapitre] V. Algèbre des figures : notes manuscrites (14/06/1986) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Familles admissibles (pages 1 à 5) : la condition, et le dictionnaire avec les ensembles ordonnés.
2. 2.Sous-figures et compatibilité (pages 6 à 11).
3. 3.L'ensemble ordonné des figures et les axiomes C 1 à C 4 (pages 10 à 14), dont la connexité des multiplicités, qui est fausse.
4. 4.Supports, complément, et vers les espaces (pages 15 et 16).
5. 5.Sous-classes de figures (pages 17 à 19), le 15 juin.
6. 6.Raffinement et subdivision (pages 19 à 26), et les axiomes C 5 à C 8.
7. 7.La figure intersection (pages 27 à 29), et l'axiome C 6.
8. 8.Prolonger une subdivision (pages 29 à 36), l'axiome C 7.
9. 9.Le point de vue des ultra-topologies (pages 36 à 40), le 18 juin.
10. 10.Recollement de topologies, et une caractérisation fausse (pages 41 à 48).

Sa pagination 1 à 48 coïncide avec celle des archivistes. La page 1 porte en angle « GF V » : chapitre V de Vers une géométrie des formes. Le chapitre IV (dossier 156-4), première mouture de l'Analysis situs, porte en dernier la date du 14 juin, celle de la page 1 d'ici ; le chapitre VI (dossier 156-6), deuxième mouture, s'ouvre le 18 juin, date que porte aussi la marge de la page 36 d'ici, là où le point de vue change. Le chapitre VI s'intitule d'ailleurs, à sa première page, « Algèbre de figures ». Deux marges d'ici (pages 1 et 3) renvoient au chapitre VIII (dossier 156-8) : elles ont été ajoutées à une relecture postérieure d'au moins dix jours¹ .

Ce que le dossier vérifie. Les axiomes de la première mouture sont nommés C 1 à C 8 ; ce sont ceux des pages 53 à 78 du dossier 156-4 (C 1 à C 3 pages 53 à 58, C 4 page 64, C 5 à C 7 pages 69 à 72, un C 8 barré page 78). On les retrouve ici pages 10 et 11 (C 1 à C 3), 13 (C 4), 26 (C 5 à C 8), 29 (C 6 et C 7). Le dossier les tient tous pour vrais dans le modèle ensembliste ; C 4 ne l'est pas (pages 12 à 14).

Conventions. \(L\) est l'ensemble ambiant² . Une figure est une famille admissible de parties de \(L\) (page 3), notée \(F\), \(G\), \(H\)³ ; ses éléments sont ses strates fermées (ou membres), et pour \(A \in F\) \[ \partial A = \bigcup_{B \in F,\ B \subsetneq A} B, \qquad A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A \] est la strate ouverte de \(A\). \(|F|\) est le support, \(A_{F}(x)\) le plus petit membre de \(F\) contenant \(x\), \(R_{F}\) la partition de \(|F|\) en strates ouvertes. \(\mathfrak{F}\) est l'ensemble des figures⁴ , \(\mathcal{M} \subset \mathfrak{F}\) celui des multiplicités. \(F \leq G\) (sous-figure), \(F \ll G\) (raffinement), \(F \preccurlyeq G\) (subdivision). Les topologies sont notées \(\tau\)⁵ ; le préordre de spécialisation est \(x \leq y \iff x \in \overline{\{y\}}\), de sorte que les fermés sont les parties stables vers le bas — c'est la convention de la page 4.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : la caractérisation e) de la page 41, qu'il déclare lui-même fausse ; l'équivalence entre les conditions de la page 31 et la maximalité, espérée page 36 ; l'énoncé de C 8, dit « trivial » page 26 sans être écrit ; le passage aux espaces topologiques de la page 16, qui n'est lisible que par fragments.

1–5

Familles admissibles (pages 1 à 5)

La condition

Soit \(F\) un ensemble de parties de \(L\). Le paragraphe s'ouvre, le 14 juin 1986, sous le titre « Sorite ensembliste »⁶ .

Proposition 1 (pages 1 et 2). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. 1°)pour tout \(x \in |F|\), l'ensemble \(F_{x} = \{A \in F \mid x \in A\}\) a un plus petit élément \(A_{F}(x)\) ;
2. 2°)(\(\alpha\)) pour \(A, B \in F\), \(A \cap B\) est réunion des membres de \(F\) qu'il contient ; (\(\beta\)) tout \(x \in |F|\) appartient à la strate ouverte d'un membre ;
3. 3°)(\(\gamma\)) les strates ouvertes non vides forment une partition de \(|F|\) ; (\(\delta\)) tout \(A \in F\) est saturé pour cette partition ; (\(\eta\)) si \(A^{\circ} \neq \emptyset\) et \(A^{\circ} \subset B\), avec \(A, B \in F\), alors \(A \subset B\).

Le point est que \(x \in A^{\circ}\) signifie exactement que \(A\) est un élément minimal de \(F_{x}\)⁷ : 1°) demande un plus petit élément, 2°) un élément minimal plus la condition (\(\alpha\)), qui force le minimal à être le plus petit. La démonstration de la page 2 est complète : si \(x \in A^{\circ}\) et \(x \in B\), (\(\alpha\)) donne \(C \in F\) avec \(x \in C \subset A \cap B\), la minimalité de \(A\) donne \(C = A\), donc \(A \subset B\) ; de là (\(\gamma\)), (\(\delta\)), (\(\eta\)) ; et 3°) \(\Rightarrow\) 1°) parce que, si \(x \in A^{\circ}\) et \(x \in B\), (\(\delta\)) donne \(A^{\circ} \subset B\) et (\(\eta\)) \(A \subset B\).

Une marge propose de remplacer (\(\delta\)) et (\(\eta\)) par une seule condition : (\(\delta'\)) tout \(A \in F\) est la réunion des \(B^{\circ}\) pour \(B \in F\), \(B \subset A\). C'est juste⁸ .

Remarques (page 3). La condition (\(\beta\)) est automatique si \(F\) est finie, et plus généralement si \(F\) est artinienne pour l'inclusion. Elle ne l'est pas sans cela : une suite strictement décroissante \(A_{1} \supsetneq A_{2} \supsetneq \cdots\) d'intersection non vide satisfait (\(\alpha\)) mais non (\(\beta\)) aux points de l'intersection. Une seconde remarque, qui voulait montrer que (\(\eta\)) ne découle pas d'une forme affaiblie de (\(\delta'\)) (avec \(B^{\circ} \subset A\) au lieu de \(B \subset A\)), est barrée avec son exemple⁹ .

Définition (pages 3 et 4). \(F\) est préadmissible si elle satisfait les conditions de la proposition 1, admissible si de plus \(A^{\circ} \neq \emptyset\) pour tout \(A \in F\).

Une famille admissible ne contient pas \(\emptyset\), et ses membres sont exactement les \(A_{F}(x)\) : si \(x \in A^{\circ}\), \(A = A_{F}(x)\).

Le dictionnaire avec les ensembles ordonnés

Se donner une famille admissible \(F\) revient à se donner (page 4)

1. a)un ensemble ordonné \(I\) (une copie de \(F\), ordonnée par inclusion),
2. b)une partie \(S\) de \(L\) (le support \(|F|\)),
3. c)une application surjective \(\varphi : S \to I\) (\(x \mapsto A_{F}(x)\)),

à isomorphisme près de \(I\)¹⁰ . Une note de marge, en grande partie illisible, décrit de même une famille préadmissible : le même système, plus un ensemble de parties fermées de \(I\) correspondant aux membres d'intérieur vide¹¹ .

Munissons \(I\) de la topologie associée à l'ordre : les fermés sont les parties stables vers le bas — les réunions quelconques de \(I_{\leq i}\) —, les ouverts les parties stables vers le haut ; et \(S\) de la topologie image réciproque. Alors \[ F = \bigl\{ \overline{\varphi^{-1}(i)} = \varphi^{-1}(I_{\leq i}) \bigr\}_{i \in I} : \] les membres de \(F\) sont les adhérences des strates ouvertes. Les fermés de \(S\) sont les réunions quelconques de membres, \[ A_{J} = \bigcup_{i \in J} A_{i} = \coprod_{i \in J} A_{i}^{\circ} = \varphi^{-1}(J), \qquad J \subset I \text{ stable vers le bas}, \] les ouverts sont les \(\varphi^{-1}(J)\) pour \(J\) stable vers le haut — et cette fois, prévient la page, on ne peut pas remplacer \(A_{i}^{\circ}\) par \(A_{i}\) —, et les parties localement fermées sont les \(\varphi^{-1}(J)\) pour \(J\) convexe : \(i \leq j \leq k\), \(i, k \in J \Rightarrow j \in J\).

Une topologie où toute réunion de fermés est fermée — où chaque point a un plus petit voisinage — est ce qu'on appelle aujourd'hui une topologie d'Alexandrov, et elle est la même chose qu'un préordre, le préordre de spécialisation¹² . Ce qui s'écrit ici page 4 en termes d'ensembles d'indices sera, le 18 juin, le point de départ de la page 36.

Parties constructibles (page 5). Les parties de \(S\) saturées pour \(R_{F}\) — réunions quelconques de strates ouvertes — correspondent bijectivement aux parties quelconques de \(I\) par \(J \mapsto \varphi^{-1}(J)\). La page les appelle \(F\)-modérées ou \(F\)-constructibles, et ajoute, pour \(F\) finie, que ce sont exactement les parties obtenues à partir des membres par réunions, intersections et complémentaires dans \(S\), les \(A^{\circ}\) étant les atomes de l'algèbre de Boole ainsi engendrée¹³ .

6–11

Sous-figures et compatibilité (pages 6 à 11)

Sous-figures

Une sous-famille admissible de \(F\) est une partie \(G \subset F\) fermée, c'est-à-dire stable vers le bas pour l'inclusion. Pour \(A \in G\) on a alors \(\partial_{G} A = \partial_{F} A\), donc les strates ouvertes sont les mêmes, \(G\) est admissible, et \(|G| = A_{G}\) est une partie fermée et saturée de \(|F|\)¹⁴ .

Proposition (pages 6 et 7). Soient \(F\) admissible et \(G\) un ensemble de parties de \(L\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(G \subset F\) et \(G\) est fermée dans \(F\) ;
2. b)\(G \subset F\), \(G\) est admissible, et la partition \(R_{G}\) de \(|G|\) est celle induite par \(R_{F}\).

Pour b) \(\Rightarrow\) a), soient \(A \in G\) et \(B \in F\), \(B \subset A\) : la \(R_{F}\)-classe \(B^{\circ}\) est contenue dans \(|G|\), c'est donc une \(R_{G}\)-classe \(C^{\circ (G)}\), et l'on en tire \(C = B\), donc \(B \in G\)¹⁵ .

Scholie (page 7). Les sous-figures de \(F\) correspondent aux parties fermées de \(I\), ou de \(|F|\) ; elles sont stables par réunions et intersections quelconques.

Figures compatibles

Proposition (pages 7 à 9, complétée page 11). Soient \(F\) et \(G\) deux figures. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(F \cup G\) est admissible, et \(F\), \(G\) en sont des sous-figures ;
2. a')\(F\) et \(G\) sont deux sous-figures d'une même figure ;
3. b)\(F \cap G\) est fermée dans \(F\) et dans \(G\), et \(|F| \cap |G| = |F \cap G|\) ;
4. c)\(|F| \cap |G|\) est fermé dans \(|F|\) et dans \(|G|\), et pour une partie \(A \subset |F| \cap |G|\), on a \(A \in F \iff A \in G\) ;
5. d)pour \(A \in F\) et \(B \in G\), \(A \cap B\) est fermé dans \(A\) pour \(F_{A}\) et dans \(B\) pour \(G_{B}\), et les membres de \(F\) et de \(G\) contenus dans \(A \cap B\) sont les mêmes.

On dit alors que \(F\) et \(G\) sont compatibles.

La page démontre a') \(\Leftrightarrow\) a) \(\Rightarrow\) b) \(\Rightarrow\) c) \(\Rightarrow\) a)¹⁶ . Le cœur est c) \(\Rightarrow\) a) : pour \(x \in T = |F| \cap |G|\), les plus petits membres \(A_{F}(x)\) et \(A_{G}(x)\) sont contenus dans le fermé \(T\), donc appartiennent aux deux familles, donc sont égaux ; et un membre de \(G\) contenu dans un membre de \(F\) est contenu dans \(T\), donc appartient à \(F\), si bien que \(F\) est fermée dans \(F \cup G\).

La condition d) est ajoutée page 11 comme « remarque à la prop. p. 7 », sans démonstration¹⁷ . Son intérêt est d'être locale : elle ne fait intervenir que les multiplicités \(F_{A}\) et \(G_{B}\). C'est elle qui démontre l'axiome C 3 ci-dessous.

Corollaires (pages 9 et 10). Si \(F\) et \(G\) sont compatibles,

1. 1)\(|F| \cap |G|\) est saturé dans \(|F|\) et dans \(|G|\), et les deux partitions qu'il hérite coïncident ;
2. 2)\(|F| \subset |G| \iff F \subset G\), et \(|F| = |G| \iff F = G\) ;
3. 3)pour \(F' \leq F\) et \(G' \leq G\), \(F'\) et \(G'\) sont compatibles et \(F' \cup G'\) est une sous-figure de \(F \cup G\).

La réciproque de 1) est fausse, prévient la page : \(F\) et la famille \(F^{\circ} = \{A^{\circ}\}\) ont même support et même partition, mais ne sont compatibles que si elles sont égales, c'est-à-dire si les membres de \(F\) sont deux à deux disjoints¹⁸ .

10–14

L'ensemble ordonné des figures et les axiomes C 1 à C 4 (pages 10 à 14)

Soit \(\mathfrak{F}\) l'ensemble des figures de \(L\), ordonné par \(F \leq G\) si \(F\) est une sous-figure de \(G\). La marge les appelle « figures ensemblistes »¹⁹ . On a :

C 1 (page 10). Toute famille majorée de \(\mathfrak{F}\) a une borne supérieure : si les \(F_{i}\) sont des sous-figures d'une même \(G\), leur réunion est une sous-figure de \(G\), et c'est le sup. C 2 (page 11). Toute figure \(F\) est la borne supérieure des \(F_{X} = \{Y \in F \mid Y \subset X\}\), \(X \in F\). C 3 (page 11). \(F\) et \(G\) sont compatibles — c'est-à-dire majorées — si et seulement si \(F_{X}\) et \(G_{Y}\) le sont pour tous \(X \in F\), \(Y \in G\).

Les \(F_{X}\) sont les figures qui ont un plus grand élément ; la page les appelle multiplicités ensemblistes, et leur ensemble est noté \(\mathcal{M}\). Ce sont les éléments irréductibles de \(\mathfrak{F}\), au sens où une figure qui n'est pas borne supérieure de figures strictement plus petites est une multiplicité, et réciproquement²⁰ . C 3 résulte de la condition d) de compatibilité, qui est locale.

Composantes connexes de \(\mathcal{M}\)

L'axiome C 4 de la première mouture demande que deux multiplicités situées dans des composantes connexes différentes de \(\mathcal{M}\) soient compatibles. Les pages 12 à 14 veulent montrer qu'ici \(\mathcal{M}\) est connexe, ce qui rendrait C 4 vide ; les composantes s'entendent pour l'ensemble ordonné \((\mathcal{M}, \leq)\), deux multiplicités étant reliées dès qu'elles ont un majorant commun.

Les éléments minimaux de \(\mathcal{M}\) sont les \(\{A\}\), \(A \neq \emptyset\), et toute multiplicité qui a un membre minimal \(A\) est dans la composante de \(\{A\}\). Jusque-là la page est juste. Mais l'énoncé principal — si \(\operatorname{card} L > 1\), les multiplicités ayant un élément minimal sont dans une même composante, et \(\mathcal{M}\) est connexe au moins pour les figures finies (page 13), et même sans restriction (page 14) — est faux.

Ce qui est vrai. Pour \(L \neq \emptyset\), la multiplicité \(\{L\}\) est isolée dans \(\mathcal{M}\) : elle n'a pour sous-figures que \(\emptyset\) et elle-même, et une figure qui la contient comme sous-figure ne peut rien contenir d'autre. Pour \(x \in L\), si \(L \smallsetminus \{x\} \neq \emptyset\), les deux multiplicités \(\{L \smallsetminus \{x\}\}\) et \(\{L \smallsetminus \{x\}, L\}\) forment à elles seules une composante. Si \(\operatorname{card} L \geq 3\), toutes les autres multiplicités sont dans une même composante²¹ . Et C 4 est en défaut : \(\{L\}\) et \(\{\{x\}\}\) sont dans des composantes différentes et ne sont pas compatibles, puisque \(\{x\}\) est contenu dans \(L\) sans être un membre de \(\{L\}\).

Où l'argument se trompe. Trois constructions ne donnent pas des familles admissibles. La multiplicité \(\{A, \{x\}, A \cup \{x\}\}\) de la page 12 a un plus grand membre d'intérieur vide²² . La famille \(\{\{x\}, L \smallsetminus \{x\}\}\) de la page 13, censée relier \(\{L\}\) aux autres, n'a pas de plus grand élément et ne contient pas \(L\). Enfin le produit de la page 14, pour deux figures de supports disjoints, \[ F \boxtimes G = \{A \cup B \mid A \in F \cup \{\emptyset\},\ B \in G \cup \{\emptyset\}\}, \] n'est pas admissible : \(A \cup B\), pour \(A\) et \(B\) non vides, est la réunion de \(A\) et de \(B\), qui sont des membres strictement plus petits, et son intérieur est vide. Les formules qu'il écrit, \[ (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cup B^{\circ}, \qquad \partial(A \cup B) = (\partial A \cup B) \cup (A \cup \partial B), \] sont celles d'un produit de cellules, \((A \times B)^{\circ} = A^{\circ} \times B^{\circ}\) et \(\partial(A \times B) = \partial A \times B \cup A \times \partial B\), transcrites pour une réunion disjointe, où elles ne valent plus²³ .

Ce qui se sauve. Les exceptions viennent toutes de membres trop gros, égaux à \(L\) ou à \(L\) privé d'un point. Si \(L\) est infini et qu'on se borne aux figures finies dont les membres sont finis — c'est l'un des sens de « figure finie » à la page 18 —, il reste toujours deux points hors du plus grand membre, et l'argument ci-dessus montre que \(\mathcal{M}\) est connexe ; C 4 est alors vide, comme il le voulait. La page 13 parie d'ailleurs que les figures finies « suffiront, j'imagine ».

15–16

Supports, complément, et vers les espaces (pages 15 et 16)

Deux figures \(F\) et \(G\) sont disjointes si et seulement si \(|F| \cap |G| = \emptyset\)²⁴ . Les figures disjointes d'une famille \((G_{i})\) sont donc celles dont le support est contenu dans \(L' = L \smallsetminus \bigcup |G_{i}|\), et comme toute partie de \(L\) est un support, « la notion de complémentarité est la notion ensembliste ». Les figures de support contenu dans \(L'\) sont les figures de \(L'\) : \(\mathfrak{F}(L') \subset \mathfrak{F}(L)\) est une partie saturée.

La page 16 dit qu'on retrouve ainsi \(\mathfrak{P}(L)\) et son ordre à partir de \((\mathcal{M}, \leq, \text{compatibilité})\), mais pas tout²⁵ . Une marge observe que \(\mathfrak{F}\) est formé des parties fermées de \(\mathcal{M}\) dont les éléments sont deux à deux compatibles²⁶ .

Lisible enfin, la dernière ligne : dans un espace topologique \(X\), les couples d'ouverts \((U, V)\) dont chacun est l'extérieur de l'autre, \(U = \operatorname{int}(X \smallsetminus V)\) et \(V = \operatorname{int}(X \smallsetminus U)\), s'identifient aux ouverts \(U\) tels que \(U = \operatorname{int}(\overline{U})\), et l'on a \[ X \smallsetminus (U \cup V) = \overline{U} \cap \overline{V} = \partial U = \partial V . \] Ce sont les ouverts réguliers, qui forment une algèbre de Boole complète²⁷ .

17–19

Sous-classes de figures (pages 17 à 19)

Le 15 juin, la page 17 observe qu'on peut remplacer \(\mathfrak{F}\) par divers sous-ensembles stables par passage aux sous-figures et par borne supérieure. Si \(L\) est un espace, toute condition sur les membres \(A\) pris comme parties de \(L\) en définit un : être fermés, compacts, fermés et connexes. De même toute condition qui ne dépend que de la multiplicité \(F_{A}\), comme une condition sur \(A^{\circ}\) ou sur \(\partial A\) : \(A^{\circ}\) connexe, ou \(i\)-connexe pour un \(0 \leq i \leq \infty\), \(\partial A\) sphère topologique. Une marge ajoute la condition de densité \(A = \overline{A^{\circ}}\), qu'elle dit équivalente à : \(A \subset B \Rightarrow A^{\circ} \subset \overline{B^{\circ}}\)²⁸ . Si \(L\) porte une structure « modérée », on ne retient que les familles de parties modérées.

Il y a aussi des conditions globales : être localement finie (page 18), condition stable par sup finis mais non par sup quelconques ; être finie, c'est-à-dire être un ensemble fini de parties ; être de type fini, contenue dans une réunion finie de multiplicités \(F_{A}\). Une figure est finie si et seulement si elle est de type fini et que ses strates sont finies²⁹ .

Réalisations cellulaires (pages 18 et 19). Soit \(L\) un ensemble ordonné, réalisé par des cellules fermées \(X_{x}\) (\(x \in L\)) d'un espace compact triangulable \(X\) : les intérieurs \(X_{x}^{\circ}\) partitionnent \(X\), et la famille des \(X_{x}\) est admissible — c'est une figure de \(X\). On se borne aux parties fermées (stables vers le bas) \(A\) de \(L\), pour que \(A \mapsto X_{A} = \bigcup_{x \in A} X_{x}\) soit une bijection sur les parties fermées de \(X\) saturées pour la partition en cellules ouvertes. Les figures de \(L\) dont les membres sont fermés s'interprètent alors comme des familles admissibles de parties fermées de \(X\) réunions de cellules : des modèles combinatoires de « subdivisions » de \(X\)³⁰ .

19–26

Raffinement et subdivision (pages 19 à 26)

Raffinement

Proposition (pages 19 à 22). Soient \(F\) et \(G\) deux figures. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)pour tout \(A \in F\), l'ensemble \(G^{A} = \{B \in G \mid A \subset B\}\) a un plus petit élément \(\varphi(A)\) ; et pour \(A \in F\), \(B \in G\), \(A \cap B\) est réunion de membres de \(F\) ;
2. b)pour tout \(A \in F\) il existe \(B \in G\) avec \(A^{\circ} \subset B^{\circ}\) — unique, noté \(\varphi(A)\) —, et \(\varphi : F \to G\) est croissante ;
3. b')pour tout \(A \in F\) il existe \(B \in G\) avec \(A^{\circ} \subset B^{\circ}\), et pour \(A \in F\), \(B \in G\), \(A^{\circ} \subset B \Rightarrow A \subset B\).

Dans a), \(\varphi\) est évidemment croissante, et a) entraîne \(|F| \subset |G|\)³¹ . a) \(\Rightarrow\) b) : si \(x \in A^{\circ}\) et \(x \in B' \subset \varphi(A)\), \(B' \cap A\) est réunion de membres de \(F\), l'un contient \(x\), c'est donc \(A\), et \(A \subset B'\) force \(B' = \varphi(A)\) ; donc \(x \in \varphi(A)^{\circ}\). b) \(\Rightarrow\) a), commencé page 20 et achevé page 21 : \(A = \bigcup_{A' \subset A} A'^{\circ}\) et chaque \(A'^{\circ}\) est dans \(\varphi(A') \subset \varphi(A)\), donc \(A \subset \varphi(A)\) ; si \(A \subset B'\), \(A^{\circ}\) rencontre \(\varphi(A)^{\circ}\) et \(B'\), donc \(\varphi(A) \subset B'\) ; enfin \(A \cap B\) est saturé pour \(R_{F}\), et le lemme « \(A^{\circ} \subset B \Rightarrow A \subset B\) », écrit en marge de la page 20, permet d'y remplacer chaque \(A'^{\circ}\) par \(A'\). Le corollaire b') vient de ce même lemme (page 22)³² .

Définition (page 22). On dit alors que \(F\) est un raffinement de \(G\), et l'on écrit \(F \ll G\).

C'est une relation d'ordre, et toute sous-figure est un raffinement. Une marge de la page 21 en donne la forme la plus parlante : \(F \ll G\) si et seulement si \(|F| \subset |G|\) et le préordre de \(F\) sur \(|F|\) est plus fin que celui que \(G\) induit³³ .

La première mouture définissait déjà le raffinement, comme deuxième ordre sur les figures topologiques, et se heurtait à « un pb, qui a l'air intéressant » de topologie des espaces stratifiés (dossier 156-4, pages 13 à 16). Dans le modèle ensembliste ce problème disparaît, et la troisième mouture se souviendra de la condition de fermeture de a) : « Dans GF V p. 19, 20, il fallait supposer… que pour \(A \in F\), \(B \in G\), \(A \cap B\) soit ou bien vide, ou une sous-strate de \(A\) » (dossier 156-7, page 12).

Subdivision

Proposition (pages 22 et 23). Pour \(F \ll G\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(F\) est maximal, pour \(\leq\), parmi les raffinements de \(G\) ;
2. b)\(|F| = |G|\) ;
3. c)toute strate ouverte de \(G\) est réunion de strates ouvertes de \(F\).

On dit alors que \(F\) est une subdivision de \(G\), et l'on écrit \(F \preccurlyeq G\).

b) \(\Rightarrow\) a) parce qu'une sous-figure de même support est la figure elle-même ; a) \(\Rightarrow\) b) parce que, si \(x \in |G| \smallsetminus |F|\), \(F \cup \{\{x\}\}\) est un raffinement de \(G\) qui contient \(F\) comme sous-figure stricte — on utilise que la réunion de deux raffinements compatibles en est un, le raffinement se vérifiant sur les multiplicités. La condition c) est ajoutée en marge ; une variante d) y est donnée aussi, qui demande que toute strate de \(G\) soit réunion de strates de \(F\) et que chaque \(G^{A}\) ait un plus petit élément³⁴ .

Le dictionnaire

Se donner \(F \ll G\), c'est se donner (page 24) un diagramme commutatif \[ \begin{array}{ccccc} S = |F| & \hookrightarrow & T = |G| & \hookrightarrow & L \\ \downarrow p & & \downarrow q & & \\ I & \xrightarrow{\ \varphi\ } & J & & \end{array} \] où \(p\), \(q\) sont surjectives et \(\varphi\) croissante, non nécessairement surjective³⁵ . Les images réciproques des parties fermées, ouvertes, localement fermées de \(T\) sont fermées, ouvertes, localement fermées dans \(S\) (pages 24 et 25). Une subdivision est le cas \(S = T\) : \(q = \varphi p\) avec \(\varphi\) surjective. Même bijective, \(\varphi\) n'est pas forcément un isomorphisme : deux ordres sur un même ensemble, l'un plus fin que l'autre, donnent \(F \preccurlyeq G\), \(F \neq G\), avec la même partition \(R_{F} = R_{G}\) (marge de la page 25).

En langage actuel, une figure est un ensemble stratifié au-dessus d'un ensemble ordonné, et le raffinement est un morphisme stratifié dont l'application sous-jacente est une inclusion.

Proposition (page 25). \(F \ll G\) si et seulement si \(F\) est une sous-figure d'une subdivision de \(G\) : \(F \leq G' \preccurlyeq G\).

On prend \(G' = F \amalg \coprod_{x \in |G| \smallsetminus |F|} \{\{x\}\}\), qui ajoute à \(F\) les points manquants comme strates isolées³⁶ . Ainsi \(\ll\) et \(\preccurlyeq\) se déterminent mutuellement par \(\leq\). La question inverse — retrouver \(\leq\) à partir de \(\ll\) et \(\preccurlyeq\) — reste posée avec deux points d'interrogation (page 26) ; on a du moins \[ F \leq G \ \text{et}\ F \preccurlyeq G \Longrightarrow F = G, \] que la page déduit dans le cadre axiomatique de C 5 et de l'existence, pour \(F \leq G\), \(F \neq G\), d'une figure non vide disjointe de \(F\) qui raffine \(G\).

Les axiomes C 5 à C 8

La page 26 les passe en revue. C 5 — si \(F \preccurlyeq G\), une figure est disjointe de \(F\) si et seulement si elle l'est de \(G\) — est trivial, les supports étant égaux. C 6, la subdivision induite sur une sous-figure, est vérifié page 29 ; C 7, le prolongement d'une subdivision, aux pages 29 à 36. C 8 est dit « trivial » sans être énoncé³⁷ .

27–29

La figure intersection (pages 27 à 29)

Après un essai barré, la page 27 construit, pour deux figures \(F\) et \(G\), la figure \[ F.G = \{A \cap B \mid A \in F,\ B \in G,\ A^{\circ} \cap B^{\circ} \neq \emptyset\}, \] indexée par l'image \(K\) de \(|F| \cap |G| \to I \times J\)³⁸ . Ses strates ouvertes sont les \(A^{\circ} \cap B^{\circ}\) non vides.

Proposition (page 28). \(F.G\) est la borne inférieure de \(F\) et \(G\) pour \(\ll\) ; plus généralement toute famille \((F_{i})\) a une borne inférieure \(\bigwedge F_{i}\) pour \(\ll\), de support \(\bigcap |F_{i}|\).

C'est en général différent de \(F \cap G\) ; mais si \(F\) et \(G\) sont compatibles, les deux coïncident. La page rapproche cette existence d'un inf d'une propriété de « demi-treillis »³⁹ . Une proposition barrée annonçait la « subdivision induite par un raffinement » ; elle est reprise ainsi :

Proposition (page 29). Soient \(F'\), \(F\), \(G\) trois figures.

1. a)\(F' \ll F \Rightarrow F'.G \ll F.G\) ;
2. b)\(F' \preccurlyeq F \Rightarrow F'.G \preccurlyeq F.G\) ;
3. c)\(F' \leq F \Rightarrow F'.G \leq F.G\), et alors \(F'.G = \{C \in F.G \mid C \subset |F'|\}\).

a) est la monotonie d'un inf ; b) s'en déduit, les supports étant égaux ; c) se démontre en notant qu'un membre de \(F'\) a la même strate ouverte dans \(F'\) et dans \(F\), et que \(A' \cap B' \subset A \cap B\) avec \(A'^{\circ} \cap B'^{\circ} \neq \emptyset\) force \(A' \subset A\).

Corollaire (page 29). L'axiome C 6 est vrai : si \(F' \preccurlyeq F\) et \(G \leq F\), il existe une unique subdivision \(G'\) de \(G\) qui soit une sous-figure de \(F'\), à savoir \(G' = F'.G = \{A \in F' \mid A \subset |G|\}\).

\noindent La page ne détaille pas le corollaire⁴⁰ .

29–36

Prolonger une subdivision (pages 29 à 36)

La subdivision prolongée

Soient \(G \leq F\) et \(G' \preccurlyeq G\). L'axiome C 7 demande une subdivision de \(F\) qui induise \(G'\) sur \(G\). La page 29 prend \[ F' = G' \cup (F \smallsetminus G), \] réunion disjointe : on remplace les membres de \(G\) par ceux de \(G'\), et l'on garde les autres. C'est, mot pour mot, la formule de C 4 dans la première version des axiomes de la première mouture (dossier 156-4, page 47).

Il faut vérifier que \(F'\) est une figure, qu'elle subdivise \(F\), et qu'elle induit \(G'\) (pages 30 et 31). On a \(|F'| = |F|\). Pour \(x \in |G|\), le membre \(A\) de \(G'\) dont la strate ouverte contient \(x\) est le plus petit membre de \(F'\) qui contient \(x\) : si \(x \in B \in F \smallsetminus G\), la trace \(B \cap |G|\) est réunion de membres de \(G\), donc de \(G'\), et contient \(x\), donc \(A\). Pour \(x \notin |G|\), c'est \(A_{F}(x)\), qui n'est pas dans \(G\)⁴¹ . Le raffinement se vérifie membre à membre ; enfin \(F'.G = G'\) par la formule de c) ci-dessus.

Comment caractériser \(F'\)

Corollaire (page 31), tel qu'énoncé. Parmi les subdivisions \(F''\) de \(F\) qui induisent \(G'\) sur \(G\), \(F'\) est caractérisée par chacune des propriétés équivalentes :

1. a)\(F'\) est le plus grand élément, pour \(\preccurlyeq\), de cet ensemble ;
2. b)l'application \(\varphi : F' \to F\) induit une bijection \(F' \smallsetminus G' \simeq F \smallsetminus G\) ;
3. c)pour tout \(A \in F \smallsetminus G\), \(A^{\circ}\) est une strate ouverte de \(F'\) ;
4. d)\(F' \supset F \smallsetminus G\).

La page barre a) d'une grande croix, prouve d) \(\Rightarrow\) b) (page 32) et b) \(\Leftrightarrow\) c) \(\Leftrightarrow\) d) (page 33), et commence a) \(\Leftrightarrow\) (b, c, d) avant de le barrer.

Ce qui est vrai⁴² :

1. –a) est vrai, et caractérise donc \(F'\) : toute subdivision \(F''\) de \(F\) qui induit \(G'\) est une subdivision de \(F'\), parce que les membres de \(F'\) — ceux de \(G'\) et ceux de \(F \smallsetminus G\) — sont fermés pour \(F''\). C'est ce que les pages 36 à 40 retrouveront sous la forme « la moins fine des topologies ».
2. –b) \(\Leftrightarrow\) c) est vrai, par l'argument de la page 33 : \(F''\)-strates et \(F\)-strates dans \(U\) sont les fibres de deux surjections \(U \to I''^{*} \to I^{*}\), et b), c) disent toutes deux que la seconde est bijective.
3. –d) n'est équivalente ni à b) ni à c). Sur \(L = \{p, q\}\), avec \(F = \{\{p, q\}\}\) et \(G = G' = \emptyset\), la subdivision \(F'' = \{\{p\}, \{p,q\}\}\) satisfait d) et non b). Avec \(F = \{\{p\}, \{p,q\}\}\) et \(G = G' = \{\{p\}\}\), la subdivision discrète \(F'' = \{\{p\}, \{q\}\}\) satisfait b) et c), non d).
4. –c) et d) ensemble caractérisent \(F'\) : d) donne \(F'' \supset F'\), et c) interdit à un membre de \(F \smallsetminus G\) d'avoir dans \(F''\) une strate ouverte plus petite que dans \(F\).

L'erreur est dans le « lemme » invoqué pages 32 et 33 : pour \(F' \ll F\) et \(A \in F\), « \(A \in F'\) si et seulement si \(A^{\circ (F)}\) est une strate ouverte de \(F'\) ». Les deux exemples précédents le contredisent, l'un dans chaque sens⁴³ .

La même chose en termes d'ensembles d'indices

Les pages 34 à 36 reprennent la situation avec \(f : S \to I\) pour \(F\), une partie fermée \(J \subset I\) pour \(G\), \(T = f^{-1}(J)\). Se donner \(G' \preccurlyeq G\), c'est factoriser \(f_{J} = f|_{T}\) en \(T \xrightarrow{g_{J}} J' \xrightarrow{h_{J}} J\), avec \(g_{J}\) surjective et \(h_{J}\) croissante surjective ; se donner \(F' \preccurlyeq F\), c'est factoriser \(f\) en \(S \xrightarrow{g} I' \xrightarrow{h} I\) ; et \(F'\) induit \(G'\) s'il existe \(i' : J' \hookrightarrow I'\) rendant le diagramme commutatif, avec \(J' = h^{-1}(J)\)⁴⁴ .

Il construit alors (page 35) l'ensemble ordonné \[ K = J' \amalg (I \smallsetminus J), \] ordonné par l'ordre de \(J'\), celui de \(I \smallsetminus J\), et, pour \(\alpha \in J'\), \(\beta \in I \smallsetminus J\), \(\alpha \leq \beta \iff h_{J}(\alpha) \leq \beta\) dans \(I\). C'est l'ensemble d'indices de \(F'\). L'application \(h_{K} : K \to I\), égale à \(h_{J}\) sur \(J'\) et à l'identité ailleurs, induit un isomorphisme \(K \smallsetminus J' \simeq I \smallsetminus J\), et \(J' = h_{K}^{-1}(J)\). La page 36 affirme que \(K\) est objet final parmi les carrés commutatifs de ce type, ce qui est juste⁴⁵ , et conclut : « Ça devrait impliquer (b, c, d) \(\Leftrightarrow\) a) ». Ce n'est pas le cas, on l'a vu : ce qu'il faut à côté de b), ce sont les relations croisées \(\alpha \leq \beta\) de \(K\), et c'est précisément ce qui sera trouvé page 48.

36–40

Le point de vue des ultra-topologies (pages 36 à 40)

Le 18 juin, la page 36 change de langage : « le point de vue des ultra-topologies est peut-être le plus pratique, sans prendre la peine des types d'explicitation laborieuse en termes d'ensembles d'indices ordonnés ». Une ultra-topologie est une topologie où toute réunion de fermés est fermée, autrement dit où tout point a un plus petit voisinage : une topologie d'Alexandrov, c'est-à-dire un préordre.

Une figure est alors un couple \((S, \tau)\) formé d'une partie \(S \subset L\) et d'une ultra-topologie sur \(S\) — les membres sont les adhérences des points —, et tout ce qui précède se relit :

1. –\((S, \tau)\) et \((S', \tau')\) sont compatibles si \(\tau\) et \(\tau'\) induisent la même topologie sur \(S \cap S'\), fermé dans les deux ; il y a alors une unique topologie sur \(S \cup S' = S \amalg_{S \cap S'} S'\) qui induise les deux et où \(S\), \(S'\) sont fermés : la topologie finale, « opération topologique bien familière » (pages 36 et 37) ;
2. –les sous-figures de \((S, \tau)\) sont ses parties fermées, avec la topologie induite ;
3. –\((S', \tau') \ll (S, \tau)\) signifie \(S' \subset S\) et l'inclusion continue ;
4. –\((S', \tau') \preccurlyeq (S, \tau)\) signifie \(S' = S\) et \(\tau'\) plus fine que \(\tau\) (page 38) ;
5. –la borne inférieure \(\bigwedge (S_{i}, \tau_{i})\) est \(\bigcap S_{i}\) muni du préordre intersection (marge de la page 38)⁴⁶ .

Les preuves des pages 6 à 33 deviennent, dans ce langage, des remarques de topologie générale.

La subdivision prolongée comme topologie

Revenant à \(G \leq F\), \(G' \preccurlyeq G\) (page 38), on pose \(S = |F|\), \(T = |G|\), fermé dans \((S, \tau)\), et \(\tau'_{0}\) la topologie de \(G'\) sur \(T\), plus fine que celle induite par \(\tau\). Les subdivisions de \(F\) qui induisent \(G'\) sont les topologies \(\tau''\) sur \(S\) plus fines que \(\tau\) et induisant \(\tau'_{0}\) : la composée \((T, \tau'_{0}) \to (S, \tau'') \to (S, \tau)\) est continue et l'on cherche le terme du milieu, « situation mixte » entre topologies initiales et finales. Les fermés \(A \cup B\), \(A\) fermé pour \(\tau\) et \(B\) fermé de \((T, \tau'_{0})\), forment une ultra-topologie qui convient (page 39) ; elle induit \(\tau\) sur \(S \smallsetminus T\)⁴⁷ . D'où :

Lemme (page 40). Soient \((S, \tau)\) un espace topologique, \(T \subset S\) un fermé, \(U = S \smallsetminus T\), et \(\tau'_{0}\) une topologie sur \(T\) plus fine que la topologie induite. Soit \(\mathfrak{T}\) l'ensemble des topologies sur \(S\) plus fines que \(\tau\) et induisant \(\tau'_{0}\) sur \(T\)⁴⁸ .

1. (a)\(\mathfrak{T}\) a un plus petit élément \(\tau'\) (la moins fine) ;
2. (b)une partie \(X\) de \(S\) est fermée pour \(\tau'\) si et seulement si 1°) \(X \cap U\) est fermé dans \((U, \tau|_{U})\), 2°) \(X \cap T\) est fermé dans \((T, \tau'_{0})\), 3°) \(\overline{X \cap U}^{(\tau)} \cap T \subset X \cap T\) ;
3. (c)les fermés de \(\tau'\) correspondent bijectivement aux couples \((B, A_{U})\), \(B\) fermé de \((T, \tau'_{0})\), \(A_{U}\) fermé de \((U, \tau|_{U})\), tels que \(\overline{A_{U}}^{(\tau)} \cap T \subset B\) ;
4. (d)si \(\tau\) et \(\tau'_{0}\) sont des ultra-topologies, \(\tau'\) en est une, de préordre : pour \(x, y \in T\), \(x \leq_{\tau'} y \iff x \leq_{\tau'_{0}} y\) ; pour \(y \in U\), \(x \leq_{\tau'} y \iff x \leq_{\tau} y\) ; jamais \(x \leq_{\tau'} y\) pour \(x \in U\), \(y \in T\).

\noindent Les points (c) et (d) sont en haut de la page 41, où la page s'ouvre au milieu de l'énumération⁴⁹ . La démonstration (pages 42 et 43) est complète : les conditions de (b) définissent une topologie, plus fine que \(\tau\), qui induit \(\tau'_{0}\) ; et tout fermé pour \(\tau'\) s'écrit \(X = (X \cap T) \cup \overline{X \cap U}^{(\tau)}\), réunion d'un fermé de \(T\) — donc de \(S\) pour toute \(\tau'' \in \mathfrak{T}\), \(T\) étant fermé — et d'un fermé de \(\tau\), donc fermé pour toute \(\tau''\). On en tire la formule d'adhérence, écrite en marge de la page 44 : \[ \overline{X}^{(\tau')} = \overline{X \cap U}^{(\tau)} \cup \overline{X \cap T}^{(\tau'_{0})} , \] et en particulier, pour \(A \subset U\), \(\overline{A}^{(\tau')} = \overline{A}^{(\tau)}\) (corollaire de la page 44)⁵⁰ .

C'est, pour des ensembles préordonnés, la situation du recollement d'un ouvert et d'un fermé complémentaire : une topologie sur \(S\) dans laquelle \(T\) est fermé est déterminée par ses traces sur \(T\) et sur \(U\) et par la façon dont l'adhérence envoie les fermés de \(U\) dans \(T\) ; \(\tau'\) est le recollement de \(\tau'_{0}\) et de \(\tau|_{U}\) le long de l'application \(A \mapsto \overline{A}^{(\tau)} \cap T\)⁵¹ .

41–48

Recollement, et une caractérisation fausse (pages 41 à 48)

L'énoncé e)

Sous les hypothèses de (d), la page 41 passe aux ensembles ordonnés quotients : \(I\), \(I'\) ceux de \(\tau\), \(\tau'\), \(J \subset I\) la partie fermée qui correspond à \(T\), \(\varphi : I' \to I\), \(J' = \varphi^{-1}(J)\), \(U' = I' \smallsetminus J'\). Elle énonce :

e) (pages 41 et 42). La topologie de \(I'\) est caractérisée par : (i) elle est plus fine que l'image réciproque \(\widetilde{\tau}\) de celle de \(I\), et induit sur \(J'\) la topologie donnée ; (ii) elle coïncide avec \(\widetilde{\tau}\) sur \(U'\) ; (iii) \(\varphi\) induit un isomorphisme d'ensembles ordonnés \(U' \simeq I \smallsetminus J\) ; (iv) la topologie de \(I\) est quotient pour \(I' \to I\) et \(J \to I\).

\noindent et la marge de la page 42, écrite après coup, dit aussitôt « C'est faux », avec un renvoi à la page 48⁵² . La propriété (iv), dans sa forme sur \(S\) — une partie de \(S\) est fermée pour \(\tau\) si et seulement si elle l'est pour \(\tau'\) et que sa trace sur \(T\) l'est pour \(\tau\) —, est vraie de \(\tau'\) ; c'est le corollaire de la page 45, démontré par la formule d'adhérence⁵³ .

Deux corollaires homotopiques

La page 46 en tire des corollaires sur les ensembles ordonnés, notant ici \(\varphi^{*} = h_{J} : J' \to J\) et \(\varphi = h_{K} : K \to I\). Si \(\varphi^{*}\) est surjective, \(\varphi\) l'est ; si les fibres de \(\varphi^{*}\) sont 0-connexes, celles de \(\varphi\) aussi⁵⁴ . Et surtout :

Corollaire (page 46). Si les \(\varphi^{*-1}(J_{\leq x})\), \(x \in J\), sont faiblement contractiles, les \(\varphi^{-1}(I_{\leq x})\), \(x \in I\), le sont aussi.

\noindent Pour \(x \in J\) c'est l'hypothèse ; pour \(x \notin J\), la page montre que \(\varphi^{-1}(I_{\leq x})\) a un plus grand élément, l'unique antécédent \(x'\) de \(x\), et un ensemble ordonné qui a un plus grand élément est contractile. « OK ! » L'argument utilise les relations croisées de \(K\) — \(\alpha \leq x'\) dès que \(h_{J}(\alpha) \leq x\) — et vaut donc pour la topologie \(\tau'\), non pour une topologie quelconque satisfaisant (i)–(iv). La condition sur les \(\varphi^{-1}(I_{\leq x})\) est l'hypothèse du théorème A de Quillen, et la page la qualifie d'« homotopiquement propre » ; d'où, ajoute-t-elle, une équivalence d'homotopie faible universelle⁵⁵ .

« C'est ultra faux »

La page 47 s'aperçoit que e) n'est pas démontré : « Mais je n'ai pas démontré … pour prouver e), il faut montrer que \(\tau'\) a les conditions dites », avec en marge « vrai ? c'est faux !! ». Elle reformule sur \(S\) : si \(\tau''\) vérifie (i) \(\tau''\) plus fine que \(\tau\), (ii) \(\tau''|_{T} = \tau'_{0}\), (iii) \(\tau''|_{U} = \tau|_{U}\), (iv) \(\tau\) est finale pour \((S, \tau'') \to S\) et \((T, \tau|_{T}) \to S\), a-t-on \(\tau'' = \tau'\) ? On sait \(\tau''\) plus fine que \(\tau'\) ; pour la réciproque il faudrait la condition 3°), donc que \(\overline{A}^{(\tau'')} = \overline{A}^{(\tau)}\) pour \(A \subset U\), et (iv) ne le donne pas. Page 48 : « C'est ultra faux ».

Le contre-exemple est dessiné : \(I'\) a trois éléments, \(I\) deux, \(J\) un, \(J'\) deux. On le rend explicite ainsi⁵⁶ : \(S = \{a, b, c\}\), \(T = \{a, c\}\), \(U = \{b\}\) ; \(\tau\) est le préordre où \(a\) et \(c\) sont équivalents et inférieurs à \(b\), de sorte que \(I = \{j < u\}\) ; \(\tau'_{0}\) est l'ordre discret sur \(\{a, c\}\). La topologie recollée \(\tau'\) est l'ordre \(a < b\), \(c < b\). La topologie \(\tau''\) d'ordre \(a < b\) seul, \(c\) isolé, vérifie (i), (ii), (iii), et (iv) — le préordre engendré par celui de \(\tau''\) et par \(a \sim c\) est bien celui de \(\tau\) —, mais l'adhérence de \(\{b\}\) est \(S\) pour \(\tau\) et \(\{a, b\}\) pour \(\tau''\). Donc \(\tau'' \neq \tau'\), et e) est faux.

Sous un trait horizontal, marquée d'un double trait en marge, vient la conclusion :

La condition à imposer pour caractériser \(\tau'\) dans \(\mathfrak{T}\) est la condition évidente : pour \(A \subset U\), l'adhérence de \(A\) pour \(\tau\) et pour \(\tau'\) est la même — ce qui entraîne déjà \(\tau'|_{U} = \tau|_{U}\).

C'est juste⁵⁷ , et cela referme la question ouverte page 31. La dernière formule de la page, l'adhérence d'une partie quelconque pour \(\tau'\), est celle de la marge de la page 44 : \[ \overline{A}^{(\tau')} = \overline{A \cap U}^{(\tau)} \cup \overline{A \cap T}^{(\tau'_{0})} . \] La page 48 écrit le signe du milieu \(\cap\)⁵⁸ .

Le dossier s'arrête là. Le chapitre suivant, daté du même 18 juin que la page 36, recommence l'Analysis situs sous le titre d'« Algèbre de figures ou Atelier » (dossier 156-6), où la relation \(\preccurlyeq\) est dite « formellement la plus délicate ».