Fonds Grothendieck, cote n° 156-4, pages 81–88 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-27
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)156-4
[Chapitre] IV. Analysis situs (première mouture) : notes manuscrites (10/06/1986)
Pages 81 à 88 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 5 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1986Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/156-4.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
la page continue la démonstration commencée au bas de la page 80 (« Supposons X \leq F, ») ; le tiers supérieur, jusqu'à « X \ll G_X < », est barré de trois longs traits obliques\begin{array}{ccccc}
X \ll & G & \leq & F \\
& \geq & & \geq \\
& G_X & \leq & X
\end{array}dans ce tableau et les suivants, le signe placé entre deux lignes est sa relation écrite verticalement, à lire du terme du haut vers le terme du bas ; ici G \geq G_X et F \geq X
Soit G_X la sous-figure de G image inverse dela sous-figure X de F. Par le Cor. prop. (p. 78) X raffine : à la fois la sous-figure X de F, et G raffine G_X, donc X \ll G_X <le chiffre après le 7 du renvoi est douteux (76 ou 78)
Soit Supposons X \leq F, Xest de F, \overline{F}_X, G_X, \overline{G}_X, considérons les images inverses (dans F, G, ) deux sous-figures de F, G, \overline{G} des \overline{F}, G, \overline{G}. (Donc on trouve (par la prop.deux lignes surchargées et barrées ; l'ordre des insertions n'est pas sûr
X \ll \overline{G}_X
en particulier : H (= \overline{G}) figure, H' (= \overline{G}_X) sous-figure, Xmultistratefigure, H (X \leq H') de la propriété universelle de la prop.
passage encadré en partie et raturé ; lu par fragments
\begin{array}{ccc}
G_X & \leq & X \\
& & \succcurlyeq \\
\overline{G}_X & \leq & F_X \\
\geq & & \\
X & &
\end{array}sous G_X un signe surchargé, non lu ; au pied, « X est une multistrate »
On est ramené à prouver X \leq G_X.
en haut à droite du bloc suivant, un « (\leq F_X \leq) » barréC 8 a) Soit X \preccurlyeq G multistrate, \PhiX une multistrate, \Phi une subdivision de X, si X \leq \Phi (i.e. X) on a X = \Phi. b) Si X \preccurlyeq \Psi, X multistrate, \Psi figure, alors X = \Psi. Dans les deux cas, d'après on trouve X \leq \overline{G}_X \leq F_X = X, donc X = \overline{G}_X, d'oùX \preccurlyeq G_X \leq Xtout ce bloc, de « C 8 » au bas de la page, est barré de longs traits obliques ; « C 8 » souligné, un trait vertical dans la marge gauche ; il est repris à la page 82
provisoire !la marge porte « provisoire ! » en oblique et un double trait vertical le long de l'énoncéC 8 (0) Considérons les situations
\begin{array}{lll}
(a) & X \leq \Phi \preccurlyeq X & \Phi \in \mathfrak{F},\ X \in \mathcal{M} \\
(b) & X \preccurlyeq \Psi \leq X & \Psi \in \mathfrak{F},\ X \in \mathcal{M}
\end{array}Alors Alors on a X = \Phi et X = \Psi.
Achevons la dém. Appliquant (a) à
X \leq F_X \preccurlyeq X
on trouve X = F_X, d'où, comme
X \leq \overline{G}_X \leq F_X = X ,X = \overline{G}_X, d'où
\overline{G}_X = X \preccurlyeq G_X \leq Xun « X = » barré devant \overline{G}_X
et appliquant (b), on trouve X = G_X et par suite X \leq G_X, cqfd.
Remarques Bien sûr, C8 est nécessaire si on veut que \ll soit une relation d'ordre. Et c'est aussi suffisant ;
Cor. de (C8) via prop. p. 78) Si F \ll G et G \ll F, on a F = G.
Dém.Soit X \in \overline{F} i.e. X \in \mathcal{M}, X \leq F On va prouver F \leq G ; on auraIl faut prouver par symétrie G \leq F, donc F = G. pour pour X \in \mathcal{M}, (X \leq F) \RightarrowX \leq G.la barre sur le F de la ligne barrée est ondulée (lue comme \overline{F}, douteux)\begin{array}{ccccc}
F & \ll & G & \ll & F \\
\geq & & \geq & & \geq \\
F_X & \ll & G_X & \ll & X \\
\geq & & & & \\
X & & & &
\end{array}ce tableau, au pied de la page, est traversé de traits verticaux et d'un trait oblique ; le premier \ll est surchargé
On a par définition de \ll\begin{array}{ccccc}
F & \leq & G' & \preccurlyeq & G \\
& & & & \leq \\
& & & & F' \\
& & & & \preccurlyeq \\
& & & & F
\end{array}
on complète par C7
\begin{array}{ccccc}
F & \leq & G' & \preccurlyeq & G \\
& & \geq & & \leq \\
& & H & \preccurlyeq & F' \\
& & & & \preccurlyeq \\
& & & & F
\end{array}le signe vertical sous G' est surchargé ; lu \geq, douteux
donc
(*) \qquad F \leq H \preccurlyeq F
On va en conclure F = H (grâce à C8 (a)), donc
G' = F , \quad F' = F , \quad \text{d'où}(**) \qquad F \preccurlyeq G \leq F
on va en conclure F = G (grâce à C8 (b)).
Mais ça , on de F et HH \preccurlyeq F \leq H !longue note oblique de la marge gauche, en regard de (*) et (**), précédée d'un double trait ; lue par fragments
Prouvons d'abord ce dernier pt : il faut suffit de prouver F \leq G, i.e. X \in \mathcal{M}, X \leq F\LongrightarrowX \leq G, c'est le corollaire p. 80.
Pour (**)
On a essayé ici de se débrouiller aussi bien que possible, sans axiomes et raisonnements de disjonction, genre C5.
Remarque Soient \mathfrak{F}un ens un ensemble muni de deux relations d'ordre \leq, \preccurlyeq, satisfaisant les conditions suivantes
Pour
\begin{array}{ccc}
F & \geq & G \\
\succcurlyeq & & \\
F' & &
\end{array}
on peut compléter de façon unique en
(*) \qquad
\begin{array}{ccc}
F & \geq & G \\
\succcurlyeq & & \succcurlyeq \\
F' & \geq & G'
\end{array}le premier \geq de a) est écrit sur un autre signePour
\begin{array}{ccc}
G & \leq & F \\
\succcurlyeq & & \\
G' & &
\end{array}
on peut compléter (de façon pas nécessairement unique) en
\begin{array}{ccc}
G & \leq & F \\
\succcurlyeq & & \succcurlyeq \\
G' & \leq & F'
\end{array}Si F \leq G \preccurlyeq F (ou ce qui revient au même G \preccurlyeq F \leq G), alors F = G.
Alors : (i) Posant F \ll \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists
Posant G \ll F \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists\, F' avec G \leq F' \preccurlyeq F, la relation \ll est une relation d'ordre. (, suppose que a) b))
le G de « G \ll F » et le F' qui suit sont écrits sur d'autres lettres
Dans le cas a), le carré (*) \leq, i.e. … est cartésien pour \ll, i.e.
G' = \operatorname{Inf}_{\ll}(F', G)l'insertion interlinéaire, reliée à (*) par un trait, n'est lue qu'en partieSi Si G\begin{array}{ccc}
F & \geq & G \\
\geq & & \geq \\
F' & \geq & G'
\end{array}
est cartésien pour \geq, il est cartésien pour \ll.
le F et les deux signes de la première colonne et de la première ligne sont surchargés ; les relations lues ici sont douteuses
Il que des ?? P. ex. \operatorname{Inf} pris dans . Il faudrait au clair la définition.longue note oblique de la marge gauche, en regard de (ii) et (iii), soulignée de deux traits ; lue par fragments
Dans les axiomes des contrées, il faudrait séparer
un paquet concernant \leq tout seul (C1 à C4)un paquet autour des propriétés « formelles » des relations \leq, \preccurlyeq (celles qui viennent d'apparaître) sans questions de support ni de disjonction, et en utilisant le minimum sur \leq tout seul. Conditions qui assurent, quand les supmajorés existent pour \leq, que ceux-ci commutent à l'induction sur une subdivision.
les signes de cette liste et de celle de la page 86 sont des signes entourés dont le signe intérieur n'est pas lu
Au besoin, si on en . Je les axiomes minimaux, donnant le paquet des propriétés formelles « évidentes » des de vraie signification géom.
Axiomes de recollement des subdivisionsUn Un paquet d'axiomes de disjonction
C8 —
C8 Axiome de recollement des subdivisions
Soit F = \operatorname{Sup} F_i, et pour tout i, soit F'_i une subdivision de F_i, telle que pour i, j, on ait F'_i \mid F_i \cap F_j = F'_j \mid F_i \cap F_j, alors F' = \operatorname{Sup} F'_i existe et est une subdivision de F.
un trait vertical dans la marge le long de l'énoncé
Soit (Devrait suivre C6), cela complète C6 (c)
Cor. Soit F \amalg F_i, alorsF = \coprod F_i, alors
\operatorname{Subdiv}(F) \simeq \prod_i \operatorname{Subdiv}(F_i)
Axiomes de disjonction et de support.
Pour formuler les axiomes sous forme aussi forte et sensible que possible, c'est le moment d'introduire les lieux.
DéfinitionRappelOn appelle Soit F \in \mathfrak{F}, F \neq \emptyset_{\mathfrak{F}}conditions conditions équivalentes
F' \preccurlyeq F \Longrightarrow F' = F i.e. F est minimal dans \mathfrak{F} pour \preccurlyeqF' \ll F, F' \neq \emptyset\Longrightarrow F' = F i.e. F est minimal dans \mathfrak{F}\smallsetminus \lbrace\emptyset\rbrace pour \ll
et elles impliquent que F \in \mathcal{M}, et F est minimal dans \mathcal{M} () pour \leqà partir de « Soit F \in \mathfrak{F} » le bas de la page est barré de trois traits obliques ; la barre continue en haut de la page 87
à gauche du numéro 87, un numéro biffé, lu 88 sous réserveDém. b) \Rightarrow a) trivial, prouvons a) \Rightarrow b). Soit F' \ll F i.e. F' \leq \overline{F} \preccurlyeq F. Alors (a), \overline{F} = F, donc F' \leq F. Par C7, \existsOn a donc F' \leq F ce qui implique F' = F.Mais siOn va le prouver tantôt.Ceci dit, comme \ll implique \leq, il en résulte que (si F \neq \emptyset) F est minimal dans \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace\emptyset\rbrace.Pour \leq : si X' \leqce haut de page est encadré et barré de longs traits obliques, dans le prolongement de la page 86
Définition On appelle lieude C un élément de \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace\emptyset_{\mathfrak{F}}\rbrace minimal pour \ll, i.e. une figure F telle que FF \neq \emptyset_{\mathfrak{F}}, et F' \ll F, F' \neq \emptyset_{\mathfrak{F}} implique F' = F.
un trait vertical dans la marge le long de la définition
Ainsi, on voit qu'un lieu est \in \mathcal{M}, et c'est aussi un élément de \mathcal{M} minimal pour \leq (mais il n'est pas vrai, dans l'état actuel des choses, i.e. avec les axiomes qu'on a introduits jusqu'à présent) que l'inverse soit vrai. (Ce sera vrai cependant pour les « contrées sans bords »…)
On désigne par \mathcal{L} l'ensemble des lieux.
On Pour toute F \in \mathfrak{F}, on appelle ombre de F l'ens. des x \in \mathcal{L} tels que x \ll F, notation |F|, et multiombre l'ens
des parties de \mathcal{L}\widehat{F} = \lbrace\, |X| \mid X \in \overline{F} \ \text{i.e.}\ X \in \mathcal{M},\ X \leq F \,\rbrace
Ainsi on a
|F| \subset \mathcal{L} , \qquad \widehat{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L})
et on a
|F| = \bigcup_{X \in \overline{F}} |X| = \bigcup_{A \in \widehat{F}} A .un chapeau barré sur le |F| de la deuxième formule
Cette relation signifie que si x \in \mathcal{L} est tel que x \ll F, \exists\, X \in \overline{F} tel que x \ll X, et pour ceci, voir prop. p. 78. Il y a même un plus petit tel X (cor. à la prop.).
Mais pour la prouver, on utilisenote oblique de la marge gauche, en regard de ce paragraphe
Proposition La multiombre \Phi =\widehat{F} d'une figure est une famille admissible de parties de \mathcal{L}, i.e.
\forallA \in \Phi, posant \partial A = \bigcup_{B \subset A,\ B \neq A} B, on a \partial A \neq A i.e. A^{\circ} \overset{\mathrm{def}}{=} A \smallsetminus \partial A \neq \emptyset\forall\, A, B \in \Phi, on a A \cap B = \bigcup_{C \in \Phi,\ C \subset A \cap B} C
la page, dernière du dossier, s'arrête sur cet énoncé ; la démonstration ne suit pas