Cote n° 156-4 · batch 5 · pages 81–88 · Transcription · [Chapitre] IV. Analysis situs (première mouture) : notes manuscrites (10/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

81la page continue la démonstration commencée au bas de la page 80 (« Supposons \(X \leq F\), ») ; le tiers supérieur, jusqu'à « \(X \ll G_X <\) », est barré de trois longs traits obliques \[ \begin{array}{ccccc} X \ll & G & \leq & F \\ & \geq & & \geq \\ & G_X & \leq & X \end{array} \] dans ce tableau et les suivants, le signe placé entre deux lignes est sa relation écrite verticalement, à lire du terme du haut vers le terme du bas ; ici \(G \geq G_X\) et \(F \geq X\)

Soit \(G_X\) la sous-figure de \(G\) image inverse de […] la sous-figure \(X\) de \(F\). Par le Cor. prop. (p. 78) \(X\) raffine […] : à la fois la sous-figure \(X\) de \(F\), et \(G\) raffine \(G_X\), donc \(X \ll G_X <\) le chiffre après le 7 du renvoi est douteux (76 ou 78)

Soit Supposons \(X \leq F\), […] \(X\) est […] de \(F\), […] \(\overline{F}_X\), \(G_X\), \(\overline{G}_X\) […], considérons les images inverses ⌜(dans \(F\), \(G\), […])⌝ […] deux sous-figures de \(F\), \(G\), \(\overline{G}\) des \(\overline{F}\), \(G\), \(\overline{G}\). (Donc on trouve (par la prop. deux lignes surchargées et barrées ; l'ordre des insertions n'est pas sûr

\(X \ll \overline{G}_X\)

[…] […] en particulier : \(H\) (\(= \overline{G}\)) […] figure, \(H'\) (\(= \overline{G}_X\)) sous-figure, \(X\) ⌜multistrate⌝ figure, \(H\) (\(X \leq H'\)) […] […] de la propriété universelle de la prop. passage encadré en partie et raturé ; lu par fragments

\[ \begin{array}{ccc} G_X & \leq & X \\ & & \succcurlyeq \\ \overline{G}_X & \leq & F_X \\ \geq & & \\ X & & \end{array} \] sous \(G_X\) un signe surchargé, non lu ; au pied, « \(X\) est une multistrate »

On est ramené à prouver \(X \leq G_X\).

en haut à droite du bloc suivant, un « (\(\leq F_X \leq\)) » barré C 8 a) Soit \(X \preccurlyeq G\) […] multistrate, \(\Phi\) […] \(X\) une multistrate, \(\Phi\) une subdivision de \(X\), si \(X \leq \Phi\) (i.e. \(X\) […]) on a \(X = \Phi\). b) Si \(X \preccurlyeq \Psi\), \(X\) multistrate, \(\Psi\) figure, alors \(X = \Psi\). Dans les deux cas, d'après […] on trouve […] \(X \leq \overline{G}_X \leq F_X = X\), donc \(X = \overline{G}_X\), d'où \(X \preccurlyeq G_X \leq X\) tout ce bloc, de « C 8 » au bas de la page, est barré de longs traits obliques ; « C 8 » souligné, un trait vertical dans la marge gauche ; il est repris à la page 82

82provisoire ! la marge porte « provisoire ! » en oblique et un double trait vertical le long de l'énoncé C 8 (0) Considérons les situations \[ \begin{array}{lll} (a) & X \leq \Phi \preccurlyeq X & \Phi \in \mathfrak{F},\ X \in \mathcal{M} \\ (b) & X \preccurlyeq \Psi \leq X & \Psi \in \mathfrak{F},\ X \in \mathcal{M} \end{array} \] Alors Alors on a \(X = \Phi\) et \(X = \Psi\).

Achevons la dém. Appliquant (a) à \[ X \leq F_X \preccurlyeq X \] on trouve \(X = F_X\), d'où, comme \[ X \leq \overline{G}_X \leq F_X = X , \] \(X = \overline{G}_X\), d'où \[ \overline{G}_X = X \preccurlyeq G_X \leq X \] un « \(X =\) » barré devant \(\overline{G}_X\) et appliquant (b), on trouve \(X = G_X\) et par suite \(X \leq G_X\), cqfd.

Remarques Bien sûr, C8 est nécessaire si on veut que \(\ll\) soit une relation d'ordre. Et c'est aussi suffisant ;

Cor. de (C8) ⌜via prop. p. 78)⌝ Si \(F \ll G\) et \(G \ll F\), on a \(F = G\).

Dém. Soit \(X \in \overline{F}\) i.e. \(X \in \mathcal{M}\), \(X \leq F\) On va prouver \(F \leq G\) ; […] on aura Il faut prouver par symétrie \(G \leq F\), donc \(F = G\). pour pour \(X \in \mathcal{M}\), (\(X \leq F\)) \(\Rightarrow\) \(X \leq G\). la barre sur le \(F\) de la ligne barrée est ondulée (lue comme \(\overline{F}\), douteux) \[ \begin{array}{ccccc} F & \ll & G & \ll & F \\ \geq & & \geq & & \geq \\ F_X & \ll & G_X & \ll & X \\ \geq & & & & \\ X & & & & \end{array} \] ce tableau, au pied de la page, est traversé de traits verticaux et d'un trait oblique ; le premier \(\ll\) est surchargé

83On a par définition de \(\ll\) \[ \begin{array}{ccccc} F & \leq & G' & \preccurlyeq & G \\ & & & & \leq \\ & & & & F' \\ & & & & \preccurlyeq \\ & & & & F \end{array} \] on complète par C7 \[ \begin{array}{ccccc} F & \leq & G' & \preccurlyeq & G \\ & & \geq & & \leq \\ & & H & \preccurlyeq & F' \\ & & & & \preccurlyeq \\ & & & & F \end{array} \] le signe vertical sous \(G'\) est surchargé ; lu \(\geq\), douteux

[…] donc \[ (*) \qquad F \leq H \preccurlyeq F \] On va en conclure \(F = H\) (grâce à C8 (a)), donc \[ G' = F , \quad F' = F , \quad \text{d'où} \] \[ (**) \qquad F \preccurlyeq G \leq F \] on va en conclure \(F = G\) (grâce à C8 (b)).

Mais ça […] […] […], on […] […] […] de \(F\) et \(H\) […] \(H \preccurlyeq F \leq H\) ! longue note oblique de la marge gauche, en regard de (*) et (**), précédée d'un double trait ; lue par fragments

Prouvons d'abord ce dernier pt : il faut suffit de prouver \(F \leq G\), i.e. […] \(X \in \mathcal{M}\), \(X \leq F\) \(\Longrightarrow\) \(X \leq G\), c'est […] […] le corollaire p. 80.

Pour […] (**)

On a essayé ici de se débrouiller aussi bien que possible, sans axiomes et raisonnements de disjonction, genre C5.

84Remarque Soient \(\mathfrak{F}\) un ens un ensemble muni de deux relations d'ordre \(\leq\), \(\preccurlyeq\), satisfaisant les conditions suivantes

  1. a)Pour \[ \begin{array}{ccc} F & \geq & G \\ \succcurlyeq & & \\ F' & & \end{array} \] on peut compléter de façon unique en \[ (*) \qquad \begin{array}{ccc} F & \geq & G \\ \succcurlyeq & & \succcurlyeq \\ F' & \geq & G' \end{array} \] le premier \(\geq\) de a) est écrit sur un autre signe
  2. b)Pour \[ \begin{array}{ccc} G & \leq & F \\ \succcurlyeq & & \\ G' & & \end{array} \] on peut compléter (de façon pas nécessairement unique) en \[ \begin{array}{ccc} G & \leq & F \\ \succcurlyeq & & \succcurlyeq \\ G' & \leq & F' \end{array} \]
  3. c)Si \(F \leq G \preccurlyeq F\) (ou ce qui revient au même \(G \preccurlyeq F \leq G\)), alors \(F = G\).

Alors : (i) Posant \(F \ll \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists\)

  1. (i)Posant \(G \ll F \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists\, F'\) avec \(G \leq F' \preccurlyeq F\), la relation \(\ll\) est une relation d'ordre. ([…] […], […] […] suppose que a) b))

le \(G\) de « \(G \ll F\) » et le \(F'\) qui suit sont écrits sur d'autres lettres

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  1. (ii)Dans le cas a), le carré (*) ⌜[…] \(\leq\), i.e. …⌝ est cartésien pour \(\ll\), i.e. \[ G' = \operatorname{Inf}_{\ll}(F', G) \] l'insertion interlinéaire, reliée à (*) par un trait, n'est lue qu'en partie
  2. (iii)Si Si \(G\) \[ \begin{array}{ccc} F & \geq & G \\ \geq & & \geq \\ F' & \geq & G' \end{array} \] est cartésien pour \(\geq\), il est cartésien pour […] \(\ll\). le \(F\) et les deux signes de la première colonne et de la première ligne sont surchargés ; les relations lues ici sont douteuses

Il […] que […] […] […] des […] ?? P. ex. […] \(\operatorname{Inf}\) […] pris dans […]. Il faudrait […] au clair la définition. longue note oblique de la marge gauche, en regard de (ii) et (iii), soulignée de deux traits ; lue par fragments

Dans les axiomes des contrées, il faudrait séparer

les signes de cette liste et de celle de la page 86 sont des signes entourés dont le signe intérieur n'est pas lu

Au besoin, si on en […] […]. Je […] […] […] […] les axiomes minimaux, donnant le paquet des propriétés formelles « évidentes » des […] de vraie signification géom.

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C8 —

C8 Axiome de recollement des subdivisions

Soit \(F = \operatorname{Sup} F_i\), et pour tout \(i\), soit \(F'_i\) une subdivision de \(F_i\), telle que pour \(i, j\), on ait \(F'_i \mid F_i \cap F_j = F'_j \mid F_i \cap F_j\), alors \(F' = \operatorname{Sup} F'_i\) existe et est une subdivision de \(F\). un trait vertical dans la marge le long de l'énoncé

Soit (Devrait suivre C6), cela complète C6 (c)

Cor. Soit \(F \amalg F_i\), alors \(F = \coprod F_i\), alors \[ \operatorname{Subdiv}(F) \simeq \prod_i \operatorname{Subdiv}(F_i) \]

Axiomes de disjonction et de support.

Pour formuler les axiomes sous forme aussi forte et sensible que possible, c'est le moment d'introduire les lieux.

Définition Rappel On appelle Soit \(F \in \mathfrak{F}\), ⌜\(F \neq \emptyset_{\mathfrak{F}}\)⌝ conditions conditions équivalentes

  1. a)\(F' \preccurlyeq F \Longrightarrow F' = F\) i.e. \(F\) est minimal dans \(\mathfrak{F}\) pour \(\preccurlyeq\)
  2. b)\(F' \ll F\), ⌜\(F' \neq \emptyset\)⌝ \(\Longrightarrow F' = F\) i.e. \(F\) est minimal dans \(\mathfrak{F}\) ⌜\(\smallsetminus \lbrace\emptyset\rbrace\)⌝ pour \(\ll\)

et elles impliquent que \(F \in \mathcal{M}\), […] et \(F\) est minimal dans \(\mathcal{M}\) ([…] […] […]) pour \(\leq\) à partir de « Soit \(F \in \mathfrak{F}\) » le bas de la page est barré de trois traits obliques ; la barre continue en haut de la page 87

87à gauche du numéro 87, un numéro biffé, lu 88 sous réserve Dém. b) \(\Rightarrow\) a) trivial, prouvons a) \(\Rightarrow\) b). Soit \(F' \ll F\) i.e. \(F' \leq \overline{F} \preccurlyeq F\). Alors (a), \(\overline{F} = F\), donc \(F' \leq F\). Par C7, \(\exists\) On a donc \(F' \leq F\) […] ce qui implique \(F' = F\). Mais si On va le prouver tantôt. Ceci dit, comme \(\ll\) implique \(\leq\), il en résulte que (si \(F \neq \emptyset\)) \(F\) est minimal dans \(\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace\emptyset\rbrace\). Pour \(\leq\) : si \(X' \leq\) ce haut de page est encadré et barré de longs traits obliques, dans le prolongement de la page 86

Définition On appelle lieu ⌜de \(C\)⌝ un élément de \(\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace\emptyset_{\mathfrak{F}}\rbrace\) minimal pour \(\ll\), i.e. une figure \(F\) telle que \(F\) \(F \neq \emptyset_{\mathfrak{F}}\), et \(F' \ll F\), \(F' \neq \emptyset_{\mathfrak{F}}\) implique \(F' = F\). un trait vertical dans la marge le long de la définition

Ainsi, on voit qu'un lieu est […] \(\in \mathcal{M}\), et c'est aussi un élément de \(\mathcal{M}\) minimal pour \(\leq\) (mais il n'est pas vrai, dans l'état actuel des choses, i.e. avec les axiomes qu'on a introduits jusqu'à présent) que l'inverse soit vrai. (Ce sera vrai cependant pour les « contrées sans bords »…)

On désigne par \(\mathcal{L}\) l'ensemble des lieux.

On Pour toute \(F \in \mathfrak{F}\), on appelle ombre de \(F\) l'ens. des \(x \in \mathcal{L}\) tels que \(x \ll F\), notation \(|F|\), et multiombre l'ens

88des parties […] de \(\mathcal{L}\) \[ \widehat{F} = \lbrace\, |X| \mid X \in \overline{F} \ \text{i.e.}\ X \in \mathcal{M},\ X \leq F \,\rbrace \] Ainsi on a \[ |F| \subset \mathcal{L} , \qquad \widehat{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L}) \] et on a \[ |F| = \bigcup_{X \in \overline{F}} |X| = \bigcup_{A \in \widehat{F}} A . \] un chapeau barré sur le \(|F|\) de la deuxième formule

Cette relation signifie que si \(x \in \mathcal{L}\) est tel que \(x \ll F\), \(\exists\, X \in \overline{F}\) tel que \(x \ll X\), […] et pour ceci, voir prop. p. 78. Il y a même un plus petit tel \(X\) (cor. à la prop.).

Mais pour la prouver, on utilise […] […] […] note oblique de la marge gauche, en regard de ce paragraphe

Proposition La multiombre ⌜\(\Phi =\)⌝ \(\widehat{F}\) d'une figure est une famille admissible de parties de \(\mathcal{L}\), i.e.

  1. a)\(\forall\) […] \(A \in \Phi\), posant \(\partial A = \bigcup_{B \subset A,\ B \neq A} B\), on a \(\partial A \neq A\) i.e. \(A^{\circ} \overset{\mathrm{def}}{=} A \smallsetminus \partial A \neq \emptyset\)
  2. b)\(\forall\, A, B \in \Phi\), on a \(A \cap B = \bigcup_{C \in \Phi,\ C \subset A \cap B} C\)

la page, dernière du dossier, s'arrête sur cet énoncé ; la démonstration ne suit pas