Fonds Grothendieck, cote n° 156-4, pages 21–40

la page continue la fin de la page 20 (batch 1), où sont posés \mathcal{L}_X, \widehat{\mathcal{L}}_X, \mathcal{L}_{\mathcal{F}}, \widehat{\mathcal{L}}_{\mathcal{F}} et où un « Contr_3 » est commencé puis barré ; l'abréviation lue ici « Cont » est vraisemblablement la même ~~Soit X une multiplicité.~~ L'application X_i \mapsto \mathcal{L}_{X_i}, \mathcal{M}_{\leq X} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) est bien sûr croissante (X_i \leq X_j \Rightarrow \mathcal{L}_{X_i} \subset \mathcal{L}_{X_j}). On aimerait qu'elle le soit strictement, i.e. que X_i < X_j \Rightarrow \mathcal{L}_{X_i} \subsetneq \mathcal{L}_{X_j}, i.e. \exists lieu x tel que x \ll X_j et x \not\ll X_i. les indices i, j sont plusieurs fois récrits l'un sur l'autre

Soit \mathcal{L}^{\circ}_X = \mathcal{L}_X \smallsetminus \bigcup_{X_i < X} \mathcal{L}_{X_i}. Condition plus forte :

Cont 3 \forall X \in \mathcal{M}, \mathcal{L}^{\circ}_X \neq \emptyset — i.e. \forall X \in \mathcal{M}, \exists x \in \mathcal{L}, tel que x \ll X, et x \not\ll X_i pour tout X_i < X. « Cont 3 » est écrit dans la marge gauche, souligné, en regard de la condition

~~Ainsi, si X \in \mathcal{M}, l'application X_i \mapsto \mathcal{L}^{\circ}_{X_i}, \mathcal{M}_{\leq X} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) . Soient X et Y multiplicités. Supposons compatibles,~~ ces lignes sont barrées de traits horizontaux et de deux longs traits obliques ; seul le début se lit

Soit X \in \mathcal{M}, considérons les \mathcal{L}^{\circ}_{X_i}, X_i \leq X. Je dis que leur réunion (qui est \subset \mathcal{L}_X) est égale à \mathcal{L}_X. En effet, soit x \in \mathcal{L}_X, donc ~~\exists~~ , x \in \mathcal{L}_{X_i}, et il y a un X_i minimal parmi les

X_i tels que x \in \mathcal{L}_{X_i} () donc x \in \mathcal{L}^{\circ}_{X_i}. De façon précise, : x \in \mathcal{L}^{\circ}_{X_i} \Leftrightarrow X_i est minimal parmi les Y \in \mathcal{M}_{\leq X} tels que x \in \mathcal{L}_Y.

J'aimerais que cet X_i soit unique, i.e. qu'il soit même plus petit élément parmi les Y envisagés, donc X_i, X_j \leq X, X_i \neq X_j \Rightarrow \mathcal{L}^{\circ}_{X_i} \cap \mathcal{L}^{\circ}_{X_j} = \emptyset. Donc que \mathcal{L}_X soit réunion disjointe des \mathcal{L}^{\circ}_{X_i} pour X_i \leq X. Plus généralement, on aimerait que l'analogue soit vrai pour tt une figure \mathcal{F} \subset \mathcal{M}, ~~donc~~ que \mathcal{L}_{\mathcal{F}} soit réunion disjointe des \mathcal{L}^{\circ}_{X_i} pour X_i \in \mathcal{F} (alors qu'on sait déjà que c'est la réunion des \mathcal{L}^{\circ}_{X_i}) : on a encore que \forall x \in \mathcal{L}_{\mathcal{F}}, \exists plus petit X \in \mathcal{F}, tel que x \in \mathcal{L}_X .

Cont 4 Si X, Y sont deux multiplicités compatibles (~~définissant une~~ dans une figure) et X \neq Y, alors \mathcal{L}^{\circ}_X \cap \mathcal{L}^{\circ}_Y = \emptyset. (En d'autres termes, si x \in \mathcal{L}_X \cap \mathcal{L}_Y, alors \exists Z' X' \leq X tel que x \in \mathcal{L}_{X'} et Y' \leq Y tel que x \in \mathcal{L}_{Y'}.) D

(ceci équiv. à \mathcal{L}_X \cap \mathcal{L}_Y = \bigcup_{Z \leq X,\, Z \leq Y} \mathcal{L}_Z )

~~Mais on peut que : si X, Y \in \mathcal{M}, \forall X' \leq X, Y' \leq Y, avec X' \neq Y', on ait \mathcal{L}^{\circ}_{X'} \cap \mathcal{L}^{\circ}_{Y'} = \emptyset, alors X' et Y' sont compatibles~~ passage hachuré, lu en partie seulement

En utilisant Cont 3, Cont 4, on trouve le

Scholie. Soit \mathcal{F} (\subset \mathcal{M}) une figure. ~~L'application~~

a)Les parties de \mathcal{L} (« strates ouvertes de \mathcal{F} ») \mathcal{L}^{\circ}_X (X \in \mathcal{F}) sont non vides et mutuellement disjointes, elles forment une partition de \mathcal{L}_{\mathcal{F}} = \bigcup_{X \in \mathcal{F}} \mathcal{L}_X = \bigcup_{X \in \mathcal{F}} \mathcal{L}^{\circ}_X. ~~b) L'application~~ À fortiori, l'application X \mapsto \mathcal{L}^{\circ}_X, \mathcal{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) [est injective]. b)L'application X \mapsto \mathcal{L}_X, \mathcal{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) est injective. On a, pour X, Y \in \mathcal{F}, équivalence des conditions suivantes : (i) X \leq Y (ii) \mathcal{L}_X \subset \mathcal{L}_Y (iii) \mathcal{L}^{\circ}_X \subset \mathcal{L}_Y (iv) \mathcal{L}^{\circ}_X \cap \mathcal{L}_Y \neq \emptyset. c)Si X, Y \in \mathcal{F}, on a \mathcal{L}_X \cap \mathcal{L}_Y = \bigcup_{Z \in \mathcal{F},\, Z \leq X,\, Z \leq Y} \mathcal{L}_Z.

dans ces équivalences, dit que X, Y sont des multiplicités compatibles. — Idem pour c) la remarque de droite est encadrée, en regard de b) ; « Idem pour c) » est en regard de c). Une note oblique en marge gauche, à hauteur de a), n'est lue qu'en fragments (« Mais bien sûr… », « multiplicités », « injective »)

Dém. de b). (i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (iv) triviales, prouvons (iv) \Rightarrow (i). Comme \mathcal{L}_Y = \bigcup_{Y_i \leq Y} \mathcal{L}^{\circ}_{Y_i}, il existe Y_i avec \mathcal{L}^{\circ}_X \cap \mathcal{L}^{\circ}_{Y_i} \neq \emptyset, par a) on a X = Y_i donc X \leq Y, cqfd. l'indice Y_i est écrit sur un Z_i barré

note oblique dans le coin supérieur gauche, illisible Mais on en arrive aux réciproques.

Cont 5 Soient X, Y \in \mathcal{M} deux multiplicités, et considérons \widehat{\mathcal{L}}_X, \widehat{\mathcal{L}}_Y \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L}) comme ensembles de parties de \mathcal{L}. Ils permettent, on le voit, de récupérer les relations correspondantes :

a)Pour que X \ll Y, il faut et il suffit ~~que \forall A \in \widehat{\mathcal{L}}_X~~ que toute strate ouverte de X soit contenue dans une strate ouverte de Y. b)Pour que X et Y soient compatibles, il faut et il suffit que pour toute strate ouverte de X et toute strate ouverte de Y, ~~on ait~~ celles-ci soient disjointes ou identiques.

Cor. a) \widehat{\mathcal{L}}_X = \widehat{\mathcal{L}}_Y \Leftrightarrow X = Y b) \widehat{\mathcal{L}}_X \subset \widehat{\mathcal{L}}_Y fermé dans \widehat{\mathcal{L}}_Y \Leftrightarrow X \leq Y. les signes = de a) sont surchargés et douteux

Scholie. On récupère \mathcal{M}, \ll, R (compatibilité) en termes de \mathcal{L} et de l'ens. \widehat{\mathcal{M}} des \widehat{\mathcal{L}}_X ; \widehat{\mathcal{M}} = \operatorname{Im}\bigl(\underbrace{\mathcal{M} \xrightarrow{X \mapsto \widehat{\mathcal{L}}_X} \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L}))}_{\text{application injective}}\bigr) \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L}))) une note oblique dans la marge gauche, au milieu de la page, n'est lue qu'en fragments

On reprend tout !

ces mots, soulignés, sont en haut à droite de la page 25, avec une grande lettre C au-dessus

Définition-scholie. Une contrée C est définie par un ensemble L (l'ens. des lieux de la contrée), et la donnée de certains ensembles de parties de L (de la contrée), appelées les figures de C. L'ens. \mathfrak{F} des figures de C est donc une partie de \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(L)) (donc \mathfrak{F} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(L)))). Si F est une figure, ~~ensemble~~ les éléments (qui sont des parties de L) s'appellent les strates (fermées) de la figure F. La réunion des strates ~~fermées~~ de F est appelée le support de F, et notée |F|. On pose des axiomes des contrées, qui vont être dégagés par la suite.

Cont 1 ~~Axiome~~ a) La partie vide de \mathfrak{P}(L) est une figure, appelée « figure vide ». C'est donc la figure unique qui n'a pas de strates.

b) \forall x \in L, la il y a une figure ~~les~~ strates unique \{x\}. On l'appelle figure ponctuelle définie par x. un double trait vertical dans la marge gauche en regard de b) ; une note oblique dans la marge, illisible

Cont 2 Soit F une figure. ~~Alors~~ Pour tout X \in F, ~~l'ensemble~~ soit \partial X = \bigcup_{Y \in F,\ Y \subsetneq X} Y, \qquad X^{\circ} = X \smallsetminus \partial X (strate ouverte de F définie par X). Alors on a X^{\circ} \neq \emptyset. De plus, si X, Y \in F, X \cap Y = \bigcup_{Z \in F,\ Z \leq X, Y} Z i.e. tt pour tt pt lieu qui appartient aux deux strates fermées, ~~on a \exists Z \in F~~ il existe une strate f. Z \subset X \cap Y ~~telle que~~ qui contient x. « X^{\circ} \neq \emptyset » est encadré Les ont été dites « admissibles » lecture de la note oblique de la marge gauche en partie seulement

Corollaire ~~Simplification~~ Justification : X \mapsto X^{\circ} induit une bijection de F avec l'ens. des classes d'une relation d'équivalence dans |F|, i.e. pour X, Y \in F, ~~tel que~~ ~~X \neq Y, on a X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset~~ X \neq Y \Leftrightarrow X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset (ce qui fait : Cont 2).

Parties saturées de |F| : p. ex. les X \in F.

~~Définition — Soient F, G deux figures. On dit qu'elles sont compatibles, si les conditions équivalentes : |F| \cap |G| est saturé pour les relations d'équivalence sur |F|, |G|, et la rel.~~ ces lignes sont barrées d'un trait horizontal par ligne et de deux traits obliques

Cont 3 Si F est une figure, et F' une partie fermée de l'ens. ordonné F (i.e. X, Y \in F, Y \in F', X \leq Y \Rightarrow X \in F') alors F' est une figure.

On dit que F' est une sous-figure de F — ainsi, les sous-figures de F sont en corr. biunivoque avec les parties fermées de l'ens. ordonné F.

Attention, si F', F sont deux figures, F' \subset F que F' soit une sous-figure. ( l'exemple-type, prenant F formé des X_0 \subset X_1, X_1 une variété connexe, F' = \{X_1\}.)

On écrira X F' \leq F pour F' sous-figure de F. C'est une relation d'ordre entre figures.

~~Soient F, G deux figures, . On dit que F et G sont compatibles, si F \cup G est~~ ces lignes sont hachurées ; une note oblique dans la marge gauche, en regard, n'est pas lue

Soient F et G deux figures. Conditions équivalentes (où F et G sont des ens. admissibles de parties de L) :

a)|F| \cap |G| est une partie saturée de |F|, et de |G|, et les deux rel. d'équiv. induites sur elle sont égales. b)\forall strates ouvertes U (= X^{\circ}) de F et V de G, on a U \cap V = \emptyset ou U = V. b') X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset ou X = Y. c)\forall X \in F, Y \in G, X \cap Y est saturé dans |F| et dans |G| (pour la saturation par rapport aux str. des multiplicités \widehat{X}, \widehat{Y}). d)F \cup G est admissible, et F et G sont des fermés.

la ligne b') n'est faite que de tirets suivis de la formule

On dit alors que F et G sont « compatibles ». Il en est ainsi si F et G sont des sous-figures d'une même figure H : F \cap G fermé dans F et dans G, F, G fermés dans F \cup G, ordonné \simeq F \amalg_{F \cap G} G. cette ligne se mêle à la note de marge ; lecture fragmentaire

Si F et G sont compatibles, [s']ils le sont ensemblistement, et F \cup G est une ; F et G sont des sous-figures de F \cup C. ainsi sur la page : « F \cup C » pour F \cup G

Si F, G sont des sous-figures d'une figure H, alors ils ensemblistement, et compatibles (car F \cup G est une de H, donc une figure).

Configuration : ensemble de figures deux à deux compatibles.

N.B. F et G deux longues notes obliques dans la marge gauche, ouvertes par « NB », mentionnent F \cap G, F \cup G, « Ex. » et « compatibles » ; le reste n'est pas lu

Cont 4 Si F, G ~~H sont des figures~~ sont deux figures, telles que toute multistrate de F est comp. à toute multistrate de G*, alors F et G sont compatibles (l'inverse étant évident). *) F et G ens. comp.

~~Cor. Si F, G, H sont des figures~~ ~~Équiv.~~

Cor. Soit (F_i)_{i \in I} une famille de figures. Pour que les F_i soient en configuration, il faut et il suffit que pour i \neq j et toute multistrate \widehat{X} de F_i, \widehat{Y} de F_j, \widehat{X} et \widehat{Y} soient compatibles. Si I est fini, cela implique que F = \bigcup F_i est une figure, et F_i en est une des sous-figures. l'énoncé du corollaire est très surchargé ; la lecture donnée suit les formules, sûres, et reste douteuse pour les mots qui les relient

~~N.B. Inversement, dans le cas d'une paire \{F, G\} de figures (à savoir, )~~ ces lignes sont barrées de traits obliques

Contrées ~~ensemblistes~~ de points La contrée est dite « ensembliste », ou « contrée de points » (c'est-à-dire les lieux prennent le nom de points) si deux figures ensemblistement compatibles sont compatibles (ce qui rend donc tautologique Cont 4).

Pour les contrées non ensemblistes, il y a lieu de supposer ceci (à vérifier sur les exemples visuels non ensemblistes, à suivre)

Cont'_4 Si F, G sont deux figures telles que compatibles, qu'elles le soient ensemblistement, et que pour deux strates ouvertes U de F, V de G, ~~on ait~~ U \neq V, et pour ~~tout~~ x \in U, y \in V, ~~\{x, y\}~~ \{\{x\}, \{y\}\} soit une figure (i.e. \{\{x\}\} et \{\{y\}\} soient compatibles). le numéro est surchargé : un « 4 » et un « 1 » se lisent l'un sur l'autre après « Cont », avec un accent ; l'énoncé est très surchargé, une insertion interlinéaire oblique (« toute multistrate \widehat{X} de F est comp. à toute \widehat{Y}… ») n'est lue qu'en partie, et la note de marge qui la prolonge (« si x \in U, y \in V… disjoints ») aussi

N.B. Pour tout x \in L, la seule strate . Si x, y \in L, disons que F_x, F_y sont compatibles signifie que \{F_x, F_y\} est une figure (ce qui toujours vrai si x = y). Si x \neq y, ~~dites~~ on dit que x, y sont « disjoints » s'ils sont distincts et compatibles, i.e. alors que \{x, y\} \in \mathfrak{P}_2(L) est une 0-sphère de C.

Deux parties A, B de L sont dites disjointes ( contrée C) — ou C-disjointes — si \forall x \in A, \forall y \in B, x, y sont disjoints (\Rightarrow A \cap B = \emptyset).

Ainsi Cont'_4 dit que deux figures F, G sont compatibles ssi pour U strate ouverte de F et V de G, ~~telles que U \neq V, on ait~~ on ait U = V ou U et V sont C-disjoints.

12 juin

date de sa main, « 12. Juin », soulignée, en tête de l'alinéa

Depuis hier j'ai pas mal réfléchi à la construction des pseudo-disques topologiques. Il est apparu que si (D, \partial D) est un tel pseudo-disque (ou ), les « lieux » sur D - \partial D ne sont seulement des parties (compactes contractiles etc.) de D - \partial D, satisfaisant à certaines conditions, mais elles doivent être accompagnées d'une donnée supplémentaire, la frontière \partial D. Du coup, que l'interprétation que j'avais , d'une structure de contrée sur donnée de l'ens. L des lieux, et de certains ensembles de parties de L, les « figures », ne pas la seconde moitié de l'alinéa est écrite vite ; seuls les termes mathématiques sont sûrs

valable pour C « topologique combinatoire ». Donc il faut prendre plutôt : C \ \text{donnée de}\ C = (\mathcal{M}, \ll, R_{\mathcal{M}}, \mathfrak{F} \ \text{ens. de parties de}\ \mathcal{M}) sous \ll est écrit « relation d'ordre » ou « raffinement » (lecture douteuse), sous R_{\mathcal{M}} « la compatibilité, rel. sym. réfl. » ; la suite de la ligne est barrée R_{\mathcal{M}} résultant de \ll, \mathfrak{F} : X, Y \in \mathcal{M} sont X, Y \in F note oblique de la marge gauche, lue en partie

Plutôt que de dégager l'axiomatique, dégager une terminologie géométrique en contrées ; les axiomes que je au passage ; l'axiomatisation ensuite. deux lignes très rapides ; la lecture n'en retient que l'intention

Sous-contrée : est définie par un sous-ensemble \mathcal{M}' (qui est fermé ) dans \mathcal{M} pour \ll, i.e. si X est dans \mathcal{M}', tout raffinement de X y est aussi. Et On munit \mathcal{M}' des relations induites \ll et R_{\mathcal{M}'} par \ll_{\mathcal{M}} et R_{\mathcal{M}}. Mais qu'il n'est pas ~~évident~~ dit que les axiomes qu'on va imposer à une contrée soient stables par passage à une une note oblique au bas de la marge gauche, ouverte par « NB », n'est pas lue

sous-contrée ; . nous réservons le nom de « contrée » à systèmes (\mathcal{M}, \ll, R_{\mathcal{M}}) . Je vais axiomes, particulièrement cruciaux.

Cont 1 La relation « X \leq Y » (\Leftrightarrow X \ll Y et X comp. Y) est une relation d'ordre. double trait vertical en marge

~~Cont 2~~ (Fig 2) Si F \in \mathfrak{F}, deux éléments X, Y de F sont compatibles, et F est une partie fermée de \mathcal{M} (\leq).

~~Cont~~ (Fig 3) Si F ~~et G sont des~~ est une figure, partie F' de F qui est fermée, est une sous-figure . (La partie vide de \mathcal{M} est une figure (figure vide).) la parenthèse finale est encadrée ; le numéro barré devant « Fig 3 » est illisible

~~Cont~~ (Fig 1) Si X \in \mathcal{M}, l'ens. F_X = \mathcal{M}_{\leq X} des Y \in X ~~tels~~ est une figure, qui s'appelle la « figure élémentaire » définie par X — la multiplicité X. ainsi sur la page : « Y \in X » pour Y \leq X (de Cont 2 et Cont 4)

Cor. (si \mathcal{M} \neq \emptyset) Fig 3 donne vide —

N.B. Si \mathcal{M} = \emptyset la seule partie de \mathcal{M} (à savoir la partie vide) est une figure.

~~Cor. (de Fig 1 et Fig 2) Si Y, Z \ll X, et si Y, Z sont comp. à X, sont compatibles~~ cette dernière ligne est barrée de traits obliques. Deux longues notes obliques de la marge gauche (sur les sous-figures F' \subset F et sur X \leq Y, Y \leq X, « X comp. Y ») ne sont lues qu'en fragments

~~Cont~~ (Fig 4) Soient F et G deux figures, telles que pour X X \in F, Y \in G, X et Y comp. Alors F \cup G est une figure — (figure réunion). « Fig 4 » est entouré, écrit sur un numéro « Cont » barré ; « figure réunion » est doublement souligné

Bien sûr F \cap G est une sous-figure de F et de G.

~~Corollaire (de Fig 1, Fig 2, Fig 4 ) Si X, Y, X', Y' sont tels que X' \ll X, Y' \ll Y, et comp., alors X', Y' comp.~~

Contrées finitistes ~~Multiplicités finies :~~

Corollaire (de Cont 2, Cont 3, Cont 5) Les figures finies les parties finies de \mathcal{M}, fermées pour \leq, formées de multiplicités deux à deux compatibles.

~~Donc~~ ~~les structures~~ ~~les figures finies~~ Donc une contrée finitiste est connue, quand on connaît seulement ses structures \ll, R_{\mathcal{M}} (ordre, et rel. sym. réfl.). ~~et ce~~

À quelles conditions sur deux telles relations, satisfaisant à Cont 1, les parties finies S fermées et formées d'éléments mut. compatibles (i.e. les configurations) satisfont-elles Cont 2 à Cont 5 ? une note oblique de la marge gauche (« … dès que F et G sont deux figures compat. … ») n'est lue qu'en partie

La condition est la suivante ;

Cont'_3 (F. multiplicités dans le cas non finitiste) Pour tout X \in \mathcal{M}, ~~la figure~~ l'ens. \mathcal{M}_{\leq X} est fini. (i.e. les figures élémentaires sont finies) le « 3 » en indice est écrit sous un « 4 » barré

Pour contrées, on exige un peu plus : que la dimension combinatoire de tout X \in \mathcal{M} soit finie (i.e. \dim \mathrm{comb}\, \mathcal{M}_{\leq X} finie), et plus précisément encore

Cont 3 Si X \in \mathcal{M}, \underbrace{\sup_{X' \ll X} \dim \mathrm{comb}\, \mathcal{M}_{\leq X'}}_{\text{dimension (géom.) de } X} < \infty triple trait vertical dans la marge, et, à côté, un mot oblique doublement souligné (« demain » ?) non assuré

On appelle lieu un élément de \mathcal{M} minimal pour \ll. On désigne par \mathcal{L} \subset \mathcal{M} l'ens. des lieux.

Pour tout X, son ombre (fermée) sur \mathcal{L} est l'ens. \mathcal{L}_X des lieux x x \ll X. On « de X » i.e. . On pose \mathcal{L}^{\circ}_X = \mathcal{L}_X \smallsetminus \bigcup_{Y < X} \mathcal{L}_Y . \mathcal{L}_F = \bigcup_{X \in F} \mathcal{L}_X ombre de F la note de marge est oblique ; une seconde note oblique, au-dessus (« … fermée », « … lieux »), n'est pas lue

Cont 4 a) \forall X \in \mathcal{M}, on a \mathcal{L}^{\circ}_X \neq \emptyset

b) Si X, Y sont compatibles et distincts, \mathcal{L}^{\circ}_X \cap \mathcal{L}^{\circ}_Y = \emptyset. le « 4 » est écrit sur un autre chiffre

Scholie ~~L'applicat.~~ Soit F une figure. Alors

a) L'application X \longmapsto \mathcal{L}_X = \widetilde{X}, \qquad F \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{L}) est injective, et son image \widetilde{F} est un ensemble de parties « admissible » de l'ensemble \mathcal{L}, i.e.

a)\forall \widetilde{X}, \widetilde{Y} \in \widetilde{F}, on a \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \bigcup_{\widetilde{Z} \in \widetilde{F},\ \widetilde{Z} \subset \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} \widetilde{Z} ; b)\forall \widetilde{X} \in \widetilde{F}, posant \partial \widetilde{X} = \bigcup_{\widetilde{Y} \in \widetilde{F},\ \widetilde{Y} \subsetneq \widetilde{X}} \widetilde{Y}, et \widetilde{X}^{\circ} = \widetilde{X} \smallsetminus \partial \widetilde{X}, on a \widetilde{X}^{\circ} \neq \emptyset.

On ~~b) L'appl.~~ \widetilde{X}^{\circ} l'ombre ouverte de X sur \mathcal{L}, \partial \widetilde{X} l'~~ombre fr.~~ bord d'ombre de X.

b) L'application X \longmapsto \mathcal{L}^{\circ}_X = \widetilde{X}^{\circ}, \qquad F \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{L}) est injective, et les images forment une partition de l'ombre \mathcal{L}_F de la figure F, indexée par F.

c) ~~Soit~~ La relation \leq sur F est celle induite par la relation d'inclusion sur les ombres. Si X, Y \in F, les conditions équiv. : (i) X \leq Y (ii) \widetilde{X} \subset \widetilde{Y} (iii) \widetilde{X}^{\circ} \subset \widetilde{Y} (iv) \widetilde{X}^{\circ} \cap \widetilde{Y} \neq \emptyset. les conditions (i)–(iv) sont réunies par une accolade « bord d'ombre » est doublement souligné, écrit au-dessus de mots barrés (« ombre fr. », lecture douteuse) Déf. \partial X = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y < X \rbrace celle le bord de X note oblique de la marge gauche, en regard de b) ; le premier mot, « Déf. », est barré en surcharge

d)~~Les~~ Pour toute sous-figure F' de F, on a \widetilde{F}' = \mathcal{L}_{F'} \subset \mathcal{L} son ombre, et F' \longmapsto \widetilde{F}' est une bijection de l'ens. des sous-figures de F, sur l'ens. des parties (de \widetilde{F} (ombre de F)) qui sont « fermées » pour la rel. d'admissibilité de \widetilde{F} par les \widetilde{X} (X \in F).

l'écriture de la première formule est surchargée (\mathcal{L}_F récrit en \widetilde{F}') ; lecture douteuse

Proposition. Soit \mathcal{M} une contrée, \mathcal{M}' une sous-contrée, i.e. une partie de \mathcal{M}, fermée pour \ll, et munissons \mathcal{M}' des relations \ll_{\mathcal{M}'}, R_{\mathcal{M}'} induites , et de l'ens. F_{\mathcal{M}'} des parties de \mathcal{M}' qui sont des figures de \mathcal{M}. Alors (\mathcal{M}', \ll_{\mathcal{M}'}, F_{\mathcal{M}'}) satisfait les conditions Cont 1 à Cont 4, et si X \in \mathcal{M}', ses dimensions combinatoire et géométrique sont les mêmes dans \mathcal{M}' et dans \mathcal{M} ; si \mathcal{L}' = \mathcal{M}' \cap \mathcal{L}, alors pour F \in F_{\mathcal{M}'}, son ombre (fermée) dans \mathcal{M}' et dans \mathcal{M} sont les mêmes ; si X \in \mathcal{M}', son ombre ouverte est la même pour \mathcal{M}' et pour \mathcal{M}, le bord \partial X. Les conditions Fig 1 à Fig 4 sont satisfaites dans \mathcal{M}'. La condition Cont'_3

également satisfaite par passage à une sous-contrée. Enfin, si C est finitiste, C' aussi.

~~Figures~~ disjointes On dit que deux sont disjointes si elles sont compatibles, et si leur intersection vide. au-dessus de « Figures », barré, une insertion oblique en petits caractères n'est pas lue multistrates . On dit que X, Y sont disjointes si F_Y , i.e. s'il n'existe pas de Z \in \mathcal{M}, avec Z \leq X, Y.

donné deux figures F, G, on dit que F raffine G (et on écrit F \lll G) si \forall X \in F, \exists Y \in G tel que X \lll Y. Pour deux figures élémentaires F_X, F_Y, cela signifie donc simplement X \ll Y. « raffine » est triplement souligné ; le signe entre figures est un triple chevron, entre X et Y ensuite aussi

~~Si F raffine G~~

Proposition. Pour que F soit une sous-figure de G, il faut et il suffit que F raffine G, et soit compatible à G. un trait vertical en marge de l'énoncé

\Rightarrow trivial, pour \Leftarrow on note que X \ll Y et X comp. à Y implique X \leq Y, donc X \in G à cause de Fig 2. la marge gauche porte une longue note oblique, reliée au texte par un trait, sur les figures disjointes (\forall X \in F, Y \in G, « disj. ») ; elle n'est lue qu'en fragments

Cont 5 Soient X, Y \in \mathcal{M}, X et Y disjoints. Alors pour X' \ll X et Y' \ll Y, X' et Y' sont ~~disjoints~~ ~~compatibles~~ disjoints. si ~~Cont 2~~ (voir 33) double trait vertical en marge ; « voir 33 » renvoie à la page 33

~~Cela signifie donc 1°) que X' et Y' sont compatibles et 2°) qu'il n'existe pas Z \leq X', Z \leq Y'. Alors X', Y' sont disjoints, car si Z \in \mathcal{M} avec Z \leq X', Z \leq Y', alors Z \leq X,~~ ce passage est encadré puis barré de traits obliques

Sa signification est donc : (a) toutes les conditions des deux compatibles, X' et Y' sont compatibles ; (b) \nexists\, Z \in \mathcal{M} avec Z \ll X, Z \ll Y. (a) et (b) sont entourés

(i.e. si X, Y compatibles, dans \mathcal{M}_{\leq X} \cap \mathcal{M}_{\leq Y} = \emptyset implique \mathcal{M}_{\ll X} \cap \mathcal{M}_{\ll Y} = \emptyset)

Cor. Si F et G sont des figures disjointes, deux raffinements F' de F, G' de G, F' et G' sont disjointes.

Remarque. Soit \mathcal{M}' une sous-contrée ; deux multistrates X, Y deux figures F, G de \mathcal{M}', sont disjointes de \mathcal{M}' ssi elles le sont dans \mathcal{M} , et donc la condition (itou pour Cont 6 qui suit) : si \mathcal{M} satisfait Cont 5, \mathcal{M}' aussi.

Cont 6 (F. cellulaire ?) Si X, Y \in \mathcal{M} sont tels que ~~\forall~~ \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset et tout ~~x \in~~ x \in \widetilde{X} est comp. à tout y \in \widetilde{Y}, alors X et Y sont disjoints. donc \forall x \in \widetilde{X} disjoint de tout y \in \widetilde{Y} triple trait vertical en marge de Cont 6 ; deux autres notes obliques de la marge gauche, reliées au texte par des flèches, ne sont lues qu'en fragments

Contrées induites

1°) Soit F une figure. Contrée C_F induite, ~~définie par les~~ i.e. la partie fermée de \mathcal{M}_{\ll} engendrée par F, i.e. l'ens. des X \in \mathcal{M} tels que X raffine F.

Contrée résiduelle C_{\complement F} la sous-contrée formée des X \in \mathcal{M} qui sont disjoints de F. Par Cont 5, est fermée dans \mathcal{M}^{\sharp}_{\ll}. l'exposant de \mathcal{M}, lu \sharp, est douteux

~~Cor.~~ Soient F une figure, G une . ~~Subdivision~~ La contrée résiduelle de F dans G est par définition C_F \cap C_{\complement G} les lettres F et G de la formule sont surchargées

Subdivision Soit F \subset \mathcal{M} une figure. On appelle subdivision de F une figure F' \subset \mathcal{M} telle que

a)F' soit un raffinement de F b)F' soit maximale, pour \subset, parmi les ~~raffi~~ figures qui raffinent F.

N.B. Si F' raffine F, alors son ombre \widetilde{F}' est contenue dans celle \widetilde{F} de F.

N.B. L'ensemble des lieux de la contrée C_F l'ombre de F une seconde note oblique de la marge gauche, sur l'ensemble des lieux de C_{\complement F}, n'est lue qu'en fragments