Cote n° 156-4, pages 21–40

Cote n° 156-4 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Chapitre] IV. Analysis situs (première mouture) : notes manuscrites (10/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

21la page continue la fin de la page 20 (batch 1), où sont posés \(\mathcal{L}_X\), \(\widehat{\mathcal{L}}_X\), \(\mathcal{L}_{\mathcal{F}}\), \(\widehat{\mathcal{L}}_{\mathcal{F}}\) et où un « Contr\(_3\) » est commencé puis barré ; l'abréviation lue ici « Cont » est vraisemblablement la même Soit \(X\) une multiplicité. L'application \(X_i \mapsto \mathcal{L}_{X_i}\), \(\mathcal{M}_{\leq X} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) est bien sûr croissante (\(X_i \leq X_j \Rightarrow \mathcal{L}_{X_i} \subset \mathcal{L}_{X_j}\)). On aimerait qu'elle le soit strictement, i.e. que \(X_i < X_j \Rightarrow \mathcal{L}_{X_i} \subsetneq \mathcal{L}_{X_j}\), i.e. \(\exists\) lieu \(x\) tel que \(x \ll X_j\) et \(x \not\ll X_i\). les indices \(i\), \(j\) sont plusieurs fois récrits l'un sur l'autre

Soit \(\mathcal{L}^{\circ}_X = \mathcal{L}_X \smallsetminus \bigcup_{X_i < X} \mathcal{L}_{X_i}\). Condition plus forte :

Cont 3 \(\forall X \in \mathcal{M}\), \(\mathcal{L}^{\circ}_X \neq \emptyset\) — i.e. \(\forall X \in \mathcal{M}\), \(\exists x \in \mathcal{L}\), tel que \(x \ll X\), et \(x \not\ll X_i\) pour tout \(X_i < X\). « Cont 3 » est écrit dans la marge gauche, souligné, en regard de la condition

Ainsi, si \(X \in \mathcal{M}\), l'application \(X_i \mapsto \mathcal{L}^{\circ}_{X_i}\), \(\mathcal{M}_{\leq X} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) […]. Soient \(X\) et \(Y\) […] multiplicités. Supposons […] compatibles, […] ces lignes sont barrées de traits horizontaux et de deux longs traits obliques ; seul le début se lit

Soit \(X \in \mathcal{M}\), considérons les \(\mathcal{L}^{\circ}_{X_i}\), \(X_i \leq X\). Je dis que leur réunion (qui est \(\subset \mathcal{L}_X\)) est égale à \(\mathcal{L}_X\). En effet, soit \(x \in \mathcal{L}_X\), donc \(\exists\) […], \(x \in \mathcal{L}_{X_i}\), […] et […] il y a un \(X_i\) minimal parmi les

22\(X_i\) tels que \(x \in \mathcal{L}_{X_i}\) ([…]) donc \(x \in \mathcal{L}^{\circ}_{X_i}\). De façon précise, […] : \(x \in \mathcal{L}^{\circ}_{X_i} \Leftrightarrow X_i\) est minimal parmi les \(Y \in \mathcal{M}_{\leq X}\) tels que \(x \in \mathcal{L}_Y\).

J'aimerais que cet \(X_i\) soit unique, i.e. qu'il soit même plus petit élément parmi les \(Y\) envisagés, donc \(X_i, X_j \leq X\), \(X_i \neq X_j \Rightarrow \mathcal{L}^{\circ}_{X_i} \cap \mathcal{L}^{\circ}_{X_j} = \emptyset\). Donc que \(\mathcal{L}_X\) soit réunion disjointe des \(\mathcal{L}^{\circ}_{X_i}\) pour \(X_i \leq X\). Plus généralement, on aimerait que l'analogue soit vrai pour tt une figure \(\mathcal{F} \subset \mathcal{M}\), donc que \(\mathcal{L}_{\mathcal{F}}\) soit réunion disjointe des […] \(\mathcal{L}^{\circ}_{X_i}\) pour \(X_i \in \mathcal{F}\) (alors qu'on sait ⌜déjà⌝ que c'est la réunion des \(\mathcal{L}^{\circ}_{X_i}\)) : on a encore que \(\forall x \in \mathcal{L}_{\mathcal{F}}\), \(\exists\) plus petit \(X \in \mathcal{F}\), tel que \(x \in \mathcal{L}_X\) […].

Cont 4 Si \(X\), \(Y\) sont deux multiplicités compatibles (définissant une ⌜[…] dans une⌝ figure) et \(X \neq Y\), alors \(\mathcal{L}^{\circ}_X \cap \mathcal{L}^{\circ}_Y = \emptyset\). (En d'autres termes, si \(x \in \mathcal{L}_X \cap \mathcal{L}_Y\), alors \(\exists\) \(Z'\) \(X' \leq X\) tel que \(x \in \mathcal{L}_{X'}\) et \(Y' \leq Y\) tel que \(x \in \mathcal{L}_{Y'}\).) D

(ceci équiv. à \(\mathcal{L}_X \cap \mathcal{L}_Y = \bigcup_{Z \leq X,\, Z \leq Y} \mathcal{L}_Z\) […])

[…] Mais on peut […] que : si \(X, Y \in \mathcal{M}\), \(\forall X' \leq X\), \(Y' \leq Y\), avec \(X' \neq Y'\), on ait \(\mathcal{L}^{\circ}_{X'} \cap \mathcal{L}^{\circ}_{Y'} = \emptyset\), alors \(X'\) et \(Y'\) sont compatibles passage hachuré, lu en partie seulement

23En utilisant Cont 3, Cont 4, on trouve le

Scholie. Soit \(\mathcal{F}\) (\(\subset \mathcal{M}\)) une figure. L'application

a)Les […] ⌜parties de \(\mathcal{L}\)⌝ (« strates ouvertes de \(\mathcal{F}\) ») \(\mathcal{L}^{\circ}_X\) (\(X \in \mathcal{F}\)) sont non vides et mutuellement disjointes, elles forment une partition de \(\mathcal{L}_{\mathcal{F}} = \bigcup_{X \in \mathcal{F}} \mathcal{L}_X = \bigcup_{X \in \mathcal{F}} \mathcal{L}^{\circ}_X\). b) L'application À fortiori, l'application \(X \mapsto \mathcal{L}^{\circ}_X\), \(\mathcal{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) [est injective].
b)L'application \(X \mapsto \mathcal{L}_X\), \(\mathcal{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) est injective. On a, pour \(X, Y \in \mathcal{F}\), équivalence des conditions suivantes : (i) \(X \leq Y\) (ii) \(\mathcal{L}_X \subset \mathcal{L}_Y\) (iii) \(\mathcal{L}^{\circ}_X \subset \mathcal{L}_Y\) (iv) \(\mathcal{L}^{\circ}_X \cap \mathcal{L}_Y \neq \emptyset\).
c)Si \(X, Y \in \mathcal{F}\), on a \(\mathcal{L}_X \cap \mathcal{L}_Y = \bigcup_{Z \in \mathcal{F},\, Z \leq X,\, Z \leq Y} \mathcal{L}_Z\).

dans ces équivalences, […] dit que \(X\), \(Y\) sont des multiplicités compatibles. — Idem pour c) la remarque de droite est encadrée, en regard de b) ; « Idem pour c) » est en regard de c). Une note oblique en marge gauche, à hauteur de a), n'est lue qu'en fragments (« Mais bien sûr… », « multiplicités », « injective »)

Dém. de b). […] (i) \(\Rightarrow\) (ii) \(\Rightarrow\) (iii) \(\Rightarrow\) (iv) triviales, prouvons (iv) \(\Rightarrow\) (i). Comme \(\mathcal{L}_Y = \bigcup_{Y_i \leq Y} \mathcal{L}^{\circ}_{Y_i}\), il existe \(Y_i\) avec \(\mathcal{L}^{\circ}_X \cap \mathcal{L}^{\circ}_{Y_i} \neq \emptyset\), par a) on a \(X = Y_i\) donc \(X \leq Y\), cqfd. l'indice \(Y_i\) est écrit sur un \(Z_i\) barré

24[…] note oblique dans le coin supérieur gauche, illisible Mais on en arrive aux réciproques.

Cont 5 Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\) deux multiplicités, et considérons […] \(\widehat{\mathcal{L}}_X\), \(\widehat{\mathcal{L}}_Y \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) comme ensembles de parties de \(\mathcal{L}\). Ils permettent, on le voit, de récupérer les relations […] correspondantes :

a)Pour que \(X \ll Y\), il faut et il suffit que \(\forall A \in \widehat{\mathcal{L}}_X\) que toute strate ouverte de \(X\) soit contenue dans une strate ouverte de \(Y\).
b)Pour que \(X\) et \(Y\) soient compatibles, il faut et il suffit que pour toute strate ouverte de \(X\) et toute strate ouverte de \(Y\), on ait celles-ci soient disjointes ou identiques.

Cor. a) \(\widehat{\mathcal{L}}_X = \widehat{\mathcal{L}}_Y \Leftrightarrow X = Y\) b) \(\widehat{\mathcal{L}}_X \subset \widehat{\mathcal{L}}_Y\) […] fermé dans \(\widehat{\mathcal{L}}_Y \Leftrightarrow X \leq Y\). les signes \(=\) de a) sont surchargés et douteux

Scholie. On récupère \(\mathcal{M}\), \(\ll\), \(R\) (compatibilité) […] en termes de \(\mathcal{L}\) et de l'ens. \(\widehat{\mathcal{M}}\) des \(\widehat{\mathcal{L}}_X\) ; \[ \widehat{\mathcal{M}} = \operatorname{Im}\bigl(\underbrace{\mathcal{M} \xrightarrow{X \mapsto \widehat{\mathcal{L}}_X} \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L}))}_{\text{application injective}}\bigr) \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L}))) \] une note oblique dans la marge gauche, au milieu de la page, n'est lue qu'en fragments

On reprend tout !

ces mots, soulignés, sont en haut à droite de la page 25, avec une grande lettre \(C\) au-dessus

25Définition-scholie. Une contrée \(C\) est définie par un ensemble \(L\) (l'ens. des lieux de la contrée), et la donnée de certains ensembles de parties de \(L\) (de la contrée), appelées les figures de \(C\). L'ens. \(\mathfrak{F}\) des figures de \(C\) est donc une partie de \(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(L))\) (donc \(\mathfrak{F} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(L)))\)). Si \(F\) est une figure, ensemble les éléments ⌜(qui sont des parties de \(L\))⌝ s'appellent les strates (fermées) de la figure \(F\). La réunion des strates fermées de \(F\) est appelée le support de \(F\), et notée \(|F|\). On pose des axiomes des contrées, qui vont être dégagés par la suite.

Cont 1 Axiome a) La partie vide de \(\mathfrak{P}(L)\) est une figure, appelée « figure vide ». C'est donc la figure unique qui n'a pas de strates.

b) \(\forall x \in L\), la ⌜il y a une⌝ figure […] les strates unique \(\{x\}\). On l'appelle figure ponctuelle définie par \(x\). un double trait vertical dans la marge gauche en regard de b) ; une note oblique dans la marge, illisible

26Cont 2 Soit \(F\) une figure. Alors Pour tout \(X \in F\), l'ensemble soit \[ \partial X = \bigcup_{Y \in F,\ Y \subsetneq X} Y, \qquad X^{\circ} = X \smallsetminus \partial X \] (strate ouverte de \(F\) définie par \(X\)). Alors on a \(X^{\circ} \neq \emptyset\). De plus, si \(X, Y \in F\), \[ X \cap Y = \bigcup_{Z \in F,\ Z \leq X, Y} Z \] i.e. tt pour tt pt lieu qui appartient aux deux strates fermées, on a \(\exists Z \in F\) il existe une strate f. \(Z \subset X \cap Y\) telle que qui contient \(x\). « \(X^{\circ} \neq \emptyset\) » est encadré Les […] […] ont été dites « admissibles » lecture de la note oblique de la marge gauche en partie seulement

Corollaire Simplification ⌜Justification⌝ : \(X \mapsto X^{\circ}\) induit une bijection de \(F\) avec l'ens. des classes d'une relation d'équivalence dans \(|F|\), i.e. pour \(X, Y \in F\), tel que \(X \neq Y\), on a \(X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset\) \(X \neq Y \Leftrightarrow X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset\) (ce qui […] fait : Cont 2).

Parties saturées de \(|F|\) : p. ex. les \(X \in F\).

Définition — Soient \(F\), \(G\) deux figures. On dit qu'elles sont compatibles, si les conditions équivalentes : \(|F| \cap |G|\) est saturé pour les relations d'équivalence sur \(|F|\), \(|G|\), et la rel. ces lignes sont barrées d'un trait horizontal par ligne et de deux traits obliques

27Cont 3 Si \(F\) est une […] figure, et \(F'\) une partie fermée de l'ens. ordonné \(F\) (i.e. \(X, Y \in F\), \(Y \in F'\), \(X \leq Y \Rightarrow X \in F'\)) alors \(F'\) est une figure.

On dit que \(F'\) est une sous-figure de \(F\) — ainsi, les sous-figures de \(F\) sont en corr. biunivoque avec les parties fermées de l'ens. ordonné \(F\).

Attention, si \(F'\), \(F\) sont deux figures, \(F' \subset F\) […] que \(F'\) soit une sous-figure. ([…] l'exemple-type, prenant \(F\) formé des \(X_0 \subset X_1\), \(X_1\) une variété connexe, \(F' = \{X_1\}\).)

On écrira \(X\) \(F' \leq F\) pour \(F'\) sous-figure de \(F\). C'est une relation d'ordre entre figures.

Soient \(F\), \(G\) deux figures, […]. On dit que \(F\) et \(G\) sont compatibles, si \(F \cup G\) est ces lignes sont hachurées ; une note oblique dans la marge gauche, en regard, n'est pas lue

28Soient \(F\) et \(G\) deux figures. Conditions équivalentes (où \(F\) et \(G\) sont des ens. admissibles de parties de \(L\)) :

a)\(|F| \cap |G|\) est une partie saturée de \(|F|\), et de \(|G|\), et les deux rel. d'équiv. induites sur elle sont égales.
b)\(\forall\) strates ouvertes \(U\) (\(= X^{\circ}\)) de \(F\) et \(V\) de \(G\), on a \(U \cap V = \emptyset\) ou \(U = V\).
b')[…] \(X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset\) ou \(X = Y\).
c)\(\forall X \in F\), \(Y \in G\), \(X \cap Y\) est saturé dans \(|F|\) et dans \(|G|\) (pour la saturation […] par rapport aux str. […] des multiplicités \(\widehat{X}\), \(\widehat{Y}\)).
d)\(F \cup G\) est admissible, et \(F\) et \(G\) sont des […] fermés.

la ligne b') n'est faite que de tirets suivis de la formule

On dit alors que \(F\) et \(G\) sont « […] compatibles ». Il en est ainsi si \(F\) et \(G\) sont des sous-figures d'une même figure \(H\) […] : \(F \cap G\) fermé dans \(F\) et dans \(G\), \(F\), \(G\) fermés dans \(F \cup G\), […] ordonné \(\simeq F \amalg_{F \cap G} G\). cette ligne se mêle à la note de marge ; lecture fragmentaire

Si \(F\) et \(G\) sont compatibles, [s']ils le sont ensemblistement, et \(F \cup G\) est une […] ; \(F\) et \(G\) sont des sous-figures de \(F \cup C\). ainsi sur la page : « \(F \cup C\) » pour \(F \cup G\)

Si \(F\), \(G\) sont des sous-figures d'une figure \(H\), alors ils […] ensemblistement, et compatibles (car \(F \cup G\) est une […] de \(H\), donc une figure).

Configuration : ensemble de figures deux à deux compatibles.

N.B. \(F\) et \(G\) […] deux longues notes obliques dans la marge gauche, ouvertes par « NB », mentionnent \(F \cap G\), \(F \cup G\), « Ex. » et « compatibles » ; le reste n'est pas lu

29Cont 4 Si \(F\), \(G\) \(H\) sont des figures sont ⌜deux⌝ figures, telles que toute multistrate de \(F\) est comp. à toute multistrate de \(G\)*, alors \(F\) et \(G\) sont compatibles (l'inverse étant évident). *) \(F\) et \(G\) ens. comp.

Cor. Si \(F\), \(G\), \(H\) sont des figures […] Équiv.

Cor. Soit \((F_i)_{i \in I}\) une famille […] de figures. Pour que les \(F_i\) soient […] en configuration, il faut et il suffit que pour \(i \neq j\) et toute multistrate \(\widehat{X}\) de \(F_i\), \(\widehat{Y}\) de \(F_j\), \(\widehat{X}\) et \(\widehat{Y}\) soient compatibles. Si \(I\) est fini, cela implique que \(F = \bigcup F_i\) est une figure, et \(F_i\) en est une des sous-figures. l'énoncé du corollaire est très surchargé ; la lecture donnée suit les formules, sûres, et reste douteuse pour les mots qui les relient

N.B. Inversement, […] dans le cas d'une paire \(\{F, G\}\) de figures (à savoir, […]) ces lignes sont barrées de traits obliques

Contrées ensemblistes ⌜de points⌝ La contrée est dite « ensembliste », ou « contrée de points » (c'est-à-dire les lieux prennent le nom de points) si deux figures ensemblistement compatibles sont compatibles (ce qui rend donc tautologique Cont 4).

30Pour les contrées non ensemblistes, il y a lieu de supposer ceci (à vérifier sur les exemples visuels non ensemblistes, à suivre)

Cont\('_4\) Si \(F\), \(G\) sont deux figures […] telles que […] […] compatibles, […] qu'elles le soient ensemblistement, et que pour deux strates ouvertes \(U\) de \(F\), \(V\) de \(G\), on ait \(U \neq V\), et pour tout \(x \in U\), \(y \in V\), \(\{x, y\}\) \(\{\{x\}, \{y\}\}\) soit une figure (i.e. \(\{\{x\}\}\) et \(\{\{y\}\}\) soient compatibles). le numéro est surchargé : un « 4 » et un « 1 » se lisent l'un sur l'autre après « Cont », avec un accent ; l'énoncé est très surchargé, une insertion interlinéaire oblique (« toute multistrate \(\widehat{X}\) de \(F\) est comp. à toute \(\widehat{Y}\)… ») n'est lue qu'en partie, et la note de marge qui la prolonge (« si \(x \in U\), \(y \in V\)… disjoints ») aussi

N.B. Pour tout \(x \in L\), […] […] ⌜[…]⌝ la seule strate […]. Si \(x, y \in L\), disons que \(F_x\), \(F_y\) sont compatibles signifie que \(\{F_x, F_y\}\) est […] une figure (ce qui toujours vrai si \(x = y\)). Si \(x \neq y\), dites on dit que \(x\), \(y\) sont « disjoints » s'ils sont distincts et compatibles, i.e. […] alors que \(\{x, y\} \in \mathfrak{P}_2(L)\) est une \(0\)-sphère de \(C\).

Deux parties \(A\), \(B\) de \(L\) sont dites disjointes ([…] contrée \(C\)) — ou \(C\)-disjointes — si \(\forall x \in A\), \(\forall y \in B\), \(x\), \(y\) sont disjoints (\(\Rightarrow A \cap B = \emptyset\)).

31Ainsi Cont\('_4\) dit que deux figures \(F\), \(G\) sont compatibles ssi pour \(U\) strate ouverte de \(F\) et \(V\) de \(G\), telles que \(U \neq V\), on ait on ait \(U = V\) ou \(U\) et \(V\) sont \(C\)-disjoints.

12 juin

date de sa main, « 12. Juin », soulignée, en tête de l'alinéa

Depuis hier j'ai pas mal réfléchi à la construction des pseudo-disques topologiques. Il est apparu que si […] \((D, \partial D)\) est un tel pseudo-disque (ou […]), les « lieux » sur \(D - \partial D\) ne sont […] […] seulement des parties (compactes contractiles etc.) de \(D - \partial D\), satisfaisant à certaines conditions, mais elles doivent être accompagnées d'une donnée supplémentaire, […] […] […] la frontière […] \(\partial D\). Du coup, […] que l'interprétation […] que j'avais […], d'une structure de contrée sur […] donnée de l'ens. \(L\) des lieux, et de certains ensembles de parties de \(L\), les « figures », ne […] pas la seconde moitié de l'alinéa est écrite vite ; seuls les termes mathématiques sont sûrs

32valable pour \(C\) « topologique combinatoire ». Donc il faut prendre plutôt : \[ C \ \text{donnée de}\ C = (\mathcal{M}, \ll, R_{\mathcal{M}}, \mathfrak{F} \ \text{ens. de parties de}\ \mathcal{M}) \] sous \(\ll\) est écrit « relation d'ordre » ou « raffinement » (lecture douteuse), sous \(R_{\mathcal{M}}\) « la compatibilité, rel. sym. réfl. » ; la suite de la ligne est barrée \(R_{\mathcal{M}}\) résultant de \(\ll\), \(\mathfrak{F}\) : \(X, Y \in \mathcal{M}\) sont […] \(X, Y \in F\) […] note oblique de la marge gauche, lue en partie

Plutôt que de dégager […] l'axiomatique, dégager une terminologie géométrique […] en contrées […] ; les axiomes que je […] au passage ; l'axiomatisation […] ensuite. deux lignes très rapides ; la lecture n'en retient que l'intention

Sous-contrée : est définie par un sous-ensemble \(\mathcal{M}'\) […] (qui est fermé […]) dans \(\mathcal{M}\) pour \(\ll\), i.e. si \(X\) est dans \(\mathcal{M}'\), tout raffinement de \(X\) y est aussi. Et On munit \(\mathcal{M}'\) des relations induites \(\ll\) et \(R_{\mathcal{M}'}\) […] par \(\ll_{\mathcal{M}}\) et \(R_{\mathcal{M}}\). Mais […] qu'il n'est pas évident ⌜dit⌝ que les axiomes qu'on va imposer à une contrée soient stables par passage à une une note oblique au bas de la marge gauche, ouverte par « NB », n'est pas lue

33sous-contrée ; […] […]. […] nous réservons le nom de « contrée » à […] systèmes \((\mathcal{M}, \ll, R_{\mathcal{M}})\) […]. Je vais […] […] axiomes, particulièrement cruciaux.

Cont 1 La relation « \(X \leq Y\) » (\(\Leftrightarrow X \ll Y\) et \(X\) comp. \(Y\)) est une relation d'ordre. double trait vertical en marge

Cont 2 (Fig 2) […] Si \(F \in \mathfrak{F}\), deux éléments \(X\), \(Y\) de \(F\) sont compatibles, et \(F\) est une partie fermée de \(\mathcal{M}\) (\(\leq\)).

Cont (Fig 3) Si \(F\) et \(G\) sont des ⌜est une⌝ figure, […] partie \(F'\) de \(F\) qui est fermée, est une sous-figure […]. (La partie vide de \(\mathcal{M}\) est une figure (figure vide).) la parenthèse finale est encadrée ; le numéro barré devant « Fig 3 » est illisible

Cont (Fig 1) Si \(X \in \mathcal{M}\), l'ens. \(F_X = \mathcal{M}_{\leq X}\) des \(Y \in X\) tels est une figure, qui s'appelle la « figure élémentaire » définie par \(X\) — la multiplicité \(X\). ainsi sur la page : « \(Y \in X\) » pour \(Y \leq X\) (de Cont 2 et Cont 4)

Cor. (si \(\mathcal{M} \neq \emptyset\)) […] Fig 3 donne […] vide —

N.B. Si \(\mathcal{M} = \emptyset\) […] la seule partie de \(\mathcal{M}\) (à savoir la partie vide) est une figure.

Cor. (de Fig 1 et Fig 2) Si \(Y, Z \ll X\), et si \(Y\), \(Z\) sont comp. à \(X\), […] sont compatibles cette dernière ligne est barrée de traits obliques. Deux longues notes obliques de la marge gauche (sur les sous-figures \(F' \subset F\) et sur \(X \leq Y\), \(Y \leq X\), « \(X\) comp. \(Y\) ») ne sont lues qu'en fragments

34Cont […] (Fig 4) Soient \(F\) et \(G\) deux figures, telles que pour \(X\) \(X \in F\), \(Y \in G\), \(X\) et \(Y\) comp. Alors \(F \cup G\) est une figure — (figure réunion). « Fig 4 » est entouré, écrit sur un numéro « Cont » barré ; « figure réunion » est doublement souligné

Bien sûr \(F \cap G\) est une sous-figure de \(F\) et de \(G\).

Corollaire (de Fig 1, Fig 2, Fig 4 […]) Si \(X\), \(Y\), \(X'\), \(Y'\) sont tels que \(X' \ll X\), \(Y' \ll Y\), et […] comp., alors \(X'\), \(Y'\) comp.

Contrées finitistes Multiplicités finies :

Corollaire (de Cont 2, Cont 3, Cont 5) Les figures finies […] […] les parties finies de \(\mathcal{M}\), fermées pour \(\leq\), formées de multiplicités deux à deux compatibles.

Donc les structures les figures finies […] Donc une contrée finitiste est connue, quand on connaît seulement ses structures \(\ll\), \(R_{\mathcal{M}}\) (ordre, et rel. sym. réfl.). et ce

À quelles conditions sur deux telles relations, satisfaisant à Cont 1, les parties finies \(S\) fermées […] et formées d'éléments mut. compatibles (i.e. les configurations) satisfont-elles Cont 2 à Cont 5 ? une note oblique de la marge gauche (« … dès que \(F\) et \(G\) sont deux figures compat. … ») n'est lue qu'en partie

35[…] La condition […] est la suivante ; […]

Cont\('_3\) (F. multiplicités dans le cas non finitiste) […] Pour tout \(X \in \mathcal{M}\), la figure l'ens. \(\mathcal{M}_{\leq X}\) est fini. (i.e. les figures élémentaires sont finies) le « 3 » en indice est écrit sous un « 4 » barré

Pour contrées, on exige un peu plus : que la dimension combinatoire de tout \(X \in \mathcal{M}\) soit finie (i.e. \(\dim \mathrm{comb}\, \mathcal{M}_{\leq X}\) finie), et plus précisément encore

Cont 3 Si \(X \in \mathcal{M}\), \[ \underbrace{\sup_{X' \ll X} \dim \mathrm{comb}\, \mathcal{M}_{\leq X'}}_{\text{dimension (géom.) de } X} < \infty \] triple trait vertical dans la marge, et, à côté, un mot oblique doublement souligné (« demain » ?) non assuré

On appelle lieu un élément de \(\mathcal{M}\) minimal pour \(\ll\). On désigne par \(\mathcal{L} \subset \mathcal{M}\) l'ens. des lieux.

Pour tout \(X\), son ombre (⌜fermée⌝) sur \(\mathcal{L}\) est l'ens. \(\mathcal{L}_X\) des lieux \(x\) […] \(x \ll X\). On […] « […] de \(X\) » i.e. […] […]. On pose \[ \mathcal{L}^{\circ}_X = \mathcal{L}_X \smallsetminus \bigcup_{Y < X} \mathcal{L}_Y . \] \(\mathcal{L}_F = \bigcup_{X \in F} \mathcal{L}_X\) ombre de \(F\) la note de marge est oblique ; une seconde note oblique, au-dessus (« … fermée », « … lieux »), n'est pas lue

Cont 4 a) \(\forall X \in \mathcal{M}\), on a \(\mathcal{L}^{\circ}_X \neq \emptyset\)

b) Si \(X\), \(Y\) sont compatibles et distincts, \(\mathcal{L}^{\circ}_X \cap \mathcal{L}^{\circ}_Y = \emptyset\). le « 4 » est écrit sur un autre chiffre

36Scholie L'applicat. Soit \(F\) une figure. Alors

a) L'application \[ X \longmapsto \mathcal{L}_X = \widetilde{X}, \qquad F \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{L}) \] est injective, et son image \(\widetilde{F}\) est un ensemble de parties « admissible » de l'ensemble \(\mathcal{L}\), i.e.

a)\(\forall \widetilde{X}, \widetilde{Y} \in \widetilde{F}\), on a \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \bigcup_{\widetilde{Z} \in \widetilde{F},\ \widetilde{Z} \subset \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} \widetilde{Z}\) ;
b)\(\forall \widetilde{X} \in \widetilde{F}\), posant \(\partial \widetilde{X} = \bigcup_{\widetilde{Y} \in \widetilde{F},\ \widetilde{Y} \subsetneq \widetilde{X}} \widetilde{Y}\), et \(\widetilde{X}^{\circ} = \widetilde{X} \smallsetminus \partial \widetilde{X}\), on a \(\widetilde{X}^{\circ} \neq \emptyset\).

On b) L'appl. […] […] \(\widetilde{X}^{\circ}\) l'ombre ouverte de \(X\) sur \(\mathcal{L}\), \(\partial \widetilde{X}\) l'ombre fr. ⌜bord d'ombre⌝ de \(X\).

b) L'application \[ X \longmapsto \mathcal{L}^{\circ}_X = \widetilde{X}^{\circ}, \qquad F \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{L}) \] est injective, et […] les images forment une partition de l'ombre \(\mathcal{L}_F\) de la figure \(F\), indexée par \(F\).

c) Soit La relation \(\leq\) sur \(F\) est celle induite par la relation d'inclusion sur les ombres. Si \(X, Y \in F\), les conditions équiv. : (i) \(X \leq Y\) (ii) \(\widetilde{X} \subset \widetilde{Y}\) (iii) \(\widetilde{X}^{\circ} \subset \widetilde{Y}\) (iv) \(\widetilde{X}^{\circ} \cap \widetilde{Y} \neq \emptyset\). les conditions (i)–(iv) sont réunies par une accolade « bord d'ombre » est doublement souligné, écrit au-dessus de mots barrés (« ombre fr. », lecture douteuse) Déf. […] \(\partial X = \lbrace Y \in \mathcal{M} \mid Y < X \rbrace\) […] celle […] le bord de \(X\) note oblique de la marge gauche, en regard de b) ; le premier mot, « Déf. », est barré en surcharge

d)Les Pour toute sous-figure \(F'\) de \(F\), on a \(\widetilde{F}' = \mathcal{L}_{F'} \subset \mathcal{L}\) son ombre, et \[ F' \longmapsto \widetilde{F}' \] est une bijection de l'ens. des sous-figures de \(F\), sur l'ens. des parties (de \(\widetilde{F}\) (ombre de \(F\))) qui sont « fermées » […] pour la rel. d'admissibilité de \(\widetilde{F}\) par les \(\widetilde{X}\) (\(X \in F\)).

l'écriture de la première formule est surchargée (\(\mathcal{L}_F\) récrit en \(\widetilde{F}'\)) ; lecture douteuse

Proposition. Soit \(\mathcal{M}\) une contrée, \(\mathcal{M}'\) une sous-contrée, […] i.e. une partie de \(\mathcal{M}\), fermée pour \(\ll\), et munissons \(\mathcal{M}'\) des relations \(\ll_{\mathcal{M}'}\), \(R_{\mathcal{M}'}\) induites […], et de l'ens. \(F_{\mathcal{M}'}\) des parties […] de \(\mathcal{M}'\) qui sont des figures de \(\mathcal{M}\). Alors \[ (\mathcal{M}', \ll_{\mathcal{M}'}, F_{\mathcal{M}'}) \] satisfait les conditions Cont 1 à Cont 4, et si \(X \in \mathcal{M}'\), ses dimensions combinatoire et géométrique sont les mêmes dans \(\mathcal{M}'\) et dans \(\mathcal{M}\) ; si \(\mathcal{L}' = \mathcal{M}' \cap \mathcal{L}\), alors pour \(F \in F_{\mathcal{M}'}\), son ombre (⌜fermée⌝) dans \(\mathcal{M}'\) et dans \(\mathcal{M}\) sont les mêmes ; si \(X \in \mathcal{M}'\), […] son ombre ouverte est la même ⌜pour \(\mathcal{M}'\) et pour \(\mathcal{M}\)⌝, […] le bord \(\partial X\). Les conditions Fig 1 à Fig 4 sont satisfaites dans \(\mathcal{M}'\). La condition Cont\('_3\) […]

38également satisfaite par passage à une sous-contrée. Enfin, si \(C\) est finitiste, \(C'\) aussi.

Figures disjointes On dit que deux […] sont disjointes si elles sont compatibles, et si leur intersection […] vide. au-dessus de « Figures », barré, une insertion oblique en petits caractères n'est pas lue […] multistrates […]. On dit que \(X\), \(Y\) sont disjointes si […] […] \(F_Y\) […], i.e. s'il n'existe pas de […] \(Z \in \mathcal{M}\), avec \(Z \leq X, Y\).

[…] donné deux figures \(F\), \(G\), on dit que \(F\) raffine \(G\) (et on écrit \(F \lll G\)) si \(\forall X \in F\), \(\exists Y \in G\) tel que \(X \lll Y\). Pour deux figures élémentaires \(F_X\), \(F_Y\), cela signifie donc simplement \(X \ll Y\). « raffine » est triplement souligné ; le signe entre figures est un triple chevron, entre \(X\) et \(Y\) ensuite aussi

Si \(F\) raffine \(G\)

Proposition. Pour que \(F\) soit une sous-figure de \(G\), il faut et il suffit que \(F\) raffine \(G\), et soit compatible à \(G\). un trait vertical en marge de l'énoncé

[…] \(\Rightarrow\) trivial, pour \(\Leftarrow\) on note que \(X \ll Y\) et \(X\) comp. à \(Y\) […] implique \(X \leq Y\), donc \(X \in G\) à cause de Fig 2. la marge gauche porte une longue note oblique, reliée au texte par un trait, sur les figures disjointes (\(\forall X \in F\), \(Y \in G\), « disj. ») ; elle n'est lue qu'en fragments

39Cont 5 Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\), \(X\) et \(Y\) disjoints. Alors pour \(X' \ll X\) et \(Y' \ll Y\), \(X'\) et \(Y'\) sont disjoints compatibles disjoints. […] si Cont 2 […] (voir 33) double trait vertical en marge ; « voir 33 » renvoie à la page 33

Cela signifie donc 1°) que \(X'\) et \(Y'\) sont compatibles et 2°) qu'il n'existe pas \(Z \leq X'\), \(Z \leq Y'\). Alors \(X'\), \(Y'\) sont disjoints, car si \(Z \in \mathcal{M}\) avec \(Z \leq X'\), \(Z \leq Y'\), alors \(Z \leq X\), […] ce passage est encadré puis barré de traits obliques

Sa signification est donc : […] (a) toutes les conditions des ⌜deux⌝ compatibles, \(X'\) et \(Y'\) sont compatibles ; (b) […] \(\nexists\, Z \in \mathcal{M}\) avec \(Z \ll X\), \(Z \ll Y\). (a) et (b) sont entourés

(i.e. si \(X\), \(Y\) compatibles, dans \(\mathcal{M}_{\leq X} \cap \mathcal{M}_{\leq Y} = \emptyset\) implique \(\mathcal{M}_{\ll X} \cap \mathcal{M}_{\ll Y} = \emptyset\))

Cor. Si \(F\) et \(G\) sont des figures disjointes, deux raffinements \(F'\) de \(F\), \(G'\) de \(G\), \(F'\) et \(G'\) sont disjointes.

Remarque. Soit \(\mathcal{M}'\) une sous-contrée […] ; deux multistrates \(X\), \(Y\) […] […] deux figures \(F\), \(G\) de \(\mathcal{M}'\), sont disjointes […] de \(\mathcal{M}'\) ssi elles le sont dans \(\mathcal{M}\) […], et donc la condition […] (itou pour Cont 6 qui suit) : si \(\mathcal{M}\) satisfait Cont 5, \(\mathcal{M}'\) aussi.

Cont 6 (F. cellulaire ?) Si \(X, Y \in \mathcal{M}\) sont tels que \(\forall\) \(\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset\) et tout \(x \in\) \(x \in \widetilde{X}\) est comp. à tout \(y \in \widetilde{Y}\), alors \(X\) et \(Y\) sont disjoints. donc \(\forall x \in \widetilde{X}\) disjoint de tout \(y \in \widetilde{Y}\) triple trait vertical en marge de Cont 6 ; deux autres notes obliques de la marge gauche, reliées au texte par des flèches, ne sont lues qu'en fragments

40Contrées induites

1°) Soit \(F\) une figure. Contrée \(C_F\) ⌜induite⌝, définie par les ⌜i.e. la⌝ partie fermée de \(\mathcal{M}_{\ll}\) engendrée par \(F\), i.e. l'ens. des \(X \in \mathcal{M}\) tels que \(X\) raffine \(F\).

Contrée résiduelle \(C_{\complement F}\) la ⌜sous-⌝contrée formée des \(X\) ⌜\(\in \mathcal{M}\)⌝ qui sont disjoints de \(F\). Par Cont 5, […] est […] ⌜fermée⌝ dans \(\mathcal{M}^{\sharp}_{\ll}\). l'exposant de \(\mathcal{M}\), lu \(\sharp\), est douteux

Cor. Soient \(F\) une figure, \(G\) une […]. Subdivision La contrée résiduelle de \(F\) dans \(G\) est par définition \[ C_F \cap C_{\complement G} \] les lettres \(F\) et \(G\) de la formule sont surchargées

Subdivision Soit \(F\) ⌜\(\subset \mathcal{M}\)⌝ une figure. On appelle subdivision de \(F\) une figure \(F' \subset \mathcal{M}\) telle que

a)\(F'\) soit un raffinement de \(F\)
b)\(F'\) soit maximale, ⌜pour \(\subset\)⌝, parmi les raffi figures qui raffinent \(F\).

N.B. Si \(F'\) raffine \(F\), alors son ombre \(\widetilde{F}'\) est contenue dans celle \(\widetilde{F}\) de \(F\).

N.B. L'ensemble des lieux de la contrée \(C_F\) […] l'ombre […] de \(F\) une seconde note oblique de la marge gauche, sur l'ensemble des lieux de \(C_{\complement F}\), n'est lue qu'en fragments