Cote n° 156-4 · pages 1–88 · Lecture modernisée · [Chapitre] IV. Analysis situs (première mouture) : notes manuscrites (10/06/1986) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier part d'un modèle — un espace topologique stratifié — et s'en détache par étapes pour axiomatiser la structure qu'il y lit. Il le fait en cinq départs successifs, qu'on garde distincts : chacun corrige le précédent, et c'est ce mouvement qui est le contenu du dossier.

1. I.Premier départ : du modèle topologique à la contrée (pages 1 à 24, 10 et 11 juin). Figures et strates d'un espace (pages 1 à 4) ; compatibilité et configurations (pages 5 à 10) ; dimension combinatoire (pages 10 à 12) ; raffinement et subdivision (pages 13 à 16) ; la contrée abstraite et ses lieux (pages 17 à 19) ; les ombres sur les lieux (pages 20 à 24).
2. II.Deuxième départ : les figures comme familles de parties des lieux (pages 25 à 31), ouvert par « On reprend tout ! ».
3. III.Troisième départ : multistrates, raffinement et compatibilité primitifs (pages 31 à 44, 12 juin), qui se clôt sur l'objection des pseudo-disques.
4. IV.Quatrième départ : la subdivision primitive (pages 45 à 51), ouvert par « Donc, nouveau départ ! ».
5. V.Cinquième départ : l'ensemble ordonné des figures et ses deux ordres (pages 52 à 88, 13 et 14 juin), qu'il intitule « Contrée (quatrième mouture !) »¹ : l'ordre \(\leq\) seul (pages 52 à 68), puis la subdivision \(\preccurlyeq\) et le raffinement (pages 69 à 85), enfin les lieux et les ombres (pages 86 à 88).

Deux mots à ne pas confondre. Le titre du dossier, « Analysis situs (première mouture) », désigne le chapitre IV de Vers une géométrie des formes ; les chapitres VI, VII et VIII (dossiers 156-6, 156-7, 156-8) en sont la deuxième, la troisième et la quatrième mouture. La « quatrième mouture » de la page 52 est autre chose : un départ interne au présent dossier. On réserve ici « mouture » aux chapitres et l'on dit « départ » pour les reprises internes. De même, le lieu de ce dossier — une figure qu'on ne peut plus raffiner, un point dans le modèle — n'a rien à voir avec le lieu du chapitre II (dossier 156-2), partie fermée qui coupe une faille en deux.

Conventions. \(\mathbb{X}\) est l'espace ambiant. Une figure \(F\) a des strates fermées \(X_{i}\) et des strates ouvertes \(U_{i} = X_{i} \smallsetminus \partial X_{i}\) ; \(\Sigma_{F}\) est l'ensemble ordonné de ses strates. On dit multistrate pour ce que les pages 3 à 18 appellent « figure élémentaire » et les pages 21 à 37 « multiplicité » — le mot est celui que la page 19 adopte — et l'on note \(\mathcal{M}\) leur ensemble (son \(\mathfrak{F}_{\text{él}}\)). Les relations sont notées : \(\leq\) (sous-figure, sous-multistrate), \(\ll\) (raffinement), \(\preccurlyeq\) (subdivision), \(R\) (compatibilité). \(\mathcal{L}\) est l'ensemble des lieux ; l'ombre d'une multistrate \(X\), ensemble des lieux qui la raffinent, est notée \(\mathcal{L}_{X}\), et son ombre ouverte \(\mathcal{L}^{\circ}_{X}\), dans tous les départs² . Les axiomes sont toujours cités avec leur page : « Cont 3 », « C 4 » ou « C 8 » désignent chacun plusieurs énoncés différents selon le départ.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : la réciproque de la page 8 ; que, dans le modèle topologique, les subdivisions soient exactement les raffinements maximaux (la tentative de la page 16 s'arrête sur un problème de topologie) ; l'application \(F' \to F\) de la page 42, qui n'est obtenue qu'à la page 80 ; que le raffinement soit une relation d'ordre au quatrième départ (page 47) ; la dernière étape de la démonstration de la page 51 ; que les supports forment une algèbre de Boole (page 68) ; la propriété d'Inf du raffinement induit au cinquième départ (abandonnée page 78) ; les énoncés (ii) et (iii) de la page 85 ; et la Proposition de la page 88, sur laquelle le dossier s'arrête.

1–4

I. Le modèle topologique : figures et strates (pages 1 à 4)

La page 1, datée du 10 juin 1986 et marquée « GF IV », annonce un modèle « ensembliste topologique » de l'axiomatique d'un « modèle de formes topologiques », dans le cas d'une contrée. L'espace ambiant \(\mathbb{X}\) est séparé, ou modéré pour une « théorie modérée » donnée, et dans ce cas « partie fermée » s'entend « partie fermée modérée »³ .

Définition (pages 1 et 2). Une figure \(F\) de \(\mathbb{X}\) est une partie fermée \(X\), son support \(|F|\), munie d'une famille de parties \(X_{i}\), les strates fermées, de réunion \(X\), telles que :

1. a)les \(X_{i}\) sont fermées, non vides et localement connexes ;
2. b)la famille des \(X_{i}\) est localement finie ;
3. c)si \(X_{i} \subsetneq X_{j}\), alors \(X_{i}\) est rare dans \(X_{j}\) ;
4. d)posant \(\partial X_{i} = \bigcup_{X_{j} \subsetneq X_{i}} X_{j}\), fermé par a), b), c), l'intérieur \(\mathrm{int}(X_{i}) = X_{i} \smallsetminus \partial X_{i}\) est une variété connexe ;
5. f)\(X_{i} \cap X_{j}\) est réunion de strates.

On ordonne les strates par inclusion⁴ . Comme \(\partial X_{i}\) est une réunion localement finie de fermés rares, elle est rare, et la strate ouverte \(U_{i} = \mathrm{int}(X_{i})\) est dense dans \(X_{i}\) : chaque strate fermée est l'adhérence de sa strate ouverte. Dans le cas modéré, « variété » s'entend au sens modéré⁵ . Les strates ouvertes forment une partition de \(|F|\) ; en termes actuels, une figure est une stratification localement finie d'un fermé de \(\mathbb{X}\) dont chaque strate fermée est réunion de strates — ce qu'on appelle la condition de frontière⁶ .

Une figure se reconstitue à partir de l'ensemble de ses strates : \(F\) est un élément de \(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}_{f}(\mathbb{X}))\), où \(\mathfrak{P}_{f}\) désigne les parties fermées, et l'ensemble \(\mathfrak{F}\) des figures une partie de \(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}_{f}(\mathbb{X}))\). À chaque figure est attaché l'ensemble ordonné \(\Sigma_{F}\) de ses strates⁷ .

Sous-figures et multistrates

Définition (page 3). Une sous-figure \(F'\) de \(F\) est une partie de l'ensemble des strates de \(F\) telle que, si \(X_{i} \in F'\) et si \(X_{j}\) est une strate de \(F\) contenue dans \(X_{i}\), alors \(X_{j} \in F'\). On écrit \(F' \leq F\).

La page définit la sous-figure par la seule inclusion \(F' \subset F\) et donne la condition de clôture comme une conséquence ; elle n'en est pas une⁸ . Ainsi définies, les sous-figures de \(F\) sont en bijection avec les parties de \(\Sigma_{F}\) fermées vers le bas — c'est-à-dire, comme le dit la page, avec les fermés de \(\Sigma_{F}\) pour la topologie dont les fermés sont les parties décroissantes⁹ — et \(|F'| \subset |F|\). La relation \(\leq\) est un ordre sur \(\mathfrak{F}\).

Une multistrate est une figure qui a une strate maximale, c'est-à-dire dont \(\Sigma_{F}\) a un plus grand élément¹⁰ . Les sous-multistrates d'une figure \(F\) correspondent à ses strates : à \(X_{i}\) répond la multistrate \(F_{X_{i}}\) formée des strates de \(F\) contenues dans \(X_{i}\). Soit \(\Sigma'_{F} \subset \mathcal{M}\) l'ensemble de ces sous-multistrates ; on a \(\Sigma'_{F} \simeq \Sigma_{F}\), \(F\) se reconstitue à partir de \(\Sigma'_{F}\), et l'inclusion des figures devient l'inclusion de ces parties de \(\mathcal{M}\). Ordonné par \(\leq\), \(\mathcal{M}\) est un ensemble ordonné, et chaque \(\Sigma'_{F}\) en est une partie fermée vers le bas.

5–10

II. Compatibilité et configurations (pages 5 à 10)

Une partie de \(|F|\) est \(F\)-saturée si elle est réunion de strates ouvertes de \(F\) — de façon équivalente, pour une partie fermée, réunion de strates fermées¹¹ .

Proposition (pages 5 et 6). Pour deux figures \(F\) et \(F'\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)pour toutes strates \(X \in \Sigma_{F}\), \(X' \in \Sigma_{F'}\), \(X \cap X'\) est \(F_{X}\)-saturée et \(F'_{X'}\)-saturée ;
2. b)deux strates ouvertes \(U_{i}\) de \(F\) et \(U'_{j}\) de \(F'\) sont disjointes ou égales.

On dit alors que \(F\) et \(F'\) sont compatibles.

b) \(\Rightarrow\) a) : \(X \cap X'\) est la réunion des \(U_{k} \cap U'_{l}\), pour \(U_{k} \subset X\), \(U'_{l} \subset X'\), chacune vide ou égale à \(U_{k} = U'_{l}\) ; c'est donc une réunion de strates ouvertes de l'une et de l'autre. a) \(\Rightarrow\) b) : soit \(x \in U_{i} \cap U'_{j}\). La partie \(X_{i} \cap X'_{j}\) est fermée, \(F_{X_{i}}\)-saturée et contient \(x\), donc \(U_{i}\), donc son adhérence \(X_{i}\) ; ainsi \(X_{i} \subset X'_{j}\), et symétriquement \(X_{i} = X'_{j}\). Reste à voir que \(\partial X_{i} = \partial X'_{j}\) : si \(Y\) est une strate de \(F\) strictement contenue dans \(X_{i}\), a) appliqué à \((Y, X'_{j})\) dit que \(Y\) est un fermé \(F'_{X'_{j}}\)-saturé distinct de \(X'_{j}\) ; il ne rencontre donc pas \(U'_{j}\), sans quoi il contiendrait son adhérence \(X'_{j}\), et \(Y \subset \partial X'_{j}\). D'où \(\partial X_{i} \subset \partial X'_{j}\), et l'inclusion inverse par symétrie¹² .

Deux figures sont compatibles si et seulement si leurs sous-multistrates le sont deux à deux, et deux sous-figures d'une même figure le sont toujours (page 7). On obtient sur \(\mathcal{M}\) une relation réflexive et symétrique \(R\), « être compatibles ». Une configuration est un ensemble de figures deux à deux compatibles.

Les figures comme configurations

Pour une figure \(F\), la partie \(\Phi = \Sigma'_{F}\) de \(\mathcal{M}\) est fermée vers le bas, c'est une configuration, et elle est localement finie : la famille des supports de ses éléments est localement finie dans \(\mathbb{X}\). La page 8 affirme la réciproque : toute partie \(\Phi\) de \(\mathcal{M}\) ayant ces trois propriétés provient d'une figure et d'une seule¹³ . D'où la structure que la page 9 dégage, et qu'on numérote comme elle :

1. (1)l'ensemble \(\mathcal{M}\) des multistrates ;
2. (2)l'ordre \(\leq\) sur \(\mathcal{M}\) ;
3. (3)la relation réflexive et symétrique \(R\) de compatibilité ;
4. (4)parmi les configurations, celles qui sont « localement finies », \(\mathrm{Conf}_{\mathrm{l.f.}} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\).

La famille (4) contient les singletons, est stable par passage à une partie et par réunion finie de configurations ; la page l'appelle un antifiltre¹⁴ . Les figures sont alors les parties de \(\mathcal{M}\) qui sont des configurations, fermées vers le bas et localement finies ; les figures finies, les parties finies qui sont des configurations fermées.

10–12

III. Dimension combinatoire (pages 10 à 12)

Deux propriétés de la relation entre (2) et (3) :

Fig\(_{1}\) (page 10). Deux sous-multistrates d'une même multistrate \(X\) sont compatibles, de sorte que \(\mathcal{M}_{\leq X}\) est une configuration, donc une figure. Fig\(_{2}\) (page 11). Pour tout \(X \in \mathcal{M}\), les chaînes de \(\mathcal{M}_{\leq X}\) ont un cardinal borné.

La dimension combinatoire de \(X\) est la borne supérieure des cardinaux de ces chaînes, diminuée de un : c'est la hauteur de l'ensemble ordonné \(\mathcal{M}_{\leq X}\)¹⁵ . Elle est nulle si et seulement si \(X\) est minimal dans \(\mathcal{M}\), et la dimension combinatoire d'une figure est la borne supérieure de celles de ses éléments. Dans le modèle, les multistrates minimales sont les fermés de \(\mathbb{X}\) qui sont des variétés connexes (une seule strate), et les figures de dimension combinatoire nulle sont les configurations non vides et localement finies de multistrates minimales, c'est-à-dire les fermés de \(\mathbb{X}\) qui sont des variétés, décomposés en leurs composantes connexes¹⁶ . La figure vide correspond à la sous-variété vide.

13–16

IV. Raffinement et subdivision (pages 13 à 16)

Définition (page 14). Une figure \(F'\) raffine \(F\), et l'on écrit \(F' \ll F\), si toute strate ouverte de \(F'\) est contenue dans une strate ouverte de \(F\), nécessairement unique.

On a alors \(|F'| \subset |F|\), sans égalité nécessaire. C'est une relation d'ordre — deux figures qui se raffinent mutuellement ont même support et des partitions en strates ouvertes plus fines l'une que l'autre, donc égales — et elle est impliquée par \(\leq\), puisque les strates ouvertes d'une sous-figure sont des strates ouvertes de la figure¹⁷ . Elle se lit sur les multistrates : \(F' \ll F\) si et seulement si toute sous-multistrate de \(F'\) raffine une sous-multistrate de \(F\). C'est la donnée

1. (5)l'ordre \(\ll\) sur \(\mathcal{M}\), impliqué par \(\leq\),

qui s'ajoute aux données (1) à (4), avec la relation (page 15) \[ X \leq X' \iff X \ll X' \ \text{et}\ (X, X') \in R , \] vraie dans le modèle : si chaque strate ouverte de \(X\) est dans une strate ouverte de \(X'\) et lui est égale ou disjointe, elle lui est égale. Cette équivalence — sous-figure égale raffinement plus compatibilité — revient dans chacun des départs suivants.

Définition (pages 13 et 15). Une subdivision de \(F\) est un raffinement \(F'\) de même support.

La page 15 annonce que cela revient à demander que \(F'\) soit maximal, pour \(\leq\), parmi les raffinements de \(F\), et en fait la définition retenue¹⁸ . Une subdivision d'une multistrate n'est pas nécessairement une multistrate : une arête coupée en son milieu en a deux maximales.

La page 16, intitulée « Justification (?) », tente de montrer qu'un raffinement \(F'\) de support plus petit n'est pas maximal : elle forme la figure \(F''\) dont les strates ouvertes sont celles de \(F'\) et les composantes connexes \(V_{i\alpha}\) des \(U_{i} \smallsetminus X'\), où \(X' = |F'|\). Il faut alors que l'adhérence de chaque \(V_{i\alpha}\) soit réunion de strates, et la page s'arrête sur ce qu'elle appelle « un pb, qui a l'air intéressant, de topologie d'un espace stratifié dans une variété »¹⁹ . L'équivalence reste ainsi annoncée et non établie.

17–19

V. La contrée abstraite et ses lieux (pages 17 à 19)

La page 17 isole la structure. Une contrée est donnée par :

1. 1°)un ensemble \(\mathcal{M}\) de multistrates ;
2. 2°)un ordre \(\ll\) sur \(\mathcal{M}\), le raffinement ;
3. 3°)une relation réflexive et symétrique \(R\), la compatibilité ;
4. 4°)un idéal de parties de \(\mathcal{M}\), dites localement finies, qui pour une contrée finie sont simplement les configurations finies,

avec des axiomes « à dégager »²⁰ . Le premier : Contr\(_{1}\) (page 17), la relation « \(X' \ll X\) et \(X'\) compatible à \(X\) » est un ordre ; on la note \(\leq\), et Fig\(_{1}\) se lit alors : deux multistrates qui raffinent \(X\) et lui sont compatibles sont compatibles entre elles. Le second : Contr\(_{2}\) (page 18), pour tout \(X\), les dimensions combinatoires des \(X' \ll X\) sont bornées²¹ ; leur borne supérieure est la dimension géométrique de \(X\), et celle d'une figure est la borne supérieure de celles de ses éléments. C'est donc le plus grand \(n\) pour lequel il existe une chaîne \[ X_{0} < X_{1} < \cdots < X_{n}, \qquad X_{n} \ll X \in F \] (page 18)²² . Pour un segment, elle vaut \(1\) ; pour le disque dont le bord est une seule strate, la dimension combinatoire \(1\) est corrigée en dimension géométrique \(2\) par ses subdivisions en cellules.

Le 11 juin, après un passage très raturé où il envisage de partir plutôt de parties « constructibles », il annonce qu'il va « pousser un peu dans la direction \(\ll\), compatibilité »²³ , et arrive à la notion de lieu.

Définition (page 19). Un lieu est une multistrate minimale pour \(\ll\), c'est-à-dire qui n'a d'autre raffinement qu'elle-même. On note \(\mathcal{L} \subset \mathcal{M}\) l'ensemble des lieux.

Un lieu est a fortiori minimal pour \(\leq\). Dans le modèle, les lieux sont exactement les points de \(\mathbb{X}\) : un point de \(|X|\), pris comme figure à une strate, raffine \(X\), de sorte qu'une multistrate qui a plus d'un point n'est pas minimale²⁴ . Les figures sont désormais « des ensembles de multistrates mutuellement compatibles, fermés pour \(\leq\), localement finis ».

20–24

VI. Les ombres sur les lieux (pages 20 à 24)

Pour une multistrate \(X\), son ombre \(\mathcal{L}_{X}\) est l'ensemble des lieux qui la raffinent, et \(\widehat{\mathcal{L}}_{X} = \{\mathcal{L}_{Y} \mid Y \leq X\} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) ; pour une figure \(F\), \(\mathcal{L}_{F} = \bigcup_{X \in F} \mathcal{L}_{X}\) et \(\widehat{\mathcal{L}}_{F} = \{\mathcal{L}_{X} \mid X \in F\}\). Le programme, posé à la page 20, est de reconstituer \(\ll\) et la compatibilité à partir de \(X \mapsto \widehat{\mathcal{L}}_{X}\)²⁵ . Dans le modèle, \(\mathcal{L}_{X}\) est le support de \(X\).

L'application \(X_{i} \mapsto \mathcal{L}_{X_{i}}\) est croissante sur \(\mathcal{M}_{\leq X}\), et l'on veut qu'elle le soit strictement. On pose l'ombre ouverte \[ \mathcal{L}^{\circ}_{X} = \mathcal{L}_{X} \smallsetminus \bigcup_{Y < X} \mathcal{L}_{Y}, \] et l'on demande :

Cont 3 (page 21). Pour tout \(X \in \mathcal{M}\), \(\mathcal{L}^{\circ}_{X} \neq \emptyset\). Cont 4 (page 22). Si \(X \neq Y\) sont compatibles, \(\mathcal{L}^{\circ}_{X} \cap \mathcal{L}^{\circ}_{Y} = \emptyset\).

Pour \(x \in \mathcal{L}_{X}\), un élément \(X_{i} \leq X\) minimal parmi ceux dont l'ombre contient \(x\) vérifie \(x \in \mathcal{L}^{\circ}_{X_{i}}\), de sorte que \(\mathcal{L}_{X}\) est la réunion des \(\mathcal{L}^{\circ}_{X_{i}}\) pour \(X_{i} \leq X\)²⁶ . Cont 4 dit que cette réunion est disjointe.

Scholie (page 23). Soit \(F\) une figure.

1. a)Les ombres ouvertes \(\mathcal{L}^{\circ}_{X}\), \(X \in F\), sont non vides et forment une partition de \(\mathcal{L}_{F}\) ; en particulier \(X \mapsto \mathcal{L}^{\circ}_{X}\) est injective sur \(F\).
2. b)\(X \mapsto \mathcal{L}_{X}\) est injective sur \(F\), et pour \(X, Y \in F\) les conditions (i) \(X \leq Y\), (ii) \(\mathcal{L}_{X} \subset \mathcal{L}_{Y}\), (iii) \(\mathcal{L}^{\circ}_{X} \subset \mathcal{L}_{Y}\), (iv) \(\mathcal{L}^{\circ}_{X} \cap \mathcal{L}_{Y} \neq \emptyset\) sont équivalentes.
3. c)Pour \(X, Y \in F\), \(\mathcal{L}_{X} \cap \mathcal{L}_{Y} = \bigcup_{Z \in F,\ Z \leq X,\ Z \leq Y} \mathcal{L}_{Z}\).

Pour (iv) \(\Rightarrow\) (i) : \(\mathcal{L}_{Y}\) est réunion des \(\mathcal{L}^{\circ}_{Y_{i}}\), \(Y_{i} \leq Y\), et \(\mathcal{L}^{\circ}_{X}\) en rencontre un ; par a), \(X = Y_{i}\). Les autres implications sont immédiates, et seul sert le fait que \(X\) et \(Y\) sont compatibles, comme le note la marge.

Viennent les réciproques, posées en axiome :

Cont 5 (page 24). \(X \ll Y\) si et seulement si toute strate ouverte de \(X\) — toute \(\mathcal{L}^{\circ}_{X'}\), \(X' \leq X\) — est contenue dans une strate ouverte de \(Y\) ; \(X\) et \(Y\) sont compatibles si et seulement si leurs strates ouvertes sont deux à deux disjointes ou égales.

On en déduit \(\widehat{\mathcal{L}}_{X} = \widehat{\mathcal{L}}_{Y} \iff X = Y\), et \(X \leq Y\) si et seulement si \(\widehat{\mathcal{L}}_{X}\) est une partie fermée de \(\widehat{\mathcal{L}}_{Y}\)²⁷ . La contrée \((\mathcal{M}, \ll, R)\) se reconstitue donc à partir de \(\mathcal{L}\) et de l'ensemble \(\widehat{\mathcal{M}}\) des \(\widehat{\mathcal{L}}_{X}\), partie de \(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L})))\) : c'est la conclusion du premier départ, et la critique qu'en fera le 12 juin (page 31) porte précisément sur elle.

25–31

VII. Deuxième départ : les figures comme familles de parties (pages 25 à 31)

« On reprend tout ! » La conclusion de la page 24 est prise pour définition.

Définition (page 25). Une contrée \(C\) est un ensemble \(L\), ses lieux, muni d'un ensemble \(\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(L))\) de familles de parties de \(L\), les figures. Les éléments d'une figure \(F\) sont ses strates fermées, leur réunion est son support \(|F|\).

Cont 1 (page 25). La famille vide est une figure, et pour tout \(x \in L\), \(\{\{x\}\}\) est une figure, la figure ponctuelle. Cont 2 (page 26). Pour toute figure \(F\) et tout \(X \in F\), posant \(\partial X = \bigcup_{Y \in F,\ Y \subsetneq X} Y\) et \(X^{\circ} = X \smallsetminus \partial X\), on a \(X^{\circ} \neq \emptyset\) ; et pour \(X, Y \in F\), \(X \cap Y\) est la réunion des \(Z \in F\) contenus dans \(X \cap Y\).

Une famille qui satisfait Cont 2 est dite admissible²⁸ . Les strates ouvertes de deux éléments distincts d'une famille admissible sont disjointes : si \(x \in X^{\circ} \cap Y^{\circ}\), un \(Z \subset X \cap Y\) de \(F\) contient \(x\), et ne peut être strictement contenu ni dans \(X\) ni dans \(Y\), d'où \(X = Z = Y\). La page en déduit que \(X \mapsto X^{\circ}\) met \(F\) en bijection avec les classes d'une partition de \(|F|\). Il faut pour cela que tout point de \(|F|\) appartienne à un élément minimal de \(F\) parmi ceux qui le contiennent, ce que Cont 2 n'assure pas²⁹ .

Cont 3 (page 27). Toute partie d'une figure fermée vers le bas pour l'inclusion est une figure — une sous-figure, notée \(F' \leq F\).

C'est ici que la page note qu'une figure contenue dans une autre n'en est pas nécessairement une sous-figure (voir la note de la page 3).

Compatibilité

Pour deux figures \(F\), \(G\), la page 28 énumère des conditions qu'elle dit équivalentes :

1. a)\(|F| \cap |G|\) est saturée dans \(|F|\) et dans \(|G|\), et les deux partitions qu'elle en reçoit coïncident ;
2. b)deux strates ouvertes de \(F\) et de \(G\) sont disjointes ou égales ;
3. b')pour \(X \in F\), \(Y \in G\), \(X^{\circ} \cap Y^{\circ} = \emptyset\) ou \(X = Y\) ;
4. d)\(F \cup G\) est admissible, et \(F\), \(G\) y sont fermées³⁰ .

Ce n'est vrai qu'en partie. On a a) \(\Leftrightarrow\) b), et b') \(\Leftrightarrow\) d) pour des figures dont tout point est dans une strate ouverte (la note précédente) ; b') entraîne b), mais non la réciproque³¹ . On appelle donc compatibles deux figures qui satisfont d) ; deux sous-figures d'une même figure le sont, et leur réunion en est une sous-figure³² . Une configuration est un ensemble de figures deux à deux compatibles.

Cont 4 (page 29). Si toute multistrate de \(F\) est compatible à toute multistrate de \(G\), alors \(F\) et \(G\) sont compatibles.

Ici la multistrate \(\widehat{X}\) définie par \(X \in F\) est la sous-figure des éléments de \(F\) contenus dans \(X\). Par récurrence, une famille finie de figures dont les multistrates sont deux à deux compatibles a pour réunion une figure, dont elles sont des sous-figures³³ .

La contrée est ensembliste, ou contrée de points, si deux figures compatibles « ensemblistement » — au sens de d) — le sont, ce qui rend Cont 4 tautologique. Pour les autres, la page 30 propose :

Cont\('_{4}\) (pages 30 et 31). Deux figures sont compatibles si et seulement si deux strates ouvertes \(U\) de l'une et \(V\) de l'autre sont égales ou \(C\)-disjointes,

où deux lieux \(x \neq y\) sont disjoints quand \(\{\{x\}, \{y\}\}\) est une figure — une \(0\)-sphère de \(C\) —, et deux parties \(A\), \(B\) de \(L\) sont \(C\)-disjointes quand tout point de l'une est disjoint de tout point de l'autre³⁴ . Dans une contrée de points, deux lieux distincts sont toujours disjoints ; ailleurs, deux points distincts peuvent être « trop proches » pour former une figure à eux deux — c'est la possibilité que ce départ ménage.

31–34

VIII. 12 juin : troisième départ (pages 31 à 40)

« Depuis hier j'ai pas mal réfléchi à la construction des pseudo-disques topologiques. » Il en ressort que si \((D, \partial D)\) est un pseudo-disque, les lieux de \(D \smallsetminus \partial D\) ne sont pas seulement des parties de l'intérieur satisfaisant certaines conditions, mais doivent être accompagnés d'une donnée supplémentaire liée au bord \(\partial D\)³⁵ . Une contrée ne peut donc pas être une donnée de lieux et de familles de parties de lieux, du moins pour une contrée « topologique combinatoire », et il faut prendre plutôt \[ C = (\mathcal{M}, \ll, R_{\mathcal{M}}, \mathfrak{F}), \] multistrates, raffinement, compatibilité, et un ensemble \(\mathfrak{F}\) de parties de \(\mathcal{M}\), les figures — deux multistrates étant compatibles quand elles appartiennent à une même figure, dit la marge.

Suit la phrase de méthode : plutôt que de dégager l'axiomatique, dégager une terminologie géométrique des contrées, noter au passage les axiomes, et n'axiomatiser qu'ensuite³⁶ . Une sous-contrée est une partie \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{M}\) fermée pour \(\ll\), munie des relations induites, et la page prévient que la stabilité des axiomes par passage à une sous-contrée n'est pas évidente.

Les axiomes « particulièrement cruciaux »

Cont 1 (page 33). La relation \(X \leq Y\), définie par « \(X \ll Y\) et \(X\) compatible à \(Y\) », est une relation d'ordre.

Elle est réflexive et antisymétrique d'elle-même ; ce que l'axiome demande, c'est la transitivité, c'est-à-dire que \(X \leq Y \leq Z\) entraîne la compatibilité de \(X\) et de \(Z\). Puis, pour les figures :

1. Fig 1pour \(X \in \mathcal{M}\), \(\mathcal{M}_{\leq X}\) est une figure, la figure élémentaire de \(X\) ;
2. Fig 2les éléments d'une figure sont deux à deux compatibles, et une figure est fermée vers le bas pour \(\leq\) ;
3. Fig 3une partie fermée d'une figure est une figure ; la partie vide en est une ;
4. Fig 4si tout élément de \(F\) est compatible à tout élément de \(G\), \(F \cup G\) est une figure, la figure réunion³⁷ .

Une contrée est finitiste si ses figures finies sont exactement les parties finies de \(\mathcal{M}\), fermées pour \(\leq\) et formées de multistrates deux à deux compatibles ; elle est alors connue par \(\ll\) et \(R_{\mathcal{M}}\) seules, et la page 34 pose la question des conditions sur ces deux relations pour que ces configurations satisfassent les axiomes³⁸ .

35–37

Dimension, lieux, ombres (pages 35 à 37)

Cont\('_{3}\) (page 35). Pour tout \(X\), \(\mathcal{M}_{\leq X}\) est fini. Cont 3 (page 35). Pour tout \(X\), la dimension géométrique \(\sup_{X' \ll X} \dim \mathrm{comb}\, \mathcal{M}_{\leq X'}\) est finie.

Les lieux sont les éléments de \(\mathcal{M}\) minimaux pour \(\ll\) ; l'ombre \(\mathcal{L}_{X}\) et l'ombre ouverte \(\mathcal{L}^{\circ}_{X}\) sont définies comme à la page 21, et l'ombre d'une figure est \(\mathcal{L}_{F} = \bigcup_{X \in F} \mathcal{L}_{X}\). Les axiomes Cont 3 et Cont 4 des pages 21 et 22 reviennent sous le nom de Cont 4 (page 35) : a) les ombres ouvertes sont non vides ; b) celles de deux multistrates compatibles distinctes sont disjointes.

Scholie (pages 36 et 37). Soit \(F\) une figure.

1. a)\(X \mapsto \mathcal{L}_{X}\) est injective sur \(F\), et son image est une famille admissible de parties de \(\mathcal{L}\) au sens de Cont 2 (page 26) ;
2. b)les \(\mathcal{L}^{\circ}_{X}\), \(X \in F\), forment une partition de \(\mathcal{L}_{F}\) indexée par \(F\) ;
3. c)les conditions (i) à (iv) de la page 23 sont équivalentes ;
4. d)\(F' \mapsto \mathcal{L}_{F'}\) met les sous-figures de \(F\) en bijection avec les parties de \(\mathcal{L}_{F}\) fermées pour la famille admissible des \(\mathcal{L}_{X}\).

C'est le Scholie de la page 23, avec cette précision que l'ombre ouverte de \(X\) est la strate ouverte de \(\mathcal{L}_{X}\) dans la famille admissible — d'où les noms d'ombre ouverte et de bord d'ombre que la page leur donne. Pour que tout lieu de \(\mathcal{L}_{X}\) soit dans une ombre ouverte, il faut un élément minimal, que Cont\('_{3}\) fournit³⁹ . La Proposition de la page 37 vérifie qu'une sous-contrée \(\mathcal{M}'\), munie des figures de \(\mathcal{M}\) contenues dans \(\mathcal{M}'\), satisfait encore Cont 1 à Cont 4, Fig 1 à Fig 4 et Cont\('_{3}\), avec les mêmes dimensions et les mêmes ombres, et qu'une sous-contrée d'une contrée finitiste l'est aussi.

38–40

Disjonction, contrées induites, subdivision (pages 38 à 40)

Deux multistrates \(X\), \(Y\) sont disjointes si elles sont compatibles et n'ont aucune sous-multistrate commune ; deux figures, si elles sont compatibles et d'intersection vide. Une figure \(F\) raffine une figure \(G\) si tout élément de \(F\) raffine un élément de \(G\)⁴⁰ .

Proposition (page 38). \(F\) est une sous-figure de \(G\) si et seulement si \(F\) raffine \(G\) et lui est compatible.

En effet, pour \(X \in F\) il existe \(Y \in G\) avec \(X \ll Y\), et \(X\), \(Y\) sont compatibles, donc \(X \leq Y\) et \(X \in G\) par Fig 2.

Cont 5 (page 39). Si \(X\) et \(Y\) sont disjointes, tout raffinement de \(X\) est disjoint de tout raffinement de \(Y\). Cont 6 (page 39). Si \(\mathcal{L}_{X} \cap \mathcal{L}_{Y} = \emptyset\) et si tout lieu de \(\mathcal{L}_{X}\) est compatible à tout lieu de \(\mathcal{L}_{Y}\), alors \(X\) et \(Y\) sont disjointes.

Cont 5 dit en particulier que deux multistrates disjointes n'ont aucun raffinement commun, et il s'étend aux figures : deux raffinements de figures disjointes sont disjoints (Corollaire, page 39). Cont 6 dit que la disjonction se lit sur les lieux. Les deux passent aux sous-contrées. Pour une figure \(F\), la contrée induite \(C_{F}\) est formée des multistrates qui raffinent \(F\), la contrée résiduelle \(C_{\complement F}\) de celles qui sont disjointes de \(F\), fermée pour \(\ll\) grâce à Cont 5⁴¹ .

Définition (page 40). Une subdivision de \(F\) est un raffinement de \(F\) maximal pour l'inclusion parmi les raffinements de \(F\).

C'est la définition de la page 15, transportée dans la contrée abstraite.

41–44

IX. Ce que le raffinement ne permet pas (pages 41 à 44)

Proposition (page 41). Supposons Cont 6 et Cont 7 ci-dessous. Pour un raffinement \(F'\) de \(F\), sont équivalents :

1. a)\(F'\) est une subdivision de \(F\) ;
2. b)aucune multistrate qui raffine \(F\) n'est disjointe de \(F'\) ;
3. c)aucun lieu de \(\mathcal{L}_{F}\) n'est disjoint de \(F'\).

a) \(\Rightarrow\) b) : si \(X \ll F\) est disjointe de \(F'\), la figure \(F' \cup \mathcal{M}_{\leq X}\) raffine \(F\) et contient strictement \(F'\)⁴² . b) \(\Rightarrow\) c) est immédiat, les lieux étant des multistrates. c) \(\Rightarrow\) a) : si \(F' \subsetneq F'' \ll F\), choisissons \(X \in F'' \smallsetminus F'\) et \(x \in \mathcal{L}^{\circ}_{X}\) ; alors \(x \in \mathcal{L}_{F}\), et il faut voir que \(x\) est disjoint de \(F'\). La page s'arrête là-dessus — « il faut un axiome pour l'assurer » — et pose :

Cont 7 (page 41). Si \(X \neq Y\) sont compatibles, tout lieu de \(\mathcal{L}^{\circ}_{X}\) est disjoint de tout lieu de \(\mathcal{L}^{\circ}_{Y}\).

Avec lui, \(x\) est disjoint de tous les lieux des ombres ouvertes des éléments de \(F'\), qui recouvrent \(\mathcal{L}_{F'}\), et Cont 6 conclut que \(x\) est disjoint de \(F'\). C'est aussi le Corollaire 1 de la page 41 : si \(F'\) est une sous-figure de \(F\) et \(X \in F \smallsetminus F'\), tout lieu de \(\mathcal{L}^{\circ}_{X}\) est disjoint de \(F'\)⁴³ .

Une application qui manque, et le raffinement induit

La page 42 veut associer à chaque élément \(X'\) d'un raffinement \(F'\) de \(F\) l'unique \(X \in F\) dont l'ombre ouverte contient celle de \(X'\) — la version, dans la contrée, de la définition topologique de la page 14 —, prend pour \(X\) un élément minimal de \(F\) raffiné par \(X'\), et ne parvient pas à montrer que \(\mathcal{L}^{\circ}_{X'} \subset \mathcal{L}^{\circ}_{X}\) : « Il semblerait qu'il manque quelque chose. » Ce qui manque est posé à la page 43 :

Cont 8 (page 43). Soient \(Y \ll X\) et \(X' < X\). Les \(Y' \leq Y\) qui raffinent \(X'\) forment une sous-figure \(R_{X'}\) de \(\mathcal{M}_{\leq Y}\), le raffinement de \(X'\) induit par \(Y\), et tout raffinement commun de \(Y\) et de \(X'\) raffine \(R_{X'}\) : \(R_{X'}\) est la borne inférieure de \(\mathcal{M}_{\leq Y}\) et de \(\mathcal{M}_{\leq X'}\) pour \(\ll\).

En particulier \(\mathcal{L}_{Y} \cap \mathcal{L}_{X'} = \bigcup_{Y' \in R_{X'}} \mathcal{L}_{Y'}\), et, s'il n'existe pas de \(X_{1}\) avec \(Y \ll X_{1} < X\), on a \(\mathcal{L}^{\circ}_{Y} \subset \mathcal{L}^{\circ}_{X}\) : un lieu \(x\) de \(\mathcal{L}^{\circ}_{Y}\) qui serait dans \(\mathcal{L}_{X'}\), \(X' < X\), serait dans l'ombre d'un \(Y' \in R_{X'}\), donc \(Y' = Y\) par définition de l'ombre ouverte, et \(Y \ll X' < X\). D'où, en prenant pour chaque strate de \(Y\) la plus petite strate de \(X\) qu'elle raffine :

Corollaire (page 44). Si \(F'\) raffine \(F\), toute ombre ouverte d'un élément de \(F'\) est contenue dans l'ombre ouverte d'un unique élément de \(F\).

L'objection des pseudo-disques

« Je viens de m'apercevoir » que, dans le cas des pseudo-disques, deux lieux disjoints \(x\), \(y\) de l'intérieur ne doivent pas être des nœuds d'une même subdivision — les nœuds d'une figure étant ses éléments qui sont des lieux, \(F \cap \mathcal{L}\). La figure \(\{x, y\}\), dont chaque élément raffine le disque, ne doit donc pas compter comme un raffinement, ou en tout cas ne définit pas de subdivision⁴⁴ . Il est alors inapproprié de dire que \(F'\) raffine \(F\) quand chaque élément de \(F'\) raffine un élément de \(F\) : il vaut mieux prendre pour primitive la subdivision d'une figure et définir un raffinement comme une sous-figure d'une subdivision⁴⁵ . Toute la suite du dossier est bâtie sur ce renversement.

45–51

X. Quatrième départ : la subdivision primitive (pages 45 à 51)

« Donc, nouveau départ ! » Une contrée est un triple \((\mathcal{M}, \mathfrak{F}, \Sigma)\) : un ensemble de multistrates, un ensemble \(\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) de figures, et une relation \(\Sigma\) sur \(\mathfrak{F}\), « \(F'\) subdivise \(F\) ».

C 1 (page 45). Toute \(X \in \mathcal{M}\) appartient à une plus petite figure \(F_{X}\), et \(X \neq Y\) entraîne \(F_{X} \neq F_{Y}\). On pose \(X \leq Y\) si \(F_{X} \subset F_{Y}\), c'est-à-dire \(X \in F_{Y}\), et l'on veut que ce soit un ordre.

Toute figure est alors fermée vers le bas pour \(\leq\). Deux figures sont compatibles si leur réunion est une figure, deux multistrates si leurs figures élémentaires le sont.

C 2 (page 46). \(F\) et \(G\) sont compatibles si et seulement si tout élément de \(F\) est compatible à tout élément de \(G\). C 3 (page 46). Toute partie d'une figure fermée pour \(\leq\) est une figure.

En particulier la figure vide existe dès que \(\mathcal{M} \neq \emptyset\), et on la suppose aussi quand \(\mathcal{M} = \emptyset\) (la contrée vide).

Définition (page 47). \(G\) raffine \(F\), \(G \ll F\), s'il existe une subdivision \(F'\) de \(F\) dont \(G\) est une sous-figure.

Pour que ce soit un ordre, la page pose un axiome C 4 sous une forme qu'elle corrige aussitôt en marge (« Corriger », puis « OK ») :

C 4 (page 47, forme corrigée). Soient \(G\) une sous-figure de \(F\) et \(G'\) une subdivision de \(G\). Il existe une subdivision de \(F\) qui induit \(G'\) sur \(G\), et \(G' \cap F \subset G\).

La forme écrite dans le corps de la page — « \(G' \cup (F \smallsetminus G)\) est une subdivision de \(F\) » — ne peut pas être gardée : \(F \smallsetminus G\) n'est pas fermée en général⁴⁶ . Les corollaires notés « OK » en marge sont : toute subdivision d'une sous-figure est induite par une subdivision de \(F\), et \(\ll\) est une relation d'ordre. Le second n'est pas démontré, et ne peut pas l'être avec ce qui précède : l'antisymétrie de \(\ll\) demandera un axiome (pages 73 à 83).

Corollaire 3 (page 48). \(G\) est une sous-figure de \(F\) si et seulement si \(G\) est compatible à \(F\) et la raffine.

Si \(G \subset F'\), subdivision de \(F\), et \(H = F \cup G\) est une figure, la forme corrigée de C 4, appliquée à la sous-figure \(F\) de \(H\) et à sa subdivision \(F'\), donne \(G \subset F' \cap H \subset F\). Pour une multistrate, on retrouve l'équivalence des pages 15, 17 et 33 : \(X \leq Y\) si et seulement si \(X \ll Y\) et \(X\) compatible à \(Y\).

Deux figures sont disjointes si elles sont compatibles et d'intersection vide, deux multistrates si leurs figures élémentaires le sont. Les axiomes suivants règlent les rapports de la subdivision avec le reste :

C 5 (page 49). Si \(F'\) subdivise \(F\), une figure est disjointe de \(F\) si et seulement si elle l'est de \(F'\). C 6 (page 49). Si \(F'\) subdivise \(F\) et \(G \leq F\), il existe une unique subdivision \(G'\) de \(G\) contenue dans \(F'\), la subdivision induite \(F'|G\), formée des \(X \in F'\) qui raffinent \(G\). C 7 (pages 49 et 50). Si \(F = \bigcup F_{i}\) est réunion de sous-figures et si les subdivisions \(F'_{i}\) de \(F_{i}\) induisent les mêmes subdivisions sur les \(F_{i} \cap F_{j}\), il existe une unique subdivision \(F'\) de \(F\) avec \(F'|F_{i} = F'_{i}\) pour tout \(i\).

Par C 5 et C 4, la réunion d'une subdivision de \(F\) et d'une figure disjointe \(G\) subdivise \(F \cup G\), et des raffinements de figures disjointes sont disjoints⁴⁷ ; par C 7, deux subdivisions de \(F\) qui induisent la même subdivision sur chaque multistrate sont égales.

Proposition (page 50). Soient \(G \leq F\) et \(F' \ll F\). Alors \(G' = \{X \in F' \mid X \ll G\}\) est une sous-figure de \(F'\) qui raffine \(G\), et c'est la plus grande sous-figure de \(F'\) qui raffine \(G\). Corollaire (page 51). \(G'\) est la borne inférieure de \(F'\) et de \(G\) pour \(\ll\) : toute figure qui raffine \(F'\) et \(G\) raffine \(G'\).

Pour la Proposition, il y a quelque chose à prouver, puisque des éléments qui raffinent \(G\) ne forment pas pour autant un raffinement de \(G\). Soit \(\overline{F}'\) une subdivision de \(F\) contenant \(F'\), et \(\overline{G}' = \overline{F}'|G\) (C 6) ; alors \(G' = F' \cap \overline{G}'\) est une sous-figure de \(\overline{G}'\), donc raffine \(G\)⁴⁸ . Le Corollaire est démontré à la page 51 au moyen de quatre schémas de subdivisions successives et de C 4 « revu et corrigé », et se termine par « qed, ouf ! (C'était l'ancien Cont 8) » — c'est en effet l'axiome Cont 8 de la page 43, devenu théorème⁴⁹ .

52–55

XI. 13 juin : cinquième départ, l'ensemble ordonné des figures (pages 52 à 60)

Le 13 juin, il fait le compte des anciens axiomes qui restent à exprimer — la dimension finie (Cont 3), l'admissibilité (Cont 4), la disjonction lue sur les lieux (Cont 6), Cont 7 — puis : « avant de continuer, je vais encore une fois changer d'optique ! »

Définition (page 52). Une contrée est un ensemble \(\mathfrak{F}\) de figures muni de deux relations d'ordre, \(\leq\) (sous-figure, notée aussi \(\subset\)) et \(\preccurlyeq\) (subdivision) : \[ \mathcal{C} = (\mathfrak{F}, \leq, \preccurlyeq). \]

On commence par \(\leq\) seul.

C 1 (page 53). a) \(\mathfrak{F} \neq \emptyset\) ; b) toute famille majorée de figures a une borne supérieure.

La famille vide est majorée, d'où un plus petit élément, la figure vide \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\). Deux figures sont compatibles si elles sont majorées, et leur borne supérieure est leur réunion \(F \cup G\) ; une configuration est une famille majorée. Une figure est irréductible si \(F = \mathrm{Sup}_{i} F_{i}\) entraîne \(F = F_{i}\) pour un \(i\) ; la figure vide, borne supérieure de la famille vide, ne l'est pas. Les figures irréductibles sont les multistrates, leur ensemble est \(\mathcal{M}\), et les multistrates majorées par \(F\) sont ses strates, d'ensemble \(\overline{F}\)⁵⁰ .

C 2 (page 54). Toute figure est la borne supérieure de ses strates.

L'application \(F \mapsto \overline{F}\), de \(\mathfrak{F}\) dans \(\mathfrak{P}(\mathcal{M})\), est alors injective et identifie \((\mathfrak{F}, \leq)\) à l'ensemble \(\Phi\) des \(\overline{F}\) ordonné par inclusion. La page ajoute qu'elle transforme les bornes supérieures en réunions, et que \(\Phi\) est donc stable par réunion de familles majorées. Pour cela il faut une hypothèse que C 1 et C 2 ne donnent pas : qu'une strate de \(\mathrm{Sup}_{i} F_{i}\) soit majorée par l'un des \(F_{i}\), autrement dit que les multistrates soient sup-premières⁵¹ . On la suppose dans tout ce qui suit, jusqu'à la page 68.

Réciproquement (page 55), si \(\mathcal{M}\) est un ensemble et \(\Phi \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) une famille non vide, stable par réunion de familles majorées, telle que tout \(X\) appartienne à un plus petit \(A_{X} \in \Phi\), alors \((\Phi, \subset)\) satisfait C 1 et C 2, ses irréductibles sont les \(A_{X}\), et \(X \mapsto A_{X}\) identifie \(\mathcal{M}\) à l'ensemble de ses multistrates ; une figure s'identifie alors à l'ensemble de ses strates. On ordonne \(\mathcal{M}\) par \(\leq\), « jamais par \(\preccurlyeq\) ! ».

56–60

Sous-figures, lieux, disjonction, compatibilité (pages 56 à 60)

Proposition (page 56). a) Les sous-figures de \(F\) s'identifient, par \(F' \mapsto \overline{F}'\), aux parties de \(\overline{F}\) fermées vers le bas. b) Deux figures, et plus généralement une famille non vide de figures, ont une borne inférieure, et \(\overline{F \wedge G} = \overline{F} \cap \overline{G}\).

Les lieux sont les figures minimales parmi les figures non vides ; ils sont irréductibles, et ce sont aussi les éléments minimaux de \(\mathcal{M}\). Deux figures sont disjointes si elles sont compatibles et si \(F \wedge G = \emptyset_{\mathfrak{F}}\).

Proposition (pages 56 et 57). Si \(F\) et \(G\) sont disjointes, \((F', G') \mapsto F' \cup G'\) est une bijection \[ \mathfrak{F}_{\leq F} \times \mathfrak{F}_{\leq G} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{F}_{\leq F \cup G}, \] d'inverse \(H' \mapsto (H' \wedge F, H' \wedge G)\), et de même pour une configuration de figures deux à deux disjointes.

C'est clair en termes de \(\Phi\), dit la page : \(\overline{F \cup G}\) est la réunion disjointe de \(\overline{F}\) et \(\overline{G}\), entre lesquelles il n'y a aucune relation d'ordre, et ses parties fermées sont les couples de parties fermées⁵² . D'où la forme définitive (page 57) : la donnée de \((\mathfrak{F}, \leq)\) équivaut à celle d'un ensemble ordonné \(\mathcal{M}\) et d'un ensemble \(\Phi\) de parties fermées vers le bas, a) stable par passage aux parties fermées, b) contenant les \(\mathcal{M}_{\leq X}\), c) contenant la partie vide. Et les parties fermées vers le bas de \(\mathcal{M}\) correspondent bijectivement aux parties de \(\mathfrak{F}\) fermées vers le bas et stables par les bornes supérieures qui existent, par \(\mathfrak{F}' \mapsto \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M}\) et \(\mathcal{M}' \mapsto \{F \mid \overline{F} \subset \mathcal{M}'\}\).

C 3 (page 58). Si toute strate de \(F\) est compatible à toute strate de \(G\), alors \(F\) et \(G\) sont compatibles.

La réciproque est évidente ; une figure est compatible à la réunion d'une configuration si et seulement si elle l'est à chacun de ses termes⁵³ . La structure est alors portée par \((\mathcal{M}, \leq, R)\), où \(R\) est la compatibilité des multistrates, réflexive, symétrique et héréditaire : \((X, Y) \in R\), \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\) entraînent \((X', Y') \in R\). Une figure est finie si elle a un nombre fini de strates, de type fini si elle est la borne supérieure d'un nombre fini de strates ; les strates maximales d'une figure finie non vide sont ses composantes irréductibles.

Proposition (pages 59 à 61). La donnée de \((\mathfrak{F}, \leq)\) satisfaisant C 1, C 2, C 3, toutes les figures étant de type fini, équivaut à celle de \((\mathcal{M}, \leq, R)\), où \(R\) est réflexive, symétrique et héréditaire et où toute partie fermée majorée de \(\mathcal{M}\) est de type fini — par exemple si les \(\mathcal{M}_{\leq X}\) sont finis. Les figures sont alors les parties de \(\mathcal{M}\) fermées, de type fini, et formées d'éléments deux à deux compatibles.

La page 61 en donne la forme finie : les \(\mathcal{M}_{\leq X}\) finis, les figures étant les parties fermées finies dont les éléments sont deux à deux compatibles⁵⁴ .

61–65

XII. Composantes connexes (pages 61 à 65)

Une figure \(F\) est connexe si \(F = F' \amalg F''\), avec \(F'\), \(F''\) disjointes, entraîne \(F' = F\) ou \(F'' = F\) ; \(0\)-connexe si de plus elle n'est pas vide. Une composante connexe de \(F\) est une sous-figure \(0\)-connexe \(F_{0}\) telle que \(F = F_{0} \amalg F_{1}\). Par la bijection de la page 57, une sous-figure connexe de \(F' \amalg F''\) est contenue dans l'une des deux, et deux composantes connexes sont égales ou disjointes⁵⁵ .

Proposition (pages 62 et 63). \(F_{0} \leq F\) est une composante connexe de \(F\) si et seulement si \(\overline{F_{0}}\) est une composante connexe de l'ensemble ordonné \(\overline{F}\), et \(F\) est la réunion disjointe de ses composantes connexes.

Une décomposition \(F = F' \amalg F''\) est en effet une partition de \(\overline{F}\) en deux parties fermées sans relation d'ordre entre elles, c'est-à-dire en deux réunions de composantes du graphe de comparabilité de \(\overline{F}\), et réciproquement. La Proposition donne ainsi ce que le corollaire biffé n'obtenait pas.

Soit \(\mathcal{M} = \coprod_{i \in I} \mathcal{M}_{i}\) la décomposition de l'ensemble ordonné \(\mathcal{M}\) en composantes connexes, et, pour une figure \(F\), \(F_{i}\) la borne supérieure de ses strates situées dans \(\mathcal{M}_{i}\). Alors \(F\) est la somme disjointe des \(F_{i}\), presque toutes vides si \(F\) est de type fini ; l'ensemble \(\mathfrak{F}_{i}\) des figures contenues dans \(\mathcal{M}_{i}\) satisfait C 1, C 2, et C 3 si \(\mathfrak{F}\) le fait ; et \(F \mapsto (F_{i})\) est une injection \(\mathfrak{F} \to \prod_{i} \mathfrak{F}_{i}\) qui respecte l'ordre, les bornes supérieures et les bornes inférieures non vides. Pour que les familles presque nulles soient atteintes, il faut et il suffit de poser :

C 4 (page 64). Deux multistrates situées dans deux composantes connexes distinctes de \(\mathcal{M}\) sont compatibles.

L'image est alors formée des familles presque nulles (Corollaire 1), c'est tout \(\prod \mathfrak{F}_{i}\) si \(I\) est fini (Corollaire 2), et, si toutes les figures sont de type fini (resp. finies), il en est de même des \(\mathfrak{F}_{i}\) et l'image est exactement l'ensemble des familles presque nulles (Corollaire 3 et Lemme de la page 65). La page propose aussi un C 4 bis renforcé, où toute famille \((F_{i}) \in \prod \mathfrak{F}_{i}\) provient d'une figure⁵⁶ . On note \(\pi_{0}(F)\), \(\pi_{0}(\mathcal{M})\), et \(\pi_{0}(\mathcal{C})\) pour la contrée, en avertissant que ce dernier n'est pas le \(\pi_{0}\) de l'ensemble ordonné \((\mathfrak{F}, \leq)\), qui est connexe puisqu'il a un plus petit élément, mais celui qui tient compte des bornes supérieures⁵⁷ .

65–68

XIII. Supports et cosupports (pages 65 à 68)

Une figure est disjointe de chaque élément d'une famille \(\Phi\) de figures si et seulement si ses strates le sont (C 3). On pose \[ \mathrm{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) = \{F \in \mathfrak{F} \mid F \ \text{disjointe de tout}\ H \in \Phi\}, \qquad \mathrm{cosupp}_{\mathcal{M}}(\Phi) = \mathcal{M} \cap \mathrm{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi), \] qui se déterminent l'un l'autre (\(F\) est dans le premier si et seulement si \(\overline{F}\) est contenu dans le second), et \(\mathrm{supp}(\Phi) = \mathrm{cosupp}(\mathrm{cosupp}(\Phi))\), le support. Une partie est saturée si elle est égale au cosupport de son cosupport ; toute partie est contenue dans une plus petite partie saturée, son support ; les parties saturées de \(\mathfrak{F}\) et de \(\mathcal{M}\) se correspondent par \(\mathcal{M}_{0} = \mathfrak{F}_{0} \cap \mathcal{M}\), et le cosupport échange les parties saturées en renversant l'inclusion⁵⁸ .

L'ensemble \(\Sigma\) des parties saturées, les supports virtuels, a des bornes inférieures quelconques (les intersections) et des bornes supérieures quelconques (le saturé de la réunion). « Je présume qu'on a en fait une algèbre de Boole (ultra-stonienne, à cause des Sup quelconques) », dont l'espace de Stone serait totalement discontinu et ultra-stonien⁵⁹ .

Tout cela ne dépend que de \((\mathcal{M}, \leq, R)\), et non de l'ensemble des figures : le cosupport d'une partie \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{M}\) est \[ \mathrm{cosupp}_{\mathcal{M}}(\mathcal{M}') = \{X \in \mathcal{M} \mid (X, X') \in R \ \text{et}\ \mathcal{M}_{\leq X} \cap \mathcal{M}_{\leq X'} = \emptyset \ \text{pour tout}\ X' \in \mathcal{M}'\}. \] La page écrit seulement \((X, X') \in R\)⁶⁰ . Exemple : par C 4, une réunion de composantes connexes de \(\mathcal{M}\) est saturée, son cosupport étant la réunion des autres composantes.

69–75

XIV. La subdivision et le raffinement (pages 69 à 75)

« J'en viens à la relation d'ordre \(\preccurlyeq\) (subdivision), de nature très différente. » Elle n'a ni plus petit ni plus grand élément, deux subdivisions d'une même figure n'ont pas toujours de borne supérieure, mais parfois une borne inférieure. Deux subdivisions de \(F\) qui admettent une subdivision commune reçoivent un nom (non pas « compatibles », le mot étant pris), et la contrée est dite modérée quand deux subdivisions d'une même figure en admettent toujours une commune⁶¹ . Les propriétés qu'il a en vue portent sur les rapports de \(\preccurlyeq\) avec \(\leq\).

C 5 (page 69). Si \(F' \preccurlyeq F\), une figure est disjointe de \(F\) si et seulement si elle l'est de \(F'\) (il suffit de le demander pour les multistrates).

Autrement dit, une subdivision a même support et même cosupport ; en conséquence, toute partie saturée de \(\mathfrak{F}\) est fermée pour \(\preccurlyeq\) aussi, donc une sous-contrée au sens suivant :

Définition 1 (page 71). Une sous-contrée de \(\mathcal{C} = (\mathfrak{F}, \leq, \preccurlyeq)\) est une partie fermée pour \(\leq\) et stable par bornes supérieures — donc de la forme \(\{F \mid \overline{F} \subset \mathcal{M}'\}\) pour une partie fermée \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{M}\) — et fermée pour \(\preccurlyeq\). C 6 (page 71). Soient \(F' \preccurlyeq F\) et \(G \leq F\). (a) Il existe une unique figure \(G'\) avec \(G' \preccurlyeq G\) et \(G' \leq F'\) ; (b) les strates de \(G'\) sont les strates de \(F'\) qui raffinent \(G\) ; (c) \(G \mapsto G'\) commute aux bornes supérieures.

\[ \begin{array}{ccc} G & \leq & F \\ \succcurlyeq & & \succcurlyeq \\ G' & \leq & F' \end{array} \] \(G'\) est la subdivision de \(G\) induite par \(F'\), ou la sous-figure de \(F'\) induite par \(G\)⁶² .

C 7\(_{0}\) (page 72). Si \(G \leq F\) et \(G' \preccurlyeq G\), il existe \(F' \preccurlyeq F\) qui induit \(G'\).

L'énoncé symétrique, où l'on échange \(\leq\) et \(\preccurlyeq\), est faux : les sous-figures d'une subdivision ne sont pas toutes induites par des sous-figures de \(F\). D'où la dissymétrie que la page relève : « \(G\) est sous-figure d'une subdivision de \(F\) » est conséquence de « \(G\) est subdivision d'une sous-figure de \(F\) » (par C 7\(_{0}\)), mais non l'inverse — un petit segment intérieur à un triangle est sous-figure d'une subdivision du triangle sans être subdivision d'aucune de ses sous-figures⁶³ .

Définition (page 73). \(G\) raffine \(F\), et l'on écrit \(G \ll F\), s'il existe \(F'\) avec \(G \leq F' \preccurlyeq F\).

La relation \(\ll\) est réflexive et impliquée par \(\leq\) et par \(\preccurlyeq\). Elle est transitive : si \(F \leq G' \preccurlyeq G\) et \(G \leq H' \preccurlyeq H\), C 7\(_{0}\) appliqué à \(G \leq H'\) et \(G' \preccurlyeq G\) donne \(H'' \preccurlyeq H'\) avec \(G' \leq H''\), d'où \(F \leq H'' \preccurlyeq H\)⁶⁴ . Pour l'antisymétrie, la page se ramène au

Lemme (page 73). Si \(F \preccurlyeq K \leq F\), alors \(K = F\).

et le déduit de C 5 et d'un corollaire : si \(K < F\), il existe une multistrate disjointe de \(K\) et non de \(F\), de sorte que \(K\) et \(F\) n'ont pas même support, alors qu'une subdivision a même support. Mais ce corollaire n'est pas « formel » en termes de C 1 à C 4 (page 74) : si \(\mathfrak{F}\) est l'ensemble de toutes les parties fermées d'un ensemble ordonné \(\mathcal{M}\) qui a un plus petit élément, deux figures non vides ne sont jamais disjointes, et toutes ont le même support. Avec \(\preccurlyeq\) discrète, C 6 et C 7 sont alors tautologiques (page 75). « On voit donc qu'il manque un axiome »⁶⁵ .

75–80

XV. Raffinement induit et plus petite strate (pages 75 à 80)

« Il faut développer la notion de raffinement induit. »

Proposition (page 76). Soient \(G \ll F\) et \(F' \leq F\). Il existe une plus grande sous-figure \(G'\) de \(G\) qui raffine \(F'\), le raffinement de \(F'\) induit par \(G\) ; ses strates sont les strates de \(G\) qui raffinent \(F'\), et \(G'\) est la borne inférieure de \(G\) et de \(F'\) pour \(\ll\).

\[ \begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \ll & F' \end{array} \]

La marge ajoute qu'on posera \(G' = \emptyset\) si et seulement si \(G\) est disjointe de \(F'\), seul le sens direct n'étant pas évident⁶⁶ . Écrivant \(G \leq \overline{F} \preccurlyeq F\) et appliquant C 6 à \(\overline{F} \preccurlyeq F\) et \(F' \leq F\), on obtient \(\overline{F}' \preccurlyeq F'\), \(\overline{F}' \leq \overline{F}\), et \(G' = G \wedge \overline{F}'\), qui raffine \(F'\). Pour la propriété de borne inférieure, il faut montrer que \(K \ll G\) et \(K \ll F'\) entraînent \(K \ll G'\), et l'on se ramène aux deux cas \(G \preccurlyeq F\) et \(G \leq F\). Le Lemme 1 (page 77) traite le premier par C 6 (b)⁶⁷ ; le Lemme 2 (page 78), le second, commence par \(K \leq \overline{G} \preccurlyeq G\) et s'arrête : « J'abandonne ici ! Il [vaut] mieux se reporter page 51 »⁶⁸ . La propriété d'Inf reste ainsi non démontrée dans ce départ.

Proposition (pages 78 et 79). Soient \(F\) une figure et \(X \in \mathcal{M}\) avec \(X \ll F\). a) Il existe une strate \(Y\) de \(F\) avec \(X \ll Y\). b) Parmi ces strates, il y en a une plus petite : celle dont aucune sous-multistrate stricte n'est raffinée par \(X\).

a) Comme \(F = \mathrm{Sup}_{i} Y_{i}\) sur ses strates, C 6 (c) donne \(X = \mathrm{Sup}_{i} G_{i}\), où \(G_{i}\) est la sous-figure de \(X\) induite par \(Y_{i}\) ; \(X\) étant irréductible, \(X = G_{i}\) pour un \(i\), et \(X \ll Y_{i}\). b) Un élément minimal existe si les multistrates sont de dimension combinatoire finie, « on y reviendra » ; il est le plus petit, parce que si \(X \ll Y\) et \(X \ll Y'\), la sous-figure de \(X\) induite par \(Y \wedge Y'\) est encore \(X\), de sorte que \(X\) raffine une strate de \(Y \wedge Y'\), majorée par \(Y\) et donc égale à \(Y\) par minimalité⁶⁹ .

Corollaire (page 80). Si \(F \ll G\), l'application \(\varphi : \overline{F} \to \overline{G}\) qui associe à une strate \(X\) de \(F\) la plus petite strate de \(G\) qu'elle raffine est croissante.

C'est l'application que la page 42 cherchait sans pouvoir l'obtenir, et l'analogue de celle que le chapitre V construit le même jour pour les familles admissibles⁷⁰ . « Jusqu'à maintenant », remarque la page, les axiomes C 5, C 6, C 7 sont tautologiques quand \(\preccurlyeq\) est l'égalité : « Il serait temps d'en venir à des propriétés plus spécifiques ! »

80–85

XVI. 14 juin : l'antisymétrie du raffinement (pages 80 à 85)

Le 14 juin, il renomme \(\mathcal{M}_{\ll F}\) l'ensemble des multistrates qui raffinent \(F\), « pour éviter confusion avec notion d'adhérence »⁷¹ , et énonce un corollaire de la Proposition de la page 78 qui reprend, dans ce départ, la relation encadrée \(G' \cap F \subset G\) de la page 47 :

Corollaire (pages 80 à 82). Si \(G \leq F\), toute strate de \(F\) qui raffine \(G\) est une strate de \(G\) : \(\overline{F} \cap \mathcal{M}_{\ll G} = \overline{G}\).

La formule de la page est « soient \(G' \preccurlyeq G \preccurlyeq F\), alors \(\widetilde{G}' \cap \widetilde{F} \subset \widetilde{G}\) » ; lue ainsi, elle est triviale, puisque \(\ll\) est transitive, et les deux signes sont repassés à l'encre. On suit la paraphrase qui la suit et la démonstration, qui partent d'une strate \(X\) de \(F\)⁷² . La démonstration (pages 80 à 82) passe par les sous-figures induites sur \(X\) par \(G\) et par une subdivision de \(F\), se ramène à prouver \(X \leq G_{X}\), et achève par l'axiome que voici, marqué « provisoire ! » :

C 8 (0) (page 82). Pour \(X \in \mathcal{M}\) et \(\Phi, \Psi \in \mathfrak{F}\) : (a) \(X \leq \Phi \preccurlyeq X\) entraîne \(X = \Phi\) ; (b) \(X \preccurlyeq \Psi \leq X\) entraîne \(X = \Psi\).

Il est nécessaire si \(\ll\) doit être un ordre : dans les deux cas, chacun des deux termes raffine l'autre⁷³ .

Corollaire (pages 82 et 83). Si \(F \ll G\) et \(G \ll F\), alors \(F = G\).

On a \(F \leq G' \preccurlyeq G \leq F' \preccurlyeq F\). C 7\(_{0}\), appliqué à \(G \leq F'\) et \(G' \preccurlyeq G\), donne \(H \preccurlyeq F'\) avec \(G' \leq H\), d'où \[ (*) \qquad F \leq H \preccurlyeq F . \] De \(F = H\) viendraient \(G' = F\) et \(F' = F\), puis \[ (**) \qquad F \preccurlyeq G \leq F , \] et de là \(F \leq G\) par le corollaire de la page 80 appliqué aux strates de \(F\) — chacune raffine \(G\), puisque \(F \preccurlyeq G\) —, donc \(F = G\). Mais l'égalité \(F = H\) dans \((*)\) est tirée de C 8 (a), qui ne vaut que pour une multistrate ; pour une figure quelconque elle n'est pas établie⁷⁴ .

La structure dégagée

La page 84 en tire une structure abstraite.

Remarque (pages 84 et 85). Soit \(\mathfrak{F}\) un ensemble muni de deux ordres \(\leq\) et \(\preccurlyeq\) tels que :

1. a)si \(G \leq F\) et \(F' \preccurlyeq F\), il existe un unique \(G'\) avec \(G' \preccurlyeq G\) et \(G' \leq F'\) ;
2. b)si \(G \leq F\) et \(G' \preccurlyeq G\), il existe un \(F'\), non nécessairement unique, avec \(F' \preccurlyeq F\) et \(G' \leq F'\) ;
3. c)\(F \leq G \preccurlyeq F\) entraîne \(F = G\).

Alors (i) la relation \(G \ll F\), « il existe \(F'\) avec \(G \leq F' \preccurlyeq F\) », est un ordre ; (ii) le carré de a) est cartésien pour \(\ll\), c'est-à-dire \(G' = \mathrm{Inf}_{\ll}(F', G)\) ; (iii) un carré cartésien pour \(\geq\) l'est pour \(\ll\).

a) est C 6, b) est C 7\(_{0}\), c) est la forme de C 8 pour toutes les figures ; la condition c) s'écrit aussi \(G \preccurlyeq F \leq G \Rightarrow F = G\), qui est la même aux noms près. (i) est démontré par ce qui précède : la transitivité par b), l'antisymétrie par b) et c), comme aux pages 82 et 83. (ii) et (iii) sont affirmés sans démonstration — c'est la propriété d'Inf abandonnée à la page 78 —, et une note de marge doute encore de la bonne définition⁷⁵ .

Il faudrait, conclut la page 85, séparer les axiomes des contrées en paquets : un paquet sur \(\leq\) seul (C 1 à C 4) ; un paquet de propriétés « formelles » de \(\leq\) et \(\preccurlyeq\), sans questions de support ni de disjonction, qui assurent que les bornes supérieures commutent à l'induction sur une subdivision ; des axiomes de recollement des subdivisions ; un paquet d'axiomes de disjonction.

86–88

XVII. Recollement, lieux, ombres (pages 86 à 88)

C 8 — Axiome de recollement des subdivisions (page 86). Soit \(F = \mathrm{Sup}_{i} F_{i}\), et pour tout \(i\) une subdivision \(F'_{i}\) de \(F_{i}\), telles que \(F'_{i}|F_{i} \wedge F_{j} = F'_{j}|F_{i} \wedge F_{j}\). Alors \(\mathrm{Sup}_{i} F'_{i}\) existe et subdivise \(F\).

C'est le C 7 de la page 49 transporté dans ce départ, qui « complète C 6 (c) », et le nom « C 8 » est réemployé pour lui⁷⁶ . Pour une somme disjointe \(F = \coprod F_{i}\), il donne \[ \mathrm{Subdiv}(F) \simeq \prod_{i} \mathrm{Subdiv}(F_{i}). \]

Puis le titre « Axiomes de disjonction et de support », et : « pour formuler les axiomes sous forme aussi forte et sensible que possible, c'est le moment d'introduire les lieux »⁷⁷ .

Définition (page 87). Un lieu de la contrée est une figure non vide minimale pour \(\ll\) parmi les figures non vides. On note \(\mathcal{L}\) l'ensemble des lieux.

Un lieu \(x\) est une multistrate — ses strates sont des figures non vides qui le raffinent, donc lui sont égales — et c'est un élément minimal de \(\mathcal{M}\) pour \(\leq\). La page note que la réciproque n'est pas vraie avec les axiomes posés jusqu'ici, et le sera pour les « contrées sans bords »⁷⁸ .

L'ombre d'une figure \(F\) est \(\mathcal{L}_{F} = \{x \in \mathcal{L} \mid x \ll F\}\), et sa multiombre est la famille de parties de \(\mathcal{L}\) \[ \widehat{\mathcal{L}}_{F} = \{\mathcal{L}_{X} \mid X \in \overline{F}\} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L}). \] Ce sont les objets du premier et du troisième départ, et l'on garde leurs notations⁷⁹ . On a \(\mathcal{L}_{F} = \bigcup_{X \in \overline{F}} \mathcal{L}_{X}\) : c'est la Proposition de la page 78, qui fournit même une plus petite strate de \(F\) raffinée par un lieu donné.

Proposition (page 88). La multiombre d'une figure est une famille admissible de parties de \(\mathcal{L}\) : a) pour \(A \in \widehat{\mathcal{L}}_{F}\), posant \(\partial A = \bigcup_{B \subsetneq A} B\), on a \(A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A \neq \emptyset\) ; b) pour \(A, B \in \widehat{\mathcal{L}}_{F}\), \(A \cap B\) est la réunion des \(C \in \widehat{\mathcal{L}}_{F}\) contenus dans \(A \cap B\).

C'est, dans le cinquième départ, le Scholie des pages 23 et 36 ; mais ici la démonstration ne suit pas, et une note de marge prévient qu'elle utilise quelque chose qui n'est pas lu. Le dossier s'arrête sur cet énoncé⁸⁰ . La boucle est bouclée sans être fermée : la page 24 retrouvait la contrée à partir des ombres de ses multistrates ; la page 88 voudrait montrer que ces ombres ont encore la forme d'une figure, cette fois à partir d'un cadre où les lieux ne sont plus primitifs, mais les derniers venus.