Réseaux via découpages

titre de sa main, souligné, en tête de la page 1, suivi de « (8 Juin 86) » ; dans l'angle supérieur droit, dans un triangle, « GF III »

dans l'angle supérieur gauche, deux ou trois mots obliques biffés d'un trait épais, non lus

Je voudrais définir une autre axiomatique des réseaux, structures de réseau sur un ens. \mathcal{L} (ens. des « lieux »).

(a) \mathfrak{S}_0 \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) l'ens. des 0-sphères plongées ou des paires (de lieux) modérées. [Si \{a,b\} \in \mathfrak{S}_0, on dit que a, b sont disjoints ou en position relative modérée]la phrase entre crochets est écrite au-dessus de la ligne les lettres (a), (b), (c) sont cerclées sur la page, ici et plus loin ; de même (1), (2) à la page 16 [En termes de l'axiomatique par les segments, cela signifie que (c'est-à-dire a, b distincts, a, b ou bien), que \{a,b\} \in \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}), que ou bien \{a,b\} \cap \mathcal{L}_S \neq \emptyset (a ou b est un nœud du réseau) ou bien dit a, b (si a, b sont lignes) : sur des lignes différentes, sont, s'ils sont sur une même ligne, \{a,b\} = \partial I, pour I \in S]. Mais on dit aussi que a, b sont en position rel. modérée si a = b ou \{a,b\} \in \mathfrak{S}_0 la note précédente est écrite en oblique dans la marge gauche. Le crochet « En termes de… » n'est lu qu'en partie : plusieurs mots sont surchargés

(b) Une partie finie T est dite « modérée » si \forall a, b \in T, \mathfrak{P}_2(T) \subset \mathfrak{S}_0 i.e. deux éléments quelc. de T sont en position relative modérée (sont 2 à 2 « disjoints »).

De plus, on veut que la structure implique

(b) \forall T \in P_{f\,\mathrm{mod}}(\mathcal{L}), on se donne une relation d'équivalence R_T dont ces lignes sont biffées de quatre traits obliques ; le (b) cerclé est hachuré

Si T est une partie finie modérée, on désigne par pose C_{\mathrm{mod}}(T) = \{t \in \mathcal{L} \smallsetminus T \mid \{T \cup \{t\}\} \text{ modérée}\} des t \in \mathcal{L} \smallsetminus T en v. à v. de T.

[ partie finie modérée en position relative si leur réunion est . t est dit en pos. rel. v. à v. de T si \{t\} l'est ; s et t sont dits en pos. rel. modérée si \{s,t\} est modérée, i.e. ou s \neq t ou \{s,t\} \in \mathfrak{S}_0…] le début de ces lignes est recouvert par les notes de la marge. On attendrait « s = t ou », comme dans la marge de la page 1

le complémentaire modéré de T Question : T connaît C(T) NB C(T') C(T) ? Oui Quant à C_{\mathcal{L}}(T) ? Si T \subset T' l'inverse . Donc, si t \in T', t \notin T, (T \cup \{t\} modérée) t \in C(T) trois notes obliques couvrent la marge gauche de la page, en partie biffées ; elles ne sont lues que par fragments

(b) \forall\, T \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L})sous « Modf », de sa main : « parties mod. finies », une relation d'équivalence R_T dans C(T) (dont les classes s'appellent les comp. connexes de C(T)) NB C(T)

(c) \forall\, T \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L}), et A \in C(T)/R_T une classe suivant R_T, une partie \dot{A} \subset T, appelée frontière de A.

Ces données (a) (b), (c) étant assujetties à satisfaire certains axiomes.

Je prévois que les axiomes impliquent Soit Z \subset C(T), pour ceci

1°)que la donnée (c) résulte déjà de (b) 2°)que la donnée (b) résulte de la donnée des R_T, pour le cas particulier où T \in \mathfrak{S}_0.

Donc la seule donnée essentielle serait (a) celle des 0-sphères (i.e. la notion de pos. lieux en pos. relative modérée, condition réflexive et symétrique)« réflexive et » est écrit au-dessus de la ligne et (b) la donnée, pour \varepsilon \in \mathfrak{S}_0, de la relation d'équivalence R_\varepsilon dans C(\varepsilon). devant « \varepsilon \in \mathfrak{S}_0 », un petit dessin : deux points joints par un trait, une 0-sphère

Donc on

Axiomes provisoires :

Soit X Appelons les U de \mathcal{L} formés C(T) parties modérées cofinies. On

veut que si U (= C(T)) est à la fois modérée finie et modérée cofinie, donc si S et T sont deux parties modérées finies telles disjointes telles que tout a)« a) » est écrit au-dessus du mot biffé S \cup T modérée i.e. s \in S modéré par rapport à t \in T, et b) Tout u \in \mathcal{L} modéré par rapport à S est dans T, donc S \cup T = \mathcal{L} et finie devant « s \in S », le même dessin de 0-sphère qu'à la page 3 i.e. S \cup T est partie finie modérée maximale, donc S \cup T = \mathcal{L}, et \mathfrak{S}_0 = \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}), enfin les relations d'équivalence sont discrètes, et les \dot{A} sont vides. Pour un ,

définit un réseau,

Ex 1 Déf structure discrète sur \mathcal{L} « définit un réseau » est relié par un trait à « discrète » \mathfrak{S}_0 = \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \Longrightarrow \left\{ \begin{aligned} &\mathrm{Modf}(\mathcal{L}) = \mathfrak{P}_f(\mathcal{L}) \\ &C_T = \mathcal{L} \smallsetminus T \quad \text{si } T \in \mathfrak{P}_f(\mathcal{L}) \end{aligned} \right. C(T) = C R_T = \text{relation d'équivalence discrète dans } \mathcal{L} \smallsetminus T, donc les compos. A sont réduites à un pt Pour Donc \dot{A} = \emptyset

Axiome Si T est partie finie modérée maximale, alors T = \mathcal{L}, \mathcal{L} est discret.

On va faire des hypothèses de finitude draconiennes, peut-être provisoires Finitude

Dec_1 L'ens. des comp. connexes de tout U est fini.

Définition Partie modérée fermée

Dec_2 Soient U = C(S), V = C(T)écrit au-dessus de la ligne parties modérées cofinies, avec U \subset V i.e. T \subset S. Alors toute composante connexe A de U est contenue dans une comp. connexe (unique bien sûr) B de V. De plus, on a \underbrace{\dot{A}}_{\subset\, S} \cap\, T \subset \underbrace{\dot{B}}_{\subset\, T}

Ex 2 Soit \mathcal{L} un ens. ordonné, on suppose \mathcal{L} filtrant croissant, filtrant décroissant, sans plus grand ni plus petit élément, loc. filtrant croissant et filtrant décroissant, divisible.

On appelle un tel ensemble une ligne ordonnée. \mathfrak{S}_0 \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) défini par \{x,y\} \in \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) = parties qui de card. 2 qui sont tot. ordonnées \mathrm{Modf}(\mathcal{L}) = \text{parties finies tot. ordonnées} i.e. telles que

Soit T \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L}), T = \{t_1, t_2, \ldots, t_n\}, t_1 < t_2 < \cdots < t_n.

Alors les composantes connexes sont \underbrace{]-\infty, t_1[}_{t_1},\ \underbrace{]t_1, t_2[}_{t_1,\, t_2},\ \ldots,\ \underbrace{]t_{n-1}, t_n[}_{t_{n-1},\, t_n},\ \underbrace{]t_n, +\infty[}_{t_n} Pts frontière (n+1 composantes connexes)

Cette structure est donc déterminée par sa donnée binaire par , i.e. elle ne dépend que du binaire.

Partie modérée

Tronçon de la ligne : partie de la forme [s,t] \quad (s \leq t), \qquad ]-\infty, s] \text{ ou } [s, +\infty[, \qquad \mathcal{L} = ]-\infty, +\infty[ Bord du tronçon : \{s,t\} dans le premier cas, \{s\} dans le second, \emptyset dans le troisième.

ligne : tout tronçon fermé tronçon . Le binaire unité. D'autre part, le bord d'un Bord défini note oblique dans la marge gauche, à côté des intervalles, lue en partie seulement

Deux tronçons sont dits en position relative modérée, si leurs bords . Partie modérée : réunion finie« finie » est écrit au-dessus de la ligne de tronçons mutuellement modérés, et disjoints. Deux Par définition, le bord est la réunion (disjointe) des bords.

Proposition

Définition Segments, intervalles, demi-intervalles (cas d'une structure de réseau). Segment au-dessus de « segments, intervalles, demi-intervalles », une accolade porte « tronçons » ; la ligne entière est biffée de trois traits obliques

Définition Un ens. ordonné \mathcal{L} est appelé un tronçon ordonné si

a)\forall a \in \mathcal{L} tel que \mathcal{L}_{>a} = \neq \emptyset, \mathcal{L}_{>a} est filtrant décroissant i.e. \forall x, y a, y tels que [si a, y, x \in \mathcal{L} tels que] x > a, y > a, alors \exists z \in \mathcal{L} avec x, y \geq z > a a')Axiome dual : si a, x, y \in \mathcal{L} tels que x < a, y < a, alors \exists z \in \mathcal{L} avec x, y \leq z < a b)\mathcal{L} est filtrant croissant et filtrant décroissant i.e. x, y \in \mathcal{L} \Longrightarrow \exists a, b \in \mathcal{L} avec a \leq x, y \leq b c)Si x, y \in \mathcal{L} tels que x < y, \exists z tel que x < z < y. d) \operatorname{card} \mathcal{L} > 1

la partie entre crochets dans a) est écrite au-dessus de la ligne, en remplacement du passage biffé NB les cond. a), b), c) satisfaites si card \leq 1 !

On dit que \mathcal{L} est un segment si \mathcal{L} admet un plus petit et un plus grand élément, un intervalle s'il n'admet ni l'un ni l'autre,

un demi-intervalle s'il admet un plus petit élément mais pas un plus grand, ou bien l'inverse.

L'oppo

NB L'opposé d'un tronçon, segment, intervalle, demi-intervalle est idem. L'opposé d'un ½ intervalle fermé à g. est ½ fermé à droite, et inversement. Les Tout tronçon est l'un des trois (segment, ½ intervalle, intervalle) à l'exclusion deux à deux. tronçons binaires tr. binaires deux notes obliques dans la marge gauche, en face du NB ; la première n'est pas lue

Si \mathcal{L} est un tronçon, on pose \partial\mathcal{L} \partial \mathcal{L} = \{x \in \mathcal{L} \mid x \text{ est plus petit élément ou plus grand élément}\}

Soit \mathcal{L} un tronçon, et \begin{aligned} \mathfrak{S}_0(\mathcal{L}) = \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L}) &= \{\varepsilon \in \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \mid \varepsilon \text{ totalement ordonné}\} \\ &= \{\{x,y\} \mid x < y\} \end{aligned} \text{Déf. :=} \qquad \mathrm{Modf}(\mathcal{L}) = \mathrm{Drap}(\mathcal{L}) = \{S \subset \mathfrak{P}_f(\mathcal{L}) \mid S \text{ tot. ord.}\} « Drap » : drapeaux. Le signe \subset devant \mathfrak{P}_f(\mathcal{L}) est sur la page, là où l'on attendrait \in

Si S \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L}), on a donc C(S) = C(S) = \{t \in \mathcal{L} \mid t \notin S,\ S \cup \{t\} \text{ tot. ord.}\} On a dit comment on décomposait en « composantes connexes » un C(S), S = \{s_1, \ldots, s_n\}, s_1 < s_2 < \cdots < s_n. Les comp. connexes sont les ens. non vides parmi \mathcal{L}_{<s_1},\ [s_1, s_2],\ \ldots,\ [s_{n-1}, s_n],\ \mathcal{L}_{>s_n} les crochets des intervalles intermédiaires sont lus tels qu'ils paraissent (le premier est surchargé) ; on attend des intervalles ouverts

[cas n = 0 : une seule comp. \mathcal{L} cas n = 1 : une deux composantes \mathcal{L}_{<s}, \mathcal{L}_{>s} (celles qui sont non vides) cas n \geq 2 : voir ce qui est plus haut]

non vides intervalles étant les seules \mathcal{L}_{<s_1} (si s_1 plus petit élément) et \mathcal{L}_{>s_n} (si s_n plus grand élément). Les bords sont respectivement \underbrace{\{s_1\}}_{\text{si comp. existe}},\ \{s_1, s_2\},\ \ldots,\ \{s_{n-1}, s_n\},\ \underbrace{\{s_n\}}_{\text{si comp. existe}} après le premier \{s_1\}, une surcharge biffée

Je dis que l'on récupère la structure binaire du tronçon (donc aussi la structure (a) (b) (c)), en termes de la seule structure (a), + (b) pour T \in \mathfrak{S}_0.

Pour ceci, on note premier d'abord« d'abord » est écrit au-dessus de la ligne

Lemme Une structure de binaire tronçon binordonné est connue quand on connaît la relation sur \{a,b,c\} trois éléments a, b, c \mathcal{R}(a,b,c) \qquad \text{$b$ est \textbf{strictement entre} $a$ et $c$} (au sens que a < b < c ou a > b > c) un triple trait vertical, dans la marge gauche du corps, met en évidence la ligne de \mathcal{R}(a,b,c) relation symétrique en a, c On la connaît de NB Cette relation \mathcal{R} équivaut à la relation \overline{\mathcal{R}} non stricte a < b < c ou a \leq b \leq c ou a \geq b \geq c a \neq b \neq c ; \{a,b,c\} b entre a et c (\Longleftrightarrow) ou \{a,b,c\} est un cardinal \leq 2 notes obliques, en partie biffées, dans la marge gauche

Dém Choisissons On en déduit la connaissance deces mots sont écrits au-dessus de la ligne \mathfrak{S}_0(\mathcal{L}) (i.e. de \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})) formulation a et b « disjoints » i.e. distincts et comparables i.e. \{a,b\} \in \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L}) pour le binaire :

a et b disjoints ssi \exists\, c tel que c soit strictement entre a et b (utiliser divisibilité du binaire)

Choisissons \varepsilon \in \mathfrak{S}_0 (existe, car \exists\, x, y \in \mathcal{L}, x \neq y, si x, y \in par hyp., a \leq x, y \leq b, et on a a \leq b et a \neq b car on aurait x = y) en utilisant arbitraire

et choisissons une « origine » a dans \varepsilon = \{a, b\} (ce qui va déterminer la relation d'ordre). Soit Alors Considérons sur \mathcal{L} la relation d'ordre définissant le binaire, telle que a < b. On va voir qu'elle est entièrement déterminée par la conn. du couple« couple » est écrit au-dessus de « paire », biffé (a,b).

On connaît \left. \begin{aligned} \mathcal{L}_{\geq b} &= \{x \in \mathcal{L} \mid x = b \text{ ou } b \text{ entre } a \text{ et } x\} \\ \mathcal{L}_{\leq a} &= \{x \in \mathcal{L} \mid x = a \text{ ou } a \text{ entre } b \text{ et } x\} \\ ]a, b[ &= \{x \in \mathcal{L} \mid x \text{ entre } a \text{ et } b\} \end{aligned} \right\} déterminés par \mathcal{R} « x = b ou », « x = a ou » sont écrits au-dessus de la ligne ; au-dessus du premier, un « x \geq b ou » biffé

donc Quand Soient u, v \in \mathcal{L}, quand a-t-on u \leq v ? Il faut et il suffit qu'il existe x \in x, y \in \mathcal{L} tels que x \in \mathcal{L}_{\leq a},\quad y \in \mathcal{L}_{\geq b} \quad \text{et} \quad x \leq u \leq v \leq y i.e.

\{x, y, u, v\} est \in \mathrm{Drap}(\mathcal{L}) x \in \mathcal{L}_{\leq a}, y \in \mathcal{L}_{\geq b} (donc x < y) x, y \in avec x plus petit élément u est entre u, v sont entre x et y u est entre x et v v est entre u et y

les trois dernières conditions sont réunies par un crochet à gauche

Donc il faut simplement vérifier le

Lemme Soit \mathcal{L} un ens. ordonné, et x, y, u, v troissic ; quatre éléments sont nommés éléments, tels que

a)u, v sont entre x et y b)u est entre x et v c)[v est entre u et y ]sur la page, le crochet ouvrant précède « c) » d)x < y,

b) et c) sont réunis par une accolade : « une des deux suffit » alors on a x \leq u \leq v \leq y

Dém des conditions b), c), d) pour I = \{x, y, u, v\}une surcharge biffée entre I et le signe = est un drapeau, Prenons et OPS \mathcal{L} = I est un ens. tot. ordonné par x < à 2, 3, ou 4 éléments. Alors Prenons Comme x est le plus petit élément, donc ( x < y), pour l'un suppose u < x \,(< y), ou u < x, mais v < x comme u est entre x et v, on aurait et x < y, v < u < x < y ce passage est encadré et biffé de plusieurs traits obliques ; il n'est lu qu'en partie x \leq u, v \leq y, il reste on doit avoir à prouver u \leq v et comme u est entre x et v, on doit avoir x \leq u \leq v. OK

NB On a utilisé a) la divisibilité de la rel. d'ordre, b) le fait que \mathcal{L} soit filtrant croissant et filtrant décroissant.

Et a) n'a servi qu'à montrer que la relation « a et b disjoints » est déductible de « c est str. entre a et b ».

Si on se donne à la fois les deux relations \left\{ \begin{aligned} &\mathcal{R}(a,b) &&\{a,b\} \in \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L}) \\ &\mathcal{R}(a,b,c) &&b \text{ est str. entre } a \text{ et } c \end{aligned} \right. alors pour récupérer le binaire, il suffit de supposer \mathcal{L} filtrant croissant et filtrant décroissant et filtrant cr. et décroiss. compatible deux lignes et demie biffées de traits horizontaux et obliques

Dém On va voir que la connaissance deécrit au-dessus de la ligne : « que la connaissance de \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L}), et puis » \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L}), et puis de la décomp. de \varepsilon \in \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})le \mathcal{L} de cette parenthèse est surchargé, de la décomp. de C(\varepsilon) = \{t \in \mathcal{L}_{\notin \varepsilon} \mid \{\varepsilon, t\} \in \mathrm{Drap}_3(\mathcal{L})\} en composantes connexes, implique la connaissance de la relation \mathcal{R}(a,b,c) \ : \ b \text{ strict entre } a \text{ et } c. l'indice de \mathcal{L} et l'accolade \{\varepsilon, t\} sont lus tels qu'ils paraissent ; on attend t \in \mathcal{L} \smallsetminus \varepsilon et \varepsilon \cup \{t\}

Première condition : \{a,b,c\} \in \mathrm{Drap}_3(\mathcal{L}) (connue de la donnée de \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L}))

ici, un croquis : un segment portant les points a, b, c dans cet ordre

Si b est entre a et c, regardons les \mathcal{J}_{abc} = \text{composante de } C(\{a,b\}),

trois composantes (relatives à la donnée de \{a,b,c\}) \begin{aligned} X_{\{a,b\}} &= (\text{comp. de } C(\{a,b\}) \text{ contenant } c) = \mathcal{L}_{>b} \\ X_{\{b,c\}} &= (\text{comp. de } C(\{b,c\}) \text{ contenant } a) = \mathcal{L}_{<b} \\ X_{\{c,a\}} &= (\text{comp. de } C(\{c,a\}) \text{ contenant } b) = ]a, c[ \end{aligned} sur la page, entre chaque X et le premier signe =, une première notation est biffée et illisible ; les deuxième et troisième lignes répètent « comp. de » et « contenant » par des traits

On trouve \left. \begin{aligned} X_{\{a,b\}} \cap X_{\{b,c\}} &= \emptyset \\ X_{\{a,b\}} \cap X_{\{c,a\}} &= ]b, c[ \neq \emptyset \\ X_{\{b,c\}} \cap X_{\{c,a\}} &= ]a, b[ \neq \emptyset \end{aligned} \right\} \text{divisibilité !}

donc b est distingué, dans J = \{a, b, c\}, par la propriété que pour les deux parties paires \varepsilon, \varepsilon' \in \mathfrak{P}_2(J) qui le contiennent, on a X_{\varepsilon} \cap X_{\varepsilon'} = \emptyset. On gagne !

NB On a à nouveau utilisé la divisibilité.

Remarques (1) Considérons Sur la notion de tronçon. On choisit une sous-cat. pleine \mathcal{T} de celle des ens. ordonnés, satisfaisant

a)Si \mathcal{L} \in \operatorname{Ob} \mathcal{T}, \mathcal{L} est filtrant croissant et filtrant décroissant, et de cardinal \neq 1 non vide (donc \geq 2) b)Si x, y \in \mathcal{L} \in \operatorname{Ob} \mathcal{T}, et x < y, \exists\, z \in \mathcal{L}, x < z < y (divisibilité) c)Si x \in \mathcal{L} \in \operatorname{Ob} \mathcal{T}, donné et si \mathcal{L}_{>x} \neq \emptyset, alors \mathcal{L}_{>x} \in \operatorname{Ob} \mathcal{T}. c')Dual de c)

Il y a un plus grand \mathcal{T} qui satisfait ces conditions, et \mathcal{T} est stable par passage à l'ordre opposé. Les objets de \mathcal{T} sont les tronçons ordonnés.

(2) Il faudrait expliciter quelles conditions la relation \mathcal{R}(a,b,c) doit satisfaire, pour définir une structure de tr. tronçon binordonné, et itou pour la donnée de \mathfrak{S}_0 \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) et les \mathcal{R}_\varepsilon (\varepsilon \in \mathfrak{S}_0) sur les C(\varepsilon)…

Sous-tronçon fermé, I« fermé, I » est écrit au-dessus de la ligne d'un tronçon \mathcal{L} : sous-ens. de la forme [a,b] (avec a < b) ou \mathcal{L}_{\leq a} (avec a pas le plus petit élément) ou \mathcal{L}_{\geq b} (avec b pas un plus grand élément), ou \mathcal{L}écrit au-dessus de la ligne : ce sont donc des tronçons, pour la structure induite. On pose \partial I = \{a,b\} resp. \{a\} resp. \{b\}, resp. \emptyset. Deux sous Deux Deux sous-tronçons fermés sont dits en pos. rel. modérée si leurs frontières le sont, i.e. si frontière de l'un sous-tronçon fermé : soit de l'autre. plusieurs notes obliques dans la marge gauche, non lues

Deux tronçons ssi leurs frontières fermés, larges en pos. gén. modérée intersection . Alors leur intersection tronçon dont la frontière des frontières. trois lignes et demie biffées de longs traits, lues par fragments

tronçon fermé : partie de \mathcal{L}

Partie fermée modérée de I :

[toute partie qui est de la forme de réunion d'une famille finie de sous-tronçons fermés mutuellement disjoints et mutuell. en pos. rel. modérée]

Prenons ayant comme base les ]a, b[ pour a < b, et les \mathcal{L}_{>a} et \mathcal{L}_{<a}. Alors pour tout sous-tronçon fermé I, \partial I est la frontière. NB

Th Soit \mathcal{L} un tronçon binordonné, soit X \subset \mathcal{L}, tel qu'il existe I \subset \mathrm{Pstrf}(\mathcal{L}) (ens. des ps-tronçons fermés de \mathcal{L}), I fini, tel que

a)\forall\, i, j \in I, i \neq j, \left\{ \begin{aligned} &T_i \cap T_j = \emptyset \\ &T_i \text{ et } T_j \text{ en pos. rel. mod.} \end{aligned} \right. i.e. \dot{T}_i \cup \dot{T}_j est partie finie modérée comme \forall\, a \in \dot{T}_i, b \in \dot{T}_j, a \neq b, \{a,b\} \in \mathfrak{S}_0(\mathcal{L}) = \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})la lettre lue \mathfrak{S}_0 ressemble ici à un B_0 b)X = \bigcup T_i ;

il note ici le bord d'une partie par un point en exposant, \dot{T}_i ; à la page précédente il écrivait \partial I

Alors

1°)I est unique [les T_i sont les comp. conn. de X] 2°)

\dot{X} = \bigcup_{i \in I} \dot{T}_i

(donc \dot{X} = \emptyset ssi X = \mathcal{L} ou X = \emptyset)

NB X = \emptyset ssi I = \emptyset

On dit que X est une partie modérée fermée. dans la marge gauche, une note verticale, non lue, qui commence peut-être par « Ex. »

Déf Si X, Y sont deux parties fermées modérées, on dit que X et Y sont en pos. relative modérée si \dot{X} \cup \dot{Y} , i.e. \forall\, x \in \dot{X}, y \in \dot{Y}, x \neq y, on a \{x,y\} \in \mathrm{Drap}_2.

Prop Soient X, Y deux parties fermées modérées, en pos. rel. modérée. Alors X \cap Y est une partie ferméeécrit au-dessus de la ligne modérée, et \boxed{(X \cap Y)^{\cdot} \subset \dot{X} \cup \dot{Y}} De X et Y ont une borne sup. dans l'ensemble des parties des parties modérées qui contiennent X X et Y. On note cette partie X \cup_{\mathrm{mod}} Y, et on a \boxed{(X \cup_{\mathrm{mod}} Y)^{\cdot} \subset \dot{X} \cup \dot{Y}} Dém convenons modérée NB une partie plus petits modérés Ex. A = \{0, \tfrac12, \tfrac13, \ldots\} les deux marges portent de longues notes obliques, lues par fragments seulement

Soit (X_i)_{i \in I} une famille finie de parties fermées modérées, mutuellement en pos. rel. modérée. Alors \bigcap X_i est une partie modérée, et les X_i ont une borne sup. dans l'ens. des parties fermées modérées. On a \Bigl(\bigcup_{\mathrm{mod},\, i} X_i\Bigr)^{\cdot} \subset \bigcup_i \dot{X}_i

Ex [a,b] \cup_{\mathrm{mod}} [b,c] = [a,c] mais en général [a,b] \cup [b,c] \neq [a,c] (prenant a plus petit élément, c plus grand élément, Z, b non comparable à tout élément de \mathcal{L}. Si c'est

vrai pour tout b, alors \mathcal{L} est tot. ordonné. Plus généralement, pour que \mathcal{L} soit tot. ordonné, il faut et il suffit que pour tout b \in \mathcal{L}, b soit comparable à tout élément, ce qui s'écrit \underbrace{\mathcal{L}_{\leq b} \cup_{\mathrm{mod}} \mathcal{L}_{\geq b}}_{\mathcal{L}} = \mathcal{L}_{\leq b} \cup \mathcal{L}_{\geq b}

Partie loc. fermée modérée

Th Soient X , Y deux parties, X \supset Y (deux fermées modérées, avec X et Y en pos. relative modérée) Alors Considérons une plus petite partie Z fermée modérée contenant X \smallsetminus Y. Ex Déf« Déf » est écrit en surcharge sur « Ex » C_{\mathrm{mod}}(Y, X) = \{x \in X \mid x \notin Y,\ x \text{ en pos. rel. mod. avec } Y\} Alors \exists plus petit ens. fermé modéré Z \supset A \subset X, et C_{\mathrm{mod}}(Y, X), partie fermée modérée T \subset X, T \cap Y = \emptyset, T en pos. rel. mod. avec Y, De plus Z Z est en position rel. modérée Y. On pose Z = X \mathbin{-_{\mathrm{mod}}} Y la fin de la page est surchargée d'ajouts interlinéaires et n'est lue qu'en partie