Cote n° 156-3, pages 1–20

Cote n° 156-3 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Chapitre] III. Réseaux via découpages : notes manuscrites (08/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

Réseaux via découpages

titre de sa main, souligné, en tête de la page 1, suivi de « (8 Juin 86) » ; dans l'angle supérieur droit, dans un triangle, « GF III »

[…] dans l'angle supérieur gauche, deux ou trois mots obliques biffés d'un trait épais, non lus

Je voudrais définir une autre axiomatique des réseaux, […] structures de réseau sur un ens. $\mathcal{L}$ (ens. des « lieux »).

(a) $\mathfrak{S}_0$ […] $\subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L})$ l'ens. des 0-sphères plongées ou des paires […] (de lieux) modérées. [Si $\{a,b\} \in \mathfrak{S}_0$, on dit […] que $a$, $b$ sont disjoints ou en position relative modérée]la phrase entre crochets est écrite au-dessus de la ligne les lettres (a), (b), (c) sont cerclées sur la page, ici et plus loin ; de même (1), (2) à la page 16 [En termes de l'axiomatique par les segments, cela signifie que (c'est-à-dire $a$, $b$ distincts, $a$, $b$ […] ou bien), […] que $\{a,b\} \in \mathfrak{P}_2(\mathcal{L})$, que ou bien $\{a,b\} \cap \mathcal{L}_S \neq \emptyset$ ($a$ ou $b$ est un nœud du réseau) ou bien [dit] $a$, $b$ (si $a$, $b$ sont lignes) […] : sur des lignes différentes, sont, s'ils sont sur une même ligne, […] $\{a,b\} = \partial I$, pour $I \in S$]. Mais on dit aussi que $a$, $b$ sont en position rel. modérée si $a = b$ ou $\{a,b\} \in \mathfrak{S}_0$ la note précédente est écrite en oblique dans la marge gauche. Le crochet « En termes de… » n'est lu qu'en partie : plusieurs mots sont surchargés

(b) Une partie finie $T$ est dite « modérée » […] si $\forall a, b \in T$, […] $\mathfrak{P}_2(T) \subset \mathfrak{S}_0$ i.e. deux éléments quelc. de $T$ sont en position relative modérée (sont 2 à 2 « disjoints »).

2De plus, on veut que la structure implique

(b) $\forall T \in P_{f\,\mathrm{mod}}(\mathcal{L})$, on se donne une relation d'équivalence $R_T$ dont […] ces lignes sont biffées de quatre traits obliques ; le (b) cerclé est hachuré

Si $T$ est une partie finie modérée, on désigne par pose \[ C_{\mathrm{mod}}(T) = \{t \in \mathcal{L} \smallsetminus T \mid \{T \cup \{t\}\} \text{ modérée}\} \] […] des $t \in \mathcal{L} \smallsetminus T$ en […] v. à v. de $T$.

[[…] partie finie modérée […] en position relative […] si leur réunion est […]. $t$ est dit en pos. rel. […] v. à v. de $T$ si $\{t\}$ l'est ; $s$ et $t$ sont dits en pos. rel. modérée si $\{s,t\}$ est modérée, i.e. ou $s \neq t$ ou $\{s,t\} \in \mathfrak{S}_0$…] le début de ces lignes est recouvert par les notes de la marge. On attendrait « $s = t$ ou », comme dans la marge de la page 1

le complémentaire modéré de $T$ Question : $T$ […] connaît […] $C(T)$ […] NB $C(T')$ […] $C(T)$ ? Oui […] Quant à $C_{\mathcal{L}}(T)$ ? […] Si $T \subset T'$ […] l'inverse […]. Donc, si $t \in T'$, $t \notin T$, […] ($T \cup \{t\}$ modérée) […] $t \in C(T)$ […] trois notes obliques couvrent la marge gauche de la page, en partie biffées ; elles ne sont lues que par fragments

(b) $\forall\, T \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L})$sous « Modf », de sa main : « parties mod. finies », une relation d'équivalence $R_T$ dans $C(T)$ (dont les classes s'appellent les comp. connexes de $C(T)$) NB […] […] $C(T)$

3(c) $\forall\, T \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L})$, et $A \in C(T)/R_T$ une classe suivant $R_T$, une partie $\dot{A} \subset T$, appelée frontière de $A$.

Ces données (a) (b), (c) étant assujetties à satisfaire certains axiomes.

Je prévois que les axiomes impliquent Soit […] $Z \subset C(T)$, […] pour ceci

1°)que la donnée (c) résulte déjà de (b)
2°)que la donnée (b) résulte de la donnée des $R_T$, pour le cas particulier où $T \in \mathfrak{S}_0$.

Donc la seule donnée essentielle serait (a) celle des 0-sphères (i.e. la notion de pos. lieux en pos. relative modérée, condition [réflexive et] symétrique)« réflexive et » est écrit au-dessus de la ligne et (b) la donnée, pour $\varepsilon \in \mathfrak{S}_0$, de la relation d'équivalence $R_\varepsilon$ dans $C(\varepsilon)$. devant « $\varepsilon \in \mathfrak{S}_0$ », un petit dessin : deux points joints par un trait, une 0-sphère

Donc on

Axiomes provisoires :

Soit $X$ Appelons les $U$ de $\mathcal{L}$ formés […] $C(T)$ parties modérées cofinies. On

4veut que si $U$ $(= C(T))$ est à la fois modérée finie et modérée cofinie, donc si $S$ et $T$ sont deux parties modérées finies telles disjointes telles que tout a)« a) » est écrit au-dessus du mot biffé $S \cup T$ modérée i.e. […] $s \in S$ modéré par rapport à $t \in T$, et b) Tout $u \in \mathcal{L}$ modéré par rapport à $S$ est dans $T$, donc $S \cup T = \mathcal{L}$ et [finie] devant « $s \in S$ », le même dessin de 0-sphère qu'à la page 3 i.e. $S \cup T$ est partie finie modérée maximale, donc \[ S \cup T = \mathcal{L}, \] et $\mathfrak{S}_0 = \mathfrak{P}_2(\mathcal{L})$, enfin les relations d'équivalence sont discrètes, et les $\dot{A}$ sont vides. Pour un […] […],

[…] définit un réseau, […]

Ex 1 Déf structure discrète sur $\mathcal{L}$ « définit un réseau » est relié par un trait à « discrète » \[ \mathfrak{S}_0 = \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \Longrightarrow \left\{ \begin{aligned} &\mathrm{Modf}(\mathcal{L}) = \mathfrak{P}_f(\mathcal{L}) \\ &C_T = \mathcal{L} \smallsetminus T \quad \text{si } T \in \mathfrak{P}_f(\mathcal{L}) \end{aligned} \right. \] $C(T) = C$ \[ R_T = \text{relation d'équivalence discrète dans } \mathcal{L} \smallsetminus T, \] donc les compos. $A$ sont réduites à un pt Pour Donc \[ \dot{A} = \emptyset \]

Axiome Si $T$ est partie finie modérée maximale, alors $T = \mathcal{L}$, $\mathcal{L}$ est discret.

5On va faire des hypothèses de finitude draconiennes, peut-être provisoires Finitude

Dec$_1$ L'ens. des comp. connexes de tout $U$ est fini.

Définition Partie modérée fermée

Dec$_2$ Soient $U$ [$= C(S)$, $V = C(T)$]écrit au-dessus de la ligne parties modérées cofinies, avec $U \subset V$ i.e. $T \subset S$. Alors toute composante connexe $A$ [de $U$] est contenue dans une comp. connexe (unique bien sûr) $B$ de $V$. De plus, on a \[ \underbrace{\dot{A}}_{\subset\, S} \cap\, T \subset \underbrace{\dot{B}}_{\subset\, T} \]

6Ex 2 Soit […] $\mathcal{L}$ un ens. ordonné, on suppose $\mathcal{L}$ filtrant croissant, filtrant décroissant, sans plus grand ni plus petit élément, loc. filtrant croissant et filtrant décroissant, divisible.

On appelle un tel ensemble une ligne ordonnée. \[ \mathfrak{S}_0 \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \] défini par $\{x,y\} \in \mathfrak{P}_2(\mathcal{L})$ $=$ parties qui de card. 2 qui sont tot. ordonnées \[ \mathrm{Modf}(\mathcal{L}) = \text{parties finies tot. ordonnées} \] i.e. telles que

Soit $T \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L})$, $T = \{t_1, t_2, \ldots, t_n\}$, $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$.

Alors les composantes connexes sont \[ \underbrace{]-\infty, t_1[}_{t_1},\ \underbrace{]t_1, t_2[}_{t_1,\, t_2},\ \ldots,\ \underbrace{]t_{n-1}, t_n[}_{t_{n-1},\, t_n},\ \underbrace{]t_n, +\infty[}_{t_n} \] Pts frontière ($n+1$ composantes connexes)

7Cette structure est donc déterminée par sa […] donnée binaire par […], i.e. elle ne dépend que du binaire.

Partie modérée

[…]

Tronçon de la ligne : partie de la forme \[ [s,t] \quad (s \leq t), \qquad ]-\infty, s] \text{ ou } [s, +\infty[, \qquad \mathcal{L} = ]-\infty, +\infty[ \] Bord du tronçon : $\{s,t\}$ dans le premier cas, $\{s\}$ dans le second, $\emptyset$ [dans le] troisième.

[…] ligne : tout tronçon […] fermé […] tronçon […]. Le binaire […] unité. D'autre part, le bord d'un […] Bord défini […] note oblique dans la marge gauche, à côté des intervalles, lue en partie seulement

Deux tronçons sont dits en position relative modérée, si leurs bords […]. Partie modérée : réunion [finie]« finie » est écrit au-dessus de la ligne de tronçons mutuellement modérés, et disjoints. Deux Par définition, le bord est la réunion (disjointe) des bords.

8Proposition

Définition Segments, intervalles, demi-intervalles (cas d'une structure de réseau). Segment au-dessus de « segments, intervalles, demi-intervalles », une accolade porte « tronçons » ; la ligne entière est biffée de trois traits obliques

Définition Un ens. ordonné $\mathcal{L}$ est appelé un tronçon ordonné si

a)$\forall a \in \mathcal{L}$ tel que $\mathcal{L}_{>a}$ $=$ $\neq \emptyset$, $\mathcal{L}_{>a}$ est filtrant décroissant i.e. $\forall x, y$ $a, y$ tels que [si $a, y, x \in \mathcal{L}$ tels que] $x > a$, $y > a$, alors $\exists z \in \mathcal{L}$ avec $x, y \geq z > a$
a')Axiome dual : si $a, x, y \in \mathcal{L}$ tels que $x < a$, $y < a$, alors $\exists z \in \mathcal{L}$ avec $x, y \leq z < a$
b)$\mathcal{L}$ est filtrant croissant et filtrant décroissant i.e. $x, y \in \mathcal{L} \Longrightarrow \exists a, b \in \mathcal{L}$ avec $a \leq x, y \leq b$
c)Si $x, y \in \mathcal{L}$ tels que $x < y$, $\exists z$ tel que $x < z < y$. […]
d)[…] $\operatorname{card} \mathcal{L} > 1$

la partie entre crochets dans a) est écrite au-dessus de la ligne, en remplacement du passage biffé NB les cond. a), b), c) satisfaites si card $\leq 1$ !

On dit que $\mathcal{L}$ est un segment si $\mathcal{L}$ admet un plus petit et un plus grand élément, un intervalle s'il n'admet ni l'un ni l'autre,

9un demi-intervalle s'il admet un plus petit élément mais pas un plus grand, ou bien l'inverse.

L'oppo

NB L'opposé d'un tronçon, segment, intervalle, demi-intervalle est idem. L'opposé d'un ½ intervalle fermé à g. est ½ fermé à droite, et inversement. Les Tout tronçon est l'un des trois (segment, ½ intervalle, intervalle) à l'exclusion […] deux à deux. […] tronçons […] binaires tr. […] binaires deux notes obliques dans la marge gauche, en face du NB ; la première n'est pas lue

Si $\mathcal{L}$ est un tronçon, on pose $\partial\mathcal{L}$ \[ \partial \mathcal{L} = \{x \in \mathcal{L} \mid x \text{ est plus petit élément ou plus grand élément}\} \]

Soit $\mathcal{L}$ un tronçon, et \[ \begin{aligned} \mathfrak{S}_0(\mathcal{L}) = \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L}) &= \{\varepsilon \in \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \mid \varepsilon \text{ totalement ordonné}\} \\ &= \{\{x,y\} \mid x < y\} \end{aligned} \] \[ \text{Déf. :=} \qquad \mathrm{Modf}(\mathcal{L}) = \mathrm{Drap}(\mathcal{L}) = \{S \subset \mathfrak{P}_f(\mathcal{L}) \mid S \text{ tot. ord.}\} \] « Drap » : drapeaux. Le signe $\subset$ devant $\mathfrak{P}_f(\mathcal{L})$ est sur la page, là où l'on attendrait $\in$

10Si $S \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L})$, on a donc $C(S) =$ \[ C(S) = \{t \in \mathcal{L} \mid t \notin S,\ S \cup \{t\} \text{ tot. ord.}\} \] On a dit comment on décomposait en « composantes connexes » un $C(S)$, $S = \{s_1, \ldots, s_n\}$, $s_1 < s_2 < \cdots < s_n$. Les comp. connexes sont les ens. non vides parmi \[ \mathcal{L}_{<s_1},\ [s_1, s_2],\ \ldots,\ [s_{n-1}, s_n],\ \mathcal{L}_{>s_n} \] les crochets des intervalles intermédiaires sont lus tels qu'ils paraissent (le premier est surchargé) ; on attend des intervalles ouverts

[cas $n = 0$ : une seule comp. $\mathcal{L}$
cas $n = 1$ : une deux composantes $\mathcal{L}_{<s}$, $\mathcal{L}_{>s}$ (celles qui sont non vides)
cas $n \geq 2$ : voir ce qui est plus haut]

[…] non vides intervalles étant les seules […] $\mathcal{L}_{<s_1}$ (si $s_1$ plus petit élément) et $\mathcal{L}_{>s_n}$ (si $s_n$ plus grand élément). Les bords sont respectivement \[ \underbrace{\{s_1\}}_{\text{si comp. existe}},\ \{s_1, s_2\},\ \ldots,\ \{s_{n-1}, s_n\},\ \underbrace{\{s_n\}}_{\text{si comp. existe}} \] après le premier $\{s_1\}$, une surcharge biffée

Je dis que l'on récupère la structure […] binaire du tronçon (donc aussi la structure (a) (b) (c)), en termes de la seule structure (a), + (b) pour $T \in \mathfrak{S}_0$.

11Pour ceci, on note premier […] d'abord« d'abord » est écrit au-dessus de la ligne

Lemme Une structure de binaire tronçon binordonné est connue quand on connaît la relation sur $\{a,b,c\}$ trois éléments $a, b, c$ \[ \mathcal{R}(a,b,c) \qquad \text{$b$ est \textbf{strictement entre} $a$ et $c$} \] (au sens que $a < b < c$ ou $a > b > c$) un triple trait vertical, dans la marge gauche du corps, met en évidence la ligne de $\mathcal{R}(a,b,c)$ relation […] symétrique en $a$, $c$ On la connaît de NB Cette relation $\mathcal{R}$ équivaut à la relation $\overline{\mathcal{R}}$ non stricte $a < b < c$ ou $a \leq b \leq c$ ou $a \geq b \geq c$ $a \neq b \neq c$ ; $\{a,b,c\}$ $b$ entre $a$ et $c$ ($\Longleftrightarrow$) […] ou $\{a,b,c\}$ est un […] cardinal $\leq 2$ notes obliques, en partie biffées, dans la marge gauche

Dém Choisissons On en déduit la connaissance deces mots sont écrits au-dessus de la ligne $\mathfrak{S}_0(\mathcal{L})$ (i.e. de $\mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})$) […] formulation $a$ et $b$ « disjoints » i.e. distincts et comparables i.e. $\{a,b\} \in \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})$ pour le binaire :

$a$ et $b$ disj[oin]ts ssi $\exists\, c$ tel que $c$ soit strictement entre $a$ et $b$ (utiliser divisibilité […] du binaire)

[…] Choisissons $\varepsilon \in \mathfrak{S}_0$ (existe, car $\exists\, x, y \in \mathcal{L}$, $x \neq y$, si $x, y \in$ par hyp., […] $a \leq x, y \leq b$, et on a $a \leq b$ et $a \neq b$ car […] on aurait $x = y$) […] en utilisant […] arbitraire […]

12et choisissons une « origine » $a$ dans $\varepsilon = \{a, b\}$ (ce qui va déterminer la relation d'ordre). Soit Alors Considérons sur $\mathcal{L}$ la relation d'ordre […] définissant le binaire, telle que $a < b$. On va voir qu'elle est entièrement déterminée par la conn. du […] couple« couple » est écrit au-dessus de « paire », biffé $(a,b)$.

On connaît \[ \left. \begin{aligned} \mathcal{L}_{\geq b} &= \{x \in \mathcal{L} \mid x = b \text{ ou } b \text{ entre } a \text{ et } x\} \\ \mathcal{L}_{\leq a} &= \{x \in \mathcal{L} \mid x = a \text{ ou } a \text{ entre } b \text{ et } x\} \\ ]a, b[ &= \{x \in \mathcal{L} \mid x \text{ entre } a \text{ et } b\} \end{aligned} \right\} \] déterminés par $\mathcal{R}$ « $x = b$ ou », « $x = a$ ou » sont écrits au-dessus de la ligne ; au-dessus du premier, un « $x \geq b$ ou » biffé

donc Quand Soient $u, v \in \mathcal{L}$, quand a-t-on $u \leq v$ ? Il faut et il suffit qu'il existe $x \in$ $x, y \in \mathcal{L}$ tels que \[ x \in \mathcal{L}_{\leq a},\quad y \in \mathcal{L}_{\geq b} \quad \text{et} \quad x \leq u \leq v \leq y \] i.e.

$\{x, y, u, v\}$ est $\in \mathrm{Drap}(\mathcal{L})$ $x \in \mathcal{L}_{\leq a}$, $y \in \mathcal{L}_{\geq b}$ (donc $x < y$)
$x, y \in$ avec $x$ plus petit élément
$u$ est entre $u$, $v$ sont entre $x$ et $y$
$u$ est entre $x$ et $v$
$v$ est entre $u$ et $y$

les trois dernières conditions sont réunies par un crochet à gauche

13Donc il faut simplement vérifier le

Lemme Soit $\mathcal{L}$ un ens. ordonné, et $x, y, u, v$ troissic ; quatre éléments sont nommés éléments, tels que

a)$u$, $v$ sont entre $x$ et $y$
b)$u$ est entre $x$ et $v$
c)[$v$ est entre $u$ et $y$ […]]sur la page, le crochet ouvrant précède « c) »
d)$x < y$,

b) et c) sont réunis par une accolade : « une des deux suffit » alors on a \[ x \leq u \leq v \leq y \]

Dém […] des conditions b), c), d) […] pour $I = \{x, y, u, v\}$une surcharge biffée entre $I$ et le signe $=$ est un drapeau, Prenons et OPS $\mathcal{L} = I$ est un ens. tot. ordonné par $x <$ […] à 2, 3, ou 4 éléments. Alors Prenons […] Comme $x$ est le plus petit élément, donc […] ([…] $x < y$), pour l'un […] […] suppose $u < x \,(< y)$, ou $u < x$, mais $v < x$ […] comme $u$ est entre $x$ et $v$, on aurait […] et $x < y$, $v < u < x < y$ ce passage est encadré et biffé de plusieurs traits obliques ; il n'est lu qu'en partie […] $x \leq u, v \leq y$, il reste on doit avoir à prouver $u \leq v$ et comme $u$ est entre $x$ et $v$, on doit avoir $x \leq u \leq v$. OK

NB On a utilisé a) la divisibilité de la rel. d'ordre, b) le fait que $\mathcal{L}$ soit filtrant croissant et filtrant décroissant.

Et a) n'a servi qu'à montrer que la relation « $a$ et $b$ disjoints » est déductible de « $c$ est str. entre $a$ et $b$ ».

14Si on se donne à la fois les deux relations \[ \left\{ \begin{aligned} &\mathcal{R}(a,b) &&\{a,b\} \in \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L}) \\ &\mathcal{R}(a,b,c) &&b \text{ est str. entre } a \text{ et } c \end{aligned} \right. \] alors pour récupérer le binaire, il suffit de supposer $\mathcal{L}$ filtrant croissant et filtrant décroissant et […] filtrant cr. et décroiss. […] […] compatible […] deux lignes et demie biffées de traits horizontaux et obliques

Dém On va voir que la connaissance deécrit au-dessus de la ligne : « que la connaissance de $\mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})$, et puis » $\mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})$, et puis de la décomp. de $\varepsilon \in \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})$le $\mathcal{L}$ de cette parenthèse est surchargé, de la décomp. de \[ C(\varepsilon) = \{t \in \mathcal{L}_{\notin \varepsilon} \mid \{\varepsilon, t\} \in \mathrm{Drap}_3(\mathcal{L})\} \] en composantes connexes, implique la connaissance de la relation \[ \mathcal{R}(a,b,c) \ : \ b \text{ strict entre } a \text{ et } c. \] l'indice de $\mathcal{L}$ et l'accolade $\{\varepsilon, t\}$ sont lus tels qu'ils paraissent ; on attend $t \in \mathcal{L} \smallsetminus \varepsilon$ et $\varepsilon \cup \{t\}$

Première condition : $\{a,b,c\} \in \mathrm{Drap}_3(\mathcal{L})$ (connue de la donnée de $\mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})$)

ici, un croquis : un segment portant les points $a$, $b$, $c$ dans cet ordre

Si $b$ est entre $a$ et $c$, regardons les \[ \mathcal{J}_{abc} = \text{composante de } C(\{a,b\}), \]

15trois composantes (relatives à la donnée de $\{a,b,c\}$) \[ \begin{aligned} X_{\{a,b\}} &= (\text{comp. de } C(\{a,b\}) \text{ contenant } c) = \mathcal{L}_{>b} \\ X_{\{b,c\}} &= (\text{comp. de } C(\{b,c\}) \text{ contenant } a) = \mathcal{L}_{<b} \\ X_{\{c,a\}} &= (\text{comp. de } C(\{c,a\}) \text{ contenant } b) = ]a, c[ \end{aligned} \] sur la page, entre chaque $X$ et le premier signe $=$, une première notation est biffée et illisible ; les deuxième et troisième lignes répètent « comp. de » et « contenant » par des traits

On trouve \[ \left. \begin{aligned} X_{\{a,b\}} \cap X_{\{b,c\}} &= \emptyset \\ X_{\{a,b\}} \cap X_{\{c,a\}} &= ]b, c[ \neq \emptyset \\ X_{\{b,c\}} \cap X_{\{c,a\}} &= ]a, b[ \neq \emptyset \end{aligned} \right\} \text{divisibilité !} \]

donc $b$ est distingué, dans $J = \{a, b, c\}$, par la propriété que pour les deux parties paires $\varepsilon, \varepsilon' \in \mathfrak{P}_2(J)$ qui le contiennent, on a \[ X_{\varepsilon} \cap X_{\varepsilon'} = \emptyset. \] On gagne !

NB On a à nouveau utilisé la divisibilité.

16Remarques (1) Considérons Sur la notion de tronçon. On choisit une sous-cat. pleine $\mathcal{T}$ de celle des ens. ordonnés, satisfaisant

a)Si $\mathcal{L} \in \operatorname{Ob} \mathcal{T}$, $\mathcal{L}$ est filtrant croissant et filtrant décroissant, et de cardinal $\neq 1$ non vide (donc $\geq 2$)
b)Si $x, y \in \mathcal{L} \in \operatorname{Ob} \mathcal{T}$, et $x < y$, $\exists\, z \in \mathcal{L}$, $x < z < y$ (divisibilité)
c)Si $x \in \mathcal{L} \in \operatorname{Ob} \mathcal{T}$, donné et si $\mathcal{L}_{>x} \neq \emptyset$, alors $\mathcal{L}_{>x} \in \operatorname{Ob} \mathcal{T}$.
c')Dual de c)

Il y a un plus grand $\mathcal{T}$ qui satisfait ces conditions, et $\mathcal{T}$ est stable par passage à l'ordre opposé. Les objets de $\mathcal{T}$ sont les tronçons ordonnés.

(2) Il faudrait expliciter quelles conditions la relation $\mathcal{R}(a,b,c)$ doit satisfaire, pour définir une structure de tr. tronçon binordonné, et itou pour la donnée de $\mathfrak{S}_0 \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L})$ et les $\mathcal{R}_\varepsilon$ ($\varepsilon \in \mathfrak{S}_0$) sur les $C(\varepsilon)$…

17Sous-tronçon [fermé, $I$]« fermé, $I$ » est écrit au-dessus de la ligne d'un tronçon $\mathcal{L}$ : sous-ens. de la forme $[a,b]$ (avec $a < b$) ou $\mathcal{L}_{\leq a}$ (avec $a$ pas le plus petit élément) ou $\mathcal{L}_{\geq b}$ (avec $b$ pas un plus grand élément), [ou $\mathcal{L}$]écrit au-dessus de la ligne : ce sont donc des tronçons, pour la structure induite. On pose $\partial I = \{a,b\}$ resp. $\{a\}$ resp. $\{b\}$, resp. $\emptyset$. Deux sous Deux Deux sous-tronçons fermés sont dits en pos. rel. modérée si leurs frontières le sont, i.e. si […] frontière de l'un […] sous-tronçon fermé […] : soit […] de l'autre. […] plusieurs notes obliques dans la marge gauche, non lues

[…] Deux […] tronçons […] ssi leurs frontières […] fermés, larges […] en pos. gén. […] modérée […] intersection […]. Alors leur intersection […] tronçon […] dont la frontière […] des frontières. trois lignes et demie biffées de longs traits, lues par fragments

[…] tronçon fermé : […] partie de $\mathcal{L}$ […]

Partie fermée modérée de $I$ :

[toute partie qui est de la forme de réunion d'une famille finie de sous-tronçons fermés mutuellement disjoints et mutuell. […] en pos. rel. modérée]

Prenons […] […] ayant comme base les $]a, b[$ pour $a < b$, et les $\mathcal{L}_{>a}$ et $\mathcal{L}_{<a}$. Alors […] pour tout sous-tronçon fermé $I$, $\partial I$ est la frontière. NB […]

18Th Soit $\mathcal{L}$ un tronçon binordonné, soit $X \subset \mathcal{L}$, tel qu'il existe $I \subset \mathrm{Pstrf}(\mathcal{L})$ (ens. des ps-tronçons fermés de $\mathcal{L}$), $I$ fini, […] tel que

a)$\forall\, i, j \in I$, $i \neq j$, \[ \left\{ \begin{aligned} &T_i \cap T_j = \emptyset \\ &T_i \text{ et } T_j \text{ en pos. rel. mod.} \end{aligned} \right. \] i.e. […] $\dot{T}_i \cup \dot{T}_j$ est partie finie modérée comme $\forall\, a \in \dot{T}_i$, $b \in \dot{T}_j$, $a \neq b$, […] $\{a,b\} \in \mathfrak{S}_0(\mathcal{L}) = \mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})$la lettre lue $\mathfrak{S}_0$ ressemble ici à un $B_0$
[…]
b)$X = \bigcup T_i$ ;

il note ici le bord d'une partie par un point en exposant, $\dot{T}_i$ ; à la page précédente il écrivait $\partial I$

Alors

1°)$I$ est unique [les $T_i$ sont les comp. conn. de $X$]
2°)[…] $\dot{X} = \bigcup_{i \in I} \dot{T}_i$ (donc $\dot{X} = \emptyset$ ssi […] $X = \mathcal{L}$ ou $X = \emptyset$)

NB $X = \emptyset$ ssi $I = \emptyset$

On dit que $X$ est une partie modérée fermée. […] dans la marge gauche, une note verticale, non lue, qui commence peut-être par « Ex. »

Déf Si $X$, $Y$ sont deux parties fermées modérées, on dit que $X$ et $Y$ sont en pos. relative modérée si $\dot{X} \cup \dot{Y}$ […], i.e. $\forall\, x \in \dot{X}$, $y \in \dot{Y}$, $x \neq y$, on a $\{x,y\} \in \mathrm{Drap}_2$.

19Prop […] Soient $X$, $Y$ deux parties fermées modérées, en pos. rel. modérée. Alors $X \cap Y$ est une partie [fermée]écrit au-dessus de la ligne modérée, et \[ \boxed{(X \cap Y)^{\cdot} \subset \dot{X} \cup \dot{Y}} \] De $X$ et $Y$ ont une borne sup. dans l'ensemble des parties […] des parties modérées qui contiennent $X$ […] $X$ et $Y$. On note cette partie $X \cup_{\mathrm{mod}} Y$, et on a \[ \boxed{(X \cup_{\mathrm{mod}} Y)^{\cdot} \subset \dot{X} \cup \dot{Y}} \] […] Dém […] convenons […] modérée […] NB […] une partie […] plus petits […] modérés […] Ex. $A = \{0, \tfrac12, \tfrac13, \ldots\}$ […] les deux marges portent de longues notes obliques, lues par fragments seulement

Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille finie de parties fermées modérées, mutuellement en pos. rel. modérée. Alors $\bigcap X_i$ est une partie modérée, et les $X_i$ ont une borne sup. dans l'ens. des parties fermées modérées. On a \[ \Bigl(\bigcup_{\mathrm{mod},\, i} X_i\Bigr)^{\cdot} \subset \bigcup_i \dot{X}_i \]

Ex \[ [a,b] \cup_{\mathrm{mod}} [b,c] = [a,c] \] mais en général \[ [a,b] \cup [b,c] \neq [a,c] \] (prenant $a$ plus petit élément, $c$ plus grand élément, […] […] $Z$, $b$ […] non comparable à tout élément de $\mathcal{L}$. Si c'est

20vrai pour tout $b$, alors $\mathcal{L}$ est tot. ordonné. Plus généralement, pour que $\mathcal{L}$ soit tot. ordonné, il faut et il suffit que pour tout $b \in \mathcal{L}$, $b$ soit comparable à tout élément, ce qui s'écrit \[ \underbrace{\mathcal{L}_{\leq b} \cup_{\mathrm{mod}} \mathcal{L}_{\geq b}}_{\mathcal{L}} = \mathcal{L}_{\leq b} \cup \mathcal{L}_{\geq b} \]

Partie loc. fermée modérée

Th Soient $X$ […], $Y$ deux parties, $X \supset Y$ (deux fermées modérées, avec $X$ et $Y$ en pos. relative modérée) Alors Considérons […] une plus petite partie $Z$ fermée modérée contenant $X \smallsetminus Y$. Ex Déf« Déf » est écrit en surcharge sur « Ex » \[ C_{\mathrm{mod}}(Y, X) = \{x \in X \mid x \notin Y,\ x \text{ en pos. rel. mod. avec } Y\} \] Alors $\exists$ plus petit ens. fermé modéré $Z$ $\supset A$ $\subset X$, et […] $C_{\mathrm{mod}}(Y, X)$, […] partie fermée modérée $T \subset X$, $T \cap Y = \emptyset$, $T$ en pos. rel. mod. avec $Y$, De plus $Z$ $Z$ est en position rel. modérée […] $Y$. On pose $Z = X \mathbin{-_{\mathrm{mod}}} Y$ la fin de la page est surchargée d'ajouts interlinéaires et n'est lue qu'en partie